taxas relacionadas (exercícios resolvidos)

Caderno de Exercıcios Diego Alves Oliveira

Exercıcios Resolvidos: Taxa RelacionadaContato: [email protected]

Resolver problemas relativo a taxas relacionadas e um processo de seis passos.

1. Verifica-se os dados que o problema nos da e o que e requerido;

2. Encontra-se uma relacao geral entre os dados que apos a derivada da relacaoforneca o valor desejado;

3. Substituımos na relacao os valores que sao constantes;

4. Derivamos a relacao implicitamente;

5. Evidenciamos o resultado desejado;

6. Fazemos as substituicoes necessarias para obter a resposta.

Tambem e aconselhavel que se faca um desenho ou esquema da situacao para que seja possıvelentender melhor o problema, embora dependendo da habilidade do aluno isso possa ser dis-pensavel.

Exemplo 1:Uma pipa esta voando a uma altura de 40 m. Uma crianca esta empinado a de tal forma que

ela se mova horizontalmente a uma velocidade de 3 m/s. Se a linha estiver esticada, com quevelocidade a linha esta sendo “dada”, quando o comprimento da linha desenrolada for de 50m?

Solucao:

10 Passo:

Dados:

y = 40 mz = 50 mdx/dt = 3 m/sdz/dt = ?

Com base no problema e nos dados fornecidos construımos um triangulo retangulo com asseguintes medidas.

40 m

x = 30 m

50 m

1


Onde o valor de x foi determinado pelo teorema de Pitagoras (x2 = 502 − 402).

20 Passo:O desenho do problema sugere que a relacao entre os dados (x, y, z) e o proprio teorema de

Pitagoras.

z2 = x2 + y2

Note que se derivarmos essa relacao obteremos dz/dt. Que e o que desejamos saber.

30 Passo:

No problema a pipa se move apenas horizontalmente. Assim a altura da pipa (y) se mantemsempre constante.

z2 = x2 + 402

z2 = x2 + 1600

Ja o z (tamanho da linha), e o x (distancia horizontal entre a pipa e o menino), nao saoconstantes.

4◦ Passo:

Agora deriva-se a relacao anterior implicitamente em relacao ao tempo.

2zdz

dt= 2x

dx

dt+ 0

A derivada ocorre em relacao ao tempo pois o deslocamento da pipa em qualquer direcaopode ser descrito em funcao do tempo.

50 Passo:

Agora que evidenciamos dz/dt.

dz

dt=

2xdx

dt2z

60 Passo:

E finalmente substituımos x, y e dx/dt para obter o valor desejado.

dz

dt=

2(30)(3)

2(50)

dz

dt=

180

100

dz

dt=

9

5m/s

2


Exemplo 2:

Acumula se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura e igual ao raio dabase. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h, a que razao aumenta a area da basequando a altura do monte e 4 m?

Solucao:

10 Passo:

Dados:

h = 4r = 4

dA

dte o que desejamos saber.

dV

dt= 10 m3/h

h = d/2

d

20 Passo:

Neste caso a formula capaz de fornecer o que sera pedido e a da area do circulo.

A = πr2

30 Passo:

O raio do cone varia com a altura. E a altura por sua vez tambem varia a medida que aareia e despejada, assim nao existe valores constantes na relacao A = πr2. Logo podemos pularo passo 3.

40 Passo:

dA

dt= 2πr

dr

dt

50 Passo:

O passo seguinte seria evidenciar dA/dt, mas como isto ja esta feito passamos para o passo6.

50 Passo:

3


Como r = 4 entao:

dA

dt= 2 · 4πdr

dt

dA

dt= 8π

dr

dt

O fato interessante e que o problema nao nos da o valor de dr/dt, pelo menos nao diretamente.

Sabe-se que o volume de um cone e dado por:

V =1

3πr3

Derivando a expressao implicitamente se tem:

dV

dt=

1

3π3r2

dr

dt

dV

dt= πr2

dr

dt

dr

dt=

1

πr2dV

dt

substituindo o valor de r

dr

dt=

5

8πm2/h

Agora de posse do valor de dr/dt podemos finalizar o 6◦ passo.

dA

dt= 8π

(5

8π

)m2/h

dA

dt= 5 m2/h

Os proximos exercıcios seguem a mesma logica do passo a passo, mas por questao de economiaserao resolvidos de forma menos detalhada.

Exemplo 3:Uma escada de 6 m de comprimento esta apoiada em uma parede vertical. Se a base da

escada comeca a escorregar horizontalmente a taxa constante de 0.6 m/s, com que velocidade otopo da escada percorre a parede quando esta a 4 m do solo?

Solucao:

Dados:

x = 2√

5 my = 4 m

4


z = 6 mdx/dt= 0.6 m/sdy/dt = ?

Com base nos dados construımos um triangulo com as seguintes medidas.

4 m

x = 2√

5 m

6 m

Onde x foi obtido atraves do teorema de Pitagoras.

A formula que fornecera o valor desejado sera o teorema de Pitagoras.

x2 + y2 = z2

Como a escada nao pode alterar seu comprimento entao z e constante e igual a 6.

x2 + y2 = 36

Derivando implicitamente.

2xdx

dt+ 2y

dy

dt= 0

2(2√

5m)0.6m/s+ 2(4m)dy

dt= 0

2.4√

5m2/s+ 8mdy

dt= 0

Evidenciando dy/dt

dy

dt= −0.3

√5m/s

Neste caso o sinal de negativo indica o sentido do movimento da escada (para baixo).

Exemplo 4:Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e raio da base

2 m. Se agua entra no tanque a razao de 0.001 m3/min calcule a razao em que o nıvel de aguaesta subindo quando a altura e 1 m?

Solucao:

Dados:

h = 4 mr = 2 m

dV

dt= 0.001 m3/min

5


Queremos descobrirdh

dtquando h = 1 m.

A equacao que ira relacionar dh/dt aos dados sera:

V =1

3πr2h


dV

dt=

1

3π

(2rh

dr

dt+ r2

dh

dt

)Pelo problema sabe-se que:

h

r=

4

2⇒ h = 2r

Da igualdade anterior ainda temos que:

dh

dt= 2

dr

dt⇒ dr

dt=

dh

2dt

Substituindo dr/dt = dh/2dt e tambem h = 1r em dv/dt chega-se:

dV

dt=

1

3π

(2

(h

2

)hdh

2dt+

(h

2

)2dh

dt

)

dV

dt=

1

3π

(h2

2

dh

dt+h2

4

dh

dt

)dV

dt=

1

3πdh

dt

(h2

2+h2

4

)dV

dt=

1

3πdh

dt

(3

4h2)

dV

dt= π

dh

dt

(h2

4

)4

h2π· dVdt

=dh

dt

dh

dt=

4

h2π· dVdt

Finalmente quando h = 1 m temos:

dh

dt=

4

1π· 0.001 (m/min) ' 0.00127 m/min

Exemplo 5:Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diametro varia a razao de 0.005 cm/min.

Determine a taxa a qual a area de uma das faces varia quando o diametro e 30 cm.

6


Solucao:

Dados:

dD/dt = 0.005 cm/min

dA/dt = ?

D = 30 cm

Tomando a relacao A = πr2 que e formula para area do cırculo.

E derivando a implicitamente temos:

dA

dt= 2πr

dr

dt

Sabe-se que o diametro (D) e duas vezes o raio (D = 2r) entao:

dD

dt= 2

dr

dt⇒ 0.5

dD

dt=dr

dt

Assim:

dA

dt= 2π(D/2)

(0.5

dD

dt

)dA

dt= πD

(0.5

dD

dt

)dA

dt= 30π (0.5(0.005))

dA

dt= 0.075π (cm2/min)

Exemplo 6:Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo a razao constante

2 cm/min. Qual a variacao do volume quando o raio esta com 25 cm?

Solucao:

Dados:

dr/dt = -2 cm/min

dv/dt = ?r = 25 cm.

A formula do volume da esfera e:

V =4

3πr3


7


dV

dt=

4

3π3r2

dr

dt

dV

dt= 4πr2

dr

dt

Finalmente substituindo os valores

dV

dt= 4π(25)2(−2) cm3/min

dV

dt= 5000π cm3/min

Exemplo 7:A areia que vaza de um deposito e forma uma pilha conica cuja altura sempre e igual ao raio

da base. Se a altura da pilha aumenta a uma razao de 15 cm/min Determine a taxa a qual aareia esta se escoado quando a altura da pilha for de 25 cm.

Solucao:

Dados:

h = r

dh/dt = 15 cm/mindv/dt = ?h = 25.

V =1

3πr2h


dV

dt=

1

3π2r

dr

dth+

1

3πr2

dh

dt

Como h = r entao dr/dt = dh/dt e assim:

dV

dt=

1

3π

(2rdr

dth+ r2

dh

dt

)

dV

dt=

1

3π

(2hdh

dth+ r2

dh

dt

)

dV

dt=

1

3πdh

dt

(2h2 + h2

)

8


dV

dt=

1

3πdh

dt3h2

dV

dt= π15(25)2

dV

dt= π15(25)2 = 9375π

dV

dt= 9375π cm3/min

Exemplo 8:Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, cujo raio cresce a uma taxa constante

de 3 m/s. Com que rapidez estaria variando a area englobada pela onda crescente ao final de 10segundos?

Solucao:

Dados:

dr/dt = 3 m/s

dA/dt = ?

t = 10s

A = πr2

dA

dt= 2πr

dr

dt

Como o raio varia 3 m/s em 10 segundos teremos um raio de 30 m.

dA

dt= 2π(3 · 10)(3) = 180π m2/s

Exemplo 9:Um balao esferico e inflado de tal forma que o volume cresce a taxa de 3 m3/min. Com que

rapidez o diametro do balao estara crescendo quando o raio for de 1 m?

Solucao:

V =4

3πr3

dv

dt= 4πr2

dr

dt

9


3 (m3/min) = 4π(1 m)2dr

dt

dr

dt=

3

4π(m/min)

Exemplo 10:

Dois carros estao se encaminhando em direcao a um cruzamento, um seguindo a direcao lestea uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a direcao sul, a 60 km/h. Qual a taxa segundoa qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro esta a 0.2 km docruzamento e o segundo a 0.15 km?

Solucao:

Dados:

dx/dt = 90

dy/dt = -60

dz/dt = ?

x = 0.2 Km

y = 0.15 Km

60 km/h

90 km/h

Neste caso desejamos saberdz

dtquando x = 0.2 Km e y = 0.15 Km.

Para isso usaremos o teorema de Pitagoras:

x2 + y2 = z2


2xdx

dt+ 2y

dy

dt= 2z

dz

dt

E simplificando

10


xdx

dt+ y

dy

dt= z

dz

dt

substituımos os valores de dx/dt e dy/dt

2x(90) + 2y(60) = 2zdz

dt

e evidenciamos o dz/dt.

dz

dt=

0.2(90) + (0.15)(−60)

z

Quando x = 0.2 e y = 0.15, z e igual 0.25 (teorema de Pitagoras). E portanto:

dz

dt= −108 Km/h

Um resultado interessante neste problema ocorre se aplicarmos o teorema de Pitagoras dire-tamente as velocidades (que sao nada mais que vetores).

Vz =√

602 + 902 ≈ 108.167 km/h

Que e um resultado bastante proximo do calculado por meio da derivacao implıcita.

Exemplo 11:

Suponha que, em certo mercado, x milhares de caixas de laranjas sejam fornecidos diariamentesendo p o preco por caixa e a equacao de oferta

px− 20p− 3x+ 105 = 0

Se o fornecimento diario estiver decrescendo a uma taxa de 250 caixas por dia, com que taxaos precos estarao variando quando o fornecimento diario for de 5 mil caixas?

Solucao:

Queremos descobrirdp

dtquando x = 5. Derivando a expressao implicitamente chega-se a:(

xdp

dt+dx

dtp

)− 20

dp

dt− 3

dx

dt+ 0 = 0

dp

dt(x− 20) +

dx

dt(p− 3) = 0

dp

dt=−dxdt

(p− 3)

x− 20

Quando x = 5 p = 6

p(5) - 20p - 3(5) + 105 = 0

p = 6

11


Portanto:

dp

dt= −0.25(6− 3)

(5− 20)= 0.05 R$

Exemplo 12:

Um aviao voa a 152.4 m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220 m no sentido oeste,tomando como referencia um holofote fixado no solo que o focaliza e que se encontra a esquerdada projecao vertical do aviao em relacao ao solo.

Sabendo-se que a luz do holofote devera permanecer iluminado o aviao, qual devera ser avelocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a distancia horizontal entre ele e aprojecao vertical do aviao for de 610 m?

Solucao:

1220 m

Queremos encontrardθ

dtquando x = 610 m.

tg θ =1220

x

sec2θdθ

dt= −1220

x2dx

dt

Substituindodx

dt= −152.4 na equacao anterior e dividindo por sec2 θ, iremos obter

dθ

dt=

185.928

x2sec2θ

Quando x = 610, tgθ = 2 e sec2 θ = 5.

dθ

dt=

185.928

6102 · 5

≈ 1

10rad/s

Exemplo 13:Uma piscina tem 5 m de largura por 10 m de comprimento, 1 m de profundidade na parte

rasa, e 3 m na parte mais funda. Sua seccao transversal esta mostrada na figura. Se a piscinafor enchida a uma taxa de 0.1 m3/min, quao rapido estara subindo o nıvel de agua quando suaprofundidade no ponto mais profundo for de 1 m?

Solucao:

12


Com base nos dados esbocamos o desenho a seguir.

byx

h 2

3

1.5 4

Area do trapezio:

A =(b+ 3)

2h

Como a piscina tem 5 m de largura entao:

V = 5A = 5(b+ 3)

2h

Pelo desenho percebemos que:

x

h=

1.5

2⇒ x = 0.75h

y

h=

4

2⇒ y = 2h

Substituindo estes valores na equacao do volume e sabendo que b = x + 3 + y

V = 5((x+ 3 + y) + 3)

2h

V = 5(x+ y + 6)

2h

V =5x+ 5y + 30

2h

V =5(0.75h) + 5(2h) + 30

2h

V =3.75h2 + 10h2 + 30h

2

V = 1.875h2 + 5h2 + 15h

Derivando implicitamente

dV

dt= 3.75h

dh

dt+ 10h

dh

dt+ 15

dh

dt

dV

dt=dh

dt(13.75h+ 15)

13


Substituindo a taxa e h = 1 m.

0.1 =dh

dt(13.75(1) + 15)

dh

dt≈ 0.0035 m

Exemplo 13:Agua esta saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de 10.000 cm3/min

no momento em que agua esta sendo bombeada para dentro a uma taxa constante. O tanquetem 6 m de altura e seu diametro no topo e 8 m. Se o nıvel da agua esta subindo a uma taxade 20 cm/min quando a altura era 2 m, encontre a taxa com que a agua esta sendo bombeadapara dentro.

Solucao:

2 m = 200 cm

600 cm

800 cm

A variacao do volume de agua e dada pela formula

dv

dt= Taxa que entra− Taxa que sai

dv

dt= Taxa que entra− 10000

Para determinar a taxa que entra devemos saber o valor de dv/dt.

V =4

3πrh

Do problema sabemos que4

r=

6

he que r =

2

3h e portanto

V =1

3π

(2h

3

)2

h =4πh3

27

que derivando implicitamente obtemos

dv

dt=

4πh2(dh/dt)

9= Taxa que entra − 10000

logo a taxa de entrada no momento em que a altura era 200 cm era

Taxa que entra =

(4π(200)220

9+ 10000

)cm3/min

14


Exemplo 14Um corredor corre em uma trajetoria circular de raio 100 m a uma velocidade constante de

7 m/s. Um outro indivıduo esta parado a uma distancia de 200 m do centro da pista. Qual ataxa de variacao da distancia entre os dois quando esta distancia era 200 m?

Solucao:

Observe o esquema a seguir

100 m

200 mθ

x

y z

O problema e que nao sabemos exatamente a posicao dos dois corredores. Entao nao podemosusar o teorema de Pitagoras. Vamos usar a lei dos cossenos para expressar a distancia entre osdois:

z2 = x2 + y2 − xy · cosθ

Derivando implicitamente e levando em conta que x e y nao variam no tempo chega-se a:

2zdz

dt= 104 · 2(senθ)

dθ

dt

dz

dt=

104

z(senθ)

dθ

dt

dz

dt=

104

200(senθ)

dθ

dt

dz

dt= 50(senθ)

dθ

dt

Da fısica sabemos que s = rθ.

ds

dt= r

dθ

dt

7 m/s = (100 m)dθ

dt

dθ

dt= 0.07 rad/seg

sabendo que a distancia entre eles era 200 m podemos determinar o angulo θ a saber:

2002 = 1002 + 2002 − 2 · 104cosθ

cosθ =1

2

15


implicando que θ = 60◦. Assim:

dz

dt= 50 · sen(60◦) · 0.07 ≈ 3.032 m/s

Exemplo 15A equacao de demanda de uma determinada camisa e 2px+ 65p− 4950 = 0, onde x centenas

de camisas sao demandadas por semana quando p for o preco unitario. Se a camisa estiver sendovendida esta semana $ 30 e o preco estiver crescendo a uma taxa de $ 0.20 por semana, ache ataxa de variacao na demanda.

Solucao:A equacao e a seguinte:

2px+ 65p− 4950 = 0

Nao ha constantes no problema, pois tanto x como p variam com o tempo. Deste modo naoha substituicoes a fazer.

Derivando a equacao implicitamente chega-se a:

2dp

dtx+ 2p

dx

dt+ 65

dp

dt= 0

Como p = 30 edp

dt= 0.2 entao:

2(0.20)x+ 2(30)dx

dt+ 65(0.20) = 0

dx

dt= −65(0.20) + 2(0.20)x

2 · 30

Para descobrir o valor de x usamos a equacao inicial.

2px+ 65p− 4950 = 0

2(30)x+ 65(30)− 4950 = 0⇒ x = 50

Portanto

dx

dt= −65(0.20) + 2(0.20)(50)

2 · 30= −0.55

Decresce a taxa de 55 camisas por semana.

Exemplo 16: Uma lampada esta pendurada a 4,5m de um piso horizontal. Se um homemcom 1,80m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade de 1,5m/s:

a)qual a velocidade de crescimento da sombra?

b)com que velocidade a ponta da sombra do homem esta se movendo?

16


Solucao:

O problema envolve uma semelhanca de triangulos.

A D C

E

B

Onde:

AD = y

DC = x

AB = 4,5m

DE = 1,80m

dy/dt = 1,5 m/s

dx/dt = ? Item (a)

d(x + y)/dt = ? Item (b)

Da semelhanca entre os triangulos ∆ABC e ∆CDE temos que:

AC

AB=DC

DE

(x+ y)

4, 5=

x

1, 80

x

(x+ y)= 0, 4

x = 0, 4x+ 0, 4y

0, 6x = 0, 4y

Como queremos achar dx/dt, derivamos em ambos os lados em relacao ao tempo(t):

0,6(dx/dt) = 0,4(dy/dt)

dx/dt = 0,4(dy/dt)

0, 6

17


dx/dt = (0, 4 · 1, 5)/0, 6

dx/dt = 1 m/s (Primeira resposta).

A velocidade com que a ponta da sombra do homem esta se movendo e a derivada da suadistancia horizontal ate a lampada em relacao ao tempo, portanto e o mesmo que derivar x + yem relacao a t.

d(x + y)/dt = dx/dt + dy/dt

d(x + y)/dt = 1,5 + 1

d(x + y)/dt = 2,5 m/s

Respostas:

(a) 1,0 m/s

(b) 2,5 m/s

Exemplo 17: Um radar da polıcia rodoviaria esta colocado atras de uma arvore que fica a12 metros de uma rodovia que segue em linha reta por um longo trecho. A 16 metros do pontoda rodovia mais proximo do radar da polıcia, esta um telefone de emergencia. O policial mira ocanhao do radar no telefone de emergencia. Um carro passa pelo telefone e, naquele momento, oradar indica que a distancia entre o policial e o carro esta aumentando a uma taxa de 70 km/h.O limite de velocidade naquele trecho da rodovia e de 80km/h. O policial deve ou nao multar omotorista?

Solucao:

O problema acima e esquematizado na figura abaixo:

Radar12m

Telefone

16m

z2 = x2 + y2

Como a distancia horizontal entre a rodovia e o radar se mantem constante.

z2 = 122 + y2

z2 = 144 + y2

18



2zdz

dt= 0 + 2y

dy

dt

e evidenciando dy/dt

dy

dt=

2z(dz/dt)

2y

dy

dt=z(dz/dt)

y

e finalmente substituindo os valores chega-se ao resultado.

dy

dt=

(70)(122 + 162)0.5

16= 87.5

Como o limite e de 80 Km/h e a velocidade do carro e de 87.5 km/h a nao ser que o motoristatenha uma boa desculpa ele deve ser multado.

Exemplo 18: Considere um balao meteorologico a ser lancado de um ponto a 100 metrosde distancia de uma camera de televisao montada no nıvel do chao. A medida em que o balaosobe, aumenta a distancia entre a camera e o balao e o angulo que a camera faz com o chao.

Se o balao esta subindo a uma velocidade de 6 m/s, pergunta-se:

(a) Quando o balao estiver a 75m de altura, qual a velocidade com que o balao seafasta da camera?

(b) Decorridos 5 segundos apos o lancamento, para filmar a subida do balao, com quevelocidade a camera esta girando?

Solucao de a:

Para resolver o item (a), podemos usar a funcao seno para obter uma equacao que relacionaas varaveis d (distancia horizontal entre a camera e o balao), h (distancia vertical entre o balaoe o solo) e θ (angulo da camera com a horizontal). Assim temos que:

senθ =h

z

Onde z e o comprimento da reta que liga a camera diretamente ao balao.

Fazendo a derivada da funcao e evidenciando dθ/dt

dθ

dt=

(dh/dt)z − (dz/dt)h

cos(θ)z2

Pelo teorema de Pitagoras quando d = 100 e h = 75 entao z = 125.

z =√

1002 + 752

19


Entao:

dθ

dt=

(6m/s)125− (dz/dt)75

cos(θ)(125)2

Pelo proprio teorema de Pitagoras e considerando que d = 100 permanece sempre fixo entao:

z2 = d2 + h2

z2 = 104 + h2

2(dz/dt) = 0 + 2(dh/dt)

(dz/dt) = 0 + (dh/dt)

Assim

dθ

dt=

(6m/s)125− (dz/dt)75

cos(θ)(125)2=

(6m/s)125− (dh/dt)75

cos(θ)(125)2

dθ

dt=

(6m/s)125− (6m/s)75

cos(θ)(125)2

dθ

dt=

750− 450

cos(θ)15625

dθ

dt=

300

cos(θ)15625

dθ

dt=

0.0192

cos(θ)

Ocorre que quando h = 75 o seno de θ e igual a:

senθ =75

125

Com essa informacao chegamos a primeira solucao.

dθ

dt=

0.0192

(75/125)= 0.032 Rad/s

Exemplo 19: Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s.Uma lampada esta localizada no chao a 20m da trajetoria (distancia ortogonal) e e mantidafocalizada na direcao do homem. Qual a velocidade de rotacao da lampada quando o homemesta a 15m do ponto do caminho mais proximo da lampada?

Solucao de a:

20


tgθ =x

y

Como tg(θ) =seno(θ)

cos(θ)entao tg′(θ) =

sen2(θ) + cos2(θ)

cos2(θ)dθ =

dθ

cos2(θ)

Assim:

d(θ)

cos2(θ)=dx(y)− dy(x)

y2

Pelo teorema de Pitagoras 202 = 152 + y2 que resulta em y2 = 175

Substituindo os demais valores e explicitando dθ

dθ =4(175)− 0(15)

1752cos2(θ)

dy = 0 pois, nao ha velocidade vertical por parte do homem que caminha em relacao alanterna.

dθ =4(175)− 0(15)

1752

(√175

20

)dθ ' 0.015

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