（中点連結定理の問３で学習した内容を使う）

それぞれの辺の中点，三等分点をつなげると

。

（ ）

相似比を 2回かけているので２乗になる

12

12

12

相似比 1：2 の 2 つの五角形の面積の比を，3 つの三角形に分

けて考える。個々の三角形も相似なので，個々の三角形の面積

比は 1：4。多角形の面積は，その和なので合計して 1：4。

4 4

4

( ＋ ＋ ) (4 ＋ 4 ＋ 4 )＝ 4( ＋ ＋ )

半径 と の円を考えると，相似比は ：

面積はπ とπ なので，面積比は ：

問１．次の各問いに答えなさい。

(ｱ)△ ABC∽△ DEFで相似比が 1：5，△ ABCの面積が 4 cm2

のとき，△ DEFの面積を求めなさい。

(ｲ)△ ABC∽△ DEFで相似比が 2：3，△ ABCの面積が 8 cm2

のとき，△ DEFの面積を求めなさい。

問２．相似な 2つの図形 F，Gがあり，相似比は 5：3です。こ

のとき、次の問いに答えなさい。

(ｱ) Gの面積が 90 cm のとき，Fの面積を求めなさい。

(ｲ) Fの面積が 200 cm のとき，Gの面積を求めなさい。

問３．相似な平面図形での，相似比と面積比の関係をまとめま

した。( )にあてはまる数字を書きなさい。

相似比が 1：2 なら 面積比は( )：( )

相似比が 1： なら 面積比は( )：( )

相似比が 2：3 なら 面積比は( )：( )

相似比が ： なら 面積比は( )：( )

問４．次の図において，BC¥DEです。△ ADEの面積を 8 cm

とするとき，△ ABCの面積を求めなさい。

2

5

3

A

B

C

D E

B C

A

DE

2

A

D

B C

E

4

3

4

8

3

A

C

DE

答え．問１．

(ｱ)相似比が 1：5なので，面積比は 1：25

1：25＝ 4： ，△ DEFの面積は 25× 4＝ 100 cm2

× 4

(ｲ)相似比が 2：3なので，面積比は 4：9

4：9＝ 8： ，△ DEFの面積は 9× 2＝ 18 cm2

× 2

問２．相似な 2つの図形 F，Gがあり，相似比は 5：3です。

(ｱ) Gの面積が 90 cm のとき，Fの面積を求めなさい。

相似比が 5：3なので，面積比は 25：9

25：9 ＝ ：90 ，Fの面積は 25× 10＝ 250 cm2

× 10

(ｲ) Fの面積が 200 cm のとき，Gの面積を求めなさい。

25：9 ＝ 200： ，Gの面積は 9× 8＝ 72 cm2

× 8

問３．相似な平面図形での，相似比と面積比の関係

相似比が 1：2 なら 面積比は 1：4

相似比が 1： なら 面積比は 1：

相似比が 2：3 なら 面積比は 4：9

相似比が ： なら 面積比は ：

問４．△ ADEの面積を 8 cm とするとき，△ ABCの面積

4：9＝ 8： 4：25＝ 8：

× 2 × 2

＝ 18 ＝ 50

4 ：7 ＝ 8： 1 ：2 ＝ 8：

16：49＝ 8： 1 ：4＝ 8：

÷ 2 × 8

＝ 24 5 ＝ 32

2

3

A DE

D

2A

E

5

CB C

BC

3

B C

D E 8

A

443

DA E

問５．次の各図において，△ ABCの面積を 12 cm とするとき，

△ ACDの面積を求めなさい。

(ｱ) (ｲ)

(ｳ) (ｴ)

問６． ABCDにおいて，AE：ED＝ 2：1で，

△ EFDの面積が 2 cm のとき，次の各面積を求めなさい。

(ｱ)△ CFDの面積

(ｲ)△ BCFの面積

(ｳ) ABCDの面積

2 1

34

A

B

C

D

A

B C DA

B

C

C

D

3 5 1 3

A

B

D

A

B C

DE

F

問７．△ ABC の辺 BC に平行な直線が辺 AB を 2：1 の比に

分けています。△ ABC の面積が 45 cm のとき，図の２つの

部分 ， の面積を求めなさい。

問８．長方形 ABCD があります。辺 DC の中点を E とし，線分

AE，BD で長方形を図のように、ア，イ，ウ，エの４つの部

分に分けました。アの面積を S とするとき，イ，ウ，エの面

積を，それぞれ Sを使って表しなさい。

イ

ア

ウ

エ

B C

A

B C

A D

EF

問９．∠ A＝ 90°，AB＝ 20 cm，AC＝ 15 cm，BC＝ 25 cm

の直角三角形 ABCで，Aから BCに垂線をひき，その交点を H

とするとき，△ ABCと△ ABHの面積の比を求めなさい。

問10．点 Oを中心として，半径が 10 cm，20 cm，30 cmの 3

つの円があります。このとき，B の部分の面積と C の部分の

面積は，それぞれ，Aの部分の面積の何倍になりますか。

A

B CH

AB

C

O

答え．問５．△ ABCの面積が 12 cm のとき，△ ACDの面積

(ｱ) (ｲ)

12÷ 2＝ 6 cm 12÷ 4＝ 3 cm

(ｳ) (ｴ)

12× ＝ 20 cm 12× 3＝ 36 cm

問６．△ EFDの面積が 2 cm

(ｱ)△ CFD

2× 3＝ 6 cm

53

A

34

B

D

2 1B DACC

A

B

C

D

C

D

A

3 5 1 3B

B C

A E D

F

3

2 1

問６．△ EFDの面積が 2 cm

(ｲ)△ BCFの面積

相似比 1：3

面積比 1：9

2× 9＝ 18 cm

あるいは，(ｱ)と底辺の比を利用して

6× 3＝ 18 cm でも良い

問６．△ EFDの面積が 2 cm

(ｳ) ABCDの面積

(6＋ 18)× 2＝ 48 cm 6 cm

18 cm

問７．辺 BCに平行な直線が辺 ABを 2：1の比に分ける。

△ ABCの面積が 45 cm のとき，図の 2つの部分 ， の面積

と( ＋ )は相似

相似比は 2：3 面積比は 4：9

：45＝ 4：9

× 5

＝ 4× 5＝ 20 cm

＝ 45 － 20＝ 25 cm

B C

A

B C

F

B C

A E D

F

3

A E D1

問８．アの面積を Sとするとき，イ，ウ，エの面積

底辺の比より， イ

イはアの 2倍なので 2 S ② ア

ウはイの 2倍なので 4 S ウ ①

(ア：ウ＝ 1：4でも OK)

長方形の半分で 6 S エ

エは 6 S－ S＝ 5 S

問９．∠ A＝ 90°，AB＝ 20 cm，AC＝ 15 cm，BC＝ 25 cm

△ ABCと△ ABHの面積の比

△ ABC∽△ ABH

相似比 25：20＝ 5：4

面積比は 25：16

問10．半径が 10 cm，20 cm，30 cmの 3つの円があります。B

の部分の面積と Cの部分の面積は，Aの部分の面積の何倍

A∽(A＋ B)∽(A＋ B＋ C)

相似比は，1：2：3

面積比は，1：4：9

B の部分の面積は，4 － 1 ＝ 3

Aの部分の面積の 3倍

C の部分の面積は，9 － 4 ＝ 5

Aの部分の面積の 5倍

FE

B C

AB

C

O

2

1

A D

A

B H C

20 15

25

空間でも、平面と同じように、図形を拡大したり縮小したり

して、相似な立体を作ることができる。四面体 ABCD を 2 倍に

した四面体 A'B'C'D'を作るには，OA：OA'＝ OB：OB'＝ OC：

OC'＝ OD：OD'＝ 1：2とすれば良い。

＜説明＞

平面図形と同じ様に考えると

A，B，Cは OA'，OB'，OC'のそれぞれ中点なので，

中点連結定理より，OA：OA'＝ OB：OB'＝ 1：2，

また，∠ AOB＝∠ A'OB'より，

△ OAB∽△ OA'B' になるので，AB：A'B'＝ 1：2 … ①

同様にして，△ OBC ∽△ OB'C'より，BC：B'C'＝ 1：2 … ②

同様にして，△ OCA ∽△ OC'A'より，CA：C'A'＝ 1：2 … ③

①，②，③より，3組の辺の比がすべて等しいので，

△ ABC ∽△ A'B'C'となり，

同様に， ので，

立体として全体を見ると，四面体 ABCD ∽四面体 A'B'C'D'

となり，その となる。

O

A

B

C

D

A'

B'

C'

D'

となる理由は，

△ ABCの面積を とすると，△ A'B'C'の面積は 4

△ ACDの面積を とすると，△ A'C'D'の面積は 4

△ ABDの面積を とすると，△ A'B'D'の面積は 4

△ BCDの面積を とすると，△ B'C'D'の面積は 4 となり

四面体 ABCDの表面積は， ＋ ＋ ＋

四面体 A'B'C'D'の表面積は，4 ＋ 4 ＋ 4 ＋ 4

＝ 4( ＋ ＋ ＋ )

相似な２つの立体では，

① 立体の相似比は，対応する線分の長さの比の値である。

② 対応する辺の長さの比は，相似比に等しい。

③ 対応する角の大きさは，それぞれ等しい。

④ 対応する面は，それぞれ相似である。

対応する面の相似比は，もとの立体の相似比に等しい。

直方体 F ∽ 直方体 G 相似比は 1：2とするとき

F G

22

2

・Fの体積：Gの体積＝ 1：8

Gには，直方体 Fが 8個あるので 8倍

縦と横と高さは，それぞれが 2倍なので 2× 2× 2＝ 8

体積を文字で計算すると ： 8

・Fの底面積：Gの底面積＝ 1：4

Gの底面には，直方体 Fの底面が 4個あるので 4倍

底面の縦と横がともに 2倍なので 2× 2＝ 4

底面積を文字で計算すると ： 4

・Fの側面積：Gの側面積＝ 1：4

4 つの側面は，それぞれが 4 倍の面積で，その和なので 4 倍

側面積を文字で計算すると，

＋ ＋ ＋ ： 4 ＋ 4 ＋ 4 ＋ 4

＋ ＋ ＋ ： 4( ＋ ＋ ＋ )

・Fの表面積：Gの表面積＝ 1：4

底面積の比も，側面積の比も 1：4で，その和なので 4倍

表面積を文字で計算すると，側面積＋底面積

＋ ＋ ＋ ＋ × 2 ：

4( ＋ ＋ ＋ ＋ × 2)

問１．半径が ，R である 2つの球の表面積比と体積比を求め，

相似比の 2乗，相似比の 3乗になっているか確かめよう。

相似な立体図形では，次のことがいえる。

相似比が 1：2のとき， 表面積比は 1：4， 体積比は 1：8

相似比が 1： のとき， 表面積比は 1： ， 体積比は 1：

相似比が 2：3のとき， 表面積比は 4：9， 体積比は 8：27

相似比が ： のとき，表面積比は ： ，体積比は ：

◎ 図形の体積や表面積を相似比を利用して求める

問２．相似な 2 つの三角錐 F，G があり，その相似比は 3：2。

(ｱ) Gの表面積が 40 cm ，体積が 16 cm のとき，Fの表面積，

体積を求めなさい。

(ｲ) Fの表面積が 180 cm ，体積が 81 cm のとき，Gの表面積，

体積を求めなさい。

R

問３．相似な 2 つの立体 F，G があって，その相似比は 3：4。

(ｱ) Gの表面積が 80 cm のとき，Fの表面積を求めなさい。

(ｲ) Fの体積が 270 cm のとき，Gの体積を求めなさい。

問４．相似な 2 つの円柱 F，G があり，その高さの比は 2：3。

(ｱ) Fと Gの底面の周の長さの比を求めなさい。

(ｲ) Fと Gの表面積の比を求めなさい。

(ｳ) Fの体積が 80 cm ならば，Gの体積は何 cm ですか。

問５．正方形 ABCDと正方形 EFGHは円 Oに接しているとき，

正方形 ABCDと正方形 EFGHの面積比を求めなさい。

A

B C

DE

F

G

H

O

答え．問１．

表面積比は，4π ：4π R より， ：R

相似比の 2乗に等しくなった

体積比は， π ： π R より， ：R

相似比の 3乗に等しくなった

問２．相似比は 3：2，表面積比は 9：4，体積比は 27：8

F：G

(ｱ) 9：4＝ F：40 27：8＝ F：16

× 10 × 2

Fの表面積は，9× 10＝ 90 cm

Fの体積は，27× 2＝ 54 cm

F：G

(ｲ) 9：4＝ 180：G 27：8＝ 81：G

× 20 × 3

Gの表面積は，4× 20＝ 80 cm

Gの体積は，8× 3＝ 24 cm

問３．相似比は 3：4，表面積比は 9：16，体積比は 27：64

F：G

(ｱ) 9：16＝ F：80 Fの表面積は，9× 5＝ 45 cm

× 5

(ｲ) 27：64＝ 270：G Gの体積は，64× 10＝ 640 cm

× 10

43

43

問４．相似な 2つの円柱 F，Gがあり，その高さの比は 2：3

(ｱ) Fと Gの底面の周の長さの比を求めなさい。

長さの比は，相似比に等しくなるので，2：3

(ｲ) Fと Gの表面積の比を求めなさい。

面積比は，相似比の 2乗になるので，4：9

(ｳ) Fの体積が 80 cm ならば，Gの体積は何 cm ですか。

体積比は，相似比の 3乗になるので，8：27＝ 80：G

× 10

Gの体積は，27× 10＝ 270 cm

問５．正方形 ABCDと正方形 EFGHは円 Oに接しているとき，

正方形 ABCDと正方形 EFGHの面積比を求めなさい。

正方形 ABCDの面積 2× 2＝ 4

正方形 EFGHの面積

2× 2÷ 2＝ 2

面積比 2：1

A DE G

O

BF

CH

2

2

練習問題

問１．相似な円柱の形のアイスクリーム A，B があります。600

円で，A を 6 個買うのと B を 2 個買うのとでは，どちらがお

得ですか。

A B

1個 100円 1個 300円

問２．底面が合同な円で，高さが 12 cmの円錐と円柱の容器が

あります。この円錐の容器に深さの 6 cm まで入っている水

を円柱の容器に入れると，水の深さは、何 cmになりますか。

12cm8cm

6cm

9cm

12cm 12cm

6cm

問３．円錐の容器があります。いま，この容器に 2 cm の深さ

まで水が入っています。このとき，次の問いに答えなさい。

(ｱ)容器の を求めなさい。

(ｲ)水が入っている部分と，

全体の容器との

相似比を求めなさい。

(ｳ)容器に入っている水の体積を求めなさい。

(ｴ) の半分の水を入れると，水の深さは何 cmになりますか。

(ただし、0.8 がおよそ 0.5であることを利用して解きなさい。)

6cm

2cm

8cm

問４．コップいっぱいに入れた水を，右のような円錐の形をし

た容器に入れたところ，容器の深さの

同じコップを使って，この容器を満水にするに

は， 水を入れることが必要ですか。

問５．イギリスの小説家のスイフトが著した「ガリバー旅行記」

には，次のような内容の話がある。「ガリバーは航海の途中

で嵐にあって，ある小人の国にたどり着く。その小人の国で

は，人や草木などすべてが，ガリバーの国のものと形は同じ

であったが，大きさは 12 分の 1 であった。そこで，その小

人の国の王様は，ガリバーのために，1728 人分の食料と飲み

物を用意することにした。」上の話の中 1728 人分という数量

は，どのように考えて計算したものと考えられますか。

25

⑤

②

A

B

問６．次の図より，各問いに答えなさい。

(ｱ)△ AOCと△ ODCの面積の比を求めなさい。

(ｲ)△ AOCの面積が 10cm2のとき，

△ ODCの面積を求めなさい。

(ｳ)△ OABと△ OCBの面積の比を求めなさい。

(ｴ)△ OAB の面積が 8cm2 のとき△ OCB の面積を求めなさい。

(ｵ)△ AOBの面積と△ ADCの面積の比を求めなさい。

(ｶ)△ AOBの面積が 12cm2のとき△ ADCの面積を求めなさい。

A

B

C

DO 3－2

答え．問１．Aを 6個買うのと Bを 2個買うのとでは？

相似比が 2：3なので，体積比は 8：27

A を 6 個買うと，8 × 6 ＝ 48，B を 2 個買うと，27 × 2 ＝ 54

したがって，同じ 600円では，Bを 2個買う方がお得です。

無駄な計算ですが，体積を求めても同じ結果になります。

問２．水を円柱の容器に入れると，水の深さは何 cm になる？

円錐 2つの相似比が 1：2より，体積比は 1：8なので，

入っている水の量は，円錐全体に入る水の量の

円錐全体に入る水の量は，円柱の容器に入る水の量の

入っている水の量は，円柱の容器に入る水の量の

水の深さは，12cm× ＝ cm

18

13

241

241 1

2

12cm 12cm

6cm

問３．円錐の容器に 2 cmの深さまで水が入っています。

(ｱ)容器の は，4× 4×π× 6× ＝ 32π cm

(ｲ)水が入っている部分と，全体の容器との相似比は，1：3

(ｳ)水が入っている部分と，全体の容器との体積比は，1：27

容器に入っている水の体積は，32π× ＝ cm

(ｴ) の半分の水を入れたので，体積比は 1：2＝ 0.5：1

0.8 がおよそ 0.5なので

体積比から相似比を考えると，相似比は 0.8：1

の半分の水を入れると，水の深さは 6 × 0.8 ＝ 4.8cm

問４．容器の深さの 満水に

するには， 水を入れることが必要ですか。

相似比が 2：5なので，

体積比 B：(A＋ B)＝ 23：53＝ 8：125

したがって，体積比 B：A＝ 8：117

コップ一杯分は 8なので，117÷ 8＝ 14.625

したがって，少なくともあと 15回水を入れる

25

13

271 32

27π

問５．形は同じであったが，大きさは 12 分の 1。ガリバーのた

めに，1728人分の食料と飲み物を用意した。

洋服の布なら，表面積で 2乗だが，

食料は体積と考えて 3乗するので，12× 12× 12＝ 1728

問６．次の図より，各問いに答えなさい。

(ｱ)△ AOCと△ ODCの面積の比は，

高さが DCで共通なので，底辺の比 AO：ODより 2：3

(ｲ)2：3＝ 10：△ ODC

× 5 △ ODCの面積は，3× 5＝ 15cm2

(ｳ)△ OABと△ OCBの面積の比は，

底辺が OBで共通なので，高さの比 AO：ODより 2：3

(ｴ)2：3＝ 8：△ OCB

× 4 △ OCBの面積は，3× 4＝ 12cm2

(ｵ)△ AOBと△ ADCは相似で，相似比は AO：ADより 2：5

△ AOBの面積と△ ADCの面積の比は 4：25

(ｶ)4：25＝ 12：△ ADC

× 3 △ ADCの面積 25× 3＝ 75cm2

B

OD3

A－2

C