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El archivo PDF contiene ejercicio de como hallar las funciones de transferencia, aplicación de la transformada de Laplace entre otras con aplicación en MATLABTRANSCRIPT
U N I V E R S I D A D D E I B A G U É I B A G U É - T O L I M A
15 DE OCTUBRE DE 2015 PRESENTADO A:
RICARDO E. TRONCOZO
MODELOS
MATEMATICOS DE
SISTEMAS FISICOS ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL, FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
APLICADOS A POLOS COMPLEJOS Y POLOS
DOBLES
KELLY DANIELA MORALES C. CÓD. 2420122017
CIRCUITOS IV
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
1
OBJETIVOS
Implementar el conocimiento teórico previamente adquirido sobre funciones de transferencia de un sistema.
Aplicar análisis a sistemas para hallar sus respectivos modelos matemáticos en forma de Ecuación diferencial.
Transformar dicha EDL en función de (s), aplicando la transformada de Laplace.
Implementar dichas ecuaciones y análisis en la elaboración de códigos y diagramas de bloques con sus
respectivas respuestas paso, escalón y rampa.
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
2
Ley de Newton Ley de Hooke Ley de amortiguamiento
Viscoso
1. POLOS COMPLEJOS
En base al siguiente sistema físico [modelo muy simplificado de un coche]
Figura 1. Sistema físico
MODELO MATEMATICO EN FORMA DE EDL.
( ) ( )
Ahora bien, dividiendo miembro a miembro por m y reorganizando términos tenemos:
Criterios de relaciones:
m=1000kg b=2000N/m/s k=5000Nm
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
3
Aplicando Laplace a Ecu.7 y haciendo el debido despeje tenemos:
CALCULO DE G(s)
Despejando para obtener G(s):
Sabemos que la transformada de Laplace de un paso es:
{(t)}=
Por tanto multiplicamos nuestra G(s) con nuestra transformada de Laplace de un paso:
√
Para llevar a cabo la solución de los polos complejos haremos uso de la siguiente igualdad las transformas de Laplace
Siguientes:
( )
{ }
{ }
Ecus.13
Ahora bien procedemos a realizar fracciones parciales utilizando de manera explícita los polos complejos del sistema:
Sean X+JY y S+ +J , dos complejos, si le sumamos sus conjugados obtenemos una “formula” para aplicar la
Laplace inversa a dichos polos complejos:
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
4
Nota: si observamos las dos partes de la suma anterior,
Su parte roja son { } { } Respectiuvamente.
Como tenemos dos polos complejos repetidos, entonces decimos que el sistema es ESTABLE.
Ahora bien, para Y(s) tenemos entonces:
Aplicando Fracciones parciales para el cálculo de las constantes K1, K2 y K3
*
+ 17
[
]
[
]
[
]
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
5
[
] [
] [
]
Racionalizando el denominador [multiplicando por el conjugado]
[
] [
] [
]
Por tanto, por medio de las propiedades de los complejos y sus conjugados sabemos que
Teniendo la Ecu.15 y las Ecu. 22-23
Comparando Ecu.23 y 15
Reemplazando en Ecu. 15
( )
( )
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
6
Como debemos obtener las ecuaciones del coseno amortiguado y el Seno amortiguado respectivamente debemos hallar
la forma de tener dicha igualdad en la Ecu. 25
(
)
CALCULO DE LA EDL USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SU INVERSA.
o Como notamos tenemos en la Ecu.26 un Coseno y un Seno amortiguado y debemos a estas partes aplicar la
transformada de Laplace, pero como ya lo vimos con anterioridad sabemos que para éstas se cumplen las
Ecus.13, por tanto:
(
)
o Finalmente aplicando la transformada de Laplace Inversa:
Otro Método [sin usar de manera explícita los números complejos].
Nota:
( )
Comparamos las potencias de S
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
7
Polos complejos
S=-1+j2
S=-1-j2
Así pues, vemos que se cumplen Ecu.27 y Ecu.28
APLICACIÓN DE RESULTADOS EN MATLAB
o CÓDIGO
%INTRODUCCION A LOS POLOS COMPLEJOS
%MODELO SIMPLIFICADO DE UN COCHE
%DANIELA MORALES [19/09/15]
clc,clear all,close all;
%Declaramos o asignamos valores a las a variables o elementos del modelo
m=1000;
b=2000;
k=5000;
open('POLOSCOMPLEJOS_1')%abre el modelo
sim('POLOSCOMPLEJOS_1')%simula el modelo
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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o DIAGRAMA DE BLOQUES
Figura 2. Diagrama de bloques del modelo simplificado de un coche para analizar los polos complejos en una EDL
Figura 2.1 Subsistema del DIA.BLO. Para una respuesta paso
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
9
Figura 2.2 Subsistema del DIA.BLO. Para una respuesta rampa
Figura 2.3 Subsistema del DIA.BLO. Para una respuesta impulso
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
10
o GRAFICAS DE LA RESPUESTA DE LOS SUB SISTEMAS
Figura 3. Graficas de una respuesta Paso, Rampa e Impulso respectivamente para un sistema eléctrico con EDL con
polos complejos.
2. POLOS DOBLES
Un sistema eléctrico tiene como modelo matemático la siguiente E.D.L:
MODELO MATEMATICO EN FORMA DE EDL.
Calcular la salida del sistema si:
a) 1, para t>0
Vi(t)=
0, para t<0
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
11
1, para t≥0
b) Vi(t)=
0, para t≤0
Aplicando transformada de Laplace y reorganizando terminos
CALCULO DE G(s)
Despejando para obtener G(s):
Aplicando División sintética a:
Por tanto analizando vemos que tenemos:
1 polo real en S+1=0 S= -1
(S+1)(S+1)=0
Hay 3 polos Repetidos
Nos queda entonces que Vo(s)
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
12
Aplicando Fracciones parciales para el cálculo de las constantes K1,y K2, y el teorema de los residuos para K3 y K4
tenemos:
[
]
[
]
[
[ ]]
[
[ ] [
]]
[
[
]]
[
]
[
]
[
[ ]]
[
[ ] [
]]
[
[
]]
[
(
)
]
[
]
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
13
Por tanto reemplazando en Ecu.7 los valores respectivos de k1, k2, k3 y k4
Basándonos en lo siguiente:
{
}
Tenemos Finalmente aplicando la transformada inversa de Laplace:
{ } {
} {
} {
} {
}
+2
APLICACIÓN DE RESULTADOS EN MATLAB
o CÓDIGO
%INTRODUCCION A LOS POLOS DOBLES
%MODELO ELECTRICO
%DANIELA MORALES [19/09/15]
clc,clear all,close all;
%Declaramos o asignamos valores a las a variables o elementos del modelo
O=3;
I=-2;
open('POLOSDOBLES_1')%abre el modelo
sim('POLOSDOBLES_1')%simula el modelo
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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o DIAGRAMA DE BLOQUES
Figura 4. Diagrama de bloques del modelo de un sistema eléctrico para analizar los polos dobles en una EDL
Figura 4.1 Subsistema del DIA.BLO. Para una respuesta paso
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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Figura 4.2 Subsistema del DIA.BLO. Para una respuesta rampa
Figura 4.3 Subsistema del DIA.BLO. Para una respuesta impulso
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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o GRAFICAS DE LA RESPUESTA DE LOS SUB SISTEMAS
Figura 5. Graficas de una respuesta Paso, Rampa e Impulso respectivamente para un sistema eléctrico con EDL con
polos dobles.
3. EDL CON DERIVADAS A LA ENTRADA Y SALIDA
Un sistema eléctrico tiene como modelo matemático la siguiente E.D.L:
MODELO MATEMATICO EN FORMA DE EDL.
Calcular la salida del sistema si:
c) 1, para t>0
Vi(t)=
0, para t<0
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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1, para t≥0
d) Vi(t)=
0, para t≤0
Aplicando transformada de Laplace y reorganizando terminos
CALCULO DE G(s)
Despejando para obtener G(s):
Aplicando División sintética a:
Por tanto analizando vemos que tenemos:
1 polo real en S+1=0 S= -1
(S+1)(S+1)=0
Hay 3 polos Repetidos
Nos queda entonces que Vo(s)
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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Aplicando Fracciones parciales para el cálculo de las constantes K1,y K2, y el teorema de los residuos para K3 y K4
tenemos:
[
]
[
]
[
[ ]]
[
[ ] [
]]
[
[
]]
[
]
[
]
[
[ ]]
[
[ ] [
]]
[
[
]]
[
(
)
]
[
]
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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Por tanto reemplazando en Ecu.7 los valores respectivos de k1, k2, k3 y k4
Basándonos en lo siguiente:
{
}
Tenemos Finalmente aplicando la transformada inversa de Laplace:
{ } {
} {
} {
} {
}
+2
APLICACIÓN DE RESULTADOS EN MATLAB
o CÓDIGO
%INTRODUCCION A LAS EDL CON DERIVADAS EN LA ENTRADA
%DANIELA MORALES [15/10/15]
clc,clear all,close all;
%Declaramos o asignamos valores a las a variables o elementos del modelo
G1=27;
G2=52;
G3=196;
G4=8;
G5=21;
G6=10;
open('EDL_Derivadasenlaentrada_1')%abre el modelo
sim('EDL_Derivadasenlaentrada_1')%simula el modelo
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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o DIAGRAMA DE BLOQUES
Figura 5. Diagrama de bloques de un sistema para el análisis de EDL con derivadas a la entrada
Figura 5.1 Subsistema del DIA.BLO. Para una respuesta paso
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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Figura 5.2 Subsistema del DIA.BLO. Para una respuesta rampa
Figura 5.3 Subsistema del DIA.BLO. Para una respuesta impulso
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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o GRAFICAS DE LA RESPUESTA DE LOS SUB SISTEMAS
Figura 6. Graficas de una respuesta Paso, Rampa e Impulso respectivamente para un sistema eléctrico con EDL con
polos dobles.
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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DIAGRAMA DE BLOQUES [DIA.BLO]
1. SISTEMA RLC
Hallar el DIA.BLO del sistema mostrado en la siguiente figura
Figura 7. Sistema RLC
Aplicamos a cada elemente las leyes físicas
o Puesto que según el circuito se Vc(t) = Vo(t) entonces
Punto de suma
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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o Aplicando la transformada de LaPlace con C.I=0 y finalmente reorganizando para las ECU.4-5
(
) ( )
o Convertimos o asignamos a cada Ecuación transformada su respectivo bloque
Figura 8. Diagrama de bloques para las ecuaciones 5 y 4 respectivamente
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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o Formamos el diagrama de bloques principal
Figura 9. Diagrama de Bloques Final
OBTENER LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA G(S) A PARTIR DEL DIAGRAMA DE BLOQUES
ANTERIOR USANDO LAS REGLAS DEL ALGEBRA DE BLOQUES.
Figura 10. Diagrama final
APLICANDO LA
REGLA 3
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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SOLUCIÓN
Figura 11. Aplicación regla 3
Figura 12. Aplicación de la regla 6 a la Figura 11.
Regla 6. Feedback
Donde
Por tanto la ecuación nos queda de la forma
(
)
G1(S) G2(S) R(S) W(S) G1(S). G2(S)
W(S) R(S)
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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2. HALLAR LA G(s) SIMPLIFICANDO EL DIAGRAMA DE BLOQUES UTILIZANDO ALGEBRA DE
BLOQUES.
Figura 13. Diagrama de bloques principal
o Aplicando la regla 3
Figura 14. Reducción del diagrama de bloques paso 1
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
28
o Aplicando la regla 9
Figura 15. Reducción del diagrama de bloques paso 2
o Aplicando la regla 1
Figura 16. Reducción del diagrama de bloques paso 3
APLICANDO LA
REGLA 6
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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o Aplicando la regla 6
Figura 17. Reducción del diagrama de bloques paso 4
Procedimiento matemático Aplicación regla 6
Figura 18. Reducción del diagrama de bloques, aplicación R6
APLICANDO LA
REGLA 3
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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Procedimiento matemático Aplicación regla 3
Figura 19. Reducción del diagrama de bloques, aplicación R3
Procedimiento matemático Aplicación regla 6
APLICANDO LA
REGLA 6
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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Figura 20. Función de transferencia [G(s)] hallada.
Figura 21. Sub_sistemas del la función de transferencia de la figura 20.
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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3. SISTEMA RC
Hallar la representación en forma de DIA.BLOS para el siguiente sistema de tiempo continuo.
Suponiendo que ei es la entrada y eo es la salida.
R1 R2 C1 C2
Por tanto las ecuaciones de dicho sistema son:
Ecu.1
Ecu.2
Ecu.3
Al aplicar la transformada de Laplace y considerar CI=0 tenemos por tanto
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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Ecu.4
Ecuaciones respectivamente de cada ecuación anterior
Ahora bien, eliminando I1(S) de las dos primeras ecuaciones de Ecu.4 y escribiendo Ei(s) en términos de I2(S),
Encontramos que la función de transferencia entre Eo(S) y Ei(S).
Ecu.5
Finalmente tenemos las siguientes ecuaciones a las que les aplicaremos las Reglas para armar los diagramas de bloques
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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Figura 22. DIA.BLO para Ecu. 6
Figura 23. DIA.BLO para Ecu. 7
Figura 24. DIA.BLO para Ecu. 8
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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Figura 25. DIA.BLO principal
Figura 26. Reducción DIA.BLO principal paso 1
Figura 27. Reducción DIA.BLO principal paso 2
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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Figura 28. Reducción DIA.BLO principal paso 3
Figura 29. Diagrama de bloques principal para el sistema continuo [G(s)]
MODELOS MATEMATICOS EN FORMA DE EDL Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
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Figura 30. Sub_sistemas del la función de transferencia de la figura 29.
BIBLIOGRAFIA
Ingeniería de control moderna, 5ta edición, Katsuhico Ogata
Ingeniería de control moderna, 4ta edición, Katsuhico Ogata
Ingeniería de control moderna, 3ra edición, Katsuhico Ogata
Sistemas de control moderno, 10ma edición, Dorf, Richard
Señales y sistemas, Oppenheim