taller geoplana trigonometria

TALLER DE NIVELACIN EN MATEMTICAS PARA ALUMNOS DE NUEVO INGRESO 2007

GEOMETRA PLANA Y TRIGONOMETRA Del 23 al 27 de julio

TEMARIO

1. Elementos bsicos del mtodo del mtodo deductivo

2. ngulos 2.1. Definicin y clasificacin 2.2. ngulos en grados y radianes 2.3. ngulos en rectas paralelas cortadas por una transversal

3. Tringulos 3.1. Clasificacin de tringulos 3.2. Permetro y rea de un tringulo 3.3. Rectas y puntos notables en un tringulo 3.4. Tringulos congruentes 3.5. Semejanza de tringulos

4. Paralelogramos

4.1. Definicin y clasificacin de cuadrilteros 4.2. Propiedades del paralelogramo 4.3. Rectngulo, cuadrado, rombo. Caractersticas y propiedades 4.4. Permetro y rea de paralelogramos

5. La circunferencia

5.1. Definiciones 5.2. Tangentes y secantes en una circunferencia 5.3. ngulos en una circunferencia

6. Funciones trigonomtricas

6.1. Definiciones 6.2. Funciones de ngulos complementarios y suplementarios 6.3. Funciones de ngulos conocidos (30, 45 y 60) 6.4. Funciones trigonomtricas de cualquier ngulo

7. Identidades trigonomtricas

8. Ley de senos y ley de cosenos

Total: 20 horas

BIBLIOGRAFA

1. Matemticas 3 Trigonometra y Geometra analtica bsicas May Alberto, Pech Juan , Reyna Luis Universidad Autnoma de Yucatn (Pgs. 41 146)

2. Preclculo Stewart James, Redlin Lothar, Watson Saleem. 3ra. Ed. Ed. Thomson (Pgs. 350 468)

3. Geometra plana y del espacio Wentworth Jorge, Smith David Ed. Purra, S.A. (Pgs. 1 226)

4. Geometra Rich Barnett, Serie Schaum Ed. Mac Graw Hill (Pgs. 1 - 138 y 195 242)

CALENDARIO DE ACTIVIDADES

ALGEBRA

Del 16 al 20 de julio

GEOMETRA PLANA Y TRIGONOMETRA Del 23 al 27 de julio

GEOMETRA ANALTICA

Del 30 de julio al 3 de agosto

PRECLCULO

Del 6 al 10 de agosto

HORARIO: DE 7:30 A 12:00 HORAS

Facultad de Matemticas UADY Taller de Nivelacin en Matemticas Departamento de Matemtica Educativa Mdulo: Geometra plana y Trigonometra

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1. ELEMENTOS BSICOS DEL MTODO DEDUCTIVO (DEMOSTRACIN) Proposicin. Es el enunciado de un hecho, ley, principio o de una cuestin por resolver. Axioma. Es una proposicin, que siendo evidente, no requiere demostracin. Postulado. Es una proposicin cuya verdad, aunque no tenga la evidencia de un axioma, se admite sin demostracin. Teorema. Es una proposicin cuya verdad necesita demostracin. Corolario. Es una proposicin que es consecuencia inmediata de otra, y cuya demostracin requiere poco o ningn razonamiento nuevo. Hiptesis. En un teorema, es lo que se supone dado o cierto. Es la informacin con la que se cuenta para demostrar el teorema. Tesis. En un teorema, es lo que se quiere demostrar, la expresin o propiedad geomtrica o matemtica que se deducir a partir de la hiptesis. Ejemplos de axiomas

1. Si a cantidades iguales se agregan o quitan cantidades iguales, los resultados son iguales. 2. Si cantidades iguales se multiplican o dividen por cantidades iguales, los resultados son

iguales (este axioma no se aplica cuando el divisor es cero). 3. Si cantidades iguales se elevan a una misma potencia, o si a ambas se les extrae una misma

raz, los resultados son iguales (cuando se extraen races, es preciso tomar stas con un signo, pues una raz puede tener ms de uno).

4. Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre s. 5. Toda cantidad puede reemplazarse por su igual.

6. Si una cantidad es mayor que otra, y sta mayor que una tercera, la primera es mayor que la tercera.

7. El todo es mayor que cualquiera de sus partes, e igual a la suma de sus partes. Ejemplos de postulados

1. Por dos puntos dados cualesquiera puede hacerse pasar una recta y slo una. 2. El camino ms corto entre dos puntos es la recta que los une. 3. Es siempre posible describir una circunferencia de centro y radio dados. 4. Toda figura puede hacerse cambiar de posicin sin alterar su forma ni sus dimensiones. 5. Todos los ngulos de lados colineales son iguales.

Ejemplos de corolarios

1. Dos puntos determinan una recta. 2. Dos rectas no pueden cortarse en ms de un punto. 3. Todos los ngulos rectos son iguales. 4. En un punto cualquiera de una recta puede levantarse un perpendicular a esa recta y slo

una. 5. ngulos iguales tienen complementos iguales, suplementos iguales y conjugados iguales.

2. NGULOS 2.1 Definicin y clasificacin de ngulos Definicin: Un ngulo es la figura formada por dos semirrectas que se interceptan en un punto. Las semirrectas son los lados del ngulo y el punto de interseccin es su vrtice.


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Los ngulos se clasifican segn su medida en: ngulo Definicin Ejemplos

ngulo agudo 0 < < 90 12, 45, 89 ngulo recto = 90

ngulo obtuso 90 < < 180 91, 157, 179 ngulo llano o rectilneo = 180 ngulo reflejo o entrante 180 < < 360 190, 240, 350

Pares de ngulo son:

Pares de ngulos Definicin Ejemplos ngulos complementarios y + = 90 21, 79; 0, 90 ; 45, 45 ngulos suplementarios y + = 180 115, 65 ; 2, 178 ; 50, 130

ngulos conjugados y + = 360 36, 324 ; 103, 257 ; 180, 180 2.2 ngulos en grados y radianes. Existen dos sistemas generalmente usados para medir los ngulos. En matemticas elementales el sistema ms empleado es el de la medida en grados, en ste la unidad es el grado, el cual es igual al

ngulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual a 360

1 de la longitud de la

circunferencia. El grado se subdivide en 60 minutos y el minuto en 60 segundos. Otro sistema es el de medida circular, en ste la unidad es el radin. Un radin es la medida del ngulo central de una circunferencia subtendido por un arco igual en longitud al radio de la circunferencia. Para hallar la medida en radianes correspondientes a 360, se debe encontrar el nmero de veces que se puede trazar un arco circular de longitud r a lo largo de la circunferencia. Este nmero no es racional. Como el permetro de la circunferencia es 2 r, el nmero de veces que r unidades se pueden trazar es 2 radianes corresponden a 360.

Relaciones entre grados y radianes 1) 180 = radianes

2) 1 = 180

radin .0175 radin

3) 1 radin =

180 57.29

Cuando se usa la medida angular en radianes, no debe indicarse unidades; en consecuencia, si un ngulo mide 5 radianes, se escribe = 5, en lugar de = 5 radianes. Ejercicios. Los ngulos siguientes estn dados en medida circular (radianes), expresarlos en grados.

3

14)12

6

1)11

5

23)103)9

2

1)86.1)7

3

4)6

4

)5

2

)4

6

5)3

5

7)2

3

)1

++


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Expresar los ngulos siguientes en radianes. 13) 22.5 17) 142 43 2 21) 45.6 14) 135 18) 125 23 19 22) 243.87 15) 100.28 19) 60 23) 120 16) 990 20) -720 24) 205 35 4 2.3 ngulos en rectas paralelas cortadas por un transversal. Definicin. Llmese transversal o secante de dos o ms rectas a toda recta que las corta. Sea XY la transversal que corta a las rectas AB y CD, as se forman 8 ngulos que se muestran en la siguiente figura:

Los ngulos a, d, f, g se llaman ngulos internos; los b, c, h, e, ngulos externos. Tomados en pares, d y f, a y g, se llaman ngulos alternos internos; b y h, c y e, alternos externos; b y f, c y g, e y a, h y d, correspondientes. En particular, cuando las rectas AB y CD de la figura anterior son paralelas, se cumplen las siguientes propiedades:

Los ngulos alternos internos son iguales. Los ngulos alternos externos son iguales. Los ngulos correspondientes son iguales. Los ngulos externos situados de un mismo lado de la transversal, as como los internos, son

suplementarios (en la figura, los pares e y b, h y c, f y a, d y g, son suplementarios).


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E inversamente, dadas dos rectas cortadas por una transversal, si alguna de las propiedades anteriores se cumple, esas dos rectas son paralelas. Ejercicios. 1. Considere dos rectas paralelas cortadas por una transversal tal y como se muestra en la siguiente figura:

Si 60=x , cul es el valor de cada uno de los otros siete ngulos? 2. Consideremos la figura siguiente en donde AB es paralela a CD, XY es la transversal que las corta en los puntos P y Q respectivamente:

a) Si QPBAPQ = 21 , cul es el valor en grados de cada uno de los 8 ngulos? b) Si 135=DQY , cul es el valor de los otros ngulos? c) Supngase que xDQP = y yDQY = . Cules son los valores de x e y, si 100= xy ? d) Dados yxyAPXxCQY 5

1,, === , calclese x e y. 3. En la figura siguiente:

a) Si x = 72, y = x23 . Dgase si las rectas son paralelas.

b) Si x = 73 e y x = 32. Dgase si las rectas son paralelas.

3. TRINGULOS 3.1 Conceptos bsicos y clasificacin de tringulos Un tringulo es un rea plana delimitado por tres segmentos de recta. Los elementos del tringulo son: tres vrtices, tres lados y tres ngulos. La suma de la medida de los tres ngulos es 180. A cada ngulo del tringulo le corresponde un ngulo exterior. La medida de cada ngulo exterior es igual a la suma de la medida de los dos ngulos interiores no adyacentes. La suma de la medida de los tres ngulos exteriores es 360. Clasificacin de los tringulos segn sus lados

Tringulo escaleno: Es un tringulo que tiene sus tres lados diferentes. Tringulo issceles: Es un tringulo que tiene al menos dos de sus lados iguales. Tringulo equiltero: Es un tringulo que tiene sus tres lados iguales.


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Clasificacin de los tringulos segn sus ngulos Tringulo rectngulo: Es un tringulo que tiene un ngulo recto. Tringulo obtusngulo: Es un tringulo que tiene un ngulo obtuso Tringulo acutngulo: Es un tringulo que tiene sus tres ngulos agudos. Tringulo equingulo: Es un tringulo que tiene sus tres ngulos iguales.

Ejercicio. Analiza la siguiente figura y clasifica a los tringulos ABC, ACD, BCE, BFE, AGC y ACE segn sus lados y sus ngulos (los nmeros que aparecen representan las medidas de los ngulos en grados).

3.2 Permetro y rea de un tringulo Ejercicios 1. Determine las reas de los tringulos cuyas bases y alturas son las siguientes respectivamente: a) 45mm y 2cm (en cm2) b) 48Dm y 275m (en Dm2) 2. Hllense las alturas de los tringulos cuyas reas y bases son respectivamente: a) 0.06dm2 y 4cm (en cm.) b) 150000cm2 y 0.5Dm (en Dm) 3. Calcular los permetros de los tringulos segn los casos siguientes: a) La mitad de la longitud de la base del tringulo issceles es 3.5cm y su rea es de 6300mm2 (en cm.) b) Un tringulo rectngulo con base 3m, y rea 12m2 (la base no es la hipotenusa). c) Suponiendo que los tringulos del ejercicio 1 son issceles, hallar los permetros de dichos tringulos con unidades de medida segn sus bases. 4. En un tringulo ABC, el ngulo BAC es congruente con el ngulo BCA, si AB = 5x, BC = 2x +18 y AC = x + 4, encontrar las longitudes de los lados, hallar el permetro y el rea de dicho tringulo. Formula de Hern Una forma alternativa de calcular el rea de un tringulo en funcin de sus lados, es por medio de la frmula siguiente:

))()(( cpbpapp En donde p es el semipermetro y a, b, c, son los lados del tringulo.


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Ejercicios 1. Determinar el rea de los tringulos cuyos lados son: a) 4, 5, 6. b) 5, 6, 7.

2. Sabiendo que el rea de un tringulo con lados 1 y 2 es 4

15, hallar la longitud del tercer lado

(dos soluciones). Qu tipo de tringulos son cada uno de ellos con respecto a sus lados? 3. Sabiendo que el rea de un tringulo con lados 3 y 4 es 6, hallar la longitud del tercer lado. Qu tipo de tringulo es segn sus ngulos? 3.3 Rectas y puntos notables en un tringulo

Mediana. En un tringulo la mediana es el segmento trazado desde el vrtice hasta el punto medio del lado opuesto. El punto de interseccin de las tres medianas de un tringulo se llama baricentro.

Altura. En un tringulo la altura es la perpendicular trazada desde un vrtice, hasta el lado opuesto o a su prolongacin. El punto donde concurren las tres alturas de un tringulo se llama ortocentro.

Bisectriz. Recta que divide al ngulo en dos partes iguales. El punto donde concurren las tres bisectrices se llama incentro.

Mediatriz. Es la perpendicular en el punto medio de cada lado del tringulo. El punto donde concurren las tres mediatrices se le conoce como circuncentro.

3.4 Tringulos congruentes Dos tringulos se dicen que son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamao. Si dos tringulos son congruentes sus lados y sus ngulos correspondientes son iguales. El smbolo de congruencia es . Si el ''' CBAABC entonces:

AB = AB, BC = BC, AC = AC; A = A B = B C = C Para establecer que dos tringulos son congruentes se utilizan los criterios siguientes: Criterio LAL. Si dos lados de un tringulo y el ngulo comprendido entre ellos son respectivamente iguales entonces los tringulos son congruentes.


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Criterio ALA. Si dos tringulos tienen iguales respectivamente un lado y los ngulos adyacentes a l, entonces los dos tringulos son congruentes. Criterio LLL. Si tres lados de un tringulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro tringulo, entonces los tringulos son congruentes. Criterio Hipotenusa-Cateto. Si la hipotenusa y un cateto de un tringulo rectngulo son respectivamente congruentes con la hipotenusa y el cateto de otro tringulo rectngulo, entonces los tringulos rectngulos son congruentes. Ejercicios Demuestra los teoremas siguientes. 1. Si dos segmentos AD y BE se cortan en C, de modo que C es punto medio de AD y BE, entonces los tringulos ABC y DEC son congruentes. 2. La altura correspondiente a la base de un tringulo issceles es tambin mediana, bisectriz y mediatriz. 3. Dos tringulos rectngulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes los dos catetos. 4. En un tringulo, a lados congruentes se oponen ngulos congruentes. 5. En un tringulo, a ngulos congruentes se oponen lados congruentes. 6. Todo tringulo equiltero es equingulo. 7. Todo tringulo equingulo es equiltero. 8. Los puntos medios de los lados de un tringulo equiltero forman otro tringulo equiltero. 9. Si en los lados opuestos de una misma base se construyen dos tringulos issceles, demustrese que la recta que une los vrtices de los ngulos opuestos a la base es la bisectriz de dichos ngulos. 10. Demustrese que si las perpendiculares PN y PM a los lados del ngulo AOB son iguales, el punto P est en la bisectriz del ngulo. 3.5 Semejanza de tringulos

Se llama proporcin a la igualdad entre dos razones, por ejemplo d

c

b

a = , donde las cantidades a y c se les conoce como antecedentes, y las cantidades b y d, consecuentes. Respecto a su posicin, las cantidades a y d reciben el nombre de extremos, y las cantidades b y c, reciben el nombre de medios. Una proporcin continua es aquella en donde los medios son iguales y al medio comn de esta proporcin se le conoce como media proporcional. Si a los segmentos a y b les corresponden los segmentos 'a y 'b de manera que formen la

proporcin '

'

b

a

b

a = se dice que los cuatro segmentos son proporcionales. Dos tringulos se dicen que son semejantes si sus ngulos son iguales y sus lados respectivos son proporcionales.


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El smbolo de semejanza es .

A =A B =B C =C y '''''' AC

CACB

BCBA

AB == Para establecer que dos tringulos son semejantes se emplean los criterios siguientes: Criterio AAA. Si dos tringulos tienen sus ngulos respectivos iguales, entonces son semejantes. Criterio LAL. Si dos tringulos tienen un ngulo igual comprendido entre lados proporcionales, los dos tringulos son semejantes. Criterio LLL. Si los tres lados de un tringulo son respectivamente proporcionales a los de otro, entonces los dos tringulos son semejantes. Ejercicios Demuestra los teoremas siguientes T 1. Si una recta es paralela a uno de los lados de un tringulo, entonces los otros dos lados quedan divididos en segmentos proporcionales. T. 2. Si una recta divide dos lados de un tringulo en segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado. T. 3. La bisectriz de un ngulo interior de un tringulo divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los otros dos lados. T. 4. Si dos ngulos de un tringulo son congruentes con dos ngulos de otro, entonces los tringulos son semejantes. T. 5. Dos tringulos rectngulos que tienen sus catetos proporcionales, son semejantes. T. 6. Dos tringulos rectngulos que tienen un ngulo agudo de uno, congruente con un ngulo agudo del otro, son semejantes. T. 7. Dos tringulos rectngulos que tienen la hipotenusa y un cateto de uno, proporcionales con la hipotenusa y un cateto del otro, son semejantes. T. 8. Sea ABC un tringulo, en BA tmese un punto D y trace una paralela a BC por D, de manera que corte a AC en E, por C trace una paralela a AB y sea F el punto de corte de sta con DE (su prolongacin). Demuestre que los tringulos ADE y FCE son semejantes. T. 9.Toda recta paralela a uno de los lados de un tringulo, que corta a los otros dos lados en puntos diferentes, determina un tringulo semejante al primero. T. 10. En un tringulo rectngulo, la altura correspondiente a la hipotenusa, divide al tringulo dado en dos tringulos semejantes a ste y semejantes entre s. T. 11. En un tringulo rectngulo, la longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa es la media proporcional entre las longitudes de los dos segmentos de la hipotenusa (los determinados por esa misma altura). T. 12. Las alturas correspondientes de dos tringulos semejantes son proporcionales a los lados homlogos (las bases). T. 13. Las alturas correspondientes entre dos tringulos semejantes son proporcionales entre s.

4. PARALELOGRAMOS 4.1. Definicin y clasificacin de cuadrilteros Cuadriltero.- Es cualquier polgono de cuatro lados. Los cuadrilteros se clasifican en: Paralelogramos, Trapecios y Trapezoides.


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Paralelogramo.- Es un cuadriltero cuyos lados opuestos son paralelos. Trapecio.- Cuadriltero que tiene dos, y solamente dos, lados opuestos paralelos. En particular un trapecio cuyos lados NO paralelos son iguales recibe el nombre de trapecio issceles. Trapezoide.- Cuadriltero que no tiene lados opuestos paralelos.

4.2. Propiedades de los paralelogramos

Figura 3 Propiedad 1.- Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos. En la figura 3, AB // DC. Propiedad 2.- Cada diagonal de un paralelogramo lo divide en dos tringulos congruentes. En la figura 3, ADC es congruente con ABC Propiedad 3.- Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. En la figura 3. AB es congruente con DC y Ad es congruente con BC. Propiedad 4.- Los ngulos opuestos de un paralelogramo son iguales. En la figura 3, A = C y B = D Propiedad 5.- Los ngulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios. Entonces en la figura 3 se cumple que_____________________________________ Propiedad 6.- Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente. En la figura 3, se tiene que: AP = PC y DP = PB Ejercicios. 1.- En los casos siguientes, el cuadriltero ABCD dado es un paralelogramo. Aplicando las propiedades mencionadas, halla los valores de x e y.

2.- Si ABCD es un paralelogramo, hallar los valores de x e y en los siguientes casos.

3.- Si ABCD es un paralelogramo, hallar los valores de x e y en los siguientes casos.

a) AD = 5x, AB = 2x, CD = y, permetro = 84 b) A = 4y 60, C = 2y, D = x c) A = 3x, B = 10x 15, C = y


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4.3. Rectngulo, Rombo y cuadrado: caractersticas especiales. Los rectngulos, rombos y cuadrados pertenecen al conjunto de los paralelogramos, cada uno puede definirse como un paralelogramo de la manera siguiente: Rectngulo.- Es un paralelogramo que tiene todos sus ngulo iguales. Rombo.- Es un paralelogramo que tiene todos sus lados iguales. Cuadrado.- Es un paralelogramo que es equiltero y equingulo. Por lo tanto el cuadrado es, al mismo tiempo, rectngulo y rombo. Las principales caractersticas del rectngulo, cuadrado y rombo se presentan a continuacin. PARALELOGRAMO RECTNGULO ROMBO CUADRADO Las diagonales se bisecan entre s 9 9 9 9 Las diagonales son congruentes. 9 9 Las diagonales son perpendiculares 9 9 Las diagonales bisecan los ngulos del vrtice.

9 9 Las diagonales forman 2 pares de tringulos congruentes.

9 9 9 9 4.4. Permetro y rea de paralelogramos.

El permetro en los paralelogramos se define de la misma forma que en cualquier otra figura plana: es la suma de las longitudes de cada uno de sus lados. Para facilitar su clculo siempre ser bueno que recuerdes sus propiedades. El rea se define como el producto de la base por la altura. La base puede ser cualquiera de sus lados y la altura ser el segmento trazado en forma perpendicular desde el lado opuesto a la base.

a) AE = x , EC = 4y, BE = x 2y, ED = 9 b) AE = 3x 4, EC = x + 12, BE = 2y 7 ED = x y c) AE = 2x + y, AC = 30, BE = 5x + y BD = 24.


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Ejercicios.- Calcula el rea de los paralelogramos siguientes.

3.- Con los datos que se proporcionan calcula el rea del paralelogramo ABCD.

2.- En un rancho el agua se le coloca a los animales en un pieza tal y como se muestra en la figura. Calcula el rea del paralelogramo ABCD sabiendo que el rea de la semicircunferencia que delimita la pieza es de 789.25 2cm , el largo FE es de 42 cm. y que AB AC.

Permetro ABCD = 13.2 cm OB = 2.3 cm BC = 2 cm Arco EF= 32

Permetro MNOP = 13.2 cm CO = 2.3 cm ON = 2 cm Arco LR= 32

R


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5. LA CIRCUNFERENCIA 5.1. Definiciones CIRCUNFERENCIA.- La circunferencia es el lugar geomtrico de todos los puntos en un mismo plano cuya distancia a un punto fijo se mantiene constante. El punto fijo recibe el nombre de centro y la distancia fija recibe le nombre de radio. CRCULO.- Crculo es el conjunto de puntos encerrados por la circunferencia. Los principales trazos son:

5.2. Tangentes y secantes en una circunferencia Existen dos trazos especiales de la circunferencia: Las rectas, tangente y secante a una circunferencia.

-Teoremas relativos a tangentes

Figura 1

Cuerda.- es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. Dimetro.- Es toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Es la mayor cuerda. Radio.- Es el segmento que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos. Arco.- Se denomina arco a cualquier porcin de la circunferencia. Longitud de arco.- est determinado por

rarcode.Long

3602 =

donde es la medida del ngulo central.

La secante a una circunferencia es cualquier recta que la corta en dos puntos. La tangente a una circunferencia es cualquier recta que la toca en un punto y slo uno.

Teorema 1.- Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto. Teorema 2.- Una recta es tangente a una circunferencia si es perpendicular a un radio en su extremo externo. En la figura 1, si AB es perpendicular al radio OC en C, entonces AB es tangente a la circunferencia.


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Teorema 3.- Si una recta es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia, entonces pasa por el centro de la circunferencia. En la figura 1, si AB es tangente a la circunferencia en C y OC es perpendicular a AB en C, entonces OC pasa por el centro de la circunferencia.

Figura 2 Teorema 5.- La recta que une el centro de una circunferencia con un punto exterior, es bisectriz del ngulo que forman las tangentes trazadas desde ese punto a la circunferencia.

Figura 3 Ejercicios 1. - 2. -

Teorema 4.- Las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son iguales. En la figura 2, AC y AB son tangentes a la circunferencia, entonces AC = AB.

En la figura 3, el segmento OA une el centro de la circunferencia con un punto exterior a la misma, entonces el segmento OA biseca al ngulo CAB.

AP y AQ son tangentes a) Si AP = PQ Qu clase de tringulo es APQ? b) Si AP = OP Qu clase de cuadriltero es OPAQ?

AP, AB y BR tangentes Si OQ PR Qu clase de cuadriltero es PABR?


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3.-

4.-

5.-

6.-

En la figura DP y CQ son tangentes. Hallar la medida del 2 y 3 si el OPD est trisecado y PQ es un dimetro.

El cuadriltero ABCD es circunscrito. PA = 10, QC = 5. Hallar x.

En la figura, el tringulo ABC es inscrito. a) Si y = 9, hallar x. b) Si x = 25, hallar y.

En la figura t, t y t son tangentes a la circunferencia.

a) Qu clase de cuadriltero es el PABQ si PQ es un dimetro?

b) Qu clase de tringulo es el AOB?


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7.-

5.3. ngulos en la circunferencia

a) ngulo central.- Es aquel cuyo vrtice se encuentra en el centro de la circunferencia y tiene la misma medida que el arco que subtiende sus lados.

b) ngulo inscrito.- Es aquel cuyo vrtice se encuentra sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas o bien una cuerda y una tangente. Su medida es igual a la mitad del arco que subtienden sus lados.

c) ngulo interior o interno.- Es aquel que se forma cuando dos cuerdas se intersecan en el interior de una circunferencia. Su medida es igual a la semisuma de los arcos que subtienden sus lados.

d) ngulo exterior o externo.- Es aquel cuyos lados son: dos secantes o, una tangente y una secante o bien dos tangentes. Su medida es igual a la semidiferencia de los arcos que subtienden sus lados, considerando que al arco de mayor magnitud se le sustraer el de menor magnitud.

2

DE arco-AB arco=ACB

ED arco+AB arco=ACB interno

2

AB arco=ACB inscrito ngulo AB arco=AOB

externongulo

2ngulo

centralngulo

a) Si r = 10, hallar el valor de x b) Si x = 25, hallar r.


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Ejercicios 1.- En las figuras siguientes hallar los valores de x e y.

6. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS 6.1. Definiciones Consideremos el tringulo ACB rectngulo en C situado en la figura de abajo. Recuerda que en un tringulo la notacin se realiza de la manera siguiente:

Los ngulos con letras maysculas. Los lados con la letra minscula correspondiente al lado opuesto.

La trigonometra tiene como uno de sus objetivos mostrar la dependencia existente entre los lados y los ngulos de dicho tringulo y para este objeto emplea las llamadas funciones (razones) trigonomtricas que se definen como sigue:


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a

c

opuesto cateto

hpotenusaA csc

b

a

adyacente cateto

opuesto catetoA tan

b

c

adyacente cateto

hipotenusaA sec

c

b

hipotenusa

adyacente catetoA cos

a

b

opuesto cateto

adyacente catetoA cot

c

a

hipotenusa

opuesto catetoA sen

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====

Como dato adicional, no olvides el teorema de Pitgoras.

222222 c )()()( bacacohip +=+= Ejercicios 1.- Hallar las funciones trigonomtricas de los ngulos A y B de un tringulo rectngulo ABC donde a = 8 y b = 15. 2.- Hallar las funciones trigonomtricas: a) Del ngulo B sabiendo que 6.0Bcos = b) De los ngulos A y B sabiendo que 3.1Btan = 3.- Resuelve los siguientes tringulos: (Considera tringulos rectngulos en C) a) A = 60 25 , a = 120 b) b = 25 , c = 34 c) B = 37 45 , c = 12 d) a =15 , b = 18 e) c = 7 , a = 12 4.- Demuestra que la hipotenusa en un tringulo rectngulo es mayor que cualquiera de sus catetos. 5.- Tomando en cuenta la definicin de las funciones trigonomtricas, menciona las funciones que siempre son menores que 1, las funciones que son mayores que 1 y aquellas que pueden ser menores que o mayores que 1. Justifica tus respuestas. NOTA: Los conceptos de ngulo de depresin y ngulo de elevacin son muy utilizados para resolver problemas de la vida cotidiana y que involucran tringulos rectngulos. Por eso se te presentan de nuevo:


Julio, 2007 18

6.- Desde un punto situado a 200 metros, medidos sobre el pie de una horizontal, del pie de una torre, se observa que el ngulo de la cspide es de 60. Calcular la altura de la torre. 7.- Desde la parte superior de una torre de 120 metros de altura se observa que el ngulo de depresin de un objeto que est a nivel con la base de la torre es de 23 43. Calcula las distancias del objeto a la punta y a la base de la torre. 8.- Qu ngulo forma la diagonal de un cubo con la diagonal de una cara del mismo cubo trazada desde el mismo vrtice? 9.- La longitud de lado de un octgono regular es de 12 cm. Hallar los radios de los crculos inscritos y circunscritos. 10.- Desde el punto medio de la distancia entre los pies de dos torres, los ngulos de elevacin de sus extremos superiores son 30 y 60, respectivamente. Demuestra que la altura de una de las dos torres es el triple de la otra. 11.- Dos boyas son observadas en direccin sur desde lo alto de un acantilado cuya parte superior est 312 metros sobre el nivel del mar. Hallar la distancia entre las boyas si sus ngulos de depresin medidos desde la punta del acantilado son 46 18 y 27 15 respectivamente. 12.- Al aproximarse una patrulla de reconocimiento a un fuerte situado en una llanura encuentra que, desde cierto lugar, el fuerte se ve bajo un ngulo de 10, y que desde otro lugar, 200 metros mas cerca del fuerte, ste se ve bajo un ngulo de 15. Cul es la altura del fuerte? Cul es su distancia al segundo lugar de observacin? NOTA: No olvides que las 6 funciones trigonomtricas que definimos, as como el teorema de Pitgoras se utilizan nicamente en tringulos rectngulos. 6.2 Funciones de ngulos complementarios Veamos ahora la relacin entre un ngulo agudo y su complemento. Recordemos que, por definicin, dos ngulos son complementarios cuando su suma es 90. Consideremos la figura que dimos al principio.

Por las definiciones que dimos en la primera parte, podemos decir que:

Nota que: A + B = 90 Entonces A = 90 - B Por cuestiones de notacin diremos: A = 90 B


Julio, 2007 19

A)-sec(90 A csc )-90csc( B csc csc

A)-csc(90A sec )-90sec( B sec A sec

A)- tan(90A cot b

a)-90cot( Bcot A cot

A)-cot(90A tan )-90tan( B tan Atan

A)-(90sen A cos )-90cos( B cos A cos

A)-(90 cos Asen )A-90( Bsen c

a Asen

====

====

====

====

====

====

b

cA

a

cA

a

cA

b

c

Aa

ba

bA

b

ac

aA

c

bc

bsen

6.3 Funciones de ngulos conocidos

Funciones trigonomtricas ngulo sen cos tan cot sec csc

0 0 1 0 1 30

2

1

2

3

3

3

3 3

32 2

45

2

2

2

2

1 1 2 2

60

2

3

2

1 3

3

3

2

3

32

90 1 0 0 1 180 0 -1 0 -1 270 -1 0 0 -1 360 0 1 0 1

6.4 Funciones trigonomtricas de cualquier ngulo Sea un ngulo ubicado en un sistema de coordenadas rectangulares, y sea P(x, y) cualquier punto

fuera del origen O en el lado terminal de . Si d(O, P) = r = 22 yx + , entonces:

)0 (si , csc

=

=

yy

r

r

ysen

)0 (si , sec

cos

=

=

xx

r

r

x

)0 (si , cot = yy

x

x

y= tan


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Signos algebraicos de las funciones trigonomtricas

Funcin Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV Seno Cosecante

+ + - -

Coseno Secante

+ - - +

Tangente Cotangente

+ - + -

Vemos que se cumple lo siguiente:

1. En el primer cuadrante todas las funciones son positivas. (TO de todas) 2. En el segundo cuadrante el seno y su recproca, la cosecante son positivas; las restantes son

negativas. (SEN de la funcin seno). 3. En el tercer cuadrante el tangente y su recproca, la cotangente son positivas; las restantes

son negativas. (TAN de la funcin tangente). 4. En el cuarto cuadrante el coseno y su recproca, la secante son positivas; las restantes son

negativas. (COS de l a funcin coseno) Entonces utilizando un recurso nemotcnico podemos recordar los signos algebraicos de la funciones en cada uno de los cuadrantes. Tomando a partir del primer cuadrante y en orden sucesivo de las silabas maysculas de los parntesis, se forma la palabra. TOSENTANCOS. Funciones de ngulos suplementarios sen (180 - A) = sen A cos (180 - A) = - cos A tan (180 - A) = - tan A csc (180 - A) = csc A sec (180 - A) = - sec A cot (180 - A) = -cot A Funciones de A en trminos de A

sen (-A) = - sen A cos (- A) = cos A tan (- A) = - tan A csc (-A) = - csc A sec (- A) = sec A cot (- A) = - cot A

Reglas generales para reducir cualquier ngulo a funciones de un ngulo agudo

I. Cuando un ngulo sea de 180 A, o de 360 A, sus funciones son numricamente iguales, es decir, en valor absoluto, a las funciones del mismo nombre de A.

II. Cuando el ngulo sea de 90 A, o de 270 A, sus funciones son numricamente iguales a las cofunciones del mismo nombre de A.

En todos los casos el signo del resultado es el que corresponde a la funcin buscada, en el cuadrante en que se encuentra el ngulo. Ejemplo de reduccin de ngulos Reducir la funcin Tan 977 a su ngulo agudo.


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Solucin: Primero reducimos el ngulo restando 360 hasta obtener un valor entre 0 y 360. Tan 977= Tan 257 Entonces rotando el ngulo, queda en el tercer cuadrante y su signo es positivo. Tan 977= Tan257= Tan (180 + 77)= Tan77= Cot13 Ejercicios 1. Expresar sen 72 como una funcin de un ngulo positivo menor a 45. 2. Expresar las funciones trigonomtricas siguientes en funcin del ngulo complementario:

a) cos 68 b) csc 58 18 c) ctg 5

2 d) sen

3

3. Expresar a sen 123 como una funcin de un ngulo agudo. 4. Reducir las funciones siguientes a otros de un ngulo agudo.

a) sec 6

5 b) tan 516. c) cos 1009. d) cos

4

19 e) sen 111

f) cos 165 20 g) ( )+270sec h) ( )+630csc i) tan

5

4

Formulario trigonomtrico

Sen (A + B) = Sen A Cos B + Cos A Sen B Sen (A - B) = Sen A Cos B - Cos A Sen B Cos (A + B) = Cos A Cos B Sen A Sen B Cos (A - B) = Cos A Cos B + Sen A Sen B

BTanATan

BTanATan)BA(Tan

+=+1

BTanATan

BTanATan)BA(Tan +

=1

ACosASenASen 22 = 2

12

ACosASen

=

2

12

ACosACos

+=

ASenACosACos 222 =

ASenACosACos 22 21122 == ACos

ASen

ASen

ACosATan +=

=1

12

ATan

ATanATan 21

22 =

ASenASenASen 2122 =


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7. IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS Antes de entrar al tema, veamos la diferencia entre una identidad y una ecuacin. Ecuacin.- Es una igualdad que se satisface para algunos valores de la variable que involucra.

Por ejemplo.- 3 x-5, xdofactorizan 010-2x- x1- x 21 2 =====+x Identidad.- Es una igualdad que se satisface para cualquier valor(es) de la(s) variable(s).

Por ejemplo.- )b-a)(ba(b-a bab2a)ba( 22222 +=++=+ En trigonometra tambin se ven involucradas las identidades trigonomtricas y son las siguientes:

)recprocas es(identidad A tan

1 A cot

A cos

1A sec

A sen

1 A csc

A cot

1A tan

A sec

1A cos

A csc

1 A sen

s)pitagrica es(identidad 1AcotAcsc 1AtanA sec1AcosAsen

cociente) es(identidad A sen

A cos A cot

A cos

A senAtan

222222

===

===

+=+==+

==

Ejercicios.- Demostrar que las siguientes igualdades son identidades.

2x2sen2x) cos-x(1 cot -8.x tan1

xtan-1x 2sen-1 -7.

x) cos x (cot x cos xcot -6.

A tan-A sec A sen1

A sen-1 -5.

y sen

y cos-1

y cos1

y sen -4.

1y cosy y)sen coty (tan -3.

x tan x)2sen-x(1 csc x sec- x cot -2.

x sec x cos x senx tan -1.

22

2

2

2

222

2

=++=+=

=+

=+

=+=

=+

8. LEY DE LOS SENOS Y LEY DEL COSENO En el tema 7, definimos las funciones trigonomtricas y vimos la forma en la que se utilizan para resolver problemas de la vida cotidiana. Recalcamos que se usan nicamente para tringulos rectngulos. Ahora cabe la pregunta Cmo resolvemos los tringulos que no son rectngulos? La respuesta la dan la ley de los senos y la ley del coseno las cuales se utilizan precisamente para resolver tringulo oblicungulos e inclusive para tringulos rectngulos.


Julio, 2007 23

Cundo utilizarla? Cuando en el tringulo se nos proporcionen tres elementos (entre ngulos y lados) y dos de estos tres elementos conocidos sean un lado y su ngulo opuesto.

Despejando las frmulas dadas para la ley del coseno, obtenemos:

ab2

c-baC cos

ac2

b-caB cos

bc2

a-cbAcos

222222222 +=

+=

+=

Estas frmulas son tiles para hallar los ngulos de un tringulo conociendo sus lados. Cundo utilizarla? Cuando se nos proporcionen dos lados y el ngulo entre ellos o bien los tres lados. Ejercicios 1.- Dos personas de la misma altura estn separadas una distancia de ocho metros y observan una moneda en el piso que se encuentra entre ellas; si los ngulos de depresin de las visuales dirigidas a la moneda son de 19 y 34 respectivamente, halla la altura de las personas.

8m

La ley de senos es la siguiente: Los lados de un tringulo son proporcionales a los senos de los ngulos opuestos.

B sen

b

A sen

a=

C sen

c

B sen

b=

C sen

c

B sen

b=

La ley del coseno es la siguiente: En todo tringulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de la otros dos menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ngulo que forman.

A 2bcCos-cba 222 +=

+= B 2acCos-cab 222

C 2abCos-bac 222 +=


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2.- Dos puestos de observacin estn alineados con una torre. Desde el puesto mas lejano el ngulo de elevacin al punto ms alto de la torre es de 18 y desde el ms cercano, situado a 20 metros del anterior, el ngulo de elevacin al mismo punto de la torre es de 26 30. Halla la distancia del puesto de observacin ms lejano a la torre. 3.- Dos barcos A y B parten de una misma estacin situada en un punto R en direcciones que forman un ngulo de 73 30. El barco A lleva una velocidad de 11 km/hr mientras que el barco B lleva una velocidad de de 15 km/hr. A qu distancia se encontrarn uno del otro a los 45 minutos de viaje? 4.- Un agricultor observa que se terreno tiene forma de trapecio y determina que las longitudes de los lados paralelos del trapecio son 25 metros y 34 metros. Adems, mide los ngulos de la base (se asume como base el lado mayor de los paralelos) y observa que las medidas son 33 20 y 40 50. Calcula la medida de los lados No paralelos. 5.- Para subir una caja desde la cuneta de una carretera hasta la cinta asfltica se utiliza un tabln de 2.5 metros de longitud, como se muestra en la figura. El ngulo que forma el piso de la cuneta con el desplante de la carretera es d 125 y la longitud del desplante es de .80 metros A qu distancia del inicio del desplante se apoya el tabln?

6.- Las longitudes de las manecillas del horario y minutero de un reloj son 12 cm y 20cm respectivamente. A qu distancia se encuentran sus extremos cuando son las 17:00 horas? 7.- Un asta de bandera est situada en la parte ms alta de una montaa. Desde un punto de observacin situado a nivel de la montaa, un topgrafo midi los ngulos de elevacin a los puntos ms alto y ms bajo del asta, que son 45 y 36 respectivamente. Hallar la altura de la montaa. 8.- Un rbol de 6 metros de altura se encuentra en la cima de un montculo como se muestra en la figura. Halla la distancia de la base del montculo a la parte ms alta del rbol.

9.- Halla la longitud del radio de la circunferencia circunscrita a un heptgono regular si su diagonal de menor longitud mide 42 cm.

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