taller de bioestadistica

Bioestadistica y Demografia

Ejercicios de de variables aleatorias

Taller presentado por:

Stephanie Ariza

Anyela Ariza

Marcela Duran

Tatiana Mancera

David Velez

Presentado a:

Ramon Matos

UNIVERSIDAD LIBRE

SECCIONAL BARRANQUILLA

MEDICINA I-A

MAYO DE 2012

1. Cálculo de Probabilidades en Modelos Estadísticos Discretos.

Distribución Binomial

Ejercicio 1Un comerciante de verduras de la colonia Granjas México tienen conocimiento de 2/3 de cada caja de mango está descompuesta o tiene “lunares”. Si se eligen 4 mangos al azar por un comprador, encuentre la probabilidad de que. A) Los 4 estén descompuestos o tengan lunares, b) de 1 a 3 estén descompuestos o tengan lunares.

Solución:

P= 23

n= 4

P(x=4) = (44

) (23

)4 (1 - 23

)0 = 0.1975

B) P(1 ≤ x ≤ 3) =?

P (x=1) = (41

) (23

) 1 (13

)3 = 0.0988

P (x=2) = (42

) (23

)2 (13

)1 =0.2963

P (x=3) = (43

) (23

)3 (13

)1 =0.3951

P(11 ≤x ≤3) 0.0986 + 0.2963 + 0.3951 = 0.79

Ejercicio 2En un estudio sociológico, se encontró que 60% de los consumidores de tacos callejeros enferman de amibiasis, se seleccionan al azar 8 adictos a los tacos callejeros, encuentre la probabilidad de que, a) tres exactamente tengan amibiasis, b) Por lo menos 5 tengan amibiasis.

Solución:

n= 8P= 0.60

A) P(x=3) = (83

) (0.6)3 (1 – 0.6)5

= 0.2451B) P(x ≥5) = P( x = 5) + P(x=6) + P(x=7) + P(x=8) = 0.0579

2

P(x=5) = (85

) (0.6)5 (0.4)3 = 0.0463

P(x=6) = (86

) (0.6)6 (0.4)2 = 0.01

P(x=7) = (87

) (0.6)7 (0.4)1 = 0.0012

P(x=8) = (88

) (0.6)8 (0.4)0 = 0

Ejercicio 3Según una encuesta de una revista ¼, del total de empresas metal-mecánica de un estado x de la República Mexicana, acostumbran a desperdiciar a sus trabajadores antes de cumplir un determinado periodo de tiempo para que no adquieran la clase y sean sindicalizados. Se seleccionan 6 empresas al azar, calcular la probabilidad de encontrar, a) de 2 a 5 de estas empresas, b) Menos de tres empresas

Solución:

P= ¼ = 0.25n= 6

A) P(2 ≤ x ≤ 5) = 0.4658

P(x=2) = (62

) (0.25)2 (0.75)4 = 0.2966

P(x=3) = (63

) (0.25)3 (0.75)3 = 0.1318

P(x=4) = (64

) (0.25)4 (0.75)2 = 0.033

P(x=5) = (65

) (0.25)5 (0.75)1 = 0.0044

B) P(x ¿3 ) 0 P(x=0) + P (x=1) +P(x=2) = 0.8366

P(x=0) = (60

) (0.25)0 (0.75)6 = 0.178

P(x=1) = (61

) (0.25)1 (0.75)5 = 0.3556

P(x=2) = (62

) (0.25)2 (0.75)4 = 0.2966

Ejercicio 4Una de las medidas de control de calidad de un amortiguador para automóvil, es probarlo en los baches de la avenida Ermita – Iztapalapa, se encontró que el 20% de los amortiguadores sometidos a la prueba presentaban fuga de aceite y por lo tanto están defectuosos. Si se instalan 20 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que, a) 4 estén

3

defectuosos, b) más de 5 estén defectuosos. C) de 3 a 6 amortiguadores estén defectuosos.

Solución:

n= 20P= 0.20

A) p( x=4)= (204

)(0.2)4 (0.8)16 = 0.218

B) P(x≥5) = ¿ - P (x ≤ 5) = 1 – B(n=20, x=5, p=0.20)= 1 – 0.8042= 0.1958

C) P(3≤ x ≤n6) = B (n=20, P=0.20, x=6)-B (n= 20. P= 0.2, x=2)= 0.9133 – 0.2061 = 0.7072

Ejercicio 5La probabilidad de que un paciente se recupere de una operación para extirpar un tumor cerebral es del 90%. Hallar la probabilidad de que se recuperen cinco de siete pacientes que esperan turno para ser operados.

Solución:

P= 0.90n=7

P(x=5) = (75

) (0.90)5 (0.10)2

=0.124

Ejercicio 6Un ingeniero Industrial que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de tres alternadores de un lotes. Si el 15% de los alternadores del lote están defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra, a) ninguno sea defectuoso, b) uno sea defectuosos, c) al menos dos sean defectuosos?

Solución:

n= 3P= 0.15

A) P(x=0) = (30

) (0.15)0 (0.85)3 = 0.6141

B) P(x=1) = (31

) (0.15)1 (0.85)2 = 0.3251

C) P(x ≥ 2) = 1 – P(x≤ 1)

4

=1 – 0.9392

Ejercicio 77. Un ingeniero en transportes informa que el 75% de la veces los trolebuses de una ruta determina en el DF llegan a su central con retraso de por lo menos veinte minutos en las horas pico, debido al intenso tráfico vehicular. Si se eligen 9 trolebuses, hallar la probabilidad de que menos de 4 arriben fuera de su horario. Solución:

P= 0.75n= 9P(x¿ 4) = P(x=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(x=3)

P(x=0) = (90

) (0.75)0 (0.25)9 = 0

P(x=1) = (91

) (0.75)1 (0.25)8 = 0.0001

P(x=2) = (92

) (0.75)2 (0.25)7 = 0.0012

P(x=3) = (93

) (0.75)3 (0.25)6 = 0.0087

Ejercicio 8La probabilidad de que compact disk, dure al menos un año sin que falle es de 0.95, calcular la probabilidad de que en 15 de estos aparatos, a) 12 duren menos de un año, b) a lo más 5 duren menos de un año, c) al menos 2 duren menos de un año.

Solución:

P= 0.05n= 15

A) P(X = 12) =(1512

) 0.0512 * 0.953

B) P(x≤ 5) = B(n=15, p=0.05, K=5)=0.9999

C) P(x≥ 2) = 1 – P(x≤ 1) 1 – B(n=20, PP=0.85, K=17)=1 – 0.5951= 0.4049

Ejercicio 9

5

La empresa empacadora de piñas LA IDEAL afirma que el 85% de las que llegan están listas para ser procesadas. Calcular la probabilidad de que 20 piñas que llegaron, a) 15 están listas para ser procesadas, b) a lo más 16 están para ser procesadas, c) al menos 18 están listas para ser procesadas.

Solución:

P= 0.85n= 20

A) P(x=15) = (2015

) (0.85)15 (0.15)5 = 0.1028

B) P(x≤ 16)= B(n=20, p=0.85, k=16)=0.3523

C) P(x≥ 18) = 1 – P( x≤ 17)= 1 – B (n= 20, P= 0.85, K= 17)=1 – 0.5951

Ejercicio 10La probabilidad de que un estudiante de ingeniería apruebe un examen de matemática es de0.30, utilizando la formula de distribución binomial encuentre la probabilidad de que 4 de 10 estudiantes aprueben el examen.

Solución:

P= 0.30n= 10

P(x=4) = (104

) (0.30)4 (0.17)6 = 0.2001

Ejercicio 11Una compañía de exploración gana un contrato con petróleos mexicanos para perforar pozos, esta compañía tiene estadísticas que le indican que en el 10% de los pozos de prueba que perfora encuentra un depósito de gas natural. Si perfora 5 pozos, hallar la probabilidad de que en al menos en 2 se encuentre gas natural.

Solución:

P= 0.10n= 5P(x≥2) =1 – P(x≤ 1) =1 - [P(x=0) + P(x=1)

= 1 - ¿(50

) (10.10)0 (0.9)5 + (51

) (0.10)1 (0.9)4 ]

= 1 – 0.9185

6

=0.0815

Ejercicio 12En una urna se encuentran 7 pelotas azules y 3 verdes, se sacan 5 pelotas con reemplazo. Sea x el número de pelotas azules que se sacan, calcular la media y varianza de esta distribución.

Solución:

7 azules 3 verdesN= 80n= 5K= 7

µ= nKN

= 3(7)10

= 2110

= 2

σ 2 = nKN

(1 – KN

)(K−nN−1 )

¿ 5 (710

)(1-710

) (10−510−1 )

¿ 0.5833

Ejercicio 13Se sabe que x es una variable aleatoria binomial con un media igual a 8 y Una desviación estándar de 2. Encontrar la distribución de probabilidad de x.

Solución:

np= 8

√np(1−p) = 28(1-p)= 22

1−¿ P = 48

= 12

P= 12

n(12

)= 8

n= 16

Ejercicio 1414. Sea x una variable aleatoria binomial. Hallar la distribución de probabilidad de x si = 4 y n= 10.

Solución:

7

np= 4

P= 410

= 0.4

P= 0.4

Ejercicio 15Una encuesta realizada en la UPIICSA del IPN con los estudiantes de la carrera de Lic. En Administración industrial acerca de la importancia de las matemáticas para ellos, reveló que el 80% de los entrevistados consideran que no les sirven para nada. Según esta encuesta ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 4 de los 10 siguientes entrevistadores al azar sea de esta opinión?

Solución:

P= 0.80n= 10P(x≥4) = 1 – P(x≤3)= 1 – B(n= 10, P= 0.80, K=3)=1 – 0.0069=0.9991

Ejercicio 16Una línea de coches de una cierta marca fue construida con el distribuidor hacia abajo, la compañía que los fabricó encontró en un estudio que hizo que el 30% de estos, al pasar por calles encharcadas se paraban por haberse mojado el distribuidor. Si 15 de estos coches son puestos a prueba en calles encharcadas, hallar la probabilidad de que a) de 4 a 7 se paren, b) menos de 5 paren.

Solución:

ξ = # de coches que caen en el charcoP = 0.3n = 15q = 1-P = 1-0.3 = 0,7A)P (4 ≥ξ ≤ 7) C4

10 (0.3)4 (0.7)6+C510 (0.3)5(0.7)5+C6

10(0.3)(0.7)4+C710(0.3)7(0.7)3 = 0.58

B)P(ξ<5)C010(0.3)0(0.7)10+C1

10(0.3)1(0.7)9+C210(0.3)2(0.7)8+C3

10(0.3)3(0.7)7+C410(0.3)4(0.7)

6

= 0.5155

8

Ejercicio 17La Probabilidad de que un motor recién ajustado tire aceite en los primeros 100 km por lo retenes es de 0.05. Si 10 automóviles se ajustan en un taller mecánico. Hallar la probabilidad de que, a) menos de 4 tiren aceite por retenes, b) ninguno tire aceites por los retenes, c) al menos 2 tiren aceite por los retenes, d) la desviación de la distribución de probabilidad. SoluciónA)P(ξ<4)C0

10(0.05)0(0.95)10+C110(0.05)1(0.95)9+C10

2(0.05)2(0.95)8+C310(0.05)3(0.95)7

= 0.9990

B)P(ξ=0)C0

10(0.05)0(0.95)10

C) P(ξ≥2) =1-P(ξ≤1)= 1-B(n=10, P=0.05, K=1)= 1-0.9139=0.0861σ = √npq = √10.0 .05.0 .95=0.6892

Ejercicio 18La probabilidad de que un número se presente a asesoría durante el semestre en alguna asignatura de la academia de matemáticas con el profesor que el corresponde es de 0.01. Si un profesor de una determinada materia tiene 50 alumnos hallar la probabilidad de que se presenten a asesoría durante el semestre, a) al menos 4 alumnos, b) más de 5 alumnos, c) ningún alumno.

Solución:

ξ = # de personas con asesoríaP = 0.01n= 50q = 1-p = 0.99A)P(ξ≥4) = C0

50(0.01)(0.99)+C150(0.01)1(0.99)49+C2

50(0.01)2(0.99)48 = 0.99891-P(ξ≤3) = = 1-0.9984 = 0.0016

B)P(ξ>5) = 1-P(ξ≤5)= 1-[0.9984 ] ¿C5

10(0.01)5(0.99)5

= 1-1= 0C)

9

P(ξ= o) C0

50 (0.01)0(0.99)50

= 0.605Ejercicio 19Una prestigiada agencia realizó una encuesta entre los residente de la población de Amatlán Veracruz, acerca de sus preferencia para votar por uno de los dos candidatos a alcalde, esta encuesta mostró que el 40% de los ciudadano tienen intención de votar por el candidato Nabor.Calcular la probabilidad de que más de 5 de las siguientes 20 personas entrevistadas tengan intención de votar por Nabor.

Solución:

P= 0.4n= 20q= 1-q= 0.6 P(ξ>5) = 1-P(ξ≤5)= 1-B(n=20, p=0.6, k= 51)= 1-0.0016= 0.9984

Ejercicio 20Obtenga la media y la varianza de la variable aleatoria binomial del problema 16.

Solución:

µ= n.pµ= 15*0.3= 4.5σ2 = n.p.qσ = √n . p .q σ= √15∗0.3∗0.7 = 0.81

Ejercicio 21Si 6 de 18 viejas vecindades en un ciudad violan el código de construcción. ¿cuál es la probabilidad de que un inspector de vecindades, que selecciona aleatoriamente cuatro de ellos para construcción, descubra que:a) ninguna de las viejas vecindades viola el código de construcciónb) una viola el código de construcciónc) dos violan el código de construcciónd) Al menos tres violan el código de construcción Solución:

10

ξ = # de vecindades en una ciudad que violan el código de construcciónn= 18N= 4K= 6A)P(ξ= 0)= C0

6.C412/ C4

12 = 0.162

B)P(ξ=11)= C1

6.C312/ C4

18 = 0.431

C)P(ξ=2) = C2

6.C212 / C4

18 = 0.324

D)P(ξ≥3) = 1-P(ξ≤2)= 1- (0.162+0.431+0.324)= 1-0.917 = 0.083

Ejercicio 22En cierta ciudad, se da hecho que los altos impuestos son la causa del 75% de todas las quiebras personales. Empléese la distribución binomial para calcular la probabilidad de que los gastos médicos sean la causa de dos de las cuatro próximas quiebras personales registradas en todas las ciudades en tal ciudad.

Solución:P= 0.75n= 4q= 1-p = 0.25P(ξ= 4) C2

4 (0.75)2(0.25)2

=0.2109

Ejercicio 23Una despachador de cierta ruta de microbuses informa que el 75% de las veces los microbuses de esa ruta llegan a su terminal con un retraso de por lo menos 20 minutos en las horas pico debido al intenso tráfico vehicular, si se eligen 9 microbuses, hallar la probabilidad de que menos de 4 arriben fuerza de su horario.

Solución:n= 9

11

P= 0.75q= 1-p= 0.25P(ξ<4) =C0

9 (0.75)0(0.25)9+C19(0.75)1(0.25)8+C2

9(0.75)2(0.25)7+C39(0.75)3(0.25)6

= 0.01

Ejercicio 24Al probar una cierta clase de droga en 100 estudiantes se encontró que 25 de ellos perdieron el hábitos de copiar en los exámenes. De los siguientes 15 estudiantes que prueban esa droga obtenga la probabilidad de que:a) Exactamente 8 pierdan el hábito de copiar b) e) Más de 5 pierdan el hábito de copiarc) De 3 a 6 inclusive pierda el hábito de copiar d) f) Calcule el valor esperado y la varianzae) De 3 a 6 pierda el hábito de copiarf) Menos de 4 pierdan el hábito de copiar

SolucionA)n=15P= 0.25q= 1-p= 0.75P(ξ=8)=C8

15(0.25)8(0.75)7 = 0.0131

B)P(ξ>5) = 1-p(ξ≤5)= 1-B(n=15, P=0.25, K=5)= 1-0.8516= 0.7073C)P(3≤ξ≤6)= B(n=15, P=0.25,K=6) – B(n=15, P=0.25, K=2)= 0.9434-0.2361= 0.7073

D)σ2 = n.p.qσ = √n . p .q = √15∗0.25∗0.75= 0.726F)n=15P= 0.25q= 1-p= 0.75P(ξ<4)= C0

15(0.25)0(0.75)15+C115(0.25)1(0.75)14+C2

15(0.25)2(0.75)13+C315(0.25)3(0.75)12

= 0.01979

12

Distribución de Poisson

Ejercicio 25En un crucero un oficial de transito hacen en promedio 3 infracciones diarias. Hallar la probabilidad de que un día cualquiera levante, a) exactamente 5 infracciones, b) menos de tres infracciones, c) por lo menos 2 infracciones.

Solución:

= 3A)

P(ξ=5) = e -3 . 3 5 5!= 0.1008

B)P(ξ<3)P(=3, K=2)= 0.423

C)P(ξ≥2) =1-p(ξ≤1)=1-p (=3, K=1)=1-0.199= 0.801

Ejercicio 26Una cajera novata de un tienda de autoservicio se equivoca en promedio 2 veces en el cobro por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera, a) tenga 4 o más equivocaciones, b) no tenga ninguna equivocación? Solución:

= 2A)P (ξ≥4) = 1-P(ξ≤3) = 1-P(ξ=2, K=3) = 1-0.857 = 0.143

B)P(ξ=0)e -2 .2 o = 0.1353 0!

13

Ejercicio 27En un estudio de inventario realizado en un tienda de importación se determinó que se pierden en promedio 5 artículo por día- ¿cuál es la probabilidad de que en un día determinado dichos artículos, a) se pierdan en una cantidad mayor que 5, b) no se pierda ninguno?

Solución:

= 5A)P(ξ>5 ) = 1-p(ξ≤5) = 1-P (=5, K=5) = 1- 0.616 = 0.384B) P(ξ=0)= e -5 . 5 0 = 0.0067 0!

Ejercicio 28La probabilidad de que un apersona muera de cólera o tifoidea por comer sopes en la calle es de 0.002. Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de las siguientes 2000 personas que contrajeron estas enfermedades por comer sopes en la calle.

Solución:

P= 0.002n= 2000= n.p = 0.002 * 2000= 4P(ξ<5) = P(=4, K=4) = 0.629

Ejercicio 29La secretaría de Hacienda estima que en promedio una de 1,000 personas comete un fraude al elaborar su declaración de impuestos. Se seleccionan al azar y examinan 10,000 declaraciones, obtenga la probabilidad de que a lo más 8 tengan la mala costumbre de defraudar a Hacienda.

Solución:

P=11000

= 0.0001

n= 10000

14

= n.p = 10P(ξ>8)= 1-p(ξ≤8) = 1-P(= 10, K= 8) = 1-0.33 = 0.667

Ejercicio 30El número de descomposiciones que sufre una copiadora en un semana, tienen una distribución de Poisson con = 0.3. Calcular la probabilidad de que no tenga ninguna descompostura en dos semanas consecutivas.

Solución:

= 0.3(2)= 0.6P(ξ=0) = e -0.6 . 0.6 0 0!

Ejercicio 31Un detector de partículas, detecta en promedio 5 partículas por cada milisegundo. ¿Cuál es la probabilidad de que se detecten, a) 8 partículas en 3 ms, b) 2 partículas de 0.5 ms?

Solución:

λ = 3 x 5 = 15a) P(X=8) = (e¿¿−15×158)÷e!¿ = 0,0194b)λ = 5 x 0,5= 2,5p(x=2) = (e¿¿−2,5×2,52)÷2 !¿ = 0,2565

Ejercicio 32Se estiman que en promedio en uno de cada 4,000 vuelos de una línea tiene un accidente. Si en el transcurso de un año esta línea 2,000 vuelos, ¿Cuál es la probabilidad de que en el lapso de 3 años le ocurra, a) un accidente a algún avión de esta compañía, b) 5 accidentes de esta línea aérea?

Solución:

P= 1/4000n= 2000λ= np = 0,5 (3) = 1,5a) P(X=1)= (e¿¿−1,5×1,51)÷1 !¿= 0,3347

15

b) P(X=5) = (e¿¿−1,5×1,55)÷5 !¿= 0,0141

Ejercicio 33Se considera que en promedio 2 personas que deben declarar y pagar impuestos en una aduana, no lo hacen. Calcular las probabilidades siguientes considerando que lo anterior sucede en un lapso de tiempo de 3 días, a) 3 personas pasan sin declarar en el transcurso de un día, b) 3 personas pasa sin declarar en el transcurso de 3 días, c) 3 personas pasan sin declarar en el transcurso de 6 días.

Solución:

λ= 2/3a) P(x=3)= (e¿¿−2/3×2/33)÷3 !¿= 0,0254b) λ= 2 P(x=3)=(e¿¿−2×23)÷3 !¿= 0,1804c) x=4P(x=4) (e¿¿−4×43)÷3 !¿ = 0,1954

Ejercicio 34En taller tipográfico se producen libros de matemáticas y se sabe que en promedio se producen libros defectuosos en una razón de 21 por cada 10,000 libros, los defectuosos consisten en hojas en blanco, mala encuadernación, cortes y rebajas incorrectas etc. Calcular la probabilidad de que en una edición de un libro con 50,000 ejemplares se tengan 50 defectuosos.

Solución:

λ= 21x50000/10000= 105P(X=50)= (e¿¿−105×10550)÷50 !≅ ¿ 0

Ejercicio 35Una compañía de seguros se dedica a asegurar cosechas de maíz, frijol y arroz, en promedio al año se pierde 17 de cada 500 cosechas aseguradas. Si la compañía decide asegurar 1,000 cosechas, ¿Cual es la probabilidad de que se pierdan 25 cosechas?

Solución:

λ= 17 x 1000/500= 34P(x=25) =(e¿¿−34×3425)÷25 !¿ = 0,0214

Ejercicio 36

16

En una fábrica de ropa el gerente de producción, tiene estadísticas que le indican que en promedio existe un defecto en cierta tela que produce por cada rollo, calcular la probabilidad de que, a) tenga un defecto un rollo seleccionado al azar, b) no tenga ningún defecto un rollo seleccionado al azar, c) no se encuentre ningún defecto en dos rollos seleccionado al azar, d) se encuentren 3 defectos en un total de 4 rollos seleccionado al azar.

Solución:

λ=1 a) P(X=1)=(e¿¿−1×11)÷1!¿= 0,3679b) P(X=0)=(e¿¿−1×10)÷0 !¿ = 0,3679c)λ=2P(X=0) = (e¿¿−2×20)÷0 !¿= 0,1353λ= 4P(x=3)= (e¿¿−4×43)÷3 !¿= 0,1954

Ejercicio 37Una fábrica de chocolates detectó que el 2% de sus envolturas de un chocolate en especial no lleva pilón. Si se eligen 400 de dichas envoltura:a) ¿Cuántas envolturas sin pilón se esperaría encontrar?b) ¿Cuál es la probabilidad de hallar a lo más 5 envolturas sin pilón?c) ¿Cuál es la probabilidad de hallar al menos 5 envolturas sin pilón? d)

Solución:

λ= 400(0,02)= 8a) P(X=0)=(e¿¿−8×80)÷0 !¿= 0,0003b) P(X≤5)= P(λ=8, K=5)= 0,191c)P(X≥5)= 1 – p(X≤4) = 1 – P(λ=8, K=4) = 1 – 0,10 = 0,9

Ejercicio 38La probabilidad de que una persona muera de cáncer es de 0.0003. Si se hace la autopsia a 20,000 cadáveres. ¿Cuál es la probabilidad de que, a) nadie haya muerto de Cáncer, b) Por lo menos dos hayan muerto de Cáncer, c) Más de 6 hayan muerto de Cáncer?

Solución:

P= 0,0003n= 20000λ= np= 6a) P(X=0) = (e¿¿−6×60)÷0 !¿ = 0,0025b)P(X≥2) = 1- P(X≤1) = 1 – P(λ=6, K=1) = 1 – 0,017 = 0,983c)P(X>6)= 1 – P( X ≤ 6) = 1 – P(λ= 6, K=1) = 1 – 0,606 = 0,394

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Ejercicio 39Suponga que en promedio una secretaria comete 3 errores de mecanografía por página. Encuentre la probabilidad de que en una página tenga, a) exactamente 5 errores, b) al menos 4 errores.

Solución:

λ= 3 a) p(X= 5) = (e¿¿−3×35)÷5 !¿ = 0,1008b)P (X≥4) = 1 – P(X≤3) = 1 – P(λ=2, K=3) = 1 – 0,857 = 0,143

Ejercicio 40En un agencia automotriz se sabe que en promedio dos de cada 100 clientes regresan a reclamar algún defecto visible que tiene el automóvil, esto ocurre en un tiempo de un mes. Sobre esta base si se vende 100 autos calcular la probabilidad de que, a) más de 3 clientes regresen a reclamar en el lapso de un mes, b) 4 clientes regresen a reclamar en el lapso de un mes, c) calcular la media y la varianza.

Solución:

λ= 2 x 100 / 100 = 2a) P(x>3) = 1 – p(x≤3) = 1 – p(λ=2, K=3)= 1- 0,857 = 0,143b) p(x=4) = (e¿¿−2×24)÷4 !¿= 0,0902c)σ 2=λ = 2

Ejercicio 41En una compañía aseguradora existen estadísticas que revelan que cada año promedio 1 de cada 1,000 conductores asegurados tienen una colisión fuerte (Pérdida total). Si una compañía en particular tiene 500 automóviles asegurados, calcular la probabilidad de que colisionen, a) 4 conductores asegurados, b) por lo menos dos conductores asegurados colisionen, c) más de dos conductores asegurados.

Solución:

p=1/1000 n=500λ= np= 0,5

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a)p(X= 4) = (e¿¿−0,5×0,54)÷ 4 !¿= 0,0016

b) p(X≥2) = 1 – p(x≤1) = 1 - e−4 ( 40

4 !+ 4

1

1 !+ 4

2

2!+ 4

3

3 !)

c) p(x>2) = 1- p(x≤2)= 1 - e−0,5( 0,50

0 !+ 0,5

1

1!+ 0,5

2

2 !)= 1 – 0,986 = 0,014

Ejercicio 42En una población de la sierra de Guerrero donde la contaminación es prácticamente nula, la probabilidad de que una persona contraiga una infección respiratoria es de 0.0004. Calcular la probabilidad de que a lo más 5 de 10,000 personas que se sometan a un análisis médico hayan contraído la enfermedad.

Solución:

p= 0,0004 n= 10000λ= np= 10000 (0,0004)= 4

p(x≤5)= 1 - e−4 ( 40

4 !+ 4

1

1 !+ 4

2

2!+ 4

3

3 !) = 0,785

Ejercicio 43Un fabricante de video grabadoras sabe que el 10% tiene algún defecto, si un tienda de aparato electrónicos adquiere 50 videos grabadoras, hallar la probabilidad de que, a) Cuatro estén defectuosas, b) a los más 3 son defectuosas.

Solución:

P= 0,10n=50 σ= 5σ 2= 2,1213a) p(x=4)= p(3,5<x<4,5)= p(3,5 -5/2,12<z<4,5-5/2,15) = p(-0,70<z<-0,23) = 0,4068 – 0,2396 = 0,1672b) p(x≤3)= p(z≤3-5,05/2,12)= p(z≤ -070) = 0,2396

Ejercicio 44En un estacionamiento en la central de abastos se tienen dos entradas, en la primera llegan en promedio 4 vehículo cada hora y por la segunda 5 vehículos cada hora, la llegada de vehículo a estas entradas son independiente. Calcular la probabilidad de que llegue más de 7 automóviles en una hora.

Solución:

19

λ= 9

P(x>7) = 1 – p(x≤7)= 1 –e−9( 90

0 !+ 9

1

1 !…+ 9

7

7 !) = 0,676

Ejercicio 45

En una carrera automovilística, las velocidades registradas tienen una media de 90 km/h. Con una desviación estándar de 8 km/h. Si se supone normalidad, encuentre los porcentajes de velocidad, a) mayores de 100 km/h, b) menores de 80 km/h, c) Que se encuentran entre 85 y 95 km/h.

Solución:

Sea ξ la velocidad de los autos que participan en la carrera. Se sabe que esta magnitud cumple lo siguiente:

ξ N (100 ;82)a) P (ξ>100 )=?b) P (ξ<80 )=?c) P (85<ξ<95 )=?

Estas preguntas están referidas a una variable aleatoria normal no típica; por ello se pasa ahora con los interrogantes a tipificar, graficar y calcular valores de las probabilidades en tabla se obtiene:

a.) P (ξ>100 )=P (Z>1.25 )=1−0.89=0.11

b .¿ P (ξ<80 )=P (Z←1.25 )=0.11

c .¿P (85<ξ<95 )=P (−0.625<Z<0.625 )=0.468

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Ejercicio 46El tiempo necesario para llenar un frasco de un producto es una variable aleatoria que sigue una distribución normal, con una media de 10 minutos y una desviación estándar de un minuto. Encuentre el tiempo de llenado del frasco de manera tal que la probabilidad de exceder esta sea de 0.03.Solución:

Sea ξ el tiempo necesario para llenar un frasco de un producto . Se sabe que esta magnitud cumple lo siguiente: ξ N (10 ;12 )

a)P (ξ> x )=0,03


a)P (ξ> x )=0,03=P (Z>11,88)=0,03=P (Z>1,88 )=0,03

Ejercicio 47Una fábrica de tornillos produce un tipo de tornillo con un diámetro promedio de 6.5 mm y una desviación estándar de 1.5 mm, ¿cuál es la probabilidad de encontrar tornillos con diámetro a) mayor que 7mm, y b) entre 6 y 7 mm? Suponga normalidad.

Solución:

Sea ξ diámetro de un tornillo que produce una fábrica. Se sabe que esta magnitud cumple lo siguiente: ξ N (6,5 ;1,52)

a)P(ξ>7)b)P(6<ξ<7)

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a)P(ξ>7)=P(Z>0,3)= 1- 0,6179 = 0,3821

b)P(6<ξ<7)=P(−0,3<ξ<0,3)=0,2358

Ejercicio 48En invierno en la Sierra de Chihuahua la temperatura media diaria fue de 5ºC con una desviación estándar de 2ºC. Si la distribución de las temperaturas diarias es aproximadamente normal. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado la temperatura hubiera estado, a) entre 3 y 6º C? b) a lo más de 4ºC? c) Por lo menos de 5.5ºC?

Solución:

Sea ξ La temperatura diaria en invierno en la sierra de chihuahua. Se sabe de la magnitud lo siguiente:

ξ N (5 ;22 )a)P(3<ξ<6)b)P(ξ>4)c)P(ξ<5,5)


Solución:

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a)P(3<ξ<6)

P(3<ξ<6)=P(−1<Z<0,5)= 0,5334

b)P(ξ>4)

P (ξ>4 )=P (Z>1,5 )=0,0668

c)P(ξ<5,5)

P(Z<0,25)=0,5987

Ejercicio 49Una empresa fabrica baleros con un diámetro de 2.006 cm y una desviación estándar de 0.02 cm. Estadística realizadas demostraron que todos los baleros fabricados con un diámetro de 1.95 cm hasta 2.03, son aceptados por los distribuidores fuera de estos se regresan a la fabrica. ¿Cuántos baleros de un grupo de 500 se espera que sean rechazados si el diámetro especificado sigue una distribución normal? Solución:

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Sea ξ diámetro de los baleros. Se sabe que esta magnitud cumple lo siguiente: ξ N (2,006 ; 0,022)

a)P(1,95<ξ<2,03)


a)P(1,95<ξ<2,03)=P(−2,8<ξ<1,2)= 1- 0,8824 = 0,1176

500*0,1176= 58.8 serian rechazados

Ejercicio 50En un aserradero se producen polines cuyo largo debe ser 2.12m en promedio, sin embargo si estos polines se encuentran entre 2m y 2.24m se observa que se rechazan aproximadamente el 2.5% por exceder el largo superior y un 2.5% por no llegar al largo inferior. Suponiendo que las longitudes están distribuidas normalmente, encuentre la desviación estándar de esta distribución.

Sea ξ el largo de los polines Se sabe que esta magnitud cumple lo siguiente:a) Hallar la desviación estándar


Solución:a) Hallar ξ N (2,12 ;σ )

μ=2,12

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Z0,025=−1,96

Z= x−μσ

σ= x−μZ

σ=2– 2,12−1,96

=0,06

Ejercicio 51La vida útil de un refrigerador de una marca de prestigio es de 5 años en promedio con una desviación estándar de 1.5 años. La garantía de estos aparatos es por un año, hallar la probabilidad de que si se adquiere uno de estos refrigeradores se tenga que reclamar la substitución.

Sea ξ la vida útil de un refrigerador. Se sabe que esta magnitud cumple lo siguiente:

ξ N (5 ;1,52 )a) P (ξ<1 )


Solución:

a) P (ξ<1 )

P (ξ<1 )=P (Z←2,6 )= 0,0046

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Ejercicio 52El tiempo promedio que tarda un ciclista en recorrer una distancia del punto A al punto B es de 40 minutos, con una varianza de 16 minutos. Hallar la probabilidad de que, a) tarde al menos 45 minutos, b) tarde de 36 a 45 minutos. Suponga normalidad.


ξ N (40 ;42 )a) P (ξ≤45 )=?b) P (36<ξ<45 )=?


Solución:

a) P (ξ≤45 )

P (ξ≤45 )=P (Z ≤1,25 )=0,8944

b) P (36<ξ<45 )=¿

P (−1<Z<1,25 )=¿0,737

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Ejercicio 53La vida útil de la pilar alcalinas de la marca E, tienen una media de 8.5 h con un desviación estándar de 0.5 h, las pilas de la marca D (Duracel), tienen un media de 8.2 h y una desviación estándar de 0.4 h, en ambas marcas la vida útil tiene una distribución normal. Si se elige una pila de cada marca, ¿cuál es la probabilidad de que la marca E dure más de 8.25 h y la marca D menos de 8.4 h?


ξ N (8,5; 0,52 )a) P (ξ>8,25 )b) P (ξ<8,4 )


a) P (ξ>8,25 )

P (ξ>8,25 )=P (Z>−0,5 )=0,6915

b) P (ξ<8,4 )

P (ξ<8,4 )=P (Z<0,5 )=0,6915

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Ejercicio 54El tiempo que tarda un camión materialista entre la bodega de carga y la obra de construcción, es aproximadamente normal con una media de 25 minutos y una desviación estándar de 4 minutos. A qué hora debe salir el camión de la bodega, para tener una probabilidad del 95% de estar en la obra de construcción a la 10 de la mañana.

Sea ξ el tiempo q tarda un camión materialista entre la bodega de carga y la obra de construcción. Se sabe que esta magnitud cumple lo siguiente:

ξ N (25 ; 42 )a) P (ξ<k )=0,95


a) P (ξ<X )=0,95=P (Z<1,64 )=0,95

Z0,95=1,64

X=Zσ+μ=31,56

60- 31,56 = 28,44 a las 9:28

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Ejercicio 55En un laboratorio médico se envasan ciertos medicamentos en sobre cuya distribución de pesos sigue la distribución normal con una desviación estándar de 1.4 gramos. Si el 1% de los sobres pesan más de 6 gramos. ¿Cuál es el valor de la media?

Sea ξpeso de los medicamentos en los sobre. Se sabe que esta magnitud cumple lo siguiente:

ξ N (μ ;1,42 )a) Hallar la mediaξ N (μ;1,42 )


a) Hallar la media ξ N (μ ;1,42 )= ξ N (2,75 ;1,42 )P (ξ>6 )=0,01=P (Z>2,32 )=0,01

Z0,99=2,32

μ=X−Zσ

μ=6−2,32¿

μ=2,75

Ejercicio 56El promedio de vida de una licuadora de la marca S (Sony) es de 4 años, con una desviación estándar de un año, la fábrica repone sin cargo alguno al cliente todas las licuadoras que dejen de funcionar dentro del tiempo de garantía. Si sólo se desea reponer el 2% de las licuadoras que funcionen mal. ¿Qué tiempo de garantía se debe ofrecer? Suponga normalidad.

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Sea ξ vida de una licuadora sony . Se sabe que esta magnitud cumple lo siguiente:

ξ N (4 ;12 )a) P (ξ<X )=0,02


Solución:

a) P (ξ<X )=0,02

Z0,02=−2,05

X=Zσ . μ

X=−2,05 (1 ) .4=1,95

Ejercicio 57El peso que soporta una varilla especial para construcción, sigue la distribución normal, si en promedio aguanta 25 toneladas antes de romperse con una varianza de 4 toneladas, a) ¿A qué proporción de estas varillas aguantan un peso mayor de 27 Toneladas? b) Si las especificaciones dadas por el fabricante requieren que todas las varillas aguanten un peso entre 22 y 28 toneladas. ¿Qué % de varillas se esperan rechazar? c) de acuerdo a lo especificado en el inciso b, si se tiene un lote de 4,000 varillas, ¿cuántas se rechazarían?

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Sea ξ peso que soporta una varilla de construcción. Se sabe que esta magnitud cumple lo siguiente:

ξ N (25 ;22 )a) P (ξ>27 )=?b) P (22<ξ<28 )=?c) Cuantas varillas se rechazarían si hay 4000 varillas.


Solución:

a) P (ξ>27 )=P (Z>1 )=1−0,8438=0,1562

b) P (22<ξ<28 )=P (−1,5<ξ<1,5 )=0,8664=1−0,8664=0,1336

c) 4000(0,1336)=534 varillas serian rechazadas

Ejercicio 58El diámetro interior para un balero delantero de un automóvil de una marca W, está distribuido normalmente con una medio de 5 cm y una varianza de 0.04 cm, ¿Cuál es la probabilidad de que un balero tenga un diámetro interior, a) mayor a 5.04 cm? B) Entre 4.98 y 5.02 cm?


ξ N (5 ;0,22 )a) P (ξ>5,04 )

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b) P (4,98<ξ<5,02 )=?


a) P (ξ>5,04 )

P (ξ>5,04 )=P (Z>0,2 )=0,4207

b) P (4,98<ξ<5,02 )

P (4,98<ξ<5,02 )=P (−0,1<ξ<0,1 )=0,0796

Ejercicio 59El promedio de tiempo en que un coche de una marca japonesa empieza a dar problemas es 3.5 años con una desviación estándar de 0.5 años, un coche de fabricación alemana tiene una media de 4 años con una desviación estándar de 0.4 años. En ambos casos el tiempo en que empiezan a dar problemas, sigue una distribución normal. Si se elige al azar un automóvil de cada marca, ¿Cuál es la probabilidad de que la marca japonesa dure más de 3 años y la marca alemana a lo más 4.2 años?

Sea ξ tiempo en que un coche empieza a dar problemas. Se sabe que esta magnitud cumple lo siguiente:

Japonξ N (3.5 ;0,52 ) y alemaniaξ N (4 ;0,42 )

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a) P (ξ>3 )=?b) P (≤4,2 )=?


Solución:

a) P (ξ>3 )=P (Z>−1 )=1−0,1587=0,8413

b) P (ξ≤4,2 )=P (Z≤0,5 )=0,6915

Ejercicio 60

Se sabe que el tiempo que tarda un jefe de personal en entrevistar a una aspirante para una vacante en su compañía sigue una distribución normal. Si el 10% de los entrevistados tardan más de 60 minutos y el 4% duran menos de 35 minutos, hallar la media y la varianza.

Sea ξ tiempo que tarda el jefe de personal en entrevistar a un aspirante. Se sabe que esta magnitud cumple lo siguiente:

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ξ N (μ ;σ 2 ) a)Hallar ξ N (μ; σ2 )


Solución:

a)Hallar ξ N (μ; σ2 )=ξ N (49,43 ;8,352 )

Z0,90=1,28 y Z0,04=−1,75

σ= X−μZ

=60−μ1,28

y σ= X−μZ

=35−μ−1,75

−1,75 (60−μ )=1,28 (35−μ )−105+1,75 μ=44,8−1,28μ 3,03 μ=149,8μ=49,43

σ=60−49,431,28

=8,35

Ejercicio 61La resistencia de los alambres que se usan en una computadora de una marca especial, esta distribuida normalmente. Si el 8% de estos alambres soportan una resistencia de más de 100 Ohms y el 25% soportan menos de 95 Ohms, encuentre la media y la desviación estándar.

Ejercicio 62En un aserradero se cortan árboles en trozos de 4m en promedio, con una desviación estándar de 0.2m, estas longitudes están distribuidas normalmente.a) Si se elige un lote de 500 trozos ¿Cuál será el número probable de estos

que superen la longitud de 4.1m?b) Si se eligen 8 trozos ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3

tengan una longitud mayor de 4.1m?

Ejercicio 631. Una compañía produce baleros con diámetros que tienen una

distribución normal con una media de 3.0005 mm, y una desviación estándar de 0.0010 mm. Las especificaciones requieren que los diámetros estén en el intervalo 3.000 0.0020 mm. Se rechazan los

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baleros que quedan fuera del intervalo debiéndose volver a maquinar. ¿Qué fracción de la producción será rechazado?

Ejercicio 64Para seleccionar a sus empleados, un comerciante usa una prueba que tiene una puntuación promedio , una desviación estándar = 10. Suponga que la distribución de las puntuaciones es normal; y que una puntuación mínima de 65 le permite al solicitante seguir siendo considerado ¿Cuál debe ser el valor de , si se quiere que aproximadamente el 2.5% de los solicitantes sigan siendo considerados después de esta prueba?

Ejercicio 65Los diámetros promedio del grueso del diámetros de una gran número de tornillos se distribuyen normalmente con un promedio igual a 2.4 cm y desviación estándar igual a 0.5 cm.a) ¿Qué fracción de tornillos tendrá un diámetro promedio mayor que 3.0

cm?b) Si los tornillos que tienen un promedio de diámetro igual o menor que 1.9

cm son desechados ¿Qué porcentaje se elimina?c) Se supone que se selecciona al azar tres tornillos de entre todos ¿cuál

es la probabilidad de que los tres tengan diámetro promedio mayor que 3 cm?

Ejercicio 66Un estudio reporta que el 10% de los obreros de cierto departamentos pesan 112 lb o menos, y que 10% pesan 140lb o más. Suponga que esas frecuencias relativas pueden tomarse como probabilidades y que la distribución de los pesos es una distribución normal. Encuentre la media y la varianza de dicha distribución.

Aproximación de la Distribución Normal a la Binomial

Ejercicio 67Una encuesta realizada por la dirección del agua potable entre los residentes de una ciudad indica que el 20% desea que se le instale un medidor de agua por considerar que la cuota fija de pago es superior al costo real de consumo. Si 100 residente solicitan su medidor de agua en dicha ciudad. Hallar la probabilidad de que entre 17 y 19 inclusive, le instalen su medidor de agua.

Ejercicio 68Un enfermo de leucemia, debido al avance en la medicina tiene una probabilidad del 45% de recuperarse. Si de 90 personas que han contraído la enfermedad, encuentre la probabilidad de que al menos 25 sobrevivan.

Ejercicio 69Los altos índices de contaminación ambiental en el D.F., ha ocasionado la fabricación para aparatos reducirla, la probabilidad de realizar la venta de uno de estos equipos en la primera entrevista es del 60%, si un vendedor

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entrevista a 80 posibles clientes. ¿Cuál es la probabilidad de al menos 40 clientes efectúen una compra?

Ejercicio 70Un ingeniero Industrial cree que el 20% de la pérdida de trabajo horas –hombre en la planta en que labora, se debe a que los empleados no cumplen adecuadamente con su trabajo en el horario asignado. Calcula la probabilidad de que 80 trabajadores investigados de esta fábrica de 14 a 20 incurran en esta irregularidad.

Ejercicio 71Una prueba de C.O.E. tiene 50 preguntas de opción múltiple con tres respuestas posibles. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que no sabe nada conteste correctamente de 14 a 25 preguntas?

Solución:

n=50p= 1/3μ= np= 16.67σ=√npq= 3.33P(14≤x≤25) P(x≤25)-P(x≤13)= p(z≤25-14.67+0.5) - P(z≤13-16.67+0.5) 33.3 33.3= p(z≤2.65) – P(z≤ -0.95)= 0.9960-0.1711= 0.8249

Ejercicio 72El gerente de una fábrica sabe que el 2% de los artículos que fabrica son defectuosos. Para hacer una prueba de control de calidad se seleccionan 1,000 artículos aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de que el número de artículos defectuosos, a) Sea mayor o igual a 14, b) Sea menor de 10?

Solución:

p= 0.02 μ= np= 20n= 1000σ = √npq= 4.43

A)P(x≥14)= 1-p(x≤13)= 1-p(z≤ 13-20+0.5) 4.43

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= 1-p(z≤-1.47)=1-0.0710= 0.929

B)P(x<10)= P(x≤9)= p(z≤9-20+0.5) 4.43=P(Z≤-2.37)= 0.0089

Ejercicio 73Una compañía farmacéutica fabrica una medicina para bajar la presión arterial alta, afirma que es efectiva en el 90% de los casos en los pacientes de este mal. El Seguro Social para verificar esta afirmación utiliza una muestra de 150 individuos con presión alta y les da el medicamento, si es efectivo en 128 enfermos o más se acepta. ¿Cuál es la probabilidad de, a) aceptarlo si la efectividad es realmente 80%?, b) rechazarlo cuando la efectividad es menor o igual al 80%?

Solución: p= 0.90n=150μ= n.p= 135σ2 = √npq= 3.67p(x≥128)=1-p(x≤127)1-p(z≤127-135+0.5) 3.67

= 1-p(z≤-2.04)=1-0.0206= 0.9794

Ejercicio 74

En una gasolinera en la que se aceptan tarjetas de crédito, el 30% de los usuarios la utilizan. ¿Cuál es la Probabilidad de que 300 clientes al menos 195 paguen en efectivo?

Solución:

n=300 μ=np=210

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p=0, 70 σ=√np (1−p )=7,94 P (ξ ≥1,95¿=1−P(ξ≤1,94 )

¿1−P(Z≤1,94−210+0,5)

7,94¿1−p( z≤1,95)

¿1−0,0254¿0 ,9746

Ejercicio 75

Una prueba de opción múltiple contiene 30 preguntas, cada una de ellas tiene 4 posibles respuestas. Si un estudiante que no estudió contesta en forma aleatoria cada pregunta. ¿Cuál es la probabilidad de que más de la mitad estén correctas?

n=30 μ=np=7,5p=1/4 σ=√np (1−p )=3,37 P (ξ>15¿=1−Pξ(≤15)

¿1−P(Z≤15−7,5+0,5)

3,37¿1−P (Z≤3,37 )

¿1−0,9996¿0,0004

Ejercicio 76Una fábrica produce bombas para desaguar lavadoras, debido a su equipo ya obsoleto, se sabe que el 15% de su producción tiene alguna falla, se seleccionan 50 de estos aparatos aleatoriamente para una prueba de control de calidad- ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 8 estén defectuosos?

P=0,15 n=50 μ=np=7,5p (ξ ≥8¿=¿ σ=√np (1−p )=¿2,52

¿1−P(ξ≤7)

¿1−P(Z≤15−7,5+0,5)

2,52

¿1−P(Z ≤0)¿1−0,5=0,5

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Ejercicio 77En una encuesta realizada por una empresa, encontró que el 60% de los entrevistados utilizan un automóvil de la marca W. Si se pregunta aleatoriamente a 100 personas con automóvil, que marca tienen de automóvil. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 70 de este grupo tenga un automóvil de la marca W?

P=0,60 n=100 μ=np=60p (ξ ≤70¿=¿ σ=√¿¿=4,90

¿P(ξ ≤70)

¿1−P(Z≤70−60+0,5)

4,90

¿P(Z≤2,14)¿0,9840

Ejercicio 78

Se sabe que el 15% de las lámparas que adquiere un municipio están defectuosas. En una muestra aleatoria de 200 lámparas, hallar la probabilidad de que a los más 25 o al menos 40 estén defectuosas.

P=0,15 n=200 μ=np=30p (ξ ≤25¿+ p (ξ≤40) σ=√np (1−p )=¿p (ξ ≤25¿+1−p (ξ ≤39)1+p (ξ ≤25¿−p(ξ ≤39)

¿1+P (Z ≤25−30+0,5)

5,05−P(Z≤39−30+0,5)

5,05

¿1+P (Z ≤−0,89 )−P(Z≤1,88)¿1+0,1864−0,97

=0,2164

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taller de bioestadistica

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