tac resumo

Estudo das equaes de Maxwell na presena demonopolos magnticos

Dalton Nunes Oliveira e Fbio Jorge de N. Ferreira

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia do Par - IFPA

27 de julho de 2015

(IFPA) MONOPOLOS MAGNTICOS 27 de julho de 2015 1 / 48

1 BREVE HISTRICO DAS EQUAES DE MAXWELL

2 AS EQUAES DE MAXWELLDeduo das equaes de Maxwell

Lei de Gauss eltricaLei de Gauss magnticaLei de FaradayLei de Ampre-Maxwell

Lei de AmpreCorreo na lei de Ampre: A lei de Ampre-Maxwell

A equao de ondasPotencial vetor magnticoCarga magnticaLeis de conservao

Equao de continuidadeTeorema de PoyntingConservao do momento linearConservao do momento angular

3 M. M. E A QUANTIZAO DA CARGA ELTRICA

4 COMO O MONOPOLO PODE SER DETECTADO?(IFPA) MONOPOLOS MAGNTICOS 27 de julho de 2015 2 / 48

5 CONCLUSO E PERSPECTIVAS

6 AGRADECIMENTOS


BREVE HISTRICO DAS EQUAES DE MAXWELL

Sumrio I



Lei de Gauss eltricaLei de Gauss magnticaLei de FaradayLei de Ampre-MaxwellLei de AmpreCorreo na lei de Ampre: A lei de Ampre-Maxwell





Sumrio II3 M. M. E A QUANTIZAO DA CARGA ELTRICA

4 COMO O MONOPOLO PODE SER DETECTADO?


6 AGRADECIMENTOS



Alessandro VoltaHans Christian OerstedAndr-Marie AmpreMichael FaradayJames Clerk MaxwellOliver HeavisidePaul A.M. Dirac


AS EQUAES DE MAXWELL

Sumrio I











6 AGRADECIMENTOS



Reunindo as quatro equaes de Maxwell, expressas pelas leide Gauss eltrica e magntica, lei de Faraday e pela lei de Ampre-Maxwell, temos o conjunto na forma diferencial:

~E = 0

(Lei de Gauss eltrica) (1)

~B = 0 (Lei de Gauss magntica) (2)

~E = ~Bt

(Lei de Faraday) (3)

~B = 0~J + 00~Et

(Lei de Ampre-Maxwell) (4)

Do ponto de vista macroscpico, para meios quaisquer, temos asseguintes equaes:


AS EQUAES DE MAXWELL Deduo das equaes de Maxwell

Forma diferencial das equaes de Maxwell:

~E = 0

(Lei de Gauss eltrica) (5)

~B = 0 (Lei de Gauss magntica) (6)

~E = ~Bt


~B = 0~J + 00~Et


Do ponto de vista macroscpico, para meios quaisquer, temos asequaes:

~D = (Lei de Gauss eltrica) (9) ~B = 0 (Lei de Gauss magntica) (10)

~E = ~Bt


~H = ~J + ~Dt


Onde ~D e ~H so campos auxiliares.(IFPA) MONOPOLOS MAGNTICOS 27 de julho de 2015 10 / 48


Lei de Gauss eltrica

A lei de Gauss relaciona o fluxo eltrico s cargas eltricas en-volvidas.

Integrando em superfcies gaussianas (esfricas) o fluxo ser

=

S~E d~A (13)

O campo eltrico radial de uma carga pontual

~E =kqr2r (14)

Substituindo 14 na 13, temos

=

Skqr2dA



Sendo =q0

, substitui este na 13, ficando:

S~E d~A = q

0 esta a primeira lei de Maxwell de eletrosttica

(15)Reescrevendo a equao acima em termos de densidade de carga

, temos

S~E d~A = 1

0

VdV .

Aplicando o teorema do divergente,

V ~EdV = 1

0

VdV .

Finalmente:

~E = 0

que a lei de Gauss na forma diferencial. (16)



Lei de Gauss magntica

A lei de Gauss para o magnetismo diz que o fluxo do campo

magntico ~B atravs de qualquer superfcie fechada zero:

~B d~A =0QM

Como no h evidncias de monopolos magnticos, a integraldeve ser nula

~B d~A = 0 (17)

esta a lei de Gauss do magnetismo na forma integral.Aplicando o teorema do divergente, temos:

~B = 0 (18) esta a lei de Maxwell do magnetismo na forma diferencial.



Lei de Faraday

Figura: Experimento 1 e 2

Figura: Experimento 3



Relacionando o campo eltrico induzido no conservativo ~E :

=

~E d~l = ddt

(19)

Temos que a expresso do fluxo magntico:

M =

S~B d~A (20)

Utilizando a expresso do fluxo magntico e relacionando, temosque:

C~E d~l = d

dt

S~B d~A (21)

esta a forma integral da lei de Faraday.



Aplicando o teorema de Stokes na equao anterior, temos

C~E d~l =

S( ~E) d~A =

S~Bt d~A (22)

Finalmente:

~E = ~Bt

(23)

esta a forma diferencial da lei de Faraday.



Lei de Ampre

Considerando um fio infinito percorrido por uma corrente I, queproduz um campo magntico circular em torno do fio. Segundo ocampo magntico que descreve uma circunferncia em torno do fio e

dado por: ~B =0I2pi

Considerando, agora, uma curva circular em torno do fio (de raio), como mostra a figura



Temos ~B d~l = 0I2pi

dIntegrando a equao acima sobre a curva circular C temos;

C~B d~l = 0I (24)

Sendo I =

S~J dA, ento:

C~B d~l = 0

S~J dA (25)

Aplicando o teorema de Stokes e considerando para qualquersuperfcie:

~B = 0~J (26)Esta lei (lei de Ampre) afirma que campos magnticos so ge-

rados por correntes eltricas.



Correo na lei de Ampre: A lei de Ampre-Maxwell

No h na lei de Ampre um termo que relacione campos eltri-cos variveis com a produo de campos magnticos induzidos. Este

fato sugere que deve surgir um termo do tipo~Et

para que a correoseja feita.

Associamos corrente eltrica taxa de variao temporal do campoeltrico que era o termo que faltava.

I = 0

S~Et ndA (27)

Pela (27) relaciona-se com um tipo de corrente chamada correntede deslocamento.



Combinando a lei de Ampre com (27):

C~B d~l = 0

S~J ndA + 00

S~Et ndA (28)

A expresso (28) a extenso da lei de Ampre para camposdependentes do tempo. Ela chamada de lei de Ampre-Maxwell. Naforma integral

A forma diferencial dada partindo-se da continuidade

t+

~J = 0

t+ ~J = 0

Esta a lei de Ampre-Maxwell em sua forma diferencial

~B = 0~J + 00~Et

(29)


AS EQUAES DE MAXWELL A equao de ondas

Para regies do espao onde no h carga ou corrente, as equa-es de Maxwell dizem que:

(i) ~E = 0(ii) ~B = 0

(iii) ~E = ~Bt

(iv) ~B = 00~Et

Aplicando-se o rotacional em (iii), fica 2~E = 00 2

t2~E . Mesmo

procedimento em (iv), ficando 2~B = 00 2

t2~B. No vcuo, cada com-

ponente cartesiano de ~E e ~B satisfaz a equao de onda tridimensional

2f = 1v2

2

t2f .


AS EQUAES DE MAXWELL A equao de ondas

Portanto , as equaes de Maxwell sugerem que o espao vaziocomporta a propagao de ondas eletromagnticas viajando a umavelocidade

00 =1v2

v = 100

3,00 108 m/s

o que precisamente a velocidade da luz. Unificao da tica


AS EQUAES DE MAXWELL Potencial vetor magntico

Potenciais eletromagnticos so definidos a partir das equaesde Maxwell pela formulao matemtica para o fato fsico da no exis-tncia de monopolos magnticos:

~B = 0 (30)

O campo magntico ~B pode ser expresso em termos do potencialvetor magntico

~B = ~A (31)Usando o potencial vetor magntico e reescrevendo a lei de Fa-

raday, fica

~E = V ~At

(32)


AS EQUAES DE MAXWELL Carga magntica

Admitindo que exista carga magntica, as equaes de Maxwellficariam da seguinte maneira:

(i) ~E = e0

(ii) ~B = 0m(iii) ~E = 0~Jm

~Bt

(iv) ~B = 0~Je + 00~Et

Aplicando o divergente em (iii) e (iv), obtemos ~Jm = mt

e

~Je = et

sendo que ambas as cargas seriam conservadas.


AS EQUAES DE MAXWELL Leis de conservao

Equao de continuidade

Considerando a conservao de carga, a carga em um volume V

Q(t) =

V(~r , t)d (33)

A corrente que flui atravs do contorno S

S~J d~a.

Ento a conservao de carga diz que:

dQdt

=

S~J d~a (34)



Usando a (33) para reescrever o lado esquerdo e recorrendo aoteorema do divergente na lado direito, temos:

V

td =

V ~Jd (35)

Segue-se que, para qualquer volume

t= ~J (36)

que a equao da continuidade.Esta a declarao matemtica precisa da conservao local de

carga.



Quanto trabalho, dW , realizado pelas foras eletromagnticasque atuam nas cargas no intervalo dt?

dWdt

= ddt

V12

(0E2 +

10

B2)d 1

0

S(~E ~B) d~a (37)

Esse o teorema de Poynting, o "teorema de energia-trabalho"da eletrodinmica.

O teorema de Poynting diz que o trabalho realizado sobre cargaspela fora eletromagntica igual ao decrscimo de energia armaze-nada no campo, menos a energia que flui para fora atravs da superf-cie.

A energia transportada pelos campos chamada de vetor dePoynting:

~S 10

(~E ~B) (38)



Conservao do momento linear

Momento armazenado nos prprios campos eletromagnticos:

~pem = 00

V~Sd (39)

A densidade do momento nos campos (Pem):

Pem = 00~S (40)Observao sobre o vetor de Poynting:~S em si, a energia por unidade de rea, por unidade de tempo,transportada pelos campos eletromagnticos.00~S o momento por unidade de volume armazenado nessescampos.



Conservao do momento angular

Os campos eletromagnticos transportam energia

Uem = 12(0E2 +

10

B2)

, (41)

transportam momento

~Pem = 00~S = 0(~E ~B) , (42)e, alm disso, transportam momento angular:

~Lem = (~r ~Pem) = 0[~r (~E ~B)] (43)


M. M. E A QUANTIZAO DA CARGA ELTRICA

Sumrio I











6 AGRADECIMENTOS



O fsico ingls Dirac argumentou que a simples existncia de mo-nopolos magnticos no universo ofereceria uma explicao plausvelsobre a natureza discreta da carga eltrica. Ele sugeriu a existnciade partculas elementares do magnetismo, chamadas de monopolosmagnticos. Ele estava interessado em entender a razo pela qual ascargas eltricas das partculas elementares so quantizadas.

Ao procurar uma resposta para esta pergunta, Dirac mostrou que:

q = N}c2

1g

(44)

A argumentao de Dirac relativamente complexa, entretanto,mostraremos estudando um problema interessante de um sistema co-nhecido como dipolo de Thomson.



o campo do monopolo magntico

~B =0qm

4pi~r

r 3(45)

Em Mecnica Quntica, o momento angular encontrado em uni-dades semi-inteiras de }, de modo que temos, portanto,

L =0qeqmd

4pi= n

}2

no sistema gaussiano

q = N}c2

1g, que a equao (44),


COMO O MONOPOLO PODE SER DETECTADO?

Sumrio I











6 AGRADECIMENTOS



Supondo que os monopolos magnticos existam, vamos agoradescrever a maneira pela qual poderiam ser produzidos e detectados.

Um tipo de coliso que poderia produzir um par de monopolosseria a interao de um fton de altssima energia com um prton, re-presentado na figura abaixo.

Uma possibilidade mais promissora seria a procura de monopo-los magnticos na atmosfera, como uma componente dos raios csmi-cos.



A fim de entendermos melhor esta experincia, vamos discutirbrevemente a interao do monopolo com a matria. Inicialmente, lem-bremos que uma carga magntica parada s produz um campo mag-ntico radial, produzindo, quando em movimento, um campo eltricocircular, proporcional sua velocidade.

Estas propriedades so esquematizadas na figura abaixo.

Figura: esquerda: monopolo magntico em repouso (campo magnticoradial); direita: monopolo magntico em movimento (campo eltricocircular)



Consideremos agora o movimento do monopolo na matria, comomostra a figura 4:

Figura: Movimento do monopolo na matria

Durante sua passagem, devido interao do monopolo com ostomos da matria, este perder energia, de modo que sua velocidadeir diminuindo: v2 < v1.

pM FEt g (46)



A ionizao resultante no material, devido ao do campo el-trico do monopolo, ser proporcional a este impulso, sendo, portanto,independente da velocidade.

Figura: esquerda: trao uniforme do monopolo; direita: trao sealargando medida que a partcula se desacelera



O dispositivo usado na experincia constitudo essencialmentepor um detector de Cerenkov e um grande nmero (da ordem de 30)de placas que medem a ionizao. Nesta experincia foi observadoum trao de uma partcula muito energtica, que atravessou todo odispositivo experimental, conforme indicado na figura 6:

Figura: Trao de uma partcula muito energtica



Os pontos experimentais esto alinhados essencialmente ao longode uma reta correspondente a uma ionizao constante de valor 137e.Este resultado totalmente consistente com a ionizao devido ao mo-nopolo magntico de intensidade g, cujo valor, segundo a equao (46) dado por g = 137e. Este valor corresponde ao caso N = 2 na equa-o de Dirac (44).

Figura: Resultado da anlise do trao(IFPA) MONOPOLOS MAGNTICOS 27 de julho de 2015 41 / 48


Portanto, esta experincia apresentou, pela primeira vez, um in-dcio da possvel existncia dos monopolos magnticos.

necessrio ter muita cautela antes de concluir que esta part-cula representa, com toda certeza, um monopolo magntico.

Esta experincia precisar ser repetida at obtermos um nmeroexpressivo de confirmaes experimentais. Se isto acontecer teremos,ento, uma prova mais conclusiva da existncia dos monopolos mag-nticos na natureza.


CONCLUSO E PERSPECTIVAS

Sumrio I











6 AGRADECIMENTOS



Tendo em vista a grandiosidade de sua massa, qualquer mono-polo que possa vir a existir hoje provavelmente foi produzido nos pri-mrdios da existncia do universo, quando a temperatura era altamenteelevada.

Haja vista que o estudo terico dos monopolos magnticos possalevar a conexes surpreendentes entre a fsica de partculas e a cos-mologia, vale a pena ressaltar as sbias palavras de Faraday "Nada emaravilhoso demais para ser verdade, se for consistente com as leis danatureza, porm a experincia o melhor teste".


AGRADECIMENTOS

Sumrio I







AGRADECIMENTOS




6 AGRADECIMENTOS


AGRADECIMENTOS

Aos professores Charles, Joo Paulo, Leonardo, Daniel Palheta,Marcelo, Arlindo, Bosco, Hardiney e Tadeu, pela dedicao e seriedadena graduao. Em particular, ao professor Charles pela orientao eaos professores Joo Paulo e Leonardo pela disposio em participarda banca.


BREVE HISTRICO DAS EQUAES DE MAXWELLAS EQUAES DE MAXWELLDeduo das equaes de MaxwellA equao de ondasPotencial vetor magnticoCarga magnticaLeis de conservao

M. M. E A QUANTIZAO DA CARGA ELTRICACOMO O MONOPOLO PODE SER DETECTADO?CONCLUSO E PERSPECTIVASAGRADECIMENTOS

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