tableau switching: algorithms and applications georgia benkart

35

Upload: duongthuy

Post on 02-Jan-2017

215 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

����������� �� ������������������������! "�#����$ %&����' ��(�(��)�)�*�+�,���!��%

-/.#021436587:9�.#;=<>761@?A .#BC761@?4DE.#;F?G0IH�JK7>?ML=.#DN7I?45PO#QR ;=5TS2.#14Q45T?VUW06HYXZ5PQ@O�02;=Q@5P;JK76[=5\Q402;^]=XZ5\Q4O#02;=Q45\;`_6aFb6c2d

e 1476;=<gfh0I?4?M5\iP.A .#BC761@?4DE.#;F?G0IH�JK7>?ML=.#DN7I?45PO#Q

R ;=5\S6.�14Q@5\?VUW0IHkjY021406;l?40jY021402;F?40=]nm;l?M76145\0J�_2f�o)p+o�qr7I;C76[C7

s .�tu1@.#Uvfl?M140w02D!.�1p�j*xyjz9�.#iPi|{}76~n021M7>?M021@5P.�Q���p�{Yq��2q��Va2dF�o��I�lb�fh02��?4L�q�.#[C761Gq�14.#Q@?�9�02�=i\.#SI761@[p�i\iP.#;l?40��*;^]C��.#;=;=Q�UhiTSI76;=587go���o)c2a

s 02�=14;=76i|06H,q�02D�~=5\;C7I?M0614587Ii�j�L=.#021@Ugp+]��"02i���b6d�]C��0=��o2]�mO#?402~n.�1/o��2�2dh]^o2o��w�2a��

Page 2: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart
Page 3: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

���u�������l����W G¡F �¢w£F �¤�£l¡�¥�¦w¤)§�¤�¥M¨V �§�©«ª� y¬4­|®P¯±°�²>®P³I´�µw¤�£�¶�·= �§�¤)¨¸©¹¶º£�¨¸¦l¤)¨�¨¸¤)»� ½¼"¨�¾�¶/¨¸¤)¿hÀ« ½¤�Á2Â

¼¸¦w¤)§�©¹£FÃ�¤�¥M¶ºÄ/Äy¶º£Å¿=¶�§�¡F �§|¤�£l¡gÆVÄy¶#Ç� ½¼Y¨¸¦l ½ÄȨ¸¦F§¸¶ºÁFú¦ ½¤�¥@¦Å¶�¨¸¦l �§�É�ú©«Ç2©¹£FÃ�¤�£F¶�¨¸¦F �§¼¸Áw¥�¦y·w¤�©¹§½Ê|Ë2 �Ç� �§�¤�Àl¤�ÁF¨¸¦F¶�§@¼�µ>©¹£l¥�ÀTÁl¡l©¹£FÃr̺¤�Äy ½¼�¤�£l¡/Í� �§�¿� �§�µºÎ" ½Ä/Äy ½À±µ>ÏФ�©TÄ/¤�£Cµ>¤�£l¡Ë2¦w©¹Äy¶�ª�¶º£F¶Fµ)¦l¤½Ç� �¡F �¢h£F ½¡�¼V¾Ð©«¨¸¥�¦l©T£FÃ�¶�·= �§�¤)¨¸©«¶º£l¼�Ѻ¦l¶�¾k �Ç� �§½µ� ½¤�¥�¦¶�ÒF¨¸¦F ½©¹§�¶�·= �§�¤)¨¸©«¶º£w¼©¹¼,¼V¶ºÄ/ �¾�¦l¤)¨"¡l©ÔÓ= �§¸ ½£I¨,Ò\§¸¶ºÄz¨¸¦l �§¸ ½¼V¨"¤�£l¡� ½¤�¥@¦�©¹Äy·=¶º¼V ½¼,¤·w¤)§¸¨¸©T¥�ÁlÀ¹¤)§,¶�§�¡F �§�¶º£:¨¸¦l ¼V¾Ð©«¨¸¥�¦F ½¼*¨¸¦l¤)¨�¥�¤�£W¶2¥�¥�ÁF§½Ê+ÕrÁl§�Ã�¶º¤�ÀY©¹¼�¨V¶E¼V¨¸Ál¡FÖN¼V¾�©«¨¸¥@¦l©¹£FÃ:©¹£W¤�Ã� ½£F �§@¤�ÀY¥M¶º£I¨V MÂ6¨�µ¨¸¦F �§� �¿IÖ:¼¸¦F¶#¾�©¹£F踦l¤)¨Ð¨¸¦F *·l§� �Ç6©«¶ºÁw¼¸À«ÖÅ¡F �¢h£F ½¡�¶�·= �§�¤)¨¸©«¶º£l¼"¤)§� �¤�¥M¨¸Ál¤�À¹À«Ö:¼V·= ½¥�©¹¤�ÀC©T£2×¼V¨¸¤�£w¥M ½¼�¶�ÒG¤�¼¸©¹£FúÀ¹ E¤�À«Ã�¶�§�©¹¨¸¦lÄ:ÊZØ"¦F N»� �ÖÙ¶�¿w¼V �§¸Ç)¤)¨¸©«¶º£Ú©¹¼�¨¸¦l¤)¨:¼V¾�©«¨¸¥@¦F ½¼:¥�¤�£Ù¿= ·= �§¸ÒP¶�§�Äy ½¡�©¹£�Ç2©«§¸¨¸Ál¤�ÀTÀ«Öv¤�£IÖ`¶�§�¡l �§/¾�©«¨¸¦F¶ºÁl¨¤�Ó= ½¥M¨¸©¹£FÃW¨¸¦l �¢w£l¤�Àk¶ºÁF¨¸¥M¶ºÄy �ÊÙÛ!¤�£IÖ»2£F¶�¾Ð£�·l§¸¶6¶�Ò8¼�¥M¶º£l¥M �§�£w©¹£FÃŨ¸¦l �ÜV ½Á!¡F G¨¸¤�ÝIÁl©T£Cµ=Ë2¥@¦IÁl§�Ò8Ál£l¥M¨¸©«¶º£l¼½µl¨¸¤)¿wÀ« ½¤�Á2Â=µh¥@¦l¤)§�¤�¥4רV �§�¼^¶�Òh§¸ �·l§¸ ½¼¸ ½£>¨¸¤)¨¸©«¶º£w¼�µº¿l§�¤�£w¥�¦l©¹£lÃ�§�ÁlÀ¹ ½¼�µ�¤�£l¡¨¸¦F �Þn©«¨V¨¸À¹ �¾�¶6¶6¡F×ßÎ�©¹¥@¦l¤)§�¡l¼V¶º£G§�ÁlÀ¹ kÁl¼¸  ½¼¸¼¸ ½£>¨¸©¹¤�ÀTÀ«Ö:¨¸¦F ¼¸¤�Äy Äy ½¥�¦l¤�£w©¹¼¸Ä:Ê*Ë6¾�©«¨¸¥@¦l©¹£FÃÅ·l§¸¶�Ç2©¹¡F ½¼�¤�¥M¶ºÄ/Äy¶º£NÒ\§@¤�Äy �¾�¶�§�»�Ò\¶�§©¹£I¨V �§¸·l§� �¨¸©¹£FÃ/¨¸¦F ½¼¸ G·l§�¶I¶�Ò8¼�Ê��W §¸ ½ÀT¤)¨V yË2¥@¦|àÁF¨Vª� ½£I¿= �§¸Ã� �§½áâ¼Ð �Ç�¤�¥�Ál¤)¨¸©¹¶º£�·l§¸¶2¥M ½¡lÁF§¸ *¨V¶¼V¾Ð©«¨¸¥�¦l©T£FÃ/¤�£l¡!©T£�¨¸¦F G·l§¸¶2¥M ½¼¸¼"¶�¿l¨¸¤�©T£!Ò8ÁF§¸¨¸¦F �§�§¸ ½¼¸ÁlÀ«¨¸¼Ð¥M¶º£l¥M �§�£l©T£FÃ/ �Ç)¤�¥�Ál¤)¨¸©«¶º£CÊ"�W ¡F �¢h£F �ã¸äMå�äMã@¬Mæ)çèµw¤�£�¶�·= �§�¤)¨¸©«¶º£�¾�¦l©¹¥@¦Å MÂ2¨V ½£l¡l¼k �Ç)¤�¥�Ál¤)¨¸©«¶º£�¨V¶¨¸¤)¿wÀ« ½¤�ÁFÂ+¶�Òn¤)§¸¿h©«¨V§�¤)§¸Ö¼V»� �¾é¼¸¦w¤)·� �µÐ¤�£l¡Ú¤)·l·wÀ«Ö�§¸ �Ç� �§@¼¸¤�Àr¤�£l¡ê§� ½À¹¤)¨V ½¡ëÄ/¤)·l·w©T£Fú¼/¨V¶�ú©«Ç� W¥M¶ºÄG¿w©¹£l¤)¨V¶�§�©T¤�À·l§�¶I¶�Ò8¼,¶�Ò^Ç�¤)§�©¹¶ºÁl¼�¼VÖ2Ä/Äy �¨V§�©« ½¼"¶�ÒuÞ�©«¨V¨¸À« �¾k¶I¶2¡2×ßÎ�©T¥�¦l¤)§�¡w¼V¶º£:¥M¶I �ì+¥�©« ½£>¨¸¼½Ê

í �W�, ��g'���*�,���!�

fhO�L,î��?Mï#.�;l~n.�1436.�1�ðñQ*ò)ó�ôÚõwó�öø÷Fù�ôwúüûþýÿfwO6o��"5\Qy7WO�02D�~�5P;C7I?402145P76i�76iP3206145\?4L=D ?MLC7>?y?M1M7I;=Q@H±021@DEQ/7� O�06iP�=D!;�Q@?M1@5PO�?���?�7I~=iP.�76�E0IHuQ@<6.#�[email protected]\;F?M0+76;=06?4L=.�1�?�7I~=iP.�76�:�*5\?ML�?ML�.�Q476D!.�O#02;F?M.#;l?Ð~=��?[=5\t�.�1@.�;F?�Q4LC76Bn.6��j�L�5PQ�76iP3602145T?ML=D LC76Q"~n.�O�06DE.�02;=.*06Hn?ML=.*H±�=;=[=76DE.#;F?�76i=?40h02i\Q,H±021�Q@?4�=[�Uw5P;�3?�76~=i\.)76���g76;=[g?ML�.�5P1*7IB=B=iP5\O)7I?45P02;�Q��

9Ð.�;=[=.#1K7I;=[��y;l��?4Léýâ9��/B=14.#Q4.�;F?�7�O#02D�~=5\;C7I?402145P76i�B=1@0hO#.�[=��14. H±021WQ4L=0��*5\;=3 fwO�Lw��1H±�=;=O#?45P02;�Q�7614.ÐQ@UwD!DE.�?M145\O6��j�0yB=1@0�S2.r?ML�.�{|5\?4?4iP.���0w0h[w���*5PO�LC761@[=Q406;+1@�=iP.I] s 76D!.�Q�76;�[ �y.�14~n.�1ý s ��}D!0h[=5THüU�?ML=.Å9�.#;=[=.�1¸���y;l��?ML`B=140wO�.#[=�[email protected]]�O�02;�Q@?M1@�=O#?45P;=3E76;v76i\3202145T?ML=D H±021�D!0�Sh5\;=3�?V�Ð0?�76~=i\.)76���vBC76Q@?�02;=.+76;=06?4L=.�1#��XZL�5\?M.Ný X��,76B�B=iP5\.�Q�?ML=.+DE.�?ML=0w[=Q�06H�ý s ���?40N32.#;=.�1476iP5\ï�.y?ML=.{}5T?4?4iP.#�Ð0w0h[h����5\O�LC761@[=Q402;N14�=i\.6�� ; ý��Åo�����765\DN76;�B=1@.�Q@.�;F?MQW7I;=06?ML�.�1�7IB=B=140276O�L ?40 ?ML�.`B=1@02~=i\.�D 06HyD!0�Sw5P;=3 ?�76~�iP.)7I���BC76Q@?*06;=./76;=06?4L=.�1#]C76;=[`fhL�5PD!02ï�02;�0�.��hBC76;�[=Q*�=B�06;g?4L=.�Q@./5P[=.�76Q�5P;êýñfhL�������Q4Q4.#;F?M587IiPi\U6]=.)7IO�L76��?ML�021�Sh5\.#�*Q*?V��0!?�76~�iP.)7I���WQ@LC76145\;=3E7!~n0214[�.�1�76Q*LC76iTS2.�Q�06H,7�Q@5P;=36iP.yi87I1432.#1r?�76~=i\.)76�u�Ðj�L=.B=1402~�iP.�D 06H,D!0�Sh5\;=3�?ML=.ÅLC76iTS2.�Q�BC76Q�?�06;=.Å76;=06?4L=.�1*?ML=.#;K~n.�O#02DE.#QG06;=.+0IH,14.�76141476;=325\;=3:?ML=.0214[=.#1�06H/?ML�.�76iPB�LC76~n.#?�0IHÅ?4L=.��=;�5P02;^� j�L=.�1@.�Q@�=i\?W5\Q�76;Z7IiP32021@5\?4L=D ?MLC7>?g76iPi\0��*QN321@.)7I?H±14.�.#[=02D 5\;W?ML=./021@[=.�1*5P;W�*L=5\O�L`Q�?M.#B=Q�7I14.yBn.�1@H±0614D!.�[^�

pG[=[=1@.�Q4Q@5P;=3 �l�=.#Q@?45P02;=QÐO�02;�O�.�1@;=5P;�3�Q4�=Bn.�1MfhO�Ll�=1rH±�=;=O�?M5\02;=Q�]��*.�D!DE.#iký����u7IiPQ40+O�02;�Q45P[�.�14Q?ML=./B=1@02~=iP.#D 06H�D!0ºSw5\;=3:?V��0�?�76~�iP.)7I���gBC76Q�?*02;=.Å76;=0I?ML=.#1����G0��Ð.#S2.#1�5\;��*.�D!D!.�i ðñQrQ@.#?4?45P;=302;=.y?�76~�iP.)7I�v5\Q�O�02i\�=D!;WQ@?M1@5PO�?��*L=5Pi\.?ML=./06?4L=.�1*5PQ�1@0��zQ@?4145\O#?)�

j�L�.êB�145PDE761�U B=��14Bn02Q4.�06H+02�=1NBC76Bn.�1W5PQ�?40ë[=.��=;=.ê76;=[ZQ@?4�=[�UZ76;þ76i\32021@5\?ML�D O�76iPi\.�[?ML=.! �"�úüö�#%$wúüû�&('*),+-#�ó4õ6ô�)Mó�7I;=[K?ML�.�DE76B=B=5\;=3E5T?�O�76iPO#�=i87>?M.�Q#�Gj�L�5PQ�DE76B=B�5P;=3=]=�*L�5PO�L��Ð.�O)7IiPi

o

Page 4: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

�"�úüö�#%$wúüû�&6]}02Bn.�147I?M.#QÅ06; BC7I5P14Q/06HÐ?�76~�iP.)7I����� � H�.�76;=[0/ 761@.!?M76~=iP.�76���K�*L=.�[email protected]/é.��h?4.�;=[�Q. � 5 �ñ.6�T]}?ML=.!02��?4.�1Å~�021@[=.�1Å06H�.�5PQy?ML=.!5P;�;=.�1Å~�0614[=.#1+06H2/3��]YQ@�*5\?4O�L=5P;�3�4@D!0�S2.�Q5.�76;=[6/?ML=1@02�=32L+.)76O�L�0I?ML=.#187*?M1M7I;=Q@H±021@DE5\;=3�.K5P;F?M03.*9!76;�[(/�5P;F?403:;/Å��j�L�.�DE76B+L=76QY?4L=."H±02iPi\0º�*5\;=3B=1402Bn.�1�?M5\.�Qr�*L=5\O�LKO�LC761476O#?4.�1@5Pï�./5T?��=;=5<�w��.�i\U*=

� j�L=.�06~�>@.�O�?MQ?.*9v7I;=[@:;/þ7614.*?�7I~=iP.�76���!Q4��O�L�?MLC7I?.*9v.��w?4.�;=[=Q:A/Å]h76;=[!?ML=.GQ4LC76Bn.�0IH:;/6B@.*9`5PQÐ?4L=.yQM7IDE.�76Q�?ML�.yQ4LC76Bn.06HC.DB1/Å��J`0614.�0�S6.�1�]=?4L=.O#02;F?M.�;F?4Q�0IHE.*9�7I;=[F.7614.?4L=./QM76D!.6]�7IQG7I14.?ML�.ÅO#02;F?M.#;l?4Q�06HC:G/ 76;�[H/Å�

�I�D� HJ.KBL/ L=76Q�D��=i\?45PB=i\.�O�06DEBn02;=.#;l?4Q�]���.vO)76; Q@�*5T?MO�LM. 76;=[N/ ~FU�Q@�*5T?MO�L=5\;=3�?ML=.O�02D!Bn02;=.�;F?4Q�5\;=[=5TSh5\[=�C76i\i\U6�

�8�I� XZL=.�;O.�021P/ O�02;F?�7I5P;=Q�DE021@.�?4LC76;:02;�.�5P;F?4.�32.#1�]6�Ð.rO)7I;:Q@�*5\?4O�LO.�76;=[Q/ 14.#O��=1@Q45TS2.�iTU2]5 �ñ.6�T]|~FU�[=.�O#02D!B�02Q@5P;=3W.�76O�Lê5P;F?M0WQ@�=~�?�7I~=iP.�76��� � 5P; 7��r7)U DE76[=.�B�14.�O#5PQ@.!5\;KR��;�76;=[Q@�*5T?MO�L=5\;=3:?ML=./B=5\.�O�.#Q��

� ;SR½�ê��.�761432��.`?ML�.�14.KO)76;È~n.�7I?NDE06Q@?�06;=.KQ@�=O�LZDN76B 76;=[ .��hL=5P~=5T?�5T?N~FU B=140�Sw5P;=3?MLC7I?*?4L=.+DE76B=B�5P;=3�?4L=.+Q��*5\?4O�L=5P;=3!B=1@0hO#.�[=�=1@.+O�76iPO#�=i87>?M.�Q*LC7IQ*?4L=.�Q@.�B=1@02Bn.�1@?45P.#Q��"XÙ.ÅQ4L=0��/]DE021@.�0�S2.#1�]u?4LC7I?G?ML=.+Q@?M.#B=Qy06H�?4L=.�Q@�*5T?MO�L=5\;=3�B=1@0hO#.�[=��14.�O�76;�~�.+B�.#1@H±021@DE.#[�5P;K;=.)761@i\U`76;FU0214[=.#1��*5\?4L=02��?7It�.�O#?45P;=3E?ML=.Q�=;C76ik06��?MO#02DE.I�yj�L=5PQ�5PD!B=iP5\.�Q�?ML=.�76iP3206145\?4L=D!Q�0IHGý��Åo�� ]�ýÿfhLT��]ý s ���]�76;=[ ý����[email protected]@?45PO#�=i8761�O)76Q@.�Q�06H�?4L=./Q@�*5T?MO�L=5\;=3EB�140wO�.�[��=14.I�� ;UR�a���./76B�B=i\U!?ML=.�14.�Q@�=i\?4Q�H±1406DVR��+?40�[=.#[=�=O�./B=1@02Bn.�1@?45P.#Q�06HYQ@�*5T?MO�L=5\;=3=��j�L=.#Q4.yB=1@02Bh�.�1@?45P.#QO�l�=5\O�<li\Uëi\.)76[ë?M0ê7 Q45\;=32iP.g7IB=B=140276O�L ~FUÚ�*L�5PO�L 7�iP761432.W;l�=D�~�.#1!0IH�O#02D�~=5\;C7I?M0614587Ii5P[=.#;l?45\?45P.�QyO�76;ê~�.!B=140�S6.�;^�Ej�0v5Pi\iP�=Q�?M1M7>?M.�?4L=.!?4.�O�L=;�5W�l�=.���.!B=14.#Q4.#;l?�5P[=.#;F?M5\?45P.#Qy5P;FS202iTSw5P;=3fhO�Ll�=1�H±�=;=O#?45P02;�Q�]=Q@�=B�.#1�fhO�Ll�=1*H±�=;=O�?M5\02;=Q�]h?ML=.Å{|5\?@?MiP.���0w0w[h���*5PO�LC7I14[=Q@02;NO#0h.�XEO#5P.#;l?4Q�]CD���i\?M5¹�Q@UwDED!.#?4145\OH±�=;=O#?45P02;�Q�]C76;�[`~=1476;=O�L=5\;=3!14�=i\.�Q��� ;�ýÿfhOIo���]=fhO�Lkî�h?Mï�.#;l~�.#1432.#1r5P;F?M1@0h[��=O�.#Q�7ÅB=140wO�.#[=�=14.GO)76i\iP.#[E.�S67IO��C7I?45P02;�?ML=7I?Ð?41M76;�Q@H±021@DEQ7Å?�7I~=iP.�76�E0IH^;=021@DN7Ii � BC761�?M5T?M5P06;Y�kQ4LC7IB�.�5P;F?M0+76;=0I?ML=.#1�?M76~=iP.�76�!06H^?ML�.GQ476DE.�Q4L=76B�.I���,S67IO��h�7I?M5\02;:5PQ,1@.�iP7I?M.#[�?40?ML=.�ò)ó�ôNõwó*ö ÷Fù�ôhúüûC]l76;�[!i\5P<I.r?ML=.,ò)ó�ôNõwó*ö ÷Fù�ôhúüûW5T?�B=140�Sw5P[�.�Q"7S2.#L=5PO#iP.rH±021Q@?M��[�Uw5P;=3!?�76~=i\.)76���u� � ;LR�_��Ð.�Q@L=0�� L=0�� ?ML=.+Q@�*5\?4O�L=5P;�3NB=1@0hO#.�[=�=1@.�06HZR��!Q@�=3232.#Q@?MQ�76;�7IiT�3202145T?ML=D ?MLC7>?Ð36.�;=.#1M76i\5Pï�.#QÐfhO�L,î��?Mï#.�;l~n.�1436.�1�ðñQ��"X .�B�140�S2.�?MLC7I?"?4L=.G.�SI76O��C7>?M5P06;E06Hu7y?�76~=i\.)76�06H};=021@DN76i�[email protected]"?ML=.�;=0214DE76iCH±021@D 0IH|?ML=.�?�76~=i\.)76�uðÿQÐ1406?M7I?M5\02;^�kj�L�5PQri\.)76[=Q�?M0Å?V��0:B=1@02Bh�.�1@?45P.#Q+?ML=7I?�O�LC7I1M76O�?M.�1@5Pï#.N?ML=.N.#SI76O��=7I?M5\02;Ù06H�7v?�76~=i\.)76� 06H*;=021@DN7Ii�[email protected];=[ÙDE06?45\SI7I?4.�Q02�=1�[�.��C;=5T?M5\02;�06H�7�DE76B=B=5\;=3NO�76iPi\.�[L)�ó�[6ó�), �÷G\=?4LC7I?06B�.#1M7I?4.�Qy�=Bn02;K?M76~=iP.�76���K06H�761@~=5\?41M761�UQ4<6.�� Q4LC7IB�.I�WfhO�Lkî��?4ï�.#;w~n.�1@32.�1NýñfhO��]�".��h?4.�;=[�Q�.#SI76O#�C7I?45P02;�?M0g?�7I~=iP.�76��� 06Hr7614~�5\?M14761@UKQ4<I.#�Q4LC76Bn.6� � ;Ú32.#;=.�1476i�14.#S6.�1@QM76i�76;=[Ú.�S67IO��C7I?45P02; B=140w[=�=O#.N[=5Ttu.#14.#;l?�14.#Q4�=iT?MQ�]k~=��?�?4L=.#UÙ76321@.�.�*L=.�;g14.#Q@?4145PO�?M.#[�?M0�?�7I~=iP.�76���E06H};=021@DN7Ii�[email protected]�"j�L=.�?4.�O�L=;=5<�l�=.�Q*�=Q@.�[W?M0�O�76iPO#�=i87>?M.�1@.#S6.�1��QM76i�O)7I;N~n.�76B�B=iP5\.�[:?M0Å06?ML�.�1�DN76B�B=5P;=36Q�Q@�=O�LW76Q�?4L=.�XZL�5\?M.½���G76;=iP06;h��fh��;=[C761476D DE76B � ý X^��]ý���f��_�½��fh.�O�?M5\02;g_+O#02;=O�i\�=[=.#Qr�*5\?ML�7�[=5PQ@O��=Q@Q45\02;�06H|?4L=.�[email protected]�B=5P;=36Q�76;�[�?ML=.#5P1�1@.�iP7I?M5\02;=Q4L�5PB?M0E?4L=.�Q�UhD!D!.#?M1@5P.#QG06H�?4L=.�{|5T?4?Mi\.#�Ð0h0w[h����5\O�LC7614[�Q402;gO�0w.�X!O#5P.�;F?4Q[=.�Q@O�1@5P~n.�[�~FU�9Ð.�14.#;=Q@?4.�5\;76;=[a`u.�iP.�Sw5P;=Q@<lU ýñ9�`b���

Page 5: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

ced f ��y�)��$ �)���� "���y%

� ;�?ML=5\QQ4.#O#?M5\02;���.:.#Q@?M76~=iP5\Q4L�O#02;FS2.�;F?45P02;=Q#]|325\S6.�[=.��C;=5\?45P02;�Q�]|76;�[�14.#Sw5\.#��14.�Q@�=i\?4Q?MLC7>?��.�=Q4.G5P;NQ@�=~=Q@.��l�=.�;F?�Q4.#O#?45P02;=Q#��J`021@.�[=.�?�765\iP.�[�?M1@.)7I?4DE.#;F?MQ�0IH^?ML=5\QÐDE7I?4.�145P76iCO)7I;N~n.GH±02�=;�[�5P;ýÿf�7ho��}76;=[Ùý e � �

X .��Ð0214<K�*5T?MLhgjiKg�]^�*L=5\O�L���.:?ML�5P;=<`06HÐ76QyO�02;�Q45PQ�?M5\;=3g06H�~�0k�h.�Q#]�7I;=[ ;w��D�~�.#1?ML=.140��*Q"76;=[:O#02iP�=D!;=Q�06Hlg@i(g�4�DN7I?4145m�ÅQ@?VUwiP.�7=]FQ40y1@0º� ;l�=D�~n.�1@Q�5P;=O#14.�76Q4.�?402B�?M0�~�06?@?M02D�76;=[O�02i\�=DE;N;w��D�~�.#14Q�5\;=O�1@.)[email protected].#Hü?Ð?M0:1@5P32LF?)��XZL=.�;�nG7I;=[Fn%on7I14.~n0k��.#Q�5P;agKipgr]qnG5\Q�QM7I5P[�?M0~�./ûr+s)½öt$�06Hrn,ohB�140�Sw5P[=.#[!?4L=.*140�� O#02;F?�765\;=5P;=3Jn�5PQ"76~n0�S2.�021�.��l�C7Ii=?M0y?ML=.*1@0º� O�02;F?M765P;=5\;=3Jn,oü�XÙ.Å[=.��=;=.�?ML�.+06?4L=.�1�O�06DEBC7IQ4Q�[�5P14.#O#?45P02;=Q�76;=76iP023602�=Q4iTUg76;=[K76iPi\0���02��14Q4.#i\S6.�Q�?4L=.ÅH±1@.�.#[=02D?M0!O�02D�~�5P;=.y[=5\14.#O#?M5\02;=Q�u=H±021*.���76D!B=iP.I]Yn�5PQ/ûr+s)½öt$�"�ó% �ö|0IHvn o 5\HCn5PQ�~n06?MLv;=021�?ML`76;=[`�Ð.�Q�?�0IHn o � � H?n:76;�[hn o 7I14.![=5PQ�?M5P;�O#?/~=��?�76[s>47IO�.�;F?�~�0k�h.�Q#]�?ML�.#U 7614.gûuó�úw&s$�x�+s), ��Nj�L�.`ûuó�úw&s$�x�+s)�ö�+öt$Cóûr+s)�ö_$Å06H}7+~�0k�N5PQÐ?4L=.�06;=.[=5\14.�O�?MiTUN7I~�0�S2.�5\?)�YXÙ.�06Hü?M.#;�O�02;�Q45P[�.�1r02~y>@.�O#?4Qr02~�?M765P;�.�[�~FU�CiPi\5P;=3/Q406DE.�06H^?4L=.G~n0k�h.�Qr5\;Hg6iDgë�*5T?MLN5\;F?M.�36.�14Q#� � H|5P;!Q4��O�Lg76;N02~y>@.�O#?Ð?ML=.G5P;F?M.#32.�1�zD�Ci\iPQn76;=[�n�5PQ*7:;=.#5P32Ll~n021�06HCn o ]=?ML=.#;�z`5PQ*7Wûuó�úw&s$�x�+s)�0IHvn o �

pS'�÷G)½ößúüö�ú{+>û � 021yûr+s)�|!÷G\b %$�÷�'Có8��}v5PQ�7:Q4.��l�=.#;=O�.+06H�5P;F?M.#32.�1@Q� }l~Z�^}Y�����-�-�T�^}T�!�ZcA���

XÙ.�5\32;=021@.!?4L=.�[=5\Q@?45P;=O�?M5P06; ~n.#?V�Ð.�.#;�?V�Ð0�BC761�?M5T?M5P06;=QÅ?4LC7I?�[=5\t�.�1+02;=i\U 5\;Ù?ML�.�;l�=D�~n.�1�0IH?M1M7I5PiP5\;=3:ï�.#1402Q#�GX .+�*1@5\?M.F��}v�y��}l~����-�-�s��}T�!H±061G?ML�.�;l�=D�~n.�1��*L=5PO�L0}�BC761�?M5T?M5P06;=Q���j�L=.BC761@?45\?45P02;!}�O)76;�~n.�14.#3F7614[�.�[!76Q,?ML�.�Q4.#??� �t�8��� �Z�LgMi6g0�½oJ� � �^}T�{�l�,j�L�5P;=<l5P;�3y06H�gFi g76Q�7!O�02i\iP.#O#?M5\02;v06H,~n0k��.#Q�]n��.�O�76;KB�5PO#?4�=14.5}�76QGO#02;F?�765\;=5P;�31�êiP.�Hü?@�<>@��Q@?M5w�C.�[`140��*Q�0IH�~�0k�h.�Q�*5\?ML�}q�y~n0k�h.�QW5P; ?ML=. �t�W� 140��&H±021�.)7IO�L � � e 021N06�=1NB=��14Bn02Q4.#Q�?ML=.�[�5\t�.�14.#;=O�.�~n.#?V�Ð.�.#;7KBC761�?M5\?45P02; 76;=[ë5T?MQ+B=5PO�?M�[email protected]+�=;=5\DEBn021@?M76;F?)�vj�L=1406�=32L=02�h?�?ML=5\Q�BC7IB�.#1�]��^]�}|]��,]�76;=[K�14.�B�14.�Q@.�;F?GBC761@?45\?45P02;=Q#�

XZL�.�;6}T���S�r��H±021G.�S2.#1@U � ]n�Ð.��*1@5\?M.5}6�S�k� e 021�Q4��O�L6}ê76;�[U�,]�?ML=.! %�Fó�"� %$�÷�'Có � 021Q45PD!B=iTUh %$�÷�'Có8�Q}*�]� 5PQÅ?ML=.WO#02iPi\.�O�?M5P06; 06H�~n0k��.#Q:5P;=Q@5P[=.E06H�} ~���?:;=06?�5P;h�k]"76;=[S��}*�]�Z�����}v�]��� �Z��O#02�=;F?MQG?ML=.�;l�=D�~�.#1�06H�~n0k�h.�Qy5P;U}b�s�,��X .�O#02;=Q@5PQ@?4.�;F?MiTUK��Q4.Q ê76;�[0¡:?40�[=.#;=06?M.7614~=5T?M14761@UgQ@<6.#��Q4L=76B�.#Q��Gjr��0WQ@LC76Bn.�Q7I14.�.��l�C76ik5TH�02;=.+5PQG7!?41M76;=Q@i87I?4.�06Hk?ML=.+06?ML=.#1��Gj�L=5PQDE.�76;=Qy7�O�L=065PO�.�06H�BC761@?45\?45P02;=Q3}h�¢�ëQ4�=O�L�?ML=7I?e}*�]�h�¢ Ù5\Qy7�O�L=025\O�.�06H�O#0h021@[=5P;=7I?M.#QGH±021 �]�.#Q@?�7I~=iP5\Q4L=5\;=3�5\?MQ*Bn02Q45T?M5\02;g5P;g?ML=.ÅB=i87I;=.6�Ðj�L=.�DE7s�h5PDE76iuO#02;=;=.#O#?4.�[�Q@�=~=Q4.�?MQ0IHC ê761@.Å5T?MQ#%+s|3'q+>ûuó�ûCöt �ul?ML=.�U�7I14.�?4L=.�D!Q4.#i\S2.#QrQ4<I.#��Q4LC76Bn.�Q#��XÙ.i\.#?� *£u[=.#;=06?M.G?ML=.5\DN7I32.G0IH� `��;=[=.�1?ML=.�?M1476;=Q4Bn02Q@. �¤�I��� �¦¥§ �w�;�,� �½],76;=[6 b¨Å?ML�.E5\DN7636.:�=;=[=.#1Å?4L=.E1@06?�7>?M5P06; �t�8��� �J¥§ � � �I� � � �?ML=1@02�=32L o��2cG©��"j�L=./1406?M7I?M5\02;F}*¨*06Hk7:;=0214DE76i^Q@LC76Bn.(}K5PQ*76; ÷6ûCößú_ªVûr+s)�|!÷G\* %$�÷�'Có��

XZL�.�;=.�S2.�13}��j�0�^��]�?4L=.�;�}*�]� óI«2öVó�ûnõs Z���;��� � H� K.��w?M.�;�[=Q�?ML=.yQ@5P;=32i\.�~n0k�Hn�]�?ML�.�;Hn5PQ�76;gúüû� �úßõwó#%+s)½ûuó�)Y06HY Y�kXZL=.�;On�.��w?M.�;�[=Q� �]2?4L=.�;1nÐ5\Q�76;U+>ôwöt �úßõwó#%+s)½ûuó�)½�kj�L�.�06B�.#1M7I?45P02;¬ ?41M76;=Q�H±0214D!Q�5P;�Q45P[�.yO�021@;=.�1@QG5\;l?40�02��?MQ@5P[=.yO#0214;�.�14Q#�

p�öø÷Ax�\Pó4÷6ô!"�úüö_$5 %$�÷�'Cóv E5PQ�73�=iPiP5\;=3�0IHn76iPil?ML=.�~n0k�h.�Q�5P;5 !�*5\?4L:5P;F?M.#32.�1@Q���j�L=.�Q@.�5\;F?M.�36.�14QDN7)U`~�.:Bn02Q45T?M5TS2.6]�ï�.#140=]|021�;=.�3F7>?M5\S6.:76;=[ ;=.#.�[ ;=06?~�.:[=5\Q@?45P;=O�?)�/p ?�7I~=iP.�76�®­é5\QO#%+s\«ô�|:û �ö¯)½ú{#�ö|B=1@0ºSw5\[=.�[v5\?�Q47I?M5\QI�C.#Q�?4L=.yH±02iPi\0��*5P;=3T=

a

Page 6: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

o2��XZL=.�;�.#S2.#13zK76;=[Hzqou7I14.y5P;F?4.�32.#14Q*5P;U­ 76;�[�z`5PQ�;=021�?MLF�Ð.�Q@?G06HCzYo\]=?ML�.�;Fza�jzqoP��h��XZ5\?4L=5P;W.�76O�LKO#02iP�=D!;W06H�­ ?ML�.Å5\;F?M.�36.�14Q*D���Q@?�~�./[=5\Q@?45P;=O�?)�

� H^?ML=.�?M1476;[email protected]­�£u06HE­�5\QÐO#02iP��DE;!Q@?4145PO�?)]l?ML=.#;�­ 5PQ�),+s"K �ö¤)½ú{#�ö���p O�02i\�=D!;E021�140��ZQ�?M145\O#??�76~=i\.)76�`5PQ�'q+- �úüö�ú_[6ó�5\H"76i\i}06H�5\?4QG5\;F?M.�36.�14Q�7614.+B�06Q45\?45\S6.6��fh02D!.#?M5\DE.#Q���.��*1@5\?4.+Q@LJ­ H±021*?ML=.Q4LC76Bn.�06H�­��`XZL=.�;M­ O)76;Ù~�.�.��hB=14.#Q4Q4.#[ 7IQ�7K[=5\Qt>@025\;F?��=;�5P02;N­V�±°l~�B®°q�ZB²�-�-�ABh°T�06HG?M76~=i\.)76����]�.)76O�LM°T�*5PQ�7® �ôTx�ö ÷Ax�\Pó4÷6ô�06HJ­+�ëj�L=.`Q@�=~�?M76~=iP.�76�²°�5PQ�7M#%+s|3'q+>ûuó�ûCö�06HJ­B=140�Sw5P[=.#[ëQ4L�° 5\Q�7KO#02D!B�02;�.�;F?�06H*Q@L­���{}.�?1­ ¨ ~n.N?ML=.!?�76~�iP.)7I�Ú02~�?M765P;=.#[ H±1@02D³­ ~FU1406?M7I?M5\;=3�?ML�.Q4LC7IB�.:o��6c © 76;=[g14.#B=i87IO�5P;�3�.)76O�Lg5\;l?4.�32.#1zv~lUa��z}�"��06?M.Q­ ¨�¨ �S­+�"XZL�.�;�.76;=[�/ 7614./?�76~�iP.)7I���`76;=[v?ML=.ÅQ4LC7IB�.+06HC/ .��h?4.�;=[�QG?ML�.�Q4L=76B�.Å06H�.r]C�Ð.+Q47�UH/ óI«2öVó�ûnõs �.r�XÙ.�*1@5\?M.¦.FB´/þH±021�?4L=.y02~�>@.#O#?�H±021@DE.#[W~lUN32iP��5P;=3!.�76;=[@/þ?M0236.#?ML�.�1����C�hO�.#B�?*H±021�7�~=1@5P.�H[=5PQ@O��=Q@Q45P06; 5\;�R���06H�*.�D!D!.�i ðñQ��Ð0214<Èý����*76;=[ 76;�.���76D!B=i\.W5P;�R½a�5P;FS602i\Sw5P;�3�Q4�=Bn.�1MfhO�Ll�=1H±�=;=O#?45P02;�Q�]�.�S2.#1@U�?M76~=iP.�76��5\;N?ML=5\QrBC76Bn.�1�5PQ�O#02iP��DE;�Q�?M1@5PO#?���p�O#O�021@[=5P;=36i\U���.y��Q4.F4�?M76~=iP.�76�T7?M0!DE.�76;²4@O�02i\�=D!;vQ�?M1@5PO#?�?M76~=i\.)76�T7�]�4@Bn02Q45T?M5\S6.?�76~�iP.)7I�T7:?M0!DE.�76;²4@B�06Q45\?45\S6.yO�02i\�=DE;gQ�?M145\O#??�76~=i\.)76��7=]C76;=[gQ@0!H±021�?ML^�

j�L�.e#%+>ûCöVó�ûCöw0IH�7*?M76~=i\.)76�!­ 5PQ}?ML=.�Q4.��w��.�;=O#. �¯µ�¶A�%µ·¶�¸ ~ � �k�k� �%µ�¹ ��]I�*L�.�14. µ �h5PQ}?ML�.Ð;l�=D�~n.�106H�0hO#O��=1@14.#;=O�.#Q�0IH � 5P;1­+�,j�L=.3"Z+s)4õr06Hl­ 5PQY?ML=.rQ@.��l�=.#;=O�.�06H�5P;F?4.�32.#14Q,02~h?�765\;=.�[:~FU+14.)7I[=5P;=3?ML=.+140��*Q�06H­ �Ð.�Q�??M0E.)76Q�?)]uQ�?�761�?M5\;=3E�*5T?ML`?4L=.�Q@02��?4L=.�1@;=DE06Q@?1@0�� 76;=[K�Ð0214<l5\;=3E?40º��761@[?ML=./;=021�?ML^�

pë?M76~=iP.�76�Å5PQv �öø÷6ûnõF÷G)@õ�5\Hh5\?}LC7IQ�;=0�14.#B�.�7I?M.#[�.#;l?4145\.�Q��k�G06?4.�?ML=."?M1476;=Q4Bn02Q@.Ð06H�7*Q@?�7I;=[C761@[?�76~=i\.)76� 5\Q/763F765\;�Q@?�7I;=[C761@[^� � ?Å5\QyQ402D!.#?45PD!.�Q;=.#O�.#Q4QM7I1@Uê?M0gQ@?M761@?/�*5\?4Lê7W?M76~=i\.)76�h­ 76;=[[=.�1@5\S2.`7 1@.�iP7I?M.#[ Q�?�76;=[=7614[ ?�76~=i\.)76�»º­ O)7IiPiP.#[ë?ML=.p �öø÷6ûnõF÷G)@õ®)Mó�ûCô�|Ox�ó�)�úüû�&W06HQ­+� � HG?ML=.O�02;F?M.#;F?�06HO­�5PQ �¯µ�¶A�%µ�¶�¸ ~ � �k�k� �,µ�¹ �g7I;=[�� 5PQgQ406DE. 5P;F?4.�32.#1�]�Ð.Ù~=�=5\iP[ º­�~FUþ14.�B�i876O#5P;=3?ML=.1¼hðñQ�5\;½­ .)76Q�?�?40K��.#Q@?:~FU6� � �p� o � �k�k� � �p� µ�¹ � o;u,?4L=. � ¼5�zo¾�½ðÿQ+.)76Q�?�?M0`��.#Q@?:~FU��� µ�¹�� �F� µ�¹ �Zo � �k��� � �H� µ�¹ � µ�¹I¿ ~�� o;u^7I;=[�Q40N02;^��J`02Q@?�06H�?ML�.+?M5\DE.y?4L=.�BC7I1@?M5\O��=iP761S67IiP�=.�Ð./O�L=0h06Q4.yH±021� 5PQ�0IH�;�0!O#02;=Q@.��l�=.�;�O�.6���.#DE.#D�~�.#145\;=3�?ML�.ÅO#02;F?M.#;l?G06H�­ 76i\iP0��*Qr�=Q?M0N1@.�O#0ºS6.�1(­�H±1406D º­ 5\;`?4L=.�02~FSw5P06�=QGHß76Q@L=5P06;^�*j�L=.+H±02i\iP0��*5P;�3!.���76DEB�iP.ÅQ4L=0��*Qy7�?�76~=i\.)76�­ 76;=[v5\?4Q�Q@?�7I;=[C761@[`1@.�;l�=D�~n.�1@5P;=3 º­ H±021�����o�_�=

ÀÂÁÃ ÃÄ Ä ÅÆ ÇÇ

ÅÃ

ÃÇ

ÇÈ È ÉÀÊÁ

ÃÄ Å ÆÇ ÈË

ÌÍÃ{ÎÃ�Ã Ã·Ä Ã ÅÃ¯Æ Ã Ç

{|.�?�­ ~n.�7ê?M76~=i\.)76� 76;=[Mng~n.`76; 5P;�;=.�1�O�0614;=.#1EH±021@­+�þpÏ#%+>ûCö¤)4÷�#�ößúüû�&6 �\«úßõwóp+�ÐD­úüûCö�+Köt$CóDx�+�«Fn:5PQ�Bn.�1�H±0214D!.�[Ù~lU D!0ºSw5\;=3`?4L=.N.#DEB�?VU ~n0-�Ù7I?5n�?4L=1406�=32L²­+],Q@�=O�O#.�Q4Q@5\S6.�i\U5P;F?M.#14O�LC76;�325P;=3:5T?��*5T?ML�?ML�.y;=.�5\32Ll~�021@5P;=3�5P;F?M.#32.�1@Qr?M0�?ML�.yQ402��?4Lv76;=[W.)7IQ@?�76O#O�021@[=5P;=3�?40�?ML=.H±02iPi\0º�*5\;=3�1@�=iP.#Q�=o2� � H�?4L=./~�0k�gL=76Q*02;=i\UN02;=./;=.#5P32Ll~n021�]=5\;F?M.�1@O�LC76;=36.Å�*5T?MLW?MLC7>?*;=.�5\32Ll~�021#�

Page 7: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

�h� � Hk5T?*LC76Q�?V�Ð0E�=;�.��l�C76i};=.#5P32Ll~n0214Q#]C5P;F?M.#14O�LC76;�32.y�*5\?MLW?4L=./Q4DE76iPi\.�1r02;�.6�a�� � Hk5T?*LC76Q�?V�Ð0E.��w�=76i};=.�5\32Ll~�021@Q�]=5\;F?M.�1@O�LC76;=36./�*5T?MLg?ML=./02;�.?M0�?ML=./Q406��?ML^�

j�L=.G~n0k��D!0ºS6.�Q�5P;:?ML�5PQ,Hß76Q@L=5P02;!�=;F?M5\i=5\?"L=76Q";=0+D!021@.�;=.�5\32Ll~�021@Q�?M0y?ML=.�Q406��?ML!021".)76Q�?)]l5 �ñ.6�T]�=;F?M5PiY5\?GLC76QG~�.#O�02D!.�7I;�02��?4.�1�O#0214;�.�1���XÙ.Å�*145T?M. �AÑ�� ­��H±021*?ML=.�?M76~=i\.)76�`B=140w[=�=O#.�[ � ;�06?M.?ML=.y1@�=iP.#Qr5P;=Q@�=14. �yÑ�� ­��5PQ�5\;=[=.#.�[gO�02i\�=D!;�Q@?4145PO�?��½�,XZL=.�;FnG5\Q�76;W02�h?M.�1�O�021@;=.�1r?4L=.�[email protected]�76;02~FSh5\02�=Q�76;C7IiP023206�=QrB=1@0hO#.�[=�=1@.+O�76iPi\.�[g76;ÚóI«�'�÷6ûnõ6úüû�&! �\«úßõwó��,X .y�*145T?M. � Ñ � ­��H±021�5T?MQ�14.#Q4�=iT?)�Jv0214.+32.�;=.#1M76i\i\U6]n�*L=.#;6. 76;=[a/�761@.+?M76~=iP.�76���`76;�[a/ .��w?M.#;=[=QJ.r]��Ð.�O�76;��=Q@. .È76Q7Q4.#?�06H�5P;�Q@?M1@�=O#?45P02;�Q+?M.#iPi\5P;=3W�*L=.#14.�O#02;F?M1M7IO#?M5\;=3�Q@iP5P[�.�Q�Q@L=02�=i\[ÙQ�?�761�?�5P;L/(=�?4L=.1�=14Q@?�Q4iP5\[=.~�.#325P;=Q"7>?,?ML=.*~n0k�:O�06;l?M765P;�5P;=3?4L=.�i8761@32.�Q�?�5P;F?4.�32.#1�5P; º.r]2?ML=.*Q@.�O�06;=[N7>?,?ML=.*~n0k�:O�06;l?M765P;�5P;=3?ML=.�;=.��h?+i87I1432.#Q@?)]}7I;=[ Q@0`06;^�:XÙ.��*145T?M. � : � /3�GH±021?ML�.E1@.�Q4��i\?M5\;=3W?�76~�iP.)7I�^�!fh5PD!5PiP7614iTU2]Y/?M.�i\iPQ*�*L=.�1@.�.��hBC7I;=[=5P;�3�Q4i\5P[=.#QGO�76;�~n.�76B=B�iP5P.#[`[email protected]\;`?ML�5PQ�O)76Q@.���.+�*145\?4. � 9 � .��rH±021*?ML=.14.�Q@�=i\?��

fw�=B=Bn02Q4.E7vQ@.��l�=.#;=O�.�0IHrO�06;l?41M76O�?M5\;=3gQ4iP5\[=.�Q/1@.�[=�=O#.�QÅ?ML=.�?�76~�iP.)7I�K­ ?40K7�?M76~=iP.�76�K­�Ò06H�;=021@DN7Ii|Q4LC76Bn.6��j�L=02DE76Q�ýâj��Q4L=0��*Q(­�Ò:5\QG5\;=[=.#B�.#;=[=.�;F?�06H,?ML�.�BC761�?M5\O��=iP761*Q4.��l�=.#;=O�.:0IHQ4iP5\[=.�Q��=Q@.�[^]�76;=[�Q@0���.G14.�H±.�1Ð?40O­�Òy7IQÐ?ML�.�ûr+s)�|!÷G\-Ðk+s)�|�06HC­+��fh5PD!5PiP7614iTU2]>?ML=.#14.�5\QÐ.���76O#?4i\U02;=.+?M76~=i\.)76�`06H�76;F?M5¹�V;=021@DN7Ii|Q4LC76Bn.+?4LC7I?�O)76;�~n.�B�140w[=�=O�.#[�~FUK.���B=76;=[=5\;=3�­ �*5\?4L�Q4i\5P[=.#Q�]?ML=.�Q@0I�VO�76iPi\.�[v÷6ûCößú_ªVûr+s)�|!÷G\�Ðk+s)�|�­�Ó�06H�­+��jr��0y?�7I~=iP.�76����7I14.3ÔÅûCôwöt$Wó4ù�ôwú_[>÷G\Pó�ûCö�5TH�02;=.�O)7I;~�.:?M1476;=Q�H±0214D!.�[ê5P;F?M0W?4L=.E0I?ML=.#1/�*5T?ML 7WQ4.��l�=.#;=O�.N06Hr.���B=76;=[=5\;=3K7I;=[ O#02;F?M1476O#?45P;=3vQ4i\5P[=.#Q��XZL=.�;p­�76;=[�°é7614.e�y;l��?MLv.��l�=5TSI76iP.#;l?��Ð./�*145\?4.Q­ÖÕ×� °!�

pz�Ð021@[HØK��Ø�~ � �k��� � ØP��06H�Bn02Q45T?M5\S6.5P;F?4.�32.#14Q�5PQ*7D)Mó�[6ó�), �óJ\T÷6ößö�ú{#�óZ'Có�)�|:ôwö ÷6ö�ú{+>û!5\HY.)7IO�L�C;C76i^Q@.�32D!.�;F?ØEÙ � �k�k� � ØE��06H�Ø O�02;F?�7I5P;=Q�7>?�iP.�76Q@?*7IQ�DN76;FU � ðñQ*76Q �¤� � o¾��ðñQ�H±021r.�76O�L ��Ú c��p±Û�úüößö¯\Pó�"Z+-+�õGª{Ü*ú{#%$�÷G)@õs -+>ûg0215Û�Ü ?�76~�iP.)7I�ê5\Q�7W?�7I~=iP.�76�ê�*L�02Q4.���0614[Ù5\QÅ7`14.�S2.#14Q4.Ei87I?@?M5\O�.B�.#14D���?M7I?M5\02;^�,-/5TS2.�;N76;FU!BC761@?45\?45P02;O}|]h[�.��C;=.3Ý � }*�k?M0+~�.*?ML=.�?�76~�iP.)7I�E02~h?�765\;=.�[!~FUO�=iPiP5\;=3?ML=.´�=14Q@?�140�� 06H�}Ú�*5\?ML o2ðÿQ#]k?ML�.�Q4.#O�02;=[Ú�*5T?ML��wðÿQ#]"76;=[ÚQ@0�02;^� � ?+H±02iPi\0��*QÅ?4LC7I?�?4L=.W{��?�76~=i\.)76���ê06H�BC761�?M5T?M5P06;êQ@LC76Bn.�[email protected]�14.�O#5PQ@.�i\U ?4L=.´Ý � }*���gj�L=.E;w��D�~�.#1�06Hr{��é?M76~=i\.)76���ê0IHO�02;F?M.#;F?H� 76;=[ÈQ4L=76B�.p}b�;� 5\QN?ML�.LÛ�úüö�ö¤\Pó�"Z+-+�õGª{Ü*ú{#%$�÷G)@õs -+>û�#%+�ótÞ�#�ú ó�ûCö µ�ßà8á � m�Hü?4.�;È5\?N5PQO�02;FS2.#;=5P.#;F?G?40��*1@5\?4./?4L=5PQ�;l�=D�~�.#1G7IQ µ ß�â àá ���G0I?M.y?MLC7>? µ ß�â àá ��c:5\HC}hã�^���

j�L�.ê[�.��C;=5T?M5\02;È06H�{P� ?�76~=i\.)76���ÈB=1@.�Q4.#;F?M.�[�76~n0ºS6. 5PQ�O#02;FS2.�;F?45P02;C7Ii ]�~���?g?ML=.#14.�5PQg7Q4.�O#02;=[ O�LC761476O#?4.�1@5Pï)7>?M5P06;K�*L=5PO�L�H±1@02D 02�=1GSw5\.#�*Bn025P;F?5\QD!0214.+�=Q4.�H±�=i{=G7E?�7I~=iP.�76��5PQ�{���5\H76;=[�02;=iTU�5TH�5\?�5\Q��y;w�h?ML!.��l�=5\SI76i\.�;F?,?40yQ402D!.?Ý � }b�½� � m;=.r��7)U�?M0/B=1@0�S2.�?ML=5\Q,5PQ�?M0yQ4L�0º� ?ML=.?�76~=i\.)76��14.�Q@�=i\?45P;=3GH±1402D�7Q4i\5P[=.Ð02;�76;:{�� ?M76~=i\.)76��5\Q�763F7I5P;�{��/�6j�L=5\Q,5PQ�?ML=.�7IB=B=140276O�L��=Q4.#[5P; ýñf�7�o���]={|.#DEDE7+�=�ÿ���è_h�ä� e 1@02Dé?ML=5\Q�Bn.�14Q@B�.#O#?45\S2.I] µ ß�â àá O#02�=;F?MQr?4L=.;l�=D�~n.�1�06H}?�76~=i\.)76���N0IHQ4LC76Bn.(}b�G�W?4LC7I?�761@.(�y;l��?4L`.��w��5\SI76iP.#;F?�?M01Ý � �����

j�L�.�[email protected];FU���7)UwQ�?40![�.��C;=./?ML�.�fwO�Lw��1�H±�=;�O#?M5\02;=Q#]=~=��?*?ML�./H±06iPiP0��*5\;=3�5\Qr?ML=./D!02Q@?Q4�=5T?�76~=i\.�H±021r06�=1rB=�=1@B�06Q4.�Q#� � HEåêQ@?M76;=[=QrH±061�?ML=.y5\;��C;=5T?M.#i\U!DN7I;lUESI76145P76~=iP.#Q2æl~ � æY� � �k�k��]�?ML=.çl#%$wô�)�нôwûr#�ö�ú{+>û´è ß�â à �Sè ß�â à � åP�r5PQr?4L=./Q@UwDED!.#?4145\OH±�=;=O#?45P02;g325TS2.#;v~FUè ß�â à �êé-ëìå ë �

_

Page 8: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

�G.�1@.�?ML�.�Q4��D 5\Q�0�S2.#1y76iPi}Bn02Q45T?M5TS2./?�76~=i\.)76���6­�06H"Q@LC76Bn.!}*�;����j�L=.�D!02;=02D!5876ilå ë 5PQ*?ML=.B=140w[=�=O�?�æYíïî~ ��æYí¤ð� �-�-�Iæ í_ñ¹ ]=�*L�.�14. �¯µ ~ �%µ � � ���k� �%µ�¹ �r5PQr?4L=./O�02;F?4.�;F?�0IH�­+�ò!d �é��� �� �#�,�����)��� f ��g�*�y'�� ��

� ;Ù?ML=5\Q+Q@.�O�?M5P06;Ù��.N[=.�Q@O�145\~�.N76;ë76i\32021@5\?ML�D �*L=5PO�L ��.�O�76iPi�?4L=.F �"�úüö�#%$wúüû�&O'*),+-#�ó4õ6ô�)Mó+76;=[O�LC761M7IO#?M.#145\ï�.� �"�úüö�#%$wúüû�&6]�?4L=.NDE76B=B=5\;=3K5T?�O�76iPO#�=i87>?M.�Q#�vX .NB�140�S2.�?4LC7I?Å?ML=.W7IiP32021@5\?4L=DEQy0IH��765\DN76;êý��+o�� ]�fhL=5\DE06ï�02;=0výñfhLT��] s 76D!.�Q�76;=[a�/.#14~n.�1+ý s �¦��]n76;=[g�*5\?4LK7:Q4i\5P32LF?�76[¾>@�=Q@?4DE.#;l??MLC7I?�0IH�*.�D!DE.#i/ý��?��[email protected].�O#5876i�O�76Q4.#QE06H�?ML�.vQ��*5\?4O�L=5P;=3 B=1@0hO#.�[=��14.6��X .vO#02;=O#iP�=[=.g~FUQ4L=0��*5P;�3!?4L=./Q@�*5\?4O�L=5P;�3!B�140wO�.�[��=14.Å~�.#LC7)S2.#Q�76Q*O#i8765\DE.#[^�

9Ð.#H±021@.Å�Ð.�O�76;�B=1@.�Q4.#;F?�?ML�.�76i\32021@5\?ML�D �Ð.�D��=Q�?�DE76<I.�7�H±.#� [=.��C;=5T?M5P06;=Q��*m�=1G765\D 5PQ?M0/[=.�Q@O�1@5P~n.�?4L=.*5P;F?M.#14D!.�[=5P7I?M.�02~y>@.�O#?4QÐB�140w[=�=O�.#[�76Q�?4L=.�76iP3206145\?4L=D DE0�S2.#Q�?�76~=i\.)76���1.Ù76;=[/�?ML�1402�=36L`.�76O�L`0I?ML=.#1��

{|.�?e Ù~�.�7WQ@<6.#� Q4LC76Bn.6�:pó'Có�)_Ðk+s)@÷6öVó4õ`öø÷Ax�\Pó4÷6ôU­ô+�ÐQ %$�÷�'Có3 Ú5\Q/7@�=iPiP5\;=3�06H�Q@02DE.:0IH?ML=.�~n0k�h.�Qy5P;�  �*5T?ML�5\;l?4.�32.#14Q#�yj�L=.�Q@.!5\;F?M.�36.�14Q�DN7)U`~�.+B�02Q@5\?45\S2.I]uï#.�140�]^021;=.#3F7I?45\S2.I]|76;=[;=.�.#[K;=06?*~n./[=5PQ�?M5\;=O#?�]=~=��?�?4L=.#UgD���Q@?�QM7I?45PQ�HüUN?ML�./H±06iPiP0��*5\;=3�14.#Q@?4145PO�?M5\02;=Q�=o2��XZL=.�;�.#S2.#13zK76;=[Hzqou7I14.y5P;F?4.�32.#14Q*5P;U­ 76;�[�z`5PQ�;=021�?MLF�Ð.�Q@?G06HCzYo\]=?ML�.�;Fza�jzqoP��h��XZ5\?4L=5P;W.�76O�LKO#02iP�=D!;W06H�­ ?ML�.Å5\;F?M.�36.�14Q*D���Q@?�~�./[=5\Q@?45P;=O�?)�

X . �*145\?4. Q4L¦­ H±021W?ML=.êQ4LC7IB�.ê06H1­+]/76;�[�.��w?4.�;=[�?4L=.ê[=.��C;�5\?M5\02;=Qg06H�O�02;F?M.#;F?�76;=[Q@?�7I;=[C761@[K14.#;l�=D�~n.�145\;=3�?M0�B�.#1@H±02147I?M.#[v?M76~=i\.)76���W5P;g?ML=./;C7I?4�=1M7Ii}��7)UwQ��*fh��B=B�06Q4.Q. 76;=[H/7614.GB�.#1@H±02147I?M.#[N?�76~�iP.)7I���E06H}Q4LC7IB�.� K7I;=[�?M0236.#?ML�.�1Ð?4L=.#UEO�06DEB=i\.#?4.�i\U �=iPiq Y]�5 �ñ.6�T]w.#S2.#1@UN~�0k�06HC �5\Q��=iPiP.#[W�*5\?ML`76;`5P;F?M.#32.�1�H±1406D±. 021�/ 76;=[`;=0!~�0k�v5PQ��Ci\iP.#[g?V�*5\O�.I�rj�L=.�;p.UBF/ 5\QG7'Có�)tÐk+s)@÷6öVó4õJ'�÷6ú_)5+�Ð3 %$�÷�'Có� Y�

A 5\Q4B=iP7)U2.�[v~n.�iP0���7614./Bn.�1�H±021M7I?4.�[W?�7I~=iP.�76���F. 76;=[@/ 06H�Q4LC7IB�.¦ Y�õ Á ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ ÷ Á ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö ö

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö ö

ÃÃ Ä ÄÄ Å ÅÆfh5P;=O#.�?M0232.�?ML=.#1Y?4L=.�Q@.�?M76~=i\.)76����CiPil76i\i206H� �76;=[Å;=0�~�0k�Å5PQ};l�=D�~n.�1@.�[Å?V�*5PO�.I]>?4L=.#UÅO#02;=Q@?45\?4��?M.7�Bn.�1�H±021M7>?M.�[vBC765\1?.aBH/z06H�Q4LC7IB�.¦ Y�

õ¢ø ÷ Á ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅÃÃ Ä Ä

Å ÅÆö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄÄd

Page 9: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

X .�[email protected];F?4.�14.#Q@?4.�[�5P;�D!0�Sw5P;=3�?ML=.r5\;F?M.�36.�14Qk5P;:7�Bn.�1�H±021M7>?M.�[�?M76~=i\.)76��5\;�Q4��O�LE7��r7)U�?4LC7I??ML=.r1@.�Q@�=i\?k5PQ,7I3F765P;+B�.#1@H±02147I?M.#[^�,{|.�?Z­ ~n.�Bn.�1�H±021M7>?M.�[:0IH�Q4LC76Bn.Z Y]F76;�[�Q4�=B�B�[email protected]?ML=.�5P;F?M.#32.�1zÙ5P;h­ 5\Q?ML=.�;=.#5P32Ll~n021?M0W?4L=.�;=021@?4L 021��.#Q@?+06H�76; .#DEBh?VU�~�0k� 0IH2 Y� � HÐ5P;F?M.#14O�LC76;�325P;=3?ML=.�Bn02Q45T?M5\02;=Q�06H(z 76;=[È?ML=. .#DEB�?VU ~�0k�ZB�140w[=�=O�.#Qv7ÚB�.#1@H±02147I?M.#[Z?M76~=i\.)76�^]*�Ð.êQ47)U ?ML=.5P;F?M.#14O�LC76;�32.vóI«�'�÷6ûnõs �­+��fh5PD!5PiP7614iTU2]l�*L=.�;pz�5\Q*5PD!DE.#[=587I?4.�iTUNQ@02��?MLK021*.)76Q�?�06Hk?ML=.Å.�D!B�?VU~�0k�Ù76;=[ 5P;F?M.#14O�LC76;�325P;=3`B=140w[=�=O#.�Q�7`Bn.�1@H±061M7I?4.�[ ?M76~=i\.)76�^]Y5\?@#%+>ûCö¤)@÷�#�öt 5­+�vp Bn.�1�H±021M7>?M.�[?�76~=i\.)76��?4LC7I?"O�76;=;=06?"~n.�.��hBC7I;=[=.�[ � O#02;F?M1476O#?4.�[Y�,5PQbнô�\_\úù:óI«�'�÷6ûnõwó4õ � нô�\_\úù #%+>ûCö¤)@÷�#�ö¸ó4õ-�½��{|.#?.pB�/�~n.:7NBn.�1�H±021M7>?M.�[KBC765P1�76;=[�Q@�=B=Bn02Q4.Oè:76;�[Uû�7614.:7I[s>476O�.#;F?y5P;F?M.#32.�1@QGH±1@02Dü.þ76;�[a/14.�Q@B�.#O#?45\S2.#i\U6� � ;F?4.�14O�L=76;=325\;=3@è�76;�[�û�5\Q�7@ �"�úüö�#%$�B=140�Sw5P[=.#[�5\?�Q@5PD��=iT?�76;�.�02�=Q@i\UN.��hBC76;=[�QJ.76;=[�O�06;l?41M76O�?MQ/Å��X .��*145T?M. è¾ý²û*?M0N14.�B�14.�Q@.�;F?/?ML=.�Q@�*5\?4O�L^� � H�;=0Fè:76;=[Uû�5P;0.pBa/ O)7I;~�./Q@�*5T?MO�L=.#[^]b.aB@/z5PQ�нô�\_\úù! �"�úüö�#%$Có4õ6�

m�=1�76i\32021@5\?ML�D 5\Qr?ML=.yH±02i\iP0��*5P;�3T=þ@ÿ������������ ������������������������ �!�#"$��%�&�('�)���+*,�

-/. ç�öø÷G)½ö�"�úüöt$vö ÷Ax�\Pó4÷6ô]« . ÷6ûnõe/ �ôY#%$vö_$�÷6öP/ óI«2öVó�ûnõs �. .0(. çY"�úüö�#%$vúüûCöVó{&wó�), �Ð�)%+s| .�"�úüö_$vúüûCö¸ó{&wó�), �Ð�),+s| / ôwûCö�ú_\}úüöÐúW �ûr+O\W+>û�&wó�)'q+- % �ú¤x�\PóÅö�+�õ�+ -+ .m�H�O�06�[email protected]]}76i\i}�Ð.:O)7I;�QM7)U�7I?�?ML=5\Q�Bn025P;F?5\Q�?ML=7I?�?4L=.:.�;=[�1@.�Q@�=i\?y5\Q7�Bn.�1�H±021M7I?4.�[�BC7I5P1

�*L=02Q4.ÅQ4L=76B�./5\Qr?MLC7I?*0IH�.�BF/Å� � ;vHß76O�?)]CO#02;=Q45\[=.�1476~=iTU�D!0214.y5\Qr?M14��.G=�1!�(����(� %�2 /�43 % �ô�|Nó�ö_$Có� �"�úüö�#%$wúüû�&'*),+-#�ó4õ6ô�)Mó*ö¤)@÷6û� tÐk+s)�|Q �.ÈúüûCö�+3.*9 ÷6ûnõ�/ úüûCö�+�:;/ .5 $Có�û

-/. .*9 ÷6ûnõQ:;/ ÷G)MóÅöø÷Ax�\Pó4÷6ô]«�6�÷6ûnõ5.*9ÈóI«2öVó�ûnõs �:;/ .0(. : /KBU.*9K$�÷s yöt$Có¦ �÷G|Nó %$�÷�'CóÅ÷s 3.aBH/ .78. . ÷6ûnõ .*9K$�÷G[6ó/ö_$Có¦ �÷G|Nó5#%+>ûCö¸ó�ûCö96Ð÷s �õ�+¦/ ÷6ûnõ : / .:;. .*9 ÷6ûnõ�:;/ ÷G)Mó�úüûnõwó�'Có�ûnõwó�ûCöP+�Ð�ö_$CóC'�÷G)½ö�ú{#�ô�\T÷G)� �ó4ù�ôCó�ûr#�ó?+�Ð� �"�úüö�#%$Có% Ðôy �ó4õyö�+2'*),+�õ6ôq#�ó

öt$Có�| .��761@?4Qy��76;=[`aN761@./02~FSh5\02�=Q@i\UW?M1@�=.6��XÙ.Å[=.�H±.�1*?ML=.ÅB=140w06H±Q�06Hro+76;=[v�N��;l?45Pi^?4L=.+.#;=[K0IH

?ML=./Q4.#O#?45P02;`76;=[gB=1@0hO#.�.�[v?M0�325TS2./76;v.���76D!B=iP.I�"{|.#?3. 76;�[F/�~�.y?ML�./H±06iPiP0��*5\;=3�?�7I~=iP.�76���b=õ Á ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öà ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öà ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ ÷ Á ÃÃÄÄ Å Åb

Page 10: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

� H^��.76B=B=iTU:?ML=.�76iP3206145\?4L=D�?40!.!B /Å]w02;=.GB�02Q@Q45\~=iP.�Q4.��w��.�;=O#.y06H|Q@�*5T?MO�L=.#Qr5PQ"?ML�.GH±02i\iP0��*5P;=3�=ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öà ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öà ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅÃÃ

ÅÅÄÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅÃÃ

ÅÅÄö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ

ÃÅÅÄ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄÄ

Ãö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ

ÃÅÅö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ

ÄÃö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ

Ä<Ä>=0Ä <Å =KÃ <Ä(=0Ä?

@ A Å = Åö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ

ÃÅö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ

ÄÃ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄÄ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ Åö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ

ÃÅö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ

Ä ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄÄ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ ÅÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ

ÃÅö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö ö

ö ö ö ö ö öÄÄ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ ÅÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃÄ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅÃ

Åö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄÄ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ Åö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃÄ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃà ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ<Ã&=hà <ÃB=6Ä <ÃB=hÃ?

@ A Å = ÅÃ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄÄ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ Åö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃÄ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ Å ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö ö

ö ö ö ö ö öÄÄ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ ÅÄö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ ÅÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄÄ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ ÅÄö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃÃö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ Å

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃÃ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄÄ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅÄö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃÃö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ Å

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃÃö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃÅ<Ã&=hà <ÃB=Kà <ÃB= Å

pr?�?4L=./.�;=[g?ML�.+7IiP32021@5\?4L=D LC76Q*B=140w[=�=O#.�[v?ML=.yH±02i\iP0��*5P;=3+?�76~=i\.)76���r=C ÷ Á ÄÄ Ã

ÅÃ Å õED Á ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ

��0����Ð.y[=.��C;�./?4L=.yQ@�*5T?MO�L=5\;=3�DN7IB^]�B=1@0�S2./5\?�LC76Q�?ML=.yB�1402Bn.�1�?M5P.#Q��Ð.Å[�.�Q4O#145\~�.#[v5\;�?ML=.5P;F?M1@0h[=��O#?M5\02;^]�76;=[vQ4L=0��z?4L=.�Q@.ÅB�1402Bn.�1�?M5P.#Q*O�LC761M7IO#?M.#145\ï�.y?ML=./DE76Bg�=;=5<�w��.�i\U6�

fw�=B=Bn02Q4.U. 76;=[½/&7614.W?M76~=iP.�76��� 76;�[½/ .��w?M.�;�[=QH.r� j�L=1@02�=32L�02��?!?ML=.v14.#Q@?E06H�?4L=5PQBC76Bn.�1G�Ð.+�*1@5\?4. .*9ê76;�[ : / H±021�?4L=.+?M76~=i\.)76���v?4LC7I?. 76;=[a/ 1@.�Q4Bn.�O�?M5TS2.�iTUK~n.�O#02D!.+�*L=.#;?ML=.rQ��*5\?4O�L=5P;=3�B=140wO�.#[=�=14.�5\Q,76B�B=iP5\.�[+?40e.B�/Å� A .��C;=.Ð?ML=.� �"�úüö�#%$wúüû�&e|!÷�' � 021kD!021@.�~=1@5P.�F�U2] �"�úüö�#%$wúüû�&-��?40E~n.?ML�.ÅDE76B=B�5P;=3O.�BF/j¥�b§ :G/KBU.*9`?ML=./B=1@0hO#.�[=�=1@.+O�76iPO#�=i87>?M.�Q#�

jY0vO�LC761M7IO#?M.#145\ï�.:Q@�*5T?MO�L=5\;=3g��.�;=.#.�[ 7g[�.��C;=5T?M5\02;^��XZL=.#;N­é5PQ/7N?�7I~=iP.�76�^]|iP.�?/�=Q/QM7)UQ4�=~�?M76~=i\.)76���6­�~�76;=[®­E�!õwó%#%+s|3'q+- �ó­ B=140�Sw5P[=.#[h­»� ­�~EBL­E�+7I;=[L­E�/.��w?M.#;=[=Q5­�~½�XÙ.14.��l�=5\14.I]�D!0214.#0�S2.�1#]Y?4LC7I?y�*L=.#;=.#S6.�15zl~76;=[6zY��761@.�5P;F?M.#32.�1@Q+5\;K­�~76;=[N­C��]�1@.�Q4Bn.�O�?M5TS2.�iTU2]?ML=.#;`.#5\?ML�.�1?zl~HGMz*��]=021�zl~��^z*��76;�[�zl~Ð5PQr�Ð.�Q�?�06HCzY����1!�(����(� %�2I/� çY"�úüö�#%$wúüû�&D.LBp/ ¥ �b§ : /�B®.*9þúW !ö_$Có!ôwûCúßù�ô�óO|!÷�'½"�úüö_$êöt$Có?Ðk+s\_\W+s"�úüû�&'*)%+%'Có�)½ößú ó% KJ

Page 11: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

� .*9 ÷6ûnõ@:G/ ÷G)�óEö ÷Ax�\Pó4÷6ôG«�6?.*9�óI«2öVó�ûnõs Q:;/L6/÷6ûnõ@:G/jBh.*9^$�÷s Eöt$Có! �÷G|Nó! %$�÷�'Có�÷s .aB@/ .NM +s)Mó%+s[6ó�)O6E.*9 ÷6ûnõ5.ê %$�÷G)Mó/öt$Có¦ �÷G|NóQ#%+>ûCö¸ó�ûCö96�÷s +õ�+J/ ÷6ûnõQ:;/ .�I�4P Ð�.@BD/ $�÷s |:ô�\«ößúä'*\Pó5#%+s|3'q+>ûuó�ûCö_ Q6v"�ó(#4÷6ûL#4÷G\W#�ô�\T÷6ö¸ó?.*9 ÷6ûnõ(:;/ x�ù5 �"�úüö�#%$wúüû�&!ö_$Có#%+s|3'q+>ûuó�ûCöt (+�Ð�.aB@/ úüûnõwó�'Có�ûnõwó�ûCö¤\úù .�8�I� ç�ô¾'A'q+- �ó(/�~g÷6ûnõ@/r�Kõwó%#%+s|3'q+- �óe/ . 5 $Có�û²"�óF#4÷6û½ �"�úüö�#%$0. "�úüöt$a/�úüû½ �ö ÷-&wó% W÷s Ðk+s\_\W+s"C .SR )½úüö�úüû�&!.Co�Ðk+s)�.*9 î 6�"�ó$�÷G[6ó.*9H� � . o ��9 ð 76;=[ : /^� : /P~�B :�T /r�-�

ç�ú_|:ú_\T÷G)�\úù!ú Ð �ô�x�ö ÷Ax�\Pó4÷6ôG«Wõwó%#%+s|3'q+- �ó?.E6�"�ó5#4÷6ûa �"�úüö�#%$5/ "�úüö_$´.�úüûa �ö ÷-&wó% .U �����VO� fw�*5T?MO�L=5\;=3 L=76Q!�"1@02Bn.�1@?VU � ~FU�BC761@?4Qgo2]r�w]�76;�[ a 06HGj�L=.�021@.�D �h�è�h]Ð76;=[ 5\?

5PQ!O�iP.�761:H±1402D ?4L=.K[�.��C;=5T?M5\02; 0IH?ML=.`B=140wO�.#[=�=1@.`?ML=7I?NQ��*5\?4O�L=5P;=3 LC76QN�"1@02Bn.�1@?VU �I� ����06?M.?MLC7I?rQ@�*5\?4O�L=5P;�3:5P;�Q�?�7632.#Q�5PQrQ@5PD!B=i\U!7�O#.�1�?�765\;WO�L=025PO#.06HY021@[=.�1r5\;�?ML=.�B=140wO�.#[=�=14.]u=?ML=.yDE76B?ML=.#14.#H±0614./LC76Q���1402Bn.�1�?VU �8�I� ~FUg��06H�j�L=.�021@.�D �h�è�h�

jY0/Q4.#.GQ��*5\?MO�L�5P;=3/5PQ�?ML=.*�=;=5<�l�=.�DN7IB��*5T?ML�?4L=.�[email protected]=1@02Bn.�1@?45P.#Q�]FQ4��B=B�06Q4.�.(B/^¥�b§ /@B .?M1M7I;=Q@H±021@DEQ3. 5P;F?M0 .r]*/ 5P;F?40 /Å]u7I;=[�LC76Q�"1@02Bn.�1@?45P.#Q � ] �8� ]�76;=[ �I�8� ��XZL=.�;6. 76;�[a/�7614.?ML=.GQ45P;�32iP.½�V~n0-��?M76~=i\.)76��� � 7I;=[ � 14.#Q4Bn.�O�?M5\S6.�iTU2]h?4L=.�; /pB .L��:;/pB1.*9vQ45P;�O�.y��1406B�.#1@?M5\.�Q� 76;=[ �I� H±021@O�.(. 76;�[F/ ?M0:?M1476;=Q@H±0614D 5\;g?4L=.y�r7)UWQ@L=0��*;K~FUW?ML�.ÅB�5PO#?4�=14.y~n.�i\0��J=

W �����º� XX������� W

XW W X

@ @ @ @W �����º� X

X������� W

WX X W� ; �Ð021@[=Q�]Y5\HZ. 7I;=[p/é761@.:;=06?Å76[s>47IO�.�;F?�]}?4L=.�;®.^� .*9h� . 7I;=[p/ � :;/ó� /euY5\H"?ML�.#U7614.I]w?4L=.�;D.*9F� .Ù5\Q�?ML=.*?�76~�iP.)7I�!�*L=06Q4.�Bn02Q@5\?M5\02;�5PQ�?ML=7I?�06Hl/Å]l~=��?��*L=02Q4.GO�02;F?4.�;F?r5\Q"?4LC7I?06H�.r]C7I;=[gQ45PD!5PiP7614iTU:H±021 : /j� /+�"9Ð��?�?ML=.#;`5\;=[=�=O�?M5\;=3:02;W?ML=./;l�=D�~n.�1*06HY~n0k��.#QG5\;F.�B@/76;=[v�=Q45\;=3!�"1@02Bn.�1@?VU �8�8� 325\S6.�Q /NB .h� : /KBU.*9KH±061�.#S2.#[email protected]/Å�

��.��w?���.*Q4L�0º� ?ML=.*76i\32021@5\?ML�DEQ�06Hl�G765PDE76;vý��+o��C76;=[NfhL=5PD!02ï#02;=0!ýñfhL��n761@.�Q4Bn.�O�5P76i=O�76Q4.#Q06H,?ML�.�Q@�*5T?MO�L=5\;=3NB�140wO�.�[��=14.I��{|.#?. 76;=[�/ ~�.Å?�76~=i\.)76���g�*5\?MLF/ .��w?M.#;=[=5\;=3H.r��j�0�7�S6025P[L=5P[=5\;=3�?ML�.:.�Q4Q@.�;F?M5P76iPQ/~n.�L=5\;=[ �=;=;=.#O�.#Q4QM7I1@U [=.�?�765\iPQ�]}7IQ4Q4��DE.O.þ76;=[p/é761@.:Q@?M76;=[C761@[^]}QM7)U�*5\?ML�5\;l?4.�32.#14Q�o : � � : � �k�k� �ZY : 76;�[vo�9 � �¾9 � �k��� � ¼�9N14.#Q4Bn.�O�?M5\S6.�iTU2�"�G0I?M.r?ML=7I?"5\H��Ð.G7IQ4Q45\32;:?ML=.0214[=.#145\;=3\[ =,o : G �-�-�]G Y : G o�9^G �-�-�$Gó¼�9Y]}�Ð.EO�76;ê?4L=5P;�<�06H?.0Bp/é76Q+7WQ@?�7I;=[C761@[?�76~=i\.)76�u� � ;�76;ë0214[�.�145\;=3K�*L=.#; � : G � 9È7I;=[ � : � � o : G � o9 � � 9 H±0614O�.#Q � : � � o : 76;=[� 9F� � o9 ]hiP.#?r�=QrQM7)U � 9²#%+s[6ó�), � : ��jY0:DE0�S6.J. 7I;=[D/ ?4L=1406�=32LW02;=.76;=06?4L=.�1#]T��7I5PDE76;W76;=[fhL=5PD!02ï#02;=0:�=Q@.Å?4L=.yH±02iPi\0º�*5\;=3�B=1@0hO#.�[=��14.6]=�*L�5PO�Lg��.ÅO)76i\iE %$wô`_ úüû�&G=

Page 12: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

þ@ÿ������������ ��bac�`d��)%e�������*f�-/. ç�öø÷G)½ö�"�úüöt$´.E6�/g6�÷6ûnõ1[ ÷s �÷Ax�+s[6ó .0(. ç�ô¾'A'q+- �ó:÷IнöVó�)�÷ih<'q+- % �ú¤x�\úù`ó�|3'nö¤ùQj´ �ó4ù�ôCó�ûr#�ó´+�ÐJ �ö¸ó�'q 5"�óQ$�÷G[6óO+Gx�öø÷6úüûuó4õWöt$Có�'Có�)_Ðk+sª)@÷6ö¸ó4õ3'�÷6ú_)�. o B!/ o ÷6ûnõ!÷6û0+s)@õwó�)½úüû�&L[ o "�úüö_$D)Mó% �'Có%#�ö,ö�+5"C$wú{#%$ . o B!/ o úW y÷5 �ö ÷6ûnõF÷G)@õ

öø÷Ax�\Pó4÷6ô .lk $q+-+- �ó -+s|Nó � : ÷6ûnõ � 9^ �ôq#%$Ùö_$�÷6ö � 9»#%+s[6ó�)% � : ÷6ûnõ�úüûCöVó�)%#%$�÷6û�&wóEö_$Có�ú_)+s)@õwó�)úüûm[Jo� -+�ö_$�÷6ö � 9nG � : . ç�ú_|:ô�\«ö ÷6ûuó%+>ôy �\úù�6�÷Fõ@ò½ôA �öP.Co-B1/?ok÷s vÐk+s\_\W+s"C KJ*ú Ð � : ÷6ûnõ� 9 ÷G)Mó�÷Fõ@ò#÷�#�ó�ûCö�6"úüûCöVó�),#%$�÷6û�&wóyö_$Có�ú_)'q+- �úüö�ú{+>û� Qo+>ö_$Có�)�"�úW �óQ6Ðõ�+!ûr+>ö_$wúüû�& .78. Ü*ó�'Có4÷6ö 0 ôwûCößú_\|öt$Có�)Mó�÷G)MóÅûr+ � : ÷6ûnõ � 9²"�úüö_$ � 9j#%+s[6ó�)½úüû�& � : .pG;ë.)76Q�UÙ5\;=[=�=O�?M5\02;Ù02; ?ML=.�;l�=D�~�.#1�06H*Q�?M.�B�Q�Q4L=0��*Q�?4LC7I?�.�S2.#1@UÙ?45PD!.EQ�?M.#B �v5PQ+B�.#1��

H±0214D!.�[^]�?ML�.�14.#Q4�=iT?�5\Q7�?�76~=i\.)76�v�*L=5PO�LK5PQ�Q@?�7I;=[C761@[��*5\?ML`14.#Q4Bn.�O#?�?M0E?4L=.���B�[C7>?M.�[K0214[=.#1��J`0214.#0�S2.�1#]�1@.�3F7I14[=i\.�Q4Q*06HkL=0��z?ML�.Å0614[=.#1G5\Q��=B�[=7I?M.#[^]C��.+76i\��7)UwQGLC7)S6.No : G��-�-�pG Y : 76;=[o�9qG��-�-�+GM¼�9�� � ?*H±02i\iP0��*Q�?4LC7I?*?ML=.Q.Co]BF/?onB=140w[=�=O#.�[�7>?G.�76O�LKQ�?M.#B`5\QG7�Bn.�1@H±061M7I?4.�[vBC765P1#�XZL=.�;vQ4Ll�sr!5P;�3E.#;=[=Q�]}o�9nG��-�-�+GM¼�9qG o : Gê�-�-�+G Y : ]�76;�[v?4Lw��QU ���"t�;�u�������;�v %�2w/� çT$wôx_ úüû�&KúW N÷1'�÷G)½ö�ú{#�ô�\T÷G)H#4÷s �ó@+�Ð�ö_$Có! �"�úüö�#%$wúüû�&O'*),+-#�ó4õ6ô�)Mó@+�Ð 3 \�&�+sª)�úüö_$�| 0(.9-/.

j�L�.ê1@.#S6.�14Q@.Ù5\QW;=06?W?M1@�=.G=ëQ@02D!.�Q4.��l�=.#;=O�.#Q�06H+Q@�*5T?MO�L=.#Q`7IiPiP0��Ð.�[Z~FU ?ML�.êQ��*5\?4O�L=5P;=3B=140wO�.#[=�=14.êO)7I;=;=06?`~�. 02~h?�765\;=.�[Z�*5\?4L Q@Lw�>rE5\;=3=� jY0 Q4.�.ê?ML=5\Q�]O#02;=Q@5P[=.#1v?4L=.�H±02iPi\0º�*5\;=3.���76D!B=iP.]=

< < < <@ y

z< < <

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÆ Ãö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ Ä Å Æ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÆ ÃÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ Å Æ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ Ã ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÆÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ Å Æ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ Ã ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÆÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ Å Æ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ Ã ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÆÄ Å ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ Æ

à ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öà ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÆÄ Å ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ Æ Ã ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öà ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄ ÆÄ Å ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÆà ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ Æ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄÄ Å ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÆ

Ã Å Æ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öà ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÅ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÆj�L=5PQ�5PQ�76;:76O#O�.�Bh?�76~=i\.rQ4.��l�=.�;=O#.�06H�Q@�*5T?MO�L=.#QkH±021�p�iP3602145T?ML=D �w�\o2�E�G0��Ð.#S6.�1�]F?4L=.Z�C1@Q@?,Q��*5\?4O�L5P;ÚQ@Lw�>rE5\;=3�D���Q@?:5\;l?4.�1@O�LC76;=32.E?ML=.�Q@LC76[=.#[��K�*5\?4LÙ?ML=.N�=;=Q4L=76[=.�[Zo2],76;=[Ù?4L=.�1@.#H±[email protected]?ML=.76~�0�S6.ÅO�76;=;=0I?G0wO�O#�=1��

� ;ëý����s�v�G765PDE76;g[=.��C;=.�Q?V�Ð0W76i\32021@5\?ML�DEQrH±021�D!0ºSw5\;=3D. 7I;=[a/ ?ML�1402�=36L�02;=.�76;=06?4L=.�1�*L=.�;¢. 76;=[ê/�7I14. Q@?M76;=[C761@[ ?M76~=iP.�76��� 76;�[ê/ .��h?4.�;=[�Q0.r� ��Q4Q4.#;F?M587IiPi\U6]�?ML�.�Q4.Ù76iP360I�145\?4L=D!Q�761@.�.��w?M1@.�D!.WO)76Q@.�Q�06H*Q@Lw�>rE5\;=3=�L��765\DN7I;^ðÿQe�C14Q�?!76iP3602145T?ML=D 76D!02�=;F?4Q�?M0�O#02;=Q45\Q��?M.�;F?4i\U Q��*5\?4O�L=5P;=3Ú?4L=.�321@.)7I?4.�Q@?gBn02Q@Q45P~�iP.�5\;l?4.�32.#1NH±1406D . 76;=[ZL=5\Q�Q4.#O�02;=[Z?M0ëQ��*5\?4O�L=5P;=3?ML=.:i\.)76Q�?yB�06Q4Q45\~=iP.�5P;F?M.#32.�1y5\;U/+�Åj�L=.#14.#H±0614.6]Y��1406B�02Q@5\?45P02; �w�Ô_N5\DEB=i\5P.#Q�?4L=.�76iP3602145T?ML=D!QG0IH��765\DN76;êý���¾�}7614.Å76i\Q40�BC761�?M5\O��=iP761�O�76Q4.#QG06HY?ML�.ÅQ��*5\?4O�L=5P;=3!B=1@0hO#.�[=�[email protected]

o)c

Page 13: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

e 021+?ML=.W7IiP32021@5\?4L=D 06H s 76D!.�Q�76;=[N�y.#14~n.�1vý s �¦��]"76Q@Q4�=D!.F. 7I;=[h/ 7I14.�?�7I~=iP.�76����]v/.��w?M.#;=[=Q¦.r]=.�S2.#1@Uv5P;F?M.#32.�1�5\;�. .��l�C76i\Q�èF]�7I;=[g.#S2.#1@Uv5P;F?4.�32.#1�5P;@/ .��l�C7IiPQ�û½�Ðq�iP.)7I14i\U6]=.)7IO�LO�02i\�=DE;�06H¦.KBL/ LC76Q!02;=.g021:?V�Ð0 ~n0k�h.�Q�]�.�76O�L ?V�Ð0I�ø~�0k��O#02iP�=D!;�LC76QE76;MèK76~n0ºS6.K7Uû½]76;=[�.)7IO�Lê06;=.��ø~�0k�KO�02i\�=DE;KO�02;F?�7I5P;=Qy7I;6è�02171û½�+J`0214.#0�S2.�1#]}5\H��Ð.:[=5PQ@O)761@[�?ML=.�?V�Ð0I�ø~�0k�O�02i\�=DE;�Q�]l.)76O�LN140��È06H��*LC7I?Ð14.�DE765\;=Q"D��=Q@?ÐO�06;=Q45\Q@?Ð06H|7 � Bn02Q4Q@5P~=iTU:.�D!B�?VU���Q@.��l�=.#;=O�.0IH�è2ðÿQH±02iPi\0º�Ð.�[�~FU�7 � Bn02Q@Q45P~�i\U�.#DEBh?VUT�,Q@.��l�=.�;�O�.�0IHrû½ðñQ��,j�L=.#5P1"B=1@0hO#.�[=�=1@.�H±021�DE0�Sw5P;�3Q.�?ML=1@02�=32L/z5PQ�[�.�Q4O#145\~�.#[K~FU�?ML�.ÅB�5PO#?4�=14./~n.�i\0º�J=

���º���������� �������

������� �������

���#�#�#��������#�#�#����� �������#�����

X X X X{X XW W|W W W W} } } } } } }�~

������ �@ @� �K� � � �K� �� �K� � � �K� �

� �K� �v� �K� �v� �K� � � �K� ����º���

������� �������������� �������

���#�#�#��������#�#�#����� ���������#�#�X X{X X X X

W W W W|W W

o6o

Page 14: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

j�0!Q@?M7I?M.y?ML�5PQ�.��hB=i\5PO#5\?MiTU2]o2� � ;`.�76O�Lg?V��0I�ø~�0k�gO#02iP��DE;^]�5P;F?M.#14O�LC76;�32.y?ML=./Bn02Q45T?M5P06;=Qr06H�è+76;=[Hû½��h� � ;K.�76O�L�140��/]�14.�0614[=.#1�?4L=. è2ðñQ�76;�[aû½ðÿQG;=06?GDE0�S6.�[�5\;`Q�?M.�BÙo2� � H,?ML�.�140�� O#02;F?�765\;=Qg�Q4�=O�L6è2ðñQGH±02i\iP0��Ð.�[K~FU4�+Q4�=O�LUû½ðñQ�]^1@.�B=iP76O�.Å?ML=.#D&~lUK7EQ@.��l�=.#;=O�.�06H]�eû½ðñQ�H±02i\iP0���.#[K~FU�HèFðñQ��

� ?N5PQE.)76Q�U ?40ÚO)76i\O��=iP7I?M.g?ML�.K.#t�.�O�?�?ML�.KQ@�*5T?MO�L=5\;=3ÚB=1@0hO#.�[=��14.�LC7IQ�02;j. 76;�[�/ � H±021.���76D!B=iP.I]h~FU!O�02;�Q45PQ�?M.#;l?4i\U!Q@�*5T?MO�L=5\;=3+?4L=.�.�76Q@?4.�1@;=DE06Q@?ÐB�02Q@Q45\~=iP.3è¾��ul?ML=.G14.�Q@�=i\?Ð5PQ"?ML�.�QM7IDE.76Q�?MLC7I?*B�140w[=�=O�.#[`~FUW?4L=.Å76iP3206145\?4L=D 06H s 76DE.#Q�76;=[��/.#14~n.�1#�

Jv0214.!32.�;�.�1M7IiPi\U6]|Q4�=B�B�[email protected]. 76;=[0/ 7614.:?M76~=iP.�76�����*5T?ML0/ .��h?4.�;=[�5P;=3U.���jY0KD!0�S2.1.76;=[!/ ?ML�1402�=36LE02;�.*76;=06?4L=.�1"�=Q@5P;=3y?ML�.G7IiP32021@5\?4L=D�0IH s 76D!.�Q�76;�[1�y.#14~n.�1�]F�Ð.G~�14.)7I<!.Ù76;=[/�5\;F?M0NQ@�=~�?M76~=iP.�76���U. ¶A� . ¶�¸ ~ � ���k� � . ¹ 76;=[a/ ¶A� / ¶�¸ ~ � �k�k� � / ¹ ]n�*L=.#14.I]uH±021�.�76O�L � 7I;=[ � ]�.b�O�02;F?�7I5P;=Q"?ML=. � ðñQr06H�.�]h76;=[1/+��O�06;l?M765P;�QÐ?ML�. � ðñQ�06Hl/Å�kX .G?4L=.�;N5\?M.#1M7I?4.�?4L=.7I~�0�S2.�?M0+DE0�S2./ ¶ ?ML=1@02�=32L 76iPi�06H?.r]|?ML�.�;L/ ¶�¸ ~�?ML=1@02�=32L �*LC7I?5.þLC7IQ+~n.�O#02DE.I]Y76;=[êQ40v02;^�E9���?/?ML=5\Qy5PQ;=06?ML�5P;=3Å~=��?�7+BC7I1@?M5\O��=iP761�O�L=025\O�.G06H^Q��*5\?MO�L�.�Qr5\;!?4L=.GQ��*5\?4O�L=5P;=3+B=140wO�.#[=�[email protected]�Ðq�02;=Q@.��l�=.�;F?4i\U2]~lU��E06H�j�L=.#0214.#D �h�Ô���Ð./LC7)S2.

U ���"t�;�u�������;�v %�2�/� 5 $CóG÷G\�&�+s)½úüöt$�| +�Ð���÷G|Nó% G÷6ûnõeÔ:ó�)�x�ó�)�úW �÷J �'Có%#�úß÷G\b#4÷s �ó+�Ð*ö_$Có �"�úüö�#%$�ªúüû�&J'*),+-#�ó4õ6ô�)Mó +�Ð 3 \�&�+s)½úüö_$�| 0(.9-/.

{|.�?�. 76;�[D/�~n.?�76~�iP.)7I����]�02;=.y1@0�� Q�?M1@5PO#?�76;=[W?ML=.�06?ML=.#1�O�02i\�=D!;�Q@?4145PO�?)]hQ4�=O�Lg?MLC7>?/.��w?M.#;=[=Q�.r���*.�D!D!.�iYý��?��[=.#Q4O#145P~n.�Q�7ÅD!.#?4L=0w[!H±021"D!0�Sh5\;=3(.Ú76;=[!/ ?ML�1402�=36LN02;=.G76;=0I?ML=.#1��j�L=.H±02iPi\0��*5P;=3ÅQ45\DEB=i\.�7I[s>@�=Q@?4DE.#;F?r?M0�?4L=.Q��*5\?MO�L�5P;=3:B=1@0hO#.�[=��14.�Uw5P.#iP[=Qr76;W76i\3202145T?ML=D ?4LC7I?32.�;=.#1M76i\5Pï#.�Q?�*.�D!DE.#i ðñQ��

p�'Có�)_Ðk+s)@÷6ö¸ó4õ��8ªVö ÷Ax�\Pó4÷6ô6+�Ц %�Fó�"M %$�÷�'Có?  5\Q�?4L=.Å?41M76;�Q4Bn02Q4.+06H�7!B�.#1@H±02147I?M.#[`?�7I~=iP.�76�`0IHQ4LC76Bn. *£���pGQ4Q@�=DE./02;�.06HC.�061Z/z5\Q�7�B�.#1@H±02147I?M.#[�?�76~�iP.)7I�g76;=[�?ML�.y06?ML=.#1�5PQ�7�Bn.�1�H±021M7>?M.�[�ß�ø?M76~=i\.)76�^]}~n06?ML [email protected] Y�gfh��B=B�06Q4.E?40232.�?ML=.#1Å?4L=.#U O#02DEB�iP.#?4.�iTUU�CiPiv Y]�5 �ñ.6�T]�.�S2.�1�Uê~�0k�06H�  5\Q(�Ci\iP.#[ �*5\?4L�76;Ú5\;l?4.�32.#1�H±1406DÂ. 021e/+],76;=[ë;=0�~n0k�Ú5\Q(�Ci\iP.�[ ?V�*5PO�.I��j�L=.�;².LB6/5PQÅ7H'Có�)_Ðk+s)@÷6ö¸ó4õS�IªW'�÷6ú_)D+�Ð! %$�÷�'Có  . j�L=.E;=06?M5\02;=Q/06H�.��hBC76;=[=5\;=3�7I;=[ÙO#02;F?M1M7IO#?M5\;=3v.��w?M.#;=[?M0KBn.�1�H±021M7>?M.�[i�ß� ?�76~=i\.)76���ê5P; ?4L=.N;=7I?M�=1476i��r7)U6�K{|.#? .LB0/ ~�.E7`Bn.�1�H±021M7I?4.�[��±�VBC7I5P1�]�76;=[Q4�[email protected]è76;=[´û�7I14.G76[s>476O#.�;F?r5\;l?4.�32.#14Q�H±1402D .Ú76;=[O/þ14.�Q@B�.#O#?45\S2.#i\U6� � ;l?4.�1@O�LC76;=325\;=3!èy76;=[û�5PQG7��Iª{ �"�úüö�#%$�5TH,5T?GQ@5PD���i\?�7I;=.�02��Q4i\U�.��hBC76;=[�QJ. 76;=[`O�02;F?M1476O#?4Q3/Å��j�L=.�D!0w[=5<�C.#[vS6.�1@Q45P06;06H�?4L=./Q@�*5T?MO�L=5\;=3�B=140wO�.#[=�=14.Å5PQr?4L=.yH±02iPi\0��*5P;=3T=o2�Gfw?�7I1@?Å�*5\?ML ?�7I~=iP.�76���®.z76;=[6/éQ4��O�LÚ?MLC7I?Å02;�.N5PQ/O#02iP�=D!;êQ@?M1@5PO�?)]}?ML=.E06?ML=.#1+5\Q/140��Q@?4145PO�?)]C7I;=[F/�.��w?M.#;=[=Q.��

�h����.#1@H±021@D��ß�øQ@�*5\?4O�L=.�Q�06Hk5P;F?M.#32.�1@Q*H±1@02D .��*5\?MLg5\;l?4.�32.#14Q�H±1406D /z�=;F?45Pi|5\?*5\Q�;=0!iP02;=36.�1B�06Q4Q45\~=iP.?40�[=0�Q40=�

o��

Page 15: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

e 5P14Q�?Å76Q4Q@�=D!.D.Z5PQ/O�02i\�=D!;�Q@?M1@5PO�?�7I;=[6/ 5PQ/140�� Q@?M1@5PO�?)��j�L=.�0614.�D��w�Ô�h]|?41M76;=Q@i87I?4.�[ê5P;?ML=./02~FSw5P02��Q*��7)U2]�14.#DN7I5P;=Qr?414�=./5P;W?4L=5PQ�Q@.#?4?45P;=3���j�Ll�=Q#]�5\HY?ML=./;=.�� B=140wO�.#[=�=1@./?41M76;�Q@H±021@DEQ. 5P;F?M0a.*9�7I;=[L/é5\;F?M0�:A/Å]}?ML=.#;K.*9ë76;=[h:;/ 7I14.6]Y14.#Q4Bn.�O�?M5\S6.�iTU2]kO#02iP��DE; Q@?4145\O#?�76;=[ê140��Q@?M1@5PO�?�?M76~=iP.�76����]A.*9!.��w?M.�;�[=Q�:;/Å]276;=[�~�06?4L�761@.Ð5\;=[=.#B�.#;=[=.�;F?�0IH=?ML=.ÐQ4.��w��.�;=O#.�06Hp�ß�øQ@�*5T?MO�L=.#Q�=Q4.#[^����.#DED!.�i�ðÿQ�76i\32021@5\?ML�D 5PQ"?ML�.G.��h?414.#DE.GO)76Q@.�06H�?ML=.GDE0w[=5<�=.�[�B=140wO�.#[=�=1@.�5P;!�*L=5PO�L!?ML=.�ß�VQ��*5\?4O�L�76i\��7)UhQ�5\;FS202iTS2.�Q�?ML=.riP761436.�Q@?,B�02Q@Q45\~=iP.Ð5P;F?M.#32.�1YH±1402Dó.r� � XZL�.�;:?ML=.#14.r5\Q,D!0214.�?MLC76;B�02Q@Q45\~=5Pi\5\?VU��Ð.�O�L=0w02Q4.+?ML=.+.)76Q�?M.�1@;=D!02Q@?�02;=.6�ä�`j�L=.�O)76Q@.��*L=.�1@.!. 5PQG140�� Q@?4145PO�?y76;�[a/ 5PQO�02i\�=DE;WQ�?M1@5PO#?�5\Q*76;C76i\023202�=Q#�

X ./O�02;�O�iP��[=.y?ML=5\Q�Q4.�O�?M5\02;g~lUgB�140�Sw5P;=3�j�L=.#0214.#D �h��w��my��1�C14Q�?GQ�?M.#B`5\;g?4L=5PQ�[�5P14.#O#?45P02;5PQ

� �(�����i ����&� P Ð÷¦'Có�)_Ðk+s)@÷6ö¸ó4õ:öø÷Ax�\Pó4÷6ô´­ #4÷6ûCûr+>ö�x�ó�óI«�'�÷6ûnõwó4õ�hï)Mó% �'Có%#�ö�ú_[6ó�\úù�6�#%+>ûCö¯)@÷�#�öVó4õxj�6öt$Có�û�ö_$CóÅûr+>ûuó�|3'nö¯ù1x�+�«hó% /úüûF­�Ðk+s)�|&÷Nö ÷Ax�\Pó4÷6ô0+�Ð� %�Fó�"M %$�÷�'Có .

U �����VO� e 5P1@Q@?,;�06?M.r?4LC7I?k�*L�.�;=.�S2.�1�Q406DE.r5\;F?M.�36.�1vz�5P;´­ 5PQ�?ML=.r;�021@?4L:021k�Ð.�Q@?";�.�5P36Lw~n02106H�76;�.#DEB�?VU`~n0-��]E­ O)7I;�~�.�.��hBC76;=[=.#[^�/j�0NQ4.�.�?4L=5PQ#]uQ�?�761�?y~FU�76Q@Q4�=D!5P;�3Dz 5PQG?4L=.�;=061@?ML;=.�5\32Ll~�021�06H�76;�.�D!B�?VUK~�0k��� � � H"?ML=.#14.:5PQGDE0614.�?4LC76;�02;=.�Q4�=O�L6z}]u?�76<I.�?ML=.+��.#Q@?M.#14;=D!02Q�?02;=.6�ä� � HZzÚO)76;�;=06?Å~�.!Q4i\5P[ Q406��?ML 5P;F?M0W?ML�.E~n0k�u]}?ML�.�14.ED��=Q�?+~n.�Q402D!.!5P;F?M.#32.�1Jzqo Ú zÚ0IH­ ?40`?4L=.E�Ð.�Q�?�06Hr?4L=.N~n0k��],76;=[Ù~lUêO�L=0w02Q@5P;=3v?ML=.E.)76Q�?M.�1@;=D!02Q@?+Q4�=O�LKzqoY��.NO)76;Ù76Q4Q@�=DE.z o 5\Q*?4L=./��.#Q@?;�.�5P36Lw~n021*06HkQ402D!./.�D!B�?VUg~�0k����j�L�.�O�L=025\O�.Å06Hvz`B=14.#O�i\�=[=.�Q�?ML=.ÅBn02Q4Q@5P~=5\iP5\?VU?MLC7I?Zz o 5\Q�?4L=.;=021�?MLE;=.�5\32Ll~�021Ð06H}76;N.�D!B�?VU!~�0k����j�L=5PQ�76;=[N?4L=.GHß7IO#?�?4LC7I??­z5\QÐBn.�1�H±021M7>?M.�[5PD!B=i\U�?ML=7I?�z o O)76;g~n.Q4i\5P[W.�76Q@?�]C76;=[W?MLl�=Q­zO)76;g~n.y.��hBC76;=[�.�[^��j�L=.yO)7IQ4.y�*L=.�[email protected]`5\Q�?ML=.��.#Q@?G;=.�5\32Ll~�021�0IH�?4L=./.�D!B�?VUW~n0-�W5PQ�Q45\DE5\i8761#�

��.��w?Wi\.#?�­ ~n.�7 H±�=i\i\U�.���B=76;=[=.#[þBn.�1�H±021M7>?M.�[ ?M76~=i\.)76�^]r76;=[ÈQ4��B=B�06Q4.Uzþ76;=[�zqor7614.5P;F?M.#32.�1@QY5\;Q­�Q4��O�L+?ML=7I?�z�5\Q^?M0r?ML�.�;�021@?4Ll�Ð.�Q�?k0IH�zqo8� � Hw?ML=."14.#O#?M76;=32i\.,�*L=02Q4.�;=021�?MLF�Ð.�Q@?k76;=[Q402��?4L=.)7IQ@?�O�021@;=.�1@Q�7614.¦z`76;=[Hzqo�14.#Q4Bn.�O#?45\S6.�i\U�O�02;F?�7I5P;=Q*76;FUW.#DEBh?VU�~n0-�h.#Q�]C?ML=.yB=761M76361M76B=L76~�0�S6.Q4L=0��*Q�­�O)7I;�~�.G.��hBC76;�[=.�[^�"j�L=.#14.�H±0214.I]�?ML=.G;=02;=.#DEBh?VUE~n0k�h.�Qr5\;�­ 0hO#O��=BFUN7�Q4<I.#�Q4LC76Bn.6�"j�L=5\Q*5PD!B=iP5\.�QÐ?4L=./;=02;=.#DEBh?VUW~�0k�h.�Q�5P;U­ H±0614D 7:?�7I~=iP.�76�W06H,Q@<6.�� Q4LC7IB�.I�

j�L�.�761@32�=D!.�;F?MQ��*L=.#;0­ 5PQ�H±�=iPiTUNO#02;F?M1476O#?4.�[`7614./O�06DEB=i\.#?4.�i\UN76;C7IiP023206�=Q��

j�L�5PQ,i\.�D!DN7�Q4�=3236.�Q@?4Q,?MLC7>?,5\HC�Ð.�Q@?M761@?k�*5\?ML�7B�.#1@H±02147I?M.#[�BC765\1�. o B�/ o 76;=[�Q��*5\?MO�L��=;F?45Pi5\?*5PQ*;=0!iP06;=32.�1*Bn02Q4Q@5P~=i\.?M0![=0NQ@0=]C?ML=./1@.�Q4��i\?��*5PiPiu~�.Å7�BC765P1*06HY?�7I~=iP.�76����� R ;�H±021@?4�=;C7I?4.�iTU2]76Q�?ML=.yH±02i\iP0��*5P;=3�Q45PD!B=i\..���76D!B=iP.y5\iPi\�=Q@?41M7I?4.�Q�]w?ML=5\Q�;=.�.#[K;=0I?*~�.y?ML�.ÅO�76Q4.I�

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÄX X

p�QG�Ð.�Q@LC76iPi}Q@.�.�~n.�i\0º�/]n?ML=5\QGB�1402~=i\.�D&[=0w.�QG;=06?y7I145PQ@.+5\;KB=1476O#?45PO#.6���G7I?4L=.�1�?MLC7I;�Q@?M761@?45P;=3�*5\?ML�76;�761@~=5\?41M761�U�.vo;B�/?o8]n��.�~n.�365P;`�*5T?MLK?M76~=i\.)76���U.È76;=[�/ �*L�.�14.(/�.��w?M.�;�[=Qe.r]^76;=[?ML=.#;�B�.#1@H±021@D 7 � Bn02Q4Q@5P~=iTUv.�D!B�?VU���Q4.��l�=.�;=O#.�06H�Q@�*5T?MO�L=.#Q?M0�B�140w[=�=O�.5. o B�/ o ��XÙ.+B=140�S6.

o)a

Page 16: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

?MLC7I?y�*L�.�;=.�S2.�1 .voY5\Qy;=06?yH±�=i\i\U�.��hBC76;=[=.#[ � 021y.��l�=5TS67IiP.�;F?4i\U2]�/?o}5PQ/;=0I?yH±�=iPiTU�O�06;l?41M76O�?M.#[Y��]?ML=.#14.:5PQ/7�Q��*5\?4O�L®è¾ý²û�H±021J.CoyBU/?o8��m�=1yDE.�?ML=0w[�5PQG?M0gQ4L=0���?MLC7I?J.voABa/�o}D��=Q@?/LC7)S6.E7H±0214D ?MLC7I?�B=1@.�O#iP�=[=.#Q*O�02;��=32�=1M7>?M5P06;=Q�iP5\<6.?ML�.Å06;=.Å76~�0�S6.6�

{|.�?�.vo¾B@/?o�~n./7�Bn.�1�H±021M7>?M.�[WB=765P1�7I;=[gQ4�=B=Bn02Q@./?4L=.�1@.Å7614.?V�Ð0�0hO#O��=1@14.�;�O�.�Q�06HPû�5\;D/?o8]02;=.�?M0y?ML�.�;�021@?4Ll�Ð.�Q�?r06Hn?ML�.�0I?ML=.#1��,j�L=.*?V�Ð0eû½ðñQÐ[�.��C;=.G7y14.#O#?�7I;=32iP.��*L=5\O�L!�Ð.�O)76i\i=7¦ûr�-�-�·û)�ó%#�ö ÷6û�&G\Pó�B=140�Sw5P[=.#[�76i\i^06?4L=.�1*~n0-�h.#QG5\;g?4L=.Å14.�O�?�76;�32iP./761@.¦�CiPi\.�[W�*5\?4L`5\;l?4.�32.#14Q�H±1406D±. o � � H/ o O#02;F?�765\;=Q*iP.�?4?M.#14Q�76;=[�. o 5P;F?M.#32.�1@Q�]=?4L=.�;g?ML=.yH±02i\iP0��*5P;�3�5PQ*75ûb�-�-�Iûr1@.�O�?�76;=36iP.G=

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öX Ã ÄÄ Ä ÅÅ ÅÆ Æ Æ ÆÇ ÇÇ ÇÇ È È ÈÈËË Ì ÌÍ Í ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öX

p�BC765\1 � è � è o ��06H�5P;F?M.#32.�1@QvH±1@02D . o 5PQv7� �öVó�'ÈB�140�Sw5P[=.#[�èS� è o 76;=[Sè 5PQg5PD!D!.�[=5¹�7I?M.#i\UÚ?40 ?ML�.`Q@02��?MLF�Ð.�Q�?W06HJè�oP� p�Q@Q4�=D!.v?4L=.v140��*QN5\; 7pûr�-�-�·û:14.#O#?M76;=32i\.`7I14.v;w��D�~�.#14.#[o � � � ���k� �ZY ;=021�?ML ?40ÙQ@02��?MLu]�76;=[ O�02i\�=DE;�Q`o � � � �k�k� � ¼���.#Q@?E?M0Ù.�76Q@?��Èj�L=.�; 7 Q4.��l�=.�;=O#.� è]~ � è�o ~ � �¾� èk� � è�o� � � �k�k� �-� è ¶k¿ ~ � è�o¶k¿ ~ ��06HYQ@?4.�B=Q*5\Q*7D �ö ÷6ú_),#4÷s �ó�H±021�?ML�.Å1@.�O�?�76;=36iP.B=1@0�Sh5\[=.�[v.)7IO�Lèko� 5PQ*5\;`1@0º� � 76;�[`O#02iP�=D!; � �ø]C�*L=.�1@.:�!� � ~�� � �¦���-�-�q� �,¶k¿ ~��r��06?M.+76;FU@ûb�-�-�Iû�1@.�O#?M76;h�32iP.y�*5\?4LK02;�i\Ug7!Q45P;�32iP./140��zSI76O#�=02�=Q@i\UvO�06;l?M765P;�Q�7�Q@?M765P1@O)[email protected]��j�L=.ÅH±02iPi\0º�*5\;=3:[=5\Q4B=iP7�UwQ*?ML=.Q@?�7I5P14O�76Q4. � o � �;� �¾� _ � _;� �¾� d � b;�,�*5\?4L=5P;W06�=1*B=14.�Sh5\02�=Q*.���76D!B=i\.G=

XXö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÃ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö ö

ö ö ö ö ö öÄ Ä Ä Å Æ ÈÅ Å Æ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÇ Ç ËÆ Æ Ç ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÇ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öË Ì ÌÇ È È ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öÈ Í Í

� ;F?4.�14O�L=76;=325\;=3ê?4L=.g1402i\.�Q:06H.Co�76;=[K/?oü]���.v[=.��C;=.�è��-�-�,èv14.#O#?M76;=32i\.�Q�76;=[ Q@?4.�B=QE76;=[Q@?�7I5P14O�76Q4.#QGH±021�è��-�-�%è�14.#O#?M76;=32i\.�QG76;C76i\023202�=Q@i\U6�rp Bn.�1�H±021M7I?4.�[`BC765P1�. o B�/ o 5\QGQ4765P[v?M0F$�÷G[6ó �öø÷6ú_),#4÷s �ó% �5\HY.#S6.�1@Uaè��-�-�,è/14.�O�?�76;�32iP.Å76;=[g.�S2.�1�UHûr�-�-��ûr1@.�O#?M76;=32i\./O�02;F?�7I5P;=Q*7:Q@?M765P1@O)[email protected]�� �(�����i ��2�8� ç�ô¾'A'q+- �óQ.Co�BU/�orúW N÷´'Có�)_Ðk+s)@÷6öVó4õO'�÷6ú_) $�÷G[�úüû�&F �ö ÷6ú_),#4÷s �ó% N÷6ûnõ@.Co o�B0/?o orúW +Gx�öø÷6úüûuó4õ�Ð�),+s| . o BH/ o x�ùJ'Có�)_Ðk+s)�|:úüû�&�÷! �"�úüö�#%$´è¾ý½û . 5 $Có�ûH. o o BH/ o o $�÷s ¦ �öø÷6ú_),#4÷s �ó% .

U �����VO� jY0NQ@.�. .Co oGBF/?o o�LC76QGQ@?M765P1@O)76Q@.�Q*��.e�C14Q�?.���76D!5P;�.Å5T?MQ�ûb�-�-�Iû�1@.�O#?M76;=32i\.�Q#�?��7IO�LQ4�=O�L 14.#O#?�7I;=32iP.W.#5\?4L=.�1:5\Q�5P;=L�.�145T?M.#[ ��;=O�LC76;=36.�[�H±1402D³.vo�BL/?o8]�5PQ�;=.#�*iTUëO�1@.)7I?4.�[�~FUÚ?ML=.Q@�*5\?4O�L^]r021�5\Q:B=140w[=�=O#.�[ ~FU D!0h[=5THüUw5P;=3�Q@02D!.vB�14.#Sw5\02�=Q4iTU�.��h5PQ�?M5\;=3 14.�O�?�76;�32iP.I� � ;=L�.�145T?M.#[14.�O�?�76;�32iP.#Q�02~FSw5P02�=Q@i\U O�02;F?M765P;ÈQ�?�765\14O)7IQ4.�Q#��p ;=.#� 14.#O#?�7I;=32iP.K.�5\?4L=.�1NO�02;F?�7I5P;=Q�06;=.�140��/]021:O�02;F?M765P;=Q:.�S2.#1@U�140�� ~=��?:?4L=.gi876Q�?:06HGQ402D!.W14.#O#?�7I;=32iP.N5P;².CoTBL/?oWur5P;ë.#5\?ML�.�1:O)7IQ4.W?ML=.;=.#��14.#O#?�7I;=32iP.+O�02;F?M765P;=Q7�Q@?�7I5P14O�76Q4.I� � HZèsýNû�7Ii\?M.#14Q�76;�.��h5PQ�?M5\;=3�14.#O#?M76;=32i\.6]u?4L=.�;Uû�5PQ�?ML=.14.�O�?�76;�32iP.IðÿQ*;=021�?MLF�Ð.�Q@?G021�Q@02��?ML�.)76Q�?�O#0214;=.#1��"j�L=.#14.+7614.H±02��1�Bn02Q@Q45P~�5PiP5T?M5\.�Q�=

o��

Page 17: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

o2�*j�L=./5P;F?M.#32.�1�û�5PQ*7:Q402�h?ML=.�76Q@?GO�021@;=.�1�76;�[aè¾ý²û�DE0�S2.#Q�û��Ð.�Q@?�]�[=.�i\.#?M5\;=3�7�O�02i\�=DE;ru�h�*j�L=./5P;F?M.#32.�1�û�5PQ*7:Q402�h?ML=.�76Q@?GO�021@;=.�1�76;�[aè¾ý²û�DE0�S2.#Q�ûr;=021�?ML^]�[=.�i\.#?M5\;=3!7:140��Jua��*j�L=./5P;F?M.#32.�1�û�5PQ*7:;=021�?MLF��.#Q@?GO�021@;=.�1�76;�[Uè¾ý²ûÐDE0�S2.#Q�ûÐ��.#Q@?�]�7I[=[=5P;�3�7!O#02iP�=D!;lu�=�*j�L=./5P;F?M.#32.�1�û�5PQ*7:;=021�?MLF��.#Q@?GO�021@;=.�1�76;�[Uè¾ý²ûÐDE0�S2.#Q�û�;=021�?ML^]C7I[=[=5P;�3E7:1@0º�/�� HCè¾ý½û�[=.#iP.#?4.�Q�7+O�02i\�=DE;u]TèO)7I;=;=06?�~n.�?4L=.Q406��?MLF�Ð.�Q@?*B=761@?�0IHY7�Q@?4.�B^]=Q@0�;=0:Q�?M.�B�Q*7614.

[=.�i\.#?M.#[�76;=[�?4L=.�1@.�Q@�=i\?45P;=3E14.�O�?�76;�32iP.+O�02;F?�7I5P;=Q�?ML=.+QM76D!.�Q�?�765\14O)7IQ4.�7IQ5\?4QGB=1@.�O#�=14Q@021�� � H�7140��z5\Q�[=.�i\.#?M.#[^]=?ML�.Å1@.�Q@�=i\?45P;=3�14.#O#?M76;=32i\.y5PQ*DE5\Q4Q@5P;=3�?4L=./i876Q�?*Q@?M.#BvH±1@02D 5T?MQ�B=1@.�O���14Q4061�]C~=��?5PQ7IiPQ40EDE5\Q4Q@5P;=3!?ML=.+~�06?@?M02D&1@0º�JuuL=.�;=O#.6]|5T?�O#02;F?�765\;=Q7NQ�?�765\14O�76Q4.I� � H�7NO�06iP�=D!;K5\Q76[=[�.�[^]?ML=.E14.�Q@�=i\?45P;=3`14.#O#?�7I;=32iP.!O�06;l?M765P;�Q+?ML�.NQ@?M765P1@O)[email protected]?MQÅB=14.#O��=1@Q4021�L=76[^� e 5P;C7IiPi\U6]}5\H*7v140�� 5PQ76[=[=.#[^]*è�76;=[@û�Q@�*5\?4O�LK7IQ�5\;W?ML=.yH±02i\iP0��*5P;=3�B=5PO�?M�[email protected]]CO�1@.)7I?45P;=3!7:;=.��zQ@?4.�Bl=

W oWX <W;� X W oWX

� ?�H±06iPiP0��*Q�?4L=./;=.#�êûr�-�-�·ûr1@.�O#?M76;=32i\.yO�02;F?M765P;=Q�7:Q@?M765P1@O)[email protected]�fw5PD!5Pi87I1�761@32�=D!.�;F?MQ*Q@L=0��z?ML=.(è��-�-�,è+1@.�O�?�76;=36iP.�Q�5\;�. o o B@/ o o LC7)S2.ÅQ@?�7I5P14O�76Q4.#Q��

� �(�����i ��2�8� ÛYó�öv.Co;BH/�o�x�ó�÷Q'Có�)_Ðk+s)@÷6öVó4õe'�÷6ú_)e"C$wú{#%$@$�÷s ¦ �ö ÷6ú_),#4÷s �ó% .�� úüö_$Có�)+ö_$Có�)Mó+úW �÷ �"�úüö�#%$1è¾ý²û�Ðk+s)�.Co]BH/?o26�+s)�.Co"÷6ûnõJ/�o�÷G)MóÅöø÷Ax�\Pó4÷6ô]«´"�úüö_$´.vo�óI«2ö¸ó�ûnõ6úüû�&J/�o .U �����VO� fw�=B=Bn02Q4..vo�76;=[O/[email protected];�06?Ð?M76~=i\.)76�����*5T?ML´.Co�.��h?4.�;=[�5P;=3Q/?oP��9ÐU!{|.�D!DN7+�h�èbh]/�o=5PQ�;�06?rH±�=i\i\U�O�06;l?41M76O�?M.#[ � .��l�=5TS67IiP.�;F?4i\U2]T.CoC5PQÐ;=06?rH±�=i\i\U!.��hBC7I;=[=.�[q��]�76;=[�?4L=.�1@.#H±021@.�?ML�.�14.

5PQG76;K5\;l?4.�32.#1�û*5\;�/?on?M0E?4L=.�Q@02��?4L=.)76Q�?06H,Q402D!.+5\;F?M.�36.�1�5\;U.CoP�G{|.�?3û�~n.�D!5P;=5\DN7Ii^76D!02;=3Q4�=O�L 5P;F?M.#32.�1@Q�uY5\H"?ML=.#14.�5PQyD!021@.�?MLC76; 02;�.!Q@�=O�LLû�?�7I<6.:?ML=.:�Ð.�Q�?M.�1@;=D!02Q@?+02;=.I�!q�L=0h06Q4.1èQ40 5\?:5\Q�?ML�.W3214.�7I?M.#Q@?�5P;F?4.�32.#1:5P;½. o ?M0�?4L=.W;=021�?MLF��.#Q@?!06H?û½� � H�?ML�.�14.g5\Q�DE0614.N?4LC76;ë02;=.B�02Q@Q45\~=5Pi\5\?VU2]2?M76<6.*?ML�.�.)7IQ@?M.#14;=D!02Q�?�02;�.6�,X .�O�iP765PD è76;=[Oû"O)76;E~�.�Q@�*5T?MO�L=.#[^� � HPè�5PQ"?M0/?ML=.;=021@?4L�06Hvû½]n?ML=.+O�L=025\O�.�QG06H2è�76;=[�û*32�C761476;F?M.�.+?ML=.�U`O�76;�~n.�Q��*5\?MO�L�.�[^]^Q@0�Q4��B=B�06Q4.!è�5PQ*?M0?ML=.��Ð.�Q�?)�Åj�L=.:02;=iTUvO�5P1@O��=D!Q@?M76;=O#.�Qy�=;=[�.�1��*L=5\O�L 5\?GDE5\32LF?~n.�5PD!B�06Q4Q45\~=iP.y?40WQ@�*5\?4O�L�?ML=.?V��0���06�=iP[v~�.?4L=.yH±02iPi\0��*5P;=3T=o2� � HÐ?4L=.�1@.:��.#14.E7�Q4.�O#02;=[ O�02BFU�06H�û½]|?ML=5\Qy02;=.:5\; ?4L=.:QM7IDE.:O#02iP�=D!; 76Q(èE7I;=[�?M0W?ML=.;=021�?MLg06HvèAu

�h� � HÐ?4L=.�1@.:��.#14.E7�Q4.�O#02;=[ O�02BFU�06Hè2]^?ML=5\Qy02;=.�5P;�?4L=.�QM76D!.:O�06iP�=D!; 76Q¦û7I;=[�?M0W?ML=.Q402�h?MLv06HEû½�

q�02;=Q45\[=.�1Å?ML=.O�C14Q�?:O)7IQ4.6�K�G.#O�.�Q@QM761@5PiTUê?4L=.E?V�Ð0�O�06B=5P.#Q�06Hû/[�.�iP5\DE5T?Å7v?V�Ð0I�VO#02iP��DE;6ûr�-�-�·û14.�O�?�76;�32iP.I]h7I;=[E?4L=.�1@.#H±021@.¦èGLC7IQÐ?M0Å~n.�?4L=.�Q@02��?MLF�Ð.�Q�?�B=5P.#O�.�06H|7ÅQ@?4.�B^��j�L=5\QÐ5\DEB�iP5P.#Q�è�oü]F?ML=.;=021@?4L=.)7IQ@?/B=5\.�O�.�06H"?ML=.:Q�?M.�Bu]|5PQ5\DED!.�[=5P7I?M.#i\U�?40�?ML=.�;=021@?4L 06H�?ML=.:1@.�O�?�76;=36iP.6ðñQyQ406��?ML=.�76Q@?

o�_

Page 18: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

û½�Ù9��h?1èko��üè2]�O�02;F?41M76[=5\O#?45P;=3�02��1�O�L=025\O�.W06H3è2� pG; 76;C76i\023202�=Q�761436�=DE.#;F?:�=Q45\;=36è��-�-�,è14.�O�?�76;�32iP.#QG7IB=B=iP5\.�Qr5\;W?ML=./Q4.#O�02;�[KO)7IQ4.6]n76;�[g?4L=.�1@.#H±[email protected]èÅ76;=[Hû�O�76;v~�./Q@�*5T?MO�L=.#[^�

U �����Vt��V�����V��1!�8�;��(� ��2 %� {|.#?2. 7I;=[O/ ~n.*?M76~=i\.)76�����*L=.�1@.�/ .��w?4.�;=[=QZ.r�,j�L=.#;.hBL/ 5\Q�7 Bn.�1�H±021M7>?M.�[�BC7I5P1�LC7)Sw5P;�3�Q@?�7I5P14O�76Q4.#Q�Q45P;�O�.g.#S6.�1@U²è��-�-�,èg14.#O#?�7I;=32iP.g7I;=[�.#S2.#1@Uûr�-�-�·û�1@.�O#?M76;=32i\.:O�02;F?M765P;=Qy06;=.�140��/��9ÐU�{|.#DEDE7g�h�ÿ��]}76;FU6.Co�Ba/?o�06~�?�765\;=.�[�H±1@02Dô.0BU/~lU`7�Q4.��w��.�;=O#.�06H�Q��*5\?MO�L�.�Q�L=76QGQ�?�765\14O�76Q4.#Q���9��h?G?4L=.�;`~lU`{|.�D!DE7E�w�è��]�.#5\?ML�.�1�.Co;B�/?onLC76Q7�Q��*5\?4O�L^]�021�.Con76;=[H/�o�761@.?�76~�iP.)7I���W�*5\?4L�.vo�.��w?M.�;�[=5P;=3O/?o8�

9Ð.�Q45\[=.�QGB=140�Sw5P;�3`oÅ06H,j�L�.�021@.�D �h�è�:�Ð.�L=7�S6.�Q@L=0��*;`?ML=7I?G7I?�.#S2.#1@U`5P;F?M.#14D!.�[=5P7I?M.yQ�?M.#B5P;`?4L=.�Q��*5\?4O�L=5P;=3NB=140wO�.#[=�=14.+?ML=.#14.�5\Q�7ND!.#?4L=0w[`�Ð.�O)76;K.�D!B=iP0�Ug?M0EiP0wO)7I?4.�76;pè�7I;=[aû�?M0Q@�*5\?4O�L^�*XZLC7I?G14.�DE765\;=Q*5PQ*?M0NB�140�S2.�B=761@?G�N06H,j�L=.�021@.�D �h�è�h]�5 �ñ.6�T]n?4LC7I?�?ML=.+14.�Q@�=i\?4QG0IH,?ML=.76iP3206145\?4L=Dé[=0:;=0I?*[=.�Bn.�;=[g02;�?4L=.yQ4.��l�=.�;=O#.+0IH�Q��*5\?4O�L=.�Q*�=Q@.�[^�Ðm�=1�Q@?41M7I?4.�36UN5PQ�?M0:14.#[=�=O#.?M0:?ML=./O�76Q4./�*L=.�[email protected]?ML=.y?�7I~=iP.�76���[email protected]@?M76;=[C761@[^��C�w?M.#;=[=5\;=3W02�=1;�06?�7I?45P02;u]ni\.#?��=Q��*145T?M. º­ H±021�?ML=.�Q@?�7I;=[C761@[�14.�;l�=D�~�.#145P;�3�06H�?ML�.�B�.#1��H±021M7I?4.�[ê?�76~=i\.)76�K­+��XÙ.E14.��w��5P14.�?ML=7I?+�*L�.�;Ù�Ð.N1@.�;l�=D�~n.�1ÅQ4.�S2.�1476i�Bn.�1�H±021M7>?M.�[ê?�76~�iP.)7I�����.![=0vQ40v5P;ê7g��7)U�?MLC7>?+36�C761M7I;l?4.�.#QÅ?4L=.�i8761@32.�Q�?/5P;F?M.#32.�1Å76Q@Q45P36;=.�[ ?M0v.)76O�L 5PQ?4L=.EQ476D!.6���.#DE.#D�~�.#145\;=3Å?4L=.�O#02;F?M.#;l?r06HY7+Bn.�1�H±021M7I?4.�[N?M76~=i\.)76�H­z7IiPiP0��*Q��=QÐ?40�14.#O�0�S2.#1�­ H±1402D º­�5P;?ML=./02~FSw5P02��Q*��7)U2�

fw�=B=Bn02Q4.3. o BJ/ o 5PQ"7yB�.#1@H±02147I?M.#[�BC765P1,�*L�5PO�L�?ML=.*Q@�*5T?MO�L´è¾ý²û�?41M76;=Q�H±0214D!Q�5P;F?40Q. o o B¦/ o o �J`0214.#0�S2.�1#]ÐQ@�=B=Bn02Q4.W�*L=.#;�. o 76;�[h/ o 7I14.W14.#;l�=D�~n.�14.#[ ?40�B=140w[=�=O#.�º. o 76;=[ º/ o ]2è`7I;=[Kû~�.#O�02D!. º è�76;=[ º û#� � ?�5\QN;=06?NLC761@[ ?M0ÚQ@.�.K?4LC7I? º èsý º ûE5\QN7 Q@�*5\?4O�L H±021 º. o B º/ o ]*76;�[ ?ML=.H±02iPi\0º�*5\;=3�[=5P76321476D O#02D!D���?M.#Q�=

. o o B@/ o o �. o o B �/ o o.Co]BF/?o º. o B º/ oè¾ý²û º è¾ý º û

� ¢¡ Ò�£�¤¦¥ ¡� � ¢¡ Ò�£�¤¦¥ ¡� 

§ §

U �����V1��V�a¨��V©����8����>� ��¢ �� p�QÅ5P; ?ML=.![=.��=;=5\?45P02;ê06H�?4L=.!Q@�*5\?4O�L=5P;�3KB=1@0hO#.�[=�[email protected]]iP.#?.È76;=[a/ ~n.+?M76~=iP.�76���vQ@�=O�L�?MLC7I?�/ .��w?M.#;=[=Qe.r�yq�06;=Q45\[=.�1�?ML=.+.#t�.�O#?06H�76B=B=iTUw5P;=3�?ML=.Q@�*5\?4O�L=5P;�3!B�140wO�.�[��=14./?M01.aBH/�?V�*5PO#.6]C.�76O�Lv?45PD!.�*5\?4L`7:[=5Ttu.#14.#;l?�Q@.��l�=.�;�O�.�0IHkQ��*5\?MO�L�.�Q��

fw�=B=Bn02Q4.���.!<l;=0�� ?ML�.E7IQ4Q4.#1@?45P02; ?M0v~�.:?414�=.:H±021/Q@?M76;=[C7I14[ ?�76~=i\.)76���u� � HÐ��.!B�.#1@H±021@D?V��0+[=5\t�.�1@.�;F?�Q4.��l�=.#;=O�.#Qr06HuQ@�*5\?4O�L=.�QÐ02;´. 76;=[O/Å]2?ML=.#;N�=Q@5P;=3Å02�=1"O�06DED��h?�7I?45\S2.�[�5876321476Dv]��.�32.�?y?V��0vQ4.��w��.�;=O#.�Q�06H�Q��*5\?MO�L�.�Q/?MLC7I?/D!0�S2. º. 7I;=[ º/ ?ML�1402�=36Lê06;=.�76;=06?4L=.�1#]Y76;=[�?ML=..�;=[�1@.�Q@�=i\?�06H^[email protected]@.��l�=.�;�O�.�Q*D���Q@?Ð~�.*?ML=.�QM7IDE.I�"fh5P;�O�.�.#S2.#1@U!?�76~�iP.)7I�EO�76;N~n.G1@.�O#0ºS6.�1@.�[H±1402D 5\?MQ:Q�?�76;�[C7614[�1@.�;l�=D�~n.�1@5P;=3=]"?ML�.H�=;C76ir1@.�Q4��i\?!06H*?ML=.W?V�Ð0 06145P365P;C76i�Q4.��l�=.�;=O#.�Q�D��=Q@?76iPQ@0�~�.G?ML=.Q476D!.6�,X .O)76;u]�?ML=.#14.�H±0214.I]C76Q4Q@�=D!.J. 7I;=[D/ 7614.Q�?�76;�[C7614[u]=QM7)UN�*5T?ML�5\;F?M.�36.�14Qè� o � � � �k�k� �Oª 7I;=[Fû�� o � � � �k�k� � � 14.�Q@B�.#O#?45\S2.#i\U6�

X ./5P;=[��=O#?�02;@ûv�KèÅ?M0�Q4L�0º��?ML=.yH±02i\iP0��*5P;=3�=o)d

Page 19: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

o2� � H�è¾ý²û�5PQ*7:Q@�*5T?MO�Lg?MLC7I?�0wO�O#�=14Q*5P;g02;�.ÅQ@.��l�=.#;=O�.I]n?4L=.�;v5\?*0wO�O#�=14Q*5P;W?4L=./06?ML=.#1���h��XZL=.�;®è¾ý²û0wO�O#�=14Q/5P; ~n06?MLu]}?4L=.�~�0k�h.�Q/?ML=7I?QèE76;=[0û0wO�O#�=BFU 5PD!DE.#[=587>?M.�iTUv~�.�H±0214.?ML=.#5P1�Q��*5\?MO�L � 7I;=[`L�.�;=O#.+5\DED!.�[=5P7I?M.#i\U!7IHü?4.�1,�*7I14.?ML�.ÅQ476D!./H±061�~�06?4LgQ4.��l�=.#;=O�.#Q��

e 5P14Q�?!;=06?M.v?MLC7>?NQ@5P;=O#.Uè2ðñQND!0ºS6.`?40 ?ML�.`Q@02��?ML 76;=[ .�76Q@?�76;=[½û½ðÿQ!?M0 ?4L=.v;=021@?4LÈ76;=[��.#Q@?)],76;=[Ù.�S2.#1@U Q@�*5\?4O�LÚB=1@0h[=��O�.�Q�7`Bn.�1�H±021M7I?4.�[ BC765P1#]�5T?ÅD��=Q@?+~n.!?4L=.NO�76Q4.!?MLC7I?+.)7IO�LNèQ@�*5\?4O�L=.�Q}�*5\?4LÅ76;+5\;=O�1@.)76Q@5P;=3*Q@.��l�=.�;�O�.�0IH�û½ðñQ��,fh5PD!5PiP7614iTU2]�.�76O�L(û�Q@�*5T?MO�L=.#Q��*5T?MLÅ7�[=.�O#14.)7IQ45P;�3Q4.��l�=.#;=O�.+06HvèFðñQ��

X .�~n.�325\;:02�=1,5\;=[=�=O�?M5P06;^� e 021Eûy�DèLGzol� ª ?4L=.�1@.*7614.�;=0/Q@�*5\?4O�L=.�Q#]lQ40y?ML=.�LlUwBn06?ML�.�Q4.#QL=02iP[WSI76O#�=02�=Q@i\U2�

fw�=B=Bn02Q4.�?4LC7I?�o�76;=[ê�EL=06iP[`H±061�û��²è�G«�n]^76;=[�i\.#?�û���è(�¬���ypGQ4Q@�=DE. èsýNûG0wO�O#�=14Q5P;ë?ML=.H�C1@Q@?EQ4.��l�=.#;=O�.I]*76;=[U>@�=Q@?EB=1@5P021�?40ê?4L=.�5\1!Q��*5\?4O�L�èK7I;=[²û�0hO#O��=BFU ~�0k�h.�Q1nW76;=[ µ14.�Q@B�.#O#?45\S2.#i\U6� X .�Q@L=0�� ?4L=5PQN5PQ�7IiPQ40ê?ML=.�O�76Q4.`H±021E?4L=.�Q4.#O�02;�[þQ@.��l�=.#;=O�.I� e 5\14Q�?�iP.�?��=Q.�Q@?M76~=i\5PQ4L�?4LC7I?Å7I?/Q@02D!.:B�025\;F?y5P;�?4L=.:Q4.#O�02;=[ Q4.��w��.�;=O#.Dè�0hO#O��=B=5\.�Qen�� � Hè!0wO�O���B=5P.#QJn�5P;.LBp/é?ML=5\QÅ5\Q+O#iP.�7614iTU�?ML=.!O)7IQ4.6]kQ40KQ@�=B=Bn02Q4.!?ML=.!�C1@Q@?�Q@.��l�=.#;=O�.�O#02;F?�765\;=Q+7`Q@�*5T?MO�LNè¾ý½û�o?MLC7I?�D!0�S2.#QDèg5P;F?M06n�� �G.�O#.�Q@QM761@5Pi\U®û�ogGìû½]�Q@0 ~FUÚ?4L=.@�C14Q�?E5\;=[=�=O�?M5\02;�LlUwBn06?ML�.�Q45\QDè¾ý½û�o0hO#O��=1@Q�5\;:?ML=.�Q@.�O�06;=[NQ@.��l�=.�;�O�.7IQ"�Ð.�i\i �,fh5PD!5PiP7614iTU2]>7I?"Q406DE.�Bn025P;F?"5\;�?4L=.�Q4.#O�02;�[NQ4.��l�=.�;=O#.ûy0hO#O��=B�5P.�Q µ �gfh02D!.�Q@�*5\?4O�LÙ5\;ê?4L=.NQ@.�O�06;=[ÚQ4.��l�=.�;=O#.�D��=Q�?�D!0�S2.´è!H±1406DÖn�021¦ûH±1402D µ u06?ML=.#1@�*5\Q4.6]Ð76Q!nN5\Q�;=021�?MLF�Ð.�Q@?E06H µ ]�?4L=.W.�;=[ 14.#Q4�=iT?�06H*?ML=.gQ@.�O�06;=[ Q@.��l�=.#;=O�.v��02��iP[�;=06?~�.�H±�=i\i\UvQ@�*5T?MO�L=.#[^�:fw�=B=Bn02Q4.:?ML=7I?ûG5PQ�?4L=.Q�C1@Q@?y?M0gD!0�S2.6]|Q��*5\?4O�L=5P;=3��*5T?ML6è o o � � Hè o o Ú è2]?ML=.#;�?ML=.��C14Q�?r5P;�[=�=O#?45P02;ELFUhBn06?4L=.�Q@5PQ�5PD!B=i\5P.�Q�è�o omý½û"0hO#O��=1@Qr5P;!?ML=.��C14Q�?rQ4.��l�=.�;=O#.GuC?ML�5PQ�5\Q�7O�02;F?M1476[=5\O#?M5\02;�Q@5P;=O#.eèsý²û�5\Q�?ML=.yQ��*5\?4O�Lv5\;N?ML�.�C14Q�?*Q4.��l�=.#;=O�./?ML=7I?�D!0ºS6.�Q�û"H±1402D µ ��j�Lw��Qèko ov�óèF��m;�?ML=.�06?4L=.�1L=76;=[^]|?ML�.:Q@�*5\?4O�LLèko omý²ûGiP.)7)S6.�Q(è�o o}5P; µ ]|76;=[ µ 5\QQ406��?ML=.�76Q@?Å06HZè2�fh5P;=O#./Q@�*5\?4O�L=.�Q�B=1@0h[=��O�./B�.#1@H±02147I?M.#[`B=765P1@Q�]Yè�o o*�^è2��j�L=5PQ�H±021@O�.#Q3è�o o��Sè2�­Od f ��!(Ù�y ,���#�y% ����' ��(�(��)�)�*�+���#�E��% ��® �� �#���Ð���)���

� ;�?4L=5PQ+Q4.#O#?M5\02;ë��.Wi\5PQ�?�Q406DE.�B�1402Bn.�1�?M5P.#Q�06H�Q@�*5T?MO�L=5\;=3 76;=[ëQ@L=0�� ?4L=.#UÚ7Itu0614[�7��=;=5w�C.�[76B=B=1@0F76O�Lg?M0�B=140�Sw5P;�3E7�i87I1432.;l�=D�~�.#1�0IHkO#02D�~=5\;C7I?M0614587Ii�5\[=.�;F?M5T?M5\.�Q���1!�(����(� I%���� ç�ô-'A'q+- �ó�. ÷6ûnõe/ ÷G)MóÅöø÷Ax�\Pó4÷6ô]«�6�/ óI«2öVó�ûnõs �.E6Ð÷6ûnõ! �"�úüö�#%$wúüû�&Q.S"�úüö_$ /ö¯)@÷6û� tÐk+s)�|Q �.zúüûCö�+ 9 . ÷6ûnõ(/ úüûCö�+J/ : . 5 $Có�û

-/. . ÷6ûnõ .*9 ÷G)MóÔÅûCôhö_$�ó4ù�ôwú_[>÷G\Pó�ûCö .0(. / ÷6ûnõ5:G/ ÷G)�ó¦ÔÅûCôwö_$�ó4ù�ôhú_[>÷G\Pó�ûCö .78. P Ð�.zúW �ö ÷6ûnõF÷G)@õnhï)Mó% �'Có%#�ö�ú_[6ó�\úù�6#%+s\«ô�|:û� �ö¯)½ú{#�ö96�'q+- �úüö�ú_[6óQ6CÛPÜ�j�6� -+!úW �.*9 .:;. P Ð/ úW �ö ÷6ûnõF÷G)@õnhï)Mó% �'Có%#�ö�ú_[6ó�\úù�6#%+s\«ô�|:û� �ö¯)½ú{#�ö96�'q+- �úüö�ú_[6óQ6CÛPÜ�j�6� -+�úW : / .¯/. çY"�úüö�#%$wúüû�&(:G/ "�úüö_$´.*9 ö¤)4÷6û� tÐk+s)�|Q �:;/ úüûCö�+J/ ÷6ûnõ5.*9 úüûCö�+e. .

o�b

Page 20: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

U �����VO� � ?4.�D!Q�!76;=[K�N7614.+76;C7IiP023206�=Q�?M0Ko�76;=[Ka�]n76;=[`�Ð.�i\.)7)S2./?ML=.#5P1�B=140w06H±Q*?M0�?ML=.14.)7I[=.�1#� e 1@02D �+06H^j�L�.�021@.�D �h�è�Å7I;=[E?4L=.G[�.��C;=5T?M5\02;�06H � 9 � .��,5\?�H±06iPiP0��*Q,?4LC7I?Z.*9F� � 9 � .����j�L=5PQ�76;=[K?4L=.�[=.��C;=5\?45P02;`06H��y;l��?ML�.��l�=5\SI76i\.�;=O#.�5PD!B=i\U�o2���761@?aEH±02iPi\0��*Q�H±1@02D o2� e 021�_h]76Q4Q@�=DE.��Ð.:02~�?M765P;U:A/ 76;=[L.*9 ~FU�76B�B=i\Uw5P;�3N?ML=.:Q��*5\?4O�L=5P;=3g7IiP32021@5\?4L=D ?M0F.Z76;=[U/ �*5\?MLQ402D!.+Q@.��l�=.#;=O�.:06H,Q@�*5\?4O�L=.�Q#��XZL�.�;�14.�S2.#14Q4.#[^]u?4L=5PQ�Q4.��w��.�;=O#.:DE0�S2.#Q:;/ 76;=[U.*9 ?ML=1@02�=32L02;=.!76;=06?4L=.�1#]Y?41M76;�Q@H±021@DE5\;=3 : /é5P;F?40H/é76;=[®.*9ë5P;F?40a.r� � ?M.#D�_W?4L=.�; H±02i\iP0��*QH±1402D �v0IHj�L=.�021@.�D �h�è�h�

XZL�.�;Ù06;=.E0IH�.�7I;=[6/ 5PQy140��éQ�?M1@5PO#?/?4L=.�06?ML=.#1/5PQ/O�02i\�=D!;êQ�?M1@5PO#?Å7I;=[��±�VQ@�*5T?MO�L=5\;=3g5PQ�=Q4.#[`5\;=Q@?4.)76[v06HYQ@�*5T?MO�L=5\;=3=]=?ML�.�;v14.�Q@�=i\?4Q�Q45\DE5\i8761"?M0:?ML�02Q4./5P;gj�L=.#0214.#D a��To/O)76;v~�.yQ@L=0��*;?M0�L=02i\[^�

j�L�.�Q4.ÐB=1406B�.#1@?M5\.�Q}O)7I;�~n.�.��hB=iP025T?M.#[Å?40GB=1@0�S2.r7��*5P[�."SI761@5P.�?VUy06H=5\[=.�;F?45\?M5\.�Q#�Yj�L�.ÐD!.#?4L=0h[5PQY~C76Q4.#[�02;�?4L=.ÐH±06iPiP0��*5\;=3�02~=Q@.�1@SI7I?45P02;u��fh�=B�B�02Q@.Ð�Ð.rQ@?M761@?Y�*5\?4L�7�Q4<6.�� [email protected] !76;�[�~=14.�76<5\?�5\;l?40�Q4<6.�� Q4�=~�Q4LC76Bn.�Q? q~ � �k��� �  8° Q4��O�L`?ML=7I?? �� ¸ ~�.��w?M.�;�[=Q� y�|H±021�.�76O�L � �

 q~  ��

 (° ¿ ~ 8°

±� � �� � �� � �� � �

p�Q4Q@�=D!.6­P��5\QN7 ?�76~�iP.)7I� 02~h?�765\;=.�[ ~lUN�Ci\iP5\;=3p ����*5\?4L 5\;F?M.�36.�14Q#�ÈXÙ.`76iPi\0��ü­P��?40 LC7)S6.[=5\t�.�1@.�;F?H4,FC7�S60214QI7=]u5��ÿ.I�\]n5\?�O�76;�~n.�Q@?M76;=[C7I14[^]�O�02i\�=DE;`Q@?4145PO�?)]nB�06Q45\?45\S6.6]�021{��/��fw�*5\?4O�L=5P;=3­E�y�*5T?MLS­P� ¸ ~EDE0�S6.�QW?ML=.�?V�Ð0ë?ML=1@02�=32LZ02;�. 76;=06?4L=.�1W5\;Z7ë��7)U ?ML=7I?gB=14.#Q4.#1@S2.#Qa�y;l��?4L.��l�=5\SI76i\.�;=O#. 76;=[Z?ML=.�Q@LC76Bn. 06H/?ML=.#5P1W�=;=5\02;^� 9ÐUþ_Ú06HÅj�L=.�0614.�D ah�\o2]�Q@�*5T?MO�L=5\;=3�5PQg76;5P;FS202i\��?M5\02;^]|7I;=[ê?4L=.�1@.#H±021@.!7gQ@.�O#02;=[Ú7IB=B=iP5\O)7I?45P02;K14.�Q�?M021@.�Q ­P��7I;=[N­P� ¸ ~G?M0W?4L=.�5\1y02145\325P;C7IiQ@?�7>?M.�Q#��fh5\;=O�.�.�S2.#1@U/Bn.�14D���?�7I?45P02;³²!5\Q}7rB=140w[=�=O�?!´O� î �-�-�,´O�Zµk06Hh76[s>476O#.�;F?}?M1476;=Q4Bn02Q@5\?M5\02;=Q¦´��r��¤��� ��o¾�½]|76B=B=iTUw5P;=3S´��¶µº]u?ML�.�;q´O�Zµ,· î � �k�k� � ?ML=.#;¸´�� î Q@�=O�O#.�Q4Q@5\S6.�i\U�?41M76;�Q@H±021@DEQ � ­�~ � �k�k� � ­�°��5P;F?M0 � ­�¹~ � �k�k� � ­³¹° �½]=�*L=.�1@.ÅH±021�.�76O�L � ]r­P�k7I;=[0­�¹¹�º �¼» 7I14.J�y;l��?ML`.��l�=5\SI76i\.�;F?�76;=[g?ML�.�14.�H±[email protected]?ML=./QM7IDE./O�06;l?4.�;F?G76;=[4F�7)S2021#�

jY0�H±0214DE76iP5\ï�.*?ML=.Å76~n0�S2./iP.�?*�=Q*QM7)U4½p� �  Pu8 q~ � ���k� �  8°Z��5PQ*7I;6| ª Ðk+s\TõO|:ô�\«ößúW %$�÷�'CóJ"�úüö_$+>ôhöVó�)e %$�÷�'Có� Y]�76;=[q¾ � � ­�~ � �k�k� � ­�°�*5PQG76;h| ª Ðk+s\TõD|:ô�\«ö�úüö ÷Ax�\Pó4÷6ôL+�Ц %$�÷�'Có³½z÷6ûnõ�+>ôhöVó�) %$�÷�'Có�  . j�L=.#;`�Ð.+LC7)S6.� �(�����iI��2 8� ÛYó�ö�²jx�ó�÷e'Có�)�|:ôwöø÷6ößú{+>ûL+�Ц�lo � ���k� �Oª � . 5 $Có�ûKöt$Có�)MóÅúW �÷@x�ú ò)ó%#�ößú{+>û

¾ � � ­�~ � �k��� � ­�°�Ö¥�b§ ¾ ¹ � � ­ ¹~ � �k�k� � ­ ¹° �|!÷�'A'núüû�&Wö_$Cóe �ó�ö3+�Ð ª ª Ðk+s\Tõ@|:ô�\«ößúüö ÷Ax�\Pó4÷6ôG«U+>ûCö�+�úüöt �ó�\ Ð .¸¿ ûnõwó�)�ö_$wúW !x�ú ò)ó%#�ößú{+>ûs6t¾ ÷6ûnõÀ¾ ¹$�÷G[6ó�ö_$Có´ �÷G|Nó�+>ôhöVó�)1 %$�÷�'CóQ6+÷6ûnõ öt$Có�öø÷Ax�\Pó4÷6ô]«p­P��÷6ûnõU­ ¹¹�º �¼» ÷G)Mó1ÔÅûCôhö_$ ó4ù�ôwú_[>÷G\Pó�ûCöCÐk+s)ó4÷�#%$ � .

o)�

Page 21: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

m�=1�Q@?41M7I?4.�36U�Q4L=02��iP[K;�0º�z~�./O�i\.)761�=Ð~FUgO�L=0w02Q@5P;=3 ª ]q �]�7I;=[K[=5Ttu.#14.#;l?ÁF�7)S60214Q�H±021r?ML=.­E���Ð.K02~�?M765P; 7 O�02D�~�5P;C7I?402145P76ir5\[=.�;F?M5T?VU*uG{|.#DEDE7 a��Ô� Q4�=B�B=iP5\.�Q�?ML=.vB=140w06H¸� j�L=.Ki\5PQ@?�0IHB�02Q@Q45\~=iP.y5\[=.�;F?M5T?M5\.�Qr5\Q�.��w?M.#;=Q45TS2.6]�76;=[g�Ð.ÅO#02;F?M.#;l?G02�=1@Q4.#i\S2.#Q��*5T?MLgQ406DE./.���76D!B=i\.�Q�� å �p��"Eÿ��nI��2Il��������KÃ��8� � �9�u�¾ÿ��/�����%'�Ä�Å�� ��!�+��'$�K�;�Æ��)Pÿ��p*¶� fh�=B=Bn02Q@.� W5\Q�?4L=.GB=761@?45T�?M5P06;H}}] ª �z�w]� q~�5PQ�?4L=.yBC761�?M5T?M5P06;@��]C7I;=[WL=.�;�O�.¦ ���5PQ?}*�;����q�02;�Q45P[�.�1�?4L=.yD��=iT?M5\?M76~=i\.)76���¾ � � ­�~ � ­C�%��[email protected]½p� �  EuI Y~ �  ������ � }�u�� � }b�G�T�Ð�*L=.�[email protected]­�~�5PQr{P��76;=[U­E�G5\QrB�06Q45\?45\S6.6�j�L=.�1@.`5\QE7 �=;=5<�l�=.K{�� ?M76~=iP.�76� 06H�[email protected]�n]r;C76D!.�iTUKÝ � �T��� j�L=.KDE76B=B�5P;=3�06H{|.�D!DN7a��Ô�W?M1476;=Q@H±0614D!Q1¾ 5\;l?40n¾ ¹ � � ­ ¹~ � ­ ¹� ��]Y�*L=.�1@.�­ ¹~ 5\QÅ7`?�76~�iP.)7I� 06HrQ4LC76Bn.´� � H±021ÅQ406DE.BC761@?45\?45P02;�����]}76;�[K­ ¹� 5\Qy{���06H�Q@LC76Bn.´}*�]��76;�[�O�02;F?M.#;F?5�n��j�L=5\Qy325\S6.�Q/7W~=5�>@.#O#?45P02;K?4LC7I?B=140�S2.#Q�?4L=.Å{|5\?4?4iP.���0w0h[w���*5PO�LC761@[=Q406;W14�=i\.H±021�fhO�Ll�=1*H±�=;=O#?45P02;�Q�]

è ß�â à � é á µ ß�â áà è á �� �G.#14. µ ß�â áà 5PQW?ML�.Ù�=Q@�C76iÅ{|5\?4?4iP.���0w0h[w���*5PO�LC761@[=Q406;þO#0h.�X!O�5P.#;F?)]/5 �ñ.6�T]?ML=.ê;l�=D�~n.�1`06H:{��?�76~=i\.)76���W06H�Q4<I.#� Q4L=76B�.(}*�]�ê76;=[vO�02;F?4.�;F?¦�n� ��j�L=5\Q�5\Q�.�Q@Q4.�;F?45876i\i\UN?4L=./B=140w06H�5P; ý s �¦��� å �p��"Eÿ��nI��bac������Ç�;�(�!�8���Tÿ ��È/�('l�KÃ��/� � �9�u�¾ÿ��/������'%Ä�Å�����!�+��'$���É�Ê��)Eÿ��+*f� {|.#?y�=Q~=140F7I[=.�;0�C��76D!B=iP.:ah�èaNQ@iP5\32LF?Mi\U6�j�L=5\Q?M5PD!./��.�7632765P;K?M76<6. ª �é�E~=��?Å7IiPiP0��S ê?M0W~n.:76;7614~=5T?M14761@UEQ4<I.#�[email protected]� e 5m�W7�BC7I1@?M5T?M5\02;H�W76;=[gO�06;=Q45\[=.�1r?4L=.yD��=iT?M5\?M76~=i\.)76����¾ì� � ­�~ � ­E���06HkQ@LC76Bn.˽p� �  EuI Y~ �  ����Ð�*L=.�1@.!­�~�5PQ*{���06H�O�06;l?4.�;F?3�v7I;=[0­E��5PQ�Bn02Q45T?M5TS2.6�"9�76Q45\O)76i\i\U�?ML=.QM76D!./761436�=DE.#;F?�7IQ�5P;F�C�=7IDEB=i\./a��ÿa�Q@L=0��*Q

éÌÍ ºÏÎ�Ð Î îÒÑ Î ð » µ Î îà è Î ð � é

Ì T Í ºÓÎ�Ð Ô îÒÑ Ô ð » µ Ô ðà è Ô î ��*L=5PO�LE32.�;=.#1M76i\5Pï#.�Q�?ML=.�Q4<I.#� {|5\?@?MiP.���0w0w[h���*5PO�LC7I14[=Q@02;:14�=i\.6�,j�L�5PQ"5P[=.#;F?M5\?VU�O)76;E~�.*H±02�=;=[E5P;ý X���� å �p��"Eÿ��nI��2wl�`d�)�"t�8�&d����)!�mVÒ)����B����;����*f� � H3å�Q�?�76;=[�Q!H±021:?4L=.`5\;��C;=5T?M.#i\UÚDE76;FUÚSI761@5T�76~=iP.#QOæl~ � æY� � �k�k� � 76;=[vÕ H±061!?4L=.`5\;��C;=5T?M.#i\UëDE76;FUëSI76145P76~=iP.#Q�Ö�~ � Ö]� � ���k��]�?4L=.vQ4�=Bn.�1MfhO�Ll�=1H±�=;=O#?45P02; � L=0h06<WfhO�Ll�=1*H±�=;=O�?M5P06;Y��O�021@14.#Q4Bn02;=[=5\;=3!?40:?ML=./BC761�?M5T?M5P06;F}`5PQ�325TS2.#;`~FU

× . ß � å � ÕC��� éë î¶Ñ ë ð åë î Õ ë ð �

j�L=.yQ4�=D 1M76;�32.�Qr0�S6.�1*76i\i�BC7I1@?M5T?M5\02;=Q��\Ø^}}]�76iPinB�06Q45\?45\S6.G?�7I~=iP.�76���F­�~Ð06H}[email protected]�^]C76;=[g76i\iB�02Q@5\?45\S2.�140��ëQ�?M1@5PO#?�?�76~�iP.)7I��� ­E�,06HCQ@LC76Bn.�}*�;�^�,q�02;�Q45P[�.�1�?4L=.�D��=i\?45\?�7I~=iP.�76���Q­^� � ­�~ � ­E���06H,[email protected]½0� � }�u�� � }*�;�Y��]=�*L�.�14.5�^]�­�~�]n76;=[p­E�761@.�7IQ�76~n0�S2.I�rj�L=.ÅDN76B�B=5P;=3�06H,{|.�D!DN7a��Ô� � 76[s>@��Q@?M.#[WQ4�=5T?�76~�i\U:H±021�7�DE5m�w?M�=1@.�06H|1@0���7I;=[�O�06iP�=D!;NQ�?M145\O#?Ð?�76~=i\.)76���q��?M1476;=Q@H±0614D!Q�­?M0¦­ ¹ � � ­ ¹~ � ­ ¹� �u�*L=.�1@.�­ ¹~ 5PQY7�1@0��ëQ@?4145PO�?�?M76~=i\.)76�/06HCQ@LC76Bn. � QM7)U��E��£h7I;=[O­ ¹� 5PQY7�?�76~=i\.)76�

o)�

Page 22: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

06H�Q4LC76Bn.O}*�;��£ß��fw�=B=Bn02Q4.1° � � °r~ � °q�����*L=.#14.1°l~�5\Q¦Ý � ��£_�G76;=[6°q�¦� ­ ¹� �/p�B�B=i\Uw5P;�3N?ML=.DN76B�B=5P;=3G06H*�C��76DEB�iP.Ða��èa�?M0J° 365\S2.#Q � ° ¹~ � ° ¹� ��]6�*L=.#14.�° ¹~ 5PQ�7G?M76~=iP.�76��06H�Q@LC76Bn.�W76;�[!° ¹�5PQ"76;!{�� ?�7I~=iP.�76��06HuQ@LC76Bn.�}b�]�v76;�[EO#02;F?M.�;F?Z��£��,j�L=.*DN7IB@­^� � ­�~ � ­E���Z�b§ � / � ° ¹~ � ° ¹� ��*L=.�[email protected]/�� � ­ ¹~ �·£|5PQ*7:~=5 >@.�O�?M5P06;�?MLC7I?�.#Q@?�7I~=iP5\Q4L=.#Q*?4L=./5P[=.#;F?M5\?VU

× . ß � å � ÕC��� éá Ñ àOÙ9Ú ß µ ß�âáàQÙ è á � å��8è à � Õv���

� q�02D!BC761@.!ý���� ]Y���l;^�*o2�ÿa�76;=[Ùýñ9r{l��]lR½a��ä� å �p��"Eÿ��nI��2�l�`d Õ �����/�������(�1��V � ���K�¾ÿ��/�1���%'�ÄOÅ�������+��'��K�;�^�&���/Û��/���(�É��*Ò� p�Q|5\;J�C�w�76DEB�iP./a��ÿa!i\.#?��=Q�763F765\;g?M76<6. ª � �h]T a��}}]q q~��¢�v76;=[� ����}*�;���Ðp�QG~�.�H±0214./iP.�?¦­�~�~�.{P�/]F~=��?"?4L=5PQ�?M5\DE.*7IQ4Q4��DE.­E��5\QÐ{�� 7IQ��Ð.�i\i ]FQM7)U�06HuO�02;F?4.�;F?Z�k�"m�=1"DN76B�B=5P;=3?41M76;�Q@H±021@DEQ¾³� � ­�~ � ­E���y5\;F?M0\¾ ¹ � � ­ ¹~ � ­ ¹� �½]}�*L�.�14.H­ ¹~ 7I;=[N­ ¹� [email protected]{��/]}76;=[K­ ¹~ L=76Q+B=761@?45\?M5\02;Q4LC76Bn.6� 9��h?:?ML=5\Q�H±0214O#.�QD­ ¹~ ?M0 LC7)S2.vQ4LC7IB�.H�,]�76;=[�?ML�.�14.�H±0214.U­ ¹� 5PQ�{P� 06H�Q@LC76Bn.�}b�]�76;=[êO�02;F?M.#;F? ���!��06?Å02;=i\UKLC7)S2.���.!B=1@0ºS6.�; µ ß�â áà � µ ß�â àá u��Ð.!L=7�S6.E[�5PQ4B�i87)U2.#[Ú76; .��hB=i\5PO#5\?5P;FS202i\��?M5\02;K?4LC7I?y5\;l?4.�1@O�LC76;=32.#Qy?ML=.:5\;=;=.�1�Q4LC76Bn.�76;=[ O#02;F?M.�;F?Å06HÐ76; {�� ?M76~=i\.)76�^�Åp ~=1@5P.�H[=.�Q@O�145\B�?M5\02;ê06H�?4L=5PQ/DE76B=B=5\;=3g~C76Q4.#[Ù�=Bn02; ?ML=.E76i\3202145T?ML=D 06H s 76DE.#Q�7I;=[®�y.#14~n.�1ÅO)76; ~�.H±02�=;=[v5P;êý Xj� � å �p��"Eÿ��nI����v�`Üm�>�!�8��qÿ ��È/�(' � ���K�¾ÿ��/�1���%'�ÄOÅ�������+��'��K�;�^�&���/Û��/���(�É��*f� {|.�?k�=Q}.��w�BC76;=[�02;`?ML=.�5\[=.)7IQ�5P;U�v��76D!B=i\.�a��ÿd��/-y5\S6.�;�7EQ4<6.�� [email protected]  76;=[�BC7I1@?M5T?M5\02;=Q3�A~ � �k��� � �°G]iP.#? µ Î à îÒÝÞÝÞÝ àÒß ~n.K?ML=.�;l�=D�~�.#1�06H ª �øH±02i\[ D��=iT?M5T?�76~=i\.)76���ëH±021N�*L=5\O�LÈ?ML=.�06��?M.#1�Q4LC7IB�.�5\Q´ 76;=[�?ML�. � �<� ?�76~=i\.)76��5\Qy{���06H�O#02;F?M.�;F?(�-�V�/j�L=.�[email protected]@36.�;=.#1M76i\5Pï�.#[T7W{|5\?@?Mi\.#�Ð0h0w[h���*5PO�L=7614[=Q@02;O�0w.�X!O�5\.�;F?MQG7614.y1@.�iP7I?M.#[g?40!?4L=./0214[�5P;C761�U�02;�.�Q*~FU�?ML=.yH±021@D��=iP7

µQÎ à î ÝÞÝÞÝ à ß � éÌÍ ºÓÎ�Ð Î îÒÑÞàÞàÞà9Ñ Î ß » µQÎ îà î �-�-� µOÎ ßà ß �

fh�=B=Bn02Q4.L¾ì� � ­�~ � ���k� � ­�°�ÐLC76Q�02�h?M.�1�Q4LC76Bn. Y]�.�76O�LU­E�}5\Qr{�� 0IH�O#02;F?M.#;l?��-�V]=7I;=[�²�5PQ�7B�.#14D���?M7I?M5\02;K0IH��lo � �k�k� ��ª �l�yj�L=.�; ~FU�{|.#DEDE7�a��è�S¾ ¹ � � ­ ¹~ � �k�k� � ­ ¹° ��76i\Q40ELC76Qy02��?4.�1Q4LC76Bn.¦ Y]�76;=[g.)76O�L0­ ¹¹º �b» 5PQ*{���06H�O�06;l?4.�;F?�¾�ø�"j�L=5\Q�B=140�S6.�Q

µ Î à î¶ÝÞÝÞÝ à ß � µ Î à¶á�â î2ã ÝÞÝÞÝ à¶áxâ ß ã �fh5P;=O#. µ ß�â áà � µ�ßá�à ]�?ML�5PQ�32.#;=.�1476iP5\ï�.�Q��C��76D!B=iP./a��ÿd��

� ?+5PQ/5\;l?4.�1@.�Q@?45P;=3g?M0`;=06?4.!?4LC7I?/?ML=.!5P[�.�;F?M5T?M5P.#QÅ76145\Q45P;�3v5\;®�C��76D!B=iP.#Q�ah�èa�]Ya��ÿd�]�76;=[Ùa��ÔbDN76<I.E5T?ÅB�02Q@Q45\~=iP.�?M0`[=.�[=��O�.N1@.�B=1@.�Q@.�;F?�7I?45P02; ?ML=.#0214.�?M5PO!14.#Q4�=iT?MQ+Q4�=O�Lë7IQ�~=1476;=O�L=5\;=3K1@�=iP.#Q��XÙ./5Pi\iP�=Q�?M147I?M.�?ML=5\Q*�*5T?MLW?ML�./H±06iPiP0��*5\;=3�.���76D!B=i\.6�

�Ic

Page 23: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

 å �p��"Eÿ��nI��2�l��ä���p����������i��)Pÿ��p*¶� p�Q@Q4�=D!.å ���-æl~ � �k��� � æp°?�l]=7I;=[�O�06;=Q45\[=.�1�?4L=..�S67IiT��C7I?M5\02;W06H�?ML=.+fhO�Ll�=1�H±�=;=O�?M5\02;Uè Î 325TS2.�;v~FUè Î � å ����è Î � å ßpæ î Í å ßpæ ð Í ÝÞÝÞÝ Í+ç �j�Lw��Q�]�è Î � å �Z�éè å ë �*L�.�14.Å?ML=.+Q4�=D&5\Q�0�S6.�17IiPi^?�7I~=iP.�76���p­ 06H�[email protected] ��*L�02Q4.+O�02;F?M.#;F?5PQ*O�02;F?M765P;=.#[`5\;p�lo � �k�k� �Oª �l��fh�=B=Bn02Q4. ª ~ � �k��� �Oª ÙÅ761@.ÅBn02Q@5\?M5TS2.y5\;l?4.�32.#14Q�Q4�=O�L`?MLC7I? ª ~���-�-�Y� ª ÙM� ª ]/76;=[þiP.#?@å º �b» � �-æ;êEë · î ¸ ~ � �k�k� � æ;êEëï� H±021 � � o � ���k� � ��]��*L=.#14.�ì ç �cÙ76;=[lì6�Q� ª ~Z� �-�-��� ª � � � ; .)7IO�L ?�76~�iP.)7I� 06HyB=761@?45\?M5\02;�Q4LC7IB�.U} �*5T?ML .�;F?M1@5P.�QE5P;�lo � �k�k� �Oª � ?ML=.#14.ê5PQg7�Q4�=~�?M76~=i\.)76�þ06H�Q@02D!.êQ@<6.�� Q4LC76Bn.6]�QM7)U� y�ø]��*L=5\O�L O#02;F?�765\;=QW?ML=..�;F?M1@5P.�QG5P;0��ì6� ¿ ~�� o � ���k� � ì0�{�l]�76;=[� y� ¸ ~r.��w?M.#;=[=Q3 y�}H±021�.)76O�L � � o � �k��� � ����p�Q7!14.#Q4�=iT?)]5\?rH±02i\iP0��*Qr?ML=7I?

è ß � å ��� éÌÍ º ß Ð Î îÒÑÞàÞàÞà Ñ Î µ�» è Î î � å º ~ » �r�-�-�,è Î µ � å º ÙQ» ���

9ÐU@�C��76D!B=iP.#Q*a��èa:7I;=[va��èd!è Î �íè à µ Î à è à ]h�*L=5\O�L`O�76;g~�.yO#02D�~=5\;=.�[��*5T?MLH�C��76D!B=iP./a��èb+?M0325\S6.

è ß � å �Ö� éÌÍ º ß Ð Î î ÑÞàÞàÞà Ñ Î µ »à î¶ÑÞàÞàÞà Ñ à µ

µOÎ îà î µQÎ ðà ð �-�-� µOÎ µà µ è à î � å º ~ » �r�-�-�,è à µ � å º ÙQ» �� éà î¶ÑÞàÞàÞà Ñ à µ µ ßà îÒÑÞàÞàÞà Ñ à µ è à î � å º ~ » �r�-�-�8è à µ � å º ÙO» ���

j�L�.`5\1414.#[=�=O#5P~=i\.WB�02iTUw;=02D!5876iÐ14.�B�14.�Q@.�;F?�7>?M5P06;=QEH±021�?4L=.v32.�;=.#1M76i*i\5P;=.�761�321@02�=Bvî�ï ��ª �7614.G5P;�02;�.��ø?40I�V06;=.GO#02141@.�Q@B�02;�[=.�;=O#.y�*5\?MLE?ML=.GBC761@?45\?45P02;=QZ}WLC7)Sh5\;=3�i\.�;=36?4LU� ª ]=7I;=[Fè ß � å �5PQE?4L=.KO�L=761M76O�?M.#1�06Hy?ML�.K5P1@14.#[=�=O�5\~=iP.vBn02i\Uw;=02D!587IiÁî�ï ��ª �ø�V1@.�B=1@.�Q4.#;F?�7I?45P02;ÈiP76~�.#iP.#[ ~FU�}|�j�Lw��Q�]F?ML=.*5\[=.�;F?M5T?VU�[�.�145TS2.#[N76~n0�S2.�5\Q*>@�=Q@?�?4L=.�~=1476;=O�L=5\;=3/14�=i\.�H±021tîËï ��ª �k?M0?4L=.�Q4�=~�321402��Bî�ï ��ª ~8��ih�-�-�YiqîËï ��ª Ù-� � 061G.��w��5\SI76iP.#;F?Mi\U6]=H±021*?ML=.Å32.�;�.�1M7IiYi\5P;=.�761�{|5P.Å76iP36.�~=147�ð>ñ ��ª ��?M0?ML=.rQ@�=~C76i\32.�~�1M7³ð>ñ ��ª ~I�qi5�-�-��i³ð>ñ ��ª Ù-�I���kj�L�5PQ,5\[=.�;F?M5T?VU�L�02iP[=Q�.��l�C76i\i\U/�Ð.�iPiw�*5\?4LO}!14.#B=i87IO�.�[~lUW76;FUgQ4<6.�� Q4L=76B�.¦ Y�

X .rO#02;=O�i\�=[=.r?4L=5PQ�Q4.�O�?M5\02;:~FU�?�7I<w5\;=3y7�O#iP02Q@.�1,i\0h06<+7>?k?ML�.r~=5�>@.#O#?45P02;�0IHn{}.#DEDE7a��è�h�}XÙ.[=.��C;�.�[�?ML=.:DE76B=B�5P;=3S¾ô� � ­�~ � ���k� � ­�°��¥�b§ ¾4¹O� � ­�¹~ � ���k� � ­�¹° ��~FUKHß76O�?M021@5P;=3S²ë5P;F?M07vB=1@0h[��=O#?+06H*76[¾>476O�.#;l?Å?M1476;=Q@B�02Q@5\?45P02;=Q#]Y76;=[Ù5T?Å5PQ/;C7I?4�=1M76i�?40K76Q@<��*L=.#?4L=.�1Å?ML=.!~=5�>@.#O#?45P02;[=.�Bn.�;=[�Q02;`?4L=./Hß76O#?402145\ï)7I?45P02;^� R ;�H±061@?M��;C7I?M.#i\U6]�7IQ�?4L=.+;�.��w?.��=7IDEB=i\.+Q@L=0��*Q�]n?ML=.+76;=Q���.#15PQrU2.#Q��Ð{|.#?�½U� �  Pu8 q~ �  �� �  (ò���76;�[Ǿì� � ­�~ � ­E� � ­$ò��r~n.y[=.��=;=.�[`~lUW?4L=./B=5PO�?M�=1@.�Q*~n.�iP0��/�

± Á ±tó Á ±�ô Á ±!õ Á

�wo

Page 24: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

ö Á Ã Ã ÄÄ ÅÅÀ ó Á Ã Ã À ô Á Ä Ä À õ Á

Å Å�G0��í²a� � o)aA�ÐHß76O#?40214Q�76Q�~n06?4L � oº�;� � �6aA� � oº�;�Ð76;=[ � �6aA� � oº�G� � �IaA��]�76;=[v76B=B=iTUw5P;=3:?ML�.ÅO#02141@.��Q4Bn02;=[=5\;=3�DN76B�B=5P;=36Qr?M0À¾ Uw5P.#iP[=Q

à à ÄÄ ÅÅ ÅÅÄÄ Ã Ã

ÅÅÄÄ

ÃÃ Ã

ÃÄÅ ÄÅ<÷øsù�ú <÷QùÉû!ú <÷øsù�ú

à à ÄÄ ÅÅÄ

ÄÃÅÃÅ Å Å Ã ÄÃÄ ÃÄÅ Å Ã Ä<÷`ù;û!ú <÷�ø+ù�ú <÷`ù;û!ú

p�Qr?ML�.14.#Q4�=iT?MQ*761@.[=5\t�.�1@.�;F?)]h?ML=.yDE76B=B=5\;=3�5\;W{|.�D!DN7�ah�Ô��[=.#B�.#;=[=Q*02;�?4L=.Hß76O#?402145\ï)7I?45P02;u�

ü@d ý ����¨þíÿW����Å���#�y������ ; ý����s�v�G765PDE76;v5P;F?M1@0h[��=O�.#Q�?ML=.�;=06?M5\02;K0IHGõ6ô=÷G\�ó4ù�ôhú_[>÷G\Pó�ûr#�órH±021�Q�?�76;=[=7614[�?M76~=iP.�76���K76;=[;=06?M.#QE?4LC7I?EDE02Q�?N0IHyL=5PQ!14.#Q4�=iT?MQE.��w?M.#;=[ ?M0 O�02i\�=DE; Q@?4145\O#?!?�76~=i\.)76���u�^��.�14.I]r?M0 i87)Uë?ML=.321402��;=[��Ð0214<NH±061r?ML=./;=.��h?GQ4.#O#?45P02;^]=�Ð./[=.�Q@O�1@5P~n.Å?4L=.�Q@.Å.��w?M.�;�Q45P06;=QG.��hB=iP5\O�5\?4i\U6�

9Ð0-�h.#Q¦n�~ � n%� � �k�k� � n�Ù+[=.��=;=.:7H �ó4ù�ôCó�ûr#�ó!+�Ц �\«úßõwó% �H±021G7!?�7I~=iP.�76�6­ 5\Hk5\?GDE.�76;=5P;�36H±�=i^?M0H±0214D ­ô�Ê­ ç � ­�~ � �k�k� � ­CÙ>]Ð�*L�.�14.�n,��5\Q!7 O#0214;�.�1!06H(­P� ¿ ~½]�76;=[�­P��5\Q�?ML=.g?�76~�iP.)7I��?4LC7I?14.�Q@�=i\?4QÅ�*L�.�;Ù�Ð.NBn.�1�H±0214D 7vQ4iP5\[=.�Q@?M761@?45P;=3`7I?(n,�r02;N­E� ¿ ~½� e 02iPi\0º�*5\;=3H��7I5PDE76; ý����s� ]Y��.[=.��C;�.�?M76~=i\.)76���L­ 76;=[L° ?M0W~n.`õ6ô=÷G\�ó4ù�ôhú_[>÷G\Pó�ûCö�5\H�.#S6.�1@U Q@.��l�=.#;=O�.E06H�Q4iP5\[=.�QH±061Q­é5PQ/7Q4.��l�=.#;=O�.N06H�Q4i\5P[=.#QyH±021(°E]k7I;=[ Sw5PO#.�� S2.�1@QM7��EXÙ.!�*145\?4.D­��× � °&?40`5\;=[=5PO�7I?M.D­ 76;�[K°&7614.[=�C76iY.��l�=5TS67IiP.�;F?�� A �C7IiY.��l�=5\SI76i\.�;F?G?M76~=i\.)76���`LC7)S6.�?ML=.+QM76D!.�O#0214;�.�14Q�76;=[K?4L=.�1@.#H±021@.�LC7)S6.?ML=./[email protected]�� ;[email protected]!.)7IQ4�=1@.��7I5PDE76;^ðñQ�1@.�Q@�=i\?4QrO�02;�O�.�1@;=5P;�3�[=�C7Ii�.��w��5\SI76iP.#;=O�.GO)761@1@UE0�S2.�1Ð5P;F?M0Å?ML=.O�02i\�=DE;:Q�?M1@5PO#?k��021@iP[:�*5\?4L=02��?,O�LC76;=32.I]w76;=[:H±021,?ML�.�DE02Q�?�BC761�?�?ML=.�Q476D!.�B=140w06H±Qk�Ð0214<���j�L=.Hß76O#?�?4LC7I?�~=145\[=32.#Qr?ML=./3F76Bg5\Q*?4L=.yH±02iPi\0��*5P;=3=�

� �(�����¸a!������3 ûqùEö ÷Ax�\Pó4÷6ôH­ úW �õ6ô�÷G\kó4ù�ôhú_[>÷G\Pó�ûCö"ö�+!úüöt ¦ �ö ÷6ûnõF÷G)@õ1)Mó�ûCô�|Ox�ó�)½úüû�& º­ .

�6�

Page 25: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

U �����VO� X .�5\;F?M.�;�[�?M0�5\;=[=�=O�?02;K?4L=.�;l�=D�~n.�1�06H�~n0-�h.#Qy5P;6­(u|L=0��Ð.#S6.�1�]^?40�[=0�Q@0���.;=.�.#[`[email protected]�L=5\;=.�1�U2���*.�O�76iPin?MLC7I?�?40�QM7)UWQ4��~�?�76~�iP.)7I���F°é76;=[�� [=.�O#[email protected]­ DE.�76;=Q?MLC7I?�� .��h?4.�;=[�Q5°�]}76;=[��*L=.�;�.#S2.#1��`76;=[ 7614.:5\;l?4.�32.#14QH±1@02D ° 7I;=[�� 1@.�Q4Bn.�O�?M5TS2.�iTU2].�5\?4L=.�1��mG �]>021�� �� 76;=[��y5PQ|�Ð.�Q�?,06H����{}.�?�­ 7I;=[O­�o2~n."?�76~=i\.)76���/06H�?4L=.�QM76D!.Ð[email protected]]76;=[NQ@�=B=Bn02Q4.� Y~"76;=[1 ���7I14.�Q4LC76Bn.�QÐQ4�=O�L�?4LC7I?2 ��Ð.��w?M.#;=[=QZ q~�7I;=[NQ@LJ­ê�ZQ4L¦­�oT�j Y~�B5 ��)�p�Q4Q@�=D!.½­ 76;=[¢­ o LC7)S2. [=.�O#02D!B�02Q@5\?45P02;=Qa­ � ° B�� 76;=[�­ o � ° o B�� o ]G�*L=.�[email protected]�°¢� Q4L�° o �j q~|76;=[ÅQ4L�� �þQ@L�� o �^ ��)�Yj�L=.#;�?ML=."H±02i\iP0��*5P;=3�5\QY7�Q@5PD!B=iP.�O#02;=Q4.��l�=.�;=O#.06H � ý����s��]�{}.#DEDE7��h�To¾��=�5THC°��×� °¦ou7I;=[�� �× � ��on?4L=.�;p­��× � ­�oü�

��0��þ�Ð.Q�?�761�?�?ML�.5P;=[��=O#?45P02;^��XZL=.�;a­ O�06;l?M765P;�Q�H±.#�Ð.�1�?4LC76;N?V�Ð0:~n0-�h.#Q�?ML=.76Q4Q@.�1@?45P02;5PQ�06~lSw5\02�=Q4iTU�?M14��.6]�Q@0:Q4�=B�B�[email protected]­ LC76Q�7I?�iP.�76Q@?Ð?V��0:~n0k��.#Q*76;=[�i\.#?�° 76;=[�� ~n.;=02;F?4145\Sw5P76i?�76~=i\.)76���/?MLC7I?k[=.�O#02D!B�02Q@.�­+�,j�L=.#; º­ê� º°@B � � ]2B=1@0ºSw5\[=.�[��*L�.�;��Ð.r14.#;w��D�~�.#1��Ð.rO�L=0w02Q4.DN7s�h5\D��=D�SI76i\�=.�QÐ76B=B�1402B=1@587I?4.�iTU2��9ÐU�?ML=.�5P;=[��=O#?45P02;�LFUwB�06?4L=.�Q@5PQ#]q°��× � º° 7I;=[�� �× � � �é]wQ40­��× � º­��

{|.#DEDE7��=�ToyQ4L=0��*Q*?ML=.H±02i\iP0��*5P;�3�14.#Q4�=iT?*06HE��765\DN7I;�14.#DN765\;=Q�?414�=.y�*L=.#;v?4L=.?�76~�iP.)7I���7614./O�06iP�=D!;WQ@?4145PO�?k=U ���"t�;�u�������;�Êa��2 l������ ��!������*ÿ¤ÿ��s� Õ ��2wÉ*f� Û}ó�ö�­ ÷6ûnõQ° x�óöø÷Ax�\Pó4÷6ô]«F+�Ð�öt$Có �÷G|Nóûr+s)�ª|!÷G\b %$�÷�'Có . 5 $Có�û�­ ÷6ûnõ5° ÷G)Mó�õ6ô�÷G\kó4ù�ôhú_[>÷G\Pó�ûCö .

XZ5T?MLv��1402Bn02Q@5\?M5\02;W�=�è��5P;gLC76;=[u]=?ML=./B=1@0h06H±Q�5\; ý����s�}O)76;g~n.Å76B=B=i\5P.�[W?40!365\S2.�1!�(����(� a��2Il������ �"!�����bÿ¤ÿ��+�����(�� ��2�#�p��' %�2�É*f� Û}ó�ö´­ ÷6ûnõ²° x�ó�õ6ô�÷G\�ó4ù�ôwú_[>÷G\Pó�ûCööø÷Ax�\Pó4÷6ô]« .

-/. P Ð#� úW �÷6ûqùö ÷Ax�\Pó4÷6ô�öt$�÷6öYóI«2ö¸ó�ûnõs �­ hI+s)*ó4ù�ôhú_[>÷G\Pó�ûCö¤\úù6�óI«2ö¸ó�ûnõs v°�j�6}öt$Có�û ë � ��$��÷6ûnõ!­&% �×� °'% .

0(. P Ð(� úW *÷6ûqùÅö ÷Ax�\Pó4÷6ô�öt$�÷6ö�­ óI«2ö¸ó�ûnõs ghI+s)�ó4ù�ôhú_[>÷G\Pó�ûCö¤\úù�6r° óI«2öVó�ûnõs Òj�6Yöt$Có�û)�ë �*� $

÷6ûnõ % ­��× � % ° .�Y.�1@LC76B=Q�?4L=.Å[=.�.#B�.#Q@?0IH���765\DN7I;^ðÿQ�1@.�Q@�=i\?4QG02;`[=�C76i}.��w��5\SI76iP.#;=O�.Å5PQ*?ML=7I?*?�76~=i\.)76���`7614.

�=;=5W�l�=.#i\UWO�L=761M76O�?M.#145Pï#.�[v~FUW[=�C76i}7I;=[a�y;l��?4L`.��w��5\SI76iP.#;=O�.I�9�Uëj�L=.�0614.�D �=�èah]Ð[=�=76ir.��l�=5TSI76iP.#;=O�.WQ@LC7614.#Q!�*5T?ML½�y;l��?ML�.��l�=5TSI76iP.#;=O�.W?ML�.�H±02iPi\0º�*5\;=3

B=1402Bn.�1�?VU*= p�;FUZ?V�Ð0 .��l�=5TSI76iP.#;l?g?M76~=iP.�76���ZL=7�S6.Ù;=0614DE76iH±0214D!QW�*5\?4Lþ?4L=. Q476D!.ê[email protected]�j�Lw��Q�]�?40 .�76O�L [=�C7Ii�021O�/;l��?4L .��w��5\SI76iP.#;=O�.gO#i876Q@Q!?4L=.�1@.`O#02141@.�Q4Bn02;=[�QN7 �=;=5<�w��.`;=0614DE76iQ4LC76Bn.6�

�1!�(����(� a��bac������ � ����8����>� ����>IÉ*f� ÛYó�ö,+ x�óN÷�õ6ô�÷G\�ó4ù�ôhú_[>÷G\Pó�ûr#�ó1#�\T÷s % N÷6ûnõ(-Âx�ó÷OÔÅûCôhö_$�ó4ù�ôhú_[>÷G\Pó�ûr#�óQ#�\T÷s % Q6Zx�+>öt$p#%+s)�)Mó% �'q+>ûnõ6úüû�&Eö�+!öt$Có¦ �÷G|NóÅûr+s)�|!÷G\b %$�÷�'Có . 5 $Có�û�ö_$Có�)MóúW �÷EôhûCúßù�ôCóÅö ÷Ax�\Pó4÷6ô`úüû.+*/�- .

�Ia

Page 26: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

U �����VO� �G765PDE76;^ðñQ�761@32�=D!.�;F?MQ��Ð0214<��*5T?ML=06��?"O�LC76;=36.6]l~=��?"�Ð.GB=1@.�Q@.�;F?�L�5PQ�B=1@0h06H�06Hn?ML=..��h5PQ�?M.�;�O�.�0IHk?ML�.Å?M76~=iP.�76�vQ45P;�O�.Å5\?�5P;FS206i\S2.#Q�7�O�06;=Q@?414�=O�?M5P06;`?M0!~n.+�=Q@.�[�5\;6R½_h�r{|.#?J­»�+~�.!76;FU�1@.�B=1@.�Q4.#;F?�7I?45\S2.I],76;�[h°ü� - ~�.:?4L=.��=;=5W�l�=.�1@.�B=1@.�Q4.#;F?�7I?45\S2.��*5\?4L ;=0214DE76i,[email protected]�XÙ./O�06;=Q@?414�=O�?G?4L=./�=;=5W�l�=.y?M76~=iP.�76�W5P;�+*/�-é76Q�H±02i\iP0��*Q�=o2�Gq�L=0w02Q4.Å76;FU�?M76~=iP.�76��� Q@�=O�L`?4LC7I?¦­ .��w?4.�;=[=Q�� 76;�[0� B0­ LC7IQ�;�[email protected]��h�Gfw�*5\?4O�L�� �*5\?4Lp­z?M0!B=140w[=�=O#. ­�Ò� % ­ 76;�[0�

ë�

a��Gfh5P;�O�./Q4L�°¢� Q4L­�Ò/��.ÅO)7I;`Q��*5\?MO�La° �*5\?4L0�ë?M0�02~�?M765P;W?ML�./?M76~=i\.)76��°'%21��

9ÐUZj�L=.�0614.�D �=�ÿa�]e°'%21È5PQg[=�C76i/.��w��5\SI76iP.#;F?`?40j­+]Å76;=[ ~lUZj�L�.�021@.�D a��\oê5\?v5\Q��y;l��?4L.��l�=5\SI76i\.�;F?�?M0´°!�

� ;ÙiP5P36Ll?/0IH�?ML�5PQ/?ML=.#0214.#D ?4L=.!�=Q4.�H±�=iP;=.#Q4Q�0IH�?ML�.�{|5\?@?MiP.���0w0w[h���*5PO�LC7I14[=Q@02;�?�76~�iP.)7I���ê5PQ76B=BC761@.�;F?k=!?ML=.�UÙH±021@D�7�O�02D!B=iP.�?M.!?M1M7I;=Q@S6.�14Q476irH±021Å?ML=.�Q@.#?�06H*[��C76i�.��l�=5\SI76i\.�;=O#.WO�i87IQ4Q4.#Q��J`0214.#0�S2.�1#]=?ML=.Å{|5\?@?Mi\.#�Ð0h0w[h���*5PO�L=7614[=Q@02;NO#0h.�X!O�5P.#;F? µ Î á O#02�=;F?MQ�?4L=.y;l�=D�~n.�1�06H�[=�C76iu.��l�=5\SF�76iP.#;=O�./O�iP76Q4Q@.�Q*06HY?�76~�iP.)7I���g06H�Q4LC7IB�.¦ K�*L�02Q4.Å;=021@DN76iuQ4LC76Bn./5PQ��,��G765PDE76;ê.�Q�?�76~=i\5PQ@L=.�Q�7`;l�=D�~n.�1+06H�06?4L=.�1+[=�C76i�.��l�=5TS67IiP.�;�O�.N1@.�Q@�=i\?4Q+?ML=7I?�O�76;ë76i\Q40`~�.?M1M7I;=Q@H±.#1414.#[v?40EO#02iP��DE;WQ�?M145\O#?�?M76~=iP.�76���buCL=0��Ð.#S2.#1�]�?ML=.Å76~n0�S2./Q4��XEO#.ÅH±061�02�=1*B=�=1@B�02Q@.�Q#�3!d þ��Å������+�,���!� 465 ���!�y "%k���74 ����' 5 �y���+�k�y' 8 ��(�(��)���!%

� ;v?4L=5PQ�Q@.�O#?45P02;W�Ð.+[�.�Q4O#145\~�.+fhO�Lkî��?4ï�.#;w~n.�1@32.�1#ðÿQG76i\3202145T?ML=D ýñfhO6o��|H±061r.#SI76O#�C7I?M5\;=3!7�?�76~=i\.)76�06Hu;�0214DE76i=Q@LC76Bn.�76;�[EQ@L=0��È�=Q45\;=3/Q@�*5T?MO�L=5\;=3+L�0º� ?ML=5\Q"76iP3206145\?4L=D O)76;!~�.*32.#;=.�1476iP5\ï�.#[^� e 021?�76~=i\.)76���N0IH|;=021@DN76i�[email protected]�Ð.B=140�S6.�?ML=.G.#SI76O#�C7I?M5\02;�5\Q�?4L=.�;=0614DE76iCH±0214D 06H^?4L=.�1@06?�7>?M5P06;^�j�L=5PQGiP.)7I[=QG?40E?V�Ð0�B=1406B�.#1@?M5\.�Q�?MLC7I?�O�LC761476O#?4.�145\ï�.Å?ML=.+.#SI76O��=7I?M5\02;�06H"7�?�76~�iP.)7I�K06H";=0614DE76iQ4LC76Bn.!76;=[êDE0I?M5\SI7I?4.�Q�?4L=.�[=.��=;=5\?45P02; 06H�7WDN76B�B=5P;=3WO�76iPi\.�[N)Mó�[6ó�), �÷G\�?4LC7I?Å02Bn.�147I?M.#QÅ��B�02;?�76~=i\.)76����0IHn7614~=5T?M14761@UÅQ4L=76B�.I� � ;výñfhO��]�=fhO�Lkî��?4ï�.#;w~n.�1@32.�1�.��w?M.�;�[=Q"L=5PQ�.#SI76O��=7I?M5\02;:76i\3202145T?ML=DQ40K5T?ÅO)76; ~�.E76B=B=i\5P.#[ê?40v?M76~=iP.�76���ê06Hr7614~�5\?M14761@U�Q4LC76Bn.6� e 021y?M76~=iP.�76���ê06H�;=021@DN76i�[email protected]]14.#S6.�1@QM76i�76;�[!.�SI76O��C7>?M5P06;�763214.#.6]2?4L=02�=32L:H±021k32.�;=.#1M76ih?�76~=i\.)76����?ML�.#U�Uw5\.�iP[:[�5\t�.�14.#;F?"14.�Q@�=i\?4Q��j�L=.EDE76B=B�5P;=3a­ ¥ �*§ ­ © 5PQy[=.��C;=.�[Ù76;=[êQ4L=0��*;ê?M0g~�.�O#iP02Q@.�i\UK14.#i87I?4.�[�?M0v~�0I?ML 14.�S2.�1@QM76i76;=[ ¬ � XÙ.�[�5PQ4O#�=Q4QW?4L=.KXZL=5T?M.�����76;�iP02;h�¸fh�=;=[=761M76D DE76B�­Ï¥�r§ ­:9�;=< � ý X�� ]�ý��f�� ��]�*L=5PO�LN?41M76;�Q@H±021@DEQ�{�� ?�76~=i\.)76���!06H|Q4L=76B�.� v76;=[EO�02;F?M.#;F?��K5\;l?40�{�� ?�7I~=iP.�76���!06H|Q@LC76Bn.�  £76;=[ O�02;F?4.�;F?e�l£��+j�L=.�Q4.#O#?M5\02; O�i\02Q4.#Q/�*5T?ML 7WB=1@0h06H"?4LC7I?y?ML�.:Q@UwDED!.#?4145\.�Qy06HÐ{|5\?@?MiP.���0w0w[h���5\O�LC7614[�Q402;�O�0w.�X!O#5P.�;F?4QE02~�Q4.�1�S2.#[ ~FU 9�.�1@.�;=Q�?M.#5P; 76;=[M`u.�iP.�Sw5P;=Q@<lUZýñ9�`Y��H±02iPi\0º� H±1@02D R½a76;=[ � ý X�� ]Yý��f�� ���

X .�Q�?�761�?~FUK1@.�O�76iPi\5P;=3�Q406DE.+;=06?�7>?M5P06;^��XZL�.�;=.�S2.�1Q­ 5PQG7E?M76~=iP.�76�^]�­ Ò � 1@.�Q4Bn.�O�?M5TS2.�iTU2]­3Ó��u5\Qu?ML�.���;=5W�l�=.,?M76~=iP.�76�y06Hh;=021@DN76i � 1@.�Q4Bn.�O�?M5TS2.�iTU2]I76;F?M5¹�V;=021@DN7Ii_�CQ4LC76Bn.��y;l��?MLÅ.��l�=5TS67IiP.�;F??M05­+��j�L=.G1@06?�7>?M5P06;´­¨�5PQ,?4L=.�?M76~=i\.)76��02~�?M765P;�.�[�~FU�1406?M7I?M5\;=3?ML=.�Q4L=76B�.*06HP­Z~FUgo��2c;©�76;=[14.�B�i876O#5P;=3W.�76O�L 5P;F?M.#32.�1¦z ~lU®��z}� � H� Ú5\Qy7WQ4<I.#�é[email protected]]^?ML�.�;0 b£k5PQ�?4L=.:?M1M7I;=Q4Bn02Q4.:0IH2 Pu

�>�

Page 27: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

Q45PD!5PiP7614iTU2]6�*L�.�;U­z5\Q�7+?M76~=iP.�76�^]q­�£^5PQÐ5\?MQ�?M1476;[email protected]��XÙ.G�*145\?4.Ý � }*��H±021Ð?4L=.y{��È?�76~=i\.)76�02~�?�7I5P;=.#[v~FUD�=iPiP5\;=3�?4L=.¦�C14Q�?G1@0��z06H�}v�*5\?4Lêo6ðÿQ#]=?ML=./Q4.#O�02;�[`�*5\?4L`�hðÿQ#]�76;=[vQ40!02;^�þ@ÿ������������ w������`d���:>)%��È/�(�@?t�8��;�8�7A �À�CBs�p�/)��>����;�^�Tÿ������������Æ*Z� Û}ó�öQ­ x�ó�÷�ö ÷Ax�\Pó4÷6ô+�Ð�ûr+s)�|!÷G\C %$�÷�'Có . 5 $Có?Ðk+s\_\W+s"�úüû�&�÷G\�&�+s)½úüö_$�| ö¯)@÷6û� tÐk+s)�|Q ­�úüûCö�+@­EDÉ6�öt$Có+.�S67IO��C7I?45P02;^+�Э©J

-/. Ü*ó�'*\T÷�#�ó�ö_$Có�úüûCö¸ó{&wó�)�zÈ÷6örö_$Có�ûr+s)½ö_$�"�ó% �ö�#%+s)½ûuó�)O+�ÐJ­±"�úüö_$U��zÈ÷6ûnõ@|!÷G),�Nö_$Có�ûuó�"úüûCö¸ó{&wó�) .

0(.�¿ �ó�÷U#%+>ûCö¤)@÷�#�ö�úüû�&´ �\«úßõwó�ö�+D|´+s[6ó�ö_$Có |!÷G),�Fó4õWúüûCö¸ó{&wó�)+öt$�),+>ôG&s$�ö_$Có:ö ÷Ax�\Pó4÷6ô5Ðk+s)�|Nó4õx�ùEö_$CóÅôwûq|!÷G)%�Fó4õ!úüûCö¸ó{&wó�), .78. Ü*ó�'Có4÷6ö� �öVó�'q - ÷6ûnõ 0 ôwûCö�ú_\kó�[6ó�)�ù!úüûCö¸ó{&wó�)3$�÷s Qx�ó�ó�ûa|!÷G)%�Fó4õ .� ;hR½�E��.�36.�;=.#1M76i\5Pï�.#[K?ML�.�76iP3206145\?4L=D!Q�06H2��765\DN76;Ùý��+o���]}fhL=5\DE06ï�02;=0�ýÿfwLT� ] s 76DE.#Qy76;=[�/.#14~n.�1!ý s �� ]}76;�[L�*.�D!D!.�i�ý����,�*5\?4L ?4L=.:Q@�*5T?MO�L=5\;=3gB=140wO�.#[=�[email protected]]Y76;=[ 5\?5PQ;C7>?M�=1476ik?M0g[=0

Q402D!.#?4L=5P;=3NQ45PD!5PiP761�L=.#14.6�J�*02�=36L=i\UvQ4Bn.)7I<w5\;=3=]n?ML=.�5\[=.)7E5PQG?4LC7I?7I?y.)7IO�L�Q@?M.#B�?ML=.�DN761@<6.#[76;=[ ��;=DN7I14<6.#[ 5\;l?4.�32.#14Q�H±0214D 7êBn.�1�H±021M7I?4.�[ BC765P1#� j�L=.`76i\3202145T?ML=D�O�06;lS6.�1�?MQ��=;�DN761@<6.#[5P;F?M.#32.�1@Q�?40�DE7614<I.�[N06;=.�Q�76;=[NQ��*5\?4O�L=.�QrDE761@<6.�[!�*5\?4LN�=;=DE761@<6.�[N5P;F?M.#32.�1@Q�]wQ@?M06B=B=5P;�3+�*L=.#;;=0�[email protected]�02;FS6.�14Q@5P02;�Q�021�Q��*5\?MO�L�.�QG7614.yBn02Q4Q@5P~=i\.6�

þ@ÿ������������ w��2 l�`Üm�(���8��qÿ���È/�('v�CBs�p�/)��>����;� *,� Û}ó�öE­ x�ó÷:öø÷Ax�\Pó4÷6ôH+�Ð�ûr+s)�|!÷G\� %$�÷�'Có} .-/. ç�öø÷G)½ö�"�úüöt$�ó�[6ó�)�ù!úüûCö¸ó{&wó�)yúüûa­ ôwûq|!÷G),�Fó4õ .0(.�F +D+>ûuó5+�Ð/ö_$Có�Ðk+s\_\W+s"�úüû�&/J

h¸÷xj P Ð�öt$Có�úüûCöVó{&wó�)zþ÷6ö*ö_$Có�ûr+s)½öt$�"�ó% �ö3#%+s)½ûuó�)´+�ÐJ} úW �ôwûq|!÷G),�Fó4õ�6?)Mó�'*\T÷�#�ó:úüö?"�úüö_$��z ÷6ûnõ´|!÷G),��ö_$CóÅûuó�" úüûCöVó{&wó�)O6+s)h�x,jhçY"�úüö�#%$@ -+s|NóJ|!÷G),�Fó4õEúüûCö¸ó{&wó�)¦"�úüö_$K÷6û�ôwûq|!÷G)%�Fó4õ@+>ûuó .

78. Ü*ó�'Có4÷6ö 0 ôwûCößú_\|ûr+O|´+s)�ó3 �"�úüö�#%$Có% 5+s)5#%+>ûq[6ó�), �ú{+>û� Å÷G)Mó�'q+- % �ú¤x�\Pó .e 021Ð~=14.�Sw5\?VU�i\.#?��=QrQM7)UE?MLC7I?�.#S6.�1@UN?M5PD!.*��.yBn.�1�H±0214D Q@?4.�Bv��06H|?4L=.y76i\3202145T?ML=D �Ð.LC7)S6.

DN76[�.7´|´+s[6ó��kX .G�*1@5\?4.�û�§ èH±021�7+DE0�S2.G?MLC7I?�O�02;FS6.�1@?4Q*76;W�=;=DE761@<6.�[Dû"5\;F?M0�7+DN761@<6.#[èF]*7I;=[jè¾ý½û�H±021E7 D!0ºS6.K?ML=7I?NQ��*5\?4O�L=.�QFèK�*5\?4L²û½� j�L=.KH±02i\iP0��*5P;=3 Q@L=0��*Q�02;=.`B�02Q@Q45\~=iP.Q4.��l�=.#;=O�.+06H�DE0�S2.#Q�?4L=.Å76iP3602145T?ML=D O�06�=iP[g�=Q@.Å?40�?41M76;�Q@H±021@D 7�?�76~=i\.)76�r=

�6_

Page 28: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

à à ÄÄ Åà ÄÄ Åö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG à ÄÄ Å

à ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Ã Ä ÅÃ Ä ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Ã<� § Ä�� <Äu� ý � <Ä�� ý ?

@ A� § Äu�

Ä ÅÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Ãö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Ã Å

Ä ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Ãö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG ÃÄ

ÅÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Ãö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Ãö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö ö

ö ö ö ö ö öG Ä Å ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öGÃ

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG ÃÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Ä<Äu� ý < § ÄQ <Ä` ý ?

@ AÄu� ý I

ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG ÃÄ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG ÄÅ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Ã ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Ãö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG ÄÅ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Ãö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Ä ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Ãö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Äö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Ãö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG ÄÅ ö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Ãö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Äö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Ãö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Äö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öö ö ö ö ö öG Å< § Ä` <ÄQ ý I <I § ÄQI

j�L�.�14.�7614.EQ4.#S6.�1476i�Hß76O�?MQ+�Ð.WD��=Q�?�B=1@0�S2.W76~n02��?+32.#;=.�1476iP5\ï�.�[Ù.#SI76O��=7I?M5\02;^�gXÙ.E[=.��C;�.Q@?�7I5P14O�76Q4.#Q�76Q*5P;W?ML=./[=5\Q4O#�=Q4Q@5P02;vB=14.#O�.#[=5P;=3�?ML�.ÅB�140w06HY06H,{|.#DEDE7!�h�è�h�

�1!�(����(� w%�2I/� ç�ô-'A'q+- �ó:ö_$�÷6ö�÷IнöVó�)3'Có�)_Ðk+s)�|:úüû�&`÷#h<'q+- % �ú¤x�\úùKó�|3'nö¯ùQjD �ó4ù�ôCó�ûr#�ó1+�Ð |´+s[6ó% úüû 3 \�&�+s)½úüö_$�| ¯/.¢0 "�ó(+Gx�ö ÷6úüû´.vok÷6ûnõ/?oE"C$Có�)Mó�.Cov#%+>û� �úW �öt e+�Ð�ö_$Có¦|!÷G),�Fó4õ:úüûCö¸ó{&wó�), y÷6ûnõ¦/?o+�Ð/öt$Có/ôwûq|!÷G),�Fó4õH+>ûuó% . 5 $Có�ûF.Co]BH/?okúW �÷e'Có�)tÐk+s)@÷6öVó4õJ'�÷6ú_)¦"�úüö_$@ �öø÷6ú_),#4÷s �ó% .

U �����VO� XÙ.�5\;=[=�=O�?�02;�?ML�.r;l�=D�~n.�1�06H�D!0�S2.�Q#��j�L=.�5P;�5\?M5P76iFO)7IQ4.�5PQY?M1@5\Sw5876i�]67I;=[�?ML=.�O�76Q4.5P;`�*L�5PO�LK?4L=.�i87IQ@?GDE0�S2.+5PQG7NQ@�*5T?MO�L�H±02i\iP0��*Q�H±1402D {|.�D!DE7N�h�ÿ����q�02;=Q@5P[=.#1��*LC7I?�LC76B=Bn.�;=Q5\H}?ML=./iP76Q@?*D!0�S2./O�02;FS6.�1@?4Q76;g�=;�DN761@<6.#[Fû�5P;F?M0!7:DN7I14<6.#[Uè3���?û½�

fl?�761�?�~FU!Q4�=B�B�02Q@5P;=3 .vohO�06;l?M765P;�QÐ.��=7IO#?MiTU!02;=.�O�02BFUE06H�è2��j�L=.GQ4DE76iPi\.�Q@?"5\;F?M.�36.�1�5\;D.Coh5PQèF][email protected]�B�/?ol5PQk7/Bn.�1�H±021M7>?M.�[:B=765P1#��j�L=.�O#02;FS2.#14Q45\02;!06HYû�5\;F?M0eè3����û�DE5\32LF?,LC7)S6.�[�.�Q@?4140�U2.#[71ûr�-�-��û�14.#O#?�7I;=32iP.I]�~���?O#02�=iP[K;=06?L=7�S6.�O�1@.)7I?4.�[�02;�.6�yfw5P;=O#.!.Co^O�06;l?M765P;�Q�02;=iTUg02;=.!è2]�?ML=.O�02;FS2.#14Q@5P02;vO�02��iP[W;=06?*L=7�S6./O�14.�7I?M.#[v76;FUFè��-�-�8èÅ1@.�O#?M76;=32i\.�Q#�"�"�h?4?M5\;=3�?ML�.�Q4.yHß76O�?MQ�?M0632.#?4L=.�1��.ÅQ4.#./?4LC7I?3. o BH/ o 5PQ*7:Bn.�1@H±061M7I?4.�[vBC765P1Ð�*5\?MLvQ@?M765P1@O)76Q@.�Q#�

��0�� Q@�=B=Bn02Q4.F.Co�O#02;F?�765\;=QÀ��� �`O�02B�5P.�Q:0IH�èF� j�L=.#;².vo�7I;=[h/?o,��.#14.W02~h?�765\;=.�[ë~FU76B=B=iTUh5\;=3�7:Q4.��w��.�;=O#.�06H�DE0�S2.#Q�?M0!7:B�.#1@H±02147I?M.#[`BC7I5P1?.Co o]BF/?o oC�*L�.�14.Q.Co onO�02;F?M765P;=.#[Ç�!���O�02B=5\.�Qv06H5èF� XÙ.êO)7I;z76Q@Q4�=D!.ê?4L=.p�C14Q�?K0IH�?ML�.�Q4. DE0�S6.�QvO�02;FS2.#1@?4.�[ 7KûN?M0 7�DN761@<6.#[è���?û½���G0I?M.r?ML�5PQ,O#02;FS2.�1@Q45\02;�D��=Q@?"L=7�S6.*[=.�Q�?M140�U6.�[E7¦ûb�-�-��ûk1@.�O#?M76;=32i\.6�k9ÐU�?4L=.�5P;=[��=O#?45P02;LlUwBn06?ML�.�Q45\QÅ?4L=.!O�02;FS2.#14Q@5P02;ÚB�140w[=�=O�.#[Ú7gB�.#1@H±02147I?M.#[ÙBC7I5P1�*5\?4L Q�?�765\14O�76Q4.#Q��W��.��w?�O�76D!.E7;=02;=.#DEB�?VU!Q@.��l�=.�;�O�./06H|Q��*5\?MO�L�.�Q��"pGDE02;�3+?ML�.�Q4.G��.#14.02;�.�Q��*L=5\O�L�D!0ºS6.�[N?4L=.3û�06145P365P;C76i\i\U5P;N?4L=.yQ402�h?ML=.�76Q@?*O#0214;=.#1r06H|?4L=.y14.#O#?�7I;=32iP.G?M0�?4L=.y;=021�?MLF��.#Q@?�]C.#S2.#;F?M�C76i\i\UEQ@�*5T?MO�L=5\;=35û"�*5\?ML?ML=.´èEB=1@0h[=��O�.�[Ù~lU�?4L=.!O�02;FS2.#14Q@5P02;ÚD!.�;F?45P02;=.#[Ù7I~�0�S2.I� s �=Q�?�~n.#H±021@.!?4L=.#U Q��*5\?4O�L=.�[^]Y?ML=.?V��0ÅD��=Q�?ÐL=7�S6.G~n.�.#;EQ@5P[=.½�V~FUF�VQ@5P[=.I]wQ@0Å?4L=.*Q@�*5T?MO�L!Q4iP5\[ ûk�Ð.�Q@?�76;=[1èG.�76Q@?�� � X .*O)76;!~n.�Q@�=14.06H�?4L=5PQÅ~�.#O)76��Q4.E?4L=.NQ�?�765\14O�76Q4.�H±1402D ?ML=.E[=.�Q�?M140�U6.�[ë14.#O#?M76;=32i\.EB=1@.#S6.�;F?M.#[hûH±1402D D!0�Sw5P;=35P;F?M0/?ML=.GQM76D!.�O�02i\�=DE;E76QZè2� ��j�L=.��C;C76i�D!0�S2.�O#02;FS2.#1@?M.#[Dû½]h;�0º�Z5\;!?4L=.�;=021@?4LF��.#Q@?�O#0214;=.#1�]?M0v76;Lè2� � ?yH±02iPi\0º�*QG?MLC7I?(.CoYO�06;l?M765P;�Qy.���76O#?4i\U�06;=.1è!5P;�5T?MQ�Ð.�Q�?M.�1@;=D!02Q@?+O�02i\�=D!;^��fh5\;=O�.;=0g5P;F?M.#32.�1/5P;6. o 5PQyQ@DN7IiPiP.#1G?4LC76;®èF]E. o BU/ o 5PQ/7gB�.#1@H±02147I?M.#[ BC765P1#� �*.)76Q@02;=5P;�3`7IQÅ5\;�?ML=.

�Id

Page 29: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

B=140w06H}06HY{|.�D!DE7��h�ÿ��]h�Ð.Q@.�.?ML=7I?�?4L=.;=.��*i\UEO�14.�7I?M.#[�è/7I;=[�?ML=.��C14Q�?@�øH±0614D!.�[�02;�.y7614.�?ML=.;=021@?4LF��.#Q@?Å76;=[�Q@02��?4L=.)76Q�?/O�021@;=.�1@Qy14.#Q4Bn.�O#?45\S6.�i\U`06HÐ76;0è��-�-�%è�14.#O#?M76;=32i\.��*5\?4L�7�Q@?M765P1@O)[email protected]�j�L=.�Q4.#O�02;�[�O�02;FS6.�14Q@5P02;�0IHvû�?M0Hèe� ��û*D!5P32LF?�LC7)S2.�[=.�Q�?M140�U6.�[ê7Oûb�-�-�Iû*1@.�O#?M76;=32i\.6]n~=��?�5\?O�02�=i\[K;=0I?LC7)S2.:O#14.�7I?M.#[�02;=.I��j�L=5\QB=140�S6.�QJ.Co;B�/�ou5PQ�7NB�.#1@H±02147I?M.#[KBC7I5P1*�*5\?MLKQ@?�7I5P14O�76Q4.#Q���1!�(����(� w%�ba(�

-/.nR $Có�û 3 \�&�+s)�úüö_$�| ¯/.¢0 �ö�+%'q Q6�ó�[6ó�)�ù!úüûCöVó{&wó�)/úW J|!÷G),�Fó4õ .0(. 5 $Có�ó�ûnõ1)Mó% �ô�\«ö�+�Ðyö_$Có�÷G\�&�+s)½úüöt$�| úW Åúüûnõwó�'Có�ûnõwó�ûCöZ+�Ð/ö_$Có¦ �ó4ù�ôCó�ûr#�ó5+�Ц|´+s[6ó% /ôA �ó4õ .78. çl#%$:HôhöJI>ó�û*x�ó�)¯&wó�)=K �ó�[>÷�#�ô=÷6ößú{+>û1'*),+-#�ó4õ6ô�)�óyúW �÷! �'Có%#�úß÷G\E#4÷s �ó +�Ð 3 \�&�+s)½úüö_$�| ¯/.¢0(.U �����VO� XZL=.#;=.#S6.�1L� 5PQ�7�Bn.�1�H±021M7I?4.�[�?�76~�iP.)7I�^]"iP.#?���Q��*1@5\?4. � � H±021�?4L=.gQ@?�7I;=[C761@[

B�.#1@H±02147I?M.#[N?�76~�iP.)7I�E02~h?�765\;=.�[�~FU!14.#;l�=D�~n.�145\;=3#� 76QÐ5P;HR��h��pG3F765P;!��.G14.��w��5P14.�?MLC7>?��*L=.#;Q4.#S6.�1476i=Bn.�1@H±061M7I?4.�[�?M76~=iP.�76���[email protected].#;l�=D�~n.�14.#[^]6?4L=.rQM7IDE.Ði8761@32.�Q�?k5\;l?4.�32.#1kD���Q@?,~n.r7IQ4Q45\32;=.#[?M0�.)76O�Lu�

e 021:B=761@?gog76Q@Q4�=D!.W?MLC7>?!7IHü?M.#1:B�.#1@H±021@DE5\;=3�7 � Bn02Q4Q@5P~=iTUÚ.#DEB�?VU���Q@.��l�=.�;�O�.K0IH�D!0�S2.�Q��./LC7)S2./02~h?�765\;=.�[WBn.�1�H±021M7I?4.�[W?�7I~=iP.�76���F.Co�7I;=[@/�o�0IHk06HYDE7614<I.�[v76;=[g�=;�DN761@<6.#[v5\;F?M.�36.�14Q14.�Q@B�.#O#?45\S2.#i\U6�"9ÐU:j�L=.#0214.#D _h�ÿa�]�.CoIB¦/?ow5PQ"7yBn.�1@H±061M7I?4.�[�BC765\1,�*5\?ML�Q�?�765\14O)7IQ4.�Q#� � ?"5PQ�.#;=02�=36L?M0�Q@L=0���?4LC7I?5TH2.Co^5PQG;=06?H±��iPi\Ug.��hBC76;=[=.#[ � 021.��l�=5\SI76i\.�;F?MiTU2]Y/�o^5PQ�;�06?�H±�=i\i\UvO�06;l?41M76O�?M.#[Y��]?ML=.#14./5PQ*7�Q@�*5T?MO�Laèsý²û�H±021�.CoGBH/?o8�"j�L=5\QrH±02iPi\0��*Q�[=5P1@.�O#?4i\UEH±1402D {}.#DEDE7��h�ÿ���

jY0:B=1@0ºS6.Å�h]h76Q4Q@�=DE.7I?�Q406DE.GB�025\;F?�?ML�.y76iP3602145T?ML=D L=76QrB=1@0h[=��O�.�[�?4L=.Bn.�1�H±021M7I?4.�[WBC7I5P1.vo�B /?o=0IH}DN761@<6.#[�76;=[N�=;=DE7614<I.�[�5\;l?4.�32.#14Q#]=76;=[E?ML=.GDE0�S2. ª ?M�=1@;=Q�.Co�B5/?o=5P;F?40 .Co o�B5/?o oü�j�L=.�1@.�5PQ*7�O�061414.#Q4Bn02;=[=5\;=3ND!0�S2. ºª ?4LC7I?*?M1476;=Q@H±0614D!Q º. o B º/ o 5P;F?M0 �. o o B �/ o o ]�7I;=[K5T?*5PQ*;=06?LC7614[g?M0�Q@.�.y?ML=.yH±02i\iP0��*5P;�3�[=587I321M76D O�02D!D���?4.�Q�=

.Co o]BF/?o o �. o o B �/ o o.Co]BH/?o º. o B º/ oª ºª

� ¢¡ Ò,£O¤¦¥ ¡� � ¢¡ Ò,£O¤¦¥ ¡� 

§ §fh�=B=Bn02Q4.W�Ð.g<w;�0º� �K?M0 ~�.�?414�=.�H±061:Q@?�7I;=[C761@[�?M76~=i\.)76����]Ð76;=[�iP.�?´­&~n.WO�02i\�=D!;ëQ@?M1@5PO�?)�p�Q4Q@�=D!.N��.�76B=B=iTU�?ML=.N76iP3206145\?4L=D ?40L­ ?V�*5PO�.I],.)7IO�LÚ?M5PD!.��*5\?MLÙ7K[=5Ttu.#14.�;F?�Q4.��l�=.#;=O�.W0IHDE0�S2.#Q�� R Q45\;=3�02��1GO#02DED���?�7I?45\S6.+[=5P76321476D`]=�Ð.�02~h?�765\;`?V�Ð0WO�021@14.�Q@B�06;=[=5P;�3NQ4.��l�=.�;=O#.�QyH±021º­�]�76;=[Ú?4L=.W.�;�[ 1@.�Q4��i\?:06H�.�76O�L Q@.��l�=.#;=O�.vD��=Q�?�~�.�?4L=.WQM76D!.6� 9���?�.�S2.#1@Uë?�7I~=iP.�76�ÚO)7I;~�.W1@.�O�0�S6.�14.#[ H±1@02D 5T?MQ�Q�?�76;�[C7614[�1@.�;l�=D�~n.�1@5P;=3=]"Q@0 ?4L=.D�C;C7Iir14.#Q4�=iT?:06H�?ML=.�?V�Ð0 02145\325P;C7IiQ4.��l�=.#;=O�.#Q�D���Q@?*76i\Q40:~n.?ML=.yQ476D!.6�,X ./7614.?4L=.�1@.#H±[email protected]±14.�.?40�76Q4Q@�=D!.Q­ 5PQ�Q@?�7I;=[C761@[^]CQM7)U�*5\?ML�5\;l?4.�32.#14QWo � � � �k�k� �ZY �ë{|.#?!�=Q��*1@5\?4.Dû½ðÿQ:H±021�?4L=.g�=;=DE7614<I.�[ 5P;F?M.#32.�1@Q�?ML=.v76i\3202145T?ML=D

�6b

Page 30: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

O�02;=Q@�=D!.�Q:76;�[½èFðñQ+H±061�DE7614<I.�[ë02;=.#Q�5\?+O�1@.)7I?4.�Q#�êmy~FSw5P06�=Q4iTU .�76O�Lë06H�?4L=.N?V�Ð0�Q4.��l�=.#;=O�.#QO�02;F?�7I5P;=Q�7:DE0�S6./?4LC7I?�O�06;lS6.�1�?MQ�.)76O�LFûr5P;F?40�?4L=./O�021@14.#Q4Bn02;=[=5\;=31è�»�?û½]�76;=[v.#S2.#1@Uv06?4L=.�1DE0�S2.*5\;!.#5\?4L=.�1"Q4.��l�=.�;=O#.�5\QÐ7yQ��*5\?MO�Lu��j�0ÅO�02D!B=i\.#?M.r?4L=.*B=140w06H�06H^�h]l�=Q4.�5P;=[��=O#?45P02;:02;!û;�aè?M0�Q4L=0��

o2� � H�è¾ý²û�5PQ*7:Q@�*5T?MO�Lg?MLC7I?�0wO�O#�=14Q*5P;g02;�.ÅQ@.��l�=.#;=O�.I]n?4L=.�;v5\?*0wO�O#�=14Q*5P;W?4L=./06?ML=.#1���h��XZL=.�;Lè¾ý½ûG0hO#O��=1@Q5P;�~n06?4L^]u?ML�.�~�0k�h.�Qeè�76;=[pû�0wO�O���BlUK5PD!DE.#[=587>?M.�iTUW~n.#H±021@.�?ML=.#5P1Q@�*5T?MO�L � 76;=[vL=.#;=O�.Å5PD!DE.#[=587>?M.�iTU!7IHü?M.#1%�[email protected]?ML=./QM7IDE.H±021*~n06?MLgQ@.��l�=.�;�O�.�Q#�

j�L=.�5P;=[=��O#?M5\02;�5\QSh5\1@?4�C76iPiTUv5P[=.#;l?45PO�76i�?40�?MLC7I?/��Q4.�[ ?M0WB�140�S2.��g06H�j�L=.�0614.�D �h�Ô�w]}76;=[���.iP.)7)S6./?4L=./[=.#?M765Pi\Qr?M0:?ML�.Å1@.)76[�.�1��

e 5P;C76i\i\U6]I?M0/Q@.�.Ga�]l02~=Q4.#[email protected]�Lkî�h?Mï�.#;l~�.#1432.#1�ðñQ�.#SI76O#�C7I?45P02;!76i\3202145T?ML=D 5\Q,?ML=.*Q4Bn.�O#5876iCO�76Q4.06HC?ML=.�32.�;=.#1M76i\5Pï#.�[:.#SI76O#�C7I?45P02;:7IiP32021@5\?4L=Dz02~�?M765P;�.�[:~FU�O#02;=Q@5PQ@?4.�;F?MiTU�[=.�H±.�1@145P;�3O�02;FS6.�14Q@5P02;�Q06Hk��;=DN7I14<6.#[`5\;F?M.�36.�14Q*5\;l?40�DN761@<6.#[`02;�.�Q�76Q*iP02;�3�76Q*B�02Q@Q45\~=iP.I�

j�L�.+;=.��w?G1@.�Q@�=i\?�Q4L�0º�*Q�L=0��z.�SI76O��C7>?M5P06;`7I;=[`1@06?�7>?M5P06;g7614.y1@.�i87>?M.�[u�

�1!�(����(� w%�2w/� Û}ó�ö�­ x�ó+÷Nö ÷Ax�\Pó4÷6ô0+�Ðûr+s)�|!÷G\* %$�÷�'Có . 5 $Có�û�­ED´��­3¨{Ò .U �����VO� X .y5P;=[=��O#?�02;W?ML=./;l�=D�~n.�1*06H�~n0-�h.#QG5\;p­+��XZL=.#;0­ 5\Q�.�D!B�?VUW021�O#02;=Q45\Q@?4Q�0IH

7�Q45\;=32iP.G~�0k��]h?4L=./76Q@Q4.�1�?M5\02;�5PQÐ02~FSw5P02�=Q#]=Q40:Q@�=B=Bn02Q4.�5\?rO#02;F?�765\;=QrD!0214.�?MLC7I;�02;=.I�Ð{|.�?zv~�.?ML=.+5P;F?M.#32.�1G7I?�?ML=.+;=021@?4LF��.#Q@?/O�0614;=.#1�06HZ­ 76;�[KiP.�?¦° ~�.Å?ML=.Å?�76~�iP.)7I�v?4LC7I?1@.�Q@�=i\?4QG�*L=.#;?ML=5\Q�zK5PQ�[�.�iP.�?M.#[^�

X .�O)76;Å?M1M7I;=Q@H±021@Dó­ 5P;F?M0¦­ED+~FUÅO�06;lS6.�1�?M5P;�3G?ML�.Ð�=;�DN761@<6.#[5z:7I?Y?ML=.�;=021�?MLF�Ð.�Q@?kO�021@;=.�1?M0�7�DE7614<I.�[p��z}]=Q@�*5T?MO�L=5\;=3�?M0:D!0�S2.�?4L=5PQ3��zg?M0�?4L=.02��?4.�1r.#[=32.I]C76;=[�?4L=.�;v76B=B�i\Uw5P;=3Å?ML=.76iP3206145\?4L=D ?40!�*L=7I?1@.�DE765P;=Q*06H�­+]�5��ÿ.I�\]C?M0!?ML=.Å;=021@DN7Ii^H±0214DM� 0IH�°!� � ?�H±02iPi\0��*Q¦­EDvO)7I;~�./02~�?M765P;�.�[g~FUg76[s>@025\;=5P;�3�7H��z�7>?�7I;v06��?M.#1�O#0214;�.�1*06HN� D �

j�L�.�14.y5\Q�71��zv7I?Ð?ML=.Q@02��?4L=.)76Q�?�O�0614;=.#1r06Hv­ ¨ ]�7I;=[W5\H^�Ð.[=.#iP.�?M.G?4L=5PQ���z}]w?ML=.�?�76~=i\.)76���.y02~h?�765\;�5PQ?°(¨�� � ?rH±02i\iP0��*QÐ?4LC7I?3­3¨{ÒÅO�02;�Q45PQ�?MQ�06HE°(¨{Ò/.��w?M.#;=[=.�[v~FUU��z}�"9���?�°(¨{Ò Õ× � ��¨�]76;=[K~FUg?ML�.+5\;=[=�=O�?M5P06;`LFUwB�0I?ML=.#Q45PQ���¨{ÒJ�O�PDu]�Q@0@°Q¨{Ò¦�Q�PD���X .+<l;=0�� Q4L­EDH�zQ@L¦­+]76;=[�5\;K{|.�D!DE7�_h�ÿdE~n.�i\0º����.�B�140�S2.�Q@L­¨{Ò(� Q4L¦­+�Gj�L�.�;�?ML�.´��z�?MLC7I?�.��w?M.#;=[=Q��PD`5P;­"D!D���Q@?Ð0hO#O��=1�7I?�?ML=.*Q476DE.�Bn02Q45T?M5P06;�76Q�?4L=.e��zN?4LC7I?Ð.��w?M.#;=[=QR�*D�5\;H­3¨{ÒF]h76;=[�?ML�.�14.�H±0214.­ D ��­ ¨{Ò �� �(�����iw��2�8� ÛYó�ö�­ x�ó+÷Nöø÷Ax�\Pó4÷6ôp+�Ð/ûr+s)�|!÷G\* %$�÷�'Có . 5 $Có�ûNQ4L¦­¨{Ò�þQ@L­ .

U �����VO� 9�.#H±0614.ê5P;=[=��O#?M5\;=3�02;Z?ML=.ê;l�=D�~n.�1g06H�~n0k�h.�Qv5P;�­ ��.ê;=.�.#[ ?40 Q@L=0���?ML=.H±02iPi\0º�*5\;=3T=^5TH*°þ5\Q,7�Q4�=~�?M76~=i\.)76�:06Hb­ [=.#145TS2.�[:~FUÅ[=5\Q4O)7I14[=5\;=3�02;�.r~�0k�Qn�H±1402Dz?4L=.rQ406��?ML=.�76Q@?.�[=32.�06Hv­+]h?ML�.�;WQ4L­3¨{Ò�SþQ@L�°(¨{ÒF� e 5\14Q�?�O#02;=Q45\[=.�1Ð?ML=.O�76Q4.G�*L=.�1@.(­z5\Q�Q�?�76;=[=7614[g76;�[N?ML=.

�I�

Page 31: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

[=5PQ@O)761@[=.�[Ú~n0k�Ln:O�02;F?�7I5P;=Q/?ML=.Ei8761@32.�Q�?Å5P;F?M.#32.�1(zÚ5P;N­��gj�L=.#;���zë5PQ/?ML=.E5P;F?M.#32.�1Å5P; ?ML=.;=021@?4LF��.#Q@?+O�021@;=.�1/06H�­3¨{Òl]}76;=[L°Q¨{Ò!5PQ�B=140w[=�=O#.�[ê5\H"��.!.�1476Q4.H��zÚ76;�[ê��Q4.!7WO�02;F?M1476O#?45P;=3Q4iP5\[=.�?40ÅD!0�S2.�?ML�.�.�D!B�?VU:~n0-��?ML=1@02�=32L:�*LC7>?Ð1@.�DE765P;�Q,06H�­¨{Ò2� � ?�H±02iPi\0��*Q,Q4L­3¨{ÒTSÈQ@L°e¨{ÒF�e 061�?ML=.y36.�;=.#1M76i^O�76Q4./i\.#?3­�o�~n./7�Q�?�76;�[C7614[W?M76~=iP.�76�W06HYQ4L=76B�.yQ@LJ­��*L=02Q@.ÅiP761436.�Q@?r5P;F?M.#32.�15PQÅ5P; ?ML=.E~�0k�®n�],76;=[ÙiP.#?Q°eo�~n.E?ML�.!?M76~=iP.�76�Ù06~�?�765\;=.�[ ~FU [�5PQ4O�7614[�5P;=3�n�H±1402D­�oü�gj�L=.#;­��× � ­�ow76;=[!°U�×� °Joü]6Q40(­3¨��× � � ­�ow�I¨�76;�[!°Q¨L�× � � °eoú�I¨���j�L=5PQ,5\DEB�iP5P.#Q}Q4L­3¨{Ò¦� Q@L � ­�ow�I¨{Ò�SQ4L � °eoú�I¨{Ò3� Q@L3°(¨{Ò2]�76Q*O�iP765PD!.�[u�

��0�� ��.!~n.�325\; ?4L=.�5P;=[��=O#?45P02;^�Em~=Q@.�[email protected]?4LC7I?y�*L=.#;½­ 5PQy.#DEBh?VU 021y14.#O#?�7I;=32�=iP761?ML=.14.�Q@�=i\?�5\Q�O�iP.�761�]lQ@0Å�Ð.GDE7)U:76Q@Q4�=D!.¦­ZO�02;F?M765P;=Q�7I?�i\.)76Q�?�?V��0+~�0k�h.�QÐ76;=[!5PQ";=06?�7/14.#O#?M76;=32i\.6�j�L=.�;g?ML=.#14./761@.�?V�Ð0![�5PQ@?45P;=O�?�Q4��~�?�76~�iP.)7I���F° 76;�[0� 06H�­+]=.)7IO�Lv06~�?�765\;=.�[W~FUW[�5PQ4O�7614[�5P;=302;=.:~n0-��H±1402D ?ML=.�Q406��?ML=.�76Q@?Å.#[=32.�06H?­���9�U�?ML=.:5\;=[=�=O�?M5\02; LlUwBn06?ML�.�Q45\Q�]}Q4L3°(¨{Ò!� Q@L3°76;=[êQ4L"� ¨{Ò �éQ4L�� ��j�L=.�; Q4L¦­ ¨{Ò � Q@L° ¨{Ò B Q@L"� ¨{Ò � Q4L�°�B�Q4L"� � Q4L­+�Wfh5\;=O�.� Q4L­ ¨{Ò �G� � Q4L­O�l?ML=5\QrH±0214O#.�Q*Q4L¦­ ¨{Ò �ZQ4L­+�

� ?*H±02i\iP0��*Q�.)7IQ45PiTU�H±1406D ýñfhO6ok�|?4LC7I?¦­ ¨ Õ×� ­ D ]�76;�[ e �=iT?M02; ý e �}B=140�S6.�Qe­ ¨{Ò �¢­ D �Ð9�06?ML761432��DE.#;l?4Q�7I14.�~C76Q@.�[Ù06;ëfhO�L=.#;=Q@?4.�[ë5\;=Q4.#1@?M5\02; �=Q45\;=3g?ML=.���0614[=Q+06H�?4L=.:?�76~=i\.)76���ê1M7I?4L=.�1?MLC76;Ú?4L=.W76B�B=140F7IO�LÚ��.WLC7)S6.WB=14.#Q4.�;F?4.�[ L=.�[email protected]�êJ`�=O�L�06H*?4L=.�5PD!Bn021@?M76;=O�.!06H*.�S67IO��C7I?45P02;Q@?M.#DEQWH±1@02D ?ML�.�Q4.ê14.#Q4�=iT?MQ#� p�Hü?M.#1v[�.#S2.#iP02B�5P;=3�02�=1gB=1@0h0IH�06H+j�L=.#0214.#D _h�Ô_Ù�Ð. i\.)761@;=.�[��765\DN76;WL=76Q�76iPQ@0:14.�iP7I?M.#[U­"Dg?40@­�Ó � ýñf�7F�¾� �

j�L�.�76~n0�S2./14.#Q4�=iT?MQ�76i\iP0��þ�=Q�?M0!O�LC761M7IO#?M.#145\ï�.5­EDv76Q�H±02iPi\0º�*Q#��1!�(����(� w%���B� Û}ó�ö­ x�ó!÷vö ÷Ax�\Pó4÷6ôh+�Ð�ûr+s)�|!÷G\� %$�÷�'Có . 5 $Có�û6­ D úW :ö_$Có:ôwûCúßù�ô�ó�ö ÷Ax�\Pó4÷6ôÔÅûCôhö_$�ó4ù�ôhú_[>÷G\Pó�ûCö"ö�+ ­3¨�÷6ûnõWõ6ô=÷G\�ó4ù�ôwú_[>÷G\Pó�ûCö�ö�+ ­ .

U �����VO� XZL=.#;=.#S6.�11° 76;�[V� [email protected]�y;l��?ML � 14.�Q@B�.#O#?45\S2.#i\U6]�[=�C76i �Å.��l�=5TSI76iP.#;l?�]�° ¨ 76;=[� ¨ 7614.N76Q��Ð.�iPi���fw5P;=O#.�­ D � ­ ¨{Ò ]2­ D 5PQQ�y;w�h?MLë.��l�=5TSI76iP.#;l?+?M0L­ ¨ �`p�iPQ@0=]2­ D 7I;=[²­7614.N?M76~=i\.)76���Ú06H*?ML=.WQ476D!.�;=021@DN76iÐQ4LC7IB�.I]�Q@0ê7614.W[=�=76i�.��w��5\SI76iP.#;F?�~lUÚ��1402Bn02Q45T?M5\02;Ú�=�è�h�j�L=.�021@.�D �=�ñ��QM7)UwQ�?4L=.�1@./O)76;v~�./02;�i\U�06;=.y?�76~=i\.)76�W�*5T?MLW?ML=.#Q4.ÅB=1406B�.#1@?M5\.�Q#�

j�L�.�14.:5\Q�7EQ45PD!B=i\.Å��7)U`?40�.��w?M.#;=[ .#SI76O#�C7I?M5\02;`?40N?�7I~=iP.�76���`06H�761@~=5\?41M761�UgQ4<6.�� [email protected]=5P;gp�i\3202145T?ML=D _h�To2]C147I?ML=.#1r?MLC7I;`Q47�Uw5\;=34�14.�B�i876O#.�?4L=.!5P;F?M.#32.�1Jzë7I?y?4L=.!;=021@?4LF��.#Q@?�O#0214;�.�1Å06H�­ �*5T?ML½��zÚ76;=[ÙDE761@<`?ML�.E;=.��5P;F?M.#32.�1I7�=Q4./5P;�Q@?M.�76[4�14.�B�i876O#.�?ML=.+Q4DE76iPi\.�Q�?�5\;l?4.�32.#1z 5P;0­ �*5T?MLh��zÙ7I;=[�DE7614<W?ML�.�;=.#� 5\;l?4.�32.#1 � 5TH,?ML�.�14.5PQ�D!0214.?4LC76;v02;=.yQ4��O�Laz}]=?�76<I.y?ML=./.)7IQ@?M.#14;=D!02Q�?G06;=.-��7=�fhO�L,î��?Mï#.�;l~n.�1436.�1/ýñfhO��¾�u7I;=[D�G765PDE76;Ký����s�nQ@?M��[�U!.#SI76O��=7I?M5\02;N5\;!?4L=5PQ�~=140276[=.�1�O�06;l?4.��w?)�"j�L=.DN76B�B=5P;=3H­ ¥ �r§ ­ED�06H�?ML�.:;=.#� 76iP3602145T?ML=D 5\QG?ML�.:QM76D!.:76Q�?4L=.�021@5P325\;C76i}DE76B=B=5\;=3N�*L=.#;14.�Q�?M1@5PO#?4.�[W?M0�?M76~=i\.)76����­ LC7)Sw5P;�3!;�0214DE76inQ4LC76Bn.6]�7I;=[W?ML=.y;=.��zDE76B=B=5\;=31­ê¥�b§ ­EDg5PQ�76;

�I�

Page 32: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

5P;FS202i\��?M5\02;^����0���.�S2.�1#]n�*L�.�;`?4L=5PQ�DE76B=B�5P;=3:5\Q*76B=B=i\5P.�[W?40E7:Q@<6.#� ?M76~=i\.)76�W?ML�.Å1@.�Q@�=i\?*[=0w.�Q;=06?*5P;g32.#;=.�1476i|.�;¾>@0ºUW?4L=./B=1406B�.#1@?M5\.�Q�5\;=[=5PO�7I?M.#[g5P;gj�L=.�0614.�D _h�Ôbw�� ;ë06B�.#1M7I?45P;=3`�=B�06;Ù?�76~�iP.)7I��� 06H*761@~=5\?41M761�U [email protected]]k�Ð.�H±02i\iP0��é7K[�5\t�.�14.#;F?�BC7I?4L^� m�=15P[=.�7�5\Qr?M0��=Q@.+j�L=.#0214.#D _h�èb�?40�DE06?45\SI7I?4.�?ML=./[=.��C;=5T?M5P06;^�W �CX]�$�9����;�lw��2�8� Û}ó�ö­ x�ó!÷`ö ÷Ax�\Pó4÷6ôh+�Ð�÷G)�x�úüö¤)4÷G)�ùD %�Fó�"^ %$�÷�'Có .(F óZY"ûuó(­ ¡ 6�ö_$Có/1@.#S2.#14Q@.+�ЭË6Ðö�+´x�óÅöt$CóÅôwûCúßù�ôCóÅöø÷Ax�\Pó4÷6ô@ÔÅûCôhö_$�ó4ù�ôwú_[>÷G\Pó�ûCöÐö�+ ­3¨E÷6ûnõNõ6ô=÷G\kó4ù�ôwú_[>÷G\Pó�ûCöÐö�+ ­ . 5 $Có|!÷�'A'núüû�& ­�¥�b§ ­ ¡ úW #4÷G\_\Pó4õ+1@.#S2.#14Q476i .

j�L�.NO�06;=Q@?414�=O�?M5P06; 5\;ê?4L=.EB�140w06H�0IHrj�L=.#0214.#D����ÿ�v325\S6.�Q+76; 76iP3206145\?4L=D&H±021/O�02D!B=��?45P;=3­ ¡ �v{|.#?#� ~�.N76;FUê?M76~=i\.)76� Q4�=O�LÚ?4LC7I?!­ .��w?M.�;�[=Q[� 76;=[\� BK­ LC76QÅ;=021@DN7Ii�[email protected]�j�L=.�; ­ ¡ � � ­ ¨{Ò �]% 1 �

��.��w?:�Ð.W5P;F?M1@0h[=��O�.�7K?M76~=i\.)76�²­3©��*L=5\O�Lë5PQ�O#iP02Q@.�iTU 1@.�iP7I?M.#[Ú?M0L­3¨�76;=[M­ ¡ � e 021�76;7614~=5T?M14761@U ?�7I~=iP.�76�²­ iP.#?O­3©�~�.N?4L=.��=;�5W�l�=.�?�7I~=iP.�76�h�y;l��?ML�.��w��5\SI76iP.#;F?�?M0®­ 76;=[ë[��C76i.��l�=5\SI76i\.�;F?*?M0@­3¨)����06?M.y?ML=7I?�Q45P;�O�.5­3©��¢­ ¡ ¨º]=�Ð.ÅLC7)S2.+76;`.��hB=iP5\O�5\?�7IiP32021@5\?4L=D H±061�O)76i\O��h�i87I?45P;=31­3©)�U ���"t�;�u�������;�vw%�2�/� 5 $CóJ|!÷�'A'núüû�&s

�;­�¥�*§ ­ � ­ê¥�*§ ­ ¨k� ­ê¥�b§ ­ ¡ � ­ê¥�b§ ­ © �õwó�ö¸ó�)�|:úüûuó+÷6û ÷�#�ößú{+>û®+�Ðyö_$Có¦Ôe\Pó�úüû5Ðk+>ô�)�&G),+>ô-'pg��_^^g��´+>û�ö_$Có¦ �ó�ö�+�Ð/öø÷Ax�\Pó4÷6ô]« .

U �����VO� fw5P;=O#.Å.�76O�L�DE76B=B=5\;=3�5PQ*5\?4Q*0º�*;K5P;FS2.#14Q4.+5\?*Q@��X!O�.�QG?M0!Q4L=0�� ?ML�.+Q@.#?G5PQ�O�iP06Q4.�[�=;=[=.#1�O�06DEBn02Q45T?M5\02;^�Yp�B=B=iTUw5P;=3Å02;=.�021�DE021@.*06Hu?4L=.�DE76B=B=5\;=32Q�?M0 ­þUw5P.�i\[=QÐ7/?M76~=iP.�76�N[��C76i.��l�=5\SI76i\.�;F?�?M0�­�021¦­ ¨ 76;=[p�y;l��?MLK.��l�=5\SI76i\.�;F?�?40F­ 021¦­ ¨ ]�76;=[KL=.�;=O#.�5PQ�02;=.+06H­+]P­ ¨ ]­ ¡ ]C0213­3©)�

� ?�5\Q�5P;=Q�?M14��O#?M5TS2.y?M0�O#02;=Q45\[=.�1�76;g021@~=5\?*0IH�?4L=5PQ�321@02�=Bl=ÀÊÁ

à ÃÄ Ä ÅÆ ÇÇÅÃ

ÃÇ

ÇÈ È Ã Ã ÃÄ Ä

ÃÅ

Å ÆÇ Ç ÇÇ

ÈÈ Á À�`

Àba5Á G ÃG ÃG ÃG Ã

G ÄG Ä G Å

G ÅG Æ G ÇG ÇG Ç

G ÇG È

G È G È G ÈG Ç G Ç G Ç

G ÇG Æ

G ÅG Å

G Ä G ÄG Ã G Ã

G ÃG à Á À�c

a6c

Page 33: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

pGQ�7I;�76B=B�iP5PO�7I?M5\02;:06H�?ML=.�DN7IB=B=5P;�3 ­^¥�r§ ­3©�iP.�?��=Q����E7ÅQ@<6.#�þQ@LC76Bn.� v76;�[EO#02;=Q45\[=.�1?ML=.yB=1@02~=i\.�D 0IH�Q@L=0��*5P;=3:?4L=.yQ4<I.#� fwO�Lw��1*H±��;=O#?45P02;=Q�è Î 76;=[�è Îed 7614.y.��w�=76i ��j�L=.yDE76B=B�5P;=3­Ê¥�b§ ­3¨N[=.��C;=.�Q�7 ~=5 >@.�O#?45P02; ~�.�?V��.#.�; ?M76~=iP.�76��� 06HQ4LC76Bn.�  76;�[ ?ML�02Q4.`06HyQ4L=76B�.F b¨�*L=5PO�L O)7I;ê~n.:�=Q@.�[�?M0gQ4L�0º� è Î � è Î d �5�G0��Ð.#S6.�1�]YO�061414.#Q4Bn02;=[=5\;=3�?�7I~=iP.�76���K[=0g;=06?yLC7)S6.?ML=.�Q476D!.�O�02;F?4.�;F?)]}76;�[�?ML=.#14.#H±0614.:O)7I;=;=06?y~n. �y;l��?ML .��w��5\SI76iP.#;F?)� e 1402D 7NO#02D�~=5\;C7I?M0614587IiSh5\.#�*Bn025P;F?y?4L=5PQ/5PQy��;=QM7I?45PQ�Hß76O#?4021@U*uk5THZè Î � è Îed ]}5T?/02�=32LF?/?M0g~n.!Bn02Q@Q45P~�iP.�?M0v�[email protected]@iP5P[�.�Q?M0?M1M7I;=Q@H±021@D�?�76~�iP.)7I��� 06H�[email protected] �5\;F?M0g?�76~=i\.)76���ê[email protected]  ¨ ��j�L=.E[=5<X!O#�=i\?VU [=5\QM76B�B�.�7614Q�*L=.�;���.*�=Q@.�?ML=.*DE76B=B=5\;=3(­�¥�*§ ­ © 5P;:B=iP76O�.�0IH�­�¥�b§ ­ ¨ uwO#02141@.�Q@B�02;�[=5P;=3y?M76~=iP.�76���:7614.�/;l��?4LN.��w��5\SI76iP.#;F?)� � ;NB=761@?45PO���i8761#]�­ê¥�b§ ­3©�Q@.�;=[=Qr{P� ?M76~=iP.�76����0IH|Q4LC7IB�.? v76;=[EO�02;F?M.#;F?� ?M0�{��é?�76~�iP.)7I��� 06H�Q4L=76B�.1 r¨:7I;=[ÚO�06;l?4.�;F?!�,],Q@0K�Ð.WLC7)S2.W76;Ù.��hB=iP5\O�5T?�O#02D�~=5\;C7I?M0614587Ii5P;FS202i\��?M5\02;�?ML=7I?*B=140�S6.�Q

U ���"t�;�u�������;�vw%���7f8� 5 $CóÛ�úüö�ö¤\Pó�"Z+-+�õGª{Ü*ú{#%$�÷G)@õs -+>û6#%+�ótÞ�#�ú ó�ûCö_ µ Î á ÷6ûnõ µ Î dá ÷G)Mó�ó4ù�ô=÷G\ .XZL�5\?M. ý X��/[=.�Q@O�145\~�.#Q�7�DN7IB=B=5P;�3�?4LC7I?g?M1476;=Q�H±0214D!QK{�� ?M76~=iP.�76���Z0IH�Q4L=76B�.0  76;=[

O�02;F?M.#;F?Z�v5P;F?M0Å{�� ?�7I~=iP.�76���:0IH^Q4L=76B�.�  £ 76;=[N76;=[!O�02;F?4.�;F?Z� £ � R Q45\;=3Å76;N7IiP32021@5\?4L=D�~=76Q4.#[02;`fhO�L=.�;�Q@?M.#[K5\;=Q4.#1@?M5\02;^]���76;=i\02;g76;=[vfw�=;=[C761476D ý��f��^5P;F?M1@0h[=��O�./76;g76;=76iP023602�=QrDE76Bg76;=[�=Q4.�5\?�?40Å365\S2.�7y~=5 >@.�O#?45\S6.�B�140w06H�?4LC7I?"?ML�.G{�� O#0h.�XEO#5P.#;l?4Q µ Î á 76;�[ µ Î ÙáuÙ 7I14.*.��l�C76i��,p�Q e �=iT?M02;Q4L=0��*Q�5P;vý e � ]2?4L=.rXZL=5T?M.�DE76B�76;=[�?ML=.?�G76;=i\02;h��fw�=;=[C761476D DN76B�B=1@0h[��=O�.r?4L=.*QM76D!.�14.#Q4�=iT?)]76;=[�Q@0��.r[�.�;=06?4.r?ML=.ÐDN7IB�~FUO­��*§ ­ 9�;=< � � ?�5\Q�5\;l?4.�1@.�Q@?45P;=3G?M0;=0I?M.�?4L=.�?M.#O�L=;=5<�w��.��=Q4.#[?M0WO�06;=Q@?414�=O�?!­ ¡ 76;=[h­3©ÅO�76; ~�.�76B�B=iP5\.�[�?M0W~��=5Pi\[®­ 9�;=< � e 1402D&?ML=.:B�140w06H�06H�j�L=.�021@.�D�=�ÿ��?4L=.�1@.�5PQ�.���76O#?4i\U`02;=.�?M76~=iP.�76�p�y;l��?ML .��w��5\SI76iP.#;F??M0@Ý �8� Q@L­¦��£_��76;=[ [=�C76i�.��l�=5TS67IiP.�;F??M0 � º­��£�� j�LC7I?�?�76~=i\.)76�ë5\QO­ 9�;=< ]�76;=[ëQ@0�?ML=.NO�02;=Q�?M1@�=O#?45P02;�7It�021@[=Q:76;ë.���B�iP5PO#5\?+�r7)UÚ0IHO)76i\O��=iP7I?M5\;=3�?ML�5PQr?�7I~=iP.�76�^� � ;v.�Q4Q@.�;=O#.+?4L=5PQ�5\Qr?ML=.Å76B=B�140F76O�L`76[=06B�?M.#[`5\;Ùý X����

� [�.�;F?M5THüUh5\;=3�?ML=."{|5T?4?Mi\.#�Ð0h0w[h����5\O�LC7614[�Q402;GO�0w.�X!O�5\.�;F?MQ|�*5\?4Ly?ML=.�;l�=D�~n.�1|0IHhiP7I?4?45PO#.kBn025P;F?MQ5P;�O�.#1@?M765P;�Bn02i\Ul?402B�.#Q�]|9Ð.�14.#;=Q@?4.�5\; 7I;=[L`u.�iP.�Sw5P;=Q@<lUëýñ9`b�,B=1@0ºS6.:?ML=.:O#0h.�XEO#5P.#;l?4QÅ7614.�Q�UwD��DE.�?M145\O��=;=[=.#1�76;N7IO#?M5\02;�06Hn?ML=.*321@02�=B@g��Pi d òº�kX .*O�02;�O�iP��[=.*~lU�Q@L=0��*5P;=3/?ML�.�Q476D!.�1@.�Q@�=i\?O)76;v~�./[=.#145TS2.�[gH±1406D ?ML�.Å��Q4�C76i}[=.��C;=5T?M5P06;W06H�?4L=./O�0w.�X!O�5\.�;F?MQ#�

{|.�?��=Q´��� ;�06?�7I?45P02;u�ZXZL�.�;=.�S2.�1�gë5\Q�7ê14.�O�?�76;�32�[email protected]]�� 5PQE7ÙBC761�?M5\?45P02;u]r76;=[g½� �|],�Ð.N�*1@5\?M.D��h �V��h � g��/H±021Å?ML=.NBC761@?45\?45P02; � g��;�Y�I¨#]"76;=[ � �q£ �ihyH±021 � gA£ �;�T£ �·¨��p�*.�O)7IiPi5P;L�v��76D!B=i\.Na��èbg�Ð.N[�.��C;=.#[Ù?ML�.N32.#;=.�1476iP5\ï�.�[Ù{|5\?4?4iP.���0w0h[w���*5PO�LC761@[=Q406;�O�0w.�X!O�5\.�;F? µ Î à îÒÝÞÝÞÝ àÒß?M0!~�./?ML=.Å;l�=D�~n.�1�06H ª � H±02iP[vD��=iT?M5T?�76~=i\.)76���NH±021��*L=5\O�L`?4L=.+06��?M.#1GQ@LC76Bn.+5\Q? ê7I;=[`?4L=. � �W�?�76~=i\.)76�Ù5PQ:{�� 06H�O�02;F?M.#;F?1�¾�ø��X .�B=1@0ºS6.�[ µ Î à î¶ÝÞÝÞÝ àÒß 5\Q�Q@UwD!DE.�?M1@5PON5\;N�A~ � �s� � ���k� � �°��ê{|.#?�=Q+1@.�Q�?M145\O#?/?M0g?ML�.!O�76Q4.��*L=.#14.1 Ú5PQ/7g14.�O�?�76;�32�=i87I1Å[email protected]] ª � a�]Y76;=[®�A~�]C�s��]k76;�[h�ò7614.y?ML�.+BC7I1@?M5T?M5\02;=Q���]Y�,]n76;=[a}�14.#Q4Bn.�O#?45\S6.�i\U6�*q�02;=Q@5P[=.#1�7:?VUwB=5PO�76i}D��=iT?M5\?M76~=i\.)76��06~�?�765\;=.�[5P; ?4L=5PQÅQ4Bn.�O#5876i"O�76Q4.I�K��.�O�.#Q4Q476145\i\U ?ML=.E5P;=;�.�1+?M76~=i\.)76�ê5PQ(Ý � ���Å76;�[Ù?ML=.E02��?4.�1/?�76~=i\.)76� 5PQÝ � }*� © �Wj�L=.�1@.#H±021@. µlk à8á ß � µ ßnm¯â àá � µ ßnmà8á O#02�=;F?MQÅ?ML=.!;l�=D�~n.�1+06HrD!5P[=[�iP.�?�7I~=iP.�76���buk?ML�5PQ/5PQ?ML=.G;w��D�~�.#1�06HY{�� ?�7I~=iP.�76���E06H|[email protected]}ohI�G�N76;=[�O#02;F?M.#;l?�,� � ;�i\5P32LF?�06HP�C��76DEB�iP.Ga��Ôbw] µ�ß mà8á5PQ*Q@UwD!DE.�?M145\Oy5P;���]Y�,]�76;�[p}|������?@?M5P;�3�?4L=5PQ�?40232.#?4L=.�1*�*5\?4LW?ML=.ÅQ@UwD!DE.�?M145\.�Q*325TS2.�;v~FUW?ML=.XZL=5\?4.����G76;=i\02;h��fw�=;=[C761476D DN76Bu]���.ÅLC7)S2./B=1@0�S2.�;

aho

Page 34: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

U ���"t�;�u�������;�vw%��������ä��8��(�$�x���(� ��Ä g ��ÿ��CB!���$��Ã Õ *f� 5 $CóZÛ�úüö�ö¤\Pó�"Z+-+�õGª{Ü*ú{#%$�÷G)@õs -+>ûD#%+�ótÞ½ª#�ú ó�ûCö µ�ßnmà8á úW Z �ùs| |Nó�ö¯)½ú{#�ôwûnõwó�)rö_$CólÐk+s\_\W+s"�úüû�&/÷�#�ößú{+>ûF+�Ðrö_$Có�&G),+>ô-'´gv�ri d ò�Jröt$Córûr+>ûCúßõwó�ûCö�úüö¤ùó�\Pó�|Nó�ûCö�+�ÐJg��5 �ú_|:ô�\«ö ÷6ûuó%+>ôy �\úùNö¯)@÷6û� �'q+- �ó% �ó4÷�#%$L+�Ð��6v�$6*÷6ûnõ!}¦6�÷6ûnõ d òJ'Có�)�|:ôwö¸ó% ¦��6���6÷6ûnõ5} .

��06?M.�?4L=5PQG325\S6.�Q/76;�06?ML=.#1���7�UK?M0W[=.#145\S6.���1402Bn02Q45T?M5\02;�_h�To�c�� e 5m�K7�Q4<6.��éQ4L=76B�.( ë76;=[O�L=0h06Q4.�gC]Y}|]=7I;=[F�NQ4�=O�LW?4LC7I?Z H�S}ohI�G����j�L=.�;@ b¨2� � �phI�G}b�½]�Q40 µ Î á � µ Î dá ~FU���1406B�02Q@5\?45P02;_h�\o6o2�

þ���Ã%�!�>�1ÿ��('��;���(�É���� j�L=.�76��?4L=0214Q���06�=iP[EiP5P<I.�?40+?4LC76;=<:XZ5Pi\iP5P76D e �=iT?M02;u]h9Ð14�=O#.yf�763276;^]76;=[KfhL=.�5\i87�fh��;=[C761476D H±021r?4L=.�5\1�L=.�i\B�H±�=i|76[hSh5\O�.Å76;=[v.�;�O�02�=147632.#DE.#;l?��

5 ��®2�y ��y���*�y%ýñ9�� ���w9�.#;=[=.�1r76;=[ A ���y;l��?MLu]T��;l�=DE.#1M7I?45P02;E06H|B=iP76;=.�BC761�?M5\?45P02;�Q�] s ��q�02D�~=5\;^�Fj�L=.��

061@Ugfw.�1��Cp �(I � o��Fb2�;�½]��Fcº��_I�=�ýñ9r{l� -:�n9�.�;�<I7I1@?y7I;=[êq��u{|.#.6]|fl?�76~=5\iP5T?VUg5P;KD!0w[=�=iP.#Q�H±061G32.#;=.�1476iki\5P;=.�761�{|5P.�Q@�=Bn.�1M7IiT�

36.�~=1476Q�]���0ºSI7 s �Cp�i\32.�~�1M7�76;=[`-y.�02D!.#?41@U � o��2�6aA��]Ca6�2a>�V�2c2���ýñ9�`b� p+� A �º9Ð.�14.#;=Q@?4.�5\;^]6p+�ñ���G`u.#iP.�Sh5\;=Q4<FU6]6jY145PB�iP.�D��=iT?M5\B=iP5\O�5\?45P.#QnH±021rqos �Zt �)u � ! �|76;=[/?ML=.

Q@B�.#O#?414�=D&06H,?4L=.�.��w?M.�1@5P021�76iP36.�~=147!06Hk?ML=.�76[s>@025\;l?G14.#B=14.#Q4.#;l?M7I?M5\02;^] s ��pGiP32.#~=1M7I5POq�06D�~=5P;u� � � o��2�F�;��b����2�h�

ý e � X � e �=i\?402;^]&vb+>ôhû�& 5 ÷Ax�\Pó4÷6ô]«�6�"�úüö_$ 3 'A'*\«ú{#4÷6ößú{+>û� �ö�+Ü*ó�'*)Mó% �ó�ûCö ÷6ö�ú{+>û 5 $Có%+s)�ùÅ÷6ûnõwGó%+s|Nó�ö¤)�ùI] A 147IHü?�06Hk7:~�0w02< � o��2�F�G���

ý��Åo�� Jê�Y��765\DN76;u]Cm;`D!5w�h.#[v5\;=Q4.#1@?45P02;^]�Q@UwDED!.#?41@U6]�76;=[vQ4L=5THü?M.�[�x�02�=;�3!?M76~=iP.�76����] s �q�06D�~=5P;u��j�L=.#021@U`fh.#1��Cp wof � o)�2�2�A�Go)�2d>���6�2_h�

ý����s� Jê�v��7I5PDE76;^] A �=76iÐ.��l�=5\SI76i\.�;=O#.N�*5\?4Lë76B=B=i\5PO�7I?M5\02;=Q�]�5P;=O#iP�=[�5P;=3K7KO�02;¾>@.�O#?4�=14.W0IH��1@0hO�?M021#] A 5PQ@O�14.�?M.ÅJK7>?ML^� ��� � o��2�F�;��b6�>��o6o�a��

ý���f�� �Y����76;=i\02;�7I;=[gf���fh�=;=[=761M76Dv]�my;N7�~=5 >@.�O#?45P02;!~n.#?V�Ð.�.�;v{|5\?@?Mi\.#�Ð0h0w[h���*5PO�L=7614[=Q@02;�=iPiP5\;=32QÐ06HkO#02;s>@�=327I?M./Q4L=76B�.I] s �nq�02D�~=5\;^�=j�L=.#021@Ugfh.�1#�np �of � o��2�F�G�Go#��o)���ý s �� -:� s 76DE.#Q�76;�[ p���y.#14~n.�1�] 5 $Có0Ü�ó�'*)Mó% �ó�ûCö ÷6ö�ú{+>û 5 $Có%+s)�ùj+�ÐÙö_$Có6çYù]| |Nó�ö¤)½ú{#

w),+>ô-'n]´��;=O�UwO�iP06B�.#[=587þ06HvJK7I?4L=.�DE7I?45PO�Q 76;=[�5\?4Q pGB=B=iP5\O)7I?45P02;�Q �(� pG[=[=5PQ@02;h�X .�Q@iP.�U2]Y�*.)76[=5\;=3=]�J`76Q4Q476O�Ll�=Q4.�?4?MQ � o��2�ho¾���

ý���� s ���*.�D!DE.#i ]lj�L=.O#02D�~=5\;C7I?M0614587Ii � � � ñ¤�ø�VL=0w02<!fhO�Ll�=1rH±�=;�O#?M5\02;=Q#]Cq�02;F?M.#DEBu�=JK7>?ML^�I+a � o��2�I�y���2_6a>�¸�6�Fbh�a2�

Page 35: Tableau Switching: Algorithms and Applications Georgia Benkart

ýÿf�7ho�� 9G�ä���yfh763F76;^] 5 $Có6çYù]| |Nó�ö¤)½ú{#�w)%+>ô-'¦J�Ü*ó�'*)Mó% �ó�ûCö ÷6ö�ú{+>û� Q6 k +s|Ox�úüûn÷6ö�+s)½úß÷G\ 3 \úª&�+s)½úüö_$�|Q Q6/÷6ûnõ�çYùs| |Nó�ö¤)�ú{#jyuôhûr#�ößú{+>û� �]}XÚ76[�Q@�Ð021@?4Lë76;=[ë9Ð140w02<lQlz2q�02i\.6]��k76O#5<�CO-y140�S6.6]nqr76i\5\H±021@;=587 � o��2�ho¾���

ýÿf�72�s� 9G�ä���nf�763276;^]=O#02;FS2.�1@QM7I?45P02;u�ýÿfhOIo�� Jê�â�V���}fhO�Lkî�h?Mï�.#;l~�.#1432.#1�]_{�=.�i<�w��.�Q/14.#DN761I�l�=.�Q/Q4��1y�=;=.:O�06;=Q@?414�=O�?M5P06;ê[�.NfwO�L=.�;h�

Q�?M.#[^]nJK7I?4L�fhO�76;=[^� �( � o��2d2a;�Go2oºbº�Moº�6���ýÿfhO)�s� Jê�â�V���IfhO�Lkî��?4ï�.�;l~n.�1@32.�1#]l�"1@02D!06?M5\02;+[�.�QkD!021@B=L=5PQ@DEQ}[^ðñ.�;�Q4.�D�~=iP.#Q,0214[�02;=;}|.#Q�] A 5\Q��

O#14.�?M.+JK7I?4L^� � o��Fb2�;��bIa>�¸�6���ýÿfhL�� Jê�lfhL=5\DE02ï#02;=0=]2{}5T?4?4iP.#�Ð0w0h[h����5\O�LC761@[=Q402;�14�=i\.�Q�H±021�021@[=5P;C7I1@U�76;=[!B=140s>@.#O#?45\S2.*1@.�Bh�

1@.�Q@.�;F?�7I?45P02;�QN06H/Q�UhD!D!.#?M1@5POv321406�=B=Q�]*��L^� A ��j�L=.�Q@5PQ�] R ;�5\S2.#14Q@5\?VU 06H+qr76i\5\H±021@;=587�]fh76; A 5P.�360 � o��2�ho¾���

ýâj� -:�ÿ���j�L=06DN76Q#]!m;�7ÈO#02;=Q@?414�=O�?M5\02;�0IHWfhO�Lkî�h?Mï�.#;l~�.#1432.#1�] A 5PQ@O�14.�?M. JK7I?4L^� �s�� o��Fb2bG�Go�cFbº�Mo2o����ý X�� A � ���=XZL=5\?4.6]*��Uw~=1@5P[v?�76~=i\.)76���v76;=[v?ML=.+{|5\?4?4iP.���0w0h[w���*5PO�LC761@[=Q406;W14�=i\.6] A 5PQ@O�14.�?M.

J`7I?ML^� �'f � o��2�6cA��o��2a>�¸�6c2d��

a6a