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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 5 / 1

Syntax und Semantik

Die Syntax einer formalen Sprache kann als eine i.a. mehrsortige Algebra angesehen werden:

SYN = [(Ls)sS , (f)]SYN wird syntaktische Algebra genannt.Ls - Teilsprachen, Menge der syntaktischen Objekte der Sorte s,

grammatikalische Einheit, Elemente gleichen „Typs“ f - syntaktische Operationen, bildet aus syntaktischen Objekten

neue syntaktische Objekte Vergleiche Beispiele vorn: logische Ausdrücke, arithmetische Terme, Typ-2- Sprachen

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? Grammatik Orthographie ?

Kapitel 5


Zwei Niveaustufen der Syntax

• Ebene der „Sprachstruktur“ = Grammatik der Sprache• Ebene der „Rechtschreibung“ oder Orthographie

Beispiel Entwurf einer ProgrammierspracheEntscheidung über Varianten „bedingter Anweisungen“ zu treffen:

• „Ja-Nein-Verzweigung“: eine Bedingung, zwei Anweisungen

• „unvollständige bedingte Anweisung“:eine Bedingung, eine Anweisung

• „n-zweigige Fallunterscheidung“ (DIJKSTRAsche guarded commands):beliebige Anzahl Paare Bedingung - Anweisung

= rein grammatikalische bzw. strukturelle Ebene


Varianten für Notationen der „Ja-Nein-Verzweigung“:

• Cond ::= if Exp then Com else Com fi• Cond ::= case Exp true Com false Com• Cond ::= Exp Com , Com • Cond ::= ( Exp Com Com )

= Rechtschreibungsebene

Die üblichen Methoden der Syntaxdefinition von Programmier-sprachen wie BACKUS-NAUR-Form, Syntaxdiagramm, CHOMSKY-Grammatik erlauben es nicht, die strukturelle Ebene unabhängig von der Orthographie zu definieren.


Abstrakte Syntax Vergleiche vorn 7. Beispiel

Durch die Signatur der syntaktischen Algebra SYNwird die initiale Termalgebra (= irgendwie ausgezeichnete

variablenfreie Standardtermalgebra = Algebra der Ableitungsbäume )bestimmt. Diese heißt auch abstrakte Syntax ABS. Sie „trägt“ die Bedeutung der Sprachelemente. Die abstrakte Syntax repräsentiert also die strukturelleEbene der Syntax.Die orthographische Ebene, die in SYN ausgedrückt wird, ist von erheblicher pragmatischer Bedeutung.


Semantik

FREGEsches Prinzip: Gottlob Frege (1848-1925)

Die Bedeutung des Ganzen ist eine Funktion der Bedeutung seiner Teile. M [ g (t1,t2 ,...,tn) ] = ( M [t1],M [t2],...,M [tn] ) Bedeutung Teilkonstrukte Bedeutung der Teile

von Konstruktion g entsprechende eines Ganzen semantische Zusammensetzungs- funktion


Entsprechend den Eigenschaften der Termalgebren (Initialität !)existiert zu jeder beliebigen Algebra gleicher Signatur genauein Homomorphismus von der abstrakten Syntax in die gegebene Algebra.

• Kerngedanke der „Algebraischen Semantik“.

Jede Algebra mit derselben Signatur wie die syntaktische

AlgebraSYN (und die abstrakte Syntax ABS) kann damit als semantische Algebra SEM fungieren.Der durch SEM eindeutig festgelegte Homomorphismus von ABS in SEM heißt semantischer Homomorphismus undvermittelt die Semantik der Sprache. Durch ihn werden den syntaktischen Objekten aus SYNBedeutungen zugeordnet.


SYN SEM

semantischer

Homomorphismus

ABS

vermittelt die Semantik! Es ist = -1.-1 sollte Funktion, d.h. eindeutig sein, damit eindeutig ist.Bei Eindeutigkeit der Sprache ist auch SYN PEANO-Algebraund damit isomorph zu ABS, d.h. -1 auch Homomorphis-mus. Rolle der Rechtschreibung!


SYN SEM

(a1) = b1

(a2) = b2

(a1) = (a2) = e a1 ABS

a2

Mehrdeutigkeit (e) = b1 und (e) = b2

e

b1

b2

allgemeiner Fall:

für Programmier-sprachen untragbar!


Rolle der Rechtschreibung:

• Pragmatische Aspekte: Verständlichkeit (für den Menschen) durch Lesbarkeit, Übersichtlichkeit, Anknüpfen an Erfahrungen• Sicherung der syntaktischen Eindeutigkeit: geeigneter Einsatz von Klammern, Trennzeichen usw.

Semantische Eindeutigkeit:

Einzige Ausnahme der Zulassung von Mehrdeutigkeit!Wenn in SEM für (e) = b1 und (e) = b2 stets gilt: b1= b2

Beispiel: Assoziativität der Verkettung von Anweisungen

A1 ; A2 ; . . . ; An


Fortsetzung des 7. Beispiels Kontextfreie Grammatik, syntaktische Algebra, abstrakte Syntax

• TG war die abstrakte Syntax der durch die kontextfreie

Grammatik G gegebenen Signatur G, sie ist initial und

zugleich die Algebra der Ableitungsbäume.

• Jede weitere G-Algebra kann als semantische Algebra dienen.

• Zu dieser Algebra muß dann ein eindeutig bestimmter

Homomorphismus in diese existieren.

• Wir konstruieren nun im folgenden zu gegebener Signatur G

eine konkrete G-Algebra und betrachten den zugehörigen

semantischen Homomorphismus.


Fortsetzung des 7. Beispiels

Als Trägermengen wähle (alle gleich!)

T* - Wortmenge über Terminalalphabet

und die Operationen fp seien wie oben über (LA)AN definiert,

aber nun erweitert auf ganz T*.

D.h., zu Regel p P der Gestalt

A u1A1u2A2...unAnun+1 mit A, Ai N , uj T*

definiere Operation fp : T* T* ... T* T* mit

fp (x1, x2, ... , xn ) = u1x1u2x2...unxnun+1 .

Die sich ergebende Algebra sei mit DG bezeichnet:

DG = [(T*)AN , (fp)pP].



DG = [(T*)AN , (fp)pP].

Von TG in DG existiert der eindeutig bestimmte Homomorphis-

mus hD : TG DG .

Er ordnet jedem „Ableitungsbaum“ aus TG eine Zeichenreihe aus

T* zu, und zwar einem Ableitungsbaum der Sorte Ai (Wurzel ist Ai)

das durch die zugehörige Linksableitung erzeugte Wort aus, d.h.

das abgeleitete Wort aus LAi .

Als homomorphes Bild hD (TG ) erhalten wir also gerade SYNG .

Die „Zeichenreihenerzeugung“ kann also auch als Semantik der

durch die Grammatik G festgelegten abstrakten Syntax TG ange-

sehen werden!



Beispiel (vergleiche vorn): T = { +, ), (, a, b } Terminalzeichen rot!

Regelnamen Regeln Operationen fp (p) = (w,s)

+ A (A+B) f+ (x1, x2) = (x1+x2) (AB, A)

a A a fa = a (A)

b B b fb = b (B)

Betrachte aus TG,A : ++abb

hD,A (++abb) = f+ (hD,A (+ab), hD,B (b))

= f+ (f+ (hD,A (a), hD,B (b)), fb )

= f+ (f+ (fa, fb), b )

= f+ (f+ (a, b), b )

= f+ ((a+b) , b )

= ((a+b) +b)


Die „Algebraische Semantik“

• Methode der Semantikdefinition• oft auch denotationale Semantik genannt

Durch geeignete Beschreibung der gemeinten semantischen Algebra SEM wird die beabsichtigte Semantik festgelegt.

Die sog. denotationale Semantik entwickelt u.a. spezifische Begriffe und Hilfsmittel zur Beschreibung der semantischen Operationen und Bereiche. Durch geeignete Wahl der semantischen Bereiche („vollständigeHalbordnungen“) wird die Existenz benötigter semantischer Konstruktionen (z.B. Fixpunkte) zur Beherrschung „komplizier-terer“ Programmkonstrukte (z.B. Iterationen) gesichert.


Beispiel zur „algebraischen Semantik“

Vergleiche vorn Beispiel für heterogene Algebra: einfache Programmiersprache

SYN = [Ide, Exp, Com; (fp)pP]P ist dabei die Menge der Namen, die den Produktionsregeln derdefinierenden BNF zugeordnet wurden. siehe vorn

Wir setzen nunSEM = [Ide, Ed, Cd; (gp)pP].

Ide erste Trägermenge in SYN wie in SEM, d. h. die „Identifier“ sollen sich selbst bezeichnen!

Ed steht für „expression denotations“ Cd steht für „command denotations“ gp - semantische Operationen

Zur Definition der Mengen Ed, Cd und der Funktionen gp werden zunächst Hilfsoperationen und Hilfsbereiche eingeführt:


Beispiel zur „algebraischen Semantik“ (Forts.)

Wertemengen: V = Nz Bool, Nz = {0,1,2, ...}, Bool = {T, F}

Hilfsfunktionen: + - Addition in Nz, - Negation in Bool,auf V erweiterte Funktionen:

v1 + v2, falls v1,v2Nzplus: V V V mit plus(v1,v2) = err sonst

v, falls vBool non: V V mit non(v) = err sonst

! Generell alle Funktionen bzgl. err strikt erweitern!



Es wird festgelegt S = Ide (V {err}) als Zustands- bzw. Belegungsmenge, auch für „unbestimmt“, kein Wert zugewiesen

F = M N Menge aller Funktionen von M in N

Semantische Bereiche:

Ed = S (V {err}) Ausdrucksbedeutungen

Cd = S (S {err}) Anweisungsbedeutungen----------------------------------

Für die folgende Definition der semantischen Operationen seien immer s S, I Ide, e, e', e1, e2 Ed, c, c1, c2 Cd.



Semantische Operationen gp (pP)g0 : Ed ( d.h. g0 Ed ) mit g0 (s) = 0g1 : Ed ( d.h. g1 Ed ) mit g1 (s) = 1gtrue : Ed ( d.h. gtrue Ed ) mit gtrue (s) = Tgfalse: Ed ( d.h. gfalse Ed ) mit gfalse (s) = FgI : Ed ( d.h. gI Ed ) mit gI(s) = s(I)

g : Ed Ed mit g (e) = e' , wobei e'(s) = non(e(s))

g= : Ed Ed Ed mit g= (e1, e2) = e ,

T , falls e1(s) = e2(s) V, wobei e(s) = F , falls e1(s), e2(s) V, e1(s) e2(s),

err sonst.

konstanteFunktionen!



g+: Ed Ed Ed mit g+ (e1, e2) = e , wobei e(s) = plus(e1(s),e2(s))

g:= : Ide Ed Cd mit g:= (I, e) = c ,

wobei c(s) = s[e(s) I] Funktionsabänderung an genau einer Stelle

gif : Ed Cd Cd Cd mit gif (e, c1, c2) = c ,

c1(s) , falls e(s) = T, wobei c(s) = c2(s) , falls e(s) = F,

err sonst.

g; : Cd Cd Cd mit g; (c1, c2) = c ,

wobei c(s) = c2(c1(s)).



Damit haben wir

SYN = [Ide, Exp, Com; (fp)pP]als syntaktische Algebra. Sie ergibt sich mit der allgemeinen Methode der Zuordnung der syntaktischen Algebra zur definierenden kontext-freien Grammatik. Wir erkennen, daß SYN wegen der syntaktischenEindeutigkeit der Sprache selbst PEANO-Algebra ist. Und wir habennun

SEM = [Ide, Ed, Cd; (gp)pP]als semantische Algebra. Der eindeutig bestimmte Homomorphismus

h : SYN SEMmit h = (hI, he, hc), wobei

hI = Ide (Identität über Ide) he : Exp Ed hc : Com Cd ,

legt die Semantik der Sprache fest.



Beispiel zur Berechnung der Semantik: Syntax grün, Semantik blau

Programm x := 1 ; a := (a + x)

( a, x Ide vorausgesetzt) Wir wenden den Homomorphismus h : SYN SEM an: h( x := 1 ; a := (a + x) )= hc( f; (x := 1, a := (a + x)) ) = hc( f; ( f:= (x , 1), f:= (a, (a + x))) ) = hc( f; ( f:= (x , f1 ), f:= (a, f+(a, x) )) ) = g; ( hc( f:= (x , f1 ) ), hc( f:= (a, f+(a, x) ) ) ) = g; ( g:= ( hI(x), he(f1 ) ), g:= ( hI(a) , he( f+(a, x) )) ) = g; ( g:= ( x, g1), g:= ( a , g+ ( he(a), he(x) ) ) ) = g; ( g:= ( x, g1), g:= ( a , g+ ( he(fa), he(fx ) ) ) ) = g; ( g:= ( x, g1), g:= ( a , g+ ( ga, gx) ) ) = c Cd



Die Bedeutung des gegebenen Programms ist also die erhaltene„Belegungsänderungsfunktion“ c aus Cd.Wegen Cd = S (S {err}) kann man die Wirkung auf einegegebene Belegung s ausrechnen. Z.B. sei s(x) = 0 , s(a) = n . c(s) = [g; ( g:= ( x, g1), g:= ( a , g+ ( ga, gx) ) )](s) = g;( c1 , c2) (s) = c2 (c1(s)) mit

c1(s) = g:= ( x, g1)(s) = s[g1(s) x] = s[1 x] =df s1, d.h. s1(x) = 1 , s1(a) = n,

c(s) = c2(s1) = g:= (a , g+ ( ga, gx))(s1) = s1[ w a] mit w = g+ ( ga, gx)(s1) = plus(ga(s1),gx(s1)) = plus(s1(a), s1(x))

= plus(n, 1) = n + 1,d.h. c(s) = s1[ w a] = s1[ n + 1 a] =df s2 ,

d.h. s2(x) = 1 , s2(a) = n + 1.


Wertberechnung und Substitution Wir betrachten eine beliebige Ausdrucksalgebra

= [(Es)sS , (f) ] über dem Alphabet X als gegebene syntaktische Algebra, z.B.eine Algebra logischer Ausdrücke. Zu einer vorgegebenen semantischen Algebra

= [(As)sS , (g) ]

und jeder -Belegung b von X, d.h. bs: Xs As , existiert nach dem Fortsetzungssatz eindeutig ein Homomorphismus b*, der bfortsetzt.b stellt eine Belegung der Variablen von X mit Werten aus A dar, b* damit die Auswertung der Ausdrücke in dem semanti-schen Bereich bei der Belegung b : semantischer Homomorphismus

b* = wert(--, b) = wertb , d.h. b*(e) = wert(e, b) = wertb(e) für eE


Nun wählen wir als „semantische Algebra“ wieder die Ausdrucksalgebra

= [(Es)sS , (f) ]selber. Damit haben wir einen Spezialfall:

Jede -Belegung s von X, s : X E , ordnet den Variablensortenrein Ausdrücke zu, stellt damit also eine sog. simultane Einsetzung von Ausdrücken für Variablen dar, die „Auswertung“der Ausdrücke bei einer solchen Einsetzung ist durch derenhomomorphe Fortsetzung s* : E E gegeben! s* beschreibt die Wirkung der Einsetzung s auf Ausdrücke und heißt deshalb Substitutionsendomorphismus oder nur kurzSubstitution.Substitutionsendomorphismus

s* = sub(--, s) = subs , d.h. s*(e) = sub(e, s) = subs(e) für eE

Substitution ist ein Spezialfall der Semantik!


Wertänderung bei Substitution: = [E , F] sei eine -Ausdrucksalgebra über X und = [A , G]eine beliebige -Algebra. b : X A sei eine -Belegung von X und s : X E bezeichne eine Einsetzung. Ist dann b' : X A die wie folgt durch die Einsetzung s festgelegte -Belegung mit

b'(x) = wert(s(x), b) für alle x X ,so gilt für alle e E:

wert(sub(e, s), b) = wert(e, b') .

Beweis: Nach Voraussetzung ist b' = b* s . Außerdem ist b* s* Homomorphismus von in und es gilt

(b* s*)|X = b* s*|X = b* s = b' . Wegen der Eindeutigkeit der homomorphen Fortsetzung von b' ist damit b'* = b* s* , was behauptet wurde.

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