symbolic math toolbox · integrais, equações diferenciais e algébricas utilizando-se esta...

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Symbolic Math Toolbox

◼ O Toolbox de Matemática Simbólicadisponibiliza uma coleção de diversas funçõesdo MATLAB utilizadas para calcular operaçõesbásicas, tais como: derivadas, limites, integrais,expansão da serie de Taylor, e outrasoperações. A manipulação simbólica noMATLAB pode ser vista como uma evolução domodo como você utiliza o MATLAB paraprocessar números.

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◼ A grande vantagem de se utilizar talprocesso é que podemos obter resultadosmais exatos, eliminando-se assim aimprecisão introduzida pelos valoresnuméricos. Podemos resolver derivadas,integrais, equações diferenciais ealgébricas utilizando-se esta poderosaferramenta.

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EXPRESSÕES SIMBÓLICAS

Deve-se entender por Expressão simbólica as

expressões que contêm objetos simbólicos que

podem representar números, funções e operações

e variáveis.

Dica: As variáveis simbólicas não precisam de um

valor numérico. Esta variável simbólica representa

apenas um símbolo de uma expressão simbólica.

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EXPRESSÕES SIMBÓLICAS

Exemplos: 3x )5( 4xdx

dz =

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O MATLAB disponibiliza várias funções quetrabalham com funções polinomiais e que podem serutilizadas para representar funções polinomiais.Dentre elas, encontram-se as seguintes funções:

collect

expand

factor

simplify

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collect

Organiza os coeficientes

◼ Sintaxe

collect( f )

mostra um polinômio f em sua variável simbólica, seja x, e

organiza todos os coeficientes com a mesma potência de x.

Um segundo argumento pode especificar a variável que se deve

organizar se houver mais de uma variável simbólica possível.

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Symbolic Math Toolboxcollect(f)

1) Escreva a função y = (x+1)^3 na forma polinomial

>> clear % Limpa a Janela de Comandos

>> x = sym('x'); % Define a variavel simbolica “x”

>> y = (x + 1)^3; % Define a função y = f(x)

>> collect(y); % Organiza os coeficientes

>> pretty(ans) % Exibe o resultado

x3 + 3x2 + 3x + 1

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Agora é com você!!!

Escreva a função y = (x + 1)(x + 2) na forma

polinomial.

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◼ collect( f, nome da variável simbólica)

A função collect neste caso aceita um segundo argumento

que especifica que variável simbólica deve ser utilizada

para organizar o polinômio.

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Symbolic Math Toolboxcollect(f, nome da variável simbólica)

2) Escreva a função f(x,z) = (x + 1)^3 + z na forma polinomial.

>> x = sym('x'); % Define a variável simbólica x

>> z = sym(‘z’); % Define a variável simbólica z

>> y = (x +1)^3 + z; % Define a função y = f(x,z)

>> collect(y,x); % Organiza os coeficientes em x


x3 + 3 x2 + 3 x + 1 + z

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Escreva a função y = (x + 1)^3 + (z + 1)^2

na forma polinomial, em termos de z.

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◼ expand

realiza a distribuição de produtos para polinômios

e aplica outras identidades que envolvem funções

de somas, identidades trigonométricas, exponenciais

e logaritmos.

Sintaxe

◼ expand( f )

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Symbolic Math Toolboxexpand(f)

3) Escreva a função y = (x+1)^3 na forma polinomial

>> clear % Limpa a Janela de Comandos

>> x = sym('x'); % Define a variavel simbolica “x”

>> y = (x + 1)^3; % Define a função y = f(x)

>> expand(y); % Realiza o produto polinomial


x3 + 3x2 + 3x + 1

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expand X collect

Além de representar funções polinomiais a função ébastante útil na manipulação de expressões simbólicastrigonométricas, exponenciais, hiperbólicas, entre outrasfunções. Esta é uma das características marcantes quediferenciam a função expand da collect. A funçãoexpand é bem mais robusta, porque trabalha commuitos tipos de funções, enquanto a função collect érestrita apenas a funções polinomiais. Podemos, dizerque a função expand é uma evolução da função collect,agregando-se novas funcionalidades.

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Symbolic Math Toolboxexpand

4) Obtenha a forma expandida da funçãotrigonométrica cos(x + y).

x = sym(‘x’); % Cria a variável simbólica x.

y = sym(‘y’); % Cria a variável simbólica y.

expand(cos(x+y)) % Realiza a operação

ans = % Variável padrão do matlab

cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y) % Resultado

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Obtenha a forma expandida da função

exponencial exp(x + y).

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Symbolic Math ToolboxFactor

Fatoração

◼ Sintaxe

factor(X)

Esta função obtém a forma fatorada de um polinômio.Na sintaxe da função X, pode ser apenas a expressãosimbólica. Ou um array simbólico contendo váriosexpressões simbólicas. No caso de utilizar um array, afunção factor retorna um array com as expressõessimbólicas correspondentes.

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◼ Uso da Função factor

Calcular os fatores primos de um número

inteiro.

Obter a forma polinomial fatorada.

Simplificar expressões simbólicas.

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Symbolic Math ToolboxFactor(x)

5) Calcule os fatores dos seguintes números 15 e 50.

>> factor(15)

ans =

3 5

>> factor(50)

ans =

2 5 5

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Factor

◼ Observação:

O maior valor inteiro que a função factor

aceita é um numero inteiro de até 16 dígitos,

se o número tiver uma quantidade de dígitos

superior a 16. Devemos usar o sym para criar

um elemento.

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Symbolic Math ToolboxFactor(x)

5) Calcule os fatores do número

>> factor(15)

ans =

3 5

>> factor(50)

ans =

2 5 5

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Factor(x)

5) Calcule os fatores do número 12345678901234567890

>> factor(sym('12345678901234567890'))

ans =

(2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)

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6) Obtenha a forma fatorada da equação

y = x^3 +3*x^2 + 3*x + 1

>> x = sym('x'); % Cria a variável simbólica x.

>> y = x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1 % Define a função y = f(x)

>> factor(y); % Fatoração


(x + 1)^3

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Obtenha a forma fatorada da equação

y = x^2 + 3*x + 2

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Symbolic Math ToolboxSimplify

Simplificação simbólica.

◼ Sintaxe:

R = simplify(S)

A função simplify é uma ferramenta poderosa, que emgeral aplica várias identidades algébricas que envolvemsomas, potência inteira, raízes quadradas e potênciafracionária, como também vários identidades queenvolvem funções trigonométricas, exponencial e funçõesde Bessel, função gama, etc.

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7) Simplifique a seguinte expressão:

>> x = sym('x'); % Cria a variável simbólica x.

>> y = (x^3 + 8)/(x^4 - 16); % Define a função y = f(x)

>> z = factor(y)

>> simplify(y); % Simplificação simbólica


x^2 - 2x + 4

-------------------

x^3 - 2x^2 + 4x - 8

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84

3

−

+=

x

xy

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Simplifique a seguinte expressão: 8

23 −

−=

x

xy

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8) Simplifique a seguinte expressão

>> x = sym(‘x’); % Cria a variável simbólica x.

>> y = cos(x)^2 + sin(x)^2; % Define a função y = f(x)

>> simplify(y); % Simplificação simbólica


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)(sin)(cos 22 xxy +=

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9) Simplifique a seguinte expressão:

>> syms x y positive % Cria as variáveis simbólicas

x e y, ambas positivas.

>> simplify(log(x*y)); % Simplificação simbólica


log(x) + log(y)

)*log( yx

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Simple

Busca a forma mais simplificada para a expressão simbólica.

◼ Sintaxe:

r = simple( S )

[r,how] = simple( S )

A função simple(S) tenta várias simplificações algébricasdiferentes na expressão simbólica S, exibe a representação demenor comprimento para S. S é um sym. Se S for uma matriz, oresultado indica a representação mais curta da matriz inteiraque necessariamente não é a representação mais curta decada elemento individual.

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10 ) Simplifique a expressão y = (x + 1)(x + 2)

>> x = sym(‘x’); % Cria a variável simbólica x.

>> simple((x+1)(x+2)) % Simplificação

ans =

x^2+3*x+2

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Simplifique a expressão )(sin)(cos2 22 xxy −=

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pretty

Esta função imprime uma expressão simbólica.

◼ Pretty(expressão simbólica).

A grande vantagem do uso da função pretty quando trabalha-secom matemática simbólica é que a exibição da expressãosimbólica é a mais clara possível.

Dica: Ao trabalhar com matemática simbólica, sempre use afunção pretty, para tornar mais legível a expressão simbólicamostrada na tela.

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