sw seismic wave propagation 95 p50

7/29/2019 SW Seismic Wave Propagation 95 p50

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S W

S e i s m i c W a v e P r o p a g a t i o n

M o d e l i n g a n d I n v e r s i o n

o p y r i g h t ( C ) 1 9 9 1 , 1 9 9 2 , 1 9 9 3 , 1 9 9 4 , 1 9 9 5 b y t h e C o m p u t a t i o n a l S c i e n c e E d u c a t i o n P r o j e c t

u t h o r : P h i l B o r d i n g ( b o r d i n g c s e p 1 . p h y . o r n l . g o v )

h i s e l e c t r o n i c b o o k i s c o p y r i g h t e d , a n d p r o t e c t e d b y t h e c o p y r i g h t l a w s o f t h e U n i t e d S t a t e s .

h i s ( a n d a l l a s s o c i a t e d d o c u m e n t s i n t h e s y s t e m ) m u s t c o n t a i n t h e a b o v e c o p y r i g h t n o t i c e .

f t h i s e l e c t r o n i c b o o k i s u s e d a n y w h e r e o t h e r t h a n t h e p r o j e c t ' s o r i g i n a l s y s t e m , C S E P m u s t

e n o t i e d i n w r i t i n g ( e m a i l i s a c c e p t a b l e ) a n d t h e c o p y r i g h t n o t i c e m u s t r e m a i n i n t a c t .

I n t r o d u c t i o n t o W a v e P r o p a g a t i o n

h e p r o p a g a t i o n o f e n e r g y v i a w a v e s i s a f a m i l i a r p h e n o m e n o n i n o u r e v e r y d a y l i f e . T h e

a r t i c u l a r w a v e s t o b e s t u d i e d h e r e a r e s e i s m i c w a v e s w h i c h a r e i n t e n t i o n a l l y c r e a t e d t o

m a g e t h e i n t e r i o r o f t h e e a r t h 1 ] , 8 ] a n d 2 1 ] . O u r t h r e e d i m e n s i o n a l e a r t h c o n s i s t s o f m o r e

h a n t h e g e o l o g i c a l s t r u c t u r e s w e a r e a c c u s t o m e d t o t h i n k i n g a b o u t , m u c h o f t h e e a r t h i s

u i d o r u i d - l i k e . H e r e t h e p r i n c i p a l u i d s o f i n t e r e s t a r e h y d r o c a r b o n s . T h e o t h e r e s s e n t i a l

u i d t o c o n s i d e r i s w a t e r . T h e u i d - l i k e m a t e r i a l s i n c l u d e t h e m a n y g a s e s t r a p p e d i n e a r t h ,

a s e s l i k e c a r b o n d i o x i d e , h e l i u m , a n d n a t u r a l g a s . A c t u a l l y , w e m a y n o t b e a w a r e o f t h e

e s s v i s i b l e s u b s u r f a c e s t r u c t u r e , b u t a l l o f t h e s u r f a c e g e o l o g y y o u c a n o b s e r v e , a n d m o r e ,

x i s t s i n s o m e f o r m u n d e r t h e s u r f a c e .

T o n d a c c u m u l a t i o n s o f p e t r o l e u m r e q u i r e s a n i n t i m a t e k n o w l e d g e o f t h e s u b s u r f a c e

e o l o g y , t h e h i s t o r y o f t h e m a t e r i a l s o u r c e a n d t h e s t r u c t u r e o f t h e s u b s u r f a c e . A r e s e r v o i r

e q u i r e s p o r o s i t y , a s e a l i n g m e c h a n i s m , a n d a h y d r o c a r b o n s o u r c e . T h e s t o r a g e c a p a c i t y i s

e p e n d e n t o n t h e p o r o s i t y , t h e s e a l p r e v e n t s l e a k a g e o f t h e h y d r o c a r b o n s , a n d t h e s o u r c e

e n e r a t e s t h e h y d r o c a r b o n s . N o t e , t h e s o u r c e r o c k s a r e n o t a l w a y s t h e s a m e a s t h e r e s e r v o i r

o c k s .

T o p r o d u c e h y d r o c a r b o n s t h e r e s e r v o i r m u s t b e f o u n d a n d b e c a p a b l e o f p r o d u c i n g u -

d s . T h e i n t e r c o n n e c t i o n s o f t h e p o r o u s s p a c e s , t h e p e r m e a b i l i t y , p e r m i t s o w o f t h e g a s e s

n d l i q u i d s . T i g h t l y c o n n e c t e d p o r o u s s p a c e s a r e d i c u l t p r o d u c e r s , b u t w e l l c o n n e c t e d

p a c e s h a v e g o o d p e r m e a b i l i t y a n d a r e p r o d u c t i v e . T h e o i l e x p l o r a t i o n p r o c e s s n d s p o s s i b l e

r i l l i n g l o c a t i o n s , a n d t h e a c t u a l d r i l l i n g o f a w e l l i s u s e d t o t e s t t h e g e o l o g i c a l h y p o t h e s i s

f h y d r o c a r b o n e x i s t e n c e .

W e s h a l l s t u d y t h e s e i s m i c m e t h o d f o r d e t e r m i n i n g t h e s u b s u r f a c e s t r u c t u r e . T h e g e o -

h y s i c a l t e c h n i q u e i s t o g e n e r a t e a r t i c i a l s e i s m i c w a v e s a n d r e c o r d t h e i r r e e c t i o n s f r o m


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m p e d a n c e d i e r e n c e s w i t h i n t h e e a r t h . E c h o e s c o m e f r o m t h e r e e c t i o n s c r e a t e d b y r e l a -

i v e l y h a r d s u r f a c e s w h e r e t h e i m p e d a n c e c h a n g e s .

M a t h e m a t i c a l l y , t h e s i m p l e s t h y p e r b o l i c p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s t h e c o n s t a n t d e n -

i t y a c o u s t i c w a v e e q u a t i o n . T h e b a s i s f o r u s i n g t h i s p a r t i c u l a r w a v e e q u a t i o n 2 ] w i l l b e

e v e l o p e d f u r t h e r . B e c a u s e t h e c o m p u t a t i o n a l e o r t o f s o l v i n g t h r e e d i m e n s i o n a l p r o b l e m s

1 6 ] C h a p t e r 1 0 a n d 1 5 ] C h a p t e r 1 ) e x c e e d s m o s t c o m p u t i n g e n v i r o n m e n t s , t h i s s t u d y w i l l

r i m a r i l y f o c u s o n o n e a n d t w o d i m e n s i o n a l p r o b l e m s . A l l t h e t e c h n i q u e s a n d a l g o r i t h m s

r e s e n t e d h e r e c a n b e d i r e c t l y e x t e n d e d t o t h r e e d i m e n s i o n s .

T h e c o n s t a n t d e n s i t y a s s u m p t i o n s i m p l i e s m o d e l r e p r e s e n t a t i o n : o n l y a s o u n d s p e e d

s r e q u i r e d . T h e e a r t h d e n s i t y v a r i a t i o n i s i m p o r t a n t f o r m o d e l i n g a n d i m a g i n g . H o w e v e r ,

e g l e c t i n g d e n s i t y v a r i a t i o n w i l l s t i l l p r o v i d e a u s e f u l w a v e e q u a t i o n . O n e a d d i t i o n a l c o m m e n t

b o u t e a r t h p a r a m e t e r s : s u r f a c e m e a s u r e m e n t s u s i n g p h y s i c a l m e t h o d s u s e p o t e n t i a l e l d s ,

r a v i t y f o r e x a m p l e . T h e s e p h y s i c a l m e a s u r e m e n t s a r e o f a d i e r e n t s c a l e c o m p a r e d t o

e e c t i o n s e i s m o l o g y . T h e s e i s m i c d a t a w a v e l e n g t h h a s s u c i e n t r e s o l u t i o n f o r s t r u c t u r a l

m a g i n g . R e s o l u t i o n o f t h e s e i s m i c e x p e r i m e n t i s a d i r e c t f u n c t i o n o f t h e w a v e l e n g t h t h e

h o r t e r t h e w a v e l e n g t h t h e h i g h e r t h e r e s o l u t i o n .

T h e a c o u s t i c a s s u m p t i o n i s a l s o i n c o n t r a s t t o t h e e l a s t i c a s s u m p t i o n . A u i d m e d i u m

u p p o r t s t h e p r o p a g a t i o n o f a p r e s s u r e w a v e . A n e l a s t i c m e d i u m s u p p o r t s b o t h s h e a r a n d

r e s s u r e w a v e s . M a r i n e s e i s m i c d a t a a r e c o l l e c t e d u s i n g w a t e r b o r n e r e c e i v e r s o r r e c e i v e r s

h i c h r e s t o n t h e o c e a n b o t t o m . P r o p a g a t i o n o f s h e a r e n e r g y i s r e s t r i c t e d t o s o l i d m e d i a ,

n d t h i s m a k e s l a n d s e i s m i c m e a s u r e m e n t t h e p r i n c i p a l g e n e r a t o r o f e l a s t i c s e i s m i c d a t a .

o w e v e r , i t i s p o s s i b l e t o n d m o d e c o n v e r t e d e l a s t i c i n f o r m a t i o n w i t h i n a n a c o u s t i c m a r i n e

e i s m i c d a t a s e t . I n a n e l a s t i c m e d i u m w h e n w a v e s i m p i n g e o n a r e e c t o r , b o t h s h e a r a n d

r e s s u r e w a v e s a r e c r e a t e d , i . e . t h e r e i s a m o d e c o n v e r s i o n .

S e i s m i c p r e s s u r e w a v e s a r e r e c o r d e d b y u s i n g a g e o p h o n e , a m i c r o p h o n e o n a s p i k e . T h e

e o p h o n e h a s a s m a l l w e i g h t w h i c h i s s p r i n g m o u n t e d w i t h a m a g n e t a n d a c o i l o f w i r e

h e p r e s s u r e w a v e f r o m t h e v i b r a t i n g e a r t h g e n e r a t e s a v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t m o v i n g t h e

o i l w h i l e t h e w e i g h t t r i e s t o r e s i s t t h i s m o t i o n . T h e m a g n e t i c e l d g e n e r a t e s a v o l t a g e

r o p o r t i o n a l t o t h e e a r t h a c c e l e r a t i o n . E l a s t i c w a v e s h a v e t h r e e c o m p o n e n t s o f d i s p l a c e m e n t .

h r e e g e o p h o n e s a r e a l i g n e d i n o r t h o g o n a l d i r e c t i o n s t o m e a s u r e t h e p r e s s u r e w a v e a n d t h e

w o s h e a r w a v e s .

T h e s e i s m i c w a v e i s m a n - m a d e a n d r e q u i r e s a s i g n i c a n t a m o u n t o f e n e r g y t o p r o p a g a t e

n y d i s t a n c e i n t h e e a r t h . D y n a m i t e c h a r g e s a r e u s e d t o g e n e r a t e t h e p r i m a r y p r e s s u r e w a v e

P - w a v e ) a n d s o m e s h e a r w a v e e n e r g y ( S - w a v e ) .

T h e M o d e l i n g D o m a i n a n d W a v e E q u a t i o n s

h e a c o u s t i c w a v e e q u a t i o n i n t w o d i m e n s i o n s r e l a t e s t h e s p a t i a l d e r i v a t i v e s t o t h e t i m e

e r i v a t i v e . U s i n g t h e a c o u s t i c a p p r o x i m a t i o n t h e w a v e e q u a t i o n i s d e r i v e d i n S e c t i o n 4 . T h e

i m e n s i o n a l i t y o f t h e e q u a t i o n r e q u i r e s a m e d i a v e l o c i t y C ( x z ) , t h e s o u n d s p e e d . I n t h e

w o d i m e n s i o n a l m o d e l o f F i g u r e 1 t h e s u r f a c e c o o r d i n a t e i s x a n d t h e d e p t h c o o r d i n a t e i s


3/50

T h e M o d e l i n g D o m a i n a n d W a v e E q u a t i o n s 3

R e c e i v e r s

5 5 5

*k

k

S o u r c e ( B u r i e d )

@

@I

5 5 5

S u r f a c e

;

;

?

D

e

p

t

h

-

xo r i g i n

z

G e o l o g i c a l L a y e r s

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

R e s e r v o i r R o c k

O i l Z o n e

H

H

HY

G e o l o g i c a l M o d e l B o u n d a r y

-

F i g u r e 1 : G e o l o g i c a l M o d e l

w i t h t h e p o s i t i v e a x i s d o w n , a t r a d i t i o n i n t h e o i l i n d u s t r y . T h i s h a l f s p a c e i s d e n e d f o r

m a x

z 0 a n d f o r a b o u n d e d x

m i n

x x

m a x

T h e p r e s s u r e w a v e e l d i s a n d t h e s e i s m i c s o u r c e i s s r c ( t ) . T h e i n h o m o g e n e o u s c o n s t a n t

e n s i t y t w o d i m e n s i o n a l w a v e e q u a t i o n i s

1

C ( x z )

2

@

2

@ t

2

=

"

@

2

@ x

2

+

@

2

@ z

2

#

+ s r c ( t ) ( 1 )

h i s e q u a t i o n i s h y p e r b o l i c a n d t h e i n h o m o g e n e i t y i s d u e t o t h e v a r i a b l e m o d e l v e l o c i t i e s .

h e s e i s m i c s o u r c e s r c ( t ) i s a p p l i e d a t o r n e a r t h e s u r f a c e . S o u r c e s a r e s o m e t i m e s b u r i e d

o i m p r o v e t h e s i g n a l s t r e n g t h a n d t o r e d u c e n o i s e g e n e r a t e d b y t h e n e a r s u r f a c e . R e c e i v e r s

r e p l a c e d i n a l i n e p a r a l l e l t o t h e e x p e c t e d p r i n c i p a l d i p o f t h e s u b s u r f a c e . T h i s i s d o n e t o

e d u c e t h e e n e r g y s c a t t e r i n g b y o u t o f p l a n e r e e c t o r s .

T h e r e s t o f t h i s c h a p t e r i s o r g a n i z e d i n t h e f o l l o w i n g m a n n e r :

T h e r s t o r d e r w a v e e q u a t i o n i s p r e s e n t e d .

T h e w a v e e q u a t i o n i s d e v e l o p e d f r o m r s t p r i n c i p l e s .

M o d e l r e s u l t s f o r a o n e d i m e n s i o n a l p r o b l e m a r e u s e d t o i l l u s t r a t e t h e r e e c t i o n c o e f -

c i e n t .

A m a t r i x f o r m u l a t i o n f o r c o m p u t i n g d i e r e n c e w e i g h t s i s r e v i e w e d .

T h e s e i s m i c s o u r c e i s p r e s e n t e d a s a n u m e r i c a l m e t h o d t o p r o d u c e r e a l i s t i c s e i s m i c

w a v e s w i t h a n i t e d u r a t i o n i n t i m e a n d l i m i t e d i n b a n d w i d t h .

A g e o l o g i c a l m o d e l i s d e n e d a n d t w o m e t h o d s a r e p r e s e n t e d w h i c h r e d u c e u n w a n t e d

r e e c t i o n s f r o m t h e m o d e l b o u n d a r i e s .

T h e e x p l o d i n g r e e c t o r m o d e l i s i n t r o d u c e d a s a m e t h o d t o g e n e r a t e a s y n t h e t i c s e i s -

m o g r a m .

T h e \ r e v e r s e " t i m e i m a g i n g c o n c e p t i s p r e s e n t e d t o p r o c e s s t h e s y n t h e t i c s e i s m i c d a t a .


4/50

t

( 0 0 )

O r i g i n

x

0

x

1

x

2

x

3

( t = 0 x = x

i

) i = 0 1 2 3

x

t

x

t

= c

F i g u r e 2 : F i r s t O r d e r W a v e E q u a t i o n

T h e s e i s m i c m o d e l i n g a n d i m a g i n g c o d e s a r e i n t r o d u c e d w i t h o p e r a t i n g i n s t r u c t i o n s

a n d s e v e r a l e x a m p l e m o d e l s .

h e s e i s m i c d a t a a r e t o o c o m p l e x t o v i s u a l i z e a s n u m b e r s s o v i s u a l i z a t i o n t o o l s a r e p r o v i d e d

o h e l p i n u n d e r s t a n d i n g t h e m o d e l i n g a n d i m a g i n g p r o c e s s .

F i r s t O r d e r W a v e E q u a t i o n

o n c e p t u a l l y , a r s t o r d e r h y p e r b o l i c w a v e e q u a t i o n i s t h e s i m p l e s t w a v e p r o p a g a t i o n m o d e l .

h e c h a r a c t e r i s t i c s o l u t i o n 2 0 ] i n t h e t i m e { s p a c e d o m a i n f o r t h e h o m o g e n e o u s , c o n s t a n t

e l o c i t y m o d e l i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 2 . T h e r s t o r d e r h y p e r b o l i c s y s t e m , E q u a t i o n 2 , h a s

n a n a l y t i c s o l u t i o n , ( x ; c t ) . T h e i n i t i a l c o n d i t i o n i s ( t = 0 x = x

i

) a n d t h e s l o p e o f t h e

h a r a c t e r i s t i c s o l u t i o n i s t h e m e d i a v e l o c i t y c

@

@ x

+

1

c

@

@ t

= 0 ( 2 )

h e s i g n o f = 1 , o f E q u a t i o n 2 d e t e r m i n e s t h e p r o p a g a t i o n d i r e c t i o n o f t h e w a v e . I f

i s p o s i t i v e , t h e w a v e p r o p a g a t e s t o t h e r i g h t . B i d i r e c t i o n a l w a v e s a r e a p r o p e r t y o f t h e

e c o n d o r d e r h y p e r b o l i c w a v e e q u a t i o n . T o d e v e l o p a n o n - r e e c t i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n ,

e y n o l d s 1 8 ] u s e d r s t o r d e r s y s t e m s s i m i l a r t o E q u a t i o n 2 . T h i s m e t h o d o f R e y n o l d s i s

r e s e n t e d i n S e c t i o n 1 5 .

W a v e E q u a t i o n

o d e v e l o p t h e w a v e e q u a t i o n , E q u a t i o n 1 , f r o m r s t p r i n c i p l e s w e w i l l c o n s i d e r t h e d i s t u r -

a n c e o f a u i d - l i k e m e d i u m . T h e c o n s e r v a t i o n o f m a s s a n d m o m e n t u m p r o v i d e t h e b a s i s

o r d e v e l o p m e n t o f t h e a c o u s t i c w a v e e q u a t i o n ( 1 4 ] , 5 ] , 6 ] , a n d 3 ] ) . T h e m a s s d e n s i t y i s

, t h e p a r t i c l e v e l o c i t y i s , a n d t h e u i d p r e s s u r e i s P . T h e t h r e e s p a t i a l c o o r d i n a t e s a r e

i

( i = 1 2 3 ) f o r t h e d o m a i n . P a r t i c l e v e l o c i t i e s

i

a r e f o r e a c h d i r e c t i o n x

i


5/50

W a v e E q u a t i o n 5

T h e c o n s e r v a t i o n o f m o m e n t u m i s

@

i

@ x

j

j

+

@

i

@ t

;

@

i j

@ x

j

= 0 ( 3 )

h e c o n s e r v a t i o n o f m a s s , t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n , i s

@

i

@ x

i

+

@

@ t

= 0 ( 4 )

h e i n c o m p r e s s i b l e u i d o w e q u a t i o n c a n b e d e r i v e d f r o m t h e N a v i e r { S t o k e s e q u a t i o n s . T h e

o r m u s e d h e r e i s E u l e r ' s e q u a t i o n w h e n t h e v i s c o s i t y i s z e r o a n d u s e s D a s t h e S u b s t a n t i a l

e r i v a t i v e

D

D t

= f

b

; r P ( 5 )

h e b o d y f o r c e s a r e n e g l i g i b l e , f

b

= 0 . N o t i c e t h a t t h e r e p e a t e d i n d e x u s e d i n t h e e q u a t i o n s

n d i c a t e a t e n s o r s u m m a t i o n .

T h e f o r c e S ( t ) i n E q u a t i o n 6 a c t s a s a s o u r c e f u n c t i o n u p o n t h e d o m a i n . A n y f o r c e

c t i n g w i t h i n t h e d o m a i n c a u s e s p r e s s u r e a n d d e n s i t y c h a n g e s , a n d t h e u i d n a t u r e o f t h e

e d i u m w i l l c r e a t e a n e q u i l i b r i u m r e s t o r i n g f o r c e . T h e s e c h a n g e s i n d e n s i t y a n d p r e s s u r e

r e s m a l l .

@

i

@ x

j

j

+

@

i

@ t

+

@ P

@ x

i

= S ( t ) ( 6 )

W e c o n s i d e r s m a l l p e r t u r b a t i o n s i n t h e d e n s i t y , t h e p a r t i c l e v e l o c i t y , a n d t h e

r e s s u r e P f r o m t h e i n i t i a l r e s t c o n d i t i o n s w h i c h a r e l a b e l e d w i t h s u b s c r i p t 0 . T h e p e r t u r b a -

i o n E q u a t i o n s 7 , 8 , a n d 9 a r e f o r

t

,

t

, a n d P

t

, t h e p a r t i c l e v e l o c i t y , d e n s i t y , a n d p r e s s u r e

e s p e c t i v e l y .

t

=

0

+ ( 7 )

t

=

0

+ ( 8 )

P

t

= P

0

+ P ( 9 )

h e i n i t i a l p a r t i c l e v e l o c i t y i s

0

= 0 b e c a u s e t h e d o m a i n i s a t r e s t .

T h e d e n s i t y p e r t u r b a t i o n i s k n o w n a s t h e a c o u s t i c a p p r o x i m a t i o n 1 1 ] . A u i d h a s a

r e s s u r e w h i c h i s a f u n c t i o n o f d e n s i t y , t e m p e r a t u r e , a n d g r a v i t y f o r c e s . W e s h a l l a s s u m e t h a t

h e g r a v i t y f o r c e s a r e r e l a t i v e l y c o n s t a n t o v e r t h e d o m a i n a n d d o n o t e x e r t a n y d i e r e n t i a l

o r c e o n t h e u i d . T h e e a r t h t e m p e r a t u r e e l d d o e s v a r y a s a f u n c t i o n o f p o s i t i o n a n d i n

i m e , b u t t h e t e m p e r a t u r e c h a n g e s a r e v e r y s m a l l c o m p a r e d t o t h e t i m e i t t a k e s t o m a k e

e i s m i c m e a s u r e m e n t s . H e n c e , w e w i l l a s s u m e t h a t o n l y t h e d e n s i t y i s i m p o r t a n t a n d t h a t

h e s t r e s s w i t h i n t h e u i d i s r e l a t e d t o t h e s t r a i n a s a f u n c t i o n o f d e n s i t y .

F i r s t ,

i j

i s d e n e d a s t h e K r o n e c k e r d e l t a f u n c t i o n ,

i j

=

0

B

@

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

C

A

( 1 0 )


6/50

h e s t r e s s m a t r i x i s

i j

i j

= ; P ( )

i j

( 1 1 )

o w u s i n g E u l e r ' s E q u a t i o n ( E q . 5 ) w i t h t h e n e g l e c t e d b o d y f o r c e s

D

D t

= ; r P

t

( 1 2 )

n d r e a l i z i n g t h a t P

0

i s c o n s t a n t , w e h a v e

D

D t

= ; r P ( 1 3 )

o w t h e i n i t i a l m e d i u m i s a t r e s t a n d h a s n o c o n v e c t i v e a c c e l e r a t i o n , w h i c h p e r m i t s c h a n g i n g

h e f o r m o f t h e d e r i v a t i v e s i n E q u a t i o n 1 3

@

@ t

= ; r P ( 1 4 )

e x t i s t h e g r a d i e n t o f , a n d w e c a n a l s o a p p r e c i a t e t h a t t h e p r o d u c t o f a n d t h e

r a d i e n t o f w i l l b e s m a l l

r = ( 1 5 )

n d

0

@ r

@ t

= ; r P ( 1 6 )

e x t w e a s s u m e t h e d e r i v a t i v e s o f t i m e a n d s p a c e c a n b e e x c h a n g e d

r

0

@

@ t

= ; r P ( 1 7 )

e m o v i n g t h e o p e r a t o r g i v e s

0

@

@ t

= ; P ( 1 8 )

h e c o m p r e s s i b i l i t y C a n d t h e b u l k m o d u l u s o f e l a s t i c i t y K a r e d e n e d i n t e r m s o f a u n i t

o l u m e V a n d V

C =

= ;

V

V

( 1 9 )

P = ; K

V

V

( 2 0 )

P = K

( 2 1 )

o w c o m p u t i n g t h e d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o t i m e i n E q u a t i o n 2 1 , t h e c h a n g e i n p r e s s u r e

s r e l a t e d t o t h e c h a n g e i n d e n s i t y

@ P

@ t

=

K

0

@

@ t

( 2 2 )


7/50

O n e D i m e n s i o n a l P r o b l e m 7

r

2

= ;

1

K

@ P

@ t

( 2 3 )

s i n g E q u a t i o n 4 t o c o n s e r v e m a s s a n d E q u a t i o n s 1 7 a n d 2 3 ,

@

i

@ x

i

= ;

@

@ t

0

r

2

( 2 4 )

a k i n g t h e t i m e d e r i v a t i v e o f E q u a t i o n 1 8 ,

@

@ t

0

@

@ t

= ;

@ P

@ t

( 2 5 )

i n a l l y , t h e a c o u s t i c w a v e e q u a t i o n i s

r

2

=

1

v

2

@

2

@ t

2

( 2 6 )

h e r e v =

q

K

0

i s t h e s o u n d s p e e d o f t h e m e d i u m .

O n e D i m e n s i o n a l P r o b l e m

h e o n e d i m e n s i o n a l w a v e e q u a t i o n w i t h a h o m o g e n e o u s v e l o c i t y f u n c t i o n h a s a n a n a l y t i c

o l u t i o n 2 2 ] . T h e w a v e p r o p a g a t e s i n t w o d i r e c t i o n s s o l u t i o n s a r e o f t h e f o r m

0

( x ; c t ) +

1

( x + c t ) . T h e m e t h o d o f c h a r a c t e r i s t i c s c a n b e u s e d t o f o r m u l a t e t h i s a n a l y t i c s o l u t i o n .

h e n u m e r i c a l s o l u t i o n 1 0 ] h a s t h e a d v a n t a g e o f s o l v i n g t h e i n h o m o g e n e o u s p r o b l e m , w h i c h

s a w k w a r d a n a l y t i c a l l y b u t f e a s i b l e i n o n e d i m e n s i o n . A f t e r m a s t e r i n g t h e r e q u i r e m e n t s o f

n e d i m e n s i o n a l m o d e l i n g , t h e e x t e n s i o n s r e q u i r e d f o r t w o a n d t h r e e d i m e n s i o n a l m o d e l s a r e

o t d i c u l t . I n h o m o g e n e o u s m o d e l i n g i n t w o a n d t h r e e d i m e n s i o n s r e q u i r e s a n u m e r i c a l

e t h o d a n a l y t i c m e t h o d s a r e n o t c a p a b l e o f m o d e l i n g m o s t c o m p l e x m e d i a .

1

C ( x )

2

@

2

@ t

2

=

"

@

2

@ x

2

#

+ s r c ( t ) ( 2 7 )

T h e m o d e l u s e d t o d e m o n s t r a t e t h e p r o p a g a t i o n o f w a v e s i n o n e d i m e n s i o n i s s h o w n i n

i g u r e 3 . T h e s o u r c e i s p l a c e d a t t h e c e n t e r a n d t h e s i g n a l i s p r o p a g a t e d i n b o t h d i r e c t i o n s

r o m t h e s o u r c e . T h i s m o d e l i s s y m m e t r i c a n d i s h o m o g e n e o u s . N o r e e c t e d w a v e s w i l l b e

e n e r a t e d a n d t h i s w a v e i s p l o t t e d a t t i m e e q u a l s 2 . 0 s e c o n d s a s d i s p l a y e d i n F i g u r e 4 .

I f t h e m o d e l i s m o d i e d , a s s u m e t h a t t h e v e l o c i t y i s i n c r e a s e d b y 5 0 p e r c e n t t o t h e r i g h t

0 0 0 m e t e r s f r o m t h e s o u r c e . T h e n w h e n t h e i n i t i a l s o u r c e w a v e i m p i n g e s o n t h e i m p e d a n c e

r e e c t e d w a v e w i l l b e g e n e r a t e d . T h i s i n h o m o g e n e o u s m o d e l i s p l o t t e d i n F i g u r e 5 a n d t h e

e i s m i c w a v e s a r e p l o t t e d i n F i g u r e 6 . T h e s t r e n g t h o f t h e r e e c t e d w a v e i s d e t e r m i n e d b y

h e r e e c t i o n c o e c i e n t 1 9 ] . G i v e n t h e v e l o c i t i e s a n d d e n s i t i e s t h e r e e c t i o n c o e c i e n t R i s

R =

1

v

1

;

0

v

0

1

v

1

+

0

v

0

( 2 8 )


8/50

*

- 4 0 0 0 - 2 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 M e t e r s

S o u r c e

P o i n t

;

;

V e l o c i t y = 1 5 0 0 M e t e r s p e r S e c o n d

F i g u r e 3 : H o m o g e n e o u s O n e D i m e n s i o n a l M o d e l

Time

Amplitude

Source Reflector

F i g u r e 4 : H o m o g e n e o u s W a v e s

h e s u b s c r i p t 0 i s f o r t h e i n c i d e n t m e d i u m a n d t h e s u b s c r i p t 1 i s f o r t h e t r a n s m i t t i n g m e d i u m .

h e n t h e d e n s i t y i s a c o n s t a n t t h i s s i m p l i e s t o

R =

v

1

; v

0

v

1

+ v

0

( 2 9 )

h e t r a n s m i t t e d e n e r g y i s T , T = 1 ; R . I f t h e v e l o c i t y f u n c t i o n i n c r e a s e s w i t h d e p t h , t h e

e e c t i o n c o e c i e n t i s p o s i t i v e i f i t d e c r e a s e s , t h e r e e c t i o n c o e c i e n t b e c o m e s n e g a t i v e .

h e s i g n c h a n g e i s p h y s i c a l l y r e a l i z e d a s a p o l a r i t y c h a n g e i n t h e r e e c t e d s i g n a l w h i c h i s

b s e r v e d i n F i g u r e 7 .

T h e i n h o m o g e n e o u s m o d e l i s m o d i e d w i t h a v e l o c i t y r e d u c t i o n o f 5 0 p e r c e n t t o 7 5 0 m / s

t t h e s a m e 2 0 0 0 m e t e r s f r o m t h e r i g h t . T h i s r e s u l t i s s h o w n i n F i g u r e 7 .

T h e r e e c t i o n c o e c i e n t s f o r t h e v e l o c i t y c h a n g e s a r e

R

+

=

2 2 5 0 ; 1 5 0 0

2 2 5 0 + 1 5 0 0

= 0 2 0 0 ( 3 0 )

R

;

=

7 5 0 ; 1 5 0 0

7 5 0 + 1 5 0 0

= ; 0 3 3 3 ( 3 1 )


9/50

O n e D i m e n s i o n a l P r o b l e m 9

*

- 4 0 0 0 - 2 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 M e t e r s

S o u r c e

P o i n t

;

;

V e l o c i t y = 1 5 0 0 M e t e r s p e r S e c o n d V e l o c i t y = 2 2 5 0

R e e c t o r ;

;

F i g u r e 5 : I n h o m o g e n e o u s O n e D i m e n s i o n a l M o d e l

Time

Amplitude

Source Reflector

F i g u r e 6 : R e e c t e d W a v e s , V e l o c i t y I n c r e a s e d 5 0 %

Time

Amplitude

Source Reflector

F i g u r e 7 : R e e c t e d W a v e s , V e l o c i t y D e c r e a s e d , 5 0 %


10/50

0

h e c o r r e s p o n d i n g t r a n s m i s s i o n c o e c i e n t s f o r t h e v e l o c i t y c h a n g e s a r e

T

+

= 1 ; R

+

= 0 8 0 0 ( 3 2 )

T

;

= 1 ; R

;

= 1 3 3 3 ( 3 3 )

I f w e e x a m i n e F i g u r e s 6 a n d 7 , t h e r e e c t i o n s s h o w b o t h t h e a m p l i t u d e d i e r e n c e s a n d t h e

i g n d i e r e n c e s o f E q u a t i o n s 3 0 a n d 3 1 . L i k e w i s e , t h e t r a n s m i s s i o n c o e c i e n t s o f E q u a t i o n s

2 a n d 3 3 c o m p a r e w e l l w i t h t h e g u r e s .

D e r i v a t i v e C o e c i e n t s

h e t i m e a n d s p a c e d e r i v a t i v e s m u s t b e d i s c r e t i z e d f r o m a c o n t i n u o u s f u n c t i o n t o a d i s c r e t e

u n c t i o n . M e t h o d s u s e d t o c o m p u t e d e r i v a t i v e s f o r s e i s m i c m o d e l i n g i n c l u d e T a y l o r S e r i e s ,

h e b e c h e v , F o u r i e r T r a n s f o r m s , a n d P a d e . T h e T a y l o r S e r i e s ( T S ) m e t h o d s w i l l b e d e v e l o p e d

e r e t h e y a r e r e a s o n a b l y g o o d a p p r o x i m a t i o n s b u t n o t o p t i m a l . T h e t h e o r i e s f o r o p t i m a l

p e r a t o r s a r e b e y o n d t h e s c o p e o f t h i s e o r t . T h e T S m e t h o d a s s u m e s t h a t a f u n c t i o n

n o w n a t p o i n t a c a n b e e x t e n d e d t o p o i n t b i f s u c i e n t n u m b e r o f d e r i v a t i v e s e x i s t a n d a r e

n o w n a t p o i n t a . T h e t r u n c a t i o n e r r o r f o r t h e s e r i e s e x p a n s i o n h a s a m a x i m u m w i t h i n t h e

p p r o x i m a t i o n i n t e r v a l .

T h e f o r m u l a t i o n p r e f e r r e d i s a m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n f o r c o m p u t i n g t h e c o e c i e n t s o f t h e

a y l o r S e r i e s . G i v e n

h = b ; a ( 3 4 )

h e n

f ( b ) = f ( a ) + f ( a ) h +

f ( a ) h

2

2 !

+

f ( a ) h

3

3 !

( 3 5 )

T h i s c o m p u t a t i o n o f f ( b ) d o e s n o t e x p l a i n h o w t o c o m p u t e a d e r i v a t i v e a p p r o x i m a t i o n .

u t i f t h e p o i n t b i s e x t e n d e d t o a s e r i e s o f u n i f o r m l y s p a c e d p o i n t s e a c h a m u l t i p l e o f h

r o m a a n d w e w r i t e t h e T S e x p a n s i o n a s a n e x p r e s s i o n , w e g e t

f ( h )

f ( 0 )

f ( ; h )

=

=

=

f ( 0 ) + f ( 0 ) h +

f ( 0 ) h

2

2

f ( 0 )

f ( 0 ) ; f ( 0 ) h +

f ( 0 ) h

2

2

( 3 6 )

s s u m e t h e d i e r e n c e o p e r a t o r i s c e n t e r e d a t t h e o r i g i n . N o w f o r m u l a t i n g t h i s a s a m a t r i x

q u a t i o n u s i n g t e r m s u p t o t h e s e c o n d d e r i v a t i v e , w e h a v e

0

B

@

f ( h )

f ( 0 )

f ( ; h )

1

C

A

=

0

B

@

1 h

h

2

2

1 0 0

1 ; h

h

2

2

1

C

A

0

B

@

f ( 0 )

f ( 0 )

f ( 0 )

1

C

A

( 3 7 )


11/50

S e i s m i c S o u r c e F u n c t i o n 1 1

T h u s a n i n v e r t i b l e m a t r i x e q u a t i o n i s g e n e r a t e d . C a r e m u s t b e t a k e n t o u s e a n a p p r o -

r i a t e v a l u e f o r h t h e s i m p l e s t m e t h o d i s t o f a c t o r t h e h t e r m s o u t w i t h t h e f u n c t i o n s .

t h e r w i s e , f o r l o n g e r o p e r a t o r s t h e m a t r i x c a n b e n u m e r i c a l l y u n s t a b l e a n d d i c u l t t o i n -

e r t . T h e h t e r m s c o n t r i b u t e t o a p o o r c o n d i t i o n n u m b e r m a t r i x . T h e r e s u l t i s g e n e r a l a n d

i l l g e n e r a t e d i e r e n c e o p e r a t o r s f o r a n y l e n g t h .

S o l v i n g E q u a t i o n 3 7 f o r t h e f ( 0 ) a n d d e r i v a t i v e t e r m s g i v e s

0

B

@

f ( 0 )

f ( 0 )

f ( 0 )

1

C

A

=

1

h

2

0

B

@

0 h

2

0

h

2

0 ;

h

2

1 ; 2 1

1

C

A

0

B

@

f ( h )

f ( 0 )

f ( ; h )

1

C

A

( 3 8 )

f w e m o d i f y t h e m a t r i x t e r m s b y f a c t o r i n g o u t t h e t e r m s i n h i n E q u a t i o n 3 7 , w e g e t a

i m p l e r m a t r i x w h i c h w i l l h a v e a b e t t e r c o n d i t i o n n u m b e r :

0

B

@

f ( h )

f ( 0 )

f ( ; h )

1

C

A

=

0

B

@

1 1

1

2

1 0 0

1 ; 1

1

2

1

C

A

0

B

@

f ( 0 ) h

0

f ( 0 ) h

1

f ( 0 ) h

2

1

C

A

( 3 9 )

T h i s c a n b e s o l v e d l i k e E q u a t i o n 3 8 , a n d w e s e e t h e f a m i l i a r w e i g h t s f o r t h e r s t a n d

e c o n d d e r i v a t i v e s :

0

B

@

f ( 0 ) h

0

f ( 0 ) h

1

f ( 0 ) h

2

1

C

A

=

0

B

@

0 1 0

1

2

0 ;

1

2

1 ; 2 1

1

C

A

0

B

@

f ( h )

f ( 0 )

f ( ; h )

1

C

A

( 4 0 )

h e s e c o n d d e r i v a t i v e e q u a t i o n i s

f ( 0 ) =

1

h

2

f ( h ) ; 2 f ( 0 ) + f ( ; h ) ( 4 1 )

h e c o e c i e n t s f o r t h e d e r i v a t i v e a p p r o x i m a t i o n s w i t h d i e r e n t g r i d s p a c i n g s , o r w i t h m o r e

r i d p o i n t s , c a n b e c o m p u t e d w i t h t h i s m e t h o d .

S e i s m i c S o u r c e F u n c t i o n

o g e n e r a t e s e i s m i c w a v e s a s o u r c e f u n c t i o n i s r e q u i r e d . T h i s s e c t i o n d e v e l o p s t h e c o n c e p t

f a f r e q u e n c y b a n d l i m i t e d s o u r c e f u n c t i o n . R e a l s e i s m i c s o u r c e s u s e a n e n e r g y i m p u l s e

r a v i b r a t i o n s o u r c e t o g e n e r a t e w a v e s i n t h e e a r t h . I m p u l s e s o u r c e s i n c l u d e d y n a m i t e , a

r o p w e i g h t , a s l e d g e h a m m e r , a s h o t g u n , o r a r i e . T h e a c t u a l s o u r c e u s e d i s d e p e n d e n t

n t h e d e s i r e d s i g n a l t o n o i s e r a t i o , t h e h u m a n e n v i r o n m e n t , t h e t a r g e t d e p t h d e s i r e d a n d

h e g e o l o g i c a l e n v i r o n m e n t . T h e v a s t m a j o r i t y o f l a n d s e i s m i c d a t a a r e g e n e r a t e d b y t w o

e t h o d s , d y n a m i t e p l a c e d i n s h o t h o l e s d r i l l e d i n t o t h e e a r t h o r b y a t r u c k m o u n t e d v i b r a t i n g

a s s w h i c h s h a k e s t h e e a r t h i n a v e r t i c a l o r h o r i z o n t a l d i r e c t i o n . T h e m e t h o d w e w i l l u s e i n

u r s i m u l a t i o n o f s e i s m i c e x p l o r a t i o n i s t h e i m p u l s i v e d y n a m i t e s o u r c e .


12/50

2

Time

Amplitude

F i g u r e 8 : S o u r c e F u n c t i o n

T h e s o u r c e i s n i t e i n d u r a t i o n . T h i s r e q u i r e s a t i m e v a r y i n g f u n c t i o n . T h e f o l l o w i n g

x p o n e n t i a l e q u a t i o n i s s u i t a b l e , w h e r e a n d d e t e r m i n e t h e m a x i m u m v a l u e a n d t h e

e n g t h o f t i m e , t

m a x

. T h e r e q u i r e d f r e q u e n c y c o n t e n t f o r t h e m o d e l i s f

m a x

a t y p i c a l v a l u e

s 3 0 H e r t z .

d ( t ) =

e x p ( ; t

2

)

( 4 2 )

o w t h e s o u r c e n e e d s a n o s c i l l a t o r y f u n c t i o n a n d t h e s y m m e t r i c S i n e w i l l d o n i c e l y ,

s ( t ) = S i n e ( 2 f

m a x

t ) ( 4 3 )

O u r s i m p l e s e i s m i c s o u r c e i s t h e p r o d u c t o f d ( t ) a n d s ( t )

= 2 f

m a x

( 4 4 )

= 9 ( 4 5 )

s r c ( t ) = S i n e ( 2 f

m a x

t )

e x p ( ; t

2

)

( 4 6 )

h e p l o t i n F i g u r e 8 i s f o r t h e s o u r c e f u n c t i o n , s r c ( t )

W a v e P r o p a g a t i o n E x a m p l e

i t h a s o u r c e f u n c t i o n a n d d e r i v a t i v e a p p r o x i m a t i o n s i t i s p o s s i b l e t o m o d e l w a v e s , a n d

i g u r e 9 i s a n e x a m p l e o f a p r o p a g a t i n g w a v e . T h e m o d e l i s a r e c t a n g u l a r b o x w i t h t h e

o u r c e p l a c e d a t t h e c e n t e r . T h e m o d e l v e l o c i t y i s u n i f o r m a n d n o e d g e b o u n d a r y c o n d i t i o n

s a p p l i e d . B o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e p r e s e n t e d l a t e r .


13/50

W a v e P r o p a g a t i o n E x a m p l e 1 3

0

1000

meters

1000

meters

expanding wave front model

F i g u r e 9 : T w o D i m e n s i o n a l M o d e l D a t a , a n E x p a n d i n g W a v e F r o n t

. 1 T h e F i n i t e D i e r e n c e A p p r o x i m a t i o n

h e n i t e d i e r e n c e e q u a t i o n , b a s e d o n s e c o n d o r d e r i n t i m e a n d s e c o n d o r d e r i n s p a c e

p p r o x i m a t i o n s , i s

P

n + 1

i j

; 2 P

n

i j

+ P

n ; 1

i j

=

2

h

P

n

i + 1 j

+ P

n

i ; 1 j

+ P

n

i j + 1

+ P

n

i j ; 1

; 4 P

n

i j

i

+ s r c

n

( 4 7 )

q u a t i o n 4 7 i s t h e d i s c r e t e a p p r o x i m a t i o n t o t h e w a v e e q u a t i o n s h o w n i n E q u a t i o n 1 . T h e

h o i c e o f t h e r i g h t h a n d s i d e ( R H S ) t i m e v a l u e a s n d e s c r i b e s a n e x p l i c i t t i m e m a r c h i n g

c h e m e w h e r e t h e n + 1 i s a f u n c t i o n o f n a n d n ; 1 :

P

n + 1

i j

= 2 P

n

i j

; P

n ; 1

i j

+

2

h

P

n

i + 1 j

+ P

n

i ; 1 j

+ P

n

i j + 1

+ P

n

i j ; 1

; 4 P

n

i j

i

+ s r c

n

( 4 8 )


14/50

4

O r i g i n

Z

X

?

-

d z

d

x

F i g u r e 1 0 : T w o D i m e n s i o n a l M e s h

f t h e R H S w a s c h o s e n t o h a v e a n n + 1 t i m e v a l u e , t h e r e s u l t i n g d i e r e n c e e q u a t i o n w o u l d

a v e b e e n i m p l i c i t . T h e i m p l i c i t f o r m r e q u i r e s s o l v i n g a s y s t e m o f e q u a t i o n s a t e a c h t i m e s t e p

n d h a s a s i g n i c a n t i n c r e a s e i n c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y . T h e e x p l i c i t f o r m E q u a t i o n 4 8

s u s e d h e r e w i t h g o o d r e s u l t s , a n d i n a l a t e r s e c t i o n t h e s t a b i l i t y o f t h e e x p l i c i t m e t h o d i s

o n s i d e r e d .

. 2 T h e M e s h e d G r i d

n o n e d i m e n s i o n , t h e c o n c e p t o f a m e s h i s a b i t d i c u l t , h o w e v e r i n t w o a n d t h r e e d i m e n s i o n s

t i s v i t a l t o n i t e d i e r e n c e m e t h o d s . T h e o n e d i m e n s i o n a l m e t h o d u s e d a u n i f o r m s t e p d x ,

n d i n t h e t w o d i m e n s i o n a l m e t h o d w e w i l l a g a i n u s e a u n i f o r m s t e p h = d x = d z i n b o t h

i r e c t i o n s a s i n F i g u r e 1 0 .

T h e c o n t i n u o u s v e l o c i t y f u n c t i o n C ( x z ) i s d i s c r e t i z e d i n t o a n a v e r a g e v a l u e t o e a c h

q u a r e o f t h e m e s h a n d i s a s s u m e d t o b e a n a p p r o p r i a t e a p p r o x i m a t i o n . T h i s a s s u m p t i o n i s

a l i d i f h i s s m a l l c o m p a r e d t o t h e w a v e l e n g t h s o f p r o p a g a t i o n .

S t a b i l i t y C o n d i t i o n

h e s t a b i l i t y o f t h e n i t e d i e r e n c e m e t h o d i s e s s e n t i a l . T h e s c h e m e i n E q u a t i o n 4 8 i s e x p l i c i t

n t i m e f o r e a c h n e w s t e p t h e w a v e v a l u e s a r e d e t e r m i n e d f r o m t h e p r e v i o u s v a l u e s . T h e

e s h s p a c i n g i s h . T h e s i z e o f t h e t i m e s t e p d t i s l i m i t e d i n f o r m a t i o n c a n n o t b e p r o p a g a t e d

c r o s s t h e m e s h f a s t e r t h a n t h e m e s h v e l o c i t y . T h e m e s h v e l o c i t y i s h = d t . H e n c e , t h e t i m e


15/50

S e i s m i c M o d e l i n g i n T w o D i m e n s i o n s 1 5

t e p t m u s t b e b o u n d e d , a n d f o r t h e d i e r e n c e e q u a t i o n t h i s l i m i t i s

c t

h

1

p

n

d

( 4 9 )

h e r e n

d

i s t h e n u m b e r o f s p a t i a l d i m e n s i o n s .

I n t w o d i m e n s i o n s t h e s t a b i l i t y c o n d i t i o n i s

c t

h

1

p

2

( 5 0 )

h e m a x i m u m t i m e s t e p s i z e i s b o u n d e d b y

t

h

c

p

2

( 5 1 )

0 S e i s m i c M o d e l i n g i n T w o D i m e n s i o n s

0 . 1 S h o t R e c o r d M o d e l i n g

s s u m i n g a m o d e l v e l o c i t y s t r u c t u r e C ( x z ) i s k n o w n a n d t h e s o u r c e l o c a t i o n S

s h o t

( x z ) i s

p e c i e d , i t i s p o s s i b l e t o s i m u l a t e a s e q u e n c e o f s h o t r e c o r d s . T h e s e i n d i v i d u a l s h o t r e c o r d s

r e r e c o r d e d a s d a t a D

s h o t

( x t ) a n d p r o c e s s e d l i k e e l d d a t a .

T h e g e o m e t r y o f t h e s o u r c e l o c a t i o n , t h e r e c e i v e r s e p a r a t i o n , a n d t h e n u m b e r o f r e c e i v e r s

s e d d e p e n d s o n a n u m b e r o f f a c t o r s . C l o s e s a m p l e s p a c i n g i n t h e s e i s m i c e x p e r i m e n t

r o v i d e s b e t t e r d a t a q u a l i t y a n d i m p r o v e s t h e s i g n a l t o n o i s e r a t i o . T h e s u b s u r f a c e s t r u c t u r e

c a t t e r s e n e r g y i n d i e r e n t d i r e c t i o n s . I f t h e s t r u c t u r e h a s s i g n i c a n t d i p t h e n l o n g r e c e i v e r

p r e a d s a r e u s e d . T h e c o s t o f s h o t s a n d d r i l l h o l e s a l s o i n u e n c e s t h e g e o m e t r y o f s e i s m i c

a t a c o l l e c t i o n .

T h e s e g e o m e t r y c o n s i d e r a t i o n s a r e n o t a s c r i t i c a l i n s e i s m i c m o d e l i n g b e c a u s e t h e p h y s i c a l

e l d c o n s t r a i n t s d o n o t a p p l y . T h e a m o u n t o f d a t a g e n e r a t e d b y a s e i s m i c m o d e l c a n b e a

r o b l e m , a n d i t i s n o t a l w a y s w i s e t o r e c o r d e v e r y g r i d p o i n t a l o n g t h e r e c e i v e r l i n e f o r e v e r y

i m e s t e p . S u c i e n t d a t a m u s t b e r e c o r d e d t o p r e v e n t a l i a s i n g t h e d a t a 1 9 ] t h e N y q u i s t

i m i t i s t w o g r i d p o i n t s p e r w a v e l e n g t h . C a r e m u s t b e t a k e n t o c o l l e c t d a t a w h i c h i s n o t

l i a s e d e i t h e r i n s p a c e o r t i m e . W h i l e t w o g r i d p o i n t s p e r w a v e l e n g t h i s t h e t h e o r e t i c a l l i m i t ,

a r e f u l e x p e r i m e n t e r s u s e a t l e a s t t h r e e .

T h e r o u t i n e s e i s m i c p r o c e s s i n g s e q u e n c e w i l l a t t e m p t t o a t t e n t h e t i m e r e c o r d i n g s a n d

u m i n t o a s t a c k s e c t i o n . T h i s s t a c k i n g p r o c e s s r e d u c e s t h e a m o u n t o f d a t a b y a s i g n i c a n t

m o u n t . T h e i n d i v i d u a l s h o t r e c o r d s a r e c o r r e c t e d f o r o s e t , t h e d i s t a n c e f r o m t h e s o u r c e

o c a t i o n , a n d t h e n s u m m e d . T h i s p r o c e s s i s t e r m e d a m o v e o u t c o r r e c t i o n . T h e e q u i v a l e n t

e i s m i c p r o c e s s w o u l d b e t o u s e o n l y o n e r e c e i v e r f o r e v e r y s h o t p o i n t l o c a t i o n a n d r e c o r d t h i s

a t a . T h i s c o i n c i d e n t s o u r c e a n d r e c e i v e r p o s i t i o n i s k n o w n a s z e r o - o s e t d a t a a n d w o u l d

o t n e e d m o v e o u t c o r r e c t i o n .


16/50

6

P l a n e W a v e S o u r c e s

S u r f a c e

;

;

?

D

e

p

t

h

-

xo r i g i n

?

z

C o m p u t a t i o n a l

B o u n d a r y

@

@I

X

X

X

X

Xz


-

F i g u r e 1 1 : P l a n e W a v e a t t h e S u r f a c e

0 . 2 M o d e l C o m p l e x i t y

h e g r i d s p a c i n g i s n

x

a n d n

z

i n t h e x a n d z d i r e c t i o n , r e s p e c t i v e l y . T h e n u m b e r o f t i m e

t e p s a r e n

t

a n d t h e c o m p u t a t i o n a l e o r t i s w

s

, o r o a t i n g p o i n t o p e r a t i o n s p e r s t e p . T h e

u m b e r o f i n d i v i d u a l s h o t r e c o r d s i s n

s

. T h e n t e r m s a r e a b o u t t h e s a m e m a g n i t u d e a n d

s

i s c o n s i d e r a b l y l e s s i n v a l u e , t y p i c a l l y a r o u n d 2 5 w

s

i s t h e o p e r a t i o n s c o u n t o f t h e n i t e

i e r e n c e o p e r a t o r . T h e c o m p l e x i t y o f s h o t r e c o r d m o d e l i n g i s O ( n

x

n

z

n

t

w

s

n

s

) a n d t h e

o m p l e x i t y o f z e r o - o s e t m o d e l i n g i s O ( n

x

n

z

n

t

w

s

) w h i c h i s O ( n

s

) l e s s .

0 . 3 Z e r o - O s e t a n d P l a n e W a v e s

h e e q u i v a l e n t o f t h e z e r o - o s e t d a t a i s t o e x c i t e a l l t h e s u r f a c e s o u r c e s a t t h e s a m e t i m e . I n

n a c t u a l e l d e x p e r i m e n t t h i s i s d i c u l t , b e c a u s e t h e n a l l s o u r c e s m u s t b e s e t o a t e x a c t l y

h e s a m e t i m e . T h e r e c o r d i n g i s f o r a s i n g l e e x p e r i m e n t , a n d t h e s i g n a l e n h a n c e m e n t b e n e t

f m u l t i p l e s h o t s i s l o s t .

T h e s i m u l a t i o n o f a n o r m a l p l a n e w a v e , w h e r e a l l s u r f a c e s o u r c e s a r e e x c i t e d a t t h e s a m e

i m e a n d s e n d e n e r g y i n t h e f o r m o f a w a v e i n t o t h e e a r t h m o d e l , i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 1 1 .

h i s p l a n e w a v e m o v e s d o w n u n t i l a r e e c t o r i s s t r u c k , a n d t h e n t h e r e e c t e d w a v e t r a v e l s

h e s a m e p a t h b a c k t o t h e r e c e i v e r a n d t h e t r a n s m i t t e d w a v e c o n t i n u e s o n . T h e w a v e f r o n t

s d i s t o r t e d b y t h e v e l o c i t y e l d a n d b e n d s a n d t w i s t s a c c o r d i n g t o S n e l l ' s l a w , E q u a t i o n 5 2 ,

s i n

i

v ( x z )

i

=

s i n

i + 1

v ( x z )

i + 1

( 5 2 )

h e r e t h e a n g l e s a r e b e t w e e n t h e r e e c t o r n o r m a l a n d t h e w a v e f r o n t n o r m a l . A b o v e t h e

e e c t o r i s t h e i

t h

v e l o c i t y a n d b e l o w i s t h e i + 1

t h

v e l o c i t y .

T h e e x p l o d i n g r e e c t o r c o n c e p t i s t h e r e a l i z a t i o n t h a t i f t h e d o w n g o i n g w a v e t r a v e l s t h e

a m e p a t h a s t h e r e e c t e d u p g o i n g w a v e , t h e n o n l y o n e w a v e i s n e e d e d . T h e u p g o i n g w a v e i s

e c o r d e d a n d h e n c e i s t h e i m p o r t a n t o n e . B y m a k i n g e a c h r e e c t o r p o s i t i o n a s o u r c e p o i n t


17/50

S e i s m i c M o d e l i n g i n T w o D i m e n s i o n s 1 7

S o u r c e s o n t h e R e e c t o r S u r f a c e

S u r f a c e

;

;

?

D

e

p

t

h

-

xo r i g i n

?

z G e o l o g i c a l M o d e l B o u n d a r y

-

F i g u r e 1 2 : E x p l o d i n g R e e c t o r a t D e p t h

s i n F i g u r e 1 2 i t i s p o s s i b l e t o g e n e r a t e z e r o - o s e t d a t a . T h e t w o w a y t r a v e l t i m e s a r e

e n e r a t e d b y h a l v i n g t h e i n t e r v a l v e l o c i t y o f t h e m o d e l . T h u s i t i s p o s s i b l e t o g e n e r a t e a

t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n m o d e l u s i n g a n i t e d i e r e n c e m e t h o d a n d t h e e x p l o d i n g r e e c t o r

e t h o d . T h e m a g n i t u d e o f t h e r e e c t o r s o u r c e m u s t b e a d j u s t e d t o c o r r e c t f o r t h e e n e r g y

o s s e s a s t h e w a v e t r a v e l s i n t h e m o d e l . T h e b e n e t o f l e s s c o m p l e x i t y i s l e s s c o m p u t i n g f o r

h e e x p l o d i n g r e e c t o r m e t h o d .

T h e p l a n e w a v e d o e s n o t g e n e r a t e a l l t h e w a v e s o b s e r v e d i n s e i s m i c e l d d a t a . F o r

x a m p l e , a d i r a c t i o n i s a r e e c t e d w a v e f r o m a p o i n t i m p e d a n c e a n d i n a h o m o g e n e o u s

e d i u m t h e y a p p e a r a s c i r c u l a r w a v e f r o n t s .

0 . 4 E x a m p l e M o d e l s

h r e e m o d e l s a r e u s e d t o d e m o n s t r a t e t h e u s e f u l n e s s o f t h i s m e t h o d . T h e y a r e a d i p p i n g

a y e r m o d e l , a r e e f m o d e l , a n d a s a l t m o d e l . E a c h m o d e l i l l u s t r a t e s s o m e d i c u l t y a s s o c i a t e d

i t h t h e s e i s m i c d a t a p r o c e s s i n g m e t h o d .

D i p p i n g l a y e r s m o v e t h e e x p e c t e d m i d p o i n t t h e e x p l o d i n g r e e c t o r s o u r c e p o i n t i s n o t

a t t h e m i d p o i n t b e t w e e n s o u r c e a n d r e c e i v e r . T h e d i p p i n g l a y e r m o d e l i s s h o w n i n

F i g u r e 2 0 .

T h e r e e f m o d e l h a s a s e a l w i t h a h i g h p o r o s i t y z o n e a s s o c i a t e d w i t h a n a t u r a l g a s o r

o i l a c c u m u l a t i o n . T h i s i s i n d i c a t e d b y a h i g h e r t h a n e x p e c t e d r e e c t i o n c o e c i e n t a n d

a p h a s e r e v e r s a l o f t h e s i g n a l . T h e r e e f m o d e l i s s h o w n i n F i g u r e 2 3 .

T h e s a l t s t r u c t u r e h a s t h e f e a t u r e o f a s l o w m o v i n g s l u g o f s a l t r i s i n g u p t h r o u g h l a y e r e d

s e d i m e n t s a n d t r a p p i n g a r o u n d t h e a n k s p o c k e t s o f h y d r o c a r b o n . T h e s i g n a l s f r o m

s u c h a n i n t r u s i o n a r e r e e c t e d f a r f r o m t h e e x p e c t e d v e r t i c a l p o s i t i o n , w h i c h m a k e s i t

v e r y d i c u l t t o c o r r e c t l y p o s i t i o n t h e e x p l o r a t i o n w e l l s i t e . S a l t h a s a v e r y h i g h s o u n d

v e l o c i t y , w h i c h f u r t h e r c o m p l i c a t e s a c c u r a t e p r o c e s s i n g o f t h e d a t a . T h e s a l t m o d e l i s

s h o w n i n F i g u r e 2 6 .


18/50

8

A f t e r s t u d y i n g t h e s e i s m i c m o d e l i n g p r o c e s s w e s h a l l n d a w a y t o p r o c e s s t h i s z e r o - o s e t

a t a a n d i m a g e i t . T h i s i m a g i n g p r o c e s s w e s h a l l c a l l m i g r a t i o n , t h e e e c t o f m o v i n g d a t a

i s p o s i t i o n e d i n t i m e t o a p l a c e i n d e p t h . T h e e x p l o d i n g r e e c t o r m o d e l i n g d a t a a r e p l o t t e d

n F i g u r e s 2 1 , 2 4 , a n d 2 7 f o r t h e d i p p i n g l a y e r , r e e f , a n d s a l t m o d e l s , r e s p e c t i v e l y .

0 . 5 M o d e l B u i l d i n g

h e m o d e l s a r e s i m p l e l i n e s e g m e n t s w i t h a z - i n t e r c e p t a n d a s l o p e a n d o v e r l a p p e d c i r c l e s

l a c e d i n s e q u e n c e . E a c h i n t e r f a c e l i n e s e g m e n t i s u s e d a s a b o u n d a r y a n d a l l v e l o c i t y g r i d

a l u e s b e l o w t h e l i n e s e g m e n t a r e c h a n g e d t o t h e n e w v a l u e . T h e c i r c l e s a r e u s e d t o m o d i f y

h e s e g r i d v a l u e s , w i t h a l l p o i n t s w i t h i n t h e c i r c l e o f s p e c i e d r a d i u s a n d o r i g i n a c q u i r i n g a

e w v e l o c i t y v a l u e . T h e s e q u e n c e o f l i n e s a n d c i r c l e s c a n v a r y t o c r e a t e i n t e r e s t i n g m o d e l s .

1 I m a g i n g , T w o D i m e n s i o n s

h e p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n f o r m o d e l i n g , t h e w a v e e q u a t i o n , a s s u m e s a q u i e t b a c k g r o u n d

s t h e i n i t i a l c o n d i t i o n . W h a t w o u l d h a p p e n i f t h e r e c o r d e d s e i s m i c d a t a w e r e i n t r o d u c e d i n t o

h e w a v e e q u a t i o n a s a b o u n d a r y c o n d i t i o n . T h e d a t a w o u l d p r o p a g a t e i n t o t h e e a r t h f r o m

h e r e c e i v e r p o s i t i o n s v e r y m u c h l i k e t h e e x p l o d i n g r e e c t o r m o d e l p r o c e s s i f t h e r e e c t o r

a s a t t h e s u r f a c e . I f t h e w a v e e q u a t i o n i s f o r m u l a t e d a s a b a c k w a r d i n t i m e e q u a t i o n , t h e

o u n d a r y c o n d i t i o n d a t a c a n b e m o v e d d o w n i n d e p t h u n t i l t i m e r e a c h e s z e r o . T h i s z e r o

i m e i s c a l l e d t h e i m a g i n g c o n d i t i o n , t = 0

W e s h a l l s e e t h a t t h i s m e t h o d w o r k s a n d p r o p a g a t e s t h e s u r f a c e r e c o r d e d d a t a b a c k i n t o

e p t h . W h a t i s m i s s i n g i s t h e e n e r g y w h i c h l e f t t h e s i d e s a n d b o t t o m o f t h e i m a g e e l d . I t

s p o s s i b l e t o r e c o r d a l o n g t h e s i d e s o f a n i m a g e e l d , b u t t h i s i s n o t d o n e v e r y o f t e n . T h e

o t t o m d a t a a r e q u i t e d i c u l t a n d e x p e n s i v e t o o b t a i n . E s s e n t i a l l y , t h e o n l y d a t a r o u t i n e l y

v a i l a b l e a r e t h e s u r f a c e s e i s m i c s h o t r e c o r d d a t a , w h i c h i s s t a c k e d t o i m p r o v e t h e s i g n a l

o n o i s e r a t i o . T h i s s t a c k e d d a t a c a n t h e n b e m i g r a t e d . S o u n d s s o s i m p l e , b u t w h a t i s t h e

a r t h v e l o c i t y m o d e l t o b e u s e d ? I f w e e x a m i n e E q u a t i o n 5 3 , w e s e e t h a t t h e v e l o c i t y t e r m

s e s s e n t i a l . W e s h a l l a s s u m e t h e v e l o c i t i e s a r e k n o w n .

E q u a t i o n s 5 3 a n d 5 4 e x c h a n g e t h e P

n + 1

a n d P

n ; 1

t e r m s . T h e s o u r c e t e r m s r c

n

i s r e m o v e d ,

n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n b c

n

i s a p p l i e d e v e r y t i m e s t e p . T h i s b a c k w a r d i n t i m e m i g r a t i o n

f s e i s m i c d a t a i s c a l l e d R e v e r s e T i m e M i g r a t i o n . T h e m o d e l i n g n i t e d i e r e n c e e q u a t i o n i s

P

n + 1

i j

= 2 P

n

i j

; P

n ; 1

i j

+

2

h

P

n

i + 1 j

+ P

n

i ; 1 j

+ P

n

i j + 1

+ P

n

i j ; 1

; 4 P

n

i j

i

+ s r c

n

( 5 3 )

h e i m a g i n g n i t e d i e r e n c e e q u a t i o n i s

P

n ; 1

i j

= 2 P

n

i j

; P

n + 1

i j

+

2

h

P

n

i + 1 j

+ P

n

i ; 1 j

+ P

n

i j + 1

+ P

n

i j ; 1

; 4 P

n

i j

i

+ b c

n

( 5 4 )

h e r e

2

=

c ( x z )

2

t

2

h

2

( 5 5 )


19/50

S e i s m i c D a t a D i s p l a y 1 9

T h e t h r e e s e i s m i c m o d e l s w h i c h w e r e g e n e r a t e d u s i n g t h e e x p l o d i n g r e e c t o r m o d e l a r e

i g r a t e d u s i n g E q u a t i o n 5 5 . T h e d i p p i n g l a y e r , r e e f , a n d s a l t m o d e l s h a v e a l l b e e n c o m p u t e d

s i n g t h e i n i t i a l k n o w n v e l o c i t y m o d e l a n d a r e s h o w n i n F i g u r e s 2 2 , 2 5 , a n d 2 8 , r e s p e c t i v e l y .

t u d y t h e m o v i n g w a v e e l d s a n d s e e i f t h e r e c o r d e d r e e c t i o n s m o v e i n t o t h e e a r t h i n a n

n d e r s t a n d a b l e w a y . A s y o u m i g h t w a n t t o c o m p a r e t h e m i g r a t i o n p r o c e s s w i t h t h e m o d e l i n g

r o c e s s , n o t i c e t h a t w a v e s e x i t i n g t h e m o d e l s i d e s d o n o t a p p e a r i n t h e m i g r a t i o n . W h a t d o e s

h i s d o t o t h e i m a g e r e c o n s t r u c t i o n ? W o u l d a n y o t h e r i m a g i n g m e t h o d b e m o r e s u c c e s s f u l

n r e c o n s t r u c t i o n o f t h e m i s s i n g d a t a ?

O b t a i n i n g v e l o c i t y d a t a f o r t h e m o d e l i s t h e n e x t s t e p i n t h e p r o c e s s . L e t ' s b e g i n w i t h

s i m p l e m a r i n e d a t a c a s e , d a t a w h i c h w a s c o l l e c t e d o v e r w a t e r . T h e v e l o c i t y o f w a t e r i s

p p r o x i m a t e l y 1 5 0 0 m e t e r s p e r s e c o n d . O n l y t h e d e p t h o f t h e w a t e r i s u n k n o w n a n d c a n b e

o m p u t e d f r o m t h e s e i s m i c d a t a .

H o w e v e r , o n l a n d w e a r e i n f o r a t e r r i b l e s u r p r i s e . T h e w e a t h e r e d e a r t h i s j u s t t h a t , a n d

h e l o w v e l o c i t y l a y e r h a s t r u l y v a r i a b l e p r o p e r t i e s . J u s t l o o k a c r o s s y o u r f a v o r i t e p a r k a n d

o u w i l l s e e s t r e a m b e d s w i t h s a n d a n d g r a v e l , h i l l s w i t h b e d r o c k , f e r t i l e e l d s w i t h s o i l s , a l l

l a c e s w h e r e t h e e a r t h i s r e a l l y d i e r e n t . A l l t h e s e d i e r e n c e s a r e s e e n i n t h e n e a r s u r f a c e

e i s m i c d a t a . H e r e b o t h t h e v e l o c i t y a n d d e p t h a r e u n k n o w n a n d w i l l b e d e t e r m i n e d f r o m

h e s e i s m i c d a t a .

A f t e r t h e r s t l a y e r e i t h e r o n l a n d o r a t s e a w e s t i l l h a v e m y s t e r y t o u n r a v e l : w h a t i s t h e

e l o c i t y o f t h e r e s t o f t h e s u b s u r f a c e ? T h i s w e s h a l l l e a v e f o r a n o t h e r d a y . I w i l l s a y t h a t

s i n g t h e u n s t a c k e d d a t a a n d m o r e p o w e r f u l m a t h e m a t i c s i t i s p o s s i b l e t o d o a v e r y c r e d i b l e

o b o f v e l o c i t y a n a l y s i s

2 S e i s m i c D a t a D i s p l a y

n X - w i n d o w s t o o l S u x w i g b i s a v a i l a b l e f r o m t h e C e n t e r f o r W a v e P h e n o m e n a a t C o l o r a d o

c h o o l o f M i n e s . S e i s m i c U n i x , o r S U , i s a p u b l i c d o m a i n s e i s m i c t r a c e p r o c e s s i n g p a c k a g e

f w h i c h S u x w i g b i s a p a r t .

T h i s s e i s m i c t r a c e d i s p l a y h a s t h e a b i l i t y t o d i s p l a y w i g g l e t r a c e s a n d i n / o u t z o o m . T h i s

s a p u b l i c d o m a i n s o f t w a r e p r o d u c t a n d i s i n c l u d e d w i t h t h e c o d e s o f t h i s c h a p t e r . T h e

n p u t l e r e q u i r e d b y S u x w i g b i s g e n e r a t e d b y f t n 2 s u a n d i s a n u n f o r m a t t e d F o r t r a n l e .

h e F t n 2 s u l e i s a f o r m a t t e d F o r t r a n l e o r g a n i z e d t r a c e b y t r a c e . T h e s e i n p u t l e s a r e

u i t e l a r g e a n d S U p e r m i t s U n i x p i p i n g o f p r o c e s s o u t p u t .

T h e r e a d e r i s e n c o u r a g e d t o t e s t s e i s m i c d i s p l a y b e f o r e p r o c e e d i n g .

3 I n t r o d u c t i o n t o B o u n d a r y C o n d i t i o n s

h e m o d e l c o n g u r a t i o n i n F i g u r e 1 3 d e s c r i b e s a n i t e b o u n d e d a r e a i n t w o d i m e n s i o n s .

h e n a p r o p a g a t e d w a v e a r r i v e s i n t h e n e i g h b o r h o o d o f t h e b o u n d a r y , w e m u s t c o n s i d e r

h e e e c t s o f t h e r e e c t e d w a v e . A r e r e e c t e d w a v e s w a n t e d ? I s a r e e c t e d w a v e a p h y s i c a l

h e n o m e n o n , o r i s i t a n a r t i f a c t ? W h a t a r e t h e c o n s e q u e n c e s o f t h e n i t e n a t u r e o f t h e m o d e l ?


20/50

0

R e c e i v e r s

5 5 5

*k

k

S o u r c e

@

@I

5 5 5

S u r f a c e

;

;

?

D

e

p

t

h

-

xo r i g i n

?

z


B o u n d a r y

@

@I

-

@

@

@

@R


-

C ( x z ) a n d ( x z )

F i g u r e 1 3 : G e o l o g i c a l M o d e l

h a t a r e t h e d i r e c t i o n s o f t h e a r r i v i n g w a v e s , a n d i s t h e n u m e r i c a l m e t h o d s u c i e n t l y

o b u s t t o e l i m i n a t e t h e r e e c t e d w a v e s ? W e w i l l a s s u m e t h e m o d e l i s s u c i e n t i n s i z e

o i n c l u d e a l l s i g n i c a n t r e e c t i o n e v e n t s w i t h i n t h e t i m e r e c o r d i n g w i n d o w . T h e a c t u a l

e o l o g i c a l s t r u c t u r e w h i c h i s b e i n g m o d e l e d m i g h t b e q u i t e l a r g e c o m p a r e d w i t h t h e a r e a o f

h e c o m p u t a t i o n a l m o d e l o f F i g u r e 1 3 .

T h e e a r t h s u r f a c e h a s a d e n s i t y c o n t r a s t t h e d e n s i t y o f a i r i s q u i t e d i e r e n t f r o m t h a t o f

o c k , w a t e r , a n d s o i l . T h i s u p p e r s u r f a c e h a s a h i g h r e e c t i v i t y c o e c i e n t a n d i s c o r r e c t l y

o d e l e d a s a h a r d s u r f a c e b o u n d a r y . T h e s i d e s a n d b o t t o m o f a m o d e l u s u a l l y a r e t r e a t e d a s

r a n s m i s s i v e b o u n d a r i e s . T h e t e r m i n o l o g y u s e d f o r t h e s e b o u n d a r i e s i s a b s o r b i n g , i n n i t e ,

r t r a n s m i s s i v e , w h i c h a l l m e a n e s s e n t i a l l y t h e s a m e t h i n g , a n o n - r e e c t i n g b o u n d a r y .

W e s h a l l c o n s i d e r t w o u s e f u l t y p e s o f b o u n d a r y c o n d i t i o n m e t h o d s f o r n o n - r e e c t i n g , a n d

n e m e t h o d f o r r e e c t i n g , b o u n d a r i e s . T h e s i m p l e s t o f t h e s e m e t h o d s i s f o r t h e r e e c t i n g

o u n d a r y .

4 R e e c t i n g B o u n d a r i e s

s s u m e a a t s u r f a c e a n d a n i n c i d e n t w a v e w h i c h i s p r o p a g a t e d b y t h e a c o u s t i c w a v e e q u a -

i o n . T h e n i t e d i e r e n c e e q u a t i o n , E q u a t i o n 5 6 , u s e s a s t e n c i l w h i c h p l a c e s a c t i t i o u s n o d e

r n o d e s o u t s i d e t h e m o d e l . T h e s e n o d e s a r e i n i t i a l l y z e r o a n d a r e k e p t z e r o f o r a l l m o d e l

i m e t h e s u p e r s c r i p t n i s t h e t i m e s t e p . T h i s i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 1 4 f o r a a t s u r f a c e

o u n d a r y a n d t h e s e c o n d o r d e r d i e r e n c e s t e n c i l .

n + 1

( z


21/50

N o n - R e e c t i n g B o u n d a r i e s 2 1

F i c t i t i o u s N o d e

@

@

@R

A t m o s p h e r e

E a r t h S u r f a c e @

@I

-

?

x

z

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

F i g u r e 1 4 : B o u n d a r y N o d e S t e n c i l

5 N o n - R e e c t i n g B o u n d a r i e s

h e n o n - r e e c t i n g b o u n d a r y i s m u c h m o r e d i c u l t , a n d t w o m e t h o d s a r e p r e s e n t e d h e r e . T h e

r s t i s b a s e d o n t h e o n e w a y w a v e e q u a t i o n a s d e r i v e d b y f a c t o r i n g t h e o n e d i m e n s i o n a l w a v e

q u a t i o n 1 8 ] i n t o t w o o n e w a y w a v e e q u a t i o n s . T h i s a s s u m e s t h e p r i m a r y w a v e d i r e c t i o n

s n o r m a l t o t h e b o u n d a r y . T h e p a r t i a l d i e r e n t i a l o p e r a t o r s a r e f a c t o r e d , a n d t h e s e w a v e

q u a t i o n s p r o p a g a t e i n t h e d i r e c t i o n o f t h e s i g n o f E q u a t i o n 5 9 .

@

2

@ x

2

=

1

C ( x z )

2

@

2

@ t

2

!

( 5 7 )

@

2

@ x

2

;

1

C ( x z )

2

@

2

@ t

2

!

= 0 ( 5 8 )

a c t o r i n g t h e o p e r a t o r o f t h e p r e v i o u s e q u a t i o n g i v e s

@

@ x

+

1

C ( x z )

@

@ t

!

@

@ x

;

1

C ( x z )

@

@ t

!

= 0 ( 5 9 )

o w i f t h e p r o d u c t o f t w o t e r m s i n E q u a t i o n 5 9 i s z e r o , t h e n e i t h e r t e r m c o u l d b e z e r o , a n d

o r t h e l e f t s i d e o f t h e m o d e l w e h a v e E q u a t i o n 6 0 :

@

@ x

;

1

C ( x z )

@

@ t

!

= 0 ( 6 0 )

h e s e r s t o r d e r h y p e r b o l i c s y s t e m s a r e t h e s a m e a s t h o s e i n S e c t i o n 3 . I f t h e o n e w a y w a v e

q u a t i o n i s a p p l i e d e a c h t i m e s t e p , t h e n a n y e r r o r E

r

f r o m t h e p r e v i o u s t i m e s t e p c a n b e

o m p u t e d u s i n g E q u a t i o n 6 1 . T h i s e r r o r c a n b e c o r r e c t e d i n t h e c u r r e n t a p p l i c a t i o n o f t h e

o u n d a r y c o n d i t i o n . T h i s i s E q u a t i o n 6 2 , w h i c h i s f o r t h e l e f t s i d e o f t h e m o d e l a s s h o w n i n

i g u r e 1 5 .

@

@ x

;

1

C ( x z )

@

@ t

!

n

x =

x

= E

r

( 6 1 )


22/50

2

E a r t h

I n t e r i o r

-

?

x

z

N o d e N u m b e r s

1 2 3

x x

F i g u r e 1 5 : M o d e l B o u n d a r y N o d e S t e n c i l , L e f t S i d e

T h e a p p r o x i m a t i o n i s i m p r o v e d b y i n c o r p o r a t i o n o f a n e r r o r t e r m f r o m t h e p r e v i o u s

i m e s t e p t h e e r r o r i s c o m p u t e d i n t h e c u r r e n t t i m e s t e p f o r a n o d e d i s p l a c e d b y o n e g r i d

p a c e i n s i d e t h e m o d e l a s i n E q u a t i o n 6 2 . T h e r e s u l t i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n i s s h o w n i n

q u a t i o n s 6 3 , 6 4 , 6 5 , a n d 6 6 f o r a l l f o u r s i d e s o f a r e c t a n g u l a r m o d e l , l e f t , r i g h t , t o p a n d

o t t o m r e s p e c t i v e l y .

@

@ x

;

1

C ( x z )

@

@ t

!

n + 1

x = 0

; E

r

= 0 ( 6 2 )

h e l e f t s i d e b o u n d a r y e q u a t i o n i s

@

@ x

;

1

C ( x z )

@

@ t

!

n + 1

x = 0

;

@

@ x

;

1

C ( x z )

@

@ t

!

n

x = x

= 0 ( 6 3 )

h e r i g h t s i d e b o u n d a r y e q u a t i o n i s

@

@ x

+

1

C ( x z )

@

@ t

!

n + 1

x = x m a x

;

@

@ x

+

1

C ( x z )

@

@ t

!

n

x = x m a x ; x

= 0 ( 6 4 )

h e t o p s i d e b o u n d a r y e q u a t i o n i s

@

@ z

;

1

C ( x z )

@

@ t

!

n + 1

z = 0

;

@

@ z

;

1

C ( x z )

@

@ t

!

n

z = z

= 0 ( 6 5 )

h e b o t t o m s i d e b o u n d a r y e q u a t i o n i s

@

@ z

+

1

C ( x z )

@

@ t

!

n + 1

z = z m a x

;

@

@ z

+

1

C ( x z )

@

@ z

!

n

z = z m a x ; z

= 0 ( 6 6 )

T h e n i t e d i e r e n c e e q u a t i o n s s h o w n a s F o r t r a n c o d e a r e C o d e F r a g m e n t s I , I I , I I I , a n d

V , r e s p e c t i v e l y . T h e s e d i e r e n c e e q u a t i o n s a r e a l l s e c o n d o r d e r i n s p a c e a n d s e c o n d o r d e r


23/50

N o n - R e e c t i n g B o u n d a r i e s 2 3

n t i m e . T h e d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n s f o r t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s m u s t m a t c h o r n e a r l y

a t c h t h o s e o f t h e w a v e e q u a t i o n 1 7 ] . I f t h e d e g r e e o f a p p r o x i m a t i o n f o r t h e w a v e e q u a t i o n

s k , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n a p p r o x i m a t i o n m u s t b e k o r k ; 1

T h e l e f t s i d e b o u n d a r y c o n d i t i o n l o o p i s

d o 1 4 0 j = 2 , n z d - 1

u 3 ( 1 , j ) = u 2 ( 1 , j ) + u 2 ( 2 , j ) - u 1 ( 2 , j ) +

x c b ( 1 , j ) * ( u 2 ( 2 , j ) - u 2 ( 1 , j ) - u 1 ( 3 , j ) + u 1 ( 2 , j ) )

1 4 0 c o n t i n u e

C o d e F r a g m e n t I

T h e u 3 u 2 u 1 w a v e e l d a r r a y s a r e f o r t h e n + 1 , n , n ; 1 t i m e s t e p s r e s p e c t i v e l y . T h e

b a r r a y c o n t a i n s t h e s p a t i a l c o e c i e n t , c ( x z ) t = h

T h e r i g h t s i d e b o u n d a r y c o n d i t i o n l o o p i s

d o 1 6 0 j = 2 , n z d - 1

u 3 ( n x d , j ) = u 2 ( n x d , j ) + u 2 ( n x d - 1 , j ) - u 1 ( n x d - 1 , j ) -

x c b ( n x d , j ) * ( u 2 ( n x d , j ) - u 2 ( n x d - 1 , j ) -

x u 1 ( n x d - 1 , j ) + u 1 ( n x d - 2 , j ) )

1 6 0 c o n t i n u e

C o d e F r a g m e n t I I

T h e t o p s i d e b o u n d a r y c o n d i t i o n l o o p i s

d o 1 5 0 i = 2 , n x d - 1

u 3 ( i , n z d ) = u 2 ( i , n z d ) + u 2 ( i , n z d - 1 ) - u 1 ( i , n z d - 1 ) -

x c b ( i , n z d ) * ( u 2 ( i , n z d ) - u 2 ( i , n z d - 1 ) -

x u 1 ( i , n z d - 1 ) + u 1 ( i , n z d - 2 ) )

5 0 c o n t i n u e

C o d e F r a g m e n t I I I

T h e b o t t o m s i d e b o u n d a r y c o n d i t i o n l o o p i s

d o 1 3 0 i = 2 , n x d - 1

u 3 ( i , n z d ) = u 2 ( i , n z d ) + u 2 ( i , n z d - 1 ) - u 1 ( i , n z d - 1 ) -

x c b ( i , n z d ) * ( u 2 ( i , n z d ) - u 2 ( i , n z d - 1 ) -

x u 1 ( i , n z d - 1 ) + u 1 ( i , n z d - 2 ) )

3 0 c o n t i n u e

C o d e F r a g m e n t I V


24/50

4

R e c e i v e r s

5 5 5

*k

k

S o u r c e

@

@I

5 5 5

S u r f a c e

;

;

?

D

e

p

t

h

-

xo r i g i n

?

z


B o u n d a r y

@

@I

:

Z

Z

Z

Z~

D a m p i n g

Z o n e

X

X

X

Xz

:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;


-

F i g u r e 1 6 : C o m p u t a t i o n a l M o d e l D a m p i n g Z o n e

T h e d i c u l t y t h e o n e w a y w a v e e q u a t i o n h a s f o r w a v e s w h i c h a r r i v e a t a n g l e s o t h e r t h a n

o r m a l c o u l d b e x e d b y m a k i n g a n a n g l e d e p e n d e n t m e t h o d . T h e w a v e e l d i s u s e d t o

e t e r m i n e a n i n c o m i n g w a v e d i r e c t i o n , a n d t h e w a v e e l d i s d e c o m p o s e d i n t o t w o p a r t s ,

o r m a l a n d t a n g e n t i a l . I f m o r e t h a n o n e w a v e i s a c t i v e i n t h e b o u n d a r y r e g i o n , i t m a k e s t h e

i r e c t i o n a n d d e c o m p o s i t i o n q u i t e c o m p l e x . A c o n s i d e r a b l e a m o u n t o f w o r k h a s b e e n d o n e

n d e v e l o p i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d a n g l e d e p e n d e n t b o u n d a r y c o n d i t i o n s s t u d e n t s a r e

o t e n c o u r a g e d t o p l o w t h i s o l d g r o u n d . T h e d a m p i n g m e t h o d , p r e s e n t e d n e x t , i s s u i t a b l e

o r m o s t m o d e l i n g m e t h o d s a n d o v e r c o m e s t h e a n g l e d e p e n d e n t d i c u l t y i n a n e l e g a n t w a y

i t d o e s n o t c a r e w h e r e t h e w a v e c o m e s f r o m " . F u r t h e r , i t i s i n d e p e n d e n t o f t h e d e g r e e o f

p p r o x i m a t i o n f o r t h e w a v e e q u a t i o n .

6 D a m p i n g Z o n e M e t h o d

h e a l t e r n a t i v e t o w a v e e q u a t i o n m e t h o d s i s a n u m e r i c a l d a m p i n g z o n e , a s i n F i g u r e 1 6 ,

h i c h r e d u c e s t h e w a v e s t r e n g t h o v e r a g r i d r e g i o n n e a r t h e b o u n d a r y . T h e i d e a i s t o

l o w l y a n d s m o o t h l y a p p l y a w e i g h t w h i c h w i l l b e e e c t i v e i n t h e a g g r e g a t e . T h e p r o d u c t

= w ( x

w

) , W , i s c o m p u t e d t o a s m a l l f a c t o r w i t h t h e p r o p e r t y o f c e r t a i n s m o o t h n e s s

t b o t h e d g e s . T h e s m o o t h n e s s i s r e q u i r e d t o r e d u c e t h e u n w a n t e d r e e c t i o n s .

T h e w e i g h t f o r t h e l e f t s i d e o f t h e c o m p u t a t i o n a l m o d e l , 0 x

w

x

b

, i s c o m p u t e d w h e r e

b

i s e x t e n d e d i n t o t h e m o d e l f o r a s e t o f g r i d p o i n t s . T h e n u m b e r o f g r i d p o i n t s i s t y p i c a l l y

0 , a n d t h e v a l u e s o f T a b l e 1 a r e u s e d f o r t h e w e i g h t f u n c t i o n w h e r e W = 0 0 4

T h e w e i g h t s p r e s e n t e d b y C e r j a n 4 ] a r e w ( x

w

) = e x p

; 0 0 1 5 ( 2 0 ; i )

2

, w h e r e i i s t h e n o d e

u m b e r f o r t h e l e f t s i d e a n d c o r r e s p o n d s t o t h e x

w

. T h e g r i d i n d e x i c o u l d b e d i e r e n t f o r

h e o t h e r s i d e s . T h e w e i g h t s a r e a p p l i e d t o a l l t h e n o d e s i n t h e r e g i o n b o u n d e d b y x

b

t o t h e

u r r e n t t i m e s t e p d a t a , a n d t o t h e p r e v i o u s t i m e s t e p d a t a a f t e r t h e i n t e r i o r n i t e d i e r e n c e s


25/50

D a m p i n g Z o n e M e t h o d 2 5

R e c e i v e r s

5 5 5

*k

k

S o u r c e

@

@I

5 5 5

S u r f a c e

;

;

?

D

e

p

t

h

-

xo r i g i n

?

z


B o u n d a r y

@

@I

X

X

X

X

Xz


-

F i g u r e 1 7 : G e o l o g i c a l M o d e l

I n t e r i o r

E a r t h

-

?

x

z

F i g u r e 1 8 : M o d e l B o u n d a r y D a m p i n g N o d e s , L e f t S i d e


26/50

6

T a b l e 1 : B o u n d a r y W e i g h t s

G r i d W e i g h t

P o i n t

1 0 . 0 0 4 4 5

2 0 . 0 0 7 7 5

3 0 . 0 1 3 1 0

4 0 . 0 2 1 4 9

5 0 . 0 3 4 2 2

6 0 . 0 5 2 8 7

7 0 . 0 7 9 2 6

8 0 . 1 1 5 3 3

9 0 . 1 6 2 8 4

1 0 0 . 2 2 3 1 3

1 1 0 . 2 9 6 7 1

1 2 0 . 3 8 2 8 9

1 3 0 . 4 7 9 5 1

1 4 0 . 5 8 2 7 5

1 5 0 . 6 8 7 2 9

1 6 0 . 7 8 6 6 3

1 7 0 . 8 7 3 7 2

1 8 0 . 9 4 1 7 6

1 9 0 . 9 8 5 1 1

2 0 1 . 0 0 0 0 0

r e c o m p u t e d .

n + 1

( x

w

) =

n + 1

( x

w

) w ( x

w

) ( 6 7 )

n

( x

w

) =

n

( x

w

) w ( x

w

) ( 6 8 )

7 S e i s m i c M o d e l C o d e s a n d R e s u l t s

7 . 1 V E L M O D P r o g r a m

h e v e l m o d p r o g r a m g e n e r a t e s a v e l o c i t y d a t a l e f o r t h e s e i s m i c a n d r e v t i m e p r o g r a m s . A

i n u s o i d a l s t r u c t u r e i s p l a c e d o v e r a a t l a y e r . T h e p r i m a r y f e a t u r e o f t h i s a r t i c i a l m o d e l i s

h e v a r y i n g d i p s t r u c t u r e a s s h o w n i n F i g u r e 1 9 . T h e v e l o c i t i e s o f t h i s m o d e l h a v e m a x i m u m


27/50

S e i s m i c M o d e l C o d e s a n d R e s u l t s 2 7

Velocity Field

Sine Wave Model

1000 Meters

1000 Meters

Velocities

Km/Sec

1 5.001

2 6.00

23 7.00

3

F i g u r e 1 9 : S i n e W a v e M o d e l

o m i n i m u m r a t i o o f 3 . A p o r t i o n o f t h e v e l m o d . f p r o g r a m l i s t i n g i s s h o w n i n P R O G R A M

O D E I . T h e n u m b e r o f c y c l e s i n t h e m o d e l i s s e t b y t h e v a r i a b l e C y c l e .

r p b o r d i n g

p a r a m e t e r ( n x d = 5 0 0 , n z d = 3 0 0 )

p a r a m e t e r ( n x d = 1 0 1 , n z d = 1 0 1 )

p a r a m e t e r ( n x d = 1 0 2 4 , n z d = 1 0 2 4 )

p a r a m e t e r ( n x d = 5 0 , n z d = 5 0 )

d i m e n s i o n s r c ( n x d , n z d )

d i m e n s i o n v e l ( n x d , n z d )

d o 1 0 i = 1 , n x d

d o 2 0 j = 1 , n z d

v e l ( i , j ) = 1 5 0 0 . 0

s r c ( i , j ) = 0 . 0

2 0 c o n t i n u e

a d d s i n e w a v e


28/50

8

x x = i

x t = n x d

x r = x x / x t

n 9 0 = 7 0

j z z = ( n z d - n 9 0 ) + 2 0 * s i n ( 4 . * 6 . 2 8 * x r )

d o 1 5 j = j z z , n z d

v e l ( i , j ) = 3 0 0 0 . 0

1 5 c o n t i n u e

d o 1 6 j = j z z + 4 0 , n z d

v e l ( i , j ) = 1 5 0 0 . 0

1 6 c o n t i n u e

1 0 c o n t i n u e

d o 1 8 i = n x d / 4 , n x d - n x d / 4

a d d s i n e w a v e

x x = i

x x = x x * 1 . 0

x t = n x d

x r = x x / x t

j z z = ( n z d - 2 0 ) - 1 0 * c o s ( 6 . 2 8 * x r - 3 . 1 4 * 0 . 5 )

1 8 c o n t i n u e

v m i n = v e l ( 1 , 1 )

v m a x = v e l ( 1 , 1 )

d o 4 1 i = 1 , n x d

d o 4 0 j = 1 , n z d

i f ( j . n e . n z d ) t h e n

i f ( a b s ( v e l ( i , j ) - v e l ( i , j + 1 ) ) . g t . 5 . 0 ) t h e n

s r c ( i , j ) = 1 . 0

e n d i f

e n d i f

i f ( v e l ( i , j ) . g t . v m a x ) v m a x = v e l ( i , j )

i f ( v e l ( i , j ) . l t . v m i n ) v m i n = v e l ( i , j )

4 0 c o n t i n u e

4 1 c o n t i n u e

o p e n ( 1 2 , f i l e = ' m v e l . d a t ' , f o r m = ' u n f o r m a t t e d ' )

o p e n ( 1 0 , f i l e = ' v e l o c i t y . d a t ' , f o r m = ' u n f o r m a t t e d ' )

d o 3 0 i = 1 , n z d


29/50


w r i t e ( 1 2 ) ( v e l ( j , i ) , j = 1 , n x d )

w r i t e ( 1 0 ) ( v e l ( j , i ) , j = 1 , n x d )

3 0 c o n t i n u e

c l o s e ( 1 0 )

w r i t e ( 6 , 2 1 0 ) v m i n , v m a x

2 1 0 f o r m a t ( ' m i n , m a x v e l o c i t y ' , 2 f 1 2 . 4 )

c l o s e ( 1 2 )

o p e n ( 1 0 , f i l e = ' r e f l e c t o r . d a t ' , f o r m = ' u n f o r m a t t e d ' )

d o 6 0 i = 1 , n z d

w r i t e ( 1 0 ) ( s r c ( j , i ) , j = 1 , n x d )

6 0 c o n t i n u e

c l o s e ( 1 0 )

o p e n ( 1 0 , f i l e = ' r e f l e c t o r . s u ' , f o r m = ' f o r m a t t e d ' )

l a = 1

w r i t e ( 1 0 , 2 0 0 ) n z d , n x d , l a

2 0 0 f o r m a t ( 3 i 4 )

d o i = 1 , n x d

d o j = 1 , n z d

w r i t e ( 1 0 , 2 0 1 ) s r c ( i , j )

2 0 1 f o r m a t ( e 1 3 . 6 )

e n d d o

e n d d o

c l o s e ( 1 0 )

e n d

P R O G R A M C O D E I , S i n e W a v e M o d e l

7 . 2 D i p p i n g M o d e l

7 . 2 . 1 D I P P r o g r a m

h e d i p p r o g r a m g e n e r a t e s a v e l o c i t y d a t a l e f o r t h e s e i s m i c a n d r e v t i m e p r o g r a m s . T h i s i s

h e s i m p l e s t m o d e l p r o v i d e d a n d i l l u s t r a t e s t h e r e v e r s e t i m e m e t h o d . T h e l a y e r s a r e n e a r l y

a t , b u t s o m e s l i g h t d i p i s i n c l u d e d . T h i s g e o l o g y i s s i m i l a r t o r e g i o n s o f W e s t T e x a s . T h e

e l o c i t i e s o f t h i s m o d e l h a v e m a x i m u m t o m i n i m u m r a t i o o f 2 . A p o r t i o n o f t h e d i p . f p r o g r a m

i s t i n g i s s h o w n i n P R O G R A M C O D E I I .

d i p p i n g l a y e r m o d e l b u i l d i n g p r o g r a m

p a r a m e t e r ( n x = 8 0 0 , n z = 8 0 0 )


30/50

0

d i m e n s i o n v v ( n x , n z )

d i m e n s i o n v z ( 2 0 )

d i m e n s i o n a m ( 2 0 ) , b m ( 2 0 )

t h e v e l o c i t y a t d e p t h i s d e t e r m i n e d b y l i n e s e g m e n t s

n l i n e = 8

b m ( 1 ) = 5 0 0 . 0

b m ( 2 ) = 2 0 0 0 . 0

b m ( 3 ) = 3 0 0 0 . 0

b m ( 4 ) = 6 0 0 0 . 0

b m ( 5 ) = 8 0 0 0 . 0

b m ( 6 ) = 1 1 0 0 0 . 0

b m ( 7 ) = 1 4 0 0 0 . 0

b m ( 8 ) = 1 6 0 0 0 . 0

a m ( 1 ) = - 0 . 0 5

a m ( 2 ) = - 0 . 0 7

a m ( 3 ) = - 0 . 0 5

a m ( 4 ) = - 0 . 0 5

a m ( 5 ) = + 0 . 0 2

a m ( 6 ) = - 0 . 0 3

a m ( 7 ) = - 0 . 0 6

a m ( 8 ) = - 0 . 0 0

v z ( 1 ) = 2 0 0 0 . 0

v z ( 2 ) = 2 4 0 0 . 0

v z ( 3 ) = 3 2 0 0 . 0

v z ( 4 ) = 3 0 0 0 . 0

v z ( 5 ) = 3 5 0 0 . 0

v z ( 6 ) = 3 2 0 0 . 0

v z ( 7 ) = 3 6 0 0 . 0

v z ( 8 ) = 3 8 0 0 . 0

d x = 2 5 . 0

d z = 2 5 . 0

c r e a t e i n i t i a l w a t e r l a y e r


31/50


d o i = 1 , n x

d o j = 1 , n z

v v ( i , j ) = 1 5 0 0 . 0

e n d d o

e n d d o

n o w l a y e r b y l a y e r m a k e v e l o c i t i e s u n d e r e a c h

l i n e

e a c h n e w l a y e r o v e r w r i t e s t h a t b e l o w

d o k = 1 , n l i n e

d o i = 1 , n x

d o j = 1 , n z

x = ( i - 1 ) * d x

z = ( j - 1 ) * d z

z l = a m ( k ) * x + b m ( k )

i f ( z . g t . z l ) t h e n

v v ( i , j ) = v z ( k )

e n d i f

e n d d o

e n d d o

e n d d o

w r i t e m o d e l t o f i l e

o p e n ( 1 6 , f i l e = ' d i p . d a t ' , f o r m = ' u n f o r m a t t e d ' )

d o j = 1 , n z

w r i t e ( 1 6 ) ( v v ( i , j ) , i = 1 , n x )

e n d d o

c l o s e ( 1 6 )

e n d

P R O G R A M C O D E I I , T h e D i p p i n g M o d e l

7 . 2 . 2 D i p p i n g L a y e r M o d e l R e s u l t s

h e d i p p i n g l a y e r m o d e l v e l o c i t y e l d a n d e x p l o d i n g r e e c t o r s o u r c e l o c a t i o n s a r e s h o w n i n

i g u r e s 2 0 a n d 2 1 , r e s p e c t i v e l y . T h e c o m p u t e d m o d e l r e s u l t s a r e s h o w n i n F i g u r e s 2 2 a n d

3


32/50

2

Velocity Field

Dipping Layer Model

3000 Meters

2000 Meters

Velocities

Km/Sec

1 1.50

1

2 2.00

2

3 2.403

4 3.00

4

5 3.20

5

6 3.40

sw seismic wave propagation 95 p50

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