s.w. hawking- do wormholes fix the constants of nature?

8/3/2019 S.W. Hawking- Do Wormholes Fix the Constants of Nature?

1/11

N u c l e a r P h y s i c s B 3 3 5 ( 1 9 9 0 ) 1 5 5 - 1 6 5N o r t h - H o l l a n d

DOWORMHOLES F I X THE CONSTANTS OF NATURE?S . W . HAWKI NG

D e p a r t me n t o f A p p l i e d Ma t h e ma t i c s a n d T h e o r e t i c a l p h y s i c s , U n i v e r s i t y o f C a mb r i d g e ,S i l v e r S t r e e t , C a mb r i d g e CB 3 9 E W, UK

R e c e i v e d 1 A u g u s t 1 9 8 9

T h i s p a p e r e x a m i n e s t h e c l a i m t h a t t h e wo r mh o l e e f f e c t s t h a t c a u s e t h e c o s mo l o g i c a l c o n s t a n tt o b e z e r o , a l s o f i x t h e v a l u e s o f a l l t h e o t h e r e f f e c t i v e c o u p l i n g c o n s t a n t s . I t i s s h o w n t h a t t h ea s s u mp t i o n t h a t wo r mh o l e s c a n b e r e p l a c e d b y e f f e c t i v e i n t e r a c t i o n s i s v a l i d i n p e r t u r b a t i o nt h e o r y , b u t i t l e a d s t o a p a t h i n t e g r a l t h a t d o e s n o t c o n v e r g e . E v e n i f o n e i g n o r e s t h i s d i f f i c u l t y ,t h e p r o b a b i l i t y m e a s u r e o n t h e s p a c e o f e f f e c t i v e c o u p l i n g c o n s t a n t s d i v e r g e s T h i s d o e s n o t a f f e c tt h e c o n c l u s i o n t h a t t h e c o s mo l o g i c a l c o n s t a n t s h o u l d b e z e r o . Ho we v e r , t o f i n d t h e p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n f o r o t h e r c o u p l i n g c o n s t a n t s , o n e h a s t o i n t r o d u c e a c u t o f f i n t h e p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n T h e r e s u l t s d e p e n d v e r y much o n t h e c u t o f f u s e d . F o r o n e c h o i c e o f c u t o f f a t l e a s t ,t h e c o u p l i n g c o n s t a n t s d o n o t h a v e u n i q u e v a l u e s , b u t h a v e a g a u s s i a n p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n .

1 . I n t r o d u c t i o nT h e a i m o f t h i s p a p e r i s t o d i s c u s s w h e t h e r wo r mh o l e s i n t r o d u c e a n e x t r a d e g r e e

o f u n c e r t a i n t y i n t o p h y s i c s , o v e r a n d a b o v e t h a t n o r ma l l y a s s o c i a t e d w i t h q u a n t u mme c h a n i c s [ 1 , 2 1 . Or w h e t h e r , a s Co l e ma n [ 3 ] a n d P r e s k i l l [ 4 ] h a v e s u g g e s t e d , t h eu n c e r t a i n t y i s r e mo v e d b y t h e s ame me c h an i s m t h a t ma k e s t h e c o s mo l o g i c a lc o n s t a n t z e r o .

Wo r mh o l e s [ 5 - 7 ] a r e f o u r - d i me n s i o n a l p o s i t i v e - d e f i n i t e ( o r e u c l i d e a n ) me t r i c st h a t c o n s i s t o f n a r r o w t h r o a t s j o i n i n g l a r g e , n e a r l y f l a t r e g i o n s o f s p a c e - t i me . On e o ft h e o r i g i n a l mo t i v a t i o n s f o r s t u d y i n g t h e m wa s t o p r o v i d e a c o mp l e t e q u a n t u mt r e a t m e n t o f g r a v i t a t i o n a l c o l l a p s e a n d b l a c k - h o l e e v a p o r a t i o n . I f o n e a c c e p t s t h e" n o b o un d a r y " p r o p o s a l [ 8 ] f o r t h e q u an t u m s t a t e o f t h e u n i v e r s e , t h e c l a s s o fp o s i t i v e - d e f i n i t e me t r i c s i n t h e p a t h i n t e g r a l , c a n n o t h a v e a n y s i n g u l a r i t i e s o r e d g e s .T h e r e t h u s h a s t o b e s o me wh e r e f o r t h e p a r t i c l e s t h a t f e l l i n t o t h e h o l e , a n d t h ea n t i p a r t i c l e s t o t h e e mi t t e d p a r t i c l e s , t o g o t o . ( I n g e n e r a l , t h e s e t wo s e t s o f p a r t i c l e sw i l l b e d i f f e r e n t , a n d s o t h e y c a n n o t j u s t a n n i h i l a t e w i t h e a c h o t h e r . ) A wo r mh o l el e a d i n g o f f t o a n o t h e r r e g i o n o f s p a c e - t i me , wo u l d s e e m t o b e t h e m o s t r e a s o n a b l ep o s s i b i l i t y [ 5 ] . I f t h i s i s i n d e e d t h e c a s e , o n e wo u l d n o t b e a b l e t o me a s u r e t h e p a r to f t h e q u a n t u m s t a t e t h a t w e n t d o w n t h e wo r mh o l e . T h u s t h e r e wo u l d b e l o s s o fq u a n t u m c o h e r e n c e , a n d t h e f i n a l q u a n t u m s t a t e i n o u r r e g i o n o f t h e u n i v e r s e wo u l d0 5 50 - 3 2 13 / 9 0 / $ 0 3 . 5 0 E l s e v i e r S c i e n c e P u b l i s h e r s B . V .( N o r t h - H o l l a n d )


2/11

1 5 6 S . WHa wk i n g / Wo r m h o l e sb e a mi x e d s t a t e , r a t h e r t h a n a p u r e q u a n t u m s t a t e . T h i s wo u l d r e p r e s e n t a n e x t r ad e g r e e o f u n c e r t a i n t y t h a t wa s i n t r o d u c e d i n t o p h y s i c s b y q u a n t u m g r a v i t y , o v e r a n da b o v e t h e u n c e r t a i n t y n o r m a l l y a s s o c i a t e d w i t h q u an t u m t h e o r y . T h e e n t r o p y o f t h ed e n s i t y m a t r i x o f t h e f i n a l s t a t e wo u l d b e a me a s u r e o f t h i s e x t r a d e g r e e o fu n c e r t a i n t y .

I f m a c r o s c o p i c wo r mh o l e s o c c u r i n t h e f o r m a t i o n a n d e v a p o r a t i o n o f b l a c k h o l e s ,o n e wo u l d e x p e c t t h a t t h e r e wo u l d a l s o b e a wh o l e s p e c t r u m o f wo r mh o l e s d o w n t ot h e P l a n c k s i z e , a n d m a y b e b e y o n d . On e m i g h t e x p e c t t h a t s u c h v e r y s ma l lwo r mh o l e s wo u l d b e b r a n c h i n g o f f f r o m o u r r e g i o n o f s p a c e - t i me a l l t h e t i me . Soh o w i s i t t h a t q u a n t u m c o h e r e n c e s e e m s t o b e c o n s e r v e d i n n o r m a l s i t u a t i o n s ? T h ea n s w e r [ 9 , 1 0 ] s e e m s t o b e t h a t f o r m i c r o s c o p i c w o r m h o l e s , t h e e x t r a d e g r e e o f

u n c e r t a i n t y c a n b e a b s o r b e d i n t o a n u n c e r t a i n t y a b o u t t h e v a l u e s o f p h y s i c a lc o u p l i n g c o n s t a n t s . T h e a r g u m e n t g o e s a s f o l l o w s :

S t e p 1 . B e c a u s e P l a n c k - s i z e wo r mh o l e s a r e mu c h s ma l l e r t h a n t h e s c a l e s o nwh i c h we c a n o b s e r v e , o n e wo u l d n o t s e e wo r mh o l e s a s s u c h . I n s t e a d , t h e y wo u l da p p e a r a s p o i n t i n t e r a c t i o n s , i n wh i c h a n um b e r o f p a r t i c l e s a p p e a r e d o r d i s a p -p e a r e d f r o m o u r r e g i o n o f t h e u n i v e r s e . E n e r g y , mome n t u m, a n d g a u g e c h a r g e swo u l d b e c o n s e r v e d i n t h e s e i n t e r a c t i o n s , s o t h e y c o u l d b e r e p r e s e n t e d , a t l e a s t i np e r t u r b a t i o n t h e o r y , b y t h e a d d i t i o n o f g a u g e i n v a r i a n t e f f e c t i v e i n t e r a c t i o n t e r m s9 i ( o ) t o t h e l a g r a n g i a n , wh e r e 0 a r e t h e l o w - e n e r g y e f f e c t i v e f i e l d s i n t h e l a r g er e g i o n s [ 5 , 6 ] . I t i s i m p l i c i t l y a s s u m e d t h a t t h e r e i s a d i s c r e t e s p e c t r u m o f wo r mh o l es t a t e s l a b e l l e d b y t h e i n d e x i . T h i s w i l l b e d i s c u s s e d i n a n o t h e r p a p e r [ 1 1 1 .

S t e p 2 . T h e s t r e n g t h s o f t h e e f f e c t i v e i n t e r a c t i o n s w i l l d e p e n d o n t h e a mp l i t u d e sf o r t h e wo r mh o l e s t o j o i n o n . T h i s i n t u r n w i l l d e p e n d o n w h a t i s a t t h e o t h e r e n d o ft h e wo r mh o l e s . I n t h e d i l u t e wo r mh o l e a p p r o x i m a t i o n , e a c h wo r mh o l e i s a s s u m e d t oc o n n e c t t wo l a r g e r e g i o n s , a n d t h e a mp l i t u d e s a r e a s s u m e d t o d e p e n d o n l y o n t h ev e r t e x f u n c t i o n s B , a t e a c h e n d . T h u s t h e e f f e c t o f wo r mh o l e s s ma l l e r t h a n t h e s c a l eo n wh i c h we c a n o b s e r v e , c a n b e r e p r e s e n t e d b y a b i - l o c a l e f f e c t i v e a d d i t i o n t o t h ea c t i o n [ 1 0 ] :

- i _ 4 ` ' f d 4 x g ( x ) B , ( x ) f d 4 Y g ( Y) B; ( Y )T h e p o s i t i o n i n d e p e n d e n t m a t r i x Q t l c a n b e s e t t o t h e u n i t ma t r i x b y a c h o i c e o f t h eb a s i s o f wo r mh o l e s t a t e a n d n o r m a l i z a t i o n o f t h e v e r t e x f u n c t i o n s B . T h e q u e s t i o no f t h e s i g n o f t h e b i - l o c a l a c t i o n w i l l b e d i s c u s s e d l a t e r .

S t e p 3 . T h e b i - l o c a l a c t i o n c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o a s u m o f l o c a l a d d i t i o n s t ot h e a c t i o n b y u s i n g t h e i d e n t i t y [ 1 0 ]

e x p [ z f d 4 x g ( x ) e ( x ) f d 4 Y g ( Y) 0 ( Y ) 1_ ( 7 T ) - l / Z f d a e x p [ - Z a z l e x p [ - a f d 4 x g ( x ) 9 ( x )


3/11


4/11

1 5 8 S . W Ha wk i n g / Wo r mh o l e sI f o n e j u s t t o o k a s i n g l e s p h e r e , Z ( a ) w o u l d b e e x p ( 3 / 8 G 2A ) . H o w e v e r , Co l e ma na r g u e s t h a t t h e r e c a n b e m a n y s u c h s p h e r e s c o n n e c t e d b y w o r mh o l e s . T h u s

3Z ( a ) = e x p ( e x p ( z ) ) .8 G AE i t h e r t h e s i n g l e o r t h e d o u b l e e x p o n e n t i a l s b l o w u p s o r a p i d l y , a s A a p p r o a c h e sz e r o f r o m a b o v e , t h a t t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n w i l l b e c o n c e n t r a t e d e n t i r e l y a tt h o s e a f o r w h i c h A = 0 [ 3 , 1 2 ] .S t e p 6 . T h e a r g u m e n t t o f i x t h e o t h e r e f f e c t i v e c o u p l i n g s t a k e s a t l e a s t t w oa l t e r n a t i v e f o r m s :( i ) C o l e ma n ' s o r i g i n a l p r o p o s a l [ 3 ] w a s t h a t t h e e f f e c t i v e a c t i o n f o r a s i n g l e s p h e r es h o u l d b e e x p a n d e d i n a p o w e r s e r i e s i n A . T h e l e a d i n g t e r m w i l l b e - 3 / 8 GA, b u tt h e r e w i l l b e h i g h e r - o r d e r c o r r e c t i o n s a r i s i n g f r o m t h e h i g h e r p o w e r s o f t h e c u r v a -t u r e i n t h e e f f e c t i v e a c t i o n :

t h e n

38 GA + &i ) + A g ( 6 ) + . . . ,

w h e r e 6 a r e t h e d i r e c t i o n s i n t h e a p a r a me t e r s p a c e o r t h o g o n a l t o t h e d i r e c t i o n i nw h i c h A ( a ) v a r i e s . T h e h i g h e r - o r d e r c o r r e c t i o n s t o I ' w o u l d n o t ma k e mu c hd i f f e r e n c e i f Z ( a ) = e - r . B u t i f

Z ( a ) = e x p ( e x p ( - r ,SZ ( a ) = e - r ST .( a )

T h e f a c t o r , e - c . , w i l l b e v e r y l a r g e f o r A s ma l l a n d p o s i t i v e . T h u s a s ma l l c o r r e c t i o nt o T w i l l h a v e a b i g e f f e c t o n t h e p r o b a b i l i t y . T h i s w o u l d c a u s e t h e p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n t o b e c o n c e n t r a t e d e n t i r e l y a t t h e mi n i mu m o f t h e c o e f f i c i e n t , f ( t i ) , i nt h e p o w e r s e r i e s e x p a n s i o n o f I ' ( a l w a y s a s s u mi n g t h a t f h a s a m i n i mu m ) .S i m i l a r l y , o n e w o u l d e x p e c t t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n t o b e c o n c e n t r a t e d e n t i r e l ya t t h e mi n i mu m o f t h e mi n i mu m o f t h e h i g h e r c o e f f i c i e n t s i n t h e p o w e r s e r i e se x p a n s i o n . T h i s w o u l d l e a d t o a n i n f i n i t e n u m b e r o f c o n d i t i o n s o n t h e a p a r a m e -t e r s . I t i s h o p e d t h a t t h e s e w o u l d c a u s e t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n t o b e c o n c e n -t r a t e d e n t i r e l y a t a s i n g l e v a l u e o f t h e e f f e c t i v e c o u p l i n g s , a .( i i ) A n a l t e r n a t i v e me c h a n i s m f o r f i x i n g t h e e f f e c t i v e c o u p l i n g s h a s b e e n s u g g e s t e db y P r e s k i l l [ 4 ] . I f t h e d o mi n a n t t e r m i n T i s - 3 / G ZA , o n e mi g h t e x p e c t t h a t t h ep r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n w o u l d b e c o n c e n t r a t e d e n t i r e l y a t G ( a ) = 0 , a s w e l l a s a tA ( a ) = 0 . H o w e v e r , we k n o w t h a t G ( a ) = A 0 , b e c a u s e we o b s e r v e g r a v i t y . S o t h e r e


5/11

SWHa wk i n g / Wo r mh o l e s 1 5 9must b e so m e mi n i mu m v a l u e o f G( a ) . On e wo u l d e x p e c t t h a t t h e p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n wo u l d b e c o n c e n t r a t e d e n t i r e l y a t t h i s mi n i mu m v a l u e , a n d o n e wo u l dh o p e t h a t t h e mi n i mu m wo u l d o c c u r a t a s i n g l e v a l u e o f t h e e f f e c t i v e c o u p l i n g s , a .T h i s p a p e r w i l l e x a mi n e t h e v a l i d i t y o f t h e a b o v e s t e p s . S t e p s 1 a n d 2 a r e u s u a l l ya s s u m e d w i t h o u t a n y s u p p o r t i n g c a l c u l a t i o n s . Ho we v e r , a n e x p l i c i t c a l c u l a t i o n i sg i v e n i n s e c t . 2 , f o r t h e c a s e o f a s c a l a r f i e l d . T h i s c o n f i r m s t h a t wo r mh o l e s c a ni n d e e d b e r e p l a c e d b y a b i - l o c a l a c t i o n , a t l e a s t f o r t h e c a l c u l a t i o n o f l o w - e n e r g yGr e e n f u n c t i o n s i n p e r t u r b a t i o n t h e o r y . T h e s i g n o f t h e b i - l o c a l a c t i o n i s t h a tr e q u i r e d f o r t h e u s e o f t h e i d e n t i t y i n s t e p 3 . H o w e v e r , t h e s i g n a l s o means t h a t t h ep a t h i n t e g r a l d o e s n o t c o n v e r g e , e v e n i n t h e c a s e o f a s c a l a r f i e l d o n a b a c k g r o u n dg e o m e t r y . T h u s t h e p r o c e d u r e o f u s i n g t h e e f f e c t i v e a c t i o n s t o c a l c u l a t e a b a c k -g r o u n d g e o m e t r y f o r e a c h s e t o f a p a r a m e t e r s , i s s u s p e c t . Ho we v e r , i f o n e i sp r e p a r e d t o a c c e p t i t , o n e wo u l d i n d e e d e x p e c t t h a t F wo u l d d i v e r g e o n ah y p e r s u r f a c e i n a s p a c e , o n w h i c h A = 0 . T h u s t h e c o s mo l o g i c a l c o n s t a n t w i l l b ez e r o , w i t h o u t a n y u n c e r t a i n t y . H o w e v e r , t o c a l c u l a t e t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s o ft h e o t h e r e f f e c t i v e c o u p l i n g c o n s t a n t s , o n e h a s t o i n t r o d u c e a c u t o f f f o r t h ed i v e r g e n t p r o b a b i l i t y m e a s u r e . D i f f e r e n t c u t o f f s w i l l g i v e d i f f e r e n t a n s w e r s . I n d e e d ,a n a t u r a l c u t o f f w i l l j u s t g i v e t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n P ( a ) f o r a l l e f f e c t i v ec o u p l i n g s e x c e p t t h e c o s mo l o g i c a l c o n s t a n t . T h u s o n e c a n n o t c o n c l u d e t h a t t h ee f f e c t i v e c o u p l i n g s w i l l b e g i v e n u n i q u e v a l u e s b y wo r mh o l e s .

2 . T h e b i - l o c a l a c t i o nI n t h i s s e c t i o n , i t w i l l b e s h o w n t h a t s c a l a r f i e l d Gr e e n f u n c t i o n s o n a c l a s s o f

wo r mh o l e b a c k g r o u n d s c a n b e c a l c u l a t e d a p p r o x i m a t e l y f r o m a b i - l o c a l a d d i t i o n t ot h e s c a l a r f i e l d a c t i o n i n f l a t s p a c e . I n p a r t i c u l a r , t h e s i g n o f t h e b i - l o c a l a c t i o n w i l lb e o b t a i n e d . T h e wo r mh o l e b a c k g r o u n d s w i l l b e t a k e n t o b e h y p e r s p h e r i c a l l ys y mme t r i c , l i k e a l l t h e s p e c i f i c e x a m p l e s c o n s i d e r e d s o f a r . T h i s means t h a t t h e y a r ec o n f o r ma l l y f l a t . F o r d e f i n i t e n e s s , t h e c o n f o r m a l f a c t o r w i l l b e t a k e n t o b e

b 2 2d s 2 = 1 + d x 2( x - x o ) 2

T h i s i s t h e wo r mh o l e s o l u t i o n f o r a c o n f o r m a l l y s c a l a r f i e l d [ 1 3 ] , o r a Y ang- Mi l l sf i e l d [ 1 4 ] . I n t h e c a s e o f a m i n i m a l l y c o u p l e d s c a l a r [ 7 ] , t h e c o n f o r m a l f a c t o r w i l lh a v e t h e same a s y m p t o t i c f o r m a t i n f i n i t y , a n d n e a r x o , t h e i n f i n i t y i n t h e o t h e ra s y m p t o t i c a l l y e u c l i d e a n r e g i o n . T h e c o n f o r m a l f a c t o r s w i l l d i f f e r s l i g h t l y i n t h er e g i o n o f t h e t h r o a t , b u t t h i s w i l l j u s t make t h e b i - l o c a l a c t i o n s l i g h t l y d i f f e r e n t .

T h e m e t r i c g i v e n a b o v e a p p e a r s t o b e s i n g u l a r a t t h e p o i n t x o . H o w e v e r , o n e c a ns e e t h a t t h i s i s r e a l l y i n f i n i t y i n a n o t h e r a s y mp t o t i c a l l y e u c l i d e a n r e g i o n , b y


6/11

1 6 0 S . WH a w k i n g / Wo r mh o l e si n t r o d u c i n g n e w c o o r d i n a t e s t h a t a r e a s y mp t o t i c a l l y e u c l i d e a n i n t h e o t h e r r e g i o n

wh e r e O , , ' i s a n o r t h o g o n a l m a t r i x . I n o r d e r t o s t u d y l o w - e n e r g y p h y s i c s i n t h ea s y m p t o t i c a l l y e u c l i d e a n r e g i o n s , o n e n e e d s t o k n o w t h e Gr e e n f u n c t i o n s f o r p o i n t sx 1 , x 2 , . . . a n d Y 1 , Y 2 , . . . i n t h e t wo r e g i o n s , f a r f r o m t h e t h r o a t . C o n s i d e r t h e Gr e e nf u n c t i o n f o r a p o i n t x i n o n e a s y m p t o t i c r e g i o n , a n d a p o i n t y i n t h e o t h e r . S i n c et h e wo r mh o l e m e t r i c g i v e n a b o v e h a s R = 0 , t h e c o n f o r m a l l y a n d m i n i m a l l y c o u p l e ds c a l a r f i e l d s w i l l h a v e t h e s a m e Gr e e n f u n c t i o n s . On e c a n t h e r e f o r e c a l c u l a t e t h eGr e e n f u n c t i o n u s i n g c o n f o r m a l i n v a r i a n c e a s

wh e r e z i s t h e i m a g e o f t h e p o i n t y u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n a b o v e .f a r f r o m t h e wo r mh o l e e n d s , x 0 a n d y o ,

T h u s

O l v ( x g - x )Y V = 0 + Yo( x - x o )

G ( x , Y ) = Q( A ) - ' 1( x x ) 2 2 ( x ) - 1 ,-

b 2S 2 ( x ) = 1 , S Z ( z ) = 2 , z = x o .6Y - Y o )b 2G( x , Y ) ( x _ x o ) 2 ( Y - Y o ) 2 .

T h i s i s wh a t o n e wo u l d h a v e o b t a i n e d f r o m a b i - l o c a l i n t e r a c t i o n o f t h e f o r m

z f d 4 x o b ~ 5 ( x o ) f d 4 Y o b $ ( Y o ) .

- z f d 4 x o b 2$ 2 ( x o ) f d 4 Yo b 2 $ 2 ( Y o ) .

F o r x a n d y

No t e t h a t t h e b i - l o c a l a c t i o n h a s a n e g a t i v e s i g n . T h i s i s b e c a u s e t h e Gr e e n f u n c t i o n sa r e p o s i t i v e .Now c o n s i d e r t wo p o i n t s x 1 , x 2 a n d Y 1 , Y2 i n e a c h a s y m p t o t i c r e g i o n . T h ef o u r - p o i n t f u n c t i o n w i l l c o n t a i n a t e r m , G( x 1 , y 1 ) G( x 2 , Y 2 ) , wh i c h w i l l b e g i v e na p p r o x i m a t e l y b y t h e b i - l o c a l a c t i o n

I n g e n e r a l , Gr e e n f u n c t i o n s i n v o l v i n g n - p o i n t s i n e a c h a s y m p t o t i c r e g i o n w i l l b eg i v e n b y b i - l o c a l a c t i o n s w i t h v e r t e x f u n c t i o n s 9 ( x ) o f t h e f o r m , b " ( ~ " ( x ) . I f o n e


7/11

S .WHa wk i n g / Wo r mh o l e s 1 6 1t a k e s g r a v i t a t i o n a l i n t e r a c t i o n s i n t o a c c o u n t , o n e wo u l d e x p e c t t h a t t h e b i - l o c a la c t i o n wo u l d b e mu l t i p l i e d b y a f a c t o r ewher e I a n / G i s t h e a c t i o n f o r awo r mh o l e c o n t a i n i n g n s c a l a r p a r t i c l e s .On e c a n a l s o c o n s i d e r h i g h e r - o r d e r c o r r e c t i o n s t o t h e Gr e e n f u n c t i o n s o n awo r mh o l e b a c k g r o u n d wh i c h a r i s e b e c a u s e t h e i m a g e , . z , o f t h e p o i n t , y , i s n o te x a c t l y a t x o . T h e s e w i l l b e r e p r o d u c e d b y b i - l o c a l a c t i o n s i n v o l v i n g v e r t e x f u n c -t i o n s c o n t a i n i n g d e r i v a t i v e s o f t h e s c a l a r f i e l d . On l y t h o s e v e r t e x f u n c t i o n s t h a t a r es c a l a r c o m b i n a t i o n s o f d e r i v a t i v e s w i l l s u r v i v e a v e r a g i n g o v e r t h e o r t h o g o n a l m a t r i xO , wh i c h s p e c i f i e s t h e r o t a t i o n o f o n e a s y m p t o t i c a l l y e u c l i d e a n r e g i o n w i t h r e s p e c tt o t h e o t h e r . T h u s t h e v e r t e x t e r m s a n d t h e e f f e c t i v e a c t i o n w i l l b e L o r e n t z i n v a r i a n t .I t s e e m s t h a t a n y s c a l a r p o l y n o m i a l i n t h e s c a l a r f i e l d a n d i t s c o v a r i a n t d e r i v a t i v e sc a n o c c u r a s a v e r t e x f u n c t i o n .

E a r l i e r t h i s y e a r , B . G r i n s t e i n a n d J . Ma h a r a n a [ 1 5 ] p e r f o r m e d a s i m i l a r c a l c u l a -t i o n .

3 . C o n v e r g e n c e o f t h e p a t h i n t e g r a lT h e b i - l o c a l a c t i o n h a s a n e g a t i v e s i g n , s o i t a p p e a r s i n t h e p a t h i n t e g r a l a s a

p o s i t i v e e x p o n e n t i a l . T h i s i s w h a t i s r e q u i r e d i n o r d e r t o i n t r o d u c e t h e a p a r a m e t e r su s i n g t h e i d e n t i t y i n s t e p 3 . I f t h e b i - l o c a l a c t i o n h a d t h e o p p o s i t e s i g n , t h e i n t e g r a lo v e r t h e a p a r a m e t e r s wo u l d b e f d a e + Z / z , w h i c h wo u l d n o t c o n v e r g e . On t h eo t h e r h a n d , b e c a u s e t h e b i - l o c a l a c t i o n i s n e g a t i v e , t h e p a t h i n t e g r a l w i l l n o tc o n v e r g e . T h i s i s t r u e e v e n i n t h e c a s e o f t h e p a t h i n t e g r a l o v e r a s c a l a r f i e l d o n an o n - d y n ami c wo r mh o l e b a c k g r o u n d . T h e r e w i l l b e v e r t e x f u n c t i o n s o f t h e f o r m 0 "f o r e a c h n . I n t h e c a s e o f e v e n n , t h e i n t e g r a l f d 4 y 0 " ( y ) w i l l b e p o s i t i v e . T h i sme a n s t h a t - f d 4 x ( p " ( x ) , t h e o t h e r p a r t o f t h e b i - l o c a l a c t i o n , w i l l g i v e 0 a ne f f e c t i v e p o t e n t i a l t h a t i s u n b o u n d e d b e l o w . T h u s t h e p a t h i n t e g r a l o v e r q ) , w i t h t h eb i - l o c a l e f f e c t i v e a c t i o n , w i l l n o t c o n v e r g e . T h i s d o e s n o t mean t h a t s c a l a r f i e l dt h e o r y o n n o n - d y n a m i c a l wo r mh o l e b a c k g r o u n d s i s n o t w e l l d e f i n e d . Wh a t i t d o e sme a n i s t h a t a b i - l o c a l a c t i o n g i v e s a r e a s o n a b l e a p p r o x i m a t i o n t o t h e e f f e c t o fwo r mh o l e s o n l o w - e n e r g y Gr e e n f u n c t i o n s , i n p e r t u r b a t i o n t h e o r y . B u t o n e s h o u l dn o t t a k e t h e b i - l o c a l a c t i o n t o o l i t e r a l l y . On e c a n s e e t h i s i f o n e c o n s i d e r s i n t r o d u c -i n g t h e a p a r a m e t e r s . On e w i l l t h e n g e t a s c a l a r p o t e n t i a l w h i c h i s a p o l y n o m i a l i n0 , w i t h a - d e p e n d e n t c o e f f i c i e n t s . F o r c e r t a i n v a l u e s o f t h e a , t h e r e w i l l b e m e t a s t a b l es t a t e s , a n d d e c a y o f t h e f a l s e v a c u u m B u t t h e s e o b v i o u s l y h a v e n o p h y s i c a l r e a l i t y .T h e m o r a l t h e r e f o r e i s t h a t o n e c a n u s e a b i - l o c a l a c t i o n t o r e p r e s e n t t h e e f f e c t o fwo r mh o l e s i n p e r t u r b a t i o n t h e o r y . B u t o n e s h o u l d b e wa r y o f u s i n g t h e b i - l o c a la c t i o n t o c a l c u l a t e n o n - p e r t u r b a t i o e e f f e c t s , l i k e v a c u u m s t a t e s .T h i s i s e v e n mo r e t r u e o f t h e e f f e c t i v e g r a v i t a t i o n a l i n t e r a c t i o n s o f wo r mh o l e s . I ti s n o t c l e a r w h e t h e r t h e r e i s a d i r e c t c o n t r i b u t i o n o f wo r mh o l e s t o t h e c o s mo l o g i c a lc o n s t a n t , i . e . w h e t h e r a n y o f t h e v e r t e x f u n c t i o n s c o n t a i n a c o n s t a n t t e r m . T h i swo u l d s h o w u p o n l y i n t h e p u r e t r a c e c o n t r i b u t i o n t o l i n e a r i z e d g r a v i t a t i o n a l Gr e e n


8/11

1 6 2 S .WHa wk i n g / Wo r mh o l e sf u n c t i o n s i n t h e p r e s e n c e o f a wo r mh o l e . So f a r , t h e s e h a v e n o t b e e n c a l c u l a t e d .Ho we v e r , e v e n i f t h e r e i s n o d i r e c t wo r mh o l e c o n t r i b u t i o n t o t h e c o s mo l o g i c a lc o n s t a n t , t h e r e w i l l b e i n d i r e c t c o n t r i b u t i o n s a r i s i n g f r o m l o o p s i n v o l v i n g o t h e re f f e c t i v e i n t e r a c t i o n s . T h e s e w i l l b e c u t o f f o n t h e s c a l e o f t h e w o r m h o l e s , t h a t i s , o nt h e s c a l e o n wh i c h t h e wo r mh o l e s n o l o n g e r a p p e a r t o j o i n o n a t a s i n g l e p o i n t . I n as i m i l a r m a n n e r , t h e r e d o e s n o t s e e m t o b e a wo r mh o l e t h a t make s a d i r e c tc o n t r i b u t i o n t o t h e E i n s t e i n l a g r a n g i a n , R , a n d h e n c e t o Ne wt o n ' s c o n s t a n t . Bya n a l o g y w i t h t h e c a s e o f wo r mh o l e s w i t h e l e c t r o m a g n e t i c a n d f e r m i o n f i e l d s , o n ewo u l d e x p e c t t h a t s u c h a wo r mh o l e wo u l d h a v e t o c o n t a i n j u s t a s i n g l e g r a v i t o n .Ho we v e r , i t s e f f e c t wo u l d a v e r a g e t o z e r o u n d e r r o t a t i o n s o f t h e w o r m h o l e ,d e s c r i b e d b y t h e m a t r i x O . H o w e v e r , t h e r e w i l l a g a i n b e i n d i r e c t c o n t r i b u t i o n s t o1 / G f r o m l o o p s i n v o l v i n g o t h e r e f f e c t i v e i n t e r a c t i o n s .

T h e r e a r e c o n v e r g e n c e p r o b l e m s w i t h g r a v i t a t i o n a l p a t h i n t e g r a l s , e v e n i n t h ea b s e n c e o f wo r mh o l e s . T h e E i n s t e i n - H i l b e r t a c t i o n - J d ' x V-g ( R/ 1 6 7 T G- n ) i sn o t b o u n d e d b e l o w , b e c a u s e c o n f o r m a l t r a n s f o r m a t i o n s o f t h e m e t r i c c a n make t h ea c t i o n a r b i t r a r i l y n e g a t i v e . S t i l l , o n e m i g h t h o p e t h a t t h e d o mi n a n t c o n t r i b u t i o n t ot h e p a t h i n t e g r a l wo u l d c om e f r o m me t r i c s t h a t we r e s a d d l e p o i n t s o f t h e a c t i o n ,t h a t i s t h e y w e r e s o l u t i o n s o f t h e e u c l i d e a n f i e l d e q u a t i o n s . T h e s p h e r i c a l me t r i cg i v e n i n s e c t . 1 h a s t h e l o we s t a c t i o n o f a n y s o l u t i o n o f t h e e u c l i d e a n f i e l d e q u a t i o n sw i t h a g i v e n v a l u e o f ! l . One m i g h t t h e r e f o r e e x p e c t t h a t

3

T h e p r o b l e m o f t h e c o n v e r g e n c e o f t h e p a t h i n t e g r a l i s mu c h w o r s e h o w e v e r , i fo n e r e p l a c e s wo r mh o l e s w i t h a b i - l o c a l a c t i o n . I f t h e r e w e r e a d i r e c t wo r mh o l ec o n t r i b u t i o n t o t h e e f f e c t i v e c o s mo l o g i c a l c o n s t a n t , t h e p a t h i n t e g r a l wo u l d c o n t a i na f a c t o r e c v z , wh e r e V i s t h e v o l u me o f s p a c e - t i me . I f t h e c o n s t a n t C w e r e n e g a t i v e ,t h e i n t e g r a l o v e r a wo u l d n o t c o n v e r g e . B u t i f C w e r e p o s i t i v e , t h e p a t h i n t e g r a lwo u l d d i v e r g e . E v e n r o t a t i n g t h e c o n t o u r o f t h e c o n f o r m a l f a c t o r t o t h e i m a g i n a r ya x i s wo u l d n o t h e l p , b e c a u s e i n f o u r d i m e n s i o n s i t wo u l d l e a v e t h e v o l u me r e a l a n dp o s i t i v e . One m i g h t s t i l l h o p e t h a t t h e s a d d l e p o i n t o f t h e e f f e c t i v e a c t i o n wo u l d g i v ea n e s t i m a t e o f t h e p a t h i n t e g r a l . H o w e v e r , t h e b i - l o c a l a c t i o n wo u l d g i v e r i s e t o a ne f f e c t i v e c o s mo l o g i c a l c o n s t a n t o f v a l u e - 2CV U n l e s s t h i s w e r e b a l a n c e d b y a v e r yl a r g e p o s i t i v e c o s mo l o g i c a l c o n s t a n t o f n o n- wo r mh o l e o r i g i n , t h e a c t i o n o f a n yc o m p a c t s o l u t i o n o f t h e e u c l i d e a n f i e l d e q u a t i o n s wo u l d b e p o s i t i v e . So i t wo u l d b es u p p r e s s e d , r a t h e r t h a n e n h a n c e d , a s i n t h e c a s e o f t h e s p h e r e . E v e n i f t h e r e we r e al a r g e p o s i t i v e n o n- wo r mh o l e c o s mo l o g i c a l c o n s t a n t , i t wo u l d n o t g i v e a s o l u t i o n o fi n f i n i t e v o l u m e , w i t h z e r o e f f e c t i v e c o s mo l o g i c a l c o n s t a n t . One m i g h t s t i l l u s e t h e ai d e n t i t y , r e p l a c e t h e b i - l o c a l a c t i o n w i t h a w e i g h t e d s u m o v e r p a t h i n t e g r a l s w i t h a na - d e p e n d e n t c o s mo l o g i c a l c o n s t a n t . Bu t i f g r a v i t a t i o n a l p a t h i n t e g r a l s c a n b e mades e n s e o f o n l y b y t a k i n g t h e s a d d l e p o i n t , o n e s h o u l d p r e s u m a b l y a l s o t a k e t h e s a d d l e


9/11

p o i n t i n t h e i n t e g r a l o v e r a . I n t h e c a s e o f a s i n g l e e x p o n e n t i a l , t h i s wo u l d g i v e

a n d i n t h e c a s e o f a d o u b l e e x p o n e n t i a l

S . W Ha w k i n g / Wo r mh o l e s 1 6 3

3Fa+ = 0 ,8 G 2 ( A 0 + a 2FC)

2 3F- a + 8 G 2 ( A O +a FC ) 2 0wh e r e A 0 i s t h e n o n - wo r mh o l e c o n t r i b u t i o n t o t h e c o s mo l o g i c a l c o n s t a n t . I n e i t h e rc a s e , t h e e f f e c t i v e c o s mo l o g i c a l c o n s t a n t a t t h e s a d d l e p o i n t w i l l b e o f t h e o r d e ro f 1 1 0 .

4 . T h e d i v e r g e n c e o f t h e p r o b a b i l i t y m e a s u r eS u p p o s e , a s o n e o f t e n d o e s , o n e i g n o r e s p r o b l e ms a b o u t t h e c o n v e r g e n c e o f t h e

p a t h i n t e g r a l . T h e n , a s d e s c r i b e d i n s e c t . l , t h e r e w i l l b e a p r o b a b i l i t y me a s u r e o nt h e s p a c e o f t h e a p a r a m e t e r s

t t ( a ) =P( a ) Z ( a ) ,

wh e r e P ( a ) = e x p [ Y - - Z a ; a ; ] a n d Z ( a ) = e x p [ - l ( a ) ] o r e x p [ e x p [ - l ( a ) ] ] . I f3r _ 8 G2 ( a ) A( a )

a n d GA v a n i s h e s o n s om e s u r f a c e K i n a s p a c e , t h e me a s u r e y ( a ) w i l l d i v e r g e .T h a t i s t o s a y , t h e t o t a l me a s u r e o f a s p a c e w i l l b e i n f i n i t e .T h e t o t a l me a s u r e o f t h e p a r t o f a s p a c e f o r w h i c h GZA > e > 0 ma y we l l b e f i n i t e .I n t h i s c a s e , o n e c o u l d s a y t h a tG 2 A =0 ,

w i t h p r o b a b i l i t y o n e . S i n c e we o b s e r v e t h a t G = # 0 , o n e c o u l d d e d u c e t h a tA=0 .


10/11

1 6 4 SWHawk i n g / Wo r mh o l e sHowev e r , w i t h s u c h a b a d l y d i v e r g e n t p r o b a b i l i t y m e a s u r e , t h i s i s a b o u t t h e o n l y

c o n c l u s i o n o n e c o u l d d r a w . T o g o f u r t h e r , and t o t r y t o a r g u e a s i n s e c t . 1 , t h a t t h ep r o b a b i l i t y me a s u r e i s c o n c e n t r a t e d e n t i r e l y a t a c e r t a i n p o i n t i n a s p a c e , o n e h a s t oi n t r o d u c e some c u t o f f i n t h e p r o b a b i l i t y me a s u r e . One t h e n t a k e s t h e l i m i t a s t h ec u t o f f i s r emo v e d . Th e t r o u b l e i s , d i f f e r e n t w a y s o f c u t t i n g o f f t h e p r o b a b i l i t yme a s u r e w i l l g i v e d i f f e r e n t r e s u l t s . An d i t h a r d t o s e e wh y o n e c u t - o f f p r o c e d u r es h o u l d b e p r e f e r r e d t o a n o t h e r .

One c a n c u t o f f t h e p r o b a b i l i t y m e a s u r e b y i n t r o d u c i n g a f u n c t i o n Fo n a , w h i c hi s z e r o o n t h e s u r f a c e K wh e r e 1 / F=0 , a n d w h i c h i s p o s i t i v e f o r s m a l l n e g a t i v e1 / F . One t h e n c u t s t h e r e g i o n 0 < F< e o u t o f a s p a c e . One wo u l d e x p e c t t h ep r o b a b i l i t y me a s u r e o n t h e r e s t o f a s p a c e t o b e f i n i t e , a n d t h e r e f o r e t o g i v e aw e l l - d e f i n e d p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f o r t h e e f f e c t i v e c o u p l i n g c o n s t a n t s . I f Z ( a ) i sg i v e n b y a d o u b l e e x p o n e n t i a l , t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n w i l l b e h i g h l y c o n c e n -t r a t e d n e a r t h e mi n i mu m o f Fo n t h e s u r f a c e , F= e . T h u s , i n t h e l i mi t e t e n d s t oz e r o , t h e p r o b a b i l i t y wo u l d b e c o n c e n t r a t e d e n t i r e l y a t a s i n g l e p o i n t o f a s p a c e . Bu tt h e p o i n t w i l l d e p e n d o n t h e c h o i c e o f t h e f u n c t i o n F , a n d d i f f e r e n t c h o i c e s w i l l g i v ed i f f e r e n t r e s u l t s . F o r e x a m p l e , C o l e m a n ' s p r o c e d u r e [ 3 ] i s e q u i v a l e n t t o c h o o s i n gF= A . On t h e o t h e r h a n d , P r e s k i l l [ 4 ] h a s s u g g e s t e d u s i n g a c u t o f f o n t h e v o l u me o fs p a c e - t i m e . T h i s wo u l d b e e q u i v a l e n t t o u s i n g

F=GA2 .Bu t i f y o u m i n i m i s e G2A f o r f i x e d G 2 A 2 , y o u wo u l d d r i v e G o z e r o a n d A t o an o n - z e r o v a l u e , i f G c a n b e z e r o a n y wh e r e i n a s p a c e . T h i s i s n o t what o n e w a n t s .On e t h e r e f o r e h a s t o s u p p o s e t h a t G i s b o u n d e d away f r o m z e r o , a t l e a s t i n t h er e g i o n o f a s p a c e i n wh i c h t h e b i - l o c a l a c t i o n i s a r e a s o n a b l e a p p r o x i m a t i o n f o rwo r mh o l e s .

I t s e e m s t h e r e f o r e t h a t o n e c a n g e t d i f f e r e n t r e s u l t s b y d i f f e r e n t me t h o d s o fc u t t i n g o f f t h e d i v e r g e n c e i n t h e p r o b a b i l i t y m e a s u r e . T h e r e d o e s n o t s e e m t o b e au n i q u e p r e f e r r e d c u t o f f . A p o s s i b l e c a n d i d a t e wo u l d b e t o u s e F o r Z ( a ) t h e ms e l v e st o d e f i n e t h e c u t o f f ; f o r e x a mp l e , F= - 1 / F . T h i s wo u l d l e a d t o A =0 , b u t t h eo t h e r e f f e c t i v e c o u p l i n g s wo u l d b e d i s t r i b u t e d w i t h t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o nP( a ) . I n t h i s c a s e , wo r mh o l e s wo u l d h a v e i n t r o d u c e d a n e x t r a d e g r e e o f u n c e r t a i n t yi n t o p h y s i c s . T h i s u n c e r t a i n t y wo u l d r e f l e c t t h e f a c t t h a t we c a n o b s e r v e o n l y o u rl a r g e r e g i o n o f t h e u n i v e r s e , a n d n o t t h e ma j o r p a r t o f s p a c e - t i me , wh i c h i s d own aw o r m h o l e , b e y o n d o u r k e n .

R e f e r e n c e s[ 1 ] S . W . Hawk i n g , Commun . Ma t h . P h y s . 8 7 ( 1 9 8 2 ) 3 9 5[ 2 ] S . W . Hawk i n g a n d R L a f l a mme , P h y s . L e t t . B 2 0 9 ( 1 9 8 8 ) 3 9[ 3 ] S . Co l e man , Nu e l . P h y s . B3 1 0 ( 1 9 8 8 ) 6 4 3


11/11

S WHa wk i n g / Wo r mh o l e s 1 6 5[ 4 ] J . P r e s k i l l , N u c l . P h y s . B323 ( 1 9 8 9 ) 1 4 1[ 5 ] S . W Ha wk i n g , P h y s L e t t . B1 9 5 ( 1 9 8 7 ) 3 3 7[ 6 ] S . W Ha wk i n g , P h y s . Re v D3 7 ( 1 9 8 8 ) 9 0 4[ 7 ] S . B . Gi d d i n g s a n d AS t r o mi n g e r , N u c l . P h y s B3 0 6 ( 1 9 8 8 ) 8 9 0[ 8 ] J . B Ha r t l e a n d S . W Ha wk i n g , Ph y s . Re v . D2 8 ( 1 9 8 3 ) 29 60

6 65

[ 1 3 ] J . J . H a l l i w e l l a n d R . L a f l a mme , Sa n t a Ba r b a r a I TP p r e p r i n t NS F- I TP- 8 9 - 4 1 ( 1 9 8 9 )[ 1 4 ] A Ho s o y a a n dWOg u r a , P h y s . L e t t . B225 ( 1 9 8 9 ) 1 1 7[ 1 5 ] B . Gr i n s t e i n a n d J . Ma h a r a n a , Fe r mi l a b p r e p r i n t F ERMI L AB- PUB- 8 9 / 1 2 1 - T ( 1 9 8 9 )

[ 9 ] S . Co l e ma n , Nu c l . P h y s . B307 ( 1 9 8 8 ) 8 6 4[ 1 0 ] 1 . Kl e b a no v , L . Su s sk i n d a n d T B a n k s , N u c l . Ph y s . B317 ( 1 9 8 9 )[ 1 1 ] S . W Ha wk i n g a n d DP a g e , i n p r e p a r a t i o n[ 1 2 ] S . W Ha wk i n g , Ph y s L e t t . B13 4 ( 1 9 8 4 ) 4 0 2

s.w. hawking- do wormholes fix the constants of nature?

Documents