ČVRSTOĆA

4. NAPREZANJA

OPTEREĆENJA

Na tijelo mogu djelovati dvije vrste vanjskih sila:

Površinske sile, su sile koje djeluju samo u točkama vanjske površine tijela (hidrostatički tlak, međusobni pritisak dvaju tijela u dodiru). One ne ovise od mase tijela.

Volumenske sile, koje djeluju na sve točke tijela, unutar cijelog njegovog volumena (gravitacijske sile, magnetske sile, sile inercije pri gibanju tijela).

Koncentrirane sile, što djeluju na površinu tijela, predstavljaju specifičan slučaj površinskih sila, kad je jedna konačna sila raspodijeljena na vrlo malu površinu, tako da je intenzitet te sile na tome mjestu vrlo velik.

OPTEREĆENJA

OPTEREĆENJA

Za ravnotežu tijela potrebno je da sve sile koje djeluju na tijelo čine sustav sila u kojem se sve sile međusobno poništavaju te za svaku točku tijela vrijedi:

Zbog djelovanja tih sila prirodno čvrsto tijelo se deformira, što znači da pri prenošenju vanjskog opterećenja s jedne točke na drugu tijela nastaje napregnuto stanje, pojavljuju se unutarnje sile.

Određivanje tih sila i deformacija u svakoj točki tijela uslijed djelovanja vanjskih sila glavni je zadatak teorije elastičnosti.

P R 0= =∑r r RM 0=∑

r

NAPREZANJADa bi odredili unutarnje sile, koje se pojavljuju kao posljedicadjelovanja vanjskih sila, zamislimo da smo tijelo presjekli ravninom E kroz točku A na dva dijela, I i II, i promatrajmo ravnotežu dijela I prema slici.

h

ii 1

P 0=

≠∑r

NAPREZANJAVeličina unutarnjih sila je određena njihovim intenzitetom, veličinom sile na jedinicu površine presjeka.

Označimo sa ΔF površinu elementarne plohe u ravnini E sa središtem u točki A. Djelovanje dijela IIna dio I možemo predstaviti vektorom ΔK, koji djeluje u jednoj točki vrlo blizu A. To je unutarnja sila elementa ΔF u točki A tijela.

NAPREZANJA

U općem slučaju unutarnje sile nisu jednoliko raspodijeljene u presjeku E. Ako se površina elementa stalno smanjuje zadržavajući u sebi točku A onda nam granična vrijednost:

daje veličinu, pravac i smjer unutarnje sile koja djeluje u točki A presjeka ravni-nom E. Vektor p se naziva naprezanje u točki A za elemente površine koji stoje okomito na normalu n. Taj vektor potpuno karakterizira unutarnju silu u točki A promatranog presjeka. Pojam naprezanja jest primarni pojam teorije elastičnosti.

F 0

Klim pFΔ →

⎛ ⎞Δ=⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

rr

NAPREZANJA

Naprezanje je unutarnja sila, što pripada elementu plohe, orijentiranom okomito na pravac normale n, i koji sadrži točku A, a površina mu je jednaka jedinici.

U općem slučaju vektor p nagnut je prema ravnini F na koju djeluje i zato se rastavlja u dvije komponente u ravnini (p,n) i to:

1) komponentu σ, koja je upravljena okomito na element plohe F (normalno naprezanje) i

2) komponentu τ, koja leži u ravnini F (tangencijalno ili posmično naprezanje).Komponenta može se dalje rastaviti u ravnini presjeka u dvije međusobno okomite komponente u ravnini E.

NAPREZANJA

Ako komponenta naprezanja σ nastoji da otkine materijal iz I ispod F dobiva predznak (+) i naziva se vlačno naprezanje.

Ako σ nastoji da zgnječi materijal koji se nalazi neposredno ispod F, dobiva predznak (−) i naziva se tlačno naprezanje.

Komponentu τ smatrat ćemo za sada uvijek pozitivnom.

DEFORMACIJE

Deformacija je drugi temeljni pojam teorije elastičnosti.

Promotrimo mali element prikladnog oblika, za koji zamišljamo da je izrezan iz tijela na koje djeluju vanjske sile. Zbog dualnosti komponenata naprezanja i pojavit će se odgovarajuće deformacije, koje se sastoje s jedne strane u promjeni dužine i s druge u promjeni kuta.

Prve nazivamo rastezanjem ili uzdužnom dilatacijom, odnosno sabijanjem ili poprečnom kontrakcijom.

Druge klizanjem ili kutnom deformacijom. Te osnovne pojmove možemo na elementaran način ilustrirati ovako:

DEFORMACIJE

DEFORMACIJE

Rastezanje. Zamislimo, da smo na površini štapa urezali dvije crtice na međusobnoj

udaljenosti l0. Pretpostavimo, da se zbog aksijalnog opterećenja taj razmak povećao (λ) i da iznosi l1, gdje je:

Tada se rastezanjem ili uzdužnom dilatacijom naziva kvocijent:

Odnos povećane dužine prema prvobitnoj dužini. Prema tome, to tzv. relativno produljenje štapa jest neimenovan broj.

1 0l l lλ = Δ = −

1 0

0 0

l ll l− λ

ε = =

DEFORMACIJE

Pri aksijalnom opterećenju na vlak štap će se ne samo produljiti, nego će se istovremeno njegove poprečne dimenzije smanjiti (obrnuto vrijedi pri aksijalnom opterećenju na tlak). Označimo li njegovu poprečnu dimenziju prije opterećenja sa d0, odnosno poslije opterećenja sa d1, tada je poprečna kontrakcija štapa određena relacijom

gdje je:

Pri tom imamo kod vlaka ε > 0, εq< 0, a kod tlaka ε< O, εq > 0.

1 0q

0 0

d dd d− δ

ε = =

1 0d d dδ = Δ = −

DEFORMACIJE

Pri aksijalnom opterećenju prizmatičnog štapa na vlak osim uzdužne dilatacije pojavljuje istovremeno i poprečna kontrakcija. Te dvije deformacije stoje u određenom uzajamnom odnosu, čija vrijednost zavisi samo od materijala.

gdje je m = Poissonov broj, a njegova recipročna vrijednost je Poissonov koeficijent. Za većinu materijala vrijedi približno m = 3-4

q

uzdužna dilatacija 1m konst.poprečna kontrakcija

ε= = = =

ε μ

1m

= μ

1 13 4

μ = ÷

DEFORMACIJE

Klizanje.Pod čistim smicanjem podrazumijevamo dvoosno stanje naprezanja, kada na dva para uzajamno okomitih ravnina djeluju samo tangencijalna naprezanja. Odgovarajuća glavna naprezanja su tada σ1=-σ2=τ. Element u obliku kocke podvrgnut je čistom smicanju i jedna njegova strana je nepomična. Tada će nastati kutna deformacija ili "klizanje", određena kutom γ, koji izražava promjenu pravih kutova uslijed zadanog opterećenja. Kako je za male vrijednosti γ vrijedi tgγ= γ, imamo relaciju DD ' a

hBDγ = =

DEFORMACIJE