sve formule za srednju

8/20/2019 Sve Formule Za Srednju

1/87

Nevena Lukić

Matematičke formule za uč enike srednje škole

Kompjutersko-tehnička obrada:

Konstantin Simić

Beograd, 2006.


2/87

Matematičke formule 2

drž j

1. Osnovne algebarske formule ................................................................................5

1.1. Apsolutne vrednosti ..........................................................................................5

1.2. Racionalni izrazi .................................................................................................5 1.3. Stepeni izrazi (uslov: A(x)>0) ..........................................................................5

1.4. Rastavljanje na činioce....................................................................................6

1.5. Lagranževa formula .........................................................................................6

1.6. Osobine korena i stepena ...............................................................................6

2. Iracionalne nejednačine........................................................................................8

3. Kvadratna funkcija ..................................................................................................8

3.1. Kvadratna jednačina .......................................................................................8

3.2. Vijetova pravila .................................................................................................9

3.3. Znak rešenja .......................................................................................................9

3.4. Znak kvadratnog trinoma f(x)=Ax2+Bx+C....................................................10 4. Logaritmi..................................................................................................................12

5. Trigonometrija.........................................................................................................13

5.1. Trigonometrijske funkcije ................................................................................14

5.2. Inverzne trigonometrijske funkcije ................................................................18

5.3. Tabela vrednosti trigonometrijskih funkcija za važnije uglove .................22

5.4. Neke osnovne trigonometrijske transformacije..........................................22

5.5. Svođenje na oštar ugao ................................................................................23

5.6. Adicione formule.............................................................................................24

5.7. Dvostruki ugao.................................................................................................24

5.8. Trostruki ugao...................................................................................................25 5.9. Polovina ugla...................................................................................................25

5.10. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod........26

5.11. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir i razliku........26

5.12. Važnije trigonometrijske sume.....................................................................27

5.13. Trigonometrijske jednačine..........................................................................28

5.14. Osnovne transformacije inverznih trigonometrijskih funkcija .................29

5.15. Sinusna teorema ...........................................................................................30

5.16. Kosinusna teorema .......................................................................................30

6. Planimetrija .............................................................................................................31

6.1. Krug ...................................................................................................................31 6.2. Kružni isečak.....................................................................................................31

6.3. Kvadrat .............................................................................................................31

6.4. Pravougaonik...................................................................................................32

6.5. Trougao.............................................................................................................32

6.6. Jednakostranični trougao .............................................................................33

6.7. Pravougli trougao ...........................................................................................33

6.8. Paralelogram ...................................................................................................34

6.9. Trapez................................................................................................................35

6.10. Jednakokraki trapez .....................................................................................36

6.11. Tangente i tetive ...........................................................................................37 6.12. Osobine upisanog kruga u trougao...........................................................38

6.13. Tetivni četvorougao......................................................................................39


3/87


6.14. Tangentni četvorougao...............................................................................39

7. Stereometrija ..........................................................................................................40

7.1. Kosa četvorostrana prizma............................................................................40

7.2. Kosa četvorostrana prizma sa rombom u osnovi ......................................41

7.3. Trostrana kosa prizma.....................................................................................42

7.4. Trostrana piramida sa svim bočnim jednakim ivicama ............................43

7.5. Trostrana piramida kod koje bočne strane zaklapaju sa osnovom isti

ugao.........................................................................................................................44

7.6. Trostrana piramida čije su sve bočne ivice normalne ..............................45

7.7. Četvorostrana piramida kod koje je jedna bočna ivica (DV) normalna

na ravan osnove ....................................................................................................46

7.8. Kupa..................................................................................................................47

7.9. Zarubljena kupa ..............................................................................................48

7.10. Lopta (sfera) ..................................................................................................49

7.11. Loptin isečak ..................................................................................................49

7.12. Loptin pojas....................................................................................................50 8. Determinante .........................................................................................................51

8.1. Sarusovo pravilo ..............................................................................................51

8.2. Razbijanje na kofaktore .................................................................................51

8.3. Osobine determinanti ....................................................................................52

9. Vektori......................................................................................................................53

9.1. Kolinearnost......................................................................................................54

9.2. Linearna zavisnost vektora ............................................................................54

9.3. Ispitivanje linearne zavisnosti vektora pomoću determinante................54

9.4. Formiranje vektora ..........................................................................................55

9.5. Trougao.............................................................................................................55 9.6. Vektor visine trougla .......................................................................................56

9.7. Vektor simetrale ugla između dva vektora.................................................56

9.8. Skalarni proizvod .............................................................................................57

9.9. Vektorski proizvod ...........................................................................................58

9.10. Mešoviti proizvod ..........................................................................................59

9.11. Trostrana piramida........................................................................................60

9.12. Četvorostrana piramida ..............................................................................60

10. Analitička geometrija u ravni.............................................................................61

10.1. Podela duži u odnosu m:n ...........................................................................61

10.2. Jednačina prave ..........................................................................................62 10.3. Odnos dve prave..........................................................................................63

10.4. Jednačina kruga...........................................................................................63

10.5. Uslov da je prava tangenta kruga.............................................................64

10.6. Međusobni položaj dva kruga ....................................................................64

10.7. Pramen pravih ...............................................................................................65

10.8. Pramen krugova............................................................................................65

10.9. Elipsa ...............................................................................................................66

10.10. Hiperbola......................................................................................................67

10.11. Parabola.......................................................................................................68

11. Nejednakosti, sume i nizovi.................................................................................69 11.1. Nejednakosti ..................................................................................................69

11.2. Sume ...............................................................................................................69


4/87


11.3. Osobine sume................................................................................................70

11.4. Aritmetički niz (progresija)............................................................................70

11.5. Geometrijski niz (progresija).........................................................................71

11.6. Beskonačan geometrijski niz (red)..............................................................71

12. Polinomi .................................................................................................................72

12.1. Vijetova pravila za polinome ......................................................................72

12.2. Formiranje jednačina ...................................................................................72

13. Uvod u analizu......................................................................................................73

13.1. Oblasti definisanosti nekih funkcija ............................................................73

13.2. Ispitivanje funkcije.........................................................................................74

13.3. Granična vrednost funkcije.........................................................................74

13.4. Važnije granične vrednosti ..........................................................................74

13.5. Neodređeni matematički izrazi...................................................................75

13.6. Asimptote funkcije ........................................................................................76

14. Izvodi......................................................................................................................77

14.1. Pravila izvoda.................................................................................................77 14.2. Tablica izvoda ...............................................................................................77

14.3. Izvod višeg reda ............................................................................................78

14.4. Izvod složene funkcije...................................................................................78

14.5. Izvod inverzne funkcije .................................................................................78

14.6. Tangenta funkcije u tački (x0,f(x0)) .............................................................78

15. Integrali..................................................................................................................79

15.1. Osobine integrala .........................................................................................79

15.2. Tablica integrala ...........................................................................................79

15.3. Često korišćeni integrali sa uobičajenim smenama ...............................80

15.4. Metod neodređenih koeficijenata ............................................................80 15.5. Trigonometrijski integrali ...............................................................................81

15.6. Metod parcijalne integracije ......................................................................81

15.7. Integracija racionalnih funkcija ..................................................................82

15.8. Njutn-Lajbnicova formula ............................................................................82

15.9. Neke rekurentne formule za integrale.......................................................83

16. Kombinatorika......................................................................................................84

16.1. Binomni koeficijenti .......................................................................................84

16.2. Izračunavanje zbira kvadrata binomnih koeficijenata...........................85


5/87


y=|x|

1. Osnovne algebarske formule

1.1. Apsolutne vrednosti

22 2

, 0

, 0

( 0) ( 0)

A A A

A A

A B A B

A A

B B

A A A

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A B

A B A B B A B B

≥⎧= ⎨

− ≤⎩

⋅ = ⋅

=

= =

− ≤ + ≤ +

≥ ⇔ ≥ ∨ ≤ −

≤ ⇔ ≤ ∧ ≥ −

= ⇔ = ∧ ≥ ∨ = − ∧ ≥

1.2. Racionalni izrazi

0 ( 0 0)

0 ( 0) ( 0 0)

B B I

I

B B B I

I I

= ⇔ = ∧ ≠

≥ ⇔ > ∨ = ∧ ≠

1.3. Stepeni izrazi (uslov: A(x)>0)

( )

( ) ( )

( ) 1 ( ( ) 1) ( ( ) 0 ( ) 0)

( ) ( ) ( ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0)

( ( ) 1) ( ( ) ( ) ( ) 0)

B x

B x C x

A x A x A x B x

A x A x A x B x C x

A x B x C x A x

= ⇔ = ∨ ≠ ∧ =

= ⇔ ≠ ∧ ≠ ∧ ≠ ∨

∨ = ∨ = ∧ ≠


6/87


1.4. Rastavljanje na č inioce

2 2

3 3 2 2

2 2

2 2 2

3 3 2 2 3

3 3 3

4 2 2 4 2 2 2 2

3 3 3 2 2 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) 2

( ) 3 3

( ) 3 ( )

( )( )

3 ( )( )

A B A B A B

A B A B A AB B

A B A Bi A Bi

A B A AB B

A B A A B AB B

A B A AB A B B

A A B B A AB B A AB B

B C ABC A B C A B C AB AC BC

− = − ⋅ +± = ± ⋅ +

+ = − ⋅ +

± = ± +

± = ± + ±

± = ± ± ±

+ + = + + − +

+ + − = + + + + − − −

∓

1.5. Lagranževa formula

2 2

2 2

A B A A B A B

+ − − −± = ±

1.6. Osobine korena i stepena

/

0

2 2

22

, ,

:

( ) , 1

( ) , 0

m nn nmm

mn m n

n m n m

n m n m

n m n m

n n

nn

x y x y

a a

a a a n m

a a a

a a a

A A

A A A

+

−

⋅

⋅ =

=

⋅ = ∈

=

= =

=

= ≥

y x=


7/87


, 1 x y a a= >

, 1 x

y a a= <


8/87


2. Iracionalne nejednačine

2

( ) ( )

I A(X) 0 ( ) 0 ( ) ( )

II A(X) 0 ( ) 0 nema kvadriranja

Rešenje je unija rešenja I i II

A X B X

B X A X B X

B X

≥

≥ ∧ ≥ ∧ ≥≥ ∧ ≤ ∧

2

( ) ( )

A(X) 0 ( ) 0 ( ) ( )

A X B X

B X A X B X

≤

≥ ∧ ≥ ∧ ≥

3. Kvadratna funkcija

2

2

Funkcija ima ekstremnu vrednost

4u tački T ,

2 4

za 0, funkcija ima minimum

za 0, funkcija ima maksimum

y ax bx c

b ac b

a a

a

a

= + +

⎛ ⎞−−⎜ ⎟

⎝ ⎠

>

<

3.1. Kvadratna jednač ina

2

1/ 2

2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

0

2

4 (diskriminanta)

0, ,

0, , ,

0, , ,

ax bx c

b D x

a

D b ac

D x x

D x x x x

D x x x x

+ + =

− ±=

= −

> ∈

= ∈ =

< ∈ =


9/87


3.2. Vijetova pravila

2

1 2

1 2

2

1 2

0

4

ax bx c

b x xa

c x x

a

b ac x x

a

+ + =

+ = −

⋅ =

−− =

3.3. Znak rešenja

2

1 2 1 2

o

o

0

,

1 rešenja istog znaka

0 02 rešenja suprotnog znaka

0 0

a) oba pozitivna

0 0 0

b) oba negativna

0 0

ax bx c

b cS x x P x x

a a

D P

D P

D P S

D P S

+ + =

= + = − = ⋅ =

> ∧ >

> ∧ <

> ∧ < ∧ >

> ∧ < ∧ < 0


10/87


3.4. Znak kvadratnog trinoma f(x)=Ax 2 +Bx+C

1. kvadratni trinom uvek pozitivan 0 0 D> ∧ <

2. pozitivan, sem jedne vrednosti 0 0 D> ∧ ≤


11/87


3. kvadratni trinom uvek negativan 0 0 D< ∧ <

4. negativan, sem jedne vrednosti 0 0 D< ∧ ≤


12/87


4. Logaritmi

log

uslovi: 0 0 1

def x

b a x b a

a b b

= ⇔ =

> ∧ > ∧ ≠

2 | |

2

1log log

2

log 2 log | |

n bb

nb b

a an

a n a

=

=

log 1 0

log 1

log log

1log log

log log log

log log log

m

a

a

nb b

bb

a a a

a a a

a

a n a

a am

B A B

A B B

=

==

=

= +

= −

log

1log

log

loglog (za digitron)log

a b

a

b

ca

c

a b

ba

bb a

=

=

=

10log lg log

log lne

a a a

a a

= =

=

log , 1a y x a= >

log , 1a y x a= <


13/87


5. Trigonometrija

sin

cos

1sec

cos

a

c

b

c

α

α

α

α

=

=

=

tan

cot

1csc

sin

a

b

b

a

α

α

α

α

=

=

=

2 2

sin cos 1t an cot 1

α α α α

+ =⋅ =

sintancos

coscot

sin

α α α

α α

α

=

=

2

22

2

2

tansin1 tan

1cos

1 tan

α α α

α α

=+

=+

U narednoj tabeli dat je znak trigonometrijskih

funkcija po kvadrantima :

I II III IV

sin α + + - -

cos α + - - +

tan α + - + -

cot α + - + -

Zapamtite frazu : All students take classes! Dakle,

u prvom kvadrantu su svi pozitivni, u drugom

sinus, u trećem tangens, a u četvrtom kosinus. Zar

nije lako?

Sohcahtoa je ime jednog Indijanca. Zapamtite ga, zato što

ono na engleskom znači: Sinus (sine) opposite hypotenuse,

cosinus (cosine) adjacent hypotenuse, tangens (tangent)

opposite adjacent ! Hyponenuse znači hipotenuza, opposite

znači naspramna stranica, a adjacent znači nalegla stranica.


14/87


5.1. Trigonometrijske funkcije

y=sin x

- 6 - 4 - 2 2 4 6

- 1

- 0. 5

0. 5

1

[ ]

( )

( )

o

o

o

1 oblast definisanosti

:

: 1,1

2 znak funkcije

0 za x 0 ,

0 za x ,2

3 nule funkcije

0 za

D x

D y

y T T

y T T

y x k

π

π π

π

∈

∈ −

> ∈ + +

< ∈ + +

= =

o

o

max

min

o

4 monotonost funkcije

y za x ,2 2

3 y za x ,

2 2

5 ekstremne vrednosti

1 za 2

2 -1 za - 2

2

6 asimptote funkcije

Funkcija

T T

T T

y x k

y x k

π π

π π

π π

π π

⎡ ⎤

∈ − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤∈ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

= = +

= = +

o

nema asimptota.

7 periodičnost funkcije

2T k π =


15/87


y=cos x

- 6 - 4 - 2 2 4 6

- 1

-0. 5

0. 5

1

[ ]

o

o

o


:

: 1,1

2 znak funkcije

0 za x ,2 2

3 0 za x ,2 2

3 nule funkcije

0 za2

D x

D y

y T T

y T T

y x k

π π

π π

π π

∈

∈ −

⎛ ⎞> ∈ − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞< ∈ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= = +

[ ]

[ ]

o

o

max

min

o

o


y za x ,2

y za x 0 ,


1 za 2

-1 za 2


Funkcija nema asimptota.

7 peri

T T

T T

y x k

y x k

π π

π

π

π π

∈ + +

∈ + +

= =

= = +

odičnost funkcije

2T k π =


16/87


y=tan x

- 6 - 4 - 2 2 4 6

- 30

- 20

- 10

10

20

30

o

o

o


:

:

2 znak funkcije

0 za x 0 ,

2

0 za x ,02

3 nule funkcije

0 za 0

D x

D y

y T T

y T T

y x T

π

π

∈

∈

⎛ ⎞> ∈ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

< ∈ − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= = +

o

o

o

o


y za x


Funkcija nema ekstremuma.


vertikalna asimptota2


x k

T k

π π

π

∀ ∈

= +

=


17/87


y=cot x

- 6 - 4 - 2 2 4 6

- 30

- 20

- 10

10

20

30

o

o

o

1 oblast definisanosti :

:

2 znak funkcije

0 za x 0 ,2

0 za x ,2

3 nule funkcije

0 za2

D x

D y

y T T

y T T

y x T

π

π π

π

∈

∈

⎛ ⎞> ∈ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞< ∈ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= = +

o

o

o

o

4 monotonost funkcije y za x




vertikalna asimptota7 periodičnost funkcije

x k

T k

π π

π

∀ ∈

= +

=


18/87


5.2. Inverzne trigonometrijske funkcije1

y=arcsin x

[ ]

o

o

o


: 1,1

: ,2 2

2 znak funkcije

0 za x 0

0 za x 0

3 nule funkcije

0 za 0

D x

D y

y

y

y x

π π

∈ −

⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

> >< <

= =

o

o

o

o


y za x






Funkcija nije periodična.

∀ ∈

1 Napomena: Kodomeni inverznih trigonometrijskih funkcija su definicijom određeni, da bi

ove funkcije bile jednoznačne, zato što su trigonometrijske funcije periodične. Ukoliko bi

kodomen inverznih trigonometrijskih funkcija bio ceo skup realnih brojeva, tada bi inverznetrigonometrijske funkcije bile višeznačne.


19/87


y=arccos x

[ ]

[ ]

o

o

o


: 1,1

: 0,

2 znak funkcije

0 za x

3 nule funkcije

0 za 1

D x

D y

y D

y x

π

∈ −

∈

> ∀ ∈

= =

o

o

o

o


y za x







∀ ∈


20/87


y=arctan x

o

o

o


:

: ,2 2

2 znak funkcije

0 za x 0 0 za x 0

3 nule funkcije

0 za 0

D x

D y

y y

y x

π π

∈

⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

> >< <

= =

o

o

o

o


y za x




horizontalne: ,2

,2

7 periodičnost funkc

y x

y x

π

π

∀ ∈

→ − → +∞

→ → +∞

ije



21/87


y=arccot x

( )

o

o

o


:

: 0,

2 znak funkcije

0 za x3 nule funkcije

0 za2

D x

D y

y

y x

π

π

∈

∈

> ∀ ∈

= =

o

o

o

o


y za x



6 asimptote funkcije horizontalne: ,

0,


y x

y x

π

∀ ∈

→ → +∞

→ → +∞



22/87


5.3. Tabela vrednosti trigonometrijskih funkcija za važnije uglove

stepeni 0 30 45 60 90 180 270 360

radijani 0 6

π 4

π 3

π 2

π π

3

2

π 2π

sinα 0 1

2

2

2

3

2 1 0 1− 0

cosα 1 3

2

2

2

1

2 0 1− 0 1

tanα 0 3

3 1

3 ∞ 0 ∞ 0

cotα ∞ 3 1 3

3 0 ∞ 0 ∞

5.4. Neke osnovne trigonometrijske transformacije

sin( ) sin

cos( ) sin

tan( ) tan

cot( ) cot

α α

α α

α α

α α

− = −

− = +

− = −

− = −

sin( 2 ) sin

2cos( 2 ) cos

tan( ) tan

cot( ) cot

k

T k k

k T k

k

α π α

π α π α

α π α π

α π α

+ = ⎫

=⎬+ = ⎭

+ = ⎫=⎬

+ = ⎭


23/87


5.5. Svođ enje na oštar ugao

sin sin

2

cos cos2

I

tan tan2

cot cot2

π α α

π α α

π α α

π α α

⎧ ⎛ ⎞− = +⎜ ⎟⎪

⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞

− = +⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞⎪ − = +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪

⎛ ⎞⎪ − = +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

sin sin

2

cos cos2

II

tan tan2

cot cot2

π α α

π α α

π α α

π α α

⎧ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎪

⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞

+ = −⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞⎪ + = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪

⎛ ⎞⎪ + = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

sin( ) sin

cos( ) cosII

tan( ) tan

cot( ) cot

π α α

π α α

π α α

π α α

− = +⎧⎪ − = −⎪⎨

− = −⎪⎪ − = −⎩

sin( ) sin

cos( ) cosIII

tan( ) tan

cot( ) cot

π α α

π α α

π α α

π α α

+ = −⎧⎪ + = −⎪⎨

+ = +⎪⎪ + = +⎩

3sin sin

2

3cos cos

2III

3tan tan

2

3cot cot

2

π α α

π α α

π α α

π α α

⎧ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞

− = −⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞⎪ − = +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪ ⎛ ⎞⎪ − = +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

3sin sin

2

3cos cos

2IV

3tan tan

2

3cot cot

2

π α α

π α α

π α α

π α α

⎧ ⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞

+ = +⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞⎪ + = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪ ⎛ ⎞⎪ + = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

sin(2 ) sin

cos(2 ) cosIV

tan(2 ) tan

cot(2 ) cot

π α α

π α α

π α α

π α α

− = −⎧⎪ − = +⎪⎨

− = −⎪⎪ − = −⎩

sin(2 ) sin

cos(2 ) cosI

tan(2 ) tan

cot(2 ) cot

π α α

π α α

π α α

π α α

+ = +⎧⎪ + = +⎪⎨

+ = +⎪⎪ + = +⎩


24/87


5.6. Adicione formule

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sintan tan

tan( )1 tan tan

cot cot 1cot( )

cot cot

α β α β α β

α β α β α β α β

α β α β

α β α β

β α

± = ±

± = ±± =

± =±

∓

∓

∓

2 2

2 2

sin( ) sin( ) sin sin

cos( ) cos( ) cos sin

tan( ) tan tan tan tan tan( )

α β α β α β

α β α β α β

α β α β α β α β

+ ⋅ − = −

+ ⋅ − = −

+ − − = +

sin( )tan tan

cos cos

cos( )

cot cot 1sin sin

cos sintan

cos sin 4

α β α β

α β

α β

α β α β

α α π α

α α

+= +

+

= −

+ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

− ⎝ ⎠

5.7. Dvostruki ugao

2 2

2

2

2

sin 2 2sin coscos2 cos sin

2tantan2

1 tan

cotcot2

1 tan

1 cos2cos2

α α α α α α

α α

α

α α

α

α α

=

= −

=−

=−

+=

2

2

2

2

2

2tansin21 tan

1 tancos2

1 tan

1 tancot2

2tan

1 cos2sin2

α α α

α α

α

α α

α

α α

= +

−=

+

−=

−=


25/87


5.8. Trostruki ugao

3

3

3

2

3

2

sin3 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

3tan tantan3

1 3tan

cot 3cotcot3

3cot 1

α α α

α α α

α α α

α

α α α

α

= −

= −−

=−

−=

−

1sin(60 )sin sin(60 ) sin34

1cos(60 )cos cos(60 ) cos3

4

tan(60 ) tan tan(60 ) tan3

2cot 2 cot tan

α α α α

α α α α

α α α α

α α α

− + =

− + =

− + =

= −

5.9. Polovina ugla

2

2

2

2

1 cossin

2 2

1 coscos

2 2

1 costan

2 1 cos

1 coscot

2 1 cos

α α

α α

α α

α

α α

α

−=

+=

−=++

=−

Primer:

5 1sin18

4

−=

Dokaz:

3

2

sin 36 cos542sin18 cos18 cos(3 18 )

2sin18 cos18 4cos 18 cos18 / : cos18

4sin 18 2sin18 1 0

Rešenje kvadratne jednačine je:

== ⋅

= −

+ − =

5 1sin18

4

−=


26/87


5.10. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

sin sin 2sin cos2 2

sin cos sin sin2

cos cos 2cos cos2 2

cos cos 2sin sin2 2

sin( )tan tan

cos cos

α β α β α β

π α β α α

α β α β α β

α β α β α β

α β α β

α β

±± =

⎛ ⎞± = ± −⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ −+ =

+ −− = −

±± =

∓

5.11. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir irazliku

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1sin cos sin sin

2

1cos cos cos cos2

1sin sin cos cos

2

α β α β α β

α β α β α β

α β α β α β

= − + +⎡ ⎤⎣ ⎦

= − + +⎡ ⎤⎣ ⎦

= − − +⎡ ⎤⎣ ⎦


27/87


5.12. Važnije trigonometrijske sume

1

1

2

1

1

2

1

1

cos sin2 2cos

sin2

1sin sin

2 2sin

sin2

sinsin(2 1)

sin

1 tan( 1) tan

cos cos(2 1) 2sin

tantan( 1) tan

tansin1

tancos( 1) cos

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k n

k

n n

x xkx x

n n x x

kx x

nxk x

x

n x x

x k x x

nxk x kx n

x

nk x k

=

=

=

=

=

=

+⋅

=

+⋅

=

− =

+ −=

+ +

− ⋅ = −

=− ⋅

∑

∑

∑

∑

∑

∑


28/87


5.13. Trigonometrijske jednač ine

Jednačina Rešenje

sin 0 x = x k π =

sin 1 x = 22

x k π

π = +

sin 1 x = − 3

22

x k π

π = +

sin x a= ( 1,1)a ∈ −

cos 0 x =

2 x k

π π = +

cos 1 x = 2 x k π = cos 1 x = − 2 x k π π = +

Česta smena kod trigonometrijskih jednačina je: sin cos A x B x C + = .

Kod trigonometrijskih jednačina takođe se veoma često koriste sledeće

transformacije:

2

2tan2sin

1 tan2

x

x x

=+

i

2

2

1 tan2cos

1 tan2

x

x x

−=

+

U tekstu koji sledi biće objašnjeno još par tipova trigonometrijskih jednačina:

2 2

2 2 2 2

1. sin cos / :

cos , sin

A x B x C A B

A B x x

B A B

+ = +

= =+ +


29/87


30/87


5.15. Sinusna teorema

A B

C

ab

c

α β

γ

5.16. Kosinusna teorema

A B

C

ab

cα β

γ

2sin

2sin

2sin

sin sin sin

2 2 2

a R

b R

c R

bc ac ab P

α

β

γ

α β γ

=

=

=

= = =

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc

b a c ac

c a b ab

α

β

γ

= + −

= + −

= + −


31/87


6. Planimetrija

6.1. Krug

2

2

P R

O R

π

π

=

=

6.2. Kružni iseč ak

2

360

180

R P

RO l

πα

πα

=

= =

6.3. Kvadrat

2

4

2

P a

O a

d a

=

=

=

2

2

o

u

d R

a R

=

=

O

RR α

l

O R

a

d


32/87


6.4. Pravougaonik

2 2

2o

P ab

O a b

d R

=

= +

=

6.5. Trougao

(srednja linija)2

2

2

4

a

b

c

o

u

am

bm

c

m

abc R

P

P R

s

=

=

=

=

=

2 2 2

( ) ( ) ( ) (Heronov obrazac)

(poluobim)2

2

a b ca h b h c h P

P s s a s b s c

a b c s

O a b c s

⋅ ⋅ ⋅= = =

= ⋅ − ⋅ − ⋅ −

+ +=

= + + =

B A

CD

a

bd

A B

C

a

c

Tb Ta


33/87


6.6. Jednakostrani č ni trougao

2

3

sin60 2

3

2 4

3

3

3

3

6

o

u

a

h a

a h a P

O a

a R

a

R

= ⋅ =

⋅= =

=

=

=

6.7. Pravougli trougao

2

2

2

2 2

(geom. sredina)

( - ) ( - )

o

u

c

c

c R

a b c R

chab P

h p q

P s a s b

=

+ −=

= =

= ⋅

= ⋅

O

RuR

o

a

h

60

A B

C

hc Ro

p q


34/87


6.8. Paralelogram

2 2 2 21 2

2 2

2( )

a b P ah bh

O a b

d d a b

= =

= +

+ = +

specijalni sluč aj: romb

1 2

2

4

d d P ah

O a

= =

=

Ako su poznate jedna stranica i obe dijagonale, površinu paralelograma moguće je izračunati

na sledeći način:

'

'

1

2

' 2

2 2

može se izračunati preko Heronovog

obrasca, ako je dato:

' 2

'

a a AA C ABCD

AA C

AA h a h P ah P

P

AA а

AC d CA d

⋅ ⋅= = = =

=

==

a

bha

d1

d2

hb


35/87


6.9. Trapez

2

a b P h

O a b c d

+= ⋅

= + + +

Ako su date stranice a, b, c i d , površina trapeza se izračunava na sledeći način:

'

'

'

2

može se izračunati

preko Heronovog obrasca

2

A BC

A BC

ABCD

ABCD A BC

a b P h

P

a b P h

a b P P

a b

−= ⋅

+= ⋅

+= ⋅

−

Ako su date stranice a i b i dijagonale d 1 i d 2, površina trapeza se izračunava na sledeći način:

2 BMD ABCD

a b P h P

+= ⋅ =

A B

CD

a

b

d ch

A B

CD

a

b

d chd

A’ a-b

A B

CD

a

b

d cd

A’

d2d2

b

d1h

M


36/87


6.10. Jednakokraki trapez

A B

CD

a2

a b−

2

a b+

b

c cd

h

Ako je krug upisan u jednakokraki trapez, tada je:

2

2 2u

a bc m

h ab

h ab R

+= =

=

= =

(srednja linija)2

2

a bm

P m h

O a b c

+=

= ⋅

= + +


37/87


6.11. Tangente i tetive

X

T

O

B

A

Ugao između tangente i tetive jednak je periferijskom uglu nad tetivom:

2α

α

Ο

Α

Β

C

D

2 XT XA XB= ⋅

2 2OB ACB

DAB ACB

α

α

= =

= =


38/87


6.12. Osobine upisanog kruga u trougao

A

B

C

M

NP

O

R

M AP s a

M BN s b

CP CN s c

= = −

= = −

= = −


39/87


6.13. Tetivni č etvorougao

A

B

C

D

α

β

γ

δ

6.14. Tangentni č etvorougao

a

b

c

d

180α β γ δ + = + =

a b c d + = +


40/87


7. Stereometrija

7.1. Kosa č etvorostrana prizma

A B

CD

A1B1

C1D1

E

AA1,BB1,CC1 i DD1 su bočne ivice kose prizme.AA1 zaklapa sa AB i AD isti ugao.Prema tome, E (podnožje visine EA1) je na simetrali ugla.


41/87


7.2. Kosa č etvorostrana prizma sa rombom u osnovi

A B

CD

A1 B1

C1D1

E

E1M

M1

Visina H=AE pripada ACC1A1.ACC1A1 je normalan na bazu.Dijagonale baze su međusobno normalne (AC⊥ BD i A1C1 ⊥ B1D1).Prema tome, dijagonala BD je normalna na ACC1A1.Iz toga dalje sledi da je dijagonala BD ⊥ MM1, pa je BDD1B1 pravougaonik.


42/87


43/87


7.4. Trostrana piramida sa svim boč nim jednakim ivicama

A B

C

H

V

Podnožje visine H je u centru opisanog kruga.


44/87


7.5. Trostrana piramida kod koje boč ne strane zaklapaju sa osnovomisti ugao

A B

C

H

V

D

Podnožje visine H je u centru upisanog kruga.


45/87


7.6. Trostrana piramida č ije su sve boč ne ivice normalne

A B

C

V

Bočne ivice su V BV CV s= = = .

Ivice osnove su 2a s= .

Zapremina se izračunava po obrascu :3

2

3 6

s s

sV

⋅= =


46/87


7.7. Č etvorostrana piramida kod koje je jedna boč na ivica (DV)normalna na ravan osnove

A B

CD

V

⊥ ⎫⊥⎬

⊥ ⎭

⊥ ⎫⊥⎬

⊥ ⎭

je pravougli trougao.

DV

je pravougli trougao.

DV ABCDVA AB

DA AB

VAB

ABCDVC BC

DC BC

VCD


47/87


7.8. Kupa

R

R

H

α

sss

s

3

B H V

P B M

⋅=

= +

2 B R

R s

π

π

=

=

Omotač kupe

2180

360

180 B

s R

s R

sO

π α π

α

π α

=°= ⋅ °

=°

α

Ob

ss


48/87


7.9. Zarubljena kupa

R

R

H*

α

s*s*s* s*

R*

* * *

* * *

** 2 2 *2

( )

( )3

M s R R

P B B M

H V R RR R

π

π

= +

= + +

= + +

* 2

*

*

*

B k B

H kH

s ks

R kR

=

=

=

=

* 2

* 2

* 3

k M

P k P

V k V

=

=

=

* 2

* 2 2

(1 )

(1 )

M k M

P B k B k M

= −

= + + −

* 3

*

*

(1 )

(1 )

(1 )

V k V

s k s

k H

= −

= −

= −


49/87


50/87


7.12. Loptin pojas

h

2 R hπ =


51/87


8. Determinante

8.1. Sarusovo pravilo

Pored determinante 3x3, sa desne strane treba prepisati prve dve kolone. Vrednost

determinante se računa na sledeći način :

1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2

( )

a b c a b

a b c a b ab c bc a ca b ba c ac b cb a

a b c a b

= + + − − −

Treba voditi računa da je proizvod dijagonala koje idu s leva na desno pozitivan, a proizvod

dijagonala koje idu s desna na levo negativan. Vrednost determinante dobijamo sabiranjemovih proizvoda dijagonala.

8.2. Razbijanje na kofaktore

1 11 1 1 1 2

2 2 2 2 1 1

2 2 2

a b ca b a b a b

a b c c c ca b a b a b

a b c

+ − +

− + −

+ − +

= + − +

Znak mesta se određuje na sledeći način:

(-1)vrsta kolona+


52/87


8.3. Osobine determinanti

1. Determinanta ne menja vrednost ako se jedna kolona (vrsta) podeli nekim brojem, pa secela determinanta pomnoži istim brojem.

... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ...

ka kb kc a b c

k =

2. Determinanta ne menja vrednost ako se jedna kolona (vrsta) pomnoži nekim brojem idoda drugoj koloni (vrsti).

3. Ako je zbir po kolonama isti, onda se druga i treća vrsta prepišu i dodaju prvoj vrsti.

1 1 1

( )

1 0 0

( ) ( )( )( )

0

a c b a b c a b c a b c

b a a b a a a b c b a ac b c c b c c b c

a b c b a b a b a b c c b a b

c b c

+ + + + + +

= = + + =

= + + − − = + + − −

−


53/87


9. Vektori

{ }1

1 1 1

a

C x x a−− − −= =

x i

j

a

b

O '

'' ( , ) A a b

x

y

z

i

j

k

O

a

b

c

x A

y A

A

'

'''

'' ( , , ) A a b c

'

( , , )

x xOA OA A A A A

OA ai b j ck

OA a b c

= + +

= + +

Desno orijentisani vektori:

i j k

j k i

k i j

i su jedinični vektori.i j

'

''

OA a i

OA b j

= ⋅

= ⋅

' '

' ''

( , )

OA OA A A

OA OA OA

OA ai b j

OA a b

a ai b j

= +

= +

= +

= +

, i su jedinični vektori.i j k

x

y

z

OA ai

OA b j

OA ck

=

=

=


54/87


9.1. Kolinearnost

Svi vektori istog, odnosno paralelnog pravca, označeni su kao kolinearni.

9.2. Linearna zavisnost vektora

1 2

1 1 2 1 1

1 2

, ,

, ,

, , ,...,

...

, , ,..., su zavisni.

n

n

n

a b c

c a b

x a a a

x a a a

x a a a

α β α β

α α α

= + ∈

= + + +

Vektor je linearno nezavisan akko se ne može prikazati

kao linearna kombinacija vektora , i .

d

a b c

9.3. Ispitivanje linearne zavisnosti vektora pomoć u determinante

1.

1 2

1 2

1 2

1 2

( , )0 (zavisni)

( , )0

a a D

b ba a a

D a bb b b

D a

=

=

≠

(nezavisni)b

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪

⎩

2.

1 2 3

1 2 31 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( , , )

( , , )0 (zavisni)

( , , )0 (nezavisni)

a a a

D b b ba a a a

c c cb b b b

D c a bc c c c

D c a b

α β

α β

⎧⎪ =⎪⎪⎪⎨

= = +⎪⎪ ≠ ≠ +

⎪⎪⎩


55/87


9.4. Formiranje vektora

1 1 11 1 1

( , , )( , , )

( , , )

A a b c B a a b b c c

B a b c

⎫⇒ − − −⎬

⎭

Dokaz:

i j

k

O

A

B

9.5. Trougao

1 A1 B

1C B

C

O

1 1 1

1 1

1

( )( ) ( )

+( )

AB AO OB

AB OB OA

AB a i b j c k

ai b j ck B a a i b b j

c c k

= +

= −

= + + −

− + += − + − +

−

1, 1, 1

1

1 2 1 2 1 2

1 2 3

2 2 21 2 3

su središta stranica.

je težište trougla .

2

, ,3 3 3

3

( , , )

| |

A B C

T ABC

OA OBOC

a a a b b b c c cT

OA OB OC OT

a a a a

a a a a

+=

+ + + + + +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ +=

= + +


56/87


9.6. Vektor visine trougla

a

b

D B

C

h

9.7. Vektor simetrale ugla izmeđ u dva vektora

| | | |

a b s

a b= +

0

2

2

| |

Proj| |

| |

| |

a

h CA AD

h AD b

a AD k a k

a

a bk b

a

a b AD aa

a bh a b

a

= += −

= ⋅ = ⋅

= =

=

= −


57/87


9.8. Skalarni proizvod

| | | | cos (skalarni proizvod dva vektora je )a b a b skalar α = ⋅ ⋅

α

Oa

b

α

Oa

b

Pravilno! Nepravilno!

1 0 0

0 1 0

0 0 1

i j k

i

j

k

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

( , , ) ( , , )

( ) ( )

a a a a b b b b

a i a j a k b i b j b k

a b a b a b

=

= + + ⋅ + + =

= + +

0 0

cos| | | |

| | , gde je jedinični vektor.

| | cos

| | | | cos

| |

Proj| |a

a b

a b

a a a a

x b

a b x

a

a b x b

a

α

α

α

=⋅

= ⋅

= ⋅

⋅ ⋅=

= =

( , )a bα ≠

( , )a bα =

α

Oa

b


58/87


9.9. Vektorski proizvod

(vektorski proizvod dva vektora je )a b c vektor × =

1° Pravac je normalan na ravan koju određuju vektori i .

2° Vektori , i su desno orijentisani vektori

(suprotno smeru kazaljke na satu, odnosno

pravilo desnog zavrtnja).

3°

c a b

a b c

1 2 3

Vektorski proizvod vektora i definiše se kao

površina paralelograma koji obrazuju vektori i .

4° | | | | | | sin

5

6 0

7 ( , , )

c a b

a b

a b a b

a b b a

a b a b

a a a a

α × = ⋅ ⋅

° × = − ×

° × = ⇔

°

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( , , )

b b b b

i j k

a b a a a

b b b

× =

0

0

0

i j k

i k j

j k i

k j i

×

−

−

−

1 2

:

(1) Naći vektor koji je normalan na , .

(2) ( , ) ( , ) cos , cos ,| | | |

3 cos| |

x y

z

primer

x a b

x p a b

a aa x a i

a a

aa

α α

α

= ⋅ ×

= ⇒ = =

=


59/87


60/87


9.11. Trostrana piramida

3

6

, ,

6

BH V

a b H V

a b cV

=

× ⋅=

⎡ ⎤⎣ ⎦

=

9.12.Č

etvorostrana piramida

3

3

, ,

3

BH V

a b H V

a b cV

=

× ⋅=

⎡ ⎤⎣ ⎦

=


61/87


10. Analitička geometrija u ravni

A

B

S

A

B

C

T

1 2 3

1 2 3

1 1 11

| | površina trougla2

P x x x

y y y

=

10.1. Podela duži u odnosu m:n

A

MB

0 0

1 1

2 21 0 1 0

0 1 0 1

( , )( , )

( ) ( )

, središte duži AB2 2

A x y B x y

AB x x y y

x x y yS

= − + −

+ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1

2 2

3 3

1 2 3 1 2 3

( , )

( , )

( , )

, težište3 3

A x y

B x y

C x y

x x x y y yS ABC

+ + + +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 1 2

1 1

2 2

( , )

: :

( , ) : ( , ) :

( ) : ( ) :

( ) : ( ) :

x y

AM MB m n

x a y a b x b y m n

x a b x m n

y a b y m n

=

− − − − =

− − =

− − =


62/87


10.2. Jednač ina prave

α

b

a

0

0 0 0 0

1 00 0 0 0 1 1

1 0

2

( ) ( - ) 0 (normalni oblik jednačine prave)

( ) (jednačina prave kroz 1 tačku ( , ))

( ) (jednačina prave kroz 2 tačke ( , ) i ( , ))

| |

o A x x B y y

y k x x y A x y

y y y x x y A x y B x y

x x

Ap Bq C d

A

− + =

= − +

−= − +

−

+ +=

+ 2

1 1 1 2 2 2

2 2 2 21 1 2 2

1 2

1 2

2 2

(odstojanje tačke ( , ) od prave 0)

: (simetrala ugla)

: 0 (osa simetrije između paralelnih pravih)2

(rastojanje

p q Ax By C

B

A x B y C A x B y C s

A B A B

C C s Ax By

C C d

A B

+ + =

+ + + += ±

+ ++

+ + =

−=

+1

2

između dve paralelne prave 0

i 0)

Ax By C

Ax By C

+ + =

+ + =

(eksplicitni oblik)

tan

0 (implicitni oblik)

y kx n

k

Ax By C

α

= +

=+ + =

1 (segmentni oblik) x y

a b+ =


63/87


10.3. Odnos dve prave

1 1

2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

(prave su paralelne)

1 (prave su normalne)

tan (ugao između dve prave)1

y k x n

y k x n

k k

k k

k k

k k ϕ

= +

= +

=

⋅ = −

−=

+ ⋅

10.4. Jednač ina kruga

M

O

R

0 0

2 20 0

Udaljenost tačke ( ,y ) od kruga dobija se kada se od udaljenosti

tačke od centra oduzme poluprečnik:

( ) ( )

x

d x p y q= − + −

2 2 2

( , ) je centar kruga.

je poluprečnik.

( , ) je skup tačaka sa osobinom

da je rastojanje M od O

jednako . ( ( , ) )

( ) ( ) (j-na kruga)

O p q

R

M x y

R d M O R

x p y q R

=

− + − =


64/87


10.5. Uslov da je prava tangenta kruga

M(x ,y )0 0

O

R A x + B y + C

= 0

2

10.6. Međ usobni položaj dva kruga

2 2

2 2 2

20 0

| |

(ako je poznata prava u exp. obliku)

( 1) ( )

(ako je poznata prava u imp. obliku)

( )( ) ( )( )

(ako je poznata tačka)

Ap Bq C

R A B

R R kp q n

x p x p y q y q R

+ +

=+

+ = − +

− − + − − =

1 2

(ne seku se)

d R R> +

1 2

(dodiruju se spolja)

d R R= +

1 2

(dodiruju se iznutra)

d R R= −

1 2

(ne seku se)

d R R< −


65/87


10.7. Pramen pravih

10.8. Pramen krugova

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0 x p y q R x p y q Rλ

⎡ ⎤− + − − + − + − − =⎣ ⎦

1 1 1( ) 0 Ax By C A x B y C λ + + + + + =

2 2 21 1 1

2 2 22 2 2

( ) ( )

( ) ( )

x p y q R

x p y q R

− + − =

− + − =


66/87


10.9. Elipsa

2 2

2 21

x y

a b

+ =

a

b

F2F1

2 2 2

1

2

2 2 2

0 02 2

0 0

( ,0)fokusi,žiže

( ,0)

(uslov dodira sa datom tangentom

)

1 (uslov dodira sa datom tačkom

( , ))

c a b

F c

F c

a k b n

y kx n

x x y y

a b

x y

= −

− ⎫⎬⎭

+ == +

⋅ ⋅+ =


67/87


10.10. Hiperbola

2 2

2 21

x y

a b

− =

2 2 2

1

2

2 2 2

0 02 2

(asimptote)

( ,0)fokusi,žiže

( ,0)

(uslov dodira sa datom tangentom

)

1 (uslov dodira sa datom tačkom

c a b

b y x

a

F c

F c

a k b n

y kx n

x x y y

a b

= +

= ±

− ⎫⎬⎭

− =

= +

⋅ ⋅− =

0 0 ( , )) x y


68/87


10.11. Parabola

2 2 y px=

0 0

0 0

p=2kn (uslov dodira sa datom tangentom

)

=p(x+x ) (uslov dodira sa datom tačkom

( , ))

y kx n

y y

x y

= +

⋅


69/87


11. Nejednakosti, sume i nizovi

11.1. Nejednakosti

2

3

1

2

1

1

2

3

! 2

! 3

!

!

1 , 1

1 1 , 2

2

(1 ) 1 , 2, -1 (Bernulijeva nejednakost)

n

n

n

n

n

n

n

i

n

i

n

n

n

n

n

n n

n n

n ni

nn i

h nh n h

−

−

=

=

>

>

>

>

<

<

> ≥

> ≥+

+ > + ≥ >

∑

∑

11.2. Sume

1

1

2

1

2

1

23

1

22 4 2

( 1)

2

(2 1)

( 1)(2 1)

6

( 1)

2

1(1 )(1 )(1 ) ... (1 ) , 1, 1

1

n

n

n

i

n

i

n

i

n

i

n ni

i n

n n ni

n ni

x x x x x n x

x

−

=

=

=

=

+=

− =

+ +=

+⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

−+ + + ⋅ ⋅ + = ≥ ≠

−

∑

∑

∑

∑


70/87


11.3. Osobine sume

1 2

1

1 21

1 1 1

1 1

...

...

( )

( )

def n

i n

idef n

i ni

n n n

i i i ii i i

n n

i ii i

a a a a

a a a a

a b a b

c a c a

=

=

= = =

= =

= + + +

= ⋅ ⋅ ⋅

+ = +

⋅ = ⋅

∑

∏

∑ ∑ ∑

∑ ∑

1

1 1

1

,

(broj članova sume je 1)

n

i

n k n

i i ii i i k

m

j j k

n

a a a k n

a m k

=

= = =

=

=

= + <

− +

∑

∑ ∑ ∑

∑

11.4. Aritmeti č ki niz (progresija)

1 2

1

1 1

...

( 1) razlika

( ) [2 ( 1) ]2 2

2

n

n

n n

n k n k n

a a a

a a n d d

n nS a a a n d

a a a− +

= + − −

= + = + −

+ =

2 1 1 1 1 2 1

3 2 21 1 1

1 11 1

Odrediti niz (bilo koji) takav da razlike njegovih uzastopnih članova obrazuju

aritmetički niz.

...

1( )

... 2

1(

2

n n

n n

n n nn n

č est zadatak

a a d a a d d d

a a d na a d d

na a d a a d d

−

−

− −−

− = ⎫ − = + + +⎪− = −⎪

− = +⎬⎪

−⎪− = ⎭ = + + 1)


71/87


1 2 3 4 5S S S S S

3

4

5

Odrediti zakonitost:

{1},{1,2},{3,4,5},{6,7,8,9},{10,11,12,13,14}

{1 2,...}

{1 2 3,...}

{1 2 3 4,...}

prvi član skupa: ( 1)2

poslednji član skupa

n

č est zadatak

S

S

S

na n

= +

= + +

= + + +

= +

: ( 1)

2n

nb n n= + +

11.5. Geometrijski niz (progresija)

1 2

2 12 1 3 1 1

1

2

...

1

1

n

nn

n

n

n k n k n

a a a

a a q a a q a a q

qS a

q

a a a

−

− +

= = =

−= ⋅

−⋅ =

11.6. Beskonač an geometrijski niz (red)

1 1

1

...

lim1

važan uslov: |q|


72/87


12. Polinomi

1 21 2 1 0( ) ...

Ostatak koji se dobija kada se ( ) podeli sa ( - ) je ( ).Ako je ( ) 0, polinomi su deljivi.

n nn n P x a x a x a x a x a

P x x a P a P a

−−= + + + + +

=

12.1. Vijetova pravila za polinome

3 2

1 2 3

1 2 1 3 2 3

1 2 3

0 Ax Bx Cx D

B x x x

AC

x x x x x x

D x x x

+ + + =

+ + = −

+ + =

⋅ ⋅ = −

4 3 2

1 2 3 4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 1 2 4 2 3 4 1 3 4

1 2 3 4

0 Ax Bx Cx Dx E

B x x x x A

C x x x x x x x x x x x x

A

D x x x x x x x x x x x x

E x x x x

+ + + + =

+ + + = −

+ + + + + =

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = −

⋅ ⋅ ⋅ =

12.2. Formiranje jednač ina

2

1 2

1 2

0 y sy p

s y y

p y y

− + =

= +

= ⋅

3 2

1 2 3

1 2 2 3 1 3

1 2 3

0 y sy py q

s y y y

p y y y y y y

q y y y

− + − =

= + +

= ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ ⋅


73/87


13. Uvod u analizu

13.1. Oblasti definisanosti nekih funkcija

ln

2

( ) ,A 0

( ) ln ,A>0

( ) ,A>0

( ) ln 2 ln | | ,A 0

1( ) ,A {0,1}

log

(

A

n

A

f x A

f x A

f x e

f x A n A

f xe

f x

= ≥

=

=

= = ≠

= ≠

2

| |

1 1) = ,A {0,1}

1loglog

2

( ) ln ,(nema uslova)

1( ) ,

sin

1

( ) ,cos 2

( ) tan

n A A

A

ee

n

f x e

f x k

f x k

f x

α π α

π

α π α

α

= ≠

=

= ≠

= ≠ +

= ,2

( ) cot ,

k

f x k

π α π

α α π

≠ +

= ≠


74/87


13.2. Ispitivanje funkcije

1. oblast definisanosti (domen)2. parnost/neparnost

3. periodičnost4. nule funkcije ( y=0)5. znak funkcije6. asimptote (izračunavanje graničnih vrednosti)

a) vertikalne (VA)b) horizontalne (HA)c) kose (KA)

7. monotonost i ekstremne vrednostia) monotonost (traženje prvog izvoda funkcije)

b) ekstremne vrednosti (minimum i maksimum) , y’=0 8. tačke prevoja i konveksnost/konkavnost

a) tačke prevoja (traženje drugog izvoda funkcije) , y’’=0 b) konveksnost/konkavnost

9. grafik funkcije

13.3. Grani č na vrednost funkcije

( )

0

0

( )

( 0)( 0)( ) ( )

lim ( ) x x

y f x

x x x f x a

a f x

ε δ δ ε

→

=∀ > ∃ > ∀ − < ⇒ − <

=

13.4. Važnije grani č ne vrednosti

0

1 1

sin1. lim 1

:

0, sin tan

11

sin cos

sin1 cos

sin 1 (po teoremi o 2 policajca)

x

x

x Dokaz

x x x x

x

x x

x x

x

x

x

→

=

> ≤ ≤

≤ ≤

≥ ≥

→

0

0

0

tan2. lim 1

arcsin3. lim 1

arctan4. lim 1

x

x

x

x

x

x

x

→

→

→

=

=

=


75/87


20

2 2 22

2 2 20 0 02

1 cos 15. lim

2

:

12 sin sin2sin

12 2 2 22lim lim lim2

2 2

sin tan

x

x x x

x

x

Dokaz

x x x x

x x x x

x x x

→

→ → →

−=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≤ ≤

0

0

0

16. lim 1

11 konvergentan

ln(1 )7. lim 1

1

8. lim 1

19. lim ln

n

n

n

n

x

x

x

x

x

en

an

x

x

e

x

aa

x

→∞

→

→

→

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

+=

−

=

−=

0(1 ) 110. lim

sin11. lim 1

k

x

x

x k x

x

x

→

→∞

+ − =

=

13.5. Neodređ eni matemati č ki izrazi

0

1.

2.

3. 0

4. 0

5.

6. 1

−

∞

∞

∞ ∞

∞

∞⋅ ∞

∞

7.

8.

9.

10.

11.

12.

n

n

n

+∞ ∞ → ∞∞ ⋅ ∞ → ∞

∞ + → ∞

∞ ⋅ → ∞

∞ → ∞

∞ → ∞

, 1

neodređeni i , 1

0 , 0 1

a

a zraz a

a

∞

∞ >⎧⎪

= =⎨⎪ <


76/87


13.6. Asimptote funkcije

[ ]

1. vertikalna asimptota (VA)

lim ( )

2. kosa asimptota (KA)

( ) lim

lim ( )

3. horizontalna asimptota (HA)

lim

x a

x

x

x a f x

f x y kx n k

x

n f x kx

y n y

→

→∞

→∞

= = ∞

= + =

= −

= = ( )

lim ( )

x

x

f x

y f x

→+∞

→−∞=


77/87


14. Izvodi

0 00 0

0

( ) ( )'( ) ( ) lim

def

x

f x x f x f f x x

x x∆ →

+ ∆ −∂= =

∂ ∆

14.1. Pravila izvoda

'

'

2

[ ( )]' '( )

( ) '( )

[ ( ) ( )]' '( ) '( )

[ ( ) ( )]' '( ) ( ) ( ) '( )

( ) '( ) ( ) ( ) '( )

( ) ( )

c f x c f x

f x f x

c c

f x g x f x g x

f x g x f x g x f x g x

f x f x g x f x g x

g x g x

⋅ = ⋅

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

± = ±

⋅ = ⋅ + ⋅

⎡ ⎤ ⋅ − ⋅=⎢ ⎥

⎣ ⎦

14.2. Tablica izvoda

'1

'

2

'

' 1' 0

1 1

1

2

n n

c

n x

x x

x

−

==

⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ =

⎣ ⎦

2

2

(sin ) ' cos

(cos ) ' sin

1(tan ) '

cos

1(cot ) '

sin

x x

x x

x x

x

=

= −

=

= −

2

2

2

2

1(arcsin ) '

1

1(arccos ) '

1

1(arctan ) '

1

1(arccot ) '

1

x

x

x

x

x x

x x

=−

= −−

=+

= − +

'

( ) '

( ) ' ln

1(ln ) '

ln 1

log ln ln

x x

x x

a

e e

a e a

x x

x

x a x a

=

=

=

⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠


78/87


14.3. Izvod višeg reda

( )'

( ) ( 1)'' ( ') ' , ''' ( '') ' , n n y y y y y y −= = =

14.4. Izvod složene funkcije

( ) ( ( )) '( ) '( ( )) '( )h x f g x h x f g x g x= ⇒ = ⋅

1

2

2

[ ]' '[sin ]' cos '

[cos ]' sin '

1[tan ]' '

cos

1[cot ]' '

sin

1[ln ]' '

n n

n n n nn n n

n n n

n nn

n nn

n nn

−

= ⋅ ⋅= ⋅

= − ⋅

= ⋅

= − ⋅⋅

= ⋅

1

2

2

2

2

[ ]' '

[ ]' '

1[arcsin ] ' '

1

1[arccos ]' '

1

1[arctan ]' '

11

[arccot ]' '1

n n

n n

n n n n

e e n

n n

n

n n

n

n n

n

n nn

−= ⋅ ⋅

= ⋅

= ⋅−

= − ⋅−

= ⋅

+= − ⋅

+

14.5. Izvod inverzne funkcije

1 1( ) ( ) ' , gde indeks označava zavisnu promenljivu

' x

y

y f x x f y y

x

−= ∧ = ⇒ =

14.6. Tangenta funkcije u tač ki (x 0 ,f(x 0 ))

0 0

0

0

( )

( )

'( ) (jednačina tangente)

1 (jednačina normale)'( )

y f x

y k x x y

k f x

k f x

=

= − +

=

= −


79/87


80/87


15.3. Č esto korišć eni integrali sa uobi č ajenim smenama

Integral Smena

lndx

dx x a c x a = + ++∫ x a t + =

2 2

1ln

2

dx x adx c

a x a x a

−= +

+−∫ 2 2

1 1 1 1

2a x a x a x a

⎡ ⎤= −⎢ ⎥− +⎣ ⎦−

2 2

2 2ln

dxdx x x a c

x a

= + ± +±

∫ 2 2t x x a= + ±

2 2 2

1arcsin

dx bxdx cb aa b x

= +−∫ a x t

b=

2

dxdx

x ax bx c+ +∫ 1 t

x=

2 2 2

1arctan

dx bxdx c

ab ab x a= +

+∫

a x

b=

*Napomena: Kada se javi izraz 2ax bx c+ + , treba ga dopunitido POTPUNOG KVADRATA BINOMA!

15.4. Metod neodređ enih koeficijenata

'( ) cos ( ) cos ( ) sin

( ) cos ( ) cos ( ) sin

( ) i ( ) su nepoznati polinomi stepena kao ( ) i

traže se grupisanjem i upoređivanjem sa levom stran

x x x

n n n

x x xn n n

n n n

P x e xdx Q x e x R x e x

P x e xdx Q x e x R x e x

Q x R x n P x

α α α

α α α

β β β

β β β

= +⎡ ⎤= +⎣ ⎦

∫

om.


81/87


15.5. Trigonometrijski integrali

2

2

22

2

2

2

1. tan

cos

1

sin1

1cos

1

x t

dx

dt x

dt dx

t

t x

t

x

t

=

=

=+

=+

=

+

2

2

2

2

2

2. tan2

2cos2

2

1

2sin

1

1cos

1

xt

dxdt

x

dt dx

t

t x

t

t x

t

=

=

=+

=+

−=+

2 2 2 2 2

22 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2 2

1arcsin

2

ln

2 2

ln2 2

xa x dx x a x a c

a

x a x a dx x a x x a c

x a x a dx a x x x a c

⎡ ⎤− = − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤− = − − + − +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

+ = + + + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∫

∫

*Hint: Za izračunavanje datih integrala, koristiti metodparcijalne integracije.

15.6. Metod parcijalne integracije

( ) ( ) I f x g x dx= ⋅∫

( )

'( )

u f x

du f x dx

=

=

( )

( )

dv g x

v g x dx

=

= ∫

I u v vdu= ⋅ − ∫


82/87


15.7. Integracija racionalnih funkcija

2

( )

( ) ( )

n P x dx

x a ax bx cα

− + +

∫

1. Ako je stepen brojioca već i ili jednak stepenu imenioca –PODELITI.

2. Ako je stepen brojioca manji od stepena imenioca –RAZLOŽITI RACIONALAN IZRAZ NA SLEDEĆI NAČIN:

1 22 2

1 1 2 22 2 2 2

( ) ...( ) ( ) ( ) ( )

...( ) ( )

n P x A A A x a x a ax bx c x a x a

B x C B x C B x C

ax bx c ax bx c ax bx c

α α α

β β

β

= + + + +−− + + − −

++ ++ + + +

+ + + + + +

15.8. Njutn-Lajbnicova formula

2

1

22 1

1

( ) ( ) ( ) ( )

x

x

x f x dx F x F x F x

x= = −∫


83/87


15.9. Neke rekurentne formule za integrale

1

2

2

2

2 2 1

2 2 2 1

12

1 2

1

arctan( 1)

( 1)

1 12

( 1) ( 1)

2

( 1) ( 1) ( 1)

2 21

2 (2 1)( 1)

1

2

n n

n nn

n

n n n

n n n n

I I

n n n

n nn

n

dx I I x

x

u x v dx

x x I n dx

x x

x dx dx I n

x x x

x I nI nI

x

xnI n I

x

I n

+

−

+

+

+

+

+

= =+

= + =

+ −= +

+ +

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= + −⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

= + −+

= + −+

=

∫

∫

∫

∫ ∫

2(2 1)

( 1) nn

xn I c

x

⎡ ⎤+ − +⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

( )

( )

1 2

2 2

2 2

1 2

2

1(2 1)

2 ( 1)

smena:

( 1)

1

n nn

n n

n n

nn n

x I n I

n x

dx I x at

x a

adt I

a t

dt I a

t

+

−

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

= =

+

=+

=

+

∫

∫

∫


84/87


16. Kombinatorika

1 2, ,..., 1 2

1 2

( 1) ( 2) ... 3 2 1 ! (permutacije bez ponavljanja)

( ... )! (permutacije sa ponavljanjem)

! ! ... !

( 1) ( 2) ... ( 1) (varijacije bez ponavljanja)

n

n

k k k nn

n

k n

k n

P n n n n

k k k P

k k k

V n n n n k

V

= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

+ + +=⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +

= (varijacije sa ponavljanjem)

! (kombinacije bez ponavljanja)

! !( )!

1 (kombinacije sa ponavljanjem)

k

k k nn

k n

n

nV nC

k k k n k

n k C

k

⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟− ⎝ ⎠

+ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

16.1. Binomni koeficijenti

0

0! 1

10

1

1 1

( )n

n n k k

k

n

n n

k n k

n n n

k k k

na b a b

k

−

=

=

⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

0

1

1

1

2

2 ...0 1 2

2 ...0 2 4

2 ...1 3 5

nn

k

n

n

n

a b

n

k

n n n n

n

n n n

n n n

=

−

−

= =

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

0

1

2 2 2 22

...0 1 2

nn k k

k

n k k k

na b

k

nT a b

k

n n n n n

n n

−

=

−+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑


85/87


16.2. Izrač unavanje zbira kvadrata binomnih koeficijenata

2

2 2 1

1 2 2

(1 ) ( 1) ( 1)

...0 1 2 2 1

...0 1 2 2 1

2 2 2

0 1 2

n n n

n n n

n n n

x x x

n n n n n n x x x x xn n n

n n n n n n x x x x x

n n n

n n n x x

− −

− −

+ + = +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +

sve formule za srednju

Documents