sujet et corrigé mathématiques bac s, obligatoire, centres ... · partie b on se place désormais...

Exercice 4Corrigé

ObligatOire

B A C C A L A U R É AT G É N É R A L

SESSION 2018

ÉPREUVE DU LUNDI 11 JUIN 2018

MATHÉMATIQUES– Série S –

Enseignement Obligatoire Coefficient : 7

Durée de l’épreuve : 4 heures

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées,conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 5 exercices indépendants.Le candidat doit traiter tous les exercices.Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

18MASOG11 1Centres Étrangers 201 8Bac - Maths - 201 8 - Série Sfreemaths . fr freemaths . fr

Sujet Mathématiques Bac 2018 • Corrigéfreemaths.fr

Centres Étrangers • OBLIGATOIRE

Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 8 pagesnumérotées de 1 à 8.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL - Série S SESSION 2018

ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES SUJET

Coefficient : 7 Page 6/8

18MASOG11 Durée : 4 heures

Exercice 4 – Candidats n’ayant pas suivi la spécialité mathématique (5 points)

La figure ci-contre représente un cube ABCDEFGH.

Les trois points I, J, K sont définis par les conditions

suivantes :

- I est le milieu du segment [AD] ;

- J est tel que 3

AJ AE4

;

- K est le milieu du segment [FG].

Partie A

1. Sur la figure donnée en annexe, construire sans justifier le point d’intersection P du plan (IJK) et

de la droite (EH). On laissera les traits de construction sur la figure.

2. En déduire, en justifiant, l’intersection du plan (IJK) et du plan (EFG).

Partie B

On se place désormais dans le repère orthonormé A ; AB,AD,AE .

1. a) Donner sans justification les coordonnées des points I, J et K.

b) Déterminer les réels a et b tels que le vecteur (4 ; ; )n a b soit orthogonal aux vecteurs IJ et

IK .

c) En déduire qu’une équation cartésienne du plan (IJK) est : 4 6 4 3 0x y z .

2. a) Donner une représentation paramétrique de la droite (CG).

b) Calculer les coordonnées du point N, intersection du plan (IJK) et de la droite (CG).

c) Placer le point N sur la figure et construire en couleur la section du cube par le plan (IJK).

Partie C

On note R le projeté orthogonal du point F sur le plan (IJK). Le point R est donc l’unique point du

plan (IJK) tel que la droite (FR) est orthogonale au plan (IJK).

On définit l’intérieur du cube comme l’ensemble des points M ( , , )x y z tels que

0 1

0 1

0 1

x

y

z

.

Le point R est-il à l’intérieur du cube ?

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Annexe (à rendre avec la copie)

1

freemaths . fr Corrigé - Bac - Mathématiques - 2018

1. Construisons le point d’intersection P du plan ( JK ) et de la droite ( EH ):

Voici la construction demandée:

A B

CD

E F

GH

J

K

P

I

2. Déduisons-en l’intersection du plan ( JK ) et du plan ( EFG ):

Les plans ( JK ) et ( EFG ) sont distincts car le point appartient seulement au plan ( JK ) .

Par ailleurs, les points P et K sont distincts et appartiennent tous deux aux plans ( JK ) et ( EFG ) .

Ainsi: la droite ( PK ) correspond à l’intersection des plans ( JK ) et ( EFG ) .

EXERCICE 4

Partie A:

[ Centres Étrangers 2018 ]

2


A B

CD

E F

GH

I

J

K

P

Partie B:

1. a. Donnons les coordonnées des points , J et K:

Dans le repère orthonormé ( A ; AB; AD; AE ), les coordonnées des points , J et K sont:

• ( 0 ; 12

; 0 ) car: A = 12

x AD ;

• J ( 0 ; 0 ; 34

) car: AJ = 34

x A ;

• K ( 1 ; 12

; 1 ) car: AK = 1 x AB + 12

x AD + 1 x AE .

1. b. Déterminons les réels a et b tels que le vecteur ( 4 ; a ; b ) soit orthogonal aux vecteurs J et K:

Le vecteur ( 4 ; a ; b ) est orthogonal aux vecteurs J et K ssi:

3


. J = 0

. K = 0 <=>

4 x 0 + a x - 12 + b x 34 = 0

4 x 1 + a x 0 + b x 1 = 0

,

avec: J

0

- 1234

et K 101 ,

<=> - 12 a + 34 b = 0

b = -4

=> a = - 6

b = - 4 .

Au total, les réels a et b tels que le vecteur soit orthogonal aux vecteurs J et K sont: a = - 6 et b = - 4 .

Dans ces conditions: 4- 6- 4

, étant un vecteur normal au plan ( JK ) .

1. c. Déduisons-en une équation cartésienne du plan ( JK ):

Ici: • ( a = 4 ; b = - 6 ; c = - 4 ) ;

• ( 0 ; 12

; 0 ) est un point de l’espace .

D’où une équation cartésienne du plan passant par et de vecteur normal est:

a ( x - x ) + b ( y - y ) + c ( z - z ) = 0

<=> 4 x ( x - 0 ) - 6 x ( y - 12 ) - 4 x ( z - 0 ) = 0

=> 4 x - 6 y - 4 z + 3 = 0 .

En conclusion, une équation cartésienne du plan ( JK ) est bien: 4 x - 6 y - 4 z + 3 = 0 .

4


2. a. Donnons une représentation paramétrique de la droite ( CG ):

D’après le cours, nous savons que:

• Soit A ( A ; yA ; zA ) un point de l’espace .

• Soit ( a ; b ; c ) un vecteur non nul de l’espace .

• La droite passant par A de vecteur directeur admet pour représentation paramétrique:

= A + t . a y = yA + t . b , t .

z = zA + t . c

Ici: •la droite ( CG ) passe par le point C ( 1 ; 1 ; 0 ): C = 1 x AB + 1 x BC,

•un vecteur directeur de la droite ( CG ) est: = CG,

cad: 001 , car: G ( 1 ; 1 ; 1 ) dans le repère ( A ; AB ; AD ; AE ) .

D’où une représentation paramétrique de la droite ( CG ) passant par C et de vecteur directeur ( 0 ; 0 ; 1 ) s’écrit:

x = 1 + 0 x t

y=1+0xt ,tı¨.

z = 0 + 1 x t

Au total, une représentation paramétrique de la droite ( CG ) est:

x = 1

y=1 ,tı¨.

z = t

5


2. b. Calculons les coordonnées du point N:

Soient ( xN ; yN ; zN ) les coordonnées du point N dans le repère ( A ; AB ; AD ; AE ) .

Le point N appartient à la droite ( CG ), donc ses coordonnées vérifient le système:

N = 1

yN = 1

zN = t , t .

De plus, le point N appartient aussi au plan ( JK ), donc ses coordonnées vérifient aussi l’équation: 4 - 6 y - 4 z + 3 = 0 .

Ainsi, nous pouvons écrire: 4 x xN - 6 x yN - 4 x zN + 3 = 0

<=> 4 x 1 - 6 x 1 - 4 x t + 3 = 0 .

<=> t = 14

cad: zN = 14

.

D’où les coordonnées du point N sont: xN = 1, yN = 1, zN = 14

.

Au total, les coordonnées du point N, intersection du plan ( JK ) et de

la droite ( CG ) sont: xN = 1, yN = 1 et zN = 14

.

2. c. Plaçons le point N sur la figure et construisons en couleur la section du cube par le plan ( JK ):

Voici le graphique demandé avec en orange la section du cube par le plan ( JK ):

6


A B

CD

E F

GH

I

J

K

P

N

Partie C:

Le point R est-il à l’intérieur du cube ?

L’intérieur du cube est défini par l’ensemble des points M ( x ; y; z ) tels que:

0 < x < 1

0 < y < 1

0 < z < 1 .

Le point R a pour coordonnées: xR = 141 7

, yR = 934

et zR = 201 7

.

Et nous avons: 0 < xR < 1, 0 < yR < 1 et zR > 1 .

Au total, comme zR ne vérifie pas la condition 0 < zR < 1: le point R n’est pas à l’intérieur du cube .

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