suites et séries des fonctions.pdf

15
! "# $ % # & % ## & & ! # & # & +∞ = # & ! % % # & ()*) = = ! $ + % , & # $ - % ! $ ! .# / % * 0 ! / % +∞ = % &# / +∞ = 1 ! &$ 0 0 "- + #

Upload: youssef-essasnoui

Post on 01-Feb-2016

213 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: suites et séries des fonctions.pdf

���������� ������������������������

���������������� ��������

������

������������������������������������������ ���� →� ���������������������� ��

���������!

�������������� ����"#$���������

• ����������������

�����%�� �������������������∈��� #& ���� →� ����������������������

����%���������� ��∈ ����������������������∈�� �� ##&& ��������!

'� ��������� ������� ������� #&���#& ������ �� +∞→

=∈∀ ��������� ������ ������

���∈��� #& !

• �����������������

�� ��� %�� �� ����� �� ����� ������� ���� →� �������� ���������� ��� �

����%���������� �� ∈ ��������������������� #&����������� �(���)*)�������������

������������������� �=

=�

�� ��

����������������������!

• $��������������������������

+� ���� ������� %���� ��, ��� ��� ����������� ������ ��� ���� �� ������� ��

����������������������&����#

$�������� �������-�����������%���������������������������������������

�����������������!

$��� �� ����� ��� ������ �� ������� �� ����������� ������ ��� �� ������� ��

���������������������������������!

.#/������%��

'������ �� �� ����������� ������ ���������� * ����� ����� ����� �� ����� �����

�����������0���!

/��������������������

• ������������%���

'��������������������������������������+∞

=��

�� ��������%�������&������#

• /�������������

'��������������������������������������+∞

=� 1�

�����!

&$����0�������0������"���-������� �≠� � � →+

�#

������������� �����������������������������

Page 2: suites et séries des fonctions.pdf

���������� ������������������������

���������������� ����2����

• �+∞

=��

�����������������������������3

$����0�������0����$�"���-���&���� �≠ # ����������������� < �������

�� > !

���� = �

) ��������

���� = �������������� ���� −= ������������&����0����'��-��4#

) ������������& ≠ = #

��� �������� 5�∈� �−=

���

� !$����

�����������

���

����

�������

���

���

ε

���

� �� ��

−−

−=

−−=

=����

��=

=

=

=

#&

#&!

������������������������������������ �����������& � ≠− � #

/�

� +=≤

−=

−≤ ��� �

��� ��

���

� �

��

�ε

��∞

= ϕ �

�−

� �ϕ -�����!

"���� �→�ε ��������������������� �� −=

+∞

=

� �

��

!

�������

����� = ��� θ�� = �� ] [ { }ππθ 62 �∈ !"�����

[ ]

( )#���&"�����������2

���2"��������2��

���

"�����

���

���"�������

���

���"�������

���

���"�������

2

22

2

2

2

θ

θθθ

θθ

θθ

πθθ

θθ

θ

θ

θθθ

θ

−+���

����

�+−=

��

���

�+��

���

� −+−−=

��

���

���

−−−−−=

��

���

���

−−+−−=

−−=

− �� −

��

���

����

����

��

��

��

���

��

���� ] [πθ �∈ #&���2��#&���2��

22222

�θπθ θπθθ

θθ −+−=−++−=

−� �

� ���

���

• /������ �+∞

=

−=

#&�

���ξ ���� �∈�

� �∈� ������������������������������ >� !

���� �∈� �

��������

���

#& = 7�����

#8�&

#&

���

�� =

Page 3: suites et séries des fonctions.pdf

���������� ������������������������

���������������� ����9����

� #8�& >� ��,�������������-�����!

� �#8�& ≤� ��,�����������������0��&���������������������#!

� ] ]7�#8�& ∈� �

������ �+

=

#&�

� ���

����

/�������� �

������ #&

#&

−−

=== −

=

+

����

� �� ���

��

����

"���� ��������������������� #&����������������������������������������

������� #&�����������!

� ] [7�#8�& ∈� +∞→= −− #8�& �� �� ����������������!

� #8�& =� & ≠� # ��� += �� 5�∈� �� ������ ��� �� ==− !

��������%�� ���

� � ��=α ������������ �∈� !

"���� ���→= 2#&2 αα !$��� 2�� = ���� =� &��� =� #

��� �>� ����!

������ #&#&#& ������� +==ϕ

"���� !: #��&2#��&2#;&#��&2##&��&2

#& =→== ++ ���

��������������

� ����� ααϕ

$��� � #��&2 =>∀ ����� ��%������������-��!

$���������� #& ≥��α ������� ������ 5##&&�∈�� �� �����!

"���� �≥

#&�

� �� ������������������������{ }#8�& >∈ �

/��������������������������� �+

−= �

� ����

��

�� ���� #8�&� ≤< � �� ≠� !

��� ��++

��

���

� −=−= �

� ��

� ��� �����

��

��

$����0� �� �����0�� ��� �������������� ����� �����%�� *��

��

� � ���

[ ] [ ] +⊂ ���� ���#8�&

#�&#& +

−≤−

��

������

&���#8�&

#&#& +

−≤−

��

������� #

$���#8�&

#8�&

#8�& +

+

+

+

+ ≤−≤−

≤ �� �

��

� ���

�����

���

���� ����������������������

�����������!$������������������������ �� ���������-�������� ������������!

"���� �����������������������ξ ���{ }#8�& >∈ � & ��+∞

=

+∞

=+=

� ��ξ #

�#+���������������������������������

/�������� ����������*�� ������������ �����������������������,��%������

���������!

Page 4: suites et séries des fonctions.pdf

���������� ������������������������ ���������������� ����<����

/�������

'�������������������� ��

� ����� −α�� !

���� �=� ���������������!

� �≠� ��

� ���

��

�� −−+ →+= α

α#&

#&

#&

$���������������������������� [ [+∞ �

$��������������������� �=α �����

���

>−

==

− ���

����#&

��

��

���

/����� #�&#&����

����

≠=+→

�������������������������!

����2

2 #&

����� += �� ����� �� ����� ������� �� �������� ���������� ����

�� � %����������������-����������%����� �� ������������ ∞� !

$�����������0��������-������������������������*��������������!

'���������������������

���-�0���

"���� �� +∞→+∞→=

��

��

��������� #&���#&��� �� � ���

+∞

=

+∞

==

��

�� ��

��

3

8�������������������!+���������,����0������������������ �������������

�����������������!

/�������

������ ��

� ����� −= α#& !����%����α �)�)�� �� +∞→+∞→=

������� ��

��

�� 3

���� [ ]7�∈� ��� ���� =+∞→ �

��

$�����������α ����

�=� +∞→ �

��

=������� ≥� ���−−−− +

��

�−==

!

!

!

������

�������� ������

ααα

��� 22

�:#&

+∞→

−−−− −+−=�ααα

�������

��

�����������

� 2<α ���-������������!

� 2=α ���

�=�+∞→ �

�� �� ����

�=� +∞→ �

�� !

� �>α +∞=�+∞→

���� ��

/�������� �����������������������������������������������!

/�����������

>������� �� ���� 2=α �

#&#&( 2 ������ ��

� −= −

Page 5: suites et séries des fonctions.pdf

���������� ������������������������ ���������������� ���������

�;

�� (

��

��� −2

=�

2=�

�����������0����-��������������

) ?����������������������������������

/� �=� �@

���� �>� ���-������������������� ��-�������*�����������*����������

����������� #&��� �����A������!

) =��������� �� �

��� � �� -���� � ��� ������� ��

��� ������� �� � ����

��� �������������������������!

������������� ������ �� ���� ������� ��� ������� ��� ����������

������������ ���������������"#$���������

• �����������������

�� ��� %�� �� ����� �� ����� ��������∈��� #& �� ���� →� ��������

�����������������������������������

&# εε ≤−∈∀≥∀∈∃>∀�� ��������� #&#& � �

&2# �(���)*)���� �� #& ��� − ��� -����� * ������ ���� ������� ���� �� �� ��

����

=−∞

≥+∞→

���

���

=����������%����������

��������&#��������� �>ε ������������� #&ε� ���%��

εε ≤−∈∀≥∀�� �������� #&#& # &

) ���� =ε �����������%��*������������ #&� ��� − ���-��������!

) $����� �������� �>ε �� #&ε�� ≥ ��� − ���-��������ε !

$��� εε ≤−≥∀∞

���� �# & �(���)*)����&2#!

��������&2#

��� �>ε !+������������ ��� ≥ ���%�� ε≤−≥∀∞

���� � !

"���� �������� �� ≥ ������ �� ∈ ε≤−≤−∞

������ ��� #&#&

Page 6: suites et séries des fonctions.pdf

���������� ������������������������ ���������������� ����B����

• �����������������������������

$����������

�����%�� �� ������� �������������∈��� #& �������������������� ���� �� ��

����������������������� �=

=�

�� ��

������������������������!

• ����������������������������

$����������

�����%������������������������∈��� #& �������������������������������

����� �� ���-�������������������������������∞�� ��������!

• +�������������

&# ��� �� →�� ��������!������ #&#& �� ���� += !

�� ���������������������������������������������������������������!

&2# �+∞

=��

�� �� ��

� ����� −α�� &���������������������������������� [ [+∞ � #

/��������������������������� #& −−

∞== ����

���

α

���������������������������������������� >−α �(���)*)���� �<α !

")�)���������������������3

���� �<α �� , � ����������� ������� ���� �������� &��� � ��� ������� �����0�#

� �≥α �

������ �+∞

=

−=�

#&�

������

α

�������������� �→−∞�

���� �≥� ��+∞

+=

−+∞

+=

− ≥=−

#&#&��

��

��

��

� �������α

� �>� �

��

��

���� −

+−

−≥−

#&#&

#&

$���

�������

#;&

#;&##&&

+−−

+∞ ��

���

−+≥−≥−

�����

��

$�������,�����������������������!

"���� ����� ��� ��� �� , � ����������� �������� �� �� ��������� �� �� , �

�������������������(���)*)������������������� �<α !

.#���������������-�����������������������������%��

������ # & ��� �������-��������������-�������������� ������∞

����

���

��� #&���∈

∞= !

���� ��� ����� �� ��������� -�������∈��� #& �

�∈��� #& �������� ������������

�������������%���∈��� #& ����������������� ## &&

∞���

Page 7: suites et séries des fonctions.pdf

���������� ������������������������

���������������� ����C����

�������������������������� # & ����� ∈ ������������������������������

�������������������������������������������� ## &&∞

���

'� ����������� ������� ��� ������ ����� �� ����������� �-����� ���� �����

## &&∞

��� !

=������

���������������%������������������

��������������������� �� �� ���������%������������������!

������������������� �� �� ���������������������� ## &&∞

���

'���%���

D�� ����� -����� �� ## &&∞

��� ��� ��� ����� �� ��������� ������������

-������7����������������∈��� #& ������%���

�� � ≤∈∀≥∃∞

� �

�(���)*)����� ����� �� ≤∈∀∈∀≥∃ #& � �

���� ����������� �� ## &&∞

��� � ����� ������������ ����������� ��

���������!

���� ����������� �� ## &&∞

��� � ����� ������������ ����������� ��

���������!

�����-��������������������� ## &&∞

��� ����������������������������

�����������!

�#���������������������������������������������

• �����������������

E����0���

��������������������∈��� #& �� ���� →� ����������������������������

��� →� ������∈��� #& ���������������������������!

"�����������

����∈��� #& �� ���� →� !

�������������������������������������∈��� #& !

) �����,������������������������� ����,�����������������������!

) ��∈��� #& ���������������������������

�∈��� #& ��������������������

������������������� ��� − ���-������� �→−∞

���

$�������������������0���

���� �� ∈ ���∞

−≤−∈∀ ������� ��� #&#& �

$����� �→−∞

��� ����� �#&#& →−�� ���� !

Page 8: suites et séries des fonctions.pdf

���������� ������������������������

���������������� ����F����

• �������������

E����0���

&# ���� ��� �������� �������� ��������������������������A�� �������������

������!

&2# � �� -�� � ��� ������� �����

�� ����������� ������� �����A�� ��

�������������������!

$�������������

&# ������������0����������������%��*��������������������������!

&2# 8�������� # &�

� ���������� ����� ## &&∞

��� ����������!

��� �� ����������������������������������������������!

"���� ��� �� ���� ��� �������� �� # & ��� &��� ��� �,����0�� ∞�� ������ ��

�+∞

=∞

��

�� ��������#

����� ## &&∞

��� �������������+∞

=∞

��

�� �������� �+∞

=��

�� ��������������

�����∞

�(���)*)������������������������!

"�����������

/������������������������������������������������ ���� →� # &�

������������!

���������������������������������������� �(���)*)����∞�� !

�∞�� �������������� ����,�����������������������

&��� �� �� ������∈�� #& ������������������������� �����

�∈+ �� #& ��������

���������������������� ���� � →−= + ��� � #

� �� ����� �� ����� �������∞�� �������� �� � ����������� ������� ����

��������&��������������#!

������������+∞

=∞

��

�� ����������� �→∞�� �����

E����0���

'���������������������∈��� #& �����������������������������������������

�������������������������������������������������������������!

$�������������

���,�������������������� �������,������������������!

$����� �� � −= ���� �→−=∞∞ �� � !

� �� ����� �������� ���������� ���� �+∞

=

=�

#&#&�

� ��� ����� ���� ���� �∈� ��

���� �� ∈ ���� ���� #&#&#& =− ���� �→=−

∞∞ �� �

$����∈�� #& ����������������������������!

"�����������

'���%���� ��� ���� �� ��� &���� ��, � ��� ����������� �������# �� ������ ��

������������������

�����,��������������������� ����,������������������������������!

Page 9: suites et séries des fonctions.pdf

���������� ������������������������

���������������� ����G����

���,������������������ ��������∞�� !

8����%���

'� ������∈��� #& �� ���� →� �� �������� ��� ������������ ���� � �� ��

����������������������������∈��� #& ��������%�� #& �� �� ��������������!

/� ����� �� �→/∞�� ����� ���� ���� �∈� �� ������ ��� ∈ ��� %��

∞≥ ���� ���

2

#& ������ �#& →/�� �� !

��� ������ ��� ������∈��� #& �� � ����� %�� �#& →/�� �� �����

���� ���� #& ≥∈∀∞

� ������ �→/∞��

$#����0���������,������������������������

��������� # &�

� �������!

�� ��� %�� �� ����� �� ����������∈��� #& �� ���� →� ������� �� ����0�� ��

�����,������������%���

εε ≤−≥≥∀∈∃>∀∞�� ������ � �

8����%���

����������������-������ �����������0���������,���� ## &&∞

��� !

E����0���

� # &�

� ���������� ������0���������,�%������*���������������������!

&$�H*��������������� �����0��������%��I #

/��������

=������%�����������������������

#&

+− +

���

����������������������� [ ]7� !

$�H* ����,����������������������!

=�������

/��������������������������

���� [ ]7�∈� ���������������������

+

+

��

�����A������ ������������������

�������

#&

+− +

���

��������!

/���������������������� �+∞

+=

+

+−=

#&#&

��

��

��

��� �

���� [ ]7�∈� ���

#&#&

+−≤

+

���

��

$��� �

→+

≤∞ �

��

Page 10: suites et séries des fonctions.pdf

���������� ������������������������

���������������� ���������

$��� �� ����� �� ����� ������� �� ���� ������������ ���� � ��� [ ]7� ���� ��

���������������������������� [ ]7� !

=������2���������������������0���������,I

����∈��� #& ���������������%�������A������!

������ #���&#& ����� �� = !

"���� �� ����� �� ����� ��������� �������� ������������ ��� ���� ����������

[ ]�� −π2 �� ] [π �∈� !

�����������������0���������,�������������=

� ��

#&

/�������+

=

��

��

� ��� ��� �����������������������"-���

������ ���� [ ]��� −∈ π2 ���

����

−−=�

���

�==+

==�� ��

����

����

��

�����

+�+����#&

#&

��

"����22

#&

���

���

2

#&

������

���

���

�� ≤=

−≤

−−≤

+

$���� ���������������-�������� [ ]�� −π2 !"����

#&#&#&#&

#&#&##&#&&���

�������

����������

������

��

��

���

��

��

��

��

��

��

��

��

���

��

��

+++−

+

=+

−+

−=+

+

=

+

=−

+

=

+−−=

−=−=

����

J��������������0���������,�

�������� ≥� �� 2≥� �� [ ]��� −∈ π2 �

22

2

���

2

���

#&

���

#&

#&#&#&���

����

��

� �

������

��

��

��

��

�����

����������

=++−≤

++−≤

++

+

=+

+++−

+

=−=

+

+

=

��+

�����

��� �>ε 7����� �→�� ���������������������%��� ε≤≥∀2

���

2

����

"������������ �� ≥ �≥� ������ [ ]��� −∈ π2 ��� ε≤�+

=

��

��

� �� #&

$��� �� ����0�� �� �����,K�������� ��� ������� �� �� ����� ��� ������������

�������������� [ ]�� −π2 !

/#$����0�������%��

/������%�� ���������� ���������������������%�������� ������ �����0� ��

�����0���

��� �� →�� �����������������������!"���� #&���#&��� �������� ∈∈

=

Page 11: suites et séries des fonctions.pdf

���������� ������������������������ ���������������� ��������

�����%������

� ��� ����� �� ��������� ������� * ������� ���� � ��������� ��������

���������������� �������������������������������� � !

/�������

�������� �∈�� ��� #&#&���#&#&��� �������� ����

����

−=−∈∈

$���������0���������,K�������������%������������0���������,K��������

��� � !

��������������������������������� �������������� �������������"#+���������������������

E����0��&#�

��������!������� ��!����������7����������������� ���∈��� #& ���

�����������������������! �� �� ������������!

����������

) L�� �� ���������������������������� !�� →�

) L���������� �∈� #&��� ��������������� !�� ∈ ����%�� ��� →

"�������%��������������������������������������

����

���+∞→→

= ���#&����

�(���)*)����� #&������#&��������

���� ����

���� →+∞→+∞→→

= !

$�������������

) ������������� �� �

�����!���������� �����������������%���∈��� #& ����������,!

�� ���������*��������%���� ��� → ����∞

−≤−∈∀ ����� �������� #&#&

���∞

−≤−∈∀ ����� ������ �

����� �� ������∈��� #& ��� ������������ ����������� ���� ������� �� ����0����

�����,K���������������∈��� #& �������������0���������,�����!

) ������ ��

�+∞→

= ���µ ��������%�� µ=+∞→

#&��� ���

�(���)*)����%�� εµε ≤−∩∈∀∈∃>∀ #& # & � � �������� !

��� �>ε ! ������∈��� #& �������� ������������ ���� � �� ������ � ��� %��

9 ε≤−≥∀

∞���� � !

����� µ→�� ���������"���%��9

( εµ ≤−≥∀ ����

������� #( ���&� ��� ≥ !

"���� ��

#&��� ����

��� =→

$����������� #& ���� ∈ ���%��9��

#& ε≤−∩∈∀ �� ������

���� ��� ∩∈ ��������

εµµ ε ≤×≤−+−+−≤−9

9#&#&#&#&���� ���� ����������

'���������������

������∈��� #& ����� ����� →� !

Page 12: suites et séries des fonctions.pdf

���������� ������������������������ ���������������� ����2����

�� ������� %�� ��� �� ���� �������� �� �� ∈� %���∈��� #& ��������

����������������������7�����������∈��� #& ���������������������� �� !

"���� #& �� �� �������� #& ��� !

+����������������������M���������N�

#&#&#&

#&#&#&

#&#&#&

��

��

��

������

������

������

����

��

���

↓↓→

$�������������

�������������� �� ��������������������������������������� �� !

"����

�#&#&#&#&

#&#&#&#&#&#&

��

→−+−≤

−+−=−

������

��������

��������

������������

.#�����������������������������

E����0��&2#�

����∈��� #& �� !��� →� ����������������������� !�����!

�� ������� %���∈��� #& �������� ������������ ��� � ���� !�� →� �� %��

�������� �∈� �� �������������

�� !

"�������������������� !

�����������

��∈��� #& �������� ������������ ���� � ��� � �� �� ���� ���� �∈� �� ���

������������ ���������������������!

$�������������

����� ����������������������0���������������������������� �� ����%�����

�������%������������ ��������������������!������������������!

�#������������-�������� ��������∞±

!

E����0��&9#�

���������������������H���� ������ +∞=�� !

��� ! �� ��� ������� �∈��� #& ��� ����� �� ��������� !��� →� �����������

���������������� !�� →� ���� �����������%���������� �∈� �� ����������

����� �� �� �� !

"�����������%��������������������������������������

#&�������

�����

�� →+∞→

=

$�������������

J��������0��&# ��������I

Page 13: suites et séries des fonctions.pdf

���������� ������������������������ ���������������� ����9����

$#/�������

• ���� ������� %�� �� ����� ����� ����� �� ��������� ��� �������� �� ���������%����������0��&2#!

/�������

�+∞

=�2

�� � ����������������������� �⊂# �&#

/������ �������� �∈� 2

��

���

� � �������������� # �&# !

$� ���� �� ����� ��� ����������� ����������� ��� # �&# ���� ������������

�������������������������!

• �� ���� �������� �� �����0�� ���� ������� %���� ��, � ��� �������������������!

/�������

'� ����� �� ����� ������� ����− �������� ���������� ��� [ ]7� ���� ���

������������!

/������ ��,���H*�����������������&��H*��#

� �� , ����� ����������� �������� �� �������� ����� ] ]��

���

∈−

==

− 7���

����#&

��

��

���

�������������������%���������!

• '������$���&�������������#

����������������������������� �∈��� #& ��������������������������!

��!��������!

���������%���

&# �∈��� #& ���������������������� !�� →� ����

&2# ����������������

&9# �������� �� ∈ !� ���� #&#& − �����A������!

"����������������������������!

8����%���

&#��&2#���������������

���������� ��

� ����� −= α#& �������������������������� +� ����%�� >α

���� �

→/=−

∞ �

���

α

$�������������������0���

��� �>ε ����������� { }ε<−∈=!�� ������� #&#&

"���� �� �����������������!� �� ������������!

'�� �� ���������� ��� ���� �� ∈ ������∈�� �� ##&& �������� ���� #&�� ��

����������%�� ����� ∈≥∀

���������������������� �������� ��� !!!� ����%�� �

� ��

�=

=

Page 14: suites et séries des fonctions.pdf

���������� ������������������������ ���������������� ����<����

$����� �����!� ���� #&#& − �����A� ������� �� ����������������������������

�������� { }���� !!!��� �=

��� ��� = �(���)*)���� ε<−∈∀!� ������ #&#&

�� � ����� ε<−∈∀≥∀!� �������� #&#& �� %�� ���������� * ��

�������������������!

/# �������������������������

E����0���

��� [ ]�� ������������ !������������!

����∈��� #& ����� [ ] !���� → � ������������� ���������������������������

���� [ ]�� !

"���������������� �� �� +∞→=

��

��������� #&���#& !

�����������

��������O��������������������!

$�������������

�#&#&#&

##&#&&#&#&

→−−≤−≤

−=−

∞�

���

����������

��������������

��

��

��

&'����������������������������������������������������������������������#

P#������0���!

�������������*����������������������-��������!

E����0���

���$��������������� �∈��� #& ������������������� !$�� →� �������� �

��!�������������.�����!

���������%���

&# �∈��� #(& ������������������������ !$% →� ���$!

&2# +������� $� ∈ ���%���∈�� �� ##&& ������������ !� ∈ !

"���� �� ������∈��� #& �������� ���������� ��� $ ���� �� ��������

�+�

����%��� #&� � !

$����� ������������������������������������������������$!

Q.�

'����������&#��������������������������������������������

'����������&2#��������������������������������������!

�����������

����∈��� #& ��������������������������� � !$�� →� &!���������������

.�����#!����%���∈��� #& ���������������������$��������������� !$� →� ��

Page 15: suites et séries des fonctions.pdf

���������� ������������������������

���������������� ���������

������ � �� ������ %�� �� ������∈��� #(& �������� ������������ �� %���� , ���

��������������������∈�� �� ##&& �����������������!

&/���������� �∈��� #& �����������������������������������������$#

$�������������

�������� $� ∈

∞−−+−≤

−+−≤

−−+=−

��

��

���

���

��

�%�����

�����%���

���������%�����

(#&

##&(#&&#&

#&(#&#&#&#&

&�����������0����������� ���������� ���� ≥≤ ; �������-��������O�������#

$����������������������!

��� [ ]��& = �������������������$ ������ ( )���� −−= ���

�������� &� ∈ ������������ ����� ������������������������H�����

(#&#&#&∞

−+−≤− ��� �% �������

$����∈��� #& ����������������������������&!

>#������0����!

E����0���

��� $�� ������������� �∈��� #& ������������������� !$�� →� ��!�����

��������.����� �� { }∞+∪∈ ��

���������%���∈��� #& ��������������������������$!

���������������%���

&# �������� �∈� �� ����������� �� !

&2# ���� ���� � ≤ �� ������∈�

�� #& #& �������� ������������ ��� ���� �������

[ ]�� ����������$��������������� !$% →� !

"���������������� �� ���������� � ≤ ���� $� ∈ �

#&#&#& �%��

=

�(���)*)���� #&���#& #&#& ����

��

+∞→= !

�����������

�� � �� �O�� ������ ���� ��� ������ &�� ��� ����� ���� �� ��� %�� �� ��������

��������������-�������*�����#

8����%���

'����������&2#�����������������

� �∈� �������������������� #&�� ����������������������������������

����������$�����% ���������� � < #& � ����������������������������������

$�������������

��������� �����������������������!

���� ���������������%�� �∈

∞ =�

� !$�!$� # &# & !