suites arithmétiques et géométriques a) suites arithmétiques

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1 Lycée Français de DOHA Spécialité Première Année 2021 2022 M. Evanno Suites arithmétiques et géométriques A) Suites arithmétiques. 1. Définition et formules. Définition : forme récursive. Une suite est arithmétique lorsque, à partir du terme initial, l’on passe d'un terme de la suite au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre , appelé raison. ∀ ∈ ℕ : +1 = + avec 0 un réel donné. Théorème : forme explicite. La formule explicite du terme général en fonction de est : ∀ ∈ ℕ : = 0 + et ∀ ∈ ℕ et ∀ ∈ ℕ : = + ( − ). Démonstration : (mentionnée dans le programme) { 1 = 0 + 2 = 1 + = −1 + par somme on a : 1 + 2 +⋯+ = 0 ++ 1 ++⋯+ −1 + Donc 1 + 2 +⋯+ −1 + = 0 + 1 + 2 +⋯+ −1 On en déduit que : = 0 + Vidéo : démonstration du terme général d'une suite arithmétique 2. Reconnaissance de la nature. Propriété : algébrique Une suite ( ) est arithmétique de raison si et seulement si : ∀ ∈ ℕ ∶ +1 = Propriété : graphique Si une suite ( ) est arithmétique de raison alors ∀ ∈ ℕ : = 0 + = (). La suite ( ) est liée à la fonction affine () = + avec = 0 donc sa représentation graphique est une série de points situés sur la droite d’équation : = + . Exemples : Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on montre que la différence +1 est constante pour tout entier naturel . Ainsi la suite ( ) définie sur par = 2 + 3 est arithmétique de raison 3 car : ∀ ∈ ℕ : +1 = 2 + 3( + 1) − (2 + 3) = 2 + 3 + 3 − 2 − 3 = 3. Pour montrer qu’une suite n’est pas arithmétique un contre-exemple suffit. Ainsi la suite ( ) définie sur par { +1 = + 2 0 = n’est pas arithmétique car : 1 0 = 0 +2×0− 0 =0 et 2 1 = 1 +2×1− 1 =2≠0.

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Page 1: Suites arithmétiques et géométriques A) Suites arithmétiques

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Lycée Français de DOHA Spécialité Première

Année 2021 – 2022 M. Evanno

Suites arithmétiques et géométriques

A) Suites arithmétiques.

1. Définition et formules.

Définition : forme récursive.

Une suite est arithmétique lorsque, à partir du terme initial, l’on passe d'un terme de la suite au

terme suivant en ajoutant toujours le même nombre 𝑟, appelé raison.

∀𝑛 ∈ ℕ : 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 𝑟 avec 𝑢0 un réel donné.

Théorème : forme explicite.

La formule explicite du terme général en fonction de 𝑛 est :

∀𝑛 ∈ ℕ : 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑛𝑟 et ∀𝑘 ∈ ℕ et ∀𝑛 ∈ ℕ : 𝑢𝑛 = 𝑢𝑘 + (𝑛 − 𝑘)𝑟.

Démonstration : (mentionnée dans le programme)

{

𝑢1 = 𝑢0 + 𝑟𝑢2 = 𝑢1 + 𝑟

…𝑢𝑛 = 𝑢𝑛−1 + 𝑟

par somme on a : 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑟 + 𝑢1 + 𝑟 + ⋯ + 𝑢𝑛−1 + 𝑟

Donc 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛−1 + 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛−1 + 𝑛 × 𝑟

On en déduit que : 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑛𝑟

Vidéo : démonstration du terme général d'une suite arithmétique

2. Reconnaissance de la nature.

Propriété : algébrique

Une suite (𝑢𝑛) est arithmétique de raison 𝑟 si et seulement si :

∀𝑛 ∈ ℕ ∶ 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = 𝑟

Propriété : graphique

Si une suite (𝑢𝑛) est arithmétique de raison 𝑎 alors ∀𝑛 ∈ ℕ : 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑛𝑟 = 𝑓(𝑛).

La suite (𝑢𝑛) est liée à la fonction affine 𝑓(𝑥) = 𝑟𝑥 + 𝑏 avec 𝑏 = 𝑢0 donc sa représentation

graphique est une série de points situés sur la droite d’équation : 𝑦 = 𝑟𝑥 + 𝑏.

Exemples :

• Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on montre que la différence 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 est

constante pour tout entier naturel 𝑛.

Ainsi la suite (𝑢𝑛) définie sur ℕ par 𝑢𝑛 = 2 + 3𝑛 est arithmétique de raison 3 car :

∀𝑛 ∈ ℕ : 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = 2 + 3(𝑛 + 1) − (2 + 3𝑛) = 2 + 3𝑛 + 3 − 2 − 3𝑛 = 3.

• Pour montrer qu’une suite n’est pas arithmétique un contre-exemple suffit.

Ainsi la suite (𝑢𝑛) définie sur ℕ par {𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 2𝑛

𝑢0 = 𝑎 n’est pas arithmétique car :

𝑢1 − 𝑢0 = 𝑢0 + 2 × 0 − 𝑢0 = 0 et 𝑢2 − 𝑢1 = 𝑢1 + 2 × 1 − 𝑢1 = 2 ≠ 0.

Page 2: Suites arithmétiques et géométriques A) Suites arithmétiques

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Lycée Français de DOHA Spécialité Première

Année 2021 – 2022 M. Evanno

3. Sens de variation.

Propriété : (𝑢𝑛) est une suite arithmétique de raison 𝑟.

• Si 𝑟 > 0, (𝑢𝑛) est strictement croissante.

• Si 𝑟 < 0, (𝑢𝑛) est strictement décroissante.

• Si 𝑟 = 0, (𝑢𝑛) est constante.

Démonstration :

Soit (𝑢𝑛) une suite est arithmétique de raison 𝑟.

On a alors :∀𝑛 ∈ ℕ : 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 𝑟.

Donc ∀𝑛 ∈ ℕ : 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = 𝑟.

D’où la variation de la suite (𝑢𝑛) dépend uniquement du signe de la raison 𝑟.

4. Somme des termes d’une suite arithmétique.

Propriété :

Pour tout entier naturel 𝑛, on a :

𝑆 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛(𝑛 + 1)

2

Démonstration : (mentionnée dans le programme)

Soit 𝑆 la somme des 𝑛 premiers entiers naturels non nuls : 𝑆 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛.

Ecrivons cette somme ensuite dans l'ordre décroissant : 𝑆 = 𝑛 + (𝑛 − 1) + ⋯ + 3 + 2 + 1.

En sommant ces deux égalités, on obtient :

𝑆 + 𝑆 = 2𝑆 = 𝑛 + 1 + (𝑛 − 1) + 2 + ⋯ + 3 + (𝑛 − 2) + 2 + (𝑛 − 1) + 1 + 𝑛.

Donc : 2𝑆 = (𝑛 + 1) + (𝑛 + 1) + (𝑛 + 1) + ⋯ + (𝑛 + 1) + (𝑛 + 1) = 𝑛(𝑛 + 1)

Et donc :

𝑆 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛(𝑛 + 1)

2

Vidéo : démonstration de la formule de la somme des n premiers entiers naturels

Propriété : (hors programme mais pratique)

Soit (𝑢𝑛) une suite arithmétique, on a alors :

∀𝑛 ∈ ℕ ∶ 𝑆𝑛 = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛−1 + 𝑢𝑛 = (𝑛 + 1) (𝑢0 + 𝑢𝑛

2)

5. Vidéos explicatives sur les suites arithmétiques.

Vidéo : déterminer l'expression générale d'une suite arithmétique

Vidéo : déterminer la raison et le terme initial d'une suite arithmétique

Vidéo : démontrer qu'une suite est arithmétique

Vidéo : étudier les variations d'une suite arithmétique

Vidéo : calculer la somme des termes d'une suite arithmétique (cas simple)

Vidéo : calculer la somme des termes d'une suite arithmétique (cas compliqué)

Page 3: Suites arithmétiques et géométriques A) Suites arithmétiques

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Année 2021 – 2022 M. Evanno

B) Suites géométriques.

1. Définition et formules.

Définition : forme récursive

Une suite est géométrique lorsque, à partir du terme initial, l’on passe d'un terme de la suite au

terme suivant en multipliant toujours par le même nombre 𝑞, appelé raison :

∀𝑛 ∈ ℕ : 𝑢𝑛+1 = 𝑞 × 𝑢𝑛 avec 𝑢0 donné.

Théorème : forme explicite

La formule explicite du terme général en fonction de 𝑛 est :

∀𝑛 ∈ ℕ : : 𝑢𝑛 = 𝑢0 × 𝑞𝑛 et ∀𝑘 ∈ ℕ et ∀𝑛 ∈ ℕ : 𝑢𝑛 = 𝑢𝑘 × 𝑞𝑛−𝑘.

Démonstration : (mentionnée dans le programme)

{

𝑢1 = 𝑢0 × 𝑞𝑢2 = 𝑢1 × 𝑞

…𝑢𝑛 = 𝑢𝑛−1 × 𝑞

par produit on a : 𝑢1 × 𝑢2 × … × 𝑢𝑛 = 𝑢0 × 𝑞 × 𝑢1 × 𝑞 × … × 𝑢𝑛−1 × 𝑞

Donc 𝑢1 × 𝑢2 × … × 𝑢𝑛−1 × 𝑢𝑛 = 𝑢0 × 𝑢1 × 𝑢2 × … × 𝑢𝑛−1 × 𝑞𝑛

On en déduit que : 𝑢𝑛 = 𝑢0 × 𝑞𝑛

Vidéo : démonstration du terme général d'une suite géométrique

2. Reconnaissance de la nature.

Propriété :

Une suite (𝑢𝑛) est géométrique de raison 𝑞 si et seulement si :

∀𝑛 ∈ ℕ ∶𝑢𝑛+1

𝑢𝑛= 𝑞

Exemples :

• Pour montrer qu’une suite est géométrique, on montre que le quotient donné ci-dessus est

constant pour tout entier naturel 𝑛. Ainsi la suite (𝑢𝑛) définie sur ℕ par :

𝑢𝑛 =2𝑛+1

32𝑛

est géométrique de raison car :

∀𝑛 ∈ ℕ ∶ 𝑢𝑛+1

𝑢𝑛=

2(𝑛+1)+1

32(𝑛+1)

2𝑛+1

32𝑛

=2𝑛+2

32𝑛+2×

32𝑛

2𝑛+1=

2𝑛+2−𝑛−1

32𝑛+2−2𝑛=

2

32=

2

9

• Pour montrer qu’une suite n’est pas géométrique un contre-exemple suffit.

Ainsi la suite (𝑢𝑛) définie sur ℕ par {𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 × (𝑛 + 1)

𝑢0 = 1 n’est pas géométrique car :

𝑢1

𝑢0=

𝑢0 × (0 + 1)

1=

1 × 1

1= 1 et

𝑢2

𝑢1=

𝑢1 × (1 + 1)

1= 2 ≠ 1

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3. Sens de variation.

Propriétés : (𝑢𝑛), est une suite géométrique de raison 𝑞 et de terme initial positif.

• Si 𝑞 > 1, (𝑢𝑛) est strictement croissante.

• Si 0 < 𝑞 < 1, (𝑢𝑛) est strictement décroissante.

• Si 𝑞 = 0 ou si 𝑞 = 1, (𝑢𝑛) est constante.

Démonstration :

Soit (𝑢𝑛) une suite est géométrique de raison 𝑞. Alors pour tout entier 𝑛 :

𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = 𝑢0 × 𝑞𝑛+1 − 𝑢0 × 𝑞𝑛 = 𝑢0 × 𝑞𝑛(𝑞 − 1)

Or 𝑢0 > 0 et 𝑞 > 0 donc la variation de la suite (𝑢𝑛) dépend du signe de 𝑞 − 1.

On en déduit les conclusions de la propriété précédente.

4. Somme des termes d’une suite géométrique.

Propriété :

Pour tout entier naturel 𝑛 et tout réel 𝑞 (𝑞 ≠ 1) on a :

𝑆 = 1 + 𝑞 + 𝑞2 + ⋯ + 𝑞𝑛 =1 − 𝑞𝑛+1

1 − 𝑞

Démonstration : (mentionnée dans le programme)

Posons : 𝑆 = 1 + 𝑞 + 𝑞2 + ⋯ + 𝑞𝑛

On a alors : 𝑞𝑆 = 𝑞(1 + 𝑞 + 𝑞2 + ⋯ + 𝑞𝑛) = 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3 + ⋯ + 𝑞𝑛+1

𝑞𝑆 − 𝑆 = 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3 + ⋯ + 𝑞𝑛+1 − (1 + 𝑞 + 𝑞2 + ⋯ + 𝑞𝑛)

𝑞𝑆 − 𝑆 = 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3 + ⋯ + 𝑞𝑛+1 − 1 − 𝑞 − 𝑞2 + ⋯ − 𝑞𝑛 = 𝑞𝑛+1 − 1

𝑞𝑆 − 𝑆 = (𝑞 − 1)𝑆 = 𝑞𝑛+1 − 1

𝑆 =𝑞𝑛+1 − 1

𝑞 − 1

𝑆 = 1 + 𝑞 + 𝑞2 + ⋯ + 𝑞𝑛 =1 − 𝑞𝑛+1

1 − 𝑞

Vidéo : démonstration de la formule de la somme des termes d'une suite géométrique

Propriété : (hors programme mais pratique)

Soit (𝑢𝑛) une suite géométrique de raison 𝑞, on a alors :

∀𝑛 ∈ ℕ ∶ 𝑆𝑛 = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛−1 + 𝑢𝑛 = 𝑢0

1 − 𝑞𝑛+1

1 − 𝑞

5. Vidéos explicatives sur les suites géométriques.

Vidéo : déterminer l'expression générale d'une suite géométrique

Vidéo : déterminer la raison et le terme initial d'une suite géométrique

Vidéo : démontrer qu'une suite est géométrique

Vidéo : étudier les variations d'une suite géométrique

Vidéo : calculer la somme des termes d'une suite géométrique

Vidéo : reconnaitre une suite arithmétique et une suite géométrique

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Exercice n°1 :

1) Les suites ci-dessous, données par le terme initial et une formule de récurrence, sont-elles

arithmétiques ? géométriques ?

Si tel est le cas, exprimer le terme général 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.

a) 𝑢𝑛+1 = 2𝑢𝑛 et 𝑢0 = 1.

b) 𝑣𝑛+1 = 2𝑣𝑛 + 4 et 𝑣0 = −1.

c) 𝑤𝑛+1 = 𝑤𝑛 − 2 et 𝑤0 = 3.

d) 𝑢0 = 100 et 𝑢𝑛+1 = 0.9𝑢𝑛.

e) 𝑢0 = 30 et 𝑢𝑛+1 = 𝑛𝑢𝑛.

2) Déterminer parmi les suites ci-dessous, données par le terme général, les suites

géométriques et arithmétiques.

Si tel est le cas, préciser la raison, les variations et la forme récursive.

a) 𝑢𝑛 = −4𝑛 + 3

b) 𝑢𝑛 = −3 × 2𝑛

c) 𝑢𝑛 = 4−𝑛

d) 𝑢𝑛 = 1 − 0.3 × 10𝑛

e) 𝑢𝑛 =3𝑛 + 1

2

f) 𝑢𝑛 = 2𝑛2

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Année 2021 – 2022 M. Evanno

Exercice n°2 :

1) La suite (𝑢𝑛) est arithmétique de raison 𝑎.

Exprimer le terme général 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛 et donner les variations de (𝑢𝑛).

a) 𝑢0 = 10 et 𝑎 = 0.2.

b) 𝑢0 = 50 et 𝑢1 = 45.

c) 𝑢0 = 2 et 𝑢10 = 7.

2) La suite (𝑢𝑛) est géométrique de raison 𝑞 > 0.

Exprimer le terme général 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛 et donner les variations de (𝑢𝑛).

a) 𝑢0 = 3 et 𝑞 = 4.

b) 𝑢0 = 90 et 𝑢1 = 45.

c) 𝑢0 = −1.2 et 𝑢3 = −9.6.

Exercice n°3 : sommes

Un utilisant des suites arithmétiques et géométriques dont on précisera la raison et le premier

terme, calculer les sommes suivantes :

1) 2 + 5 + 8 + ⋯ + 299 + 302.

2) 2 + 6 + 18 + ⋯ + 1 458 + 4 374.

3) 5 + 1 − 3 − ⋯ − 131 − 135

Exercice n°4 : Bac ES Pondichéry 2013

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3000€ à intérêts composés au taux annuel de 2.5%.

On note 𝐶𝑛 le capital du client au 1er janvier de l’année2 000 + 𝑛, où 𝑛 est un entier naturel.

1) Calculer 𝐶1 et 𝐶2. Arrondir les résultats au centime d’euro.

2) Exprimer 𝐶𝑛+1 en fonction de 𝐶𝑛 et en déduire la nature de la suite (𝐶𝑛).

3) En déduire que, pour tout nombre entier naturel 𝑛, on a : 𝐶𝑛 = 3 000 × 1.025𝑛.

4) On donne l’algorithme suivant :

a) Pour la valeur 𝑆 = 3 300 saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau

suivant. Les résultats seront arrondis à l’unité.

b) En déduire l’affichage obtenu quand la valeur de 𝑆 saisie est 3 300.

c) Dans le contexte de cet exercice, interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme

quand on saisit un nombre 𝑆 = 3 300.

5) Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d’une somme de 5 000€.

Montrer que le capital de son placement n’est pas suffisant à cette date.

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Exercice n°5 : la légende du jeu d’échecs (mentionnée dans le programme)

Une légende dit que pour le remercier des plaisirs que lui procuraient le jeu d’échecs,

l’empereur Shiram promit à son inventeur Sissa le cadeau suivant :

« Sur la première case du jeu, je déposerai un grain de riz, puis le double sur la deuxième case

et ainsi de suite en doublant chaque fois le nombre de grains jusqu'à la dernière case. ».

Soit (𝑢𝑛) la suite qui, pour tout 𝑛 ≥ 1, associe au terme 𝑢𝑛 le nombre de grains de riz déposés

sur la 𝑛 ième case.

1) Déterminer le premier terme 𝑢1.

2) Exprimer 𝑢𝑛+1 en fonction de 𝑢𝑛.

3) En déduire la nature de la suite (𝑢𝑛) et déterminer sa monotonie.

4) Exprimer 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.

5) Sachant qu'un jeu d’échec comporte 64 cases, déterminer le nombre de grains de riz que

l'empereur s'engage à donner à Sissa.

6) Dans un kilogramme de riz, il y a environ 3 000 grains de riz.

La production mondiale annuelle aujourd'hui est de 6 108 tonnes de riz.

Commenter le résultat précédent.

Exercice n°6 : Bac ES Polynésie 2013

La production des perles de culture de Tahiti est une activité économique importante pour la

Polynésie Française. Une étude a démontré que depuis 2011 la baisse de la production conduit

à une baisse de 8% par an des revenus générés par la production des perles. On admet que cette

baisse de 8% se poursuit les années suivantes.

1) On considère l’algorithme suivant :

Si on saisit 𝑃 = 50 000 en entrée, qu’obtient-on en sortie par cet algorithme ?

Interpréter ce résultat dans le contexte de la production de perles.

2) Pour prévoir les montants réalisés à l’exportation des perles de Tahiti, on modélise la

situation par une suite (𝑢𝑛).

On note :

• 𝑢0 le montant en 2011, en milliers d’euros généré par la production des perles ;

• 𝑢𝑛 le montant en 2011 + 𝑛, en milliers d’euros généré par la production des perles.

On a donc 𝑢0 = 63 182 et on suppose que la valeur baisse tous les ans de 8%.

a) Montrer que (𝑢𝑛) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

b) Exprimer, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.

c) Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour l’exportation des produits perliers

de Polynésie Française en 2016 ? On arrondira le résultat au millier d’euros.

3) Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l’on peut prévoir avec ce

modèle à partir de 2011 (comprise) jusqu’à 2020 (comprise).

On donnera une valeur approchée au millier d’euros.

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Exercice n°7 : On étudie l'évolution de deux fourmilières 𝐴 et 𝐵.

Chaque mois 20% de fourmis de la population 𝐴 passent en 𝐵 et 30% des fourmis de la

population 𝐵 passent en 𝐴.

On notera 𝐴𝑛 et 𝐵𝑛 le nombre total de milliers de fourmis le mois n respectivement dans les

fourmilières 𝐴 et 𝐵. Le nombre initial de fourmis est 𝐴0 = 320 milliers et 𝐵0 = 180 milliers.

1) Justifier que, pour tout entier naturel 𝑛, on a :

{𝐴𝑛+1 = 0.8𝐴𝑛 + 0.3𝐵𝑛

𝐴𝑛+1 = 0.2𝐴𝑛 + 0.7𝐵𝑛

2) On pose pour tout entier n :

• 𝑠𝑛 = 𝐴𝑛 + 𝐵𝑛

• 𝑡𝑛 = −2𝐴𝑛 + 3𝐵𝑛

a) Exprimer 𝑠𝑛+1 en fonction de 𝑠𝑛.

En déduire (𝑠𝑛) est constante et donner cette constante.

b) Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

c) Montrer que (𝑡𝑛) est une suite géométrique et donner ses éléments caractéristiques.

d) En déduire une expression de 𝑡𝑛 en fonction de 𝑛.

e) En déduire une expression de 𝐴𝑛 puis de 𝐵𝑛 en fonction de 𝑛.

f) Calculer 𝐴𝑛+1 − 𝐴𝑛.

g) En déduire la monotonie des suites (𝐴𝑛)

Exercice n°8 :

Un artisan commence la pose d’un carrelage dans une grande pièce. Le carrelage choisi a une

forme hexagonale. L’artisan pose un premier carreau au centre de la pièce puis procède en étapes

successives de la façon suivante :

• à l’étape 1, il entoure le carreau central, à l’aide de 6 carreaux et obtient une première forme.

• à l’étape 2 et aux étapes suivantes, il continue ainsi la pose en entourant de carreaux la forme

précédemment construite.

On note 𝑢𝑛 le nombre de carreaux ajoutés par l’artisan pour faire la 𝑛ième étape (𝑛 ≥ 1).

Ainsi 𝑢1 = 6 et 𝑢2 = 12.

1) Quelle est la valeur de 𝑢3 ?

2) On admet que la suite (𝑢𝑛) est arithmétique de raison 6. Exprimer 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.

3) Combien l’artisan a-t-il ajouté de carreaux pour faire l’étape 5 ?

4) On pose 𝑆𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛.

a) Montrer que 𝑆𝑛 = 6(1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛).

b) En déduire que 𝑆𝑛 = 3𝑛² + 3𝑛.

5) Si on compte le premier carreau central, le nombre total de carreaux posés par l’artisan depuis

le début, lorsqu’il termine la 𝑛ième étape, est donc 3𝑛2 + 3𝑛 + 1.

À la fin de sa semaine, l’artisan termine la pose du carrelage en collant son 2977ième carreau.

Combien a-t-il fait d’étapes ?

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Exercice n°9 :

Partie A :

(𝑈𝑛) est une suite définie par : 𝑈𝑛 = 25 000 × 0.94𝑛 pour tout entier naturel 𝑛. (𝑉𝑛) est une suite définie par : 𝑉𝑛 = 50 × (104 + 25𝑛) pour tout entier naturel 𝑛.

1) Préciser la nature des suites (𝑈𝑛) et (𝑉𝑛) en donnant leurs éléments caractéristiques.

2) Comparer les termes 𝑈0 et 𝑉0 puis 𝑈20 et 𝑉20.

3) Déterminer le plus petit entier naturel 𝑛 tel que 𝑈𝑛 < 𝑉𝑛.

Partie B :

Un concessionnaire de voitures propose des voitures équipées d’un moteur diesel ou d’un moteur

essence. Durant sa première année d’existence en 1995, il a vendu 25 000 véhicules avec un

moteur diesel et 5 200 véhicules avec un moteur essence.

Ses ventes de voitures avec un moteur diesel ont diminué de 6% chaque année, alors que ses ventes

de voitures avec un moteur essence ont augmenté de 1 250 unités tous les ans.

En quelle année les ventes de voitures avec un moteur essence ont elles dépassé les ventes de

voitures avec un moteur diesel ?

Exercice n°10 :

Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de 1 000°𝐶.

À la fin de la cuisson, on éteint le four et commence alors la phase de refroidissement.

Pour un nombre entier naturel 𝑛, on note 𝑇𝑛 la température en degré Celsius du four au bout de 𝑛

heures écoulées à partir de l’instant où il a été éteint. On a donc 𝑇0 = 1 000.

La température 𝑇𝑛 est calculée grâce à l’algorithme suivant :

1) Quelle est la température du four après une heure de refroidissement ?

2) Exprimer 𝑇𝑛+1 en fonction de 𝑇𝑛.

3) Déterminer la température du four arrondie à l’unité après 4 heures de refroidissement.

4) La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est

inférieure à 70°𝐶.

Afin de déterminer le nombre d’heures au bout duquel le four peut être ouvert sans risque, on

définit une fonction « froid » en langage Python.

Recopier et compléter les instructions 4 et 5.

5) Déterminer le nombre d’heures au bout duquel le four peut être ouvert sans risque pour les

céramiques.

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Exercice n°11 : Bac ES Antilles-Guyane 2018

On définit deux suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) par, pour tout entier naturel 𝑛 :

{𝑢0 = 10

𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 0.4 et {

𝑣0 = 8𝑣𝑛+1 = 1.028𝑣𝑛

1) Préciser la nature de ces deux suites et donner leurs éléments caractéristiques.

2) Exprimer 𝑢𝑛 et 𝑣𝑛 en fonction de l’entier naturel 𝑛.

3) On donne l’algorithme suivant dans lequel 𝑛 est un entier naturel, et 𝑈 et 𝑉 sont des réels

qui désignent respectivement les termes de rang 𝑛 des suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) :

En sortie cet algorithme a affiché, 𝑛 = 46. Interpréter ce résultat.

4) En 1798, l’économiste anglais Thomas Malthus publie

«𝐴𝑛 𝑒𝑠𝑠𝑎𝑦 𝑜𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑜𝑓 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛» dans lequel il émet l’hypothèse que

l’accroissement de la population, beaucoup plus rapide que celui des ressources

alimentaires, conduira son pays à la famine.

Il écrit :

« Nous pouvons donc tenir pour certain que, lorsque la population n’est arrêtée par aucun

obstacle, elle va doublant tous les vingt-cinq ans, et croît de période en période selon une

progression géométrique. [. . . ] Nous sommes donc en état de prononcer, en partant de

l’état actuel de la terre habitée, que les moyens de subsistance, dans les circonstances les

plus favorables de l’industrie, ne peuvent jamais augmenter plus rapidement que selon une

progression arithmétique.»

En 1800, la population de l’Angleterre était estimée à 8 millions d’habitants et l’agriculture

anglaise pouvait nourrir 10 millions de personnes.

Le modèle de Malthus admet que la population augmente de 2.8% chaque année et que les

progrès de l’agriculture permettent de nourrir 0.4 million de personnes de plus chaque

année.

On utilisera ce modèle pour répondre aux questions suivantes.

a) Quelle aurait été, en million d’habitants, la population de l’Angleterre en 1810 ?

On arrondira le résultat au millième.

b) À partir de quelle année la population de l’Angleterre aurait-elle dépassé 16 millions

d’habitants ?

c) À partir de quelle année la population de l’Angleterre serait-elle devenue trop grande

pour ne plus être suffisamment nourrie par son agriculture ?

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Exercice n°12 : Suite arithmético-géométrique.

La médiathèque d’une petite ville a ouvert ses portes début janvier 2013 et a enregistré 2 500

inscriptions pour l’année 2013.

Elle estime que, chaque année, 80% des anciens inscrits renouvellent leur inscription l’année

suivante et qu’il y aura également 400 nouveaux adhérents.

Pour tout entier naturel 𝑛, on peut donc modéliser le nombre d’inscrits à la médiathèque 𝑛 années

après 2013 par une suite numérique (𝑎𝑛) définie par :

𝑎0 = 2500 et 𝑎𝑛+1 = 0.8𝑎𝑛 + 400

1) Calculer 𝑎1 et 𝑎2.

2) Montrer que 𝑎𝑛+2 = 0.64𝑎𝑛 + 720

3) On pose, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑣𝑛 = 𝑎𝑛 − 2 000.

a) Démontrer que (𝑣𝑛) est une suite géométrique de raison 0.8. Préciser son premier terme.

b) Exprimer, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛.

c) En déduire que pour tout entier naturel 𝑛 :

𝑎𝑛 = 500 × 0.8𝑛 + 2000

d) Déterminer le plus petit entier naturel 𝑛 tel que : 𝑎𝑛 ≤ 2010.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Exercice n°13 :

On considère la suite (𝑢𝑛) définie par :

𝑢0 = 14 et ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑢𝑛+1 =10𝑢𝑛 − 1

𝑢𝑛 + 8

1) On considère la suite (𝑣𝑛) définie par

∀𝑛 ∈ ℕ ∶ 𝑣𝑛 =1

𝑢𝑛 − 1

a) Montrer que ∀𝑛 ∈ ℕ, on a :

𝑣𝑛+1 − 𝑣𝑛 =1

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b) En déduire la nature de la suite (𝑣𝑛) et donner l’expression de 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛.

c) Calculer : 𝑣0 + 𝑣1 + 𝑣2 + ⋯ + 𝑣40.

2) Déterminer l’expression de 𝑢𝑛 en fonction du terme 𝑣𝑛.

3) En déduire la formule explicite définissant chaque terme de la suite (𝑢𝑛).

4) Conjecturer, à l’aide de la calculatrice, la limite de la suite (𝑢𝑛).

Exercice n°14 :

1) Soit (𝑢𝑛) la suite définie par :

∀𝑛 ∈ ℕ 𝑢𝑛 = 2𝑛 − 1

a) Montrer que (𝑢𝑛) est arithmétique et préciser le premier terme 𝑢0 et la raison.

b) Soit la suite (𝑣𝑛) définie par : ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑣𝑛 = 2𝑢𝑛.

Montrer que (𝑣𝑛) est géométrique et préciser le premier terme 𝑣0 et la raison.

2) On considère la suite (𝑢𝑛) définie par :

∀𝑛 ∈ ℕ∗ 𝑢𝑛+1 =𝑛 + 1

3𝑛𝑢𝑛 et 𝑢1 =

1

3

a) Montrer que la suite (𝑣𝑛) définie par :

∀𝑛 ∈ ℕ∗ 𝑣𝑛 =𝑢𝑛

𝑛

est une suite géométrique.

b) Exprimer 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛.

c) En déduire l’expression de 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.

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Exercice n°15 : BAC S Asie 2010

Avant le début des travaux de construction d’une autoroute, une équipe d’archéologie préventive

procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain. Lorsque le

nième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif. On utilisera les notations

suivantes :

• 𝑉𝑛 l’évènement : « le nième sondage est positif ».

• 𝑝𝑛 la probabilité de l’évènement 𝑉𝑛.

On a donc : 𝑃(𝑉𝑛) = 𝑝𝑛 , 𝑃(𝑉𝑛+1) = 𝑝𝑛+1 et 𝑃(𝑉�̅�) = 1 − 𝑝𝑛.

On suppose que le premier sondage est positif et donc que 𝑃(𝑉1) = 𝑝1 = 1.

L’expérience acquise au cours de ce type d’investigation permet de prévoir que :

• Si un sondage est positif, le suivant a une probabilité de l’être aussi égale à 0.6.

• Si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité de l’être aussi égale à 0.9.

1) Le 1er sondage étant positif car 𝑃(𝑉1) = 𝑝1 = 1, on modélise la situation à l’aide de l’arbre ci-

dessous pour un entier naturel supérieur ou égale à 2 :

Montrer que : 𝑝𝑛+1 = 0.5𝑝𝑛 + 0.1.

2) On définit la suite (𝑢𝑛) par : ∀𝑛 ∈ ℕ∗ 𝑢𝑛 = 𝑝𝑛 − 0.2.

a) Montrer que (𝑢𝑛) est géométrique de raison 0.5 et donner son premier terme.

b) En déduire l’expression de 𝑢𝑛 puis de 𝑝𝑛 en fonction de 𝑛.

Exercice n°16 :

Une balle est lâchée d’une hauteur de 3 mètres au-dessus du sol. Elle touche le sol et rebondit.

À chaque rebond, la balle perd 25% de sa hauteur précédente. On modélise la hauteur de la balle

par une suite (ℎ𝑛) où ℎ𝑛 désigne la hauteur maximale de la balle, en mètres, après le 𝑛ième rebond.

On a donc ℎ0 = 3.

1) Calculer ℎ1 et ℎ2.

2) La suite (ℎ𝑛) est-elle arithmétique ? Justifier.

3) Donner la nature de la suite (ℎ𝑛) en précisant ses éléments caractéristiques.

4) Déterminer la hauteur, arrondie au cm, de la balle après 6 rebonds.

5) La fonction « seuil » est définie ci-dessous en langage Python.

Recopier et compléter les lignes 4 et 5 pour que cette fonction renvoie le nombre de rebonds

à partir duquel la hauteur maximale de la balle sera inférieure ou égale à 10 centimètres.

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Exercice n°17 :

Partie A

On considère l’algorithme suivant dont les variables sont le réel 𝑈 et les entiers 𝑘 et 𝑛 :

Quel est l’affichage en sortie lorsque 𝑛 = 3 (on détaillera les calculs) ?

Partie B

Soit (𝑢𝑛) la suite définie, pour tout entier naturel 𝑛, par :

{𝑢0 = 0

𝑢𝑛+1 = 3𝑢𝑛 − 2𝑛 + 3

1) Montrer 𝑢1 = 3 et 𝑢2 = 10. On admet que 𝑢3 = 29 et 𝑢4 = 84.

2) On admet que, pour tout entier naturel 𝑛, on a : 𝑢𝑛 ≥ 𝑛.

a) Déduire de cette inégalité que la suite (𝑢𝑛) est croissante.

b) Déduire de cette même inégalité que la suite (𝑢𝑛) est divergente.

3) Soit la suite (𝑣𝑛) définie, pour tout entier naturel 𝑛, par : 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 𝑛 + 1.

a) Démontrer que la suite (𝑣𝑛) est géométrique et préciser sa raison et son terme initial.

b) En déduire l'expression de 𝑣𝑛 puis de 𝑢𝑛 en fonction 𝑛.

Exercice n°18 :

Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région.

Au printemps 2019, il achète 300 colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.

Il consulte les services spécialisés de la région et s’attend à perdre 8% des colonies chaque hiver.

Pour maintenir son activité et la développer, il prévoit d’installer 50 nouvelles colonies chaque

printemps, à partir de l’année suivante.

1) On donne le programme suivant écrit en langage Python :

a) Recopier et compléter en ajoutant des colonnes, le tableau ci-dessous qui reproduit

l’avancement du programme pas à pas :

Les valeurs seront arrondies à l’entier le plus proche.

b) Quelle est la valeur de 𝑁 renvoyée par le programme ?

c) Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

2) On note 𝐶𝑛 une estimation du nombre de colonies au printemps de l’année 2019 + 𝑛.

Ainsi 𝐶0 = 300 est le nombre de colonies au printemps 2019.

On admet que pour tout entier naturel 𝑛, on a : 𝐶𝑛+1 = 0.92𝐶𝑛 + 50

a) La suite (𝐶𝑛), est-elle arithmétique ? La suite (𝐶𝑛) est-elle géométrique ?

b) On admet que 𝐶𝑛 = 625 − 325 × 0.92𝑛 pour tout entier naturel 𝑛.

L’apiculteur pourra-t-il atteindre les 700 colonies ?

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Exercice n°19 :

On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse.

La première injection est de 10𝑚𝑙, puis toutes les heures on lui en injecte 1𝑚𝑙. On étudie

l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang en prenant le modèle suivant :

• on estime que 20% de la quantité de médicament présente dans le sang est éliminée chaque

heure ;

• pour tout entier naturel 𝑛, on note 𝑈𝑛 la quantité de médicament en ml présente dans le sang

au bout de 𝑛 heures.

Ainsi, 𝑈0 = 10.

1) Justifier que 𝑈1 = 9.

2) Montrer que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑈𝑛+1 = 0.8 𝑈𝑛 + 1.

3) On donne ci-dessous la représentation graphique de la suite (𝑈𝑛) :

Conjecturer la limite de la suite(𝑈𝑛).

4) On considère l’algorithme suivant :

Quel est l’utilité de cet algorithme ?

5) À l’aide de l’extrait du tableau de valeurs de la suite (𝑈𝑛) donné ci-dessous, donner la valeur

de 𝑁 à l’issue de l’exécution de cet algorithme.

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Exercice n°20 : QCM noté sur le chapitre à faire sur Pronote.

1) Soit (𝑢𝑛) une suite arithmétique telle que 𝑢5 = 26 et 𝑢9 = 8. La raison de (𝑢𝑛) vaut :

a) −18 b) 8

26

c) 4.5 d) −4.5

2) (𝑢𝑛) est une suite arithmétique de raison 𝑟 = 0.5 telle que 𝑢10 = −4. La valeur de 𝑢2 est :

a) 8 b) 0

c) −10 d) −8

3) La suite (𝑢𝑛) définie par 𝑢0 = −2 et 𝑢𝑛+1 = 2𝑢𝑛 − 5 est :

a) arithmétique mais pas

géométrique

b) géométrique mais pas

arithmétique

c) ni arithmétique ni

géométrique

d) à la fois arithmétique et

géométrique.

4) Soit (𝑢𝑛) une suite arithmétique de terme initial 𝑢0 = 2 et de raison 3. La somme 𝑆 définie

par 𝑆 = 𝑢0 + 𝑢1 + ⋯ + 𝑢12 est égale à :

a) 45 b) 222

c) 260 d) 301

5) La valeur arrondie au centième de 1 + 1.2 + 1.22 + 1.23 + ⋯ + 1.210 est :

a) 3.27 b) 25.96

c) 26.96 d) 32.15

6) 2 + 3 + 4 + ⋯ + 999 + 1000 est égale à :

a) 500500 b) 498999

c) 499000 d) 500499

7) (𝑢𝑛) est la suite géométrique de raison 0.3 telle que 𝑢0 = −3. On conjecture que la suite (𝑢𝑛)

a pour limite :

a) 0 b) +∞

c) −∞ d) −3

8) (𝑢𝑛) est la suite arithmétique telle que 𝑢4 = 3 et 𝑢10 = 18. On peut affirmer que :

a) 𝑢0 = 7 b) 𝑢7 = 20.5

c) 𝑢12 = 23 d) 𝑢14 = −28

9) Le plus petit entier naturel 𝑛 tel que la somme 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛 soit supérieure à 5000

est égal à :

a) 1000 b) 500

c) 200 d) 100

10) On considère la suite arithmétique (𝑢𝑛) de raison −5 et telle que 𝑢1 = 2. Quelle est, pour tout

entier naturel 𝑛, l’expression du terme général 𝑢𝑛 de cette suite ?

a) 𝑢𝑛 = 2 − 5𝑛 b) 𝑢𝑛 = −5 + 2𝑛

c) 𝑢𝑛 = 7 − 5𝑛 d) 𝑢𝑛 = 2 × (−5)𝑛

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11) Soit (𝑢𝑛) la suite géométrique de raison 𝑞 = −1.2 et de terme initial 𝑢0 = 10. Alors :

a) 0 < 𝑢3000 < 1000 b) 𝑢3000 = −3590

c) 𝑢3000 > 1000 d) 𝑢3000 = −36000

12) Soit 𝑛 un entier naturel. On cherche à exprimer en fonction de 𝑛 la somme suivante

𝑆 = 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − 32 +··· +(−2)𝑛. On peut affirmer que :

a) 𝑆 =1+(−2)𝑛

2× (𝑛 + 1)

b) 𝑆 est la somme des termes d’une

suite arithmétique de raison −2

c) 𝑆 =1−(−2)𝑛

1−2 d) 𝑆 =

1

3(1 − (−2)𝑛+1)

13) Pour tout entier naturel 𝑛, on définit la suite (𝑢𝑛) par :

𝑢𝑛 = 3 ×10𝑛

2𝑛+1

La suite (𝑢𝑛) est une suite :

a) arithmétique de raison 3 b) géométrique de raison 3

c) arithmétique de raison 5 d) géométrique de raison 5

14) Parmi les relations suivantes, quelle est celle qui permet de définir une suite géométrique de

terme général 𝑢𝑛 ?

a) 𝑢𝑛 =𝑢𝑛−1

2 b) 𝑢𝑛 = 𝑢𝑛−1 + 2

c) 𝑢𝑛 = 2𝑢𝑛−12 d) 𝑢𝑛 = 2𝑢𝑛−1 + 10

Exercice n°21 : énoncés et corrigés dans les vidéos.

1) Vidéo : Déterminer la nature d'une suite

2) Vidéo : Déterminer la variation d'une suite géométrique

3) Vidéo : Calculer la somme des termes d'une suite arithmétique (Problème)

4) Vidéo : Calculer la somme des termes d'une suite géométrique

5) Vidéo : QCM sur les suites arithmétiques et géométriques

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C) Approfondissement : ces exercices ne seront pas traités en classe.

Exercice n°1 : remboursement d’un emprunt par annuités constantes

Pour payer ses études, Isabelle décide de faire un prêt de 50 000€ à la banque le 1er septembre

2019. Le taux du prêt étudiant est un taux fixe de 1.5%.

Les intérêts de l’emprunt se calculent sur la somme qu’il reste à rembourser.

Pour rembourser son prêt, Isabelle a choisi de verser des annuités constantes.

Chaque année, elle versera une somme de 3 000€. Une partie servira à payer les intérêts d’emprunt

et le reste servira à payer l’amortissement du prêt (c’est-à-dire le remboursement du prêt).

La première année, elle doit payer en intérêt 1.5% de 50 000€, soit 750€, ce qui veut dire que,

sur les 3 000€ qu’elle verse, elle ne rembourse réellement que :

3 000 − 750 = 2 250 (c’est l’amortissement).

Il lui reste 50 000 − 2 250 = 47 750€ à rembourser après un an.

Et ainsi de suite (les 1.5% d’intérêts s’appliqueront donc à 47 750€ l’année suivante).

On note :

• (𝑢𝑛) la suite correspondant aux intérêts verses la 𝑛ième année.

• (𝑣𝑛) la suite correspondant à l’amortissement, c’est-à-dire la part du capital qui est rembourse

la 𝑛ième année.

• (𝑤𝑛) la suite correspondant à la somme de capital encore du la 𝑛ième année.

1) Déterminer la valeur de 𝑢1, 𝑣1 et 𝑤1.

2) Pour tout entier 𝑛 ≥ 1, donner une relation entre 𝑢𝑛 et 𝑣𝑛.

3) Pour tout entier 𝑛 ≥ 1, donner une relation entre 𝑣𝑛, 𝑤𝑛 et 𝑤𝑛+1.

4) On veut savoir combien d’années il lui faudra pour rembourser le prêt.

Reproduire sur un tableur le tableau ci-dessous :

5) Remplir la colonne 𝐸, sachant que les annuités sont constantes.

6) Quelle formule rentrer :

a) dans la cellule 𝐷2 ?

b) dans la cellule 𝐶2 ?

c) dans la cellule 𝐵3 ?

7) En étirant vers le bas, compléter :

a) la colonne 𝐷.

b) la colonne 𝐶.

c) la colonne 𝐵.

8) Déterminer combien d’années il lui faudra pour rembourser son emprunt.

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Exercice n°2 : « La tour de Hanoi »

La tour de Hanoi est un jeu de réflexion imagine par le mathématicien Edouard Lucas.

Sur le plateau de jeu, il y a trois piquets. Des disques sont empilés par ordre de taille décroissante

sur un des piquets (le plus grand disque étant en dessous).

L’objectif est de déplacer la pile de disques du premier piquet au dernier piquet. Il faut déplacer

un seul disque à la fois et ne jamais poser un disque sur un disque plus petit que lui.

Le déplacement d’un disque compte comme un coup.

1) Déterminer le nombre minimal de coups à effectuer pour déplacer une pile d’un disque du

premier au dernier piquet.

2) Déterminer le nombre minimal de coups à effectuer pour déplacer une pile de deux disques du

premier au dernier piquet.

3) Déterminer le nombre minimal de coups à effectuer pour déplacer une pile de trois disques du

premier au dernier piquet.

4) On note 𝑢𝑛 le nombre minimal de coups à effectuer pour déplacer une pile de 𝑛 disques du

premier au dernier piquet.

Donner la valeur de 𝑢1, 𝑢2 et 𝑢3.

5) L’objectif est de trouver une relation entre 𝑢𝑛+1 et 𝑢𝑛.

Pour cela, on considère le déplacement d’une pile de 𝑛 + 1 disques du premier au dernier

piquet.

a) Quel est le nombre minimal de coups à effectuer afin de rendre le plus grand disque

accessible ?

b) Combien de coup(s) faut-il ensuite effectuer pour déplacer le plus grand disque sur un autre

piquet ?

c) Quel est le nombre minimal de coups à effectuer ensuite pour reformer la pile ?

d) En déduire une relation entre 𝑢𝑛+1 et 𝑢𝑛.

e) Ecrire et faire tourner un algorithme Python permettant de déterminer le nombre minimal

de coups pour déplacer une pile de 15 disques.