Sucesión de Fibonacci 1

Sucesión de Fibonacci

Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta

En matemáticas, la sucesión de Fibonacci (aveces mal llamada serie de Fibonacci) es lasiguiente sucesión infinita de números naturales:

La sucesión comienza con los números 0 y 1, y apartir de estos, «cada término es la suma de losdos anteriores», es la relación de recurrencia quela define.

A los elementos de esta sucesión se les llamanúmeros de Fibonacci. Esta sucesión fuedescrita en Europa por Leonardo de Pisa,matemático italiano del siglo XIII tambiénconocido como Fibonacci. Tiene numerosasaplicaciones en ciencias de la computación,matemáticas y teoría de juegos. También apareceen configuraciones biológicas, como por ejemploen las ramas de los árboles, en la disposición delas hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa yen el arreglo de un cono.

Historia

La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre teníauna pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en unaño cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".[1]

Número de Mes Explicación de la genealogía Parejas de conejostotales

Comienzo del mes1

Nace una pareja de conejos (pareja A). 1 pareja en total.

Fin del mes 1 La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A. 1+0=1 pareja en total.

Fin del mes 2 La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A. 1+1=2 parejas en total.

Fin del mes 3 La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B. 2+1=3 parejas en total.

Fin del mes 4 Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C. 3+2=5 parejas en total.

Fin del mes 5 A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E. 5+3=8 parejas en total.

Fin del mes 6 A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, Gy H.

8+5=13 parejas en total.

... ... ...

... ...

Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hastaese mes.

Sucesión de Fibonacci 2

De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de lasucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se laconoce en la actualidad.[2]

También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 quela relación entre dos números de Fibonacci sucesivos se acerca a la relación áurea fi ( ) cuanto más seacerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende almismo límite. Esta sucesión ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el quecompositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen, la banda Tool y Delia Derbyshire la hanutilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

Definición recursiva

Chimenea con la sucesión de Fibonacci

Los números de Fibonacci quedan definidos por la ecuación:

(3) partiendo de dos primeros valores predeterminados:

se obtienen los siguientes números:

••••••para Esta manera de definir, de hecho considerada algorítmica, esusual en Matemática discreta.

Representaciones alternativasPara analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras derepresentarla matemáticamente.

Función generadoraUna función generadora para una sucesión cualquiera es la función

, es decir, una serie formal de potencias donde cadacoeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora

(4)

Cuando esta función se expande en potencias de , los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:

Sucesión de Fibonacci 3

Fórmula explícitaLa definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriorespara poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (queno requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia

con las condiciones iniciales

y El polinomio característico de esta relación de recurrencia es , y sus raíces son

De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma

Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes y satisfacen la ecuación anteriorcuando y , es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como

(5)

Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo

de manera que la ecuación (5) se reduce a

(6)

Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción matemática. A pesar de quela sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional

. De hecho, la relación con este número es estrecha.

Sucesión de Fibonacci 4

Forma matricialOtra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es considerando el sistema lineal de ecuaciones

Este sistema se puede representar mediante su notación matricial como

Conociendo a y , al aplicar la fórmula anterior veces se obtiene

(7)

Una vez aquí, simplemente tenemos que diagonalizar la matriz, facilitando así la operación de potenciación, yobteniendo por tanto la fórmula explícita para la sucesión que se especificó arriba. y más aún

(8)

Estas igualdades pueden probarse mediante inducción matemática.

Propiedades de la sucesión

Al construir bloques cuya longitud de lado seannúmeros de Fibonacci se obtiene un dibujo que

asemeja al rectángulo áureo (véase Númeroáureo).

Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones dediferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o deplantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud que notienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextosdiferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamadaFibonacci Quarterly[3] dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacciy temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los númerosde Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otrasáreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes:

•• La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anteriorvaría continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Esdecir:

Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci. Cualquier sucesión recurrente de orden 2, como lasucesión 3, 4, 7, 11, 18,..., lleva al mismo límite. Esto fue demostrado por Barr y Schooling en una cartapublicada en la revista londinense "The Field" del 14 de diciembre de 1912. Los cocientes son oscilantes; esdecir, que un cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dossucesiones que se aproximan asintóticamente por exceso y por defecto al valor límite.

• Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesiónde Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo, , .

• Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5,etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo , para cualquier .

• La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada forma de Binet (de Jacques Binet). Siy , entonces

Sucesión de Fibonacci 5

y

•• Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que seencuentra una posición después. Es decir

•• Lo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a uno dado es 2 veces éste número menosel número 2 posiciones más atrás.

• La suma de los primeros números es igual al número que ocupa la posición menos uno. Es decir

•• Otras identidades interesantes incluyen las siguientes:

Si , entonces para cualquier

(Identidad de Cassini)

Phi forma parte de una expresión de la sucesiónde Fibonacci.

(con φ = número áureo) o,despejando f(n+1) y aplicando 1/φ = φ-1:

• El máximo común divisor de dos números de Fibonacci es otronúmero de Fibonacci. Más específicamente

Esto significa que y son primos relativos y que divide exactamente a

• Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales deltriángulo de Pascal. Es decir que para cualquier ,

y más aún

Sucesión de Fibonacci 6

• Si , tal que es un número primo, entonces también es un número primo, con una única excepción,; 3 es un número primo, pero 4 no lo es.

• La suma infinita de los términos de la sucesión es exactamente .•• La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie.• El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números. Los dos últimos, cada 300; a partir de

ahí, se repiten cada números.

Generalización

Gráfica de la sucesión de Fibonacci extendida alcampo de los números reales.

El concepto fundamental de la sucesión de Fibonacci es que cadaelemento es la suma de los dos anteriores. En este sentido la sucesiónpuede expandirse al conjunto de los números enteros como

de manera que lasuma de cualesquiera dos números consecutivos es el inmediatosiguiente. Para poder definir los índices negativos de la sucesión, sedespeja de la ecuación (3) de donde se obtiene

De esta manera, si es impar y si espar.La sucesión se puede expandir al campo de los números realestomando la parte real de la fórmula explícita (ecuación (6)) cuando es cualquier número real. La función resultante

tiene las mismas características que la sucesión de Fibonacci:

••• para cualquier número real Una sucesión de Fibonacci generalizada es una sucesión donde

(9) para Es decir, cada elemento de una sucesión de Fibonacci generalizada es la suma de los dos anteriores, pero nonecesariamente comienza en 0 y 1.Una sucesión de fibonacci generalizada muy importante, es la formada por las potencias del número áureo.

.La importancia de esta sucesión reside en el hecho de que se puede expandir directamente al conjunto de losnúmeros reales.

....y al de los complejos.

.Una característica notable es que, si es una sucesión de Fibonacci generalizada, entonces

Por ejemplo, la ecuación (7) puede generalizarse a

Sucesión de Fibonacci 7

Esto significa que cualquier cálculo sobre una sucesión de Fibonacci generalizada se puede efectuar usando númerosde Fibonacci.

Sucesión de Lucas

Gráfica de la sucesión de Lucas extendida alcampo de los números reales.

Un ejemplo de sucesión de Fibonacci generalizada es la sucesión deLucas, descrita por las ecuaciones

••• para La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión deFibonacci y comparte muchas de sus características. Algunaspropiedades interesantes incluyen:•• La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se

aproxima al número áureo. Es decir

•• La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es

• La suma de los primeros números de Lucas es el número que se encuentra en la posición menos uno.Es decir

•• Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de números de Fibonaccimediante la igualdad

•• Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de números de Lucasmediante la igualdad

Algoritmos de cálculo

Cálculo de usando el algoritmo 1.

Para calcular el -ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci existenvarios algoritmos (métodos). La definición misma puede emplearsecomo uno, aquí expresado en pseudocódigo:

Algoritmo 1 Versión recursiva (Complejidad )

Sucesión de Fibonacci 8

función si entonces

devuelve

en otro caso

devuelve

Usando técnicas de análisis de algoritmos es posible demostrar que, a pesar de su simplicidad, el algoritmo 1requiere efectuar sumas para poder encontrar el resultado. Dado que la sucesión crece tan rápidocomo , entonces el algoritmo está en el orden de . Es decir, que este algoritmo es muy lento. Por ejemplo,para calcular este algoritmo requiere efectuar 20.365.011.073 sumas.Para evitar hacer tantas cuentas, es común recurrir a una calculadora y utilizar la ecuación (6), sin embargo, dado que

es un número irracional, la única manera de utilizar esta fórmula es utilizando una aproximación de yobteniendo en consecuencia un resultado aproximado pero incorrecto. Por ejemplo, si se usa una calculadora de 10dígitos, entonces la fórmula anterior arroja como resultado aún cuando el resultadocorrecto es . Este error se hace cada vez más grande conforme crece .Un método más práctico evitaría calcular las mismas sumas más de una vez. Considerando un par de númerosconsecutivos de la sucesión de Fibonacci, el siguiente par de la sucesión es , de esta manera se divisa unalgoritmo donde sólo se requiere considerar dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci en cada paso.Este método es el que usaríamos normalmente para hacer el cálculo a lápiz y papel. El algoritmo se expresa enpseudocódigo como:

Algoritmo 2 Versión iterativa (Complejidad )

función

para desde hasta hacer

devuelve

Esta versión requiere efectuar sólo sumas para calcular , lo cual significa que este método esconsiderablemente más rápido que el algoritmo 1. Por ejemplo, el algoritmo 2 sólo se requiere efectuar 50 sumaspara calcular .

Sucesión de Fibonacci 9

Calculando usando el algoritmo 3.

Un algoritmo todavía más rápido se sigue partiendo de la ecuación (8).Utilizando leyes de exponentes es posible calcular como

De esta manera se divisa el algoritmo de tipo Divide y Vencerás donde sólo se requeriría hacer, aproximadamente, multiplicaciones matriciales. Sin embargo, no es necesario almacenar los cuatro valores de cada matriz

dado que cada una tiene la forma

De esta manera, cada matriz queda completamente representada por los valores y , y su cuadrado se puedecalcular como

Por lo tanto el algoritmo queda como sigue:

Algoritmo 3 Versión Divide y Vencerás (Complejidad )

Sucesión de Fibonacci 10

función si entonces

devuelve

mientras hacer

si es impar entonces

devuelve

A pesar de lo engorroso que parezca, este algoritmo permite reducir enormemente el número de operaciones que senecesitan para calcular números de Fibonacci muy grandes. Por ejemplo, para calcular , en vez de hacer las573.147.844.013.817.084.100 sumas del algoritmo 1 o las 100 sumas con el algoritmo 2, el cálculo se reduce a tansólo 9 multiplicaciones matriciales.

Fibonaccis Traum, Martina Schettina 2008, 40 x40 cm

La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico quecumple con esta sucesión. El hecho es que un zángano (1), el macho dela abeja, no tiene padre, pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos,que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padrede la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5),ocho trastatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendocon la sucesión de Fibonacci.

Dígitos en la sucesión de Fibonacci

Una de las curiosidades de dicha serie son los dígitos de sus elementos:•• Empezando en 1 dígito y "terminando" en infinitos, cada valor de

dígito es compartido por 4, 5 o 6 números de la serie. Siendo 6 soloen el caso de 1 dígito.

• En los elementos de posición n, n10, n100,..., el número de dígitos aumenta en el mismo orden. Dando múltiplesdistintos para cada n.

Sucesión de Fibonacci 11

Referencias[1][1] Laurence Sigler, Fibonacci's Liber Abaci, página 404[2][2] Handbook of discrete and combinatorial mathematics, sección 3.1.2[3] Fibonacci Quarterly (http:/ / www. fq. math. ca/ )

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• Luca Pacioli (1946). La Divina Proporción. Editorial Losada, Buenos Aires.

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre números de Fibonacci. Commons• Fibonacci's Liber Abaci (http:/ / books. google. co. ve/ books?id=PilhoGJeKBUC& printsec=frontcover&

hl=es#v=onepage& q& f=false) vista previa en Google Books (en inglés)• Sucesión de Fibonacci en Mathworld (http:/ / mathworld. wolfram. com/ FibonacciNumber. html) Wolfram en

MathWorld (en inglés)• The Fibonacci Sequence (http:/ / www. youtube. com/ watch?v=P0tLbl5LrJ8) En inglés.

Fuentes y contribuyentes del artículo 12

Fuentes y contribuyentes del artículoSucesión de Fibonacci  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=72522226  Contribuyentes: .José, 142857, Acratta, Agmalnero, Airunp, Alexlm78, Angel GN, Antón Francho, Arroy,ArtEze, Açipni-Lovrij, Balles2601, Banfield, Camilo, Camima, Camr, Carlos Alberto Carcagno, CentroBabbage, Cheveri, Ciberwing, Clafi, Cratón, Crescent Moon, Cusell, Dagavi, Daster,David0811, Davius, Dbarreiro, Diegusjaimes, Dnu72, Donnacho, Edc.Edc, Edmenb, Edslov, Egaida, Emijrp, Ensada, Ep3p, Eridannus, Escarlati, Espilas, Evaristor, Fishbone16, Fixertool, Freisein, Gaijin, Galandil, Gonzaloend, Goofys, HUB, HarryLine, HiTe, House, Humbefa, Ingenioso Hidalgo, Ivanmatulovich95, J. A. Gélvez, JMCC1, JacobRodrigues, Jamrb, Jarisleif, Javierito92,Jecanre, Jkbw, Joacorock, Joarsolo, Johnwilman, Jorge 2701, Joseaperez, Josepbobet, JuaN-ThE-HaCKeR, Juan Domingo Periñón, Juan Mayordomo, Juancgall, Juancitox, Kadellar, Keyogre,Kn, Korgzak, Krystina, Leonel mac, Leonpolanco, Leugim1972, Lfgg2608, MadriCR, Maestro de matemáticas, Magister Mathematicae, Maldoror, Matdrodes, Mel 23, Metronomo, Monra,Montgomery, Morytelov, Muro de Aguas, Mutewitness, Nachoben, Neodop, NicolasAlejandro, Niqueco, Nolaiz, Obelix83, Oblongo, P.Squiva, P.squiva, Paul 14, Petruss, Potare, Pólux, Quijav,RASECZENITRAM, Raulshc, Retama, Rojasyesid, Rosarino, Rsg, Rumpelstiltskin, Sabbut, Sergio1982arm, Sgmonda, Simeón el Loco, Smrolando, Sol rezza, Srengel, SuperBraulio13, Taichi,Tamorlan, Tano4595, Technopat, TeleMania, Teresaq, Thomas Husak, Tirithel, Tomatejc, Tonchizerodos, Toshiharu, Tostadora, UA31, Unaiaia, VanKleinen, Varano, Waka Waka, Wikirom,Wildbill hitchcock, Will vm, YoaR, Yomo, Zeroth, Zufs, 583 ediciones anónimas

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