1

Struktur Diskrit

Teori Graph

Suryadi MT

2

Pendahuluan

Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.

Gambar berikut merupakan sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota di Provinsi Jawa Tengah.

3

Pendahuluan

Brebes Tegal

Slawi

Pemalang

Purwokerto

Cilacap

Banjarnegara

Wonosobo

Kebumen

Purworejo

KendalSemarang

Pekalongan

Purbalingga

Magelang

Salatiga

Klaten

Solo

Purwodadi

DemakKudus

Rembang

Blora

Sukoharjo

Wonogiri

SragenBoyolali

Kroya

Temanggung

4

Pendahuluan Model Jaringan Komputer

5

Kelahiran Teori Graph Masalah Jembatan Konigsberg :

▪ Mulai dan berakhir pada tempat yang sama, bagaimana caranya untuk melalui setiap jembatan tepat satu kali ?

1736: Leonhard Euler ▪ Basel, 1707-St. Petersburg, 1786▪ Mampu mengungkap misteri Jembatan Konigsberg

6

Problem dan Model Graph

MASALAH

MODEL

ALGORITMA

IMPLEMENTASIPROGRAM

SOLUSI YANGDIHARAPKAN

AnalisisAnalisis

Data

7

Problem 1 Setiap minggu sekali, seorang petugas

kantor telepon berkeliling untuk mengumpulkan koin pada telepon umum yang dipasang diberbagai tempat. Berangkat dari kantornya, ia mendatangi satu demi satu telepon umum tersebut, dan akhirnya kembali ke kantor lagi. Problem yang muncul adalah petugas tersebut menginginkan suatu rute perjalanan dengan waktu minimal ?

8

Problem 2 Pada suatu persimpangan jalan yang ramai

akan dipasang lampu lalu lintas (TL). Telah diatur bahwa jalan A, C, D, E, dan F satu arah serta jalan B adalah 2 arah. Perjalanan yang diperbolehkan adalah : A B A C A E B C B E D C D E F B F C F EProblemnya adalah bagaimana menentukan pola TL dengan jumlah fase minimal,dan pada setiap fase tidak ada perjalanan yang saling melintas ?

9

Problem 3 Rute perjalanan dari kota A ke P dapat

dilakukan dengan berbagai macam alternatif. Dari sekian banyak alternatif yang ada maka tentukanlah rute yang paling minimal untuk ditempuh (misalkan minimal dalam hal jarak tempuh/waktu tempuh) ?

10

Model Graph Jika kita lakukan analisis terhadap ketiga

problem tadi, maka kita akan buatkan model persoalannya ke dalam model Graph.

Problem 1 pada model Graph dikenal dengan problem Travelling Salesman.

Problem 2 pada model Graph dikenal dengan problem Coloring Graph (pewarnaan Graph).

Problem 3 pada model Graph dikenal dengan problem Shortest Path.

11

PendahuluanDefinisi 1 : Suatu Graph G adalah koleksi atau pasangan

dari dua himpunan V dan E dengan V = V(G) = himpunan verteks atau simpul atau node. E = E(G) = himpunan edge atau ruas atau sisi.

Banyaknya simpul disebut order Banyaknya ruas dsiebut size (ukuran)

12

Pendahuluan (Lanjutan)

Contoh 1 : V = {s, u, v, w, x, y, z} E = {(x,s), (x,v)1, (x,v)2,

(x,u), (v,w), (s,v), (s,u), (s,w), (s,y), (w,y), (u,y), (u,z),(y,z)}

13

Edges

Edge merupakan pasangan tak terurut dari simpul. Misalkan edge e = (v,w) = (w,v).

Edge e dikatakan incident pada v dan w. Simpul terpencil (terisolasi) adalah suatu

simpul tanpa incident edges.

p

14

Special edges Parallel edges

Dua ruas atau lebih yang mempunyai kedua simpul ujung yang sama. ▪ Graph disamping : ruas

(a,b) merupakan ruas paralel atau ruas sejajar.

Loops (self-loops) Suatu ruas yang kedua

simpul ujungnya sama. ▪ Graph disamping, ruas

(d,d) self-loops.

15

Special graphs

Simple graph (Graph sederhana) Suatu graph yang tidak

memiliki self-loops dan ruas sejajar.

Weighted graph (Graph berlabel / berbobot) Suatu graph yang setiap

ruasnya dikaitkan dengan besaran tertentu (“bobot”).

16

Graph Berarah G disebut graph

berarah atau directed graph/ digraph jika setiap ruas merupakan pasangan terurut dari simpul. (dpl. Setiap ruasnya memiliki arah).

17

Graph Similar

Problem: bagaimana mengelompokan objek-objek ke dalam klas yang similar berdasarkan pada variasi komponen objeknya.?

Contoh 2: Beberapa program komputer dari suatu algoritma

yang sama memiliki perbedaan komponen k = 1, 2 dan 3 yaitu :

K=1 banyaknya baris program K=2 banyaknya statemen “return” K=3 banyaknya pemanggilan function

18

Graph Similar (Lanjutan)

Hasil perbandingannya yaitu :Program # of lines # of “return” # of function

calls

1 66 20 1

2 41 10 2

3 68 5 8

4 90 34 5

5 75 12 14

19

Graph Similar (Lanjutan)

Pembuatan model Graphnya yaitu : V(G) adalah himpunan program {v1, v2, v3, v 4, v5 }. Setiap simpul vi menyatakan (p1, p2, p3), dengan pk adalah nilai dari komponen k = 1, 2, & 3 v1 = (66,20,1) v2 = (41, 10, 2) v3 = (68, 5, 8) v4 = (90, 34, 5) v5 = (75, 12, 14)

20

Dissimilarity function Definisi dissimilarity function adalah :

Untuk setiap pasangan simpul v = (p1, p2, p3) dan w = (q1, q2, q3) maka 3

s(v,w) = |pk – qk| = |p1 – q1|+ |p2 – q2|+ |p3 – q3| k = 1

s(v,w) dalah ukuran dari dissimilarity antara dua program v dan w.

Berdasarkan bilangan tetap N. Tambahkan ruas antara v dan w jika s(v,w) < N. Sehingga :

Kita katakan bahwa simpul v dan w berada pada kelas yang sama jika v = w atau terdapat jalur antara v dan w.

21

Dissimilarity functions (Lanjutan) Misalkan N = 25. dan diketahui pula :

v1 = (66,20,1) v2 = (41, 10, 2) v3 = (68, 5, 8) v4 = (90, 34, 5) v5 = (75, 12, 14)

s(v1,v3) = 2+15+7 =24 buat ruasnyas(v3,v5) = 7+7+6 = 20 buat ruasnya dan semua yang lainnya s(vi,vj) > 25

Sehingga terdapat 3 kelas, yaitu :{v1,v3, v5}, {v2} and {v4}

Dan diperoleh Graphnya yaitu :

22

Derajat Vertex Derajat dari simpul v,

dinotasikan dgn (v), adalah banyaknya ruas yang melalui v

Contoh : (a) = 4, (b) = 3, (c) = 4, (d) = 6, (e) = 4, (f) = 4, (g) = 3.

23

Derajat pada Graph

Teorema: jika G suatu graph dengan m ruas dan n simpul maka jumlah derajat semua simpulnya adalah 2m.

n

(vi) = 2m i = 1

jumlah dari derajat semua simpul pada graph adalah genap.

24

Graph Lengkap K n

Misalkan n > 3 Graph Lengkap (complete

graph) Kn adalah graph dengan n simpul dan setiap pasang simpulnya terhubung oleh satu ruas. Derajat setiap vertex sama

Contoh di samping merupakan Graph lengkap K5

25

Jenis-Jenis Graf Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu

graf, maka graf digolongkan menjadi dua jenis: 1. Graf sederhana (simple graph). Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda

dinamakan graf sederhana. G1 pada Gambar 2 adalah contoh graf sederhana

2. Graf tak-sederhana (unsimple-graph). Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan

graf tak-sederhana (unsimple graph). G2 dan G3 pada Gambar 2 adalah contoh graf tak-sederhana

26

Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis:

1. Graf tak-berarah (undirected graph) Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah. Tiga buah graf pada Gambar 2 adalah graf tak-berarah.

2. Graf berarah (directed graph atau digraph)

Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah. Dua buah graf pada Gambar 3 adalah graf berarah.

Jenis-Jenis Graf

27

(a) G4 (b) G5

Gambar 3 (a) graf berarah, (b) graf-ganda berarah

1 1

2 3

4

2 3

4

Contoh :

28

Tabel 1 Jenis-jenis graf [ROS99] Jenis Sisi Sisi ganda

dibolehkan? Sisi gelang dibolehkan?

Graf sederhana Graf ganda Graf semu Graf berarah Graf-ganda berarah

Tak-berarah Tak-berarah Tak-berarah Bearah Bearah

Tidak Ya Ya Tidak Ya

Tidak Tidak Ya Ya Ya

Jenis-Jenis Graf

29

Terminologi Graf1. Ketetanggaan (Adjacent) Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung. Tinjau graf G1 : simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3,

simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4.

G1 G2 G3

1

32

4

1

23

4

5

1

2

e 1

e 2 e 3

e 4

e 53

30

2. Bersisian (Incidency) Untuk sembarang sisi e = (vj, vk) dikatakan e bersisian dengan simpul vj , atau e bersisian dengan simpul vk Tinjau graf G1: sisi (2, 3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3,

sisi (2, 4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4, tetapi sisi (1, 2) tidak bersisian dengan simpul 4.

G1 G2 G3

1

32

4

1

23

4

5

1

2

e 1

e 2 e 3

e 4

e 53

Terminologi Graf

31

3. Simpul Terpencil (Isolated Vertex) Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya. Tinjau graf G3: simpul 5 adalah simpul terpencil.

G1 G2 G3

1

32

4

1

23

4

5

1

2

e 1

e 2 e 3

e 4

e 53

Terminologi Graf

32

4. Graf Kosong (null graph atau empty graph) Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong (Nn). Graf N5 :

1

2

3

45

Terminologi Graf

33

5. Derajat (Degree) Pada Graf Tidak berarah Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Notasi: d(v) Pada graf berarah, din(v) = derajat-masuk (in-degree)

= jumlah busur yang masuk ke simpul v dout(v) = derajat-keluar (out-degree)

= jumlah busur yang keluar dari simpul v d(v) = din(v) + dout(v)

Terminologi Graf

34

Tinjau graf G1: d(1) = d(4) = 2 d(2) = d(3) = 3 Tinjau graf G3: d(5) = 0 simpul terpencil

d(4) = 1 simpul anting-anting (pendant vertex) Tinjau graf G2: d(1) = 3 bersisian dengan sisi ganda

d(2) = 4 bersisian dengan sisi gelang (loop)

G1 G2 G3

1

32

4

1

23

4

5

1

2

e 1

e 2 e 3

e 4

e 53

Contoh :

35

G4 G5

1 1

2 3

4

2 3

4

Contoh

Tinjau graf G4:din(1) = 2; dout(1) = 1din(2) = 2; dout(2) = 3din(3) = 2; dout(3) = 1din(4) = 1; dout(3) = 2

36

Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut. Dpl, jika G = (V, E), maka berlaku :

Lemma Jabat Tangan

( ) 2v V

d v E

37

G1 G2 G3

1

32

4

1

23

4

5

1

2

e 1

e 2 e 3

e 4

e 53

Tinjau graf G1: d(1) + d(2) + d(3) + d(4)

= 2 + 3 + 3 + 2 = 10 = 2 jumlah sisi = 2 5

Contoh :

38

G1 G2 G3

1

32

4

1

23

4

5

1

2

e 1

e 2 e 3

e 4

e 53 Tinjau graf G2: d(1) + d(2) + d(3) = 3 + 3 + 4 = 10

= 2 jumlah sisi = 2 5

Contoh :

39

G1 G2 G3

1

32

4

1

23

4

5

1

2

e 1

e 2 e 3

e 4

e 53 Tinjau graf G3: d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5)

= 2 + 2 + 3 + 1 + 0 = 8 = 2 jumlah sisi = 2 4

Contoh :

40

Diketahui suatu graf dengan lima buah simpul. Gambarkan graf tersebut jika derajat masing-masing simpulnya adalah: (a) 2, 1, 2, 1, 2

(b) 2, 3, 1, 3, 2 (c) 2, 3, 3, 4, 4

Contoh :

41

Lintasan (path) yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan vn di dalam graf G ialah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2,... , vn –1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), ... , en = (vn-1, vn) adalah sisi-sisi dari graf G. Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasan tersebut. Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus (cycle). Panjang sirkuit adalah jumlah sisi dalam sirkuit tersebut.

Lintasan dan Siklus

42

Lintasan dan Siklus (Lanjutan)Contoh :

Diketahui suatu Graph G :

Jalur dari simpul 1 ke 5 : 1, 5 atau 1, 2, 5 atau 1, 2, 3, 4, 5 atau 1, 2, 3, 5, atau

1, 6, 5 Cycle dgn panjang 3 :

1, 2, 5, 1 atau 2, 3, 5, 5 Cycle dgn panjang 6 :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 1

1 2 3

456

e1 e2

e3

e4e5

e6 e7e8 e9

43

Dua buah simpul v1 dan simpul v2 disebut terhubung jika terdapat lintasan dari v1 ke v2. G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasang simpul vi dan vj dalam himpunan V terdapat lintasan dari vi ke vj. Jika tidak, maka G disebut graf tak-terhubung (disconnected graph).

Graf Terhubung

44

Contoh

G1 G2 G3

1

32

4

1

23

4

5

1

2

e 1

e 2 e 3

e 4

e 53

Bagaimana dengan graf G1 ?

Bagaimana dengan graf G2 ?

Bagaimana dengan graf G3 ?

45

Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tidak berarahnya terhubung (graf tidak berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya).

Dua simpul, u dan v, pada graf berarah G disebut terhubung

kuat (strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u.

Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graf

tidak berarahnya, maka u dan v dikatakan terhubung lemah (weakly coonected).

46

Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly connected graph) apabila untuk setiap pasang simpul sem barang u dan v di G , terhubung kuat. Kalau tidak, G disebut graf terhubung lem ah .

graf berarah terhubung lemah graf berarah terhubung kuat

1

2

3 4

1

2 3

47

SubgraphDefinisi : Misalkan G = (V, E) adalah sebuah

graf. G1 = (V1, E1) adalah subgraph dari G jika V1 V dan E1 E.

Contoh: Diketahui graph G sebagai berikut :a

b

c

esubgraph

48

Komplemen dari subgraf G1 terhadap graf G adalah graf G2 = (V2, E2) sedemikian sehingga E2 = E - E1 dan V2 adalah himpunan simpul yang anggota-anggota E2 bersisian dengannya.

(a) Graf G1 (b) Sebuah subgraf (c) komplemen dari subgraf (b)

1

2

3

4 5

6

1

6

5

31

2

3

52

Subgraph

49

Komponen graf (connected component) adalah jumlah maksimum subgraf terhubung dalam graf G. Graf G di bawah ini mempunyai 4 buah komponen.

1

2 3 4

5

6 7

8

9

10

11

12

13

Subgraph

50

Pada graf berarah, komponen terhubung kuat (strongly connected component) adalah jumlah maksimum subgraf yang terhubung kuat. Graf di bawah ini mempunyai 2 buah komponen terhubung kuat:

2 3

4

5

1

Subgraph

51

Subgraf G1 = (V1, E1) dari G = (V, E) dikatakan subgraf rentang (spanning subgraph) jika V1 =V (yaitu G1 mengandung semua simpul dari G).

Spanning Subgraph

52

graf G, ? ?

1

2 3

4 5

1

2 3

4 5

1

2 3

Contoh :

53

Cut-set

Cut-set dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung.

Jadi, cut-set selalu menghasilkan dua buah komponen.

54

Contoh Cut-set :

Diketahui suatu Graf G berikut :

Maka salah satu Cut-set nya ialah :{ (1,2), (1,5), (3,5), (3,4) }

Carilah cut-set lainnya bila mungkin… !

1

3 4

5

2

6

21

3

5

4

6

55

Graf Berbobot

Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot).

a

b

cd

e

10 12

8

15 911

14

56

Graph Bipartisi Graph bipartisi G adalah suatu

graph sedemikian sehingga berlaku V(G) = V(G1) V(G2) |V(G1)| = m, |V(G2)| = n V(G1) V(G2) = Tidak terdapat ruas

antara sembarang simpul pada subset V(Gk) yang sama; k = 1,2.

57

Complete bipartite graph Km,n

Suatu graph bipartisi adalah graph bipartisi lengkap (Complete bipartite graph) Km,n jika setiap simpul pada V(G1) terhubung dengan simpul pada V(G2) dan sebaliknya,

|V(G1)| = m |V(G2)| = n

Perjalanan Euler Sebuah perjalanan Euler (Euler cycle)

pada graph G adalah sebuah cycle sederhana yang melalui setiap edge di G hanya sekali.

Problem jembatan Königsberg: Apakah memungkinkan untuk memulai dan

mengakhiri suatu perjalanan dari titik yang sama melalui ke 7 jembatan hanya sekali?

Problem dapat dinyatakan dengan sebuah graph

Edge menyatakan jembatan dan setiap vertex menyatakan daerah (region).

58

59

Graph Euler Sebuah graph G adalah graph Euler jika

memiliki Euler cycle.Teorema:

G adalah Graph Euler jika dan hanya jika G terhubung dan semua vertex memiliki derajat genap.

Graph terhubung merepresentasikan problem jembatan Königsberg.

Graph tersebut bukan Graph Euler. Berarti problem jembatan Königsberg

tidak memiliki solusi.

60

Contoh : Carilah Euler circuit dari graf G1 dan G2

berikut ini :

G1

G2

61

Contoh :

Carilah Euler circuit dari graf G3 berikut ini :

a b

c

d e

G3

62

Hamiltonian cycles Traveling salesperson

problem Setiap simpul pada suatu graph

G hanya dikunjungi satu kali dengan sebuah simple cycle.

Suatu cycle disebut juga suatu Hamiltonian cycle.

Jika suatu graph G tehubung dan memiliki Hamiltonian cycle, maka G disebut juga Hamiltonian graph.

63

Contoh :

Carilah Hamiltonian circuit dari graf G1 : a b

c

d e

G1

64

Contoh : Carilah Hamiltonian circuit dari graf G2 : a

b

c

d e

G2

65

Algoritma shortest-path

Algoritma Dijkstra's untuk mencari panjang dari jalur terpendek dari simpul tunggal (awal) ke simpul lainnya pada graph berbobot dan terhubung.

Algoritma Dijkstra’s memiliki memiliki worst-case run time (n2) untuk graph sederhana, terhubung dan berbobot dengan n simpul.

66

Algoritma Dijkstra's

1. Procedure Dijkstra's(w,a,z,L)2. L(a) = 03. for semua simpul x a do4. L(x) = ~5. T = himp. Semua simpul6. while z T do7. begin8. Pilih v T dengan L(v) minimum9. T = T – {v}10. for setiap x T adjacent ke v do11. L(x) = min { L(x) , L(v) + w(v,x) }12.end while13.end Dijkstra's.

67

Algoritma Dijkstra's Diketahui graph G berikut :

tentukanlah jalur terpendek dari simpul a z !

a

b c

zd

f g

e

2

1

2

214

4

3

3 7 6

5

68

Representasi Matriks dari Graph Matriks Adjacency

Baris dan kolom menunjukkan urutan simpul-simpul.

Elemen matriks = 1 jika terdapat ruas antara simpul baris dan simpul kolom.

Elemen matriks = 0 jika tidak terdapat ruas antara simpul baris dan simpul kolom.

v w x y

v 0 1 0 1

w 1 0 1 1

x 0 1 0 1

y 1 1 1 0

69

Matriks Incidence Matriks Incidence

Baris menunjukkan simpul. Kolom menunjukkan ruas. Elemennya = 1 jika terdapat

ruas yang incident ke suatu simpul.

Elemennya = 0, dalam hal lain.

e f g h j

v 1 1 0 0 0

w 1 0 1 0 1

x 0 0 0 1 1

y 0 1 1 1 0

70

Graph IsomorphicG1 and G2 disebut isomorphic Jika terdapat fungsi f dan g yang one-to-one dan onto

f: V(G1) → V(G2) and g: E(G1) → E(G2) sehingga berlaku

Ruas e adjacent ke simpul v, w pada G1 jika dan hanya jika g(e) adjacent ke f(v) dan f(w) pada G2

71

Graph Planar

Suatu graph disebut planar jika dapat digambarkan dalam bidang tanpa adanya ruas berpotongan.

a b

cd

72

Edges in series

Ruas pada series: jika simpul v V(G)

memiliki derajat 2 dan terdapat ruas (v, v1), (v, v2) dengan v1 v2,

Maka dikatakan ruas (v, v1) dan (v, v2) adalah pada series.

73

Reduksi Series Reduksi series adalah

penghapusan simpul v V(G) dan mengganti ruas (v,v1) dan (v,v2) dengan ruas (v1,v2)

74

Formula Euler’s

Jika G adalah graph planar denganv = banyaknya simpule = banyaknya ruasf = banyaknya bidang/region (termasuk

bidang yang terluar)Maka berlaku :

v – e + f = 2

75

Formula Euler’s

Diketahui Graph G disamping maka graph tersebut adalah graph planar dengan bidang planar f = 4 v – e + f = 2

Representasi Planarnya :

a

d

b

cf1

f2

f3

f4

76

Isomorfisima dand Matriks Adjacency

Dua buah graph disebut isomorfisma jika dan hanya jika memiliki matriks adjacency yang sama (setelah simpulnya disusun kembali).

77

Isomorfisma dand Matriks Adjacency

a b c d ea 0 1 1 0 0b 1 0 0 1 0c 1 0 0 0 1d 0 1 0 0 1e 0 0 1 1 0

a’ b’ c’ d’ e’a’ 0 1 1 0 0b’ 1 0 0 1 0b’ 1 0 0 0 1b’ 0 1 0 0 1b’ 0 0 1 1 0

Teori Graph 78

Problem Pewarnaan Graph Masalah Pewarnaan

graph (graph coloring) adalah masalah pemberian warna pada setiap daerah dari graph, dengan daerah yang berdampingan tidak boleh diberi warna yang sama

Penggunaan warna minimal

Teori Graph 79

Problem Pewarnaan Graph (Lanjutan)

Definisi: Pewarnaan sebuah graph sederhana

adalah pewarnaan setiap verteks pada graph demikian sehingga tidak ada dua verteks yang terhubung memiliki warna yang sama

Bilangan Kromatik Adalah jumlah warna minimal yang

dibutuhkan untuk mewarnai sebuah graph

Teori Graph 80

Problem Pewarnaan Graph (Lanjutan)

Hijau CoklatHijau

Kuning

Coklat

Hijau

MerahKuning

Coklat

Bilangan Kromatik = 4

Teori Graph 81

Berapa banyak jadual UAS dapat dibuat agar setiap mahasiswa dapat mengikuti UAS tanpa pernah ada jadual yang bentrok

2

1

3

5

6

7

4

Contoh :