stochastic models of energy commodity prices and their applications

7/28/2019 Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their Applications.

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S t o c h a s t i c M o d e l s o f E n e r g y C o m m o d i t y P r i c e s

a n d T h e i r A p p l i c a t i o n s : M e a n - r e v e r s i o n w i t h

J u m p s a n d S p i k e s

S h i j i e D e n g

O c t o b e r 2 5 , 1 9 9 8

A b s t r a c t

I n t h i s p a p e r , w e p r e s e n t s e v e r a l m e a n - r e v e r s i o n j u m p d i u s i o n m o d e l s t o d e s c r i b e

e n e r g y c o m m o d i t y s p o t p r i c e s . W e i n c o r p o r a t e m u l t i p l e j u m p s , r e g i m e - s w i t c h i n g a n d

s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y i n t h e s e m o d e l s . P r i c e s o f v a r i o u s e n e r g y c o m m o d i t y d e r i v a t i v e s

a r e o b t a i n e d u n d e r e a c h m o d e l . W e s h o w h o w t h e e l e c t r i c i t y d e r i v a t i v e s c a n b e u s e d

t o e v a l u a t e g e n e r a t i o n a n d t r a n s m i s s i o n c a p a c i t y . W e a l s o s h o w f o r o u r p r i c e m o d e l s ,

h o w t o d e t e r m i n e t h e v a l u e o f i n v e s t m e n t o p p o r t u n i t i e s a n d t h e t h r e s h o l d v a l u e a b o v e

w h i c h a r m s h o u l d i n v e s t .

1 I n t r o d u c t i o n

E n e r g y c o m m o d i t y m a r k e t s g r o w r a p i d l y a s e l e c t r i c i t y m a r k e t r e f o r m a r e s p r e a d i n g i n t h e

U n i t e d S t a t e s a n d a r o u n d t h e w o r l d . T h e v o l u m e o f t r a d e f o r e l e c t r i c i t y r e p o r t e d b y U S p o w e r

m a r k e t e r s h a s s u r g e d f r o m 2 7 m i l l i o n M W h i n 1 9 9 5 t o 1 , 1 9 5 m i l l i o n M W h i n 1 9 9 7 S o u r c e :

E d i s o n E l e c t r i c I n s t i t u t e . T h i s t r e n d i n e v i t a b l y e x p o s e s t h e p o r t f o l i o s o f g e n e r a t i n g a s s e t s

P h . D c a n d i d a t e , I E & O R D e p t . , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t B e r k e l e y , B e r k e l e y , C A 9 4 7 2 0 .

M y e - m a i l a d d r e s s i s d e n g @ i e o r . b e r k e l e y . e d u . I a m v e r y g r a t e f u l f o r m a n y f r u i t f u l d i s c u s s i o n s w i t h D a r r e l l

D u e a n d h i s v a l u a b l e c o m m e n t s . I a l s o t h a n k S h m u e l O r e n f o r h i s v a l u a b l e s u g g e s t i o n s a n d c o m m e n t s . A l l

r e m a i n i n g e r r o r s a r e m y o w n . T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d b y a g r a n t f r o m t h e U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a E n e r g y

I n s t i t u t e .

1


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a n d v a r i o u s s u p p l y c o n t r a c t s h e l d b y t r a d i t i o n a l e l e c t r i c u t i l i t y c o m p a n i e s t o m a r k e t p r i c e

r i s k . I t h a s s o f a r c h a n g e d a n d w i l l c o n t i n u e t o c h a n g e n o t o n l y t h e w a y a u t i l i t y c o m p a n y

o p e r a t e s a n d m a n a g e s i t s p h y s i c a l a s s e t s s u c h a s p o w e r p l a n t s , b u t a l s o t h e w a y i t v a l u e s

a n d s e l e c t s p o t e n t i a l i n v e s t m e n t p r o j e c t s . I n g e n e r a l , r i s k m a n a g e m e n t a n d a s s e t v a l u a t i o n

n e e d s r e q u i r e u n d e r s t a n d i n g a n d s o p h i s t i c a t e d m o d e l i n g o f c o m m o d i t y s p o t p r i c e s . A m o n g

a l l t h e e n e r g y c o m m o d i t i e s , m o d e l i n g p r i c e b e h a v i o r o f e l e c t r i c i t y p o s e s t h e b i g g e s t c h a l l e n g e

f o r r e s e a r c h e r s a n d p r a c t i t i o n e r s . I n t h e s u m m e r o f 1 9 9 8 , p r i c e s o f e l e c t r i c i t y u c t u a t e d f r o m

$ 0 M W h t o $ 7 0 0 0 M W h . I t i s n o t u n c o m m o n t o s e e a 1 5 0 i m p l i e d v o l a t i l i t y i n t r a d e d

e l e c t r i c i t y o p t i o n s . S c h w a r t z 1 9 9 6 a n d M i l t e r s e n a n d S c h w a r t z 1 9 9 8 i n v e s t i g a t e d s e v e r a l

s t o c h a s t i c m o d e l s f o r c o m m o d i t y s p o t p r i c e s a n d p e r f o r m e d a n e m p i r i c a l a n a l y s i s b a s e d o n

c o p p e r , g o l d a n d c r u d e o i l p r i c e d a t a . T h e y f o u n d t h a t s t o c h a s t i c c o n v e n i e n c e y i e l d s c o u l d

e x p l a i n t h e t e r m s t r u c t u r e o f f o r w a r d p r i c e s a n d d e m o n s t r a t e d t h e i m p l i c a t i o n s t o h e d g i n g

a n d r e a l a s s e t v a l u a t i o n b y d i e r e n t m o d e l s . I n o u r p a p e r , w e e x a m i n e a b r o a d e r c l a s s o f

s t o c h a s t i c m o d e l s w h i c h c a n b e u s e d t o m o d e l b e h a v i o r i n c o m m o d i t y p r i c e s s u c h a s j u m p

a n d s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y , i n a d d i t i o n t o s t o c h a s t i c c o n v e n i e n c e y i e l d . W e f e e l t h a t m o d e l s

w i t h j u m p s a n d s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y a r e p a r t i c u l a r l y s u i t a b l e f o r m o d e l i n g o f t h e s p o t p r i c e

p r o c e s s e s o f n e a r l y n o n - s t o r a b l e c o m m o d i t i e s s u c h a s e l e c t r i c i t y .

W h i l e s o m e e n e r g y c o m m o d i t i e s , s u c h a s c r u d e o i l , m a y b e p r o p e r l y m o d e l e d a s t r a d e d

s e c u r i t i e s , t h e n o n s t o r a b i l i t y o f e l e c t r i c i t y m a k e s s u c h a n a p p r o a c h i n a p p r o p r i a t e . H o w e v e r ,

w e c a n a l w a y s v i e w t h e s p o t p r i c e o f a c o m m o d i t y a s a s t a t e v a r i a b l e . A l l t h e p h y s i c a l

c o n t r a c t s n a n c i a l d e r i v a t i v e s o n t h i s c o m m o d i t y a r e t h e r e f o r e c o n t i n g e n t c l a i m s o n t h e

s t a t e v a r i a b l e . W e m o d e l t h e s p o t p r i c e p r o c e s s e s o f e n e r g y c o m m o d i t i e s a s a n e j u m p -

d i u s i o n p r o c e s s e s , i n t r o d u c e d i n D u e a n d K a n 1 9 9 6 . A n e j u m p - d i u s i o n p r o c e s s e s a r e

e x i b l e e n o u g h t o a l l o w u s t o c a p t u r e t h e s p e c i a l c h a r a c t e r i s t i c s o f c o m m o d i t y p r i c e s s u c h a s

m e a n - r e v e r s i o n , s e a s o n a l i t y , a n d s p i k e s " i . e . u p w a r d j u m p s f o l l o w e d s h o r t l y b y d o w n w a r d

j u m p s M o r e i m p o r t a n t l y , w e a r e a b l e t o c o m p u t e t h e p r i c e s o f v a r i o u s e n e r g y c o m m o d i t y

d e r i v a t i v e s f o r t h e a s s u m e d u n d e r l y i n g a n e j u m p d i u s i o n p r i c e p r o c e s s e s b y a p p l y i n g

t r a n s f o r m a n a l y s i s s e e D u e , P a n a n d S i n g l e t o n 1 9 9 8 . I n t h i s p a p e r , w e c o n s i d e r n o t

o n l y t h e u s u a l a n e j u m p - d i u s i o n m o d e l s b u t a l s o a r e g i m e - s w i t c h i n g m e a n - r e v e r s i o n j u m p -

d i u s i o n m o d e l . T h a t m o d e l i s u s e d t o c a p t u r e t h e r a n d o m s w i t c h e s b e t w e e n a b n o r m a l "

a n d n o r m a l " e q u i l i b r i u m s t a t e s o f s u p p l y a n d d e m a n d f o r a c o m m o d i t y .

J u m p s a n d s p i k e s i n t h e p r i c e o f a c o m m o d i t y a l s o h a v e s i g n i c a n t i m p a c t s o n t h e v a l u e s

o f i n v e s t m e n t o p p o r t u n i t i e s a n d t h e o p t i m a l t i m i n g o f i n v e s t m e n t i n a p r o d u c t i o n f a c i l i t y

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f o r t h e c o m m o d i t y . A s w e w i l l s e e i n s e c t i o n f o u r , a d o w n w a r d j u m p i n t h e i n v e s t m e n t

v a l u e p r o c e s s r e d u c e s t h e v a l u e o f t h e i n v e s t m e n t o p p o r t u n i t y a n d s h o r t e n t h e e x p e c t e d

w a i t i n g t i m e t o i n v e s t . A r e g i m e - s w i t c h i n g t y p e o f v a l u e p r o c e s s , o n t h e o t h e r h a n d , w o u l d

r e s t o r e s o m e o f t h e v a l u e o f i n v e s t m e n t o p p o r t u n i t y a n d m a k e i t a d v a n t a g e o u s t o w a i t l o n g e r .

M o r e o v e r , w h e n t h e i n v e s t m e n t v a l u e p r o c e s s i s r e g i m e - s w i t c h i n g , i n v e s t m e n t i n a p r o j e c t

s h o u l d n e v e r o c c u r i n t h e l o w " s t a t e r e g a r d l e s s t h e i n v e s t m e n t v a l u e ; w h i l e i n t h e h i g h "

s t a t e , i n v e s t m e n t i s i n d i c a t e d w h e n t h e i n v e s t m e n t v a l u e e x c e e d s a c e r t a i n t h r e s h o l d v a l u e .

T h e r e m a i n d e r o f t h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . I n t h e n e x t s e c t i o n , w e p r o p o s e t h r e e

a l t e r n a t i v e m o d e l s f o r e n e r g y c o m m o d i t y s p o t - p r i c e p r o c e s s e s a n d c o m p u t e t h e t r a n s f o r m

f u n c t i o n s n e e d e d f o r c o n t i n g e n t - c l a i m s p r i c i n g . I n s e c t i o n t h r e e , w e p r e s e n t s o m e i l l u s t r a t i v e

e x a m p l e s o f t h e m o d e l s s p e c i e d i n s e c t i o n t w o . W e o b t a i n t h e p r i c i n g f o r m u l a e o f s e v e r a l

e n e r g y c o m m o d i t y d e r i v a t i v e s i n t h e e x a m p l e s . T h e c o m p a r i s o n s o f t h e p r i c e s o f e n e r g y

c o m m o d i t y d e r i v a t i v e s u n d e r d i e r e n t m o d e l s a r e a l s o s h o w n . W e p r o v i d e a h e u r i s t i c m e t h o d

f o r e s t i m a t i n g t h e p r o c e s s p a r a m e t e r s b y m a t c h i n g m o m e n t c o n d i t i o n s o f t h e h i s t o r i c a l s p o t

p r i c e s a n d c a l i b r a t i n g t h e p a r a m e t e r s t o t r a d e d o p t i o n s p r i c e s . I n s e c t i o n f o u r , w e c h o o s e

e l e c t r i c i t y a s a n c o n c r e t e e x a m p l e t o i l l u s t r a t e h o w d i e r e n t t y p e s o f g e n e r a t i o n a s s e t s c a n

b e v a l u e d a s e l e c t r i c i t y o p t i o n s . W e a l s o d e m o n s t r a t e t h e i m p l i c a t i o n o f j u m p s a n d s p i k e s

i n t h e i n v e s t m e n t v a l u e p r o c e s s t o t h e v a l u e o f i n v e s t m e n t o p p o r t u n i t y a n d t h e t i m i n g o f

i n v e s t m e n t d e c i s i o n . W e c o n c l u d e b y m a k i n g s o m e o b s e r v a t i o n s a n d p o i n t i n g o u t f u t u r e

r e s e a r c h d i r e c t i o n s .

2 M e a n - R e v e r t i n g J u m p - D i u s i o n M o d e l s

T h e m o s t n o t i c e a b l e p r i c e b e h a v i o r o f e n e r g y c o m m o d i t i e s i s t h e m e a n - r e v e r t i n g e e c t . W h e n

t h e p r i c e o f a c o m m o d i t y i s h i g h , i t s s u p p l y t e n d s t o i n c r e a s e t h u s p u t t i n g a d o w n w a r d s p r e s -

s u r e o n t h e p r i c e ; w h e n t h e s p o t p r i c e i s l o w , t h e s u p p l y o f t h e c o m m o d i t y t e n d s t o d e c r e a s e

t h u s p r o v i d i n g a n u p w a r d s l i f t t o t h e p r i c e . A n o t h e r s a l i e n t e e c t i n e n e r g y c o m m o d i t y

p r i c e s i s t h e p r e s e n c e o f p r i c e j u m p s a n d s p i k e s . T h i s i s p a r t i c u l a r l y p r o m i n e n t i n t h e c a s e

w h e r e m a s s i v e s t o r a g e o f a c o m m o d i t y i s n o t e c o n o m i c a l l y v i a b l e a n d d e m a n d e x h i b i t s l o w

e l a s t i c i t y . A p e r f e c t e x a m p l e o f s u c h p r i c e b e h a v i o r w o u l d b e e l e c t r i c i t y w h i c h i s a l m o s t n o n -

s t o r a b l e . F i g u r e 1 p l o t s t h e h i s t o r i c a l o n - p e a k e l e c t r i c i t y s p o t p r i c e s i n T e x a s E R C O T

a n d a t t h e C a l i f o r n i a a n d O r e g o n b o r d e r C O B . T h e f u n d a m e n t a l e c o n o m i c p r i n c i p l e s a y s

t h a t i n a c o m p e t i t i v e m a r k e t t h e s p o t p r i c e o f a c o m m o d i t y i s d e t e r m i n e d b y t h e c r o s s i n g

3


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5/35

Determination of the Spot Price of a Commodity

$0

$10

$20

$30

$40

$50

$60

$70

$80

$90

$100

0 50 100 150 200

Quantity

Spot Price

Supply Curve

Inverse Demand (t0)

Inverse Demand (t1)

S0

S1

Supply

Demand

F i g u r e 2 : D e t e r m i n a t i o n o f S p o t P r i c e s

2 . M e a n - r e v e r t i n g j u m p - d i u s i o n p r o c e s s w i t h r e g i m e - s w i t c h i n g .

3 . M e a n - r e v e r t i n g j u m p - d i u s i o n p r o c e s s w i t h s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y .

W e c o n s i d e r t w o t y p e s o f j u m p s i n a l l t h e a b o v e m o d e l s . W h i l e o u r a n a l y t i c a l a p p r o a c h

c o u l d h a n d l e m u l t i p l e t y p e s o f j u m p s , w i t h p r o p e r l y c h o s e n i n t e n s i t i e s t w o t y p e s o f j u m p s

s u c e t o m i m i c t h e j u m p s a n d o r s p i k e s i n t h e p r i c e p r o c e s s o f e n e r g y c o m m o d i t i e s . T h e

c a s e o f o n l y o n e t y p e o f j u m p i s i n c l u d e d a s a s p e c i a l c a s e w h e n t h e i n t e n s i t y o f t y p e - 2 j u m p

i s s e t t o z e r o .

I n a d d i t i o n t o t h e c o m m o d i t y p r i c e p r o c e s s u n d e r c o n s i d e r a t i o n , w e a l s o j o i n t l y s p e c i f y

a n o t h e r f a c t o r p r o c e s s w h i c h c a n b e c o r r e l a t e d w i t h t h e c o m m o d i t y p r i c e . T h i s a d d i t i o n a l

f a c t o r p r o c e s s c o u l d b e t h e p r i c e p r o c e s s o f a n o t h e r c o m m o d i t y o r i t c o u l d b e t h e u n d e r l y i n g

p h y s i c a l d e m a n d p r o c e s s o f a u t i l i t y c o m p a n y f o r a n e n e r g y c o m m o d i t y . I n t h e c a s e o f

e l e c t r i c i t y , t h e a d d i t i o n a l f a c t o r c a n b e u s e d t o s p e c i f y t h e s p o t p r i c e o f t h e g e n e r a t i n g f u e l

s u c h a s n a t u r a l g a s . A j o i n t l y s p e c i e d s p o t p r i c e p r o c e s s o f t h e g e n e r a t i n g f u e l i s e s s e n t i a l

f o r r i s k m a n a g e m e n t i n v o l v i n g c r o s s c o m m o d i t y r i s k s b e t w e e n e l e c t r i c i t y a n d t h e f u e l . T h e r e

i s e m p i r i c a l e v i d e n c e d e m o n s t r a t i n g a p o s i t i v e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e p r i c e o f e l e c t r i c i t y

a n d t h e p r i c e o f g e n e r a t i n g f u e l i n c e r t a i n g e o g r a p h i c r e g i o n d u r i n g c e r t a i n t i m e s o f a y e a r .

I n a l l m o d e l s t h e r i s k f r e e i n t e r e s t r a t e , r , i s a s s u m e d t o b e d e t e r m i n i s t i c .

5


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Generation Resource Stack for the Western US

$0

$10

$20

$30

$40

$50

$60

$70

$80

$90

$100

0 20000 40000 60000 80000 100000

Demand (MW)

Marginal Cost

($/MWh)Marginal Cost

Resource stack includes:

Hydro units;

Nuclear plants;

Coal units;

Natural gas units;

Misc.

F i g u r e 3 : G e n e r a t i o n S t a c k f o r E l e c t r i c i t y i n a R e g i o n

2 . 1 M o d e l 1 : A m e a n - r e v e r t i n g d e t e r m i n i s t i c v o l a t i l i t y p r o c e s s

w i t h t w o t y p e s o f j u m p s

W e s t a r t w i t h s p e c i f y i n g s p o t p r i c e o f a n e n e r g y c o m m o d i t y a s a m e a n - r e v e r t i n g j u m p -

d i u s i o n p r o c e s s w i t h t w o t y p e s o f j u m p s . L e t X

t

= l n S

e

t

w h e r e S

e

t

i s t h e e n e r g y c o m m o d i t y

s p o t p r i c e , e . g . e l e c t r i c i t y s p o t p r i c e . Y

t

i s t h e f a c t o r p r o c e s s w h i c h , i n t h e c a s e o f m o d e l i n g

e l e c t r i c i t y s p o t p r i c e , c a n b e u s e d t o s p e c i f y t h e s p o t p r i c e o f a g e n e r a t i n g f u e l , e . g . n a t u r a l

g a s . I n t h i s f o r m u l a t i o n , w e h a v e t y p e - 1 j u m p r e p r e s e n t i n g t h e u p w a r d s j u m p s a n d t y p e - 2

j u m p r e p r e s e n t i n g t h e d o w n w a r d s j u m p s B y c h o o s i n g t h e i n t e n s i t y f u n c t i o n s p r o p e r l y f o r t h e

j u m p p r o c e s s e s , w e c a n m i m i c t h e s p i k e s i n t h e p r i c e p r o c e s s o f v a r i o u s e n e r g y c o m m o d i t i e s

A s s u m e t h a t , u n d e r r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s , X

t

a n d Y

t

a r e s t r o n g s o l u t i o n s t o t h e f o l l o w i n g

s t o c h a s t i c d i e r e n t i a l e q u a t i o n s S D E u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l m e a s u r e Q ,

d

0

@

X

t

Y

t

1

A

=

0

@

1

t

1

t , X

t

2

t

2

t , Y

t

1

A

d t +

0

@

1

t 0

t

2

t

q

1 , t

2

2

t

1

A

d W

t

+

2

X

i = 1

Z

i

t

2 . 1

w h e r e

1

t a n d

2

t a r e t h e m e a n - r e v e r t i n g c o e c i e n t s ;

1

t a n d

2

t a r e t h e l o n g t e r m

m e a n s ;

1

t a n d

2

t a r e i n s t a n t a n e o u s v o l a t i l i t y r a t e s o f X a n d Y ; W

t

i s a n F

t

- a d a p t e d

s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n u n d e r Q i n

2

; Z

j

i s a c o m p o u n d P o i s s o n p r o c e s s i n

2

w i t h

t h e P o i s s o n a r r i v a l i n t e n s i t y b e i n g

j

t j = 1 ; 2 . Z

j

r e p r e s e n t s t h e r a n d o m j u m p s i z e i n

6


7/35

2

. L e t

j

J

c

1

; c

2

; t

R

R

2

e x p c Z

j

t

d v

j

z d e n o t e t h e t r a n s f o r m o f t h e j u m p s i z e o f t y p e - j

j = 1 ; 2 j u m p .

T h e t r a n s f o r m f u n c t i o n D e n e t h e g e n e r a l i z e d t r a n s f o r m f u n c t i o n a s

' u ; X

t

; Y

t

; t ; T E

Q

e

, r T , t

e x p u

1

X

T

+ u

2

Y

T

F

t

f o r a x e d t i m e T w h e r e u u

1

; u

2

2 C

2

. T h e t r a n s f o r m f u n c t i o n ' i s w e l l - d e n e d a t a

g i v e n u u n d e r r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s o n

t ,

t ,

t ,

t , a n d

J

c

1

; c

2

; t

U n d e r t e c h n i c a l r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s , ' e

, r t

i s a m a r t i n g a l e u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l

m e a s u r e Q s i n c e i t i s a F

t

, c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o f a s i n g l e r a n d o m v a r i a b l e e x p u

1

X

T

+

u

2

Y

T

1

T h e r e f o r e t h e d r i f t t e r m o f ' e

, r t

i s z e r o . A p p l y i n g I t o ' s l e m m a f o r c o m p l e x

f u n c t i o n , w e o b s e r v e t h a t ' n e e d s t o s a t i s f y t h e f o l l o w i n g f u n d a m e n t a l p a r t i a l d i e r e n t i a l

e q u a t i o n P D E

D f , r f = 0 2 2

w h e r e

D f @

t

f +

X

@

X

f +

1

2

t r @

2

X

f

T

+

2

X

j = 1

j

t

Z

R

2

f X

t

+ Z

j

t

; t , f X

t

; t d v

j

z

I t i s c o n j e c t u r e d t h a t , u n d e r r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s , ' t a k e s t h e f o r m :

' u ; X

t

; Y

t

; t ; T = e x p t ; u +

1

t ; u X

t

+

2

t ; u Y

t

2 3

w h e r e a n d

1

2

0

s a t i s f y t h e c o m p l e x - v a l u e d o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s

d

d t

t ; u + B t ; u ; t = 0 ; 0 ; u = u

d

d t

t ; u + A t ; u ; t = 0 ; 0 ; u = 0

2 4

w i t h A ; : C

2

R ! C

1

a n d B ; : C

2

R ! C

2

b e i n g

A ; t =

2

P

i = 1

i

i

i

+

1

2

2

i

2

i

+

1

2

1

2

, r +

2

P

j = 1

j

t

j

J

1

;

2

; t , 1

B ; t =

0

@

1

1

2

2

1

A

2 5

1

F o r a f o r m a l p r o o f s e e 7 .

7


8/35

N o w , w e i n t e g r a t e a n d o u t w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g i n i t i a l c o n d i t i o n s t o g e t s o l u t i o n s

2 . 6 . T h e n w e h a v e

' u ; X

t

; Y

t

; t ; T = e x p t ; u +

1

t ; u X

t

+

2

t ; u Y

t

w h e r e

1

t ; u

1

; u

2

0

= u

1

e x p ,

R

T

t

1

s d s

2

t ; u

1

; u

2

0

= u

2

e x p ,

R

T

t

2

s d s

t ; u =

Z

T

t

2

X

i = 1

i

s

i

s

i

s ; u +

1

2

2

i

s

2

i

s ; u + s

1

s

2

s

1

s ; u

2

s ; u

, r +

2

P

j = 1

j

s

j

J

1

s ; u ;

2

s ; u ; s , 1 d s

2 6

2 . 2 M o d e l 2 : A r e g i m e - s w i t c h i n g m e a n - r e v e r t i n g p r o c e s s w i t h

t w o t y p e s o f j u m p s

T o m o t i v a t e t h i s m o d e l , w e c o n s i d e r a g a i n t h e c a s e o f e l e c t r i c i t y i n w h i c h t h e f o r c e d o u t a g e s

o f g e n e r a t i o n p l a n t s o r u n e x p e c t e d c o n t i n g e n c i e s i n t r a n s m i s s i o n n e t w o r k s o f t e n r e s u l t i n

a b n o r m a l l y h i g h s p o t p r i c e s f o r a s h o r t t i m e p e r i o d a n d t h e n a q u i c k p r i c e f a l l - b a c k . I n

o r d e r t o c a p t u r e t h e p h e n o m e n a o f s p o t p r i c e s s w i t c h i n g b e t w e e n h i g h " a n d n o r m a l "

s t a t e s , w e e x t e n d m o d e l 1 t o a M a r k o v r e g i m e - s w i t c h i n g m o d e l w h i c h w e w i l l d e s c r i b e i n

d e t a i l b e l o w .

L e t U

t

b e a c o n t i n u o u s - t i m e t w o - s t a t e M a r k o v c h a i n

d U

t

= 1

U

t

= 0

U

t

d N

0

t

+ 1

U

t

= 1

U

t

d N

1

t

2 7

w h e r e N

i

t

i s a P o i s s o n p r o c e s s w i t h a r r i v a l i n t e n s i t y

i

i = 0 ; 1 a n d 0 = , 1 = 1 .

W e n e x t d e n e t h e c o r r e s p o n d i n g c o m p e n s a t e d c o n t i n u o u s - t i m e M a r k o v c h a i n M t a s

d M

t

= , U

t

U

t

d t + d U

t

2 8

T h e j o i n t s p e c i c a t i o n o f e l e c t r i c i t y a n d t h e g e n e r a t i n g f u e l p r i c e p r o c e s s e s i s

d

0

@

X

t

Y

t

1

A

=

0

@

1

t

1

t , X

t

2

t

2

t , Y

t

1

A

d t +

0

@

1

t 0

t

2

t

q

1 , t

2

2

t

1

A

d W

t

+

2

X

i = 1

Z

i

t

+ U

t ,

d M

t

2 . 9

8


9/35

w h e r e f i

1

i ;

2

i

0

; i = 0 ; 1 g d e n o t e s t h e r a n d o m j u m p s i n s t a t e v a r i a b l e s w h e n

r e g i m e - s w i t c h i n g o c c u r s .

T h e t r a n s f o r m f u n c t i o n L e t F

i

x ; t i = 0 ; 1 d e n o t e

E e

, r T , t

e x p u

1

X

T

+ u

2

Y

T

X

t

= x ; Y

t

= y ; U

t

= i

w h e r e U

t

i s t h e M a r k o v r e g i m e s t a t e v a r i a b l e . T h e i n n i t e s i m a l g e n e r a t o r D o f F

i

i s g i v e n

b y

D F

0

x ; t = d F

0

x ; t +

0

R

R

2

F

1

x + 0 ; t , F

0

x ; t d

t

0

D F

1

x ; t = d F

1

x ; t +

1

R

R

2

F

0

x + 1 ; t , F

1

x ; t d

t

1

2 1 0

w h e r e

d F

i

x ; t = F

i

t

+ F

i

x

i

x ; t +

1

2

t r F

i

x x

i

x ; t

i

x ; t

T

+

2

X

j = 1

i

j

x ; t

Z

R

2

F

i

x + z ; t , F

i

x ; t d

j t

z

i = 0 ; 1 i s t h e r e g i m e s t a t e v a r i a b l e

F o r t h e s p e c i a l c a s e w h e r e t h e j u m p d i u s i o n p r o c e s s e s a r e t h e s a m e i n a l l r e g i m e s t a t e s , t h e

s o l u t i o n t o 2 . 1 0 a s s u m e s t h e f o l l o w i n g f o r m ,

F

0

x ; y ; t = e x p

0

t +

1

t x +

2

t y

F

1

x ; y ; t = e x p

1

t +

1

t x +

2

t y

2 1 1

S u b s t i t u t i n g 2 . 1 1 i n t o D F

i

x ; y ; t , r F

i

x ; y ; t = 0 a n d l e t t t ; u

0

t ; u ;

1

t ; u

0

,

t t ; u

1

t ; u ;

2

t ; u

0

, w e g e t t h e f o l l o w i n g o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s

O D E s

d

d t

t ; u + B t ; u ; t = 0 ; 0 ; u = u

d

d t

t ; u + A t ; u ; t ; u ; t = 0 ; 0 ; u = 0

2 1 2

w h e r e

A t ; t ; t =

0

@

A

1

t ; t +

0

e x p

1

t ,

0

t

0

t ; t , 1

A

1

t ; t +

1

e x p

0

t ,

1

t

1

t ; t , 1

1

A

B t ; t =

0

@

1

t

1

t

2

t

2

t

1

A

2 1 3

9


10/35

w i t h

A

1

t ; t =

2

X

i = 1

i

i

i

+

1

2

2

i

2

i

,

1

2

1

2

, r +

2

X

j = 1

j

j

J

; t , 1

j

J

; t a n d

t ; t a r e t r a n s f o r m f u n c t i o n s o f t h e r a n d o m v a r i a b l e s r e p r e s e n t i n g j u m p

s i z e i n s t a t e v a r i a b l e s w i t h i n a r e g i m e a n d a s s o c i a t e d w i t h t h e r e g i m e - s w i t c h i n g , r e s p e c t i v e l y .

W h e n O D E s 2 . 1 2 d o n o t h a v e c l o s e d - f o r m s o l u t i o n , w e n e e d t o n u m e r i c a l l y s o l v e 2 . 1 2

a n d o b t a i n t h e v a l u e o f t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n .

2 . 3 M o d e l 3 : A m e a n - r e v e r t i n g s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y p r o c e s s w i t h

t w o t y p e s o f j u m p s

W e c o n s i d e r a t h r e e f a c t o r a n e p r o c e s s w i t h t w o t y p e s o f j u m p s i n t h i s m o d e l . O n c e a g a i n ,

w e m o t i v a t e t h e m o d e l i n t h e s e t t i n g o f m o d e l i n g t h e e l e c t r i c i t y s p o t p r i c e . C o n s i d e r X

t

a n d

Y

t

t o b e t h e l o g a r i t h m o f t h e s p o t p r i c e o f e l e c t r i c i t y a n d g e n e r a t i n g f u e l , e . g . n a t u r a l g a s ,

r e s p e c t i v e l y . V

t

c a n b e t h o u g h t a s a f a c t o r w h i c h i s p r o p o r t i o n a l t o t h e a g g r e g a t e r e g i o n a l

d e m a n d p r o c e s s . W e a t h e r c o n d i t i o n s s u c h a s u n u s u a l h e a t w a v e s u s u a l l y c a u s e s i m u l t a n e o u s

j u m p s i n b o t h e l e c t r i c i t y p r i c e a n d t h e a g g r e g a t e l o a d ; w h i l e t h e p l a n t o r t r a n s m i s s i o n l i n e

o u t a g e s w i l l l i k e l y c a u s e j u m p s i n e l e c t r i c i t y s p o t p r i c e o n l y . T h e r e i s a l s o e m p i r i c a l e v i d e n c e

a l l u d i n g t o t h e f a c t t h a t t h e v o l a t i l i t y o f e l e c t r i c i t y p r i c e i s h i g h w h e n t h e a g g r e g a t e d e m a n d

s u r g e s a n d v i c e v e r s a . W i t h p r o p e r r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s , t h e r e e x i s t s a M a r k o v p r o c e s s

w h i c h i s t h e s t r o n g s o l u t i o n t o t h e f o l l o w i n g s t o c h a s t i c d i e r e n t i a l e q u a t i o n S D E u n d e r t h e

r i s k n e u t r a l m e a s u r e Q

d

0

B

B

B

@

X

t

V

t

Y

t

1

C

C

C

A

=

0

B

B

B

@

1

t

1

t , X

t

V

t

V

t , V

t

2

t

2

t , Y

t

1

C

C

C

A

d t +

0

B

B

B

@

p

V

t

0 0

1

t

2

t

p

V

t

q

1 ,

2

1

t

2

t

p

V

t

0

2

t

3

t

p

V

t

0

3

t

1

C

C

C

A

d W

t

+

2

X

i = 1

Z

i

t

2 . 1 4

w h e r e W i s a n F

t

- a d a p t e d s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n u n d e r Q i n

3

; Z

i

i s a c o m p o u n d

P o i s s o n p r o c e s s i n

3

w i t h t h e P o i s s o n a r r i v a l i n t e n s i t y b e i n g

i

X

t

; V

t

; Y

t

; t i = 1 ; 2 . W e

m o d e l t h e s p i k y b e h a v i o r b y a s s u m i n g t h a t t h e i n t e n s i t y f u n c t i o n o f t y p e - 1 j u m p i s o n l y a

f u n c t i o n o f t i m e t , d e n o t e d b y

1

t a n d t h e i n t e n s i t y o f t y p e - 2 j u m p i s a f u n c t i o n o f V

t

,

i . e .

2

X

t

; V

t

; t =

2

t V

t

. L e t

j

J

c

1

; c

2

; t

R

R

2

e x p c Z

j

t

d v

j

z d e n o t e t h e t r a n s f o r m

o f t h e j u m p s i z e o f t y p e - j j = 1 ; 2 j u m p .

1 0


11/35

T h e t r a n s f o r m f u n c t i o n F o l l o w i n g s i m i l a r a r g u m e n t s t o t h o s e u s e d i n M o d e l 1 , w e k n o w

t h a t t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n

' u ; X

t

; V

t

; Y

t

; t ; T E

Q

e

, r T , t

e x p u

1

X

T

+ u

2

V

T

+ u

3

Y

T

F

t

i s o f f o r m

' u ; X

t

; V

t

; Y

t

; t ; T = e x p t ; u +

1

t ; u X

T

+

2

t ; u V

T

+

3

t ; u Y

T

2 1 5

w h e r e u ; t a n d u ; t

1

u ; t ;

2

u ; t ;

3

u ; t

0

a r e s o l u t i o n s t o t h e f o l l o w i n g o r d i n a r y

d i e r e n t i a l e q u a t i o n s

d

d t

t ; u + B t ; u ; t = 0 ; 0 ; u = u

d

d t

t ; u + A t ; u ; t = 0 ; 0 ; u = 0

2 1 6

w i t h A ; : C

3

R ! C

1

a n d B ; : C

3

R ! C

3

b e i n g

A ; t = , r +

3

P

i = 1

i

i

i

+

1

2

2

3

2

3

t +

1

t

1

J

; t , 1

B ; t =

0

B

B

B

@

1

t

1

t ; u

2

t

2

t ; u +

2

t

2

J

; t , 1 +

1

2

B

1

; t

3

t

3

t ; u

1

C

C

C

A

2 1 7

a n d

B

1

; t =

1

t ; u

1

t ; u +

2

t ; u

1

t

2

t +

3

t ; u

2

t

3

t

+

2

t ; u

1

t ; u

1

t

2

t +

2

t ; u

2

2

t +

3

t ; u

1

t

2

t

2

t

3

t

+

3

t ; u

1

t ; u

2

t

3

t +

2

t ; u

1

t

2

t

2

t

3

t +

3

t ; u

2

2

t

2

3

t

3 P r i c i n g o f E n e r g y C o m m o d i t y D e r i v a t i v e s

W e h a v e s p e c i e d t h r e e t y p e s o f m e a n - r e v e r t i n g j u m p - d i u s i o n p r o c e s s e s f o r m o d e l i n g t h e

e n e r g y c o m m o d i t y s p o t p r i c e s . W e a l s o s h o w e d h o w t o c o m p u t e t h e g e n e r a l i z e d t r a n s f o r m

f u n c t i o n o f t h e p r o c e s s e s a t a n y g i v e n t i m e T . T h e p r i c e s o f E u r o p e a n t y p e c o n t i n g e n t c l a i m s

o n t h e s p o t p r i c e c a n n o w b e o b t a i n e d t h r o u g h t h e i n v e r s i o n o f t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n s . L e t

X

t

b e a s t a t e v e c t o r i n R

n

a n d u 2 C

n

, t h e g e n e r a l i z e d t r a n s f o r m f u n c t i o n i s g i v e n b y

' u ; X

t

; t ; T E

Q

e

, r T , t

e x p u X

T

F

t

= e x p t ; u + t ; u X

t

3 . 1

1 1


12/35

L e t G v ; X

t

; Y

t

; t ; T ; a ; b d e n o t e t h e t i m e - t p r i c e o f a c o n t i n g e n t c l a i m w i t h p a y o e x p a X

T

w h e n b X

T

v i s t r u e a t t i m e T w h e r e a , b a r e v e c t o r s i n R

n

a n d v 2 R

1

, t h e n w e h a v e

G v ; X

t

; t ; T ; a ; b = E

Q

e

, r T , t

e x p a X

T

1

b X

T

v

F

t

=

' a ; X

t

; t ; T

2

,

1

Z

1

0

I m ' a + i w b ; X

t

; t ; T e

, i w v

w

d w 3 . 2

S e e a p p e n d i x f o r a f o r m a l p r o o f . T o i l l u s t r a t e t h e r e s u l t s , w e t a k e s o m e c o n c r e t e e x a m p l e s

o f t h e t h r e e m o d e l s a n d c o m p u t e t h e p r i c e f o r s e v e r a l c o m m o n l y t r a d e d e n e r g y c o m m o d i t y

d e r i v a t i v e s . S p e c i c a l l y , m o d e l 1 a i s a s p e c i a l c a s e o f m o d e l 1 ; m o d e l 2 a i s a s p e c i a l c a s e o f

m o d e l 2 ; a n d m o d e l 3 a i s a s p e c i a l c a s e o f m o d e l 3 . C l o s e d - f o r m s o l u t i o n s o f t h e d e r i v a t i v e

s e c u r i t i e s u p t o F o u r i e r i n v e r s i o n a r e p r o v i d e d w h e n e v e r a v a i l a b l e .

3 . 1 I l l u s t r a t i v e M o d e l s

T h e s p e c i c m o d e l s w e p r e s e n t e d h e r e a r e o b t a i n e d b y s e t t i n g t h e p a r a m e t e r s i n t h e t h r e e

g e n e r a l m o d e l s t o b e c o n s t a n t s . T h e j u m p s a p p e a r i n t h e p r i m a r y c o m m o d i t y p r i c e o n l y a n d

t h e j u m p s i z e s a r e d i s t r i b u t e d a s i n d e p e n d e n t e x p o n e n t i a l r a n d o m v a r i a b l e s i n R

n

. T h e r e f o r e

t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n o f t h e j u m p s i z e t a k e s t h e f o r m o f

j

J

c ; t

n

Y

k = 1

1

1 ,

k

j

c

k

3 3

3 . 1 . 1 M o d e l 1 a

M o d e l 1 a i s a s p e c i a l c a s e o f 2 . 1 w i t h a l l p a r a m e t e r s b e i n g c o n s t a n t s . T h e j u m p s a r e

i n X , t h e l o g a r i t h m o f t h e c o m m o d i t y s p o t p r i c e , o n l y . T h e s i z e o f t y p e - j j u m p j = 1 ,

2 i s e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t e d w i t h m e a n

j

J

. T h e t r a n s f o r m f u n c t i o n o f t h e j u m p s i z e i s

j

J

c

1

; c

2

; t

1

1 ,

j

J

c

1

j = 1 ; 2

d

0

@

X

t

Y

t

1

A

=

0

@

1

1

, X

t

2

2

, Y

t

1

A

d t +

0

@

1

0

1

2

q

1 ,

2

1

2

1

A

d W

t

3 . 4

+

2

X

i = 1

Z

i

t

1 2


13/35

T h e t r a n s f o r m f u n c t i o n '

1 a

T h e c l o s e d - f o r m s o l u t i o n o f t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n c a n b e

w r i t t e n o u t e x p l i c i t l y f o r t h i s m o d e l .

'

1 a

u ; X

t

; Y

t

; t ; T = e x p +

1

X

t

+

2

Y

t

3 5

w h e r e = T , t . B y s o l v i n g t h e o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i n 2 . 5 w i t h a l l p a r a m e t e r s

b e i n g c o n s t a n t s , w e g e t t h e f o l l o w i n g ,

1

; u

1

= u

1

e x p ,

1

2

; u

2

= u

2

e x p ,

2

; u = , r ,

2

P

j = 1

j

J

1

l n

u

1

j

J

, 1

u

1

j

J

e x p ,

1

, 1

+

a

1

2

1

u

2

1

4

1

+

a

2

2

2

u

2

2

4

2

+ u

1

1

1 , e x p ,

1

+ u

2

2

1 , e x p ,

2

+

u

1

u

2

1

1

2

1 , e x p ,

1

+

2

1

+

2

3 6

w i t h a

1

= 1 , e x p , 2

1

a n d a

2

= 1 , e x p , 2

2

3 . 1 . 2 M o d e l 2 a

M o d e l 2 a i s a r e g i m e s w i t c h i n g w i t h t h e r e g i m e - j u m p o n l y i n t h e r s t c o m m o d i t y p r i c e . I n t h e

e l e c t r i c i t y m a r k e t s , t h i s i s s u i t a b l e f o r m o d e l i n g t h e o c c a s i o n a l p r i c e s p i k e s i n t h e e l e c t r i c i t y

s p o t p r i c e c a u s e d b y f o r c e d o u t a g e o f t h e m a j o r p l a n t s o r l i n e c o n t i n g e n c y i n t r a n s m i s s i o n

n e t w o r k s . F o r s i m p l i c i t y , w e a s s u m e t h a t t h e r e a r e n o j u m p s w i t h i n e a c h r e g i m e .

d

0

@

X

t

Y

t

1

A

=

0

@

1

1

, X

t

2

2

, Y

t

1

A

d t +

0

@

1

0

1

2

q

1 ,

2

1

2

1

A

d W

t

3 . 7

+ U

t ,

d M

t


t

- a d a p t e d s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n i n

2

U

t

i s t h e r e g i m e s t a t e p r o c e s s

d e n e d i n 2 . 7 . T h e s i z e o f r e g i m e - j u m p s i s a s s u m e d t o b e d i s t r i b u t e d a s e x p o n e n t i a l r a n d o m

v a r i a b l e s a n d t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n s o f t h e r e g i m e - j u m p s i z e a r e

c

1

; c

2

; t

1

1 ,

c

1

= 0 ; 1 w h e r e

0

0 a n d

1

0


2 a

F o r t h i s m o d e l t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n '

2 a

c a n n o t b e s o l v e d

i n c l o s e d - f o r m c o m p l e t e l y . W e h a v e

'

0

2 a

x ; y ; t = e x p

0

t +

1

t x +

2

t y

'

1

2 a

x ; y ; t = e x p

1

t +

1

t x +

2

t y

3 8

1 3


14/35

w h e r e t t ; u

1

t ; u ;

2

t ; u

0

h a s t h e c l o s e d - f o r m s o l u t i o n o f

1

; u

1

= u

1

e x p ,

1

2

; u

2

= u

2

e x p ,

2

b u t t t ; u

0

t ; u ;

1

t ; u

0

n e e d s t o b e n u m e r i c a l l y c o m p u t e d f r o m

d

d t

0

@

0

t

1

t

1

A

= ,

0

B

B

B

@

A

1

t ; t +

0

e x p

1

t ,

0

t

1 ,

0

1

t ; u

1

, 1

A

1

t ; t +

1

e x p

0

t ,

1

t

1 ,

1

1

t ; u

1

, 1

1

C

C

C

A

0

@

0

0 ; u

1

0 ; u

1

A

=

0

@

0

0

1

A

w i t h

A

1

t ; t = , r +

2

X

i = 1

i

i

i

+

1

2

2

i

2

i

,

1

1

2

1

2

3 . 1 . 3 M o d e l 3 a

M o d e l 3 a i s a s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y m o d e l i n w h i c h t h e t y p e - 1 j u m p s a r e s i m u l t a n e o u s j u m p s

i n t h e c o m m o d i t y s p o t p r i c e a n d v o l a t i l i t y , a n d t h e t y p e - 2 j u m p s a r e i n t h e c o m m o d i t y s p o t

p r i c e o n l y . A l l p a r a m e t e r s a r e c o n s t a n t s .

d

0

B

B

B

@

X

t

V

t

Y

t

1

C

C

C

A

=

0

B

B

B

@

1

1

, X

t

V

V

, V

t

2

2

, Y

t

1

C

C

C

A

d t +

0

B

B

B

@

p

V

t

0 0

1

2

p

V

t

q

1 ,

2

1

2

p

V

t

0

2

3

p

V

t

0

3

1

C

C

C

A

d W

t

+

2

X

i = 1

Z

i

t

3 . 9


t

- a d a p t e d s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n i n

3

; Z

i

i = 1 ; 2 i s a c o m p o u n d

P o i s s o n p r o c e s s i n

3

. T h e P o i s s o n a r r i v a l i n t e n s i t y f u n c t i o n s a r e

1

X

t

; V

t

; Y

t

; t =

1

a n d

2

X

t

; V

t

; Y

t

; t =

2

V

t

. T h e t r a n s f o r m f u n c t i o n s o f t h e j u m p s i z e a r e

1

J

c

1

; c

2

; c

3

; t

1

1 ,

1

1

c

1

1 ,

2

1

c

2

2

J

c

1

; c

2

; c

3

; t

1

1 ,

1

2

c

1

w h e r e

k

J

i s t h e m e a n s i z e o f t h e t y p e - J J = 1 ; 2 j u m p i n f a c t o r k k = 1 ; 2

1 4


15/35


3 a

F r o m t h e p r e v i o u s s e c t i o n , w e k n o w '

3 a

i s o f f o r m

'

3 a

u ; X

t

; V

t

; Y

t

; t ; T = e x p t ; u +

1

t ; u X

T

+

2

t ; u V

T

+

3

t ; u Y

T

S i m i l a r t o m o d e l 2 a , t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n '

3 a

d o e s n o t h a v e a c l o s e d - f o r m s o l u t i o n . W e

n u m e r i c a l l y s o l v e f o r b o t h t ; u a n d t ; u

1

t ; u ;

2

t ; u ;

3

t ; u

0

f r o m t h e f o l l o w i n g

o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s O D E s

d

d t

t ; u + B t ; u ; t = 0 ; 0 ; u = u

d

d t

t ; u + A t ; u ; t = 0 ; 0 ; u = 0

3 1 0

w i t h

A ; t = , r +

3

P

i = 1

i

i

i

t ; u +

1

2

2

3

t

2

3

+

1

1

1 ,

1

1

1

t ; u 1 ,

2

1

2

t ; u

, 1

B ; t =

0

B

B

B

B

B

B

@

1

1

t ; u +

2 1

1

1 ,

1

2

1

t ; u

, 1

2

2

t ; u +

2 2

1

1 ,

1

2

1

t ; u

, 1 +

1

2

B

1

; t

3

3

t ; u

1

C

C

C

C

C

C

A

3 1 1

a n d

B

1

; t =

1

t ; u

1

t ; u +

2

t ; u

1

2

+

3

t ; u

2

3

+

2

t ; u

1

t ; u

1

2

+

2

t ; u

2

2

+

3

t ; u

1

2

2

3

+

3

t ; u

1

t ; u

2

3

+

2

t ; u

1

2

2

3

+

3

t ; u

2

2

2

3

3 . 2 E n e r g y C o m m o d i t y D e r i v a t i v e s

I n t h i s s u b s e c t i o n , w e p r o v i d e t h e p r i c i n g f o r m u l a e f o r t h e f u t u r e s , c a l l s , s p a r k s p r e a d o p t i o n s ,

a n d l o c a t i o n a l s p r e a d o p t i o n s . W e u s e p a r a m e t e r s g i v e n i n T a b l e ? ? t o e x p l i c i t l y c o m p u t e

t h e d e r i v a t i v e p r i c e s . C o m p a r i s o n s o f t h e d e r i v a t i v e p r i c e s i n d i e r e n t m o d e l s w i l l b e s h o w n .

3 . 2 . 1 F u t u r e s F o r w a r d P r i c e

A f u t u r e s f o r w a r d c o n t r a c t p r o m i s i n g t o d e l i v e r o n e u n i t o f c o m m o d i t y S

i

a t a f u t u r e t i m e

T f o r a p r i c e o f F h a s t h e f o l l o w i n g p a y o a t t i m e T

P a y o = S

i

T

, F

1 5


16/35

S i n c e t h e r e i s n o i n i t i a l p a y m e n t i s r e q u i r e d t o e n t e r i n t o a f u t u r e s c o n t r a c t , t h e f u t u r e s p r i c e

F i s g i v e n b y

F S

i

t

; t ; T = E

Q

S

i

T

F

t

R e w r i t e t h e a b o v e e x p r e s s i o n a s

F S

i

t

; t ; T = E

Q

S

i

T

F

t

= e

r

E

Q

e

, r

e x p X

i

T

F

t

W e t h e r e f o r e h a v e

F S

i

t

; t ; T = e

r

' e

T

i

; X

t

; 3 1 2

w h e r e = T , t ; ' u ; X

t

; i s t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n i n 3 . 1 ; e

i

i s t h e v e c t o r w i t h i

t h

c o m p o n e n t b e i n g 1 a n d o t h e r c o m p o n e n t s a l l b e i n g 0 .

F u t u r e s p r i c e m o d e l 1 a R e c a l l t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n '

1 a

i s g i v e n b y 3 . 5 a n d 3 . 6 .

B y s e t t i n g u = 1 ; 0

0

i n '

1 a

, w e g e t

'

1 a

1 ; 0

0

; X

t

; Y

t

; = e x p X

t

e x p ,

1

, r +

a

1

2

1

4

1

+

1

1 , e x p ,

1

, j

w h e r e = T , t , X

t

= l n S

t

, a

1

= 1 , e x p , 2

1

a n d j =

2

P

j = 1

j

J

1

l n

j

J

, 1

j

J

e x p ,

1

, 1

T h e r e f o r e b y 3 . 1 2 , w e h a v e t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n .

P r o p o s i t i o n 1 I n M o d e l 1 a , t h e f u t u r e s p r i c e o f c o m m o d i t y S

t

a t t i m e t w i t h d e l i v e r y t i m e

T i s

F S

t

; t ; T = e

r

'

1 a

1 ; 0

0

; X

t

; Y

t

;

= e x p X

t

e x p ,

1

+

a

1

2

1

4

1

+

1

1 , e x p ,

1

, j 3 . 1 3

w h e r e = T , t , X

t

= l n S

t

, a

1

= 1 , e x p , 2

1

a n d j =

2

P

j = 1

j

J

1

l n

j

J

, 1

j

J

e x p ,

1

, 1

N o t e t h a t t h e f u t u r e s p r i c e i n t h i s m o d e l i s s i m p l y t h e f u t u r e s p r i c e i n t h e m e a n - r e v e r s i o n

m o d e l w i t h o u t a n y j u m p s b u t s c a l e d u p b y a f a c t o r o f e x p , j . I f w e i n t e r p r e t t h e s p i k e s

i n c o m m o d i t y s p o t p r i c e a s u p w a r d s j u m p s f o l l o w e d s h o r t l y b y d o w n w a r d s j u m p s o f s i m i l a r

s i z e s , t h e n o v e r a l o n g t i m e h o r i z o n w e c a n s a y t h a t b o t h t h e f r e q u e n c i e s a n d t h e s i z e s o f t h e

1 6


17/35


18/35

Electricity Forward Curves under Different Models

$15.00

$20.00

$25.00

$30.00

$35.00

$40.00

$45.00

$50.00

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Deliverary Date (yrs)

Futures Price

Model 1a

Model 2a

Model 3a

GBM

F i g u r e 4 : F o r w a r d C u r v e s u n d e r D i e r e n t M o d e l s

w h e r e = T , t a n d G

1

, G

2

a r e o b t a i n e d b y s e t t i n g f a = e

i

, b = , e

i

, v = , l n K g a n d

f a = 0 , b = , e

i

, v = , l n K g i n 3 . 2 , r e s p e c t i v e l y .

G

1

= E

Q

e

, r

e x p X

T

1

X

T

l n K

F

t

=

F

i

t

e

, r

2

,

1

Z

1

0

I m ' 1 , w i ; 0 ; X

t

; e x p i w l n K

w

d w

= F

i

t

e

, r

1

2

,

1

Z

1

0

I m ' 1 , w i ; 0 ; X

t

; e x p r + i w l n K

w F

i

t

d w 3 . 1 5

w h e r e F

i

t

= e

r

' e

T

i

; X

t

; i s t h e t i m e - t f o r w a r d p r i c e o f c o m m o d i t y S

i

w i t h d e l i v e r y t i m e

T

G

2

= E

Q

e

, r

1

X

i

T

l n K

F

t

=

' 0 ; X

t

; t ; T

2

,

1

Z

1

0

I m ' i w e

i

; X

t

; t ; T e

, i w l n v

w

d w

= e

, r

1

2

,

1

Z

1

0

I m ' i w e

i

; X

t

; t ; T e

r , i w l n v

w

d w

!

3 . 1 6

C a l l o p t i o n p r i c e S u b s t i t u t i n g '

1 a

, '

2 a

, a n d '

3 a

i n t o 3 . 1 5 a n d 3 . 1 6 w e h a v e t h e c a l l

o p t i o n p r i c e g i v e n b y 3 . 1 4 u n d e r M o d e l 1 a , 2 a a n d 3 a , r e s p e c t i v e l y .

V o l a t i l i t y s m i l e F i g u r e 5 p l o t s t h e c a l l o p t i o n v a l u e s w i t h d i e r e n t m a t u r i t y t i m e u n d e r

d i e r e n t m o d e l s . T h e c a l l v a l u e s u n d e r a G e o m e t r i c B r o w n i a n m o t i o n G B M m o d e l a r e a l s o

1 8


19/35

Call Options Price under Different Models(Strike K = $35, rf = 4%)

$0.0

$5.0

$10.0

$15.0

$20.0

$25.0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Maturity Time (yrs)

Call Price

Model 1a

Model 2a

Model 3a

GBM

F i g u r e 5 : C a l l O p t i o n s P r i c e u n d e r D i e r e n t M o d e l s

p l o t t e d f o r c o m p a r i s o n p u r p o s e . N o t e t h a t , a s m a t u r i t y t i m e i n c r e a s e s , t h e m e a n - r e v e r s i o n

e e c t s i n a l l t h r e e m o d e l s c a u s e t h e v a l u e o f a c a l l o p t i o n t o c o n v e r g e t o a l o n g - t e r m v a l u e

w h i c h i s d i e r e n t f r o m t h e s p o t p r i c e o f t h e u n d e r l y i n g . F i g u r e 6 i l l u s t r a t e s t h e i m p l i e d

v o l a t i l i t y c u r v e s u n d e r t h e t h r e e i l l u s t r a t i v e m o d e l s f o r t h e p a r a m e t e r s e t s g i v e n i n T a b l e

3 . 4 .

3 . 2 . 3 C r o s s C o m m o d i t y S p r e a d O p t i o n

I n e n e r g y c o m m o d i t y m a r k e t s , c r o s s c o m m o d i t y d e r i v a t i v e s p l a y c r u c i a l r o l e s i n r i s k m a n a g e -

m e n t . C r a c k s p r e a d o p t i o n s i n c r u d e o i l m a r k e t s a s w e l l a s t h e s p a r k s p r e a d a n d l o c a t i o n a l

s p r e a d o p t i o n s i n e l e c t r i c i t y m a r k e t s a r e g o o d e x a m p l e s . D e n g , J o h n s o n a n d S o g o m o n i a n

1 9 9 8 i l l u s t r a t e d h o w t h e s p a r k s p r e a d o p t i o n s , w h i c h a r e d e r i v a t i v e s o n e l e c t r i c i t y a n d t h e

f o s s i l f u e l s u s e d t o g e n e r a t e e l e c t r i c i t y , c a n h a v e v a r i o u s a p p l i c a t i o n s i n r i s k m a n a g e m e n t

f o r u t i l i t y c o m p a n i e s a n d p o w e r m a r k e t e r s . M o r e o v e r , s u c h o p t i o n s a r e e s s e n t i a l i n a s s e t

v a l u a t i o n f o r f o s s i l f u e l e l e c t r i c i t y g e n e r a t i o n p l a n t s . A s p a r k s p r e a d c a l l S S C o p t i o n p a y s

o t h e p o s i t i v e p a r t o f t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e e l e c t r i c i t y s p o t p r i c e a n d t h e g e n e r a t i n g

f u e l c o s t . I t h a s t h e f o l l o w i n g p a y o f u n c t i o n a t t h e t i m e o f m a t u r i t y ,

S S C S

e

T

; S

g

T

; H ; T = m a x S

e

T

, H S

g

T

; 0

1 9


20/35

Implied Volatility Curves of Call Options(Maturity: 0.25yrs; Se =$24.63 )

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

110%

120%

130%

140%

$28 $38 $48 $58 $68 $78 $88 $98

Strike Price

Volatility

Model 1a

Model 2a

Model 3a

GBM

F i g u r e 6 : V o l a t i l i t y - S m i l e u n d e r D i e r e n t M o d e l s

w h e r e S

e

T

a n d S

g

T

a r e t h e p r i c e o f t h e e l e c t r i c i t y a n d t h e g e n e r a t i n g f u e l , r e s p e c t i v e l y ; t h e c o n -

s t a n t H , t e r m e d s t r i k e h e a t r a t e , r e p r e s e n t s t h e n u m b e r o f u n i t s o f g e n e r a t i n g f u e l c o n t r a c t e d

t o p r o d u c e o n e u n i t o f e l e c t r i c i t y .

A n o t h e r k i n d o f c r o s s c o m m o d i t y o p t i o n c a l l e d l o c a t i o n a l s p r e a d o p t i o n i s a l s o i n t r o d u c e d

i n D e n g , J o h n s o n a n d S o g o m o n i a n 1 9 9 8 . A l o c a t i o n a l s p r e a d o p t i o n p a y s o t h e p o s i t i v e

p a r t o f t h e c o m m o d i t y p r i c e d i e r e n c e a t t w o d i e r e n t d e l i v e r y p o i n t s . I n t h e c o n t e x t o f

e l e c t r i c i t y m a r k e t s , t h e y s e r v e t h e p u r p o s e s o f h e d g i n g t h e t r a n s m i s s i o n r i s k a n d t h e y c a n a l s o

b e u s e d t o v a l u e t r a n s m i s s i o n e x p a n s i o n p r o j e c t s a s s h o w n i n D e n g , J o h n s o n a n d S o g o m o n i a n

1 9 9 8 . T h e t i m e T p a y o o f a l o c a t i o n a l s p r e a d c a l l o p t i o n i s

L S C S

a

T

; S

b

T

; L ; T = m a x S

b

T

, L S

a

T

; 0

w h e r e S

a

T

a n d S

b

T

a r e t h e t i m e - T c o m m o d i t y p r i c e s a t l o c a t i o n a a n d b , a n d t h e c o n s t a n t L

i s a l o s s f a c t o r r e e c t i n g t h e f a c t t h a t t h e r e m i g h t b e a t r a n s p o r t a t i o n t r a n s m i s s i o n l o s s

a s s o c i a t e d w i t h s h i p p i n g o n e u n i t o f t h e c o m m o d i t y f r o m l o c a t i o n a t o b

O b s e r v i n g t h e s i m i l a r p a y o s t r u c t u r e s o f t h e a b o v e t w o s p r e a d o p t i o n s , w e d e n e a

g e n e r a l c r o s s - c o m m o d i t y s p r e a d c a l l o p t i o n a s a n o p t i o n w i t h t h e f o l l o w i n g p a y o a t m a t u r i t y

t i m e T ,

C S C S

1

T

; S

2

T

; K ; T ; T = m a x S

1

T

, K S

2

T

; 0

w h e r e K i s a s c a l i n g c o n s t a n t a s s o c i a t e d w i t h t h e s p o t p r i c e o f c o m m o d i t y 2 . T h e i n t e r p r e -

2 0


21/35

t a t i o n f o r K i s d i e r e n t f o r d i e r e n t i n s t r u m e n t s , f o r e x a m p l e , K i s e q u a l t o t h e h e a t r a t e

H f o r a s p a r k s p r e a d o p t i o n a n d i t i s t h e l o s s f a c t o r L f o r a l o c a t i o n a l s p r e a d o p t i o n .

T h e v a l u e o f a E u r o p e a n c r o s s - c o m m o d i t y s p r e a d c a l l o p t i o n o n S

1

t

a n d S

2

t

a t t i m e t i s

g i v e n b y

C S C S

1

t

; S

2

t

; K ; t = E

Q

e

, r T , t

m a x S

1

T

, K S

2

T

; 0 F

t

= E

Q

e

, r

e x p X

1

T

1

S

1

T

, K S

2

T

0

F

t

, E

Q

e

, r

K e x p X

2

T

1

S

1

T

, K S

2

T

0

F

t

= G

1

, G

2

3 . 1 7

w h e r e

G

1

= G 0 ; l n S

1

t

; l n K S

2

t

; t ; T ; 1 ; 0 ; ; 0

0

; , 1 ; 1 ; 0 ; ; 0

0

G

2

= G 0 ; l n S

1

t

; l n K S

2

t

; t ; T ; 0 ; 1 ; 0 ; ; 0

0

; , 1 ; 1 ; 0 ; ; 0

0

3 1 8

a n d r e c a l l t h a t

G v ; X

t

; t ; T ; a ; b =

' a ; X

t

; t ; T

2

,

1

Z

1

0

I m ' a + i w b ; X

t

; t ; T e

, i w v

w

d w

C r o s s c o m m o d i t y s p r e a d c a l l o p t i o n p r i c e u n d e r e a c h o f t h e t h r e e m o d e l s a r e o b t a i n e d

b y s u b s t i t u t i n g '

1 a

, '

2 a

, a n d '

3 a

i n t o 3 . 1 7 a n d 3 . 1 8 .

T h e s p a r k s p r e a d c a l l o p t i o n v a l u e w i t h s t r i k e h e a t r a t e H = 9 5 f o r d i e r e n t m a t u r i t y

t i m e i s s h o w n i n g u r e 7 .

Spark Spread Call under Different Models(Heat Rate: 9.5MMBtu/MWh, rf = 4%)

$0.0

$5.0

$10.0

$15.0

$20.0

$25.0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Maturity Time (yrs)

Spark Spread Call

Model 1aModel 2a

Model 3aGBM

F i g u r e 7 : S p a r k S p r e a d C a l l P r i c e u n d e r D i e r e n t M o d e l s

2 1


22/35

3 . 3 C o m p a r a t i v e S t a t i c s

L e t X

i

t

d e n o t e l n S

i

t

a n d e

i

b e t h e v e c t o r w i t h t h e i

t h

c o m p o n e n t b e i n g 1 a n d a l l o t h e r

c o m p o n e n t s b e i n g 0 . B y s e t t i n g a = 0 , b = e

i

i n 3 . 2 , w e o b t a i n t h e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n

f u n c t i o n C F

S

i

T

v o f S

i

T

u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l m e a s u r e a t t i m e t g i v e n t h e p a r a m e t e r s o f t h e

p r o c e s s a n d S

i

t

:

C F

S

i

T

v P r S

i

T

v

= P r X

i

T

l n v

= e

r T , t

E

Q

e

, r T , t

e x p 0 X

T

1

e

i

X

T

l n v

F

t

= e

r T , t

' 0 ; X

t

; t ; T

2

,

1

Z

1

0

I m ' i w e

i

; X

t

; t ; T e

, i w l n v

w

d w

!

=

1

2

,

1

Z

1

0

I m ' i w e

i

; X

t

; t ; T e

r T , t , i w l n v

w

d w 3 . 1 9

W h e n e v e r t h e c l o s e d - f o r m s o l u t i o n o f t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n ' i s a v a i l a b l e , w e c a n a n a l y t i -

c a l l y i n v e s t i g a t e t h e s t o c h a s t i c m o n o t o n i c i t y i n t h e r s t o r d e r s t o c h a s t i c d o m i n a n c e s e n s e

o f S

i

T

w i t h r e s p e c t t o t h e m o d e l p a r a m e t e r s a n d i n i t i a l c o n d i t i o n s f r o m 3 . 1 9 . T h e c o m -

p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s o f d e r i v a t i v e s e c u r i t y p r i c e w i t h r e s p e c t t o t h e p r o c e s s p a r a m e t e r s

c a n t h e r e f o r e b e e s t a b l i s h e d f o r t h o s e d e r i v a t i v e s e c u r i t i e s h a v i n g m o n o t o n i c p a y o f u n c t i o n s

i n t h e u n d e r l y i n g p r i c e S

i

T

. W e i l l u s t r a t e t h i s p o i n t t h r o u g h t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n a n d

c o r o l l a r y .

P r o p o s i t i o n 2 I n M o d e l 1 a , u n d e r p r o p e r c o n d i t i o n s f o r

j

J

a n d

j

J

, t h e t e r m i n a l p r i c e S

1

T

c o n d i t i o n i n g o n S

1

t

i s s t o c h a s t i c a l l y i n c r e a s i n g i n t h e r s t o r d e r s t o c h a s t i c d o m i n a n c e s e n s e

i n

i

, S

1

t

; a n d S

1

t

i s s t o c h a s t i c a l l y i n c r e a s i n g i n

1

,

1

b u t s t o c h a s t i c a l l y d e c r e a s i n g i n

2

,

,

2

P r o o f . S e e A p p e n d i x .

S i n c e t h e p a y o f u n c t i o n s o f t h e f u t u r e s a n d c a l l o p t i o n s a r e i n c r e a s i n g f u n c t i o n s i n u n d e r -

l y i n g p r i c e S

i

t

, w e h a v e t h e f o l l o w i n g c o r o l l a r y .

C o r o l l a r y 1 I n M o d e l 1 a , u n d e r p r o p e r c o n d i t i o n s f o r

j

J

a n d

j

J

t h e f u t u r e s a n d c a l l

o p t i o n p r i c e s o f S

1

a r e i n c r e a s i n g f u n c t i o n s o f

i

,

i

, S

1

t

,

1

, a n d

1

; b u t d e c r e a s i n g f u n c t i o n s

o f

2

a n d ,

2

2 2


23/35

P r o o f . B y P r o p o s i t o n 1 , t h e p r e v i o u s p r o p o s i t i o n , a n d a n e q u i v a l e n t d e n i t i o n o f t h e F i r s t

O r d e r S t o c h a s t i c D o m i n a n c e w h i c h s t a t e s t h a t i f X r s t o r d e r s t o c h a s t i c a l l y d o m i n a t e s Y ,

t h e n E f X E f Y f o r a n y i n c r e a s i n g f u n c t i o n f x

3 . 4 P a r a m e t e r E s t i m a t i o n

I n t h i s s u b s e c t i o n , w e i l l u s t r a t e h o w w e c a n e s t i m a t e t h e p a r a m e t e r s f o r t h e m o d e l s w e

c o n s i d e r e d i n S e c t i o n 3 . 1 u s i n g t h e e l e c t r i c i t y p r i c e d a t a . F o r i l l u s t r a t i o n p u r p o s e , w e p i c k

M o d e l 1 a a n d d e r i v e t h e m o m e n t c o n d i t i o n s f r o m t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n f o r t h e u n c o n d i -

t i o n a l d i s t r i b u t i o n o f t h e u n d e r l y i n g p r i c e r e t u r n . W e a s s u m e t h e r i s k p r e m i u m a s s o c i a t e d

w i t h t h e f a c t o r X t o b e p r o p o r t i o n a l t o X , i . e . t h e r i s k p r e m i u m i s o f f o r m

X

X . F o r

s i m p l i c i t y , w e f u r t h e r a s s u m e t h e r i s k p r e m i a a s s o c i a t e d w i t h t h e j u m p s a r e z e r o . T h e r e f o r e

t h e p r i c e p r o c e s s e s u n d e r t h e t r u e m e a s u r e i s o f t h e s a m e f o r m . I n p a r t i c u l a r ,

i

=

i

+

i

i

=

i

i

i

+

i

j

=

j

j

=

j

W e t h e n u s e t h e e l e c t r i c i t y a n d n a t u r a l g a s s p o t a n d f u t u r e s p r i c e s e r i e s t o g e t t h e e s t i m a t e s

f o r t h e p a r a m e t e r s u n d e r t h e t r u e m e a s u r e a n d t h e r i s k p r e m i a b y m a t c h i n g m o m e n t c o n -

d i t i o n s a n d t h e f u t u r e s p r i c e s . T h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n p r o v i d e s t h e m e a n , v a r i a n c e a n d

s k e w n e s s o f t h e l o g a r i t h m o f t h e e l e c t r i c i t y p r i c e i n M o d e l 1 a

P r o p o s i t i o n 3 I n M o d e l 1 a w h e r e X

t

= l n S

e

t

, l e t X

1

l i m

t ! 1

X

t

d e n o t e t h e u n c o n d i -

t i o n a l d i s t r i b u t i o n o f X

t

I f E X

1

n

1 , t h e n t h e m e a n , v a r i a n c e a n d s k e w n e s s o f X

1

a r e

m e a n =

1

+

1

1

+

2

2

1

v a r i a n c e =

2

1

2

1

+

1

2

1

+

2

2

2

1

s k e w n e s s =

4

p

2

1

1

3

1

+

2

3

2

2

1

+ 2

1

2

1

+ 2

2

2

2

3

2

2 3


24/35

P r o o f . I n t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n '

1 a

a s d e n e d b y 3 . 5 a n d 3 . 6 , l e t u = i w a n d

t ! 1 , w e o b t a i n t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f X

1

t o b e

X

1

w = e x p i w

1

,

w

2

2

1

4

1

,

2

X

j = 1

j

J

1

l n 1 , i w

j

J

I f E X

1

n

1 , t h e n t h e n

t h

m o m e n t o f X

1

i s g i v e n b y

E X

n

1

= , i

n

d

n

d w

n

X

1

w

w = 0

I n p a r t i c u l a r ,

E X

1

= , i

d

d w

X

1

w

w = 0

=

1

+

1

1

+

2

2

1

T h e f o r m u l a e f o r v a r i a n c e a n d s k e w n e s s a r e o b t a i n e d i n t h e s a m e f a s h i o n .

A s s h o w n i n t h e p r o o f o f t h e P r o p o s i t i o n 3 , w e c a n o b t a i n a s m a n y m o m e n t c o n d i t i o n s

a s w e d e s i r e f o r X

1

f r o m t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f X

1

f o r t h e e s t i m a t i o n o f t h e m o d e l

p a r a m e t e r s o f M o d e l 1 a . T h e p a r a m e t e r s i n M o d e l 2 a a n d M o d e l 3 a a r e o b t a i n e d b y

m i n i m i z i n g t h e m e a n s q u a r e d e r r o r s o f t h e t r a d e d o p t i o n s p r i c e s .

4 I m p l i c a t i o n t o C a p a c i t y V a l u a t i o n a n d t h e V a l u e o f

I n v e s t m e n t O p p o r t u n i t y

I n t h i s s e c t i o n , w e r s t i l l u s t r a t e h o w t h e e n e r g y c o m m o d i t y d e r i v a t i v e s e c u r i t i e s c a n b e

u t i l i z e d t o v a l u e i n s t a l l e d c a p a c i t y o r r e a l a s s e t s . N e x t w e e x a m i n e t h e v a l u e o f i n v e s t -

m e n t o p p o r t u n i t y a n d t h e t i m i n g o f i n v e s t m e n t w h e n t h e v a l u e p r o c e s s a s s o c i a t e d w i t h a n

i n v e s t m e n t h a s r a n d o m u p a n d d o w n j u m p s i n i t .

4 . 1 R e a l O p t i o n s V a l u a t i o n o f C a p a c i t y

F o r t h e e a s e o f e x p o s i t i o n , w e i l l u s t r a t e h o w t o u s e d e r i v a t i v e s e c u r i t i e s t o v a l u e r e a l a s s e t s

t h r o u g h p r e s e n t i n g e x a m p l e s f r o m t h e e l e c t r i c p o w e r i n d u s t r y . T h i s s u b s e c t i o n f o l l o w s t h e

m e t h o d o l o g y p r o p o s e d i n D e n g , J o h n s o n a n d S o g o m o n i a n 1 9 9 8 b u t h e r e t h e v a l u a t i o n i s

b a s e d o n a s s u m p t i o n s a b o u t e l e c t r i c i t y s p o t p r i c e p r o c e s s i n s t e a d o f f u t u r e s p r i c e p r o c e s s .

2 4


25/35

M o d e l 1 a M o d e l 2 a M o d e l 3 a

1

1 . 7 0 1 . 3 7 2 . 1 7

2

1 . 8 0 1 . 8 0 3 . 5 0

3

N A N A 1 . 8 0

1

3 . 4 0 3 . 3 0 3 . 2 0

2

0 . 8 7 0 . 8 7 0 . 8 5

3

N A N A 0 . 8 7

1

0 . 7 4 0 . 8 0 N A

2

0 . 3 4 0 . 3 4 0 . 8 0

3

N A N A 0 . 5 4

1

0 . 2 0 0 . 2 0 0 . 2 5

2

N A N A 0 . 2 0

1

6 . 0 8 6 . 4 2 6 . 4 3

1 1

0 . 1 9 0 . 2 6 0 . 2 3

1 2

N A N A 0 . 2 2

2

7 . 0 0 8 . 2 0 5 . 0 0

2 1

- 0 . 1 1 - 0 . 2 0 - 0 . 1 4

T a b l e 1 : P a r a m e t e r s f o r t h e I l l u s t r a t i v e M o d e l s

T a k e a f o s s i l f u e l e l e c t r i c p o w e r g e n e r a t i n g p l a n t , t h e s p r e a d b e t w e e n t h e p r i c e o f e l e c t r i c -

i t y a n d t h e f u e l t h a t i s u s e d t o g e n e r a t e i t d e t e r m i n e s t h e e c o n o m i c v a l u e o f t h e g e n e r a t i o n

a s s e t t h a t c a n b e u s e d t o t r a n s f o r m t h e f u e l i n t o e l e c t r i c i t y . T h e a m o u n t o f f u e l t h a t a

p a r t i c u l a r g e n e r a t i o n a s s e t r e q u i r e s t o g e n e r a t e a g i v e n a m o u n t o f e l e c t r i c i t y d e p e n d s o n

t h e a s s e t ' s e c i e n c y . T h i s e c i e n c y i s s u m m a r i z e d b y t h e a s s e t ' s o p e r a t i n g h e a t r a t e ,

w h i c h i s d e n e d a s t h e n u m b e r o f B r i t i s h t h e r m a l u n i t s B t u s o f t h e i n p u t f u e l m e a s u r e d i n

m i l l i o n s r e q u i r e d t o g e n e r a t e o n e m e g a w a t t h o u r M W h o f e l e c t r i c i t y . T h u s t h e l o w e r t h e

o p e r a t i n g h e a t r a t e , t h e m o r e e c i e n t t h e f a c i l i t y . T h e r i g h t t o o p e r a t e a g e n e r a t i o n a s s e t

w i t h o p e r a t i n g h e a t r a t e H t h a t u s e s g e n e r a t i n g f u e l g i s c l e a r l y g i v e n b y t h e v a l u e o f a s p a r k

s p r e a d o p t i o n w i t h s t r i k e " h e a t r a t e H w r i t t e n o n g e n e r a t i n g f u e l g b e c a u s e t h e y y i e l d t h e

s a m e p a y o . S i m i l a r l y , t h e v a l u e o f a t r a n s m i s s i o n a s s e t t h a t c o n n e c t s l o c a t i o n 1 t o l o c a t i o n

2 i s e q u a l t o t h e s u m o f t h e v a l u e o f t h e l o c a t i o n a l s p r e a d o p t i o n t o b u y e l e c t r i c i t y a t l o c a t i o n

1 a n d s e l l i t a t l o c a t i o n 2 a n d t h e v a l u e o f t h e o p t i o n t o b u y e l e c t r i c i t y a t l o c a t i o n 2 a n d

2 5


26/35

s e l l i t a l o c a t i o n 1 i n b o t h c a s e s , l e s s t h e a p p r o p r i a t e t r a n s m i s s i o n c o s t . T h i s e q u i v a l e n c e

b e t w e e n t h e v a l u e o f a p p r o p r i a t e l y d e n e d s p a r k a n d l o c a t i o n a l s p r e a d o p t i o n s a n d t h e r i g h t

t o o p e r a t e a g e n e r a t i o n o r a t r a n s m i s s i o n a s s e t c a n b e e a s i l y u s e d t o v a l u e s u c h a s s e t s .

W e d e m o n s t r a t e t h i s a p p r o a c h b y d e v e l o p i n g a s i m p l e s p a r k s p r e a d b a s e d m o d e l o f t h e

v a l u e o f a f o s s i l f u e l g e n e r a t i o n a s s e t . O n c e e s t a b l i s h e d , w e t t h e m o d e l a n d u s e i t t o

g e n e r a t e e s t i m a t e s o f t h e v a l u e o f s e v e r a l g a s - r e d p l a n t s t h a t h a v e r e c e n t l y b e e n s o l d . T h e

a c c u r a c y o f t h e m o d e l i s t h e n e v a l u a t e d b y c o m p a r i n g t h e e s t i m a t e s c o n s t r u c t e d t o t h e p r i c e s

a t w h i c h t h e a s s e t s w e r e a c t u a l l y s o l d .

I n t h e a n a l y s i s w e m a k e t h e f o l l o w i n g s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n s a b o u t t h e o p e r a t i n g c h a r -

a c t e r i s t i c s o f t h e g e n e r a t i o n a s s e t s u n d e r c o n s i d e r a t i o n :

A s s u m p t i o n 1 R a m p - u p s a n d r a m p - d o w n s o f t h e f a c i l i t y c a n b e d o n e w i t h v e r y l i t t l e a d -

v a n c e n o t i c e .

A s s u m p t i o n 2 T h e f a c i l i t y ' s o p e r a t i o n e . g . s t a r t - u p s h u t d o w n c o s t s a n d m a i n t e n a n c e

c o s t s a r e c o n s t a n t .

T h e s e a s s u m p t i o n s a r e r e a s o n a b l e , s i n c e f o r a t y p i c a l g a s t u r b i n e c o m b i n e d c y c l e c o g e n e r -

a t i o n p l a n t t h e r e s p o n s e t i m e r a m p u p d o w n i s s e v e r a l h o u r s a n d t h e v a r i a b l e c o s t s e . g .

o p e r a t i o n a n d m a i n t e n a n c e a r e g e n e r a l l y s t a b l e o v e r t i m e .

T o c o n s t r u c t a s p a r k s p r e a d b a s e d e s t i m a t e o f t h e v a l u e o f a g e n e r a t i o n a s s e t , w e e s t i m a t e

t h e v a l u e o f t h e r i g h t t o o p e r a t e t h e a s s e t o v e r i t s r e m a i n i n g u s e f u l l i f e . T h i s v a l u e c a n b e

f o u n d b y i n t e g r a t i n g t h e v a l u e o f t h e s p a r k s p r e a d o p t i o n s o v e r t h e r e m a i n i n g l i f e o f t h e

a s s e t . S p e c i c a l l y ,

D e n i t i o n 1 L e t o n e u n i t o f t h e t i m e - t c a p a c i t y r i g h t o f a f o s s i l f u e l r e d e l e c t r i c p o w e r

p l a n t r e p r e s e n t t h e r i g h t t o c o n v e r t K

H

u n i t s o f g e n e r a t i n g f u e l i n t o o n e u n i t o f e l e c t r i c i t y

b y u s i n g t h e p l a n t a t t i m e t , w h e r e K

H

i s t h e p l a n t ' s o p e r a t i n g h e a t r a t e .

T h e p a y o o f o n e u n i t o f t i m e - t c a p a c i t y r i g h t i s m a x S

t

E

, K

H

S

t

G

; 0 , w h e r e S

t

E

a n d S

t

G

a r e

t h e s p o t p r i c e s o f e l e c t r i c i t y a n d g e n e r a t i n g f u e l a t t i m e t , r e s p e c t i v e l y . D e n o t e t h e v a l u e o f

o n e u n i t o f t h e t i m e - t c a p a c i t y r i g h t b y u t

F o r a n a t u r a l g a s r e d p o w e r p l a n t , t h e v a l u e o f u t i s g i v e n b y t h e c o r r e s p o n d i n g s p a r k

s p r e a d c a l l o p t i o n o n e l e c t r i c i t y a n d n a t u r a l g a s w i t h a s t r i k e h e a t r a t e o f K

H

. H o w e v e r , f o r

a c o a l - r e d p o w e r p l a n t , i t o f t e n h a s a l o n g - t e r m c o a l s u p p l y c o n t r a c t w h i c h g u a r a n t e e s t h e

2 6


27/35

s u p p l y o f c o a l a t a p r e d e t e r m i n e d p r i c e c . T h e r e f o r e t h e p a y o o f o n e u n i t o f t i m e - t c a p a c i t y

r i g h t f o r a c o a l p l a n t d e g e n e r a t e s t o t h a t o f a c a l l o p t i o n w i t h s t r i k e p r i c e K

H

c . I n t h i s

c a s e u t i s e q u a l t o t h e v a l u e o f a c a l l o p t i o n .

D e n i t i o n 2 D e n o t e t h e v i r t u a l v a l u e o f o n e u n i t o f c a p a c i t y o f a f o s s i l f u e l p o w e r p l a n t

b y V . T h e n V i s e q u a l t o o n e u n i t o f t h e p l a n t ' s t i m e - t c a p a c i t y r i g h t o v e r t h e r e m a i n i n g l i f e

0 ; T o f t h e p o w e r p l a n t , i . e . V =

Z

T

0

u t d t

A c a p a c i t y v a l u e c u r v e u s i n g t h e i n i t i a l p r i c e d a t a a t P a l o V e r d e o n 1 0 1 5 9 7 a n d t h e

p a r a m e t e r s o b t a i n e d b y t t i n g M o d e l 1 a t o e l e c t r i c i t y p r i c e a t P a l e V e r d e a n d n a t u r a l g a s

p r i c e a t H e n r y H u b i s s h o w n i n F i g u r e 8 . F o r c o m p a r i s o n p u r p o s e , F i g u r e 8 a l s o p l o t s

$0

$50

$100

$150

$200

$250

$300

$350

$400

7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5

Heat Rate (MMBtu/MWh)

$/kW

OPT Value (PV10/15/97)

OPT Value (COB10/15/97)

DCF Value (PV10/15/97)

DCF Value (COB10/15/97)

Gas Fired Power Plant Capacity Value ($/kW)(Plant life time: 15 years; r_dist =10%; r_f =4.5%; rho =0.3)

F i g u r e 8 : V a l u e o f C a p a c i t y u n d e r D i e r e n t M o d e l s

t h e t w o c a p a c i t y v a l u e c u r v e s o b t a i n e d b y u s i n g t h e d i s c o u n t e d c a s h o w m e t h o d a n d b y

a s s u m i n g e l e c t r i c i t y s p o t p r i c e f o l l o w s g e o m e t r i c B r o w n i a n m o t i o n G B M , r e s p e c t i v e l y . A t

t h e h e a t r a t e l e v e l o f 9 5 0 0 , t h e c a p a c i t y v a l u e o f a n a t u r a l g a s p o w e r p l a n t i s a r o u n d $ 2 0 0 k W

u n d e r M o d e l 1 a . T h e d i s c o u n t e d c a s h o w m e t h o d p r e d i c t s a v a l u e o f $ 2 9 k W . T o p u t

2 7


28/35

t h i n g s i n p e r s p e c t i v e , w e t a k e a l o o k a t t h e f o u r g a s - r e d p o w e r p l a n t s w h i c h S o u t h e r n C a l -

i f o r n i a E d i s o n r e c e n t l y s o l d t o H o u s t o n I n d u s t r i e s . U n f o r t u n a t e l y , n o t a l l o f t h e i n d i v i d u a l

p l a n t d o l l a r i n v e s t m e n t s h a v e b e e n m a d e p u b l i c y e t . A s a p r o x y w e t h e r e f o r e u s e t h e t o t a l

i n v e s t m e n t m a d e b y H o u s t o n I n d u s t r i e s $ 2 3 7 m i l l i o n t o p u r c h a s e f o u r p l a n t s - C o o l w a -

t e r , E l l w o o d , E t i w a n d a a n d M a n d a l a y , d i v i d e d b y t h e t o t a l n u m b e r o f m e g a w a t t s M W

o f c a p a c i t y 2 1 7 2 M W t o g e t a p p r o x i m a t e l y $ 1 1 0 , 0 0 0 p e r M W o r $ 1 1 0 k W o f c a p a c i t y .

H o w e v e r , t h e C o o l w a t e r P l a n t

2

, i n D a g g e t t , C a l i f o r n i a , i s t h e m o s t e c i e n t w i t h a n a v e r a g e

h e a t r a t e o f 9 , 5 0 0 o f t h e f o u r p l a n t s i n t h e p a c k a g e a n d t h u s s h o u l d h a v e a h i g h e r v a l u e

p e r M W . W e t h e r e f o r e a s s u m e t h a t t h e i m p l i e d m a r k e t v a l u e f o r C o o l w a t e r c o u l d r a n g e

f r o m $ 1 1 0 , 0 0 0 t o $ 2 2 0 , 0 0 0 p e r M W , o r e q u i v a l e n t l y , $ 1 1 0 k W t o $ 2 2 0 k W . O u r r e a l o p t i o n s

b a s e d e s t i m a t e o f t h e c a p a c i t y v a l u e e x p l a i n s t h e m a r k e t v a l u a t i o n m u c h b e t t e r t h a n d o e s

t h e d i s c o u n t e d c a s h o w e s t i m a t e .

4 . 2 V a l u e o f I n v e s t m e n t O p p o r t u n i t y a n d W h e n t o I n v e s t

I n t h e p r e v i o u s s u b s e c t i o n , w e o b t a i n t h e v a l u e o f i n s t a l l e d c a p a c i t y b y v i e w i n g t h e c a p a c i t y

a s a r e a l o p t i o n w h o s e p a y o s t r u c t u r e c a n b e r e p l i c a t e d b y a b u n c h o f n a n c i a l o p t i o n s .

W e c o n s i d e r n o w t h e f o l l o w i n g r e l a t e d q u e s t i o n s : g i v e n t h e o p p o r t u n i t y t o i n c u r a s u n k

i n v e s t m e n t c o s t K t o i n s t a l l t h e c a p a c i t y a n d r e a l i z e t h e v a l u e V , w h a t i s t h e v a l u e o f s u c h

a n i n v e s t m e n t o p p o r t u n i t y a n d w h e n i s t h e b e s t t i m e t o r e a l i z e t h a t o p t i o n . T h e e x i s t -

i n g l i t e r a t u r e s s u g g e s t t h a t w i t h o u t j u m p s i n t h e i n v e s t m e n t v a l u e p r o c e s s t h e i n v e s t m e n t

o p p o r t u n i t y v a l u e d e p e n d s o n t h e c o n v e n i e n c e y i e l d a n d v o l a t i l i t y o f t h e i n v e s t m e n t v a l u e

p r o c e s s a n d a r m s h o u l d w a i t t o i n v e s t u n t i l t h e v a l u e V r i s e s t o a t h r e s h o l d l e v e l V

. W h e n

t h e s p o t p r i c e p r o c e s s o f a c o m m o d i t y e x h i b i t s s i g n i c a n t j u m p s , i t i s c o n c e i v a b l e t h a t t h e

v a l u e o f i n v e s t m e n t i n i t s p r o d u c t i o n f a c i l i t y s h o u l d a l s o j u m p u p a n d d o w n f

stochastic models of energy commodity prices and their applications

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