STEWART IAN - Intimidad Poligonal

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<p>En busca de la intimidad poligonal Stewart, Ian La geometra combinatoria es uno de los campos ms atractivos de las matemticas. Est repleta de problemas de apariencia sencilla, para los que no se conoce solucin. En tales problemas se pide hallar configuraciones de lneas rectas, curvas o de otras figuras geomtricas, y alcanzar cierto objetivo con mxima eficiencia. Me ceir al "problema del cuadrado opaco" y algunas de sus fascinantes variaciones. Berndt Kawohl, de la Universidad de Colonia, me ha hecho prestar atencin a tal problema; esta exposicin se basa en un artculo que me remiti. Supongamos que poseemos un terreno, que por sencillez supondremos cuadrado y de 1 km de lado. Para asegurar la intimidad, deseamos construir una valla opaca, una barrera que cierre el paso a toda mirada, esto es, a toda lnea recta que atraviese el terreno vallado, Por economa, nos gustara que la valla sea de la mnima longitud posible. Qu forma deber drsele? La valla puede ser tan complicada como se quiera, y estar compuesta por multitud de piezas, sean rectas o curvadas. La solucin ms obvia es, seguramente, alzar una valla a lo largo de todo el permetro de la parcela, con una longitud total de 4 km (figura A). Pero unos segundos de reflexin nos hacen ver una mejora: dejar sin vallar uno de los lados, y construir una U con esquinas en ngulo recto (figura 1 B). La longitud se ha reducido ahora a 3 km. Esta es la valla ms corta posible, si se exige la condicin adicional de que forme una nica lnea, sea poligonal o curva. Por qu? Porque toda valla opaca ha de contener a los cuatro vrtices del cuadrado; la U de tres lados es la ms corta de todas las curvas que contienen a todos los vrtices. Sin esta restriccin podemos, empero, construir una valla ms corta que todava nos resguarde de la mirada ajena. En la figura 1 C se dibuja una valla cuya longitud es 1 + raz de 3 (alrededor de 2,732 km). Todos los ngulos que forman las paredes son de 120 grados. Las configuraciones de esta clase reciben el nombre de "rboles de Steiner"; con ngulos de 120 grados se logra un rbol de longitud mnima. Se trata de la valla ms corta que forma una figura conexa. Si se admite que el vallado conste de varias piezas desconectadas, su longitud total puede reducirse hasta unos 2,639 km (figura 1D). Las tres lneas de la mitad superior del diagrama tambin concurren tendiendo ngulos de 120 grados. Es opinin general que este ejemplo determina la valla opaca de mnima longitud correspondiente a una parcela cuadrada, pero ello no ha sido demostrado an. A decir verdad, los matemticos no tienen la certeza de que exista una valla opaca de longitud mnima. Hipotticamente, quiz se pudiera seguir reduciendo cada vez un poquito ms tal longitud dando a la valla formas de complicacin creciente. S ha sido demostrado que, para cada nmero dado de componentes conexas, existe una valla opaca de longitud mnima. Lo que se ignora es si la longitud mnima sigue decreciendo conforme aumenta, sin lmite, el nmero de componentes conexas, y si una valla de infinitas componentes conexas puede dar mejores resultados que todas las vallas con nmero finito de componentes. Aunque estas posibilidades parecen inverosmiles, no han podido descartarse. Kawohl ha proporcionado una preciosa demostracin de que la figura 1 D corresponde a la valla ms corta compuesta exactamente por dos componentes. Prueba que una de las componentes ha de contener tres de los vrtices del cuadrado, y la otra, al vrtice restante. La primera componente ha de ser, por tanto, el rbol de Steiner mnimo que conecta tres vrtices, y determina la configuracin que vemos en la parte superior de la figura. La envoltura convexa de esta configuracin -la mnima regin convexa que la contiene- es el tringulo resultante de cortar al cuadrado en dos a lo largo de</p> <p>una diagonal. La segunda componente ha de ser la lnea de mnima longitud que conecte a dicho vrtice con la diagonal: la recta diagonal que va desde tal vrtice hasta el centro del cuadrado. Qu ocurre si la parcela no es cuadrada? Si se trata de un tringulo equiltero, la mnima valla opaca es el rbol de Steiner que se obtiene al unir cada vrtice con el centro del tringulo mediante una recta (figura 1 E). En el caso de un pentgono regular, la mejor de las vallas opacas conocidas consta de tres piezas (figura 1 F). Una de las piezas es un rbol de Steiner que conecta tres vrtices adyacentes del pentgono. La segunda es tramo recto que une al cuarto vrtice con la envoltura convexa de los otros tres. La tercera pieza es otro segmento que une el quinto vrtice con la envoltura convexa de los otros cuatro. No se ha demostrado que tal valla tenga longitud mnima, pero tampoco ha sido descubierta ninguna valla opaca ms corta.</p> <p>La valla ms conocida para el hexgono regular es parecida (figura 1 G). Dado que los ngulos del hexgono son de 120 grados, el rbol de Steiner est formado por tres lados consecutivos de la propia figura, que conectan cuatro vrtices consecutivos. La segunda componente de la valla es la lnea ms corta que lleve desde un quinto vrtice hasta la envoltura convexa del rbol de Steiner, y la tercera, la lnea ms corta que conecte al sexto vrtice con la envoltura convexa de los otros cinco. Aqu tampoco se ha podido demostrar que esta valla tenga longitud mnima. Una construccin del mismo tipo puede servir para trazar una valla presuntamente mnima para cualquier polgono que posea un nmero par de lados (figura 2 H). Basta dividir el polgono en dos mediante un dimetro que una dos vrtices opuestos. La primera componente de la valla est constituida por todos los lados yacentes en una de las mitades, que forman la equivalente poligonal de una semicircunferencia. La segunda componente es la lnea ms corta que conecta al vrtice siguiente con la envoltura convexa de la primera componente. La tercera componente es la lnea</p> <p>ms corta que conecte al vrtice siguiente con la envoltura convexa de las dos primeras componentes, y as sucesivamente. Un polgono regular con gran nmero de lados se parece mucho a una circunferencia. Cul es la valla ms corta que logra hacer opaco a un crculo? Supongamos, por sencillez, que el radio del crculo sea de 1 km. La valla ms sencilla que se nos ocurre es la circunferencia del -crculo, que tiene una longitud de 2 pi, unos 6,283 km. Es posible mejorar este resultado si se permite que la valla salga al exterior de la parcela circular. Alcemos la valla a lo largo de una semicircunferencia, creando un semicrculo, y prolongumosla aadiendo dos lneas de 1 km que sean tangentes al crculo en los extremos del semicrculo (figura 2 l). La forma en U resultante constituye una valla opaca para el crculo, y su longitud es de pi + 2, unos 5,142 km.</p> <p>1. Las vallas opacas son barreras que bloquean toda mirada a travs de una figura dada. Para un cuadrado una valla perimetral (A) y una valla trilateral en forma de U (B) son opacas, pero un rbol de Steiner (C) y una valla de dos componentes (D) son mas cortas. La valla opaca mnima para un triangulo equiltero sigue siendo un rbol de Steiner (E). Entre las vallas opacas conocidas para el pentgono regular (F) y el hexgono regular (G), las mas cortas constan, en cada caso, de tres componentes. Todas las longitudes indicadas (I) son aproximadas, excepto en los casos A y B.</p> <p>Se puede demostrar que esta figura define la valla opaca mnima ms corta si nos empezamos en que forme una curva simple; es decir, que sea de una pieza y carezca de puntos de ramificacin. Otra descripcin posible del problema consiste en imaginar zanjas en lugar de vallas. Supongamos sabido que a una distancia mxima de 1 km de un punto dado pasa una tubera recta. Cul es la mnima zanja que podemos excavar, con la certeza de dar con la tubera? Sabemos que esta conduccin ha de atravesar un crculo de un kilmetro de radio, con centro en el punto de que se trate y, por consiguiente, ha de interceptar a cualquier valla opaca correspondiente a ese crculo. As pues, debemos excavar una zanja en forma de valla opaca. En esta variante del problema resulta natural permitir que la zanja salga al exterior del crculo; en cambio, las vallas suelen construirse en el terreno propio, no en los vecinos. Kawohl demuestra que la valla opaca de longitud mnima enteramente contenida en el disco no puede medir ms de pi + 2 km. Para ello, considera la valla conjeturada para un polgono de gran nmero par de lados, que se aproxima mucho al crculo. Un clculo trigonomtrico demuestra que la longitud de la valla</p> <p>presentada en la figura 2 H tiende hacia pi + 2 al ir creciendo ilimitadamente el nmero de lados del polgono. Ahora bien, son las vallas conjeturadas realmente las ms cortas o existe algn procedimiento para abreviarlas un poco? Y qu sucede en el caso de otras figuras, como los polgonos irregulares (convexos o no),las elipses o los semicrculos? Qu decir del mismo problema en tres, dimensiones (el cubo o la esfera opacos)? Los amantes de las matemticas recreativas tienen, mucho donde investigar.</p> <p>2. Un polgono con numero par grande de lados tiene una valla opaca con muchas componentes (H). Su longitud de la mnima valla opaca simple correspondiente a un circulo (I).</p> <p>Revista Investigacin y Ciencia: 296 - MAYO 2001</p>