Statystyka – powtórzenie (I semestr)

©Rafał M. Frąk

TEORIA

Statystyka

Statystyka zajmuje się badaniem procesu zbierania oraz interpretacji danych liczbowych lub jakościowych.

Przedmiotem statystyki są metody badania prawidłowości występujących w zjawiskach masowych.

Rodzaje cech statystycznych

cechy mierzalne- cechy statystyczne, których wartości są liczbami wyznaczonymi w naturalny sposób przy pomocy pomiaru lub policzenia (np. zarobki)- wyrożniamy cechy mierzalne ciągłe i nieciągłe

cechy niemierzalne (tj. jakościowe)- cechy statystyczne, których naturalne wartości nie są liczbami, mogą być jednak przedstawione przy pomocy liczb (zakodowane) (np. kolor oczu)

Badanie statystyczne

DEFINICJA:- Jest to każde badanie zbiorowości statystycznej przeprowadzone przy pomocy metod statystycznych.

CEL:- Pozyskanie całościowego obrazu dotyczącego rozmiaru i struktury badanej zbiorowości oraz wystepujących w niej zależności i związków.

Etapy badania statystycznego

dokonanie obserwacji statystycznej(zebranie danych)

opracowanie zebranych danych

dokonanie prezentacji danych(w postaci tabelarycznej i graficznej)

analiza statystyczna

wnioskowanie statystyczne.

Metoda statystyczna

Jest to swoisty sposób badania liczbowego specjalnego typu zbiorowości.

Metody statystyczne stosowane są przy zbieraniu danych, ich opracowywaniu, analizie, wnioskowaniu i interpretacji wyników.

Metoda statystyczna obejmuje nie tylko sposoby postępowania, ale i również określone techniki badawcze.

Metody statystyczne

M e t o d y b a d a ńs t a t y s t y c z n y c h

Pełne - spis - rejestracja bieżąca - sprawozdawczość

C z c i o w eę ś - m e t o d r e p e r e z e n t a c y j ną ą - b a d a n i a m o n o g r a f i c z n e - b a d a n i a a n k i e t o w e

S z a c u n k i

Narzędzia prezentacji danych statystycznych Tablice statystyczne

Wykresy statystyczne, np.:- histogram- wykres skrzynkowy- wykres rozrzutu- piramida populacyjna

Opisy słowne (interpretacje i konkluzje)

Rodzaje miar statystycznych średnie

- wyznaczają przeciętna wartość cechy statystycznej miary zróżnicowania (lub zmienności, rozproszenia,

dyspersji)- wyznaczają siłę zróżnicowania wartości cechy statystycznej

miary asymetrii (skośności)- wyznaczają siłę skupienia wartości cechy statystycznej bliżej dolnej lub górnej granicy zbioru wartości

miary spłaszczenia (koncentracji)- wyznaczają siłę skupienia wartości cechy statystycznej wokół wartości przeciętnej

Kształt rozkładu normalnego Rozkład normalny jest rozkładem najczęściej występującym

w naturze, np. dla cech statystycznych takich jak:- wzrost człowieka- inteligencja mierzona testami

f(x)

a b x

Krzywa normalna jest rozkładem symetrycznym Pole powierzchni pod krzywą normalną pomiędzy

punktami a oraz b wyrażone w procentach, informuje nas jaki procent obserwacji zawiera się między a oraz b

Rodzaje średnichŚrednie klasyczne – skonstruowane jedynie dla skali

metrycznej:- arytmetyczna- geometryczna- harmoniczna- kwadratowa

Średnie pozycyjne:- wartość modalna (dla wszystkich typów skali)- wartość środkowa (skala porządkowa, metryczna)- kwartyle, percentyle, decyle (skala porządkowa, metryczna)

Średnie pozycyjne - Moda (dominanta)

Moda jest to wartość cechy statystycznej najliczniej reprezentowana w zbiorze obserwacji, czyli wartość występująca z największą częstością.

Moda musi być pojedynczą wartością. Jeśli w zbiorze obserwacji nie istnieje pojedyncza wartość cechy statystycznej występująca najczęściej, to moda nie istnieje w tej zbiorowości.

Średnie pozycyjne - Mediana (wartość środkowa)

Mediana jest to wartość cechy statystycznej, dzieląca zbiór obserwacji na 2 liczebnie równe części (zbiór obserwacji o wartościach mniejszych lub równych oraz zbiór obserwacji o wartościach większych lub równych od wartości mediany).

Średnie pozycyjne - Kwartyle

Kwartyl dzieli uporządkowany co do wartości zbiór obserwacji indywidualnych na 2 części (zbiór obserwacji o wartościach mniejszych oraz zbiór obserwacji o wartościach większych od kwartyla):- kwartyl pierwszy Q

1 (zwany również dolnym) dzieli

zbiór obserwacji w stosunku 25% : 75%- kwartyl trzeci Q

3 (zwany również górnym) dzieli

zbiór obserwacji w stosunku 75% : 25%W myśl tego rozumowania medianę można uznać

za kwartyl drugi Q2, gdyż dzieli zbiór obserwacji w

stosunku 50% : 50% („pół na pół”)

Miary zróżnicowania

miary zróżnicowania zwane również miarami zmienności, rozproszenia lub dyspersji pozwalają określić jakie jest zróżnicowanie wartości cechy statystycznej w zbiorze obserwacji

(jak mocno „rozproszone” są poszczególne obserwacje)

Reguła „trzech sigm”

Odchylenie standardowe interpretuje się zwykle w oparciu o własności rozkładu normalnego:w przedziale od średnia-3s do średnia+3s

zawiera się 99,73% obserwacji,w przedziale od średnia-2s do średnia+2s

zawiera się 95,45% obserwacji,w przedziale od średnia-s do średnia+s

zawiera się 68,28% obserwacji.

OZNACZENIAi

WZORY

Oznaczenia

}{ neee ,...,, 21

.

n-elementowa zbiorowość statystyczna

X, Y, Z cechy statystyczne

x, y, z wartości cech statystycznych

ix wartość, jaką przyjmuje cecha na i-tym elemencie zbiorowości

Oznaczenia

.

Zwykle rezygnuje się z bezpośredniego operowania przedziałami, gdyż jest to niewygodne. Zamiast przedziałami posługujemy się ich reprezentantami liczbowym – zwykle są to środki przedziałów

kx&

175 :(170,180] przedzialu tego-k dla np. =kx

Oznaczenia

.

W ten sam sposób oznacza się warianty cechy, co pozwala uzyskać pewną jednolitość oznaczeń i wzorów

kx&

Częstości względne

nnw k

k =

Częstości skumulowane

11 nns =

ksksk nnn += − 1

Częstości względne skumulowane

11 wws =

ksksk www += − 1

Średnia arytmetyczna

∑=

=

=ni

iixnx

1

1 oznacza i–tą obserwację ze zbioru obserwacji indywidualnych.ix

- Dla zbiorowości statystycznej (wartości cechy pogrupowane w przedziały:

- Dla małej zbiorowości statystycznej (bez konieczności grupowania danych w przedziały):

∑=

=

=Kk

kk

o

k xnnx1

1 k

ox

K oznacza ilość wariantów cechy statystycznej

oznacza k–ty wariant cechy lub środek k-tego przedziału.

Wyznaczanie mody – dla rozkładu ciągłego

( ) ( )

moda z przedzialu dlugosc moda z przedziale

po egonastepujac przedzialu liczebnosc moda z przedzial

acegopoprzedzaj przedzialu liczebnosc moda z przedzialu liczebnosc

moda z przedzialu granica dolna

1

1

11

1

−∆

−

−−−

−+−−∆+≈

+

−

+−

−

d

d

d

d

dddd

dddo

n

nnx

nnnnnnxM

Wyznaczanie mediany – dla rozkładu ciągłego

mediana z przedzialu dlugosc mediana z przedzialu liczebnosc

mediany przedzialacych poprzedzaj

wprzedzialo dla askumulowan liczebnosc

mediana z przedzialu granica dolna 2

1

1

1

1

1

−∆−

−

−

∆

−++≈

∑

∑

−

=

−

=

d

d

kk

d

d

d

kkde

n

n

xn

nnxM

PRZYKŁADYZADAŃ

ZADANIE 1

Wariant nk wk nsk wsk

BMW 2Fiat 12

Peugeot 7Skoda 12

Renault 8

RAZEM ------------ ------------

Losowo wybranych pracowników firmy ABC zapytano o markę ichsamochodu i otrzymano następujące wyniki, zestawione w tabeli roboczej

ZADANIE 1

.

● Uzupełnij brakujące wartości w tabeli roboczej, a więc oblicz następujące wielkości:- częstości względne,- liczebności skumulowane,- częstości względne skumulowane.

● Przedstaw daną zbiorowość graficznie na histogramie i wyznacz modę.

ZADANIE 2

.

● Pogrupuj następujące wartości cechy X (X-zarobki pracownicze w firmie ABC) w przedziały.

900, 1300, 1100, 900, 1100, 900, 1100, 900, 1000, 1200, 1000, 1200, 900, 1100

- Przedstaw zbiór przedziałów w tabeli roboczej.

- Oblicz średnią arytmetyczną danej cechy statystycznej w omawianej zbiorowości (korzystając z tabeli roboczej).

Moda – ZADANIE 3A

Przebadano zbiorowość osób pod kątem cechy statystycznej X – marka posiadanego samochodu:

Przypadek 1:Fiat, Toyota, Citroen, Toyota, Ford, Fiat, Peugeot, Fiat, Citroen, Peugeot, Peugeot, BMW, Toyota, Fiat

Przypadek 2:Citroen, Toyota, BMW, Toyota, Fiat, Peugeot, Citroen, Fiat, Citroen, Peugeot, Toyota

Wyznacz modę w tej zbiorowości.

Moda – ZADANIE 3B

Przebadano zbiorowość pracowników pod kątem cechy statystycznej X – wynagrodzenie i otrzymano następujące kategorie zarobków:[1000, 1200) – 5 osób ; [1200, 1400) – 3 osoby[1400, 1600) – 6 osób ; [1600, 1800] – 1 osoba

Wyznacz modę w tej zbiorowości.

Mediana – ZADANIE 4A

Przebadano zbiorowość pracowników pewnej firmy pod kątem cechy statystycznej X – wynagrodzenie:

Przypadek 1:1300, 1100, 1300, 1200, 1400

Przypadek 2:1000, 1200, 1500, 1100

Wyznacz medianę w tej zbiorowości.

Mediana – ZADANIE 4B

Przebadano zbiorowość pracowników pod kątem cechy statystycznej X – wynagrodzenie i otrzymano następujące kategorie zarobków:[1000, 1200) – 2 osoby ; [1200, 1400) – 5 osób[1400, 1600) – 8 osób ; [1600, 1800] – 3 osoby

Wyznacz medianę w tej zbiorowości.