Sveučilište u Rijeci Fakultet za menadžment u turizmu i ugostiteljstvu SVEUČILIŠNI PREDDIPLOMSKI STUDIJ »Poslovna ekonomija u turizmu i hotelijerstvu»

Priručnik iz predmeta S T A T I S T I K A Šifra kolegija: PST0103 ECTS bodovi: 5,5 Nositelj predmeta: Dr. sc. SUZANA MARKOVIĆ, docent

2

GRAFIČKO PRIKAZIVANJE STATISTIČKIH NIZOVA PRIMJER 1. Uvoz u Primorsko goranskoj županiji

Godina Uvoz (u mil. USD) 2000. 449 2001. 532 2002. 478 2003. 638 2004. 739

Izvor: Statistički ljetopis Primorsko-goranske županije 2005, str.249. Podatke iz tabele prikažite grafički linijskim grafikonom. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza? RJEŠENJE: Grafikon: Uvoz u Primorsko goranskoj županiji

0

100

200

300

400

500

600

700

800

2000. 2001. 2002. 2003. 2004.

Godina

Uvoz

(u m

il. U

SD)

Uvoz (u mil. USD)

Izvor: Statistički ljetopis Primorsko-goranske županije 2005, str.249.

3

PRIMJER 2. Broj registriranih domena pri Carnetu od siječnja do lipnja 2006. godine Mjesec Broj domena Siječanj 717 Veljača 731 Ožujak 1 061 Travanj 777 Svibanj 812 Lipanj 596

Izvor: www.dns.hr, 28.7.2006. Podatke iz tabele prikažite grafički jednostavnim stupcima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza? RJEŠENJE: Grafikon: Broj registriranih domena pri Carnetu od siječnja do lipnja 2006. godine

0

200

400

600

800

1000

1200

Siječa

nj

Veljač

a

Ožujak

Travanj

Svibanj

Lipanj

Mjesec

Bro

j dom

ena

Broj domena

Izvor: www.dns.hr, 28.7.2006. PRIMJER 3. Robna razmjena Republike Hrvatske od siječnja do lipnja 2006. godine: Zemlja Izvoz (u mil. kn) Uvoz (u mil. kn) Austrija 1 865 3 253 Italija 7 100 9 932 Njemačka 3 066 8 935 Slovenija 2 335 3 915

Izvor: www.dzs.hr, 20.8.2006 Podatke iz tabele prikažite grafički dvostrukim i razdijeljenim stupcima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

4

RJEŠENJE: Grafikon: Robna razmjena Republike Hrvatske od siječnja do svibnja 2006. godine

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Austrija Italija Njemačka Slovenija

Zemlja

Izvo

z/Uv

ozIzvozUvoz

Izvor: www.dzs.hr Grafikon: Robna razmjena Republike Hrvatske od siječnja do svibnja 2006. godine

02000400060008000

1000012000140001600018000

Austrija Italija Njemačka Slovenija

Zemlja

Izvo

z/U

voz

UvozIzvoz

Izvor: www.dzs.hr PRIMJER 4. Dani krediti stanovništvu u 2005. godini (u mil. kn) Banka Stambeni kredit Auto kredit Gotovinski kredit Erste Bank 3 191 365 - Slavonka banka 1 417 78 387 Međimurska 117 43 46 Volksbank 250 1 089 320

Izvor: Privredni vjesnik, lipanj 2006., str. 50. Podatke iz tabele prikažite grafički višestrukim i razdijeljenim stupcima (s apsolutnim frekvencijama). Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

5

RJEŠENJE: Grafikon: Dani krediti stanovništvu u 2005. godini (u mil. kn)

0500

100015002000250030003500

Erste bank Slavonskabanka

Međimurskabanka

Volksbank

Banka

Izno

skre

dita

Stambeni kredit Auto kredit Gotovinski kredit

Izvor: Privredni vjesnik, lipanj 2006., str. 50. Grafikon: Dani krediti stanovništvu u 2005. godini (u mil. kn)

0500

1000150020002500300035004000

Erste bank Slavonskabanka

Međimurskabanka

Volksbank

Banka

Izno

s kr

edita

Stambeni kredit Auto kredit Gotovinski kredit

Izvor: Privredni vjesnik, lipanj 2006., str. 50. PRIMJER 5. Robna razmjena Republike Hrvatske od siječnja do lipnja 2006. godine: Zemlja Izvoz (u mil. kn) Uvoz (u mil. kn) Austrija 1 865 3 253 Italija 7 100 9 932 Njemačka 3 066 8 935 Slovenija 2 335 3 915

Izvor: www.dzs.hr, 20.8.2006. Strukturu izvoza i uvoza usporedite strukturnim krugovima i proporcionalnim strukturnim krugovima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

6

RJEŠENJE: Zemlja Izvoz (u mil. kn) Uvoz (u mil. kn) Isječak - izvoz Isječak - uvoz Austrija 1 865 3 253 46,74o 44,96o

Italija 7 100 9 932 177,92o 137,28o

Njemačka 3 066 8 935 76,83o 123,50o

Slovenija 2 335 3 915 58,51o 54,25o

Ukupno 14 366 26 045 360,00o 360,00o

x0 = 0360⋅cjelina

dio

Grafikon: Robna razmjena Republike Hrvatske od siječnja do lipnja 2006. godine Izvoz Uvoz

Austrija

Italija

Njemačka

Slovenija

Izvor: www.dzs.hr, 20.8.2006. PRIMJER 6. Dolasci turista u RH

Br. turista (u tis.) Turisti 2004. godina 2005. godina

Domaći turisti 1 500 1 528 Strani turisti 7 912 8 467 Ukupno 9 412 9 995

Izvor: Priopćenje DZS, Zagreb, veljača 2006., str.1. Podatke iz tabele prikažite grafički strukturnim polukrugovima i proporcionalnim strukturnim polukrugovima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

7

RJEŠENJE:

Br. turista (u tis.) Turisti 2004. godina 2005. godina

Isječak 2004.g. Isječak 2005.g.

Domaći turisti 1 500 1 528 28,69o 27,52o

Strani turisti 7 912 8 467 151,31o 152,48o

Ukupno 9 412 9 995 180,00o 180,00o

00 180⋅=cjelina

diox

Grafikon: Dolasci turista u RH

8

RELATIVNI BROJEVI PRIMJER 1. Fizički obujam telekomunikacijskih usluga od siječnja do lipnja 2006. godine

Broj usluga (u mil.) Vrsta usluge 2005. godina 2006. godina

Utrošene minute u nepokretnoj mreži

5 162 4 463

Utrošene minute u pokretnoj mreži

1 215 1 831

SMS poruke 1 153 1 235 Izvor: www.dzs.hr, 8.8.2006. Izračunajte strukturu broja telekomunikacijskih usluga u 2005. i 2006. godini. Strukturu prikažite grafički strukturnim stupcima. Što se može zaključiti na temelju grafičkog prikaza? RJEŠENJE:

Br. usluga (u mil.) Vrsta usluge 2005. 2006.

Struktura za 2005. g. (%)

Struktura za 2006. g.

(%) Utrošene minute u nepokretnoj mreži

5 162 4 463 68,55 59,28

Utrošene minute u pokretnoj mreži

1 215 1 831 16,14 24,32

SMS poruke 1 153 1 235 15,31 16,40 Ukupno 7 530 7 529 100,00 100,00

100⋅=cjelina

dioP

Grafikon: Fizički obujam telekomunikacijskih usluga od siječnja do lipnja 2006. godine

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

2005. 2006.

Godina

Stru

ktur

a

sms poruke

utroš.min. u pokret.mrežiutroš.min. u nepokret.mreži

9

PRIMJER 2. Stanovništvo i površina odabranih europskih zemalja:

Zemlja Broj stanovnika u 000 Površina u km 2 Austrija 8 148 83 871 Hrvatska 4 743 56 594 Mađarska 10 083 93 032 Slovenija 1 933 20 273

Izvor: SLJRH 2004., str. 783. Pomoću navedenih podataka izračunajte broj stanovnika na km2, tj. izračunajte relativne brojeve koordinacije. Dobivene veličine prikažite grafički Varzarovim znakom. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza? RJEŠENJE:

Zemlja Broj stanovnika u 000 Površina u km 2 RBK Austrija 8 148 83 871 97,15 Hrvatska 4 743 56 594 83,81 Mađarska 10 083 93 032 108,38 Slovenija 1 933 20 273 95,35

Površina

ovnikasBrffRBK tan.

2

1 ==

Grafički prikaz relativnih brojeva koordinacije jednostavnim stupcima:

0

20

40

60

80

100

120

Austrija Hrvatska Mađarska Slovenija

Zemlja

RBK

10

Grafički prikaz relativnih brojeva koordinacije Varzarovim znakom: Mjerilo (baza): 1cm=30 000km

PRIMJER 3. Odobreni krediti po bankama u Hrvatskoj (stanje 31.12.2005.) Banka Odobreni krediti (u mil.kn) Zagrebačka banka 38 126 Privredna banka 29 801 Raiffeisenbank 16 587 Hypo Alpe-Adria Bank 13 739 Erste und Steiermärkische Bank 19 365

Izvor: Privredni vjesnik, lipanj 2006., str.49. Izračunajte indekse odobrenih kredita u 2005. godini. Za osnovu uzmite iznos odobrenih kredita u Hypo Alpe-Adria banci. Indekse prikažite grafički odgovarajućim grafikonom. Što se može zaključiti na temelju izračunatih indeksa? RJEŠENJE: Banka Odobreni krediti (u mil.kn) Indeksi Zagrebačka banka 38 126 277,50 Privredna banka 29 801 216,91 Raiffeisenbank 16 587 120,73 Hypo Alpe-Adria Bank 13 739 100 Erste und Steiermärkische Bank 19 365 140,95

1002

1 ⋅=ff

I

RBK

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

baza Austrija Hrvatska Mađarska Slovenija

11

Grafikon: Indeksi odobrenih kredita po bankama u Hrvatskoj

277,5

216,91

120,73100

140,95

0

50

100

150

200

250

300

Zagr

ebač

kaba

nka

Priv

redn

aba

nka

Rai

ffeis

en

Hyp

oba

nka

Ers

teba

nka

Banka

Inde

ks

Izvor: Privredni vjesnik, lipanj 2006., str.49.

12

NUMERIČKI NIZ: Srednje vrijednosti (potpune i položajne) PRIMJER 1. Zadan je slijedeći numerički niz:

Xi 110 110 114 110 115 115 105 114 106 100 Izračunajte: izračunajte potpune i položajne srednje vrijednosti. RJEŠENJE:

Xi 1/xi log xi rx

110 0,009 2,0414 100 110 0,009 2,0414 105 114 0,009 2,0569 106 110 0,009 2,0414 110 115 0,009 2,0607 110 115 0,009 2,0607 110 105 0,010 2,0212 114 114 0,009 2,0569 114 106 0,009 2,0253 115 100 0,010 2,0000 115

∑ 1 099 0,092 20,4059

90,10910

1099=== ∑

NXi

X

70,108092,010

1===

∑ix

NH

∑⋅= ixN

G log1log

4059,20101log ⋅=G

04059,2log =G 80,109=G

110=Mo

221 rr xx

Me+

= , 52

1021 ===Nr , 615112 =+=+= rr

1102

110110=

+=Me

13

PRIMJER 2. Na kolokviju iz kolegija Statistika 30 studenata ostvarilo je sljedeće rezultate: Ocjena 1 2 3 4 5 Broj studenata

3 4 9 10 4

Izračunajte: aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu, geometrijsku sredinu, mod i medijan. RJEŠENJE:

xi fi xi fi fi/ xi log xi fi log xi Kum. niz 1 3 3 3,00 0 0 3 2 4 8 2,00 0,3010 1,2040 7 3 9 27 3,00 0,4771 4,2939 16 4 10 40 2,50 0,6021 6,0210 26 5 4 20 0,80 0,6989 2,7956 30 ∑ 30 98 11,30 2,0791 14,3145

27,33098

==⋅

=∑∑

i

ii

ffx

X

65,230,11

30===

∑∑

i

i

i

xff

H

iii

xff

G log1log ∑∑⋅=

3145,14301log ⋅=G

47715,0log =G 00,3=G

4=Mo

152

302

===NMe , 3=Me

14

PRIMJER 3. Zaposleni prema godinama u poduzeću X:

Starost u godinama Broj zaposlenih 21 – 30 32 31 – 40 162 41 – 50 404

51 – (65) 142 Ukupno 740

Izračunajte: aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu, geometrijsku sredinu, mod i medijan. RJEŠENJE:

Starost u

godinama

Broj zaposlenih

fi

Precizne granice

xi

i

fc

xi fi

fi/ xi

log xi

filog xi

Kum.niz 21-30 32 21-31 26 10 3,2 832 1,23 1,4149 45,2768 32 31-40 162 31-41 36 10 16,2 5832 4,50 1,5563 252,1206 194 41-50 404 41-51 46 10 40,4 18584 8,78 1,6627 671,7712 598

51-(65) 142 51-65 58 14 10,1 8236 2,45 1,7634 250,4028 740 ∑ 740 33484 16,96 1219,5714

221 LL

xi+

= , 12 LLi −= , if

f ic =

25,45740

33484==

⋅=∑∑

i

ii

ffx

X

63,4396,16

740===

∑∑

i

i

i

xff

H

iii

xff

G log1log ∑∑⋅=

5714,12197401log ⋅=G

6481,1log =G 47,44=G

( ) ( ) 44,4510)1,104,40()2,164,40(

2,164,40411 =⋅−+−

−+=⋅

−+−−

+= icbab

abLMo

15

if

fN

LMemed

⋅−

+=∑ 1

12 , 370

2740

2==

N

36,4510404

19437041 =⋅−

+=Me

16

NUMERIČKI NIZ: Mjere disperzije PRIMJER 1. Zadan je slijedeći numerički niz:

Xi 110 110 114 110 115 115 105 114 106 100 Izračunajte: (a) interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (b) varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije. RJEŠENJE:

Xi rx (xi – x)2

110 100 0,01 110 105 0,01 114 106 16,81 110 110 0,01 115 110 26,01 115 110 26,01 105 114 24,01 114 114 16,81 106 115 15,21 100 115 98,01

∑ 1 099 222,90

810611413 =−=−= QQIQ

50,24

1041 ===Nr , 31 =r , 1061 =Q

50,74

304

31 ===

Nr , 81 =r , 1143 =Q

04,02208

106114106114

13

13 ==+−

=+−

=QQQQ

VQ

29,2210

91,222)( 2

2 ==−

= ∑N

xxiµ

72,429,222 === µσ

%29,410090,109

72,4100 =⋅=⋅=x

V σ

17

PRIMJER 2. Na kolokviju iz kolegija Statistika 30 studenata ostvarilo je sljedeće rezultate: Ocjena 1 2 3 4 5 Broj studenata

3 4 9 10 4

Izračunajte: (a) raspon varijacije, interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (b) varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije.

xi fi Kum. niz fi(xi-x)2

1 3 3 15,46 2 4 7 6,45 3 9 16 0,66 4 10 26 5,33 5 4 30 11,97 ∑ 30 39,87

415minmax =−=−= XXR

13413 =−=−= QQIQ

5,74

3041 ===NQ , 31 =Q

5,224

904

33 ===

NQ 43 =Q

14,071

3434

13

13 ==+−

=+−

=QQQQ

VQ

33,130

87,39)( 2

2 ==−⋅

=∑

∑i

ii

fxxf

µ

15,133,12 === µσ

%25,3510027,315,1100 =⋅=⋅=

xV σ

18

PRIMJER 3. Zaposleni prema godinama u poduzeću X:

Starost u godinama Broj zaposlenih 21 – 30 32 31 – 40 162 41 – 50 404

51 – (65) 142 Ukupno 740

Izračunajte: (a) raspon varijacije, interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (b) varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije.

Starost u godinama

Broj zaposlenih

fi

Precizne granice

xi

i

Kum.niz

fi(xi-x)2 21-30 32 21-31 26 10 32 11 858 31-40 162 31-41 36 10 194 13 861,13 41-50 404 41-51 46 10 598 227,25 51-(65) 142 51-65 58 14 740 23 083,88

∑ 740 49 030,26

442165minmax =−=−= XXR

50,944,409,4913 =−=−= QQIQ

if

fN

LQQ

⋅−

+=∑

1

1

114 185

4740

4==

N

44,4010162

32185311 =⋅−

+=Q

if

fN

LQQ

⋅−

+=∑3

1

134

3

5554

22204

3==

N

94,4910404

194555413 =⋅−

+=Q

11,044,4094,4944,4094,49

13

13 =+−

=+−

=QQQQ

VQ

26,66740

26,49030)( 2

2 ==−⋅

=∑

∑i

ii

fxxf

µ

19

14,826,662 === µσ

99,1710025,45

14,8100 =⋅=⋅=x

V σ

20

NUMERIČKI NIZ: Mjere asimetrije i mjere zaobljenosti PRIMJER 1. Zadan je slijedeći numerički niz:

Xi 110 110 114 110 115 115 105 114 106 100 Izračunajte: (a) koeficijent asimetrije, Pearsonove mjere asimetrije, Bowleyjevu mjeru asimetrije; (b) koeficijent zaobljenosti. RJEŠENJE:

Xi (xi – x)3 (xi – x)4 110 0,001 0,0001 110 0,001 0,0001 114 68,92 282,58 110 0,001 0,0001 115 132,65 676,52 115 132,65 676,52 105 -117,65 576,48 114 68,92 282,58 106 -59,32 231,34 100 -970,30 9 605,96

∑ 1 099 -744,12 12 331,98

71,024,10541,74

)72,4(41,74

333

3 −=−

=−

==σµ

α

41,7410

12,774)( 3

3 −=−

=−

= ∑N

xxiµ

02,072,4

11090,1091 −=

−=

−=

σMoxSk

06,072,4

)11090,109(3)(32 −=

−⋅=

−⋅=

σMexSk

080

10611411021141062

13

31 ==−

⋅−+=

−−+

=QQ

MeQQSkQ

48,233,49620,1233

)72,4(20,1233

444

4 ====σµ

α

20,123310

98,12331)( 4

4 ==−

= ∑N

xxiµ

21

PRIMJER 2. Na kolokviju iz kolegija Statistika 30 studenata ostvarilo je sljedeće rezultate: Ocjena 1 2 3 4 5 Broj studenata

3 4 9 10 4

Izračunajte: (a) koeficijent asimetrije, Pearsonove mjere asimetrije, Bowleyjevu mjeru asimetrije; (b) koeficijent zaobljenosti. RJEŠENJE:

xi fi fi(xi-x)3 fi(xi-x)4 1 3 -35,09 79,66 2 4 -8,19 10,41 3 9 -0,18 0,05 4 10 3,89 2,84 5 4 20,71 35,83 ∑ 30 -18,86 128,79

41,052,163,0

)15,1(63,0

333

3 −=−

=−

==σµ

α

63,030

86,18)( 3

3 −=−

=−⋅

=∑

∑i

ii

fxxf

µ

63,015,1

427,31 −=

−=

−=

σMoxSk

70,015,1

)327,3(3)(32 =

−⋅=

−⋅=

σMexSk

111

3432432

13

31 ==−

⋅−+=

−−+

=QQ

MeQQSkQ

45,275,129,4

)15,1(29,4

444

4 ====σµ

α

29,430

79,128)( 4

4 ==−⋅

=∑

∑i

ii

fxxf

µ

22

NUMERIČKI NIZ: srednje vrijednosti, mjere disperzije, mjere asimetrije, mjere zaobljenosti PRIMJER 1. Prodaja šećera u trgovini X tijekom radnog tjedna bila je sljedeća:

202 206 190 196 198 208 Izračunajte:

a) aritmetičku sredinu i harmonijsku sredinu b) medijan, donji i gornji kvartil c) varijancu, standardnu devijaciju d) koeficijent asimetrije i koeficijent zaobljenosti.

RJEŠENJE:

Xi 1/xi rx (xi – x)2 (xi – x)3 (xi – x)4 202 0,0050 190 4 8 16 206 0,0049 196 36 216 1 296 190 0,0053 198 100 -1 000 10 000 196 0,0051 202 16 -64 256 198 0,0051 206 4 -8 16 208 0,0048 208 64 512 4 096

∑ 1 200 0,03 224 -336 15 680

2006

1200=== ∑

NXi

X

20003,06

1===

∑ix

NH

221 rr xx

Me+

= 326

21 ===Nr 413112 =+=+= rr

2002

202198=

+=Me

5,146

41 ===Nr 21 =r 1961 =Q

5,44

184

31 ===

Nr 51 =r 2063 =Q

23

33,376

224)( 2

2 ==−

= ∑N

xxiµ

11,633,372 === µσ

25,009,228

56)11,6(

5633

33 −=

−=

−==

σµ

α

566336)( 3

3 −=−

=−

= ∑N

xxiµ

88,168,139333,2613

)11,6(33,2613

444

4 ====σµ

α

33,26136

15680)( 4

4 ==−

= ∑N

xxiµ

PRIMJER 2. Zadan je numerički niz:

Broj odsutnih učenika

0 1 2 3 4

Broj razreda 2 4 7 5 3 Na temelju distribucije frekvencija u tablici izračunajte:

a) aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu, mod, medijan b) kvartile, intrkvartil, raspon varijacije, koeficijent kvartilne devijacije c) varijancu, standardnu devijaciju, d) koeficijent asimetrije, Pearsonove mjere asimetrije e) koeficijent zaobljenosti f) nacrtajte histogram i poligon frekvencija.

RJEŠENJE:

xi fi xi fi fi/ xi Kum. niz fi(xi-x)2 fi(xi-x)3 fi(xi-x)4 0 2 0 0 2 9,16 -19,60 41,94 1 4 4 4 6 5,20 -5,93 8,30 2 7 14 3,50 13 0,14 -0,02 0,002 3 5 15 1,67 18 3,70 3,18 2,73 4 3 12 0,75 21 10,38 19,30 35,90 ∑ 21 45 9,92 28,58 -3,08 88,88

24

14,22145

==⋅

=∑∑

i

ii

ffx

X

12,292,9

21===

∑∑

i

i

i

xff

H

2=Mo

5,10221

2===

NM e 2=eM

25,5

421

41 ===NQ 11 =Q

75,154213

43

3 =⋅

=⋅

=NQ 33 =Q

21313 =−=−= QQIQ

404minmax =−=−= XXR

50,01313

13

13 =+−

=+−

=QQQQ

VQ

36,121

58,28)( 2

2 ==−

=∑

∑i

ii

fxxf

µ

16,136,12 === µσ

09,056,115,0

)16,1(15,0

333

3 −=−

=−

==σµ

α

( )15,0

2108,3

3

3 −=−

=−

=∑

∑i

ii

fxxf

µ

12,016,1

214,21 =

−=

−=

σo

kMx

S

25

( ) ( ) 36,016,1

214,2332 =

−⋅=

−⋅=

σe

kMx

S

34,281,123,4

)16,1(23,4

444

4 ====σµ

α

( )23,4

2188,88

4

4 ==−

=∑

∑i

ii

fxxf

µ

Histogram: Poligon frekvencija:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4

xi

fi

01

234

56

78

0 1 2 3 4

xi

fi

26

PRIMJER 3. Zadana je distribucija broja zaposlenih prema godinama starosti:

Starost u godinama Broj zaposlenih 20-26 9 27-31 15 32-41 27 42-50 16 51-60 8

Ukupno 75 Izračunajte:

a) aritmetičku sredinu, mod b) medijan, kvartile, koeficijent kvartilne devijacije c) varijancu, standardnu devijaciju, koeficijent varijacije d) koeficijent asimetrije, Bowleyevu mjeru asimetrije e) koeficijent zaobljenosti.

RJEŠENJE: Starost u godinama

Broj zaposlenih

fi

Precizne granice

xsi (xi)

i xi fi fc Kum. niz

20-26 9 20-27 23,50 7 211,50 1,29 9 27-31 15 27-32 29,50 5 442,50 3,00 24 32-41 27 32-42 37,00 10 999,00 2,70 51 42-50 16 42-51 46,50 9 744,00 1,78 67 51-60 8 51-61 56,00 10 448,00 0,80 75 ∑ 75 2 845,00

fi(xi-x)2 fi(xi-x)3 fi(xi-x)4 1 874,02 -2 7042,17 392 384,85 1 065,97 -8 986,16 76 473,90

23,35 -21,72 21,97 1 175,12 10 070,76 85 502,67 2 612,20 47 202,44 849 176,07 6 750,67 21 223,16 1 403 559,46

221 LL

xsi+

= , 12 LLi −= , if

f ic =

27

93,3775

2845==

⋅=∑∑

i

ii

ffx

x

( ) ( ) ( ) ( ) 25,31570,2329,13

29,13271 =⋅−+−

−+=⋅

−+−−

+= icbab

abLM o

if

fN

LMme

e ⋅−

+=∑ 1

12 50,37

275

2==

N

00,371027

2450,3732 =⋅−

+=eM

if

fN

LQQ

⋅−

+=∑

1

1

114 75,18

475

4==

N

25,30515

975,18271 =⋅−

+=Q

if

fN

LQQ

⋅−

+=∑3

1

134

3

25,564

2254

3==

N

95,44916

5125,56423 =⋅−

+=Q

20,025,3095,4425,3095,44

13

13 =+−

=+−

=QQQQ

VQ

( )01,90

7567,6750

2

2 ==−⋅

=∑

∑i

ii

fxxf

µ

49,901,902 === µσ

01,2510093,37

49,9100 =⋅=⋅=x

V σ

28

33,067,85497,282

)49,9(97,282

333

3 ====σµ

α

( )97,282

7516,21223

3

3 ==−⋅

=∑

∑i

ii

fxxf

µ

08,0

25,3095,4437295,4425,302

13

31 =−

⋅−+=

−⋅−+

=QQ

MQQS e

kq

30,2

82,811013,18714

)49,9(13,1871444

44 ====

σµα

( )13,18714

7546,1403559

4

4 ==−⋅

=∑

∑i

ii

fxxf

µ

29

METODA UZORAKA: Procjena aritmetičke sredine, totala i proporcije osnovnog skupa PRIMJER 1. Na otoku koji ima 1620 domaćinstava slučajno smo izabrali 100 domaćinstava i zabilježili za svako od njih koliko hektara obradive zemlje posjeduje. Izračunali smo aritmetičku sredinu tog uzorka koja je iznosila 1,83 ha. Pomoću standardne devijacije tog uzorka procijenili smo standardnu devijaciju osnovnog skupa i dobili s = 1,36 ha. Izračunajte s 99% pouzdanosti kolika je prosječna površina obradive zemlje svih domaćinstava na tom otoku. RJEŠENJE: N=1 620 n=100 x =1,83 s=1,36 99%

xxstxXstx ⋅+<<⋅−

t=2,58

06,01620100

==Nn

> 0,05

13,011620

100162010036,1

1=

−−

⋅=−−

⋅=N

nNnss

x

17,249,1

13,058,283,113,058,283,1

<<

⋅+<<⋅−

X

X

Prosječna površina obradive zemlje na promatranom otoku nalazi se između 1,49ha i 2,17ha uz 99% pouzdanosti. PRIMJER 2. Od 186 elemenata jednog osnovnog skupa slučajno smo izabrali 20 jedinica. Aritmetička sredina tog uzorka iznosi 2,5, a standardna devijacija je 1,204. Uz 95% vjerojatnosti procijenite aritmetičku sredinu promatranog osnovnog skupa.

30

RJEŠENJE: N=186 n=20 x =2,5 σ=1,204 95%

xxstxXstx ⋅+<<⋅−

191201 =−=−= nk t=2,093

1,018620

==Nn

> 0,05

27,0118620186

12024,1

11=

−−

⋅−

=−−

⋅−

=N

nNnss

x

24,1120

20204,11

=−

⋅=−

⋅=n

ns σ

07,394,1

27,0093,25,227,0093,25,2

<<

⋅+<<⋅−

X

X

Aritmetička sredina promatranog osnovnog skupa nalazi se između 1,94 i 3,07 uz 95% pouzdanosti. PRIMJER 3. U svrhu ispitivanja vremena potrebnog za dolazak na rad, od 915 djelatnika jedne tvrtke anketirano je 150 osoba. Pomoću tog uzorka dobiveni su ovi rezultati: prosječno vrijeme u uzorku = 47 minuta, standardna greška aritmetičke sredine uzorka = 0,0747. Izračunajte 99% pouzdan interval procjene totala osnovnog skupa, tj. ukupno vrijeme potrebno za dolazak na rad svih djelatnika te tvrtke. Zaključak? RJEŠENJE: N=915 n=150 x =47

xs =0,0747

99%

31

∑ ∑∑ ∑⋅+<<∑⋅− '' '' xx stxXstx

4300547915' =⋅=⋅=∑ xNx t=2,58

35,680747,0915' =⋅=⋅=∑ xx sNs

4318142828

35,6858,24300535,6858,243005

∑∑

<<

⋅+<<⋅−

X

X

Ukupno vrijeme potrebno za dolazak na rad svih djelatnika tvrtke nalazi se između 42 828min i 43 181min uz 99% pouzdanosti. PRIMJER 4. U pošiljci limuna (N=90 000) potrebno je utvrditi postotak škarta. Iz pošiljke je odabano 100 limuna, od kojih se 6 počelo kvariti. Procijenite uz 95% pouzdanosti proporciju škarta u toj pošiljci. Zaključak? RJEŠENJE: N=90 000 n=100 m=6 95%

pp stpPstp ⋅+<<⋅−

06,0100

6===

nmp 94,006,011 =−=−= pq

t=1,96

01,090000100

==Nn < 0,05

02,0110094,006,0

1=

−⋅

=−⋅

=n

qps p

11,001,002,096,106,002,096,106,0

<<⋅+<<⋅−

PP

Proporcija škarta u promatranoj pošiljci limuna nalazi se između 0,01 i 0,11, tj. između 1% i 11% uz 95% pouzdanosti.

32

KORELACIJSKA I REGRESIJSKA ANALIZA. KORELACIJA RANGA PRIMJER 1. Na prvom i drugom kolokviju iz kolegija „Statistika“ šest studenata dobilo je bodove prikazane u tablici. Odredite:

a) pravce regresije b) koeficijent korelacije c) koeficijent korelacije ranga d) napišite zaključak e) nacrtajte dijagram rasipanja.

I. kolokvij 88 62 55 96 78 49 II. kolokvij 47 63 70 80 70 40

RJEŠENJE:

I. kolokvij

X

II. kolokvij

Y

XY

X2

Y2

rx

ry

di

di2

88 47 4 136 7 744 2 209 5 2 3 9 62 63 3 906 3 844 3 969 3 3 0 0 55 70 3 850 3 025 4 900 2 4,5 -2,5 6,25 96 80 7 680 9 216 6 400 6 6 0 0 78 70 5 460 6 084 4 900 4 4,5 -0,5 0,25 49 40 1 960 2 401 1 600 1 1 0 0

∑ 428 370 26 992 32 314 23 978 - - - 15,50 Prvi pravac regresije

bxaYc +=

34,076,178490,599

42833,713231437033,7126992

2==

⋅−⋅−

=−

−⋅=∑ ∑∑ ∑

xxx

yxyxb

33,716

428=== ∑

Nx

x 67,616

370=== ∑

Ny

y

42,3733,7134,067,61 =⋅−=⋅−= xbya

xYc ⋅+= 34,042,37

33

Drugi pravac regresije

ybaXc ,, +=

51,010,160.1

24,59737067,61978.2342867,61992.26

2, ==

⋅−⋅−

=−

−⋅=∑ ∑∑ ∑

yyyxyyx

b

88,3967,6151,033,71,, =⋅−=⋅−= ybxa

yXc ⋅+= 51,088,39 Koeficijent korelacije

42,051,034,0, =⋅=⋅= bbr Koeficijent korelacije ranga

56,044,01210931

621650,1561

61 3

2

=−=−=−

⋅−=

−

⋅−= ∑

nnd

r is

Korelacija (veza) između bodova na prvom i drugom kolokviju iz kolegija „Statistika je srednja i pozitivna. Dijagram rasipanja

0102030405060708090

0 20 40 60 80 100 120

X

Y

34

VREMENSKI NIZ: Individualni indeksi (verižni i bazni), trend modeli (linearni trend) PRIMJER 1.

Godina 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. Broj noćenja 54 43 53 83 67

Na temelju podataka iz tablice izračunajte:

a) verižne indekse b) bazne indekse (1997=100) c) jednadžbu linearnog trenda s ishodištem na početku niza d) jednadžbu linearnog trenda s ishodištem u sredini niza e) izračunajte sve trend vrijednosti f) grafički prikažite podatke iz tablice i napišite zaključak g) grafički prikažite verižne i bazne indekse i napišite zaključak.

RJEŠENJE:

Godina

Broj noćenja Y

Vt

It

1997. 54 - 100 1998. 43 79,63 79,63 1999. 53 123,26 98,15 2000. 83 156,60 153,70 2001. 67 80,72 124,07

Verižni indeksi

1001

⋅=−t

tt Y

YV

Bazni indeksi

100⋅=b

tt Y

YI

35

Ishodište na POČETKU Ishodište u SREDINI Godina

Broj noćenja

Y X XY X2 Yc X XY X2 Yc

1997. 54 0 0 0 46,80 -2 -108 4 46,80 1998. 43 1 43 1 53,40 -1 -43 1 53,40 1999. 53 2 106 4 60,00 0 0 0 60,00 2000. 83 3 249 9 66,60 1 83 1 66,60 2001. 67 4 268 16 73,20 2 134 4 73,20 ∑ 300 10 666 30 300,00 - 66 10 300,00

Jednadžba linearnog trenda s ishodištem na početku niza

xbaYc ⋅+=

6,61066

102303002666

2 ==⋅−⋅−

=−

−⋅=∑ ∑∑ ∑

xxxyxyx

b

25

10=== ∑

Nx

x 605

300=== ∑

Ny

y

8,4626,660 =⋅−=⋅−= xbya

xYc ⋅+= 6,68,46 Jednadžba linearnog trenda s ishodištem u sredini niza

bxaYc +=

6,61066

2 ==⋅

=∑∑

xyx

b

605

300=== ∑

Ny

a

xYc ⋅+= 6,660

36

Grafički prikaz podataka iz tablice (linijski grafikon)

0102030405060708090

1997 1998 1999 2000 2001

Godine

Broj

noć

enja

Grafički prikaz verižnih indeksa

Grafički prikaz baznih indeksa

1. način:

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1997 1998 1999 2000 2001

Godine

Inde

ks

160

150

140

130

120

110

100

90

80

70

1997 1998 1999 2000 2001

37

2. način:

160

150

140

130

120

110

100

90

80

70

38

S TA T I S T I Č K E T A B L I C E

TABLICA 1 Logaritmi faktorijela

TABLICA 2 Binomni koeficijenti

TABLICA 3 Ordinate jedinične normalne razdiobe

TABLICA 4 Površine ispod normalne krivulje

TABLICA 5 Vrijednosti χ2 i pripadne vrijednosti P(χ2) za stupnjeve slobode

k = 1, 2, 3, …, 30

TABLICA 6 Vrijednosti t za Studentovu razdiobu, uz vjerojatnosti Q(t) i

stupnjeve slobode k = 1, 2, 3, …, 30

TABLICA 7 Vjerojatnosti pri binomnoj razdiobi

TABLICA 8 Vjerojatnosti pri Poissonovoj razdiobi

TABLICA 9 Kritične vrijednosti koeficijenta korelacije ranga

TABLICA 1: Logaritmi faktorijela n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

00 0,0000 0,0000 0,3010 0,7782 1,3802 2,0792 2,8573 3,7024 4,6055 5,5598 10 6,5598 7,6012 8,6803 9,7943 10,9404 12,1165 13,3206 14,5511 15,8063 17,0851 20 18,3861 19,7083 21,0508 22,4125 23,7927 25,1906 26,6056 28,0370 29,4841 30,9465 30 32,4237 33,9150 35,4202 36,9387 38,4702 40,0142 41,5705 43,1387 44,7185 46,3096 40 47,9116 49,5244 51,1477 52,7811 54,4246 56,0778 57,7406 59,4127 61,0939 62,7841 50 64,4831 66,1906 67,9066 69,6309 71,3633 73,1037 74,8519 76,6077 78,3712 80,1420 60 81,9202 83,7055 85,4979 87,2972 89,1034 90,9163 92,7359 94,5619 96,3945 98,2333 70 100,0784 101,9297 103,7870 105,6503 107,5196 109,3946 111,2754 113,1619 115,0540 116,9516 80 118,8547 120,7632 122,6770 124,5961 126,5204 128,4498 130,3843 132,3238 134,2683 136,2177 90 138,1719 140,1310 142,0948 144,0632 146,0364 148,0141 149,9964 151,9831 153,9744 155,9700 100 157,9700 159,9743 161,9829 163,9829 166,0128 168,0340 170,0593 172,0887 174,1221 176,1595 110 178,2009 180,2462 182,2955 184,3485 186,4054 188,4661 190,5306 192,5988 194,6707 196,7462 120 198,8254 200,9082 202,9945 205,0844 207,1779 209,2748 211,3751 213,4790 215,5862 217,6967 130 219,8107 221,9280 224,0485 226,1724 228,2995 230,4298 232,5634 234,7001 236,8400 238,9830 140 241,1291 243,2783 245,4306 247,5860 249,7443 251,9057 254,0700 256,2374 258,4076 260,5808 150 262,7569 264,9359 267,1177 269,3024 271,4899 273,6803 275,8734 278,0693 280,2679 282,4693 160 284,6735 286,8803 289,0898 291,3020 293,5168 295,7343 297,9544 300,1771 302,4024 304,6303 170 306,8608 309,0938 311,3293 313,5674 315,8079 318,0509 320,2965 322,5444 324,7948 327,0477 180 329,3030 331,5606 333,8207 336,0832 338,3480 340,6152 342,8847 345,1565 347,4307 349,7071 190 351,9859 354,2669 356,5502 358,8358 361,1236 363,4136 365,7059 368,0003 370,2970 372,5959 200 374,8969 377,2001 379,5054 381,8129 384,1226 386,4343 388,7482 391,0642 393,3822 395,7024 210 398,0246 400,3489 402,6752 405,0036 407,3340 409,6664 412,0009 414,3373 416,6758 419,0162 220 421,3587 423,7031 426,0494 428,3977 430,7480 433,1002 435,4543 437,8103 440,1682 442,5281 230 444,8898 447,2533 449,6189 451,9862 454,3555 456,7265 459,0994 461,4742 463,8508 466,2292 240 468,6094 470,9914 473,3752 475,7608 478,1482 480,5374 482,9283 485,3210 487,7154 490,1116 250 492,5096 494,9093 497,3107 499,7138 502,1186 504,5252 506,9334 509,3433 511,7549 514,1682 260 516,5832 518,9999 521,4182 523,8381 526,2597 528,6830 531,1078 533,5344 535,9625 538,3922 270 540,8236 543,2566 545,6912 548,1273 550,5651 553,0044 555,4453 557,8878 560,3318 562,7774 280 565,2246 567,6733 570,1235 572,5753 575,0287 577,4835 579,9399 582,3977 584,8571 587,3180 290 589,7804 592,2443 594,7097 597,1766 599,6449 602,1147 604,5860 607,0588 609,5330 612,0087 300 614,4858 616,9644 919,4444 621,9258 624,4087 626,8930 629,3787 631,8659 634,3544 636,8444 310 639,3357 641,8285 644,3226 646,8182 649,3151 651,8134 654,3131 656,8142 659,3166 661,8204 320 664,3255 666,8320 669,3399 671,8491 674,3596 676,8715 679,3847 681,8993 684,4152 686,9324 330 689,4509 691,9707 694,4918 697,0143 699,5380 702,0631 704,5894 707,1170 709,6460 712,1762 340 714,7076 717,2404 719,7744 722,3097 724,8463 727,3841 729,9232 732,4635 735,0051 737,5479 350 740,0920 742,6373 745,1838 747,7316 750,2806 752,8303 755,3823 757,9349 760,4888 763,0439 360 765,6002 768,1577 770,7164 773,2764 775,8375 778,3997 780,9632 783,5279 786,0937 788,6608 370 791,2290 793,7983 796,3689 798,9406 801,5135 804,0875 806,6627 809,2390 811,8165 814,3952 380 816,9749 819,5559 822,1379 824,7211 827,3055 829,8909 832,4775 835,0652 837,6540 840,2440 390 842,8351 845,4272 848,0205 850,6149 853,2104 855,8070 858,4047 861,0035 863,6034 866,2044 400 868,8064 871,4096 874,0138 876,6191 879,2255 881,8329 884,4415 887,0510 889,6617 892,2734 410 894,8862 897,5001 900,1150 902,7309 905,3479 907,9660 910,5850 913,2052 915,8264 918,4486 420 921,0718 923,6961 926,3214 928,9478 931,5751 934,2035 936,8329 939,4633 942,0948 944,7272 430 947,3607 949,9952 952,6307 955,2672 957,9047 960,5431 963,1826 965,8231 968,4646 971,1071 440 973,7505 976,3949 979,0404 981,6868 984,3342 986,9825 989,6318 992,2822 994,9334 997,5857 450 1000,2389 1002,8931 1005,5482 1008,2043 1010,8614 1013,5194 1016,1783 1018,8383 1021,4991 1024,1609 460 1026,8227 1029,4874 1032,1520 1034,8176 1037,4841 1040,1516 1042,8200 1045,4893 1048,1595 1050,8307 470 1053,5028 1056,1758 1058,8498 1061,5246 1064,2004 1068,8771 1069,5547 1072,2332 1074,9127 1077,5930 480 1080,2742 1082,9564 1085,6394 1088,3234 1091,0082 1093,6940 1096,3806 1099,0681 1101,7565 1104,4458 490 1107,1360 1109,8271 1112,5191 1115,2119 1117,9057 1120,6003 1123,2951 11125,9921 1128,6893 1131,3874 500 1134,0864 1136,7862 1139,4869 1142,1885 1144,8909 1147,5942 1150,2984 1153,0034 1155,7093 1158,4160 510 1161,1236 1163,8320 1166,5412 1169,2514 1171,9623 1174,6741 1177,3868 1180,1003 1182,8146 1185,5298 520 1188,2458 1190,9626 1193,6803 1196,3988 1199,1181 1201,8383 1024,5593 1207,2811 1210,0037 1212,7272 530 1215,4514 1218,1765 1220,9023 1223,6292 1226,3567 1229,0851 1231,8142 1234,5442 1237,2750 1240,0066 540 1242,7390 1245,4722 1248,2062 1250,9410 1253,6766 1256,4130 1259,1501 1261,8881 1264,6269 1267,3665 550 1270,1069 1272,8480 1275,5899 1278,3327 1281,0762 1283,8205 1286,5655 1289,3114 1292,0580 1294,8054 560 1297,5536 1300,3026 1303,0523 1305,8028 1308,5541 1311,3062 1314,0590 1316,8126 1319,5669 1322,3220 570 1325,0779 1327,8345 1330,5919 1333,3501 1336,1090 1338,8687 1341,6291 1344,3903 1347,1522 1349,9149 580 1352,6783 1355,4425 1358,2074 1360,9731 1363,7395 1366,5066 1369,2745 1372,0432 1374,8126 1377,5827 590 1380,3535 1283,1251 1385,8974 1388,6705 1391,4443 1394,2188 1396,9940 1399,7700 1402,5467 1405,3241 600 1408,1023 1410,8812 1413,6608 1416,4411 1419,2221 1422,0039 1424,7863 1427,5695 1430,3534 1430,1380 610 1435,9234 1438,7094 1441,4962 1444,2836 1447,0718 1449,8607 1452,6503 1455,4405 1458,2315 1461,0232 620 1463,8156 1466,6087 1469,4025 1472,1970 1474,9920 1477,7880 1480,5846 1483,3819 1486,1798 1488,9785 630 1491,7778 1494,5779 1497,3786 1500,1800 1502,9821 1505,7849 1508,5883 1511,3924 1514,1973 1517,0028 640 1519,8090 1522,6158 1525,4233 1528,2316 1531,0404 1533,8500 1536,6602 1539,4711 1542,2827 1545,0950 650 1547,9079 1550,7215 1553,5357 1556,3506 1559,1662 1561,9824 1564,7993 1567,6169 1570,4351 1573,2540 660 1576,0736 578,8938 1581,7146 1584,5361 1587,3583 1590,1811 1593,0046 1595,8287 1598,6535 1601,4789 670 1604,,3050 1607,1317 1609,9591 1612,7871 1615,6158 1618,4451 1621,2750 1624,1056 1626,9368 1629,7687 680 1632,6012 1635,4344 1638,2681 1641,1026 1643,9376 1646,7733 1649,6096 1652,4466 1655,2842 1658,1224

40

TABLICA 2: Binomni koeficijenti

n ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛6n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛7n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛8n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛9n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛10n

0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 13 1 13 78 286 715 1 287 1 716 1 716 1 287 715 286 14 1 14 91 364 1 001 2 002 3 003 3 432 3003 2002 1001 15 1 15 105 455 1 365 3 003 5 005 6 435 6 435 5 005 3 003 16 1 16 120 560 1 820 4 368 8 008 11 440 12 870 11 440 8 008 17 1 17 136 680 2 380 6 188 12 376 19 448 24 310 24 310 19 448 18 1 18 153 816 3 060 8 568 18 564 31 824 43 758 48 620 43 758 19 1 19 171 969 3 876 11 628 27 132 50 388 75 582 92 378 92 378 20 1 20 190 1 140 4 845 15 504 38 760 77 520 125 970 167 960 184 756

41

TABLICA 3: Ordinate jedinične normalne razdiobe

Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 ,39894 ,39892 ,39886 ,39876 ,39862 ,39844 ,39822 ,39797 ,39767 ,39733 0,1 ,39695 ,39654 ,39608 ,39559 ,39505 ,39448 ,39387 ,39322 ,39253 ,39181 0,2 ,39104 ,39024 ,38940 ,38853 ,38762 ,38667 ,38568 ,38466 ,38361 ,38251 0,3 ,38139 ,38023 ,37903 ,37780 ,37654 ,37524 ,37391 ,37255 ,37115 ,36973 0,4 ,36827 ,36678 ,36526 ,36371 ,36213 ,36053 ,35889 ,35723 ,35553 ,35381 0,5 ,35207 ,35029 ,34849 ,34667 ,34482 ,34294 ,34105 ,33912 ,33718 ,33521 0,6 ,33322 ,33121 ,32918 ,32713 ,32506 ,32297 ,32086 ,31874 ,31659 ,31443 0,7 ,31225 ,31006 ,30785 ,30563 ,30339 ,30114 ,29887 ,29659 ,29431 ,29200 0,8 ,28969 ,28737 ,28504 ,28269 ,28034 ,27798 ,27562 ,27324 ,27086 ,26848 0,9 ,26609 ,26369 ,26129 ,25888 ,25647 ,25406 ,25164 ,24923 ,24681 ,24439 1,0 ,24197 ,23955 ,23713 ,23471 ,23230 ,22988 ,22747 ,22506 ,22265 ,22025 1,1 ,21785 ,21546 ,21307 ,21069 ,20831 ,20594 ,20357 ,20121 ,19886 ,19652 1,2 ,19419 ,19186 ,18954 ,18724 ,18494 ,18265 ,18037 ,17810 ,17585 ,17360 1,3 ,17137 ,16915 ,16694 ,16474 ,16256 ,16038 ,15822 ,15608 ,15395 ,15183 1,4 ,14973 ,14764 ,14556 ,14350 ,14146 ,13943 ,13742 ,13542 ,13344 ,13147 1,5 ,12952 ,12758 ,12566 ,12376 ,12188 ,12001 ,11816 ,11632 ,11450 ,11270 1,6 ,11092 ,10915 ,10741 ,10567 ,10396 ,10226 ,10059 ,09893 ,09728 ,09566 1,7 ,09405 ,09246 ,09089 ,08933 ,08780 ,08628 ,08478 ,08329 ,08183 ,08038 1,8 ,07895 ,07754 ,07614 ,07477 ,07341 ,07206 ,07074 ,06943 ,06814 ,06687 1,9 ,06562 ,06439 ,06316 ,06195 ,06077 ,05959 ,05844 ,05730 ,05618 ,05508 2,0 ,05399 ,05292 ,05186 ,05082 ,04980 ,04879 ,04780 ,04682 ,04586 ,04491 2,1 ,04398 ,04307 ,04217 ,04128 ,04041 ,03955 ,03872 ,03788 ,03706 ,03626 2,2 ,03547 ,03470 ,03394 ,03319 ,03246 ,03174 ,03103 ,03034 ,02965 ,02898 2,3 ,02833 ,02768 ,02705 ,02643 ,02582 ,02522 ,02463 ,02406 ,02349 ,02294 2,4 02239 ,02186 ,02134 ,02083 ,02033 ,01984 ,01936 ,01889 ,01842 ,01797 2,5 ,01753 ,01709 ,01667 ,01625 ,01585 ,01545 ,01506 ,01468 ,01431 ,01394 2,6 ,01358 ,01323 ,01289 ,01256 ,01223 ,01191 ,01160 ,01130 ,01100 ,01071 2,7 ,01042 ,01014 ,00987 ,00961 ,00935 ,00909 ,00885 ,00861 ,00837 ,00814 2,8 ,00792 ,00770 ,00748 ,00727 ,00707 ,00687 ,00668 ,00649 ,00631 ,00613 2,9 ,00595 ,00578 ,00562 ,00545 ,00530 ,00514 ,00499 ,00485 ,00471 ,00457 3,0 ,00443 ,00430 ,00417 ,00405 ,00393 ,00381 ,00370 ,00358 ,00348 ,00337 3,1 ,00327 ,00317 ,00307 ,00298 ,00288 ,00279 ,00271 ,00262 ,00254 ,00246 3,2 ,00238 ,00231 ,00224 ,00216 ,00210 ,00203 ,00196 ,00190 ,00184 ,00178 3,3 ,00172 ,00167 ,00161 ,00156 ,00151 ,00146 ,00141 ,00136 ,00132 ,00127 3,4 ,00123 ,00119 ,00115 ,00111 ,00107 ,00104 ,00100 ,00097 ,00094 ,00090 3,5 ,00087 ,00084 ,00081 ,00079 ,00076 ,00073 ,00071 ,00068 ,00066 ,00063 3,6 ,00061 ,00059 ,00057 ,00055 ,00053 ,00051 ,00049 ,00047 ,00046 ,00044 3,7 ,00042 ,00041 ,00039 ,00038 ,00037 ,00035 ,00034 ,00033 ,00031 ,00030 3,8 ,00029 ,00028 ,00027 ,00026 ,00025 ,00024 ,00023 ,00022 ,00021 ,00021 3,9 ,00020 ,00019 ,00018 ,00018 ,00017 ,00016 ,00016 ,00015 ,00014 ,00014

42

TABLICA 4: Površine ispod normalne krivulje

Druga decimalna znamenka u Z Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 ,00000 ,00399 ,00798 ,01197 ,01595 ,01994 ,02392 ,02790 ,03188 ,03586 0,1 ,09383 ,04380 ,04776 ,05172 ,05567 ,05962 ,06356 ,06749 ,07142 ,07535 0,2 ,07926 ,08317 ,03706 ,09095 ,09483 ,09871 ,10257 ,10642 ,11026 ,11409 0,3 ,11791 ,12172 ,12552 ,12930 ,13307 ,13683 ,14058 ,14431 ,14803 ,15173 0,4 ,15542 ,15910 ,16276 ,16640 ,17003 ,17364 ,17724 ,18082 ,18439 ,18793 0,5 ,19146 ,19497 ,19847 ,20194 ,20540 ,20884 ,21226 ,21566 ,21904 ,22240 0,6 ,22575 ,22907 ,23237 ,23565 ,23891 ,24215 ,24537 ,24857 ,25175 ,25490 0,7 ,25804 ,26115 ,26424 ,26730 ,27035 ,27337 ,27637 ,27935 ,28230 ,28524 0,8 ,28814 ,29103 ,29389 ,29673 ,29955 ,30234 ,30511 ,30785 ,31057 ,31327 0,9 ,31594 ,31859 ,32121 ,32381 ,32639 ,32894 ,33147 ,33398 ,33646 ,33891 1,0 ,34134 ,34375 ,34614 ,34850 ,35083 ,35314 ,35543 ,35769 ,35993 ,36214 1,1 ,36433 ,36650 ,36864 ,37076 ,37286 ,37493 ,37698 ,37900 ,38100 ,38298 1,2 ,38293 ,38686 ,38877 ,39065 ,39251 ,39435 ,39617 ,39796 ,39973 ,40147 1,3 ,40320 ,40490 ,40658 ,40824 ,40988 ,41149 ,41309 ,41466 ,41621 ,41774 1,4 ,41924 ,42073 ,42220 ,42364 ,42507 ,42647 ,42786 ,42922 ,43056 ,43189 1,5 ,43319 ,43448 ,43574 ,43699 ,43822 ,43943 ,44062 ,44179 ,44295 ,44408 1,6 ,44520 ,44630 ,44738 ,44845 ,44950 ,45053 ,45154 ,45254 ,45352 ,45449 1,7 ,45543 ,45637 ,45728 ,45818 ,45907 ,45994 ,46080 ,46164 ,46246 ,46327 1,8 ,46407 ,46485 ,46562 ,46638 ,46712 ,46784 ,46856 ,46926 ,46995 ,47062 1,9 ,47128 ,47193 ,47257 ,47320 ,47381 ,47441 ,47500 ,47558 ,47615 ,47670 2,0 ,47725 ,47778 ,47831 ,47882 ,47932 ,47982 ,48030 ,48077 ,48124 ,48169 2,1 ,48214 ,48257 ,48300 ,48341 ,48382 ,48422 ,48461 ,48500 ,48537 ,48574 2,2 ,48610 ,48645 ,48679 ,48713 ,48745 ,48778 ,48809 ,48840 ,48870 ,48899 2,3 ,48928 ,48956 ,48983 ,49010 ,49036 ,49061 ,49086 ,49111 ,49134 ,49158 2,4 ,49180 ,49202 ,49224 ,49245 ,49266 ,49286 ,49305 ,49324 ,49343 ,49361 2,5 ,49379 ,49396 ,49413 ,49430 ,49446 ,49461 ,49477 ,49492 ,49506 ,49520 2,6 ,49534 ,49547 ,49560 ,49573 ,49585 ,49598 ,49609 ,49621 ,49632 ,49643 2,7 ,49653 ,49664 ,49674 ,49683 ,49693 ,49702 ,49711 ,49720 ,49728 ,49736 2,8 ,49744 ,49752 ,49760 ,49767 ,49774 ,49781 ,49788 ,49795 ,49801 ,49807 2,9 ,,49813 ,49819 ,49825 ,49831 ,49836 ,49841 ,49846 ,49851 ,49856 ,49861 3,0 ,49865 ,49869 ,49874 ,49878 ,49882 ,49886 ,49889 ,49893 ,49897 ,49900 3,1 ,49903 ,49906 ,49910 ,49913 ,49916 ,49918 ,49921 ,49924 ,49926 ,49929 3,2 ,49931 ,49934 ,49936 ,49938 ,49940 ,49942 ,49944 ,49946 ,49948 ,49950 3,3 ,49952 ,49953 ,49955 ,49957 ,49958 ,49960 ,49961 ,49962 ,49964 ,49965 3,4 ,49966 ,49968 ,49969 ,49970 ,49971 ,49972 ,49973 ,49974 ,49975 ,49976 3,5 ,4997674 4,0 ,4999683 4,5 ,4999966 5,0 ,499999713

TABLICA 5: Vrijednosti χ2 i pripadne vrijednosti P(χ2) za stupnjeve slobode k = 1, 2, 3, …, 30 k 0,99 0,98 0,95 0,90 0,80 0,70 0,50 0,30 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001

1 0,000 0,001 0,004 0,016 0,064 0,148 0,455 1,074 1,642 2,706 3,841 5,412 6,635 10,827 2 0,020 0,040 0,103 0,211 0,446 0,713 1,366 2,408 3,219 4,605 5,991 7,824 9,210 13,815 3 0,115 0,185 0,352 0,584 1,005 1,424 2,366 3,665 4,642 6,251 7,815 9,837 11,341 16,268 4 0,297 0,429 0,711 1,064 1,649 2,195 3,357 4,878 5,989 7,779 9,488 11,668 13,277 18,465 5 0,554 0,752 1,145 1,610 2,343 3,000 4,351 6,064 7,289 9,236 11,070 13,388 15,086 20,517 6 0,872 1,134 1,635 2,204 3,070 3,828 5,348 7,291 8,558 10,645 12,592 15,033 16,812 22,457 7 1,239 1,564 2,167 2,833 3,822 4,671 6,346 8,383 9,803 12,017 14,067 16,622 18,475 24,322 8 1,646 2,032 2,733 3,490 4,594 5,527 7,344 9,524 11,030 13,362 15,507 18,168 20,090 26,125 9 2,088 2,532 3,325 4,168 5,380 6,393 8,343 10,656 12,242 14,684 16,919 19,679 21,666 27,877

10 2,558 3,059 3,940 4,865 6,179 7,267 9,342 11,781 13,442 15,987 18,307 21,161 23,209 29,588 11 3,053 3,609 4,575 5,578 6,989 8,148 10,341 12,899 14,631 17,275 19,675 22,618 24,725 31,264 12 3,571 4,178 5,226 6,304 7,807 9,034 11,340 14,011 15,812 18,549 21,026 24,054 26,217 32,909 13 4,107 2,765 5,982 7,042 8,634 9,926 12,340 15,119 16,985 19,812 22,362 25,472 27,688 34,528 14 4,660 5,368 6,571 7,790 9,467 10,821 13,339 16,222 18,151 21,064 23,685 26,873 29,141 35,123 15 5,229 5,985 7,261 8,547 10,307 11,721 14,339 17,322 19,311 22,307 24,996 28,259 30,578 37,697 16 5,812 6,614 7,962 9,312 11,152 12,624 15,338 18,418 20,465 23,542 26,296 29,633 32,000 39,252 17 6,408 7,255 8,672 10,085 12,002 13,531 16,338 19,511 21,615 24,769 27,587 30,995 33,409 40,790 18 7,015 7,906 9,390 10,865 12,857 14,440 17,338 20,601 22,760 22,760 25,989 32,346 34,805 42,312 19 7,633 8,567 10,117 11,651 13,716 15,352 18,338 21,689 23,900 27,204 30,144 33,687 36,191 43,820 20 8,260 9,237 10,851 12,443 14,578 16,266 19,337 22,775 25,038 28,412 31,410 35,020 37,366 45,315 21 8,897 9,915 11,391 13,240 15,445 17,182 20,337 23,858 26,171 26,615 32,671 36,343 38,932 46,797 22 9,542 10,600 12,338 14,041 16,314 18,101 21,337 24,939 27,301 30,813 33,924 37,659 40,289 48,268 23 10,196 11,293 13,091 14,848 17,187 19,021 22,337 26,018 28,429 32,007 35,172 38,968 41,638 49,728 24 10,856 11,992 13,848 15,659 18,062 19,943 23,337 27,096 29,553 33,196 36,415 40,270 42,980 51,179 25 11,524 12,697 14,611 16,473 18,940 20,867 24,337 28,172 30,675 34,382 37,652 41,566 44,314 52,620 26 12,198 13,409 15,379 17,292 19,820 21,792 25,336 29,246 31,795 35,563 38,885 42,856 45,642 54,052 27 12,879 14,125 16,151 18,114 20,703 22,719 26,336 30,319 32,912 36,741 40,113 44,140 46,963 55,476 28 13,565 14,847 16,928 18,939 21,588 23,647 27,336 31,391 34,027 37,916 41,337 45,419 48,278 56,893 29 14,256 15,574 17,708 19,768 22,475 24,577 28,336 32,461 35,139 39,087 42,557 46,693 49,588 58,302 30 14,953 16,306 18,493 20,599 23,364 25,508 29,336 33,530 36,250 40,256 43,773 47,962 50,892 59,703

TABLICA 6: Vrijednosti t za Studentovu razdiobu, uz vjerojatnosti Q(t) i stupnjeve slobode k = 1, 2, 3, …, 30

k 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,001 1 0,158 0,325 0,510 0,727 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,6192 0,142 0,289 0,445 0,617 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,5983 0,137 0,277 0,424 0,584 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,9414 0,134 0,271 0,414 0,569 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,6105 0,132 0,267 0,408 0,559 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,8596 0,131 0,265 0,404 0,553 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,9597 0,130 0,263 0,402 0,549 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,4058 0,130 0,262 0,399 0,546 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,0419 0,129 0,261 0,398 0,543 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781

10 0,129 0,260 0,397 0,542 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,58711 0,129 0,260 0,396 0,540 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,43712 0,128 0,259 0,395 0,539 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,31813 0,128 0,259 0,394 0,538 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,22114 0,128 0,258 0,393 0,537 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,14015 0,128 0,258 0,393 0,536 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,07316 0,128 0,258 0,392 0,535 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,01517 0,128 0,257 0,392 0,534 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,96518 0,127 0,257 0,392 0,534 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,92219 0,127 0,257 0,391 0,533 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,88320 0,127 0,257 0,391 0,533 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,85021 0,127 0,257 0,391 0,532 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,81922 0,127 0,256 0,390 0,532 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,79223 0,127 0,256 0,390 0,532 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,76724 0,127 1,256 0,390 0,531 0,665 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,74525 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,72526 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,70727 0,127 0,256 0,389 0,531 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,69028 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,267 2,763 3,67429 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,65930 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646

45

TABLICA 7: Vjerojatnosti pri binomnoj razdiobi

p x 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

n = 5 0 ,77378 ,73390 ,69569 ,65908 ,62403 ,5905 ,3277 ,1681 ,0778 ,0313 1 ,19363 ,23423 ,26182 ,28656 ,30859 ,3280 ,4096 ,3601 ,2592 ,1562 2 ,02143 ,02990 ,03941 ,04983 ,06104 ,0729 ,2048 ,3087 ,3456 ,3125 3 ,00113 ,00191 ,00297 ,00434 ,00604 ,0081 ,0512 ,1323 ,2304 ,3125 4 ,00003 ,00006 ,00011 ,00019 ,00029 ,0005 ,0064 ,0284 ,0768 ,1562 5 ,00000 ,00000 ,00000 ,00000 ,00001 ,0000 ,0003 ,0024 ,0102 ,0313

n = 10 0 ,59874 ,53862 ,48398 ,43439 ,38942 ,3487 ,1074 ,0282 ,0060 ,0010 1 ,31512 ,34379 ,36429 ,37773 ,38513 ,3874 ,2684 ,1211 ,0404 ,0097 2 ,07464 ,09875 ,12334 ,14780 ,17141 ,1937 ,3020 ,2335 ,1209 ,0440 3 ,01047 ,01681 ,02476 ,03428 ,04521 ,0574 ,2013 ,2668 ,2150 ,1172 4 ,00097 ,00188 ,00327 ,00521 ,00782 ,0112 ,0881 ,2001 ,2508 ,2051 5 ,00006 ,00014 ,00029 ,00055 ,00093 ,0015 ,0264 ,1030 ,2007 ,2460 6 ,00000 ,00001 ,00002 ,00004 ,00008 ,0001 ,0055 ,0367 ,1114 ,2051 7 ,00000 ,00000 ,00000 ,00000 ,0000 ,0008 ,0090 ,0425 ,1172 8 ,0001 ,0015 ,0106 ,0440 9 ,0000 ,0001 ,0016 ,0097 10 ,0000 ,0001 ,0010

n = 15

0 ,46329 ,39529 ,33670 ,28630 ,24301 ,2059 ,0352 ,0047 ,0005 ,0000 1 ,36576 ,37847 ,38015 ,37343 ,36050 ,3431 ,1319 ,0306 ,0047 ,0005 2 ,13475 ,16911 ,20029 ,22730 ,24959 ,2669 ,2309 ,0915 ,0219 ,0032 3 ,03073 ,04677 ,06533 ,08566 ,10696 ,1285 ,2502 ,1701 ,0634 ,0139 4 ,00486 ,00896 ,01475 ,02234 ,03174 ,0429 ,1876 ,2186 ,1268 ,0416 5 ,00056 ,00125 ,00244 ,00427 ,00690 ,0105 ,1031 ,2061 ,1859 ,0917 6 ,00005 ,00014 ,00031 ,00062 ,00114 ,0019 ,0430 ,1473 ,2066 ,1527 7 ,00000 ,00001 ,00003 ,00007 ,00014 ,0003 ,0139 ,0811 ,1771 ,1964 8 ,00000 ,00000 ,00001 ,00002 ,0000 ,0034 ,0348 ,1181 ,1964 9 ,00000 ,00000 ,0001 ,0115 ,0612 ,1527 10 ,0000 ,0030 ,0245 ,0917 11 ,0006 ,0074 ,0416 12 ,0001 ,0016 ,0139 13 ,0000 ,0003 ,0032 14 ,0000 ,0005 15 ,0000

46

TABLICA 7 (nastavak)

p x 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

n = 20 0 ,35849 ,29011 ,23424 ,18869 ,15164 ,1216 ,0115 ,0008 ,0000 ,0000 1 ,37735 ,37034 ,35262 ,32817 ,29996 ,2701 ,0577 ,0068 ,0005 ,0000 2 ,18868 ,22458 ,25214 ,27109 ,28183 ,2852 ,1369 ,0279 ,0031 ,0002 3 ,05958 ,08600 ,11387 ,14143 ,16724 ,1901 ,2053 ,0716 ,0124 ,0011 4 ,01333 ,02334 ,03642 ,05228 ,07029 ,0898 ,2182 ,1307 ,0350 ,0046 5 ,00224 ,00476 ,00878 ,01454 ,02225 ,0319 ,1746 ,1789 ,0746 ,0148 6 ,00030 ,00076 ,00165 ,00316 ,00550 ,0089 ,1091 ,1916 ,1244 ,0370 7 ,00003 ,00010 ,00025 ,00055 ,00109 ,0020 ,0546 ,1643 ,1659 ,0739 8 ,00000 ,00001 ,00003 ,00008 ,00017 ,0003 ,0221 ,1144 ,1797 ,1201 9 ,00000 ,00000 ,00001 ,00003 ,0001 ,0074 ,0653 ,1597 ,1602 10 ,00000 ,00000 ,0000 ,0020 ,0309 ,1172 ,1762 11 ,0005 ,0120 ,0710 ,1602 12 ,0001 ,0038 ,0355 ,1201 13 ,0003 ,0049 ,0739 14 ,0000 ,0013 ,0370 15 ,0003 ,0148 16 ,0000 ,0046 17 ,0011 18 ,0002 19 ,0000

n = 30

0 ,21464 ,15626 ,11337 ,08197 ,05905 ,0424 ,0012 ,0000 ,0000 ,0000 1 ,33890 ,29921 ,25599 ,21382 ,17522 ,1413 ,0093 ,0003 ,0000 ,0000 2 ,25864 ,27693 ,27939 ,26961 ,25126 ,2277 ,0337 ,0018 ,0000 ,0000 3 ,12705 ,16498 ,19627 ,21881 ,23194 ,2360 ,0785 ,0072 ,0003 ,0000 4 ,04513 ,07108 ,09972 ,12843 ,15484 ,1771 ,1325 ,0209 ,0012 ,0000 5 ,01236 ,02359 ,03903 ,05807 ,07963 ,1023 ,1723 ,0464 ,0042 ,0002 6 ,00271 ,00628 ,01224 ,02104 ,03281 ,0474 ,1795 ,0829 ,0115 ,0005 7 ,00049 ,00137 ,00316 ,00628 ,01113 ,0180 ,1538 ,1219 ,0263 ,0019 8 ,00007 ,00025 ,00068 ,00156 ,00316 ,0058 ,1105 ,1501 ,0505 ,0055 9 ,00001 ,00004 ,00013 ,00034 ,00077 ,0015 ,0676 ,1573 ,0823 ,0133 10 ,00000 ,00001 ,00002 ,00006 ,00016 ,0004 ,0355 ,1416 ,1152 ,0280 11 ,00000 ,00000 ,00001 ,00002 ,0001 ,0161 ,1103 ,1396 ,0508 12 ,00000 ,00001 ,0000 ,0064 ,0748 ,1474 ,0806 13 ,00000 ,0022 ,0444 ,1360 ,1115 14 ,0007 ,0232 ,1101 ,1355 15 ,0002 ,0105 ,0783 ,1444 16 ,0000 ,0043 ,0490 ,1355 17 ,0015 ,0279 ,1115 18 ,0004 ,0119 ,0806 19 ,0002 ,0054 ,0508 20 ,0000 ,0020 ,0280 21 ,0007 ,0133 22 ,0002 ,0055 23 ,0000 ,0019 24 ,0005 25 ,0002 26 ,0000

47

TABLICA 8: Vjerojatnosti pri Poissonovoj razdiobi

λ x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 ,90484 ,81873 ,74082 ,67032 ,60653 ,54881 ,49659 ,44933 ,40657 ,36788 1 ,09048 ,16374 ,22225 ,26813 ,30327 ,32929 ,34761 ,35946 ,36591 ,36788 2 ,00452 ,01638 ,03334 ,05363 ,07582 ,09879 ,12166 ,14379 ,16466 ,18394 3 ,00015 ,00109 ,00333 ,00715 ,01264 ,01976 ,02839 ,03834 ,04940 ,06131 4 ,00000 ,00006 ,00025 ,00072 ,00158 ,00296 ,00497 ,00767 ,01112 ,01533 5 ,00000 ,00002 ,00006 ,00016 ,00036 ,00070 ,00123 ,00200 ,00307 6 ,00000 ,00000 ,00001 ,00004 ,00008 ,00015 ,00030 ,00051 7 ,00000 ,00000 ,00001 ,00002 ,00004 ,00007 8 ,00000 ,00000 ,00000 ,00001 9 ,00000

λ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 ,13534 ,04979 ,01832 ,00674 ,00248 ,00091 ,00034 ,00012 ,00005 ,00002 1 ,27067 ,14936 ,07326 ,03369 ,01287 ,00638 ,00268 ,00111 ,00045 ,00018 2 ,27067 ,22404 ,14653 ,08422 ,04462 ,02234 ,01074 ,00500 ,00227 ,00101 3 ,18045 ,22404 ,19537 ,14037 ,08924 ,05213 ,02863 ,01499 ,00757 ,00371 4 ,09022 ,16803 ,19537 ,17547 ,13385 ,09123 ,05725 ,03374 ,01892 ,01019 5 ,03609 ,10082 ,15629 ,17547 ,16062 ,12772 ,09160 ,06073 ,03783 ,02242 6 ,01203 ,05041 ,10420 ,14622 ,16062 ,14900 ,12214 ,09109 ,06306 ,04110 7 ,00344 ,02160 ,05954 ,10445 ,13768 ,14900 ,13959 ,11712 ,09008 ,06458 8 ,00086 ,00810 ,02977 ,06528 ,10328 ,13038 ,13959 ,13176 ,11260 ,08879 9 ,00019 ,00270 ,01323 ,03627 ,06884 ,10141 ,12408 ,13176 ,12511 ,10853 10 ,00004 ,00081 ,00529 ,01813 ,04130 ,07098 ,09926 ,11858 ,12511 ,11938 11 ,00001 ,00022 ,00193 ,00824 ,02253 ,04517 ,07219 ,09702 ,11374 ,11938 12 ,00000 ,00006 ,00064 ,00343 ,01126 ,02635 ,04813 ,07277 ,09478 ,10943 13 ,00001 ,00020 ,00132 ,00520 ,01419 ,02962 ,05038 ,07291 ,09260 14 ,00000 ,00006 ,00047 ,00223 ,00709 ,01692 ,03238 ,05208 ,07275 15 ,00002 ,00016 ,00089 ,00331 ,00903 ,01943 ,03472 ,05335 16 ,00000 ,00005 ,00033 ,00145 ,00451 ,01093 ,02170 ,03668 17 ,00001 ,00012 ,00060 ,00212 ,00579 ,01276 ,02373 18 ,00000 ,00004 ,00023 ,00094 ,00289 ,00709 ,01450 19 ,00001 ,00009 ,00040 ,00137 ,00373 ,00840 20 ,00000 ,00003 ,00016 ,00062 ,00187 ,00462 21 ,00001 ,00006 ,00026 ,00089 ,00243 22 ,00000 ,00002 ,00011 ,00040 ,00121 23 ,00001 ,00004 ,00017 ,00058 24 ,00000 ,00002 ,00007 ,00027 25 ,00001 ,00003 ,00012 26 ,00000 ,00001 ,00005 27 ,00000 ,00002 28 ,00001 29 ,00000

48

TABLICA 9: Kritične vrijednosti koeficijenta korelacije ranga

Razina signifikantnosti Veličina uzorka n 5% 1%

6 0,829 0,943 7 0,714 0,893 8 0,643 0,833 9 0,600 0,783 10 0,564 0,746 12 0,506 0,712 14 0,456 0,645 16 0,425 0,601 18 0,399 0,564 20 0,377 0,534 22 0,359 0,508 24 0,343 0,485 26 0,329 0,465 28 0,327 0,448 30 0,306 0,432

49

P R E G L E D F O R M U L A GRAFIČKO PRIKAZIVANJE

• Strukturni krug

x0 = 0360⋅cjelina

dio x0

diocjelina

– isječak (sektor kruga) – parcijalna frekvencija pojave – ukupna frekvencija

πPr =

rP

π

– polumjer kruga – ukupna frekvencija koja se prikazuje grafički – Ludolfov broj (3,14)

• Strukturni polukrug

00 180⋅=cjelina

diox x0

diocjelina

– isječak (sektor kruga) – parcijalna frekvencija pojave – ukupna frekvencija

πPr 2

= rP

π

– polumjer kruga – ukupna frekvencija koja se prikazuje grafički – Ludolfov broj (3,14)

RELATIVNI BROJEVI

• Postoci

100⋅=cjelina

dioP Pdio

cjelina

- postotak, relativna frekvencija - parcijalna frekvencija pojve - ukupna frekvencija

• Relativni brojevi koordinacije (RBK)

2

1

ffRBK =

1

2

ffRBK =

f1f2

- frekvencija jedne statističke pojave (mase) - frekvencija druge statističke pojave (mase)

50

• Indeksi

1001 ⋅=Bf

fI

If1 fB

- indeks - jedna frekvencija statističke pojave - druga frekvencija iste statističke pojave (baza usporedbe)

NUMERIČKI NIZ Srednje vrijednosti

• Aritmetička sredina Jednostavna (negrupirani podaci)

N

xx

N

ii∑

== 1

Vagana (grupirani podaci)

∑

∑

=

=

⋅= n

ii

n

iii

f

fxx

1

1

xfi Nxi

- aritmetička sredina - frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n

• Harmonijska sredina Jednostavna (negrupirani podaci)

∑=

= N

i ix

NH

1

1

Vagana (grupirani podaci)

∑

∑

=

== n

i i

i

n

ii

xf

fH

1

1

Hfi Nxi

- harmonijska sredina - frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n

51

• Geometrijska sredina

Jednostava (negrupirani podaci)

∑=

⋅=N

iix

NG

1log1log

ili N

NxxxG ⋅⋅⋅= ...21 Vagana (grupirani podaci)

∑∑ =

=

⋅⋅=n

iiin

ii

xff

G1

1

log1log

ili N f

kff kxxxG ⋅⋅⋅= ...21

21

Gfi Nxi

log

- geometrijska sredina - frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n - Logaritam

• Mod Grupirani podaci (distribucija frekvencija s razredima)

( ) ( ) icbab

abLMo ⋅−+−

−+= 1

MoL1 b

aci

- mod - donja granica modalnog razreda - najveća frekvencija u nizu (najveća korigirana frekvencija kod nejednakih razreda) - frekvencija iznad b - frekvencija ispod b - veličina modalnog razreda

if

f ic =

fc fi i

- korigirana frekvencija - frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n - veličina razreda čija se frekvencija korigira

• Medijan Negrupirani podaci

2

1+=

Nr

21Nr =

112 += rr

2

21 rr xxMe +=

r

r1, r2

N

Mexr1, xr2

- redni broj podatka, koji predočuje medijan u uređenom nizu s neparnim brojem članova (jedinica) - redni brojevi podataka u uređenom nizu s parnim brojem članova (jedinica) - ukupan broj članova (jedinica) u nizu - medijan - podatak s rednim brojem r1 tj. r2

52

Grupirani podaci (distribucija frekvencija s razredima)

if

fN

LMemed

⋅−

+=∑ 1

12

L1 ∑ f1 fmed

i

- donja granica medijalnog razreda - zbroj frekvencija do medijalnog razreda - frekvencija medijalnog razreda - veličina medijlanog razreda

Mjere disperzije

• Raspon varijacije minmax xxR −=

Rxmax xmin

- raspon varijacije - najveća vrijednost numeričkog obilježja - najmanja vrijednost numeričkog obilježja

• Kvartili Donji kvartil Negrupirani podaci

41Nr =

112 += rr

2

211

rr xxQ

+=

Grupirani podaci (distribucija frekvencija s razredima)

if

fN

LQQ

⋅−

+=∑

1

1

114

r1, r2

N

Q1 xr1, xr2

L1 ∑ f1 fQ1

i

- redni brojevi podataka u uređenom nizu kojima se određuje donji kvartil - ukupan broj članova (jedinica) u nizu - donji kvartil - podatak s rednim brojem r1 tj. r2 - donja granica kvartilnog razreda - zbroj frekvencija do kvartilnog razreda - frekvencija kvartilnog razreda - veličina kvartilnog razreda

Gornji kvartil Negrupirani podaci

4

31

Nr =

112 += rr

53

2

213

rr xxQ

+=

Grupirani podaci (distribucija frekvencija s razredima)

if

fN

LQQ

⋅−

+=∑3

1

134

3

r1, r2

N

Q3 xr1, xr2

L1 ∑ f1 fQ3

i

- redni brojevi podataka u uređenom nizu kojima se određuje gornji kvartil - ukupan broj članova (jedinica) u nizu - gornji kvartil - podatak s rednim brojem r1 tj. r2 - donja granica kvartilnog razreda - zbroj frekvencija do kvartilnog razreda - frekvencija kvartilnog razreda - veličina kvartilnog razreda

• Interkvartil 13 QQIQ −=

IQ Q1 Q3

- interkvartil - donji kvartil - gornji kvartil

• Koeficijent kvartilne devijacije

13

13

QQQQ

VQ +−

=

VQ Q1 Q3

- koeficijent kvartilne devijacije - donji kvartil - gornji kvartil

• Standardna devijacija

2µσ = σµ2

- standardna devijacija - varijanca ili drugi moment oko sredine

• Koeficijent varijacije

100⋅=x

V σ Vσx

- koeficijent varijacije - standardna devijacija - aritmetička sredina

54

Mjere asimetrije i mjere zaobljenosti

• Momenti oko nule Negrupirani podaci

N

xm

N

i

ki

k

∑== 1 ,

N

xm

N

ii∑

== 11 ,

N

xm

N

ii∑

== 1

2

2 ,

N

xm

N

ii∑

== 1

3

3 , N

xm

N

ii∑

== 1

4

4

Grupirani podaci

∑

∑

=

== n

ii

n

i

kii

k

f

xfm

1

1 ,

∑

∑

=

== n

ii

n

iii

f

xfm

1

11 ,

∑

∑

=

== n

ii

n

i

kii

f

xfm

1

1

2

2 ,

mk xi Nfi

- k-ti moment oko nule, k=0,1,... - vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n

∑

∑

=

== n

ii

n

iii

f

xfm

1

1

3

3 , ∑

∑

=

== n

ii

n

iii

f

xfm

1

1

4

4

• Momenti oko sredine Negrupirani podaci

( )N

xxkN

ii

k

∑=

−= 1µ ,

( )N

xxN

ii

2

12

∑=

−=µ ,

( )N

xxN

ii

3

13

∑=

−=µ ,

( )N

xxN

ii

4

14

∑=

−=µ

µk mk xi Nxfi

- k-ti moment oko sredine, k=0,1,... - k-ti moment oko nule, k=0,1,... - vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - aritmetička sredina - frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n

55

Grupirani podaci

( )

∑

∑

=

=

−= n

ii

kn

iii

k

f

xxf

1

1µ , ( )

∑

∑

=

=

−= n

ii

n

iii

f

xxf

1

2

12µ ,

( )

∑

∑

=

=

−= n

ii

n

iii

f

xxf

1

3

13µ ,

( )

∑

∑

=

=

−= n

ii

n

iii

f

xxf

1

4

14µ

10 =µ , 01 =µ

Pomoću momenata oko nule 2122 mm −=µ

312133 23 mmmm +−=µ

412

213144 364 mmmmmm −+−=µ

• Koeficijent asimetrije

33

3 σµ

α = α3 µ3 σ

- koeficijent asimetrije - treći moment oko sredine - standardna devijacija

• Pearsonove mjere asimetrije

σMoxSk

−=1

σ

)(32

MexSk−⋅

=

Sk

x MoMeσ

- Pearsonova mjera asimetrije - aritmetička sredina - mod - medijan - standardna devijacija

• Bowleyjeva mjera asimetrije

13

31 2QQ

MeQQSkQ −

−+=

SkQ Q1 Q3 Me

- Bowleyjeva mjera asimetrije - donji kvartil - gornji kvartil - medijan

56

• Koeficijent zaobljenosti

44

4 σµ

α = α4 µ4 σ

- koeficijent zaobljenosti - četvrti moment oko sredine - standardna devijacija

KOMBINATORIKA

• Permutacije Bez ponavljanja !nP = P

P

- permutacije bez ponavljanja - permutacije s ponavljanjem

S ponavljanjem

!!...!

!

21 krrrnP =

nr

- broj elemenata - razred

• Varijacije Bez ponavljanja

)!(

!rn

nV−

=

S ponavljanjem rnV =

VVnr

- varijacije bez ponavljanja - varijacije s ponavljanjem - broj elemenata - razred

• Kombinacije Bez ponavljanja

)!(!

!rnr

nrn

K−⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

S ponavljanjem

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

rrn

K1

KKnr

- kombinacije bez ponavljanja - kombinacije s ponavljanjem - broj elemenata - razred

57

VJEROJATNOST

• Matematička vjerojatnost ili vjerojatnost a priori

nmAP =)( P(A)

mn

- vjerojatnost događaja A - broj povoljnih mogućnosti - broj svih mogućnosti

• Statistička vjerojatnost ili vjerojatnost a posteriori

nAfAP )()( = P(A)

f(A)n

- vjerojatnost događaja A - frekvencija događaja A - broj izvršenih pokusa

• Suprotna vjerojatnost

)(1)( APAQ −= Q(A)

- suprotna vjerojatnost

1)()( =+ AQAP

P(A) - vjerojatnost događaja A

• Zbrajanje vjerojatnosti – vjerojatnost „ili-ili“ u ekskluzivnom smislu

)()()( BPAPBAP +=∪

P(A)P(B)

- vjerojatnost događaja A - vjerojatnost događaja B

• Množenje vjerojatnosti – vjerojatnost „i-i“

)()()( BPAPBAP ⋅=∩

P(A)P(B)

- vjerojatnost događaja A - vjerojatnost događaja B

• Vjerojatnost barem jedan – vjerojatnost „ili“ u inkluzivnom smislu

)()(1 BQAQP ⋅−=

)()()()()( BPAPBPAPBAP ⋅−+=∪

P(A)P(B)Q(A)Q(B)

- vjerojatnost događaja A - vjerojatnost događaja B - suprotna vjerojatnost događaja A - suprotna vjerojatnost događaja B

58

• Vjerojatnost samo jedan

)()()()( BPAQBQAPP ⋅+⋅=

P(A)P(B)Q(A)Q(B)

- vjerojatnost događaja A - vjerojatnost događaja B - suprotna vjerojatnost događaja A - suprotna vjerojatnost događaja B

• Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju

npP =1

npQ )1( −= npP )1(12 −−=

P1 QP2

pn

- vjerojatnost da događaj nastupi n-puta - vjerojatnost da događaj n-puta ne nastupi - vjerojatnost da događaj u n pokusa nastupi barem jedanput - vjerojatnost da će se dogoditi neki događaj - broj ponavljanja (pokusa)

• Uvjetna vjerojatnost

)()()/(

BPBAPBAP ∩

=

)()()/(

APBAPABP ∩

=

P(A/B)

P(B/A)

P(A)P(B)

- vjerojatnost događaja A uz uvjet događaja B - vjerojatnost događaja B uz uvjet događaja A - vjerojatnost događaja A - vjerojatnost događaja B

• Totalna vjerojatnost

)/()(...)/()()/()()( 2211 ii BAPBPBAPBPBAPBPAP ⋅++⋅+⋅=

P(A)

P(Bi)

- vjerojatnost događaja A - vjerojatnost događaja Bi, i=1, 2,..

• Bayesova formula

∑ ⋅⋅

=)/()(

)/()()/(

ii

iii BAPBP

BAPBPABP

P(A)P(Bi)

- vjerojatnost događaja A - vjerojatnost događaja Bi, i=1, 2,..

59

TEORIJSKE DISTRIBUCIJE

• Binomna distribucija

xnx qpxn

xP −⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=)( P(x)

- vjerojatnost da slučajna varijabla ima vrijednost x

pnXxE ⋅==)(

qpnxV ⋅⋅=)(

pnqV⋅

⋅= 100

qpn ⋅⋅=σ

qpnpq⋅⋅

−=3α

qpnqp

⋅⋅⋅⋅−

+=6134α

ppnMoqpn +⋅≤≤−⋅

E(x)xnpq

V(x)Vσα3 α4

Mo

- matematičko očekivanje - broj nastupanja događaja A u n pokusa - broj elemenata u uzorku ili broj pokusa - vjerojatnost ostvarenja događaja A - vjerojatnost nenastupanja događaja A - varijanca - koeficijent varijacije - standardna devijacija - koeficijent asimetrije - koeficijent zaobljenosti - mod

• Poissonova distribucija

λλ −⋅= ex

xPx

!)(

λ−= eP )0(

P(x)

e

- vjerojatnost da slučajna varijabla ima vrijednost x - baza prirodnog logaritma, e= 2,7182...

λ== XxE )(

λ=)(xV

λλ⋅

=100V

λσ =

λα 1

3 =

λα 134 +=

λλ ≤≤− Mo1

E(x)λ

V(x)Vσα3 α4

Mo

- matematičko očekivanje - lamda - varijanca - koeficijent varijacije - standardna devijacija - koeficijent asimetrije - koeficijent zaobljenosti - mod

60

• Normalna ili Gaussova distribucija

2

2

2)(

21)( σ

πσ

xx

exf−

−⋅

⋅= f(x)

- funkcija vjerojatnosti tj. gustoća razdiobe

2

2

21)(

z

ezf−

⋅=π

; σ

xxz −=

03 =α

34 =α

xx σeπα3 α4

- tekuća vrijednost slučajne varijable - aritmetička sredina osnovnog skupa - standardna devijacija - baza prirodnog logaritma, e= 2,7182... - Ludolfov broj (3,14) - koeficijent asimetrije - koeficijent zaobljenosti

METODA UZORAKA

• Frakcija izbora

Nnf = f

nN

- frakcija izbora - uzorak - populacija, osnovni skup

Metode procjene

• Procjena aritmetičke sredine osnovnog skupa Interval:

xx

stxXstx ⋅+<<⋅−

X x t

xs

- aritmetička sredina osnovnog skupa - aritmetička sredina uzorka - koeficijent pouzdanosti - standardna greška procjene aritmetičke sredine

f<0,05

n>30 nss

x=

n<30 1−

=nss

x

f>0,05

n>30 1−

−⋅=

NnN

nss

x

n<30 11 −

−⋅

−=

NnN

nss

x

n>50 σ=s

n<50 1−

=n

ns

s σ

- procijenjena standardna devijacija osnovnog skupa - standardna devijacija

61

• Procjena totala osnovnog skupa

Interval:

∑ ∑∑ ∑⋅+<<∑⋅− '' '' xx stxXstx

∑X∑x'

t

∑ 'xs

- total osnovnog skupa - procijenjeni total - koeficijent pouzdanosti - standardna greška procjene totala

∑ ⋅= xNx'

xx sNs ⋅=∑ '

xs

- standardna greška procjene aritmetičke sredine

• Procjena proporcije osnovnog skupa Interval:

pp stpPstp ⋅+<<⋅−

Ppt

ps

- proporcija osnovnog skupa - proporcija uzorka - koeficijent pouzdanosti - standardna greška procjene proporcije

f<0,05

1−⋅

=n

qps p

f>0,05

11 −

−⋅

−⋅

=N

nNn

qps p

pq −= 1

62

Testiranje hipoteze (z-test)

• Testiranje hipoteze o nepoznatoj sredini osnovnog skupa

00 : XXH =

01 : XXH ≠

H0 H1

X0X

- nul-hipoteza - alternativna hipoteza - aritmetička sredina osnovnog skupa - pretpostavljena aritmetička sredina osnovnog skupa

x

s

xXz

−=

0

zx x

s

- z-vrijednost - aritmetička sredina uzorka - standardna greška procjene aritmetičke sredine osnovnog skupa

• Testiranje hipoteze o nepoznatoj proporciji osnovnog skupa

00 : PPH =

01 : PPH ≠

H0 H1 P

P0

- nul-hipoteza - alternativna hipoteza - proporcija osnovnog skupa - pretpostavljena proporcija osnovnog skupa

ps

pPz

−= 0

zp ps

- z-vrijednost - proporcija uzorka - standardna greška procjene proporcije onovnog skupa

• Testiranje hipoteze o jednakosti aritmetičkih sredina dvaju osnovnih skupova

210 : XXH =

211 : XXH ≠

H0 H1

1X2X

- nul-hipoteza - alternativna hipoteza - aritmetička sredina prvog osnovnog skupa - aritmetička sredina drugog osnovnog skupa

21

21

xxs

xxz

−

−=

z1x

2x

21 xxs

−

- z-vrijednost - aritmetička sredina uzorka iz prvog osnovnog skupa - aritmetička sredina uzorka iz drugog osnovnog skupa - standardna greška razlike aritmetičkih sredina

63

n>30

2

22

1

21

21 ns

ns

sxx +=

−

n<30

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

−21

21

11nn

ssxx

221

222

211

−++

=nn

snsns

• Testiranje hipoteza o jednakosti proporcija dvaju osnovnih skupova

210 : PPH =

211 : PPH ≠

H0 H1

1P

2P

- nul-hipoteza - alternativna hipoteza - proporcija prvog osnovnog skupa - proporcija drugog osnovnog skupa

21

21

ppspp

z−

−=

z1p

2p

21 pps −

- z-vrijednost - proporcija uzorka iz prvog osnovnog skupa - proporcija uzorka iz drugog osnovnog skupa - standardna greška razlike proporcija

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅=−

21

1121 nn

QPs pp

21

21

nnmmP

++

=

PQ −= 1

PQ

m1

m2

- prosječna proporcija - procječna suprotna proporcija - broj jedinica iz prvog uzorka s nekim odabranim svojstvom - broj jedinica iz drugog uzorka s nekim odabranim svojstvom

HI – KVADRAT TEST

)()(: 00 xFxFH =

)()(: 01 xFxFH ≠

H0 H1

F(x) F0(x)

- nul-hipoteza - alternativna hipoteza - zadana empirijska razdioba - pretpostavljena teorijska razdioba

∑=

−=

n

i i

ii

fff

1'

2'2 )(

χ

2χ fi fi

'

- hi-kvadrat test - empirijske frekvencije, i=1,...,n - teorijske frekvencije, i=1,...,n

64

)(' xPNfi ⋅=

)(' zYiNfi ⋅⋅

=σ

NP(x)

i

σY(z)

- ukupan broj jedinica - vjerojatnost odabrane teorijske distribucije - veličina razreda (interval između dviju vrijednosti numeričkog obilježja - standardna devijacija - ordinate gustoće jedinične normalne distribucije

1−= nk - uniformna distribucija

2−= nk - binomna i Poissonova

3−= nk - normalna distribucija

kn

- stupnjevi slobode - broj teorijskih frekvencija

KORELACIJSKA I REGRESIJSKA ANALIZA Linearna korelacija

• Jednadžbe pravaca regresije Jednadžba prvog pravca regresije

xbaYc ⋅+=

∑∑

∑ ∑−

−=

XXXYXXY

b2

XbYa ⋅−=

Yc

a, bXiYi

- vrijednost prvog pravca regresije - parametri prvog pravca regresije - frekvencije jedne pojave, i=1,...,n - frekvencije druge pojave, i=1,...,n

NX

X i∑= , N

YY i∑=

X

Y

N

- aritmetička sredina (prosječna vrijednost) prve pojave - aritmetička sredina (prosječna vrijednost) druge pojave - broj frekvencija u pojavi X ili Y

Jednadžba drugog pravca regresije

ybaXc ⋅+= ''

∑ ∑∑ ∑

−

−=

YYYXYXY

b2

'

YbXa '' −=

Xca', b'

- vrijednost drugog pravca regresije - parametri drugog pravca regresije

65

• Pearsonov koeficijent korelacije

∑ ∑∑

−⋅−

−⋅−=

22 )()(

)()(

YYXX

YYXXr

ii

ii r

XiYi

- koeficijent korelacije - frekvencije jedne pojave, i=1,...,n - frekvencije druge pojave, i=1,...,n

'bbr ⋅=

bb'

- parametar u prvoom pravcu regresije - parametar u drugom pravcu regresije

• Analiza varijance Jednadžba analize varijance

NYY

NYY

NYY cici ∑∑∑ −

+−

=− 222 )()()(

222npp σσσ +=

NYYi∑ −

=2

2 )(σ

NYYXYbYa

p∑ ∑ ∑−+

=2σ

NXYbYaY

np∑ ∑ ∑−−

=2

2σ

σ2

σp2

σnp2

- ukupna varijanca - protumačena varijanca - neprotumačena varijanca

Korelacija ranga

• Spearmanov koeficijent korelacije ranga

nn

dr

n

ii

s −

⋅−=

∑=

31

261

rs di n

- koeficijent korelacije ranga - razlika rangova - broj frekvencija u pojavi X ili Y

yxi rrd −= rx ry

- rang od pojve X - rang od pojave Y

66

VREMENSKI NIZ

• Individualni indeksi Verižni indeksi

1001

⋅=−t

tt Y

YV

Vt Yt

Yt-1

- verižni indeks - vrijednost pojave (frekvencija) u tekućem razdoblju, t=2,3,...,n - vrijednost pojave (frekvencija) u prethodnom razdoblju

Bazni indeksi

100⋅=b

tt Y

YI

It Yt

Yb

- bazni indeks - vrijednost pojave (frekvencija) u tekućem razdoblju, t=1,2,...,n - vrijednost pojave (frekvencija) u baznom razdoblju

• Linearni trend Ishodište na početku razdoblja

xbaYc ⋅+=

∑ ∑∑ ∑

−

−=

XXXYXXY

b2

XbYa ⋅−=

Yca,b

- vrijednost trenda - parametri trenda

NX

X i∑= , N

YY i∑= N

- broj vremenskih jedinica

Ishodište u sredini razdoblja

xbaYc ⋅+=

∑∑= 2X

XYb

N

Ya ∑=

Yca,b

- vrijednost trenda - parametri trenda

67

Bilješke: