stabilnost 07 - mke

8/11/2019 Stabilnost 07 - MKE

1/8

Predavanja, dr Ratko Salati- Teorija konstrukcija 2 , Stabilnost konstrukcija 1

5. METOD KONANIH ELEMENATA

5.1 Tradicionalne metode prorauna u Teoriji konstrukcija

Slika 5.1: Tradicionalne metode prorauna

Problem Teorije konstrukcija - Reavanje graninog (konturnog) problema mehanikekontinuuma, problem mehanike deformabilnog tela.

Pretpostavke i procedura prorauna

Uspostavljaju se osnovne relacije (funkcije) izmeu geometrijskih i fizikih veliina na elementudiferencijalno malih dimenzija.

Usvaja se pretpostavka neprekidnosti funkcija koje definiu ove veliine. Zavisnosti izmeu srednjih vrednosti ovih veliina proiruju se na ceo domen. Dobijene su diferencijalne jednaine (obine ili parcijalne), odnosno integralne ili integro-

diferencijalne jednaine. Utvruju se konturni (granini) i inicijalni uslovi. Dobijenom jednainom i graninim, odnosno inicijalnim uslovima, definisan je granini problem. Reenja graninog problema mogu biti u zatvorenom obliku i/ili priblina reenja zasnovana na

matematikoj diskretizaciji jednaina graninog problema. Priblina reenja svode problem na domen algebre, tj. reavanje sistema linearnih algebarskih

jednaina.

5.1 Karakteristike Metode konanih elemenata (MKE)

Savremena metoda numerike analize, metoda diskretne analize. Jednostavna matematika formulacija i matematiki aparat za reavanje problema. Osnov za razmatranje problema (umesto diferencijalno malog elementa) je deo domena konanih

dimenzija, poddomen konani element. Poddomen, konani element, ima iste karakteristike kao i domen. Jednaine pomou kojih se opisuje stanje u pojedinim konanim elementima su obine algebarske

jednaine. Domen sa beskonano mnogo stepeni slobode zamenjen je diskretnim modelom meusobno

povezanih konanih elemenata sa konanim brojem stepeni slobode (nepoznate veliine).

diferencijalnomali element

uslovi na konturi

domen


2/8

2 Predavanja, dr Ratko Salati- Teorija konstrukcija 2 , Stabilnost konstrukcija

Usvaja se pretpostavka da su konani elementi povezani u konanom broju taaka, vorovimamodela.

Slika 5.2: Metod konanih elemenata

Problem izbora diskretnog modela i izbora nepoznatih (stepena slobode) koji mogu da opiu

odgovarajui konturni problem. Uslov za primenu metode je bio razvoj raunarske tehnike (mogunost reavanja velikih sistema

jednaina).

Postupak

1. Razmatrani domen (nosa) se deli na konaan broj poddomena (konanih elemenata) formiranje mree konanih elemenata.

2.

Izbor konanog broja parametara (nepoznatih veli

ina) u

vorovima za opisivanje razmatranogproblema.

3. Izbor interpolacionih funkcija N za opisivanje stanja u svakom elementu pomou usvojenihnepoznatih veliina.

4. Uvrivanje parametara na na konturi domena.

5. Utvrivanje vornog optereenja.

6. Postavljanje uslovnih jednaina, matrice sistema i vektora slobodnih lanova.

7. Reavanje nepoznatih parametara (reavanje sistema algebarskih jednaina).

Elementi {u1, u2, u3, u4, u5, u6,u7, u8}Elementj {u3,u4,u9, u10, u11, u12, u5, u6}

,

, , ,

vor

konani element nepoznatiparametri u voru


3/8


Konfomni i nekonformni elementi

MKE je priblian postupak

1:Greka aproksimacije domena modelom

2:Greka aproksimacije konturnih uslova

3:Greka pri izboru interpolacionih funkcija

Slika 5.3: Greke u metodi konanih elemenata

5.2 Primena MKE na linijske nosae

Podele linijskih nosaa Puni (gredni) i reetkasti Ravni i prostorni nosai

Osnovne jednaine Konstitutivne veze Uslovi ravnotee vorova Uslovi kompatibilnosti vorova

Linearna teorija ravnog tapa Materijalna linearnost - Materijal je homogen izotropan i elastian Statika linearnost - Pomeranja su mala, vii stepeni nepoznatih veliina se mogu

zanemariti, uslovi ravnotee se mogu postaviti na nedeformisanom nosau Deformacijske veliine su male

Osnovne statike i kinematike veliine Generalisane sile i generalisana pomeranja (parametri pomeranja ili stepeni slobode)

Slika 5.4: Metod konanih elemenata u primeni na linijske nosae

1

2

3

2


4/8


Konstrukcije kod kojih je duina znatno vea od dimenzija poprenih preseka linijski nosai Elementi linijskih nosaa tapovi(pravi ili krivi) tapovi su meusobno povezani u vorovima (svaki tap moe biti povezan u najvie dva vora) Uz odreene pretpostavke vezane za popreni presek tapa, linijski nosai se mogu predstaviti

samo osama tapova, a stanje u linijskom nosau preko veliina u osama tapa

jednodimenzionalna analiza (Statike i deformacijske nepoznate su funkcije samo jednogargumenta ose nosaa) Nema greke modeliranja kod pravih tapova Interpolacione funkcije su tane Tana metoda deformacije

Matrica krutosti tapa(veza izmeu generalisanih sila i generalisanih pomeranja) Ekvivalentno optereenje je optereenje na krajevima tapa kojima se zamenjuju spoljanji

uticaji koji deluju du ose nosaa (jednako je negativnim reakcijama tapa sa totalno ukljetenimkrajevima).

Usvaja se pretpostavka da su aksijalno i fleksiono naprezanje meusobno nezavisna.

Interpolacione funkcije za interpolacione funkcije usvojena je kubna interpolacija i to Hermit-ovi polinomi.

1 3 2 2 3 2

Slika 5.5: Interpolacione funkcije kod linijskih nosaa

5.2.1 Problem stabilnosti linijskih nosaa

Varijacioni postupak se zasniva na stavu o stacionarnosti potencijalne energije nosaa. (Potencijalna

energija nosaa ima minimum.)Potencijalna energija nosaa jednaka je zbiru unutranje energije (deformacionog rada) i potencijalugeneralisanih sila u vorovima nosaa.

Potencijal generalisanih sila jednak je negativnom radu generalisanih sila.

Razmatra se samo fleksiona krutost tapa.


5/8


Slika 5.6: Problem stabilnosti tapa

Unutranja energija (deformacioni rad)

12

12 12 Potencijal generalisanih sila

Razmatra se problem stabilnosti, tako da postoji samo aksijalna generalisana sila. cos 1 coskako je

mali ugao, primenom Maklorenovog reda, i usvajanjem samo dva lana reda

cos 1 2! 4! cos 1 2! 1 1 2 2 12 1

2

Potencijalna energija 12 12 12

ako je gde su:

vektor interpolacionih funkcija vektor generalisanih pomeranja u vorovima


6/8


za interpolacione funkcije usvojena je kubna interpolacija i to Hermit-ovi polinomi

sada su prvi i drugi izvod vertikalnog pomeranja ose tapa

12

ili gde su fleksiona matrica krutosti tapa geometrijska matrica krutosti tapaintegracijom se dobija

12 6 12 66 4 6 2 12 6 12 66 2 6 4 12 12 43 6 312 12 3 4 3 10Na osnovu stava o stacionarnosti potencijalne energije dobija se jednaina stabilnosti 0 0Primer 1

Odrediti kriitino optereenje obostrano ukljetene grede primenom metode konanih elemenata.

Reenje

12 6 12 66 4 6 2 12 6 12 12 6 6 12 66 2 6 6 4 4 6 2 12 6 12 66 2 6 4

12 12 43 312 12 12 6 6 12 3 6 6 4 3 4 3 312 6 12 6 3 4 3

10

24 00 8 10 24 00 83


7/8


8/8


Geometrijska matrica krutosti sistema:

24

5

128 32 032 384 12

0 12 36

120

Jednaina stabilnosti: det 0

120 64 64 128 32 32 032 32 213.33 384 24 120 24 12 12 36 0 1 2 1 016 16 213.33 384 24 12

0 2 1 3 0

2232 3172 1290.66 149.33 0 0.200777 0.412467 0.807903 120 64 0.3765 Odreivanje obrtanja vora :

0.7 0.7 0.3765 20000 5271

62 52712 20000 3.0802 1.2050 5 3612 1.2050 18.0750 5271120 6420000 0.1406

46.0083 36.4979 036.4979 159.3583 22.31330 22.3133 6.9398

018.0750

64

0.24440.30810.9907

64

64 64 0.3081 6420000 9.8592 10

stabilnost 07 - mke

Documents