stability of discrete-time systems: new criteria and

22
HAL Id: inria-00073692 https://hal.inria.fr/inria-00073692 Submitted on 24 May 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Stability of Discrete-time Systems : New Criteria and Applications to Control Problems Abderrahman Iggidr, Mohamed Bensoubaya To cite this version: Abderrahman Iggidr, Mohamed Bensoubaya. Stability of Discrete-time Systems : New Criteria and Applications to Control Problems. [Research Report] RR-3003, INRIA. 1996, pp.18. inria-00073692

Upload: others

Post on 07-Jun-2022

2 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

HAL Id: inria-00073692https://hal.inria.fr/inria-00073692

Submitted on 24 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Stability of Discrete-time Systems : New Criteria andApplications to Control ProblemsAbderrahman Iggidr, Mohamed Bensoubaya

To cite this version:Abderrahman Iggidr, Mohamed Bensoubaya. Stability of Discrete-time Systems : New Criteria andApplications to Control Problems. [Research Report] RR-3003, INRIA. 1996, pp.18. �inria-00073692�

Page 2: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

ISS

N 0

249-

6399

ap por t de r ech er ch e

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Stability of Discrete-time Systems : New Criteriaand Applications to Control Problems

Abderrahman Iggidr and Mohamed Bensoubaya

N ˚ 3003

Septembre 1996

THEME 4

Page 3: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and
Page 4: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

�������������� �������������������������! "�#�� $�%���& '��(*)+��, -.�/�0��������1��2$3465�5�����7����828�9���:-;�82��<����>=?�������7 "�

@BADC%E�F!FHGJI�KLGJMON�PQPQRSC%FUT$GJM/CWVWXQI/GJK�EYC[Z�E�M�\�X�]�A�G�^<G

_�`bacd$c7egfih�jkdmlYnporqsjktUu�c�qvtxwJqsjkd$jkyzorqsjktxu{ c�ys|�y}q acdBcy�~txdBwYnkc��cy

��� t���cq�~txuY���c� oUwYwQt � q { c � c~ ` c � ~ ` c�u����x�x���Bf�h�cwJqscdm� � c$�����x��f����gw�oU��cy

�8�/���!�U���U����_�` c�oUjkd�tr��q ` j�y7o � qsjk~nkc7j�y�q}tmw � c�yscu�q7yst�d$cvuJc�?ysq�oU�Yjknkjkq |mysl�¡$~jkcu�q�~t�u { jkqsjkt�uYy��¢t �{ jky}~ � cq}c�£ qsjkd$cBuYtxuYnkjkuYc�o � ys|�y}qscdBy�¤¦¥ qgy ` tU��y ` tU�§qst¦lJysc�uYtxuJuYc�¨orqsjk©xcmy}cd$jª£ { c�«�uJj�q}c��¢lYuY~�qsjktxuYyory�¬­|�oUwYlJuYtU©��¢lYuY~�qsjktxuYy�jkuYy}qsc�o { tU��w�t�ysjkqsjk©�c { c�«�uYjkqscgtxuYcy®�¢t � y}qsl { |¨jkuY�mq ` c�y}qzoU�Jj�nkjkq |mtU��o��xjk©xc�uy}|¨y}qscd¯¤�h°c©xc � oUnQc�YoUdBwYnkcy�oUu { yst�d$c�oUwYwYnkjk~�orqsjktxuYy%qst�~�txu�q � txnYq ` ct � |±o � c�w � cysc�u¨q}c { qst7jknkn�lJysq � oUq}cq ` c�©xo � jktxlYy�q ` c�t � c�d$y�¤²B³�´Qµz¶�·Q�x¸��U� { jº¹­c � cuY~c¯c»�l�oUq}jktxuYy!¼Dy}cd$jª£ { c�«�uJj�q}cB�¢lYuY~q}jktxu<¼�ysq�oU�Yjknkjkq |¨¼%�½cc { ��or~�¾b¼�uYt�uYnkjkuYc�o �~t�u�q � t�n<y}|¨y}qscdBy�¤

¿kÀmÁÂÄàÅ�Æ ÁÂÈÇ�ÉkàʽËÌ

Í�ÎÐÏÏÎÐÑUÒ Ó<ÎÐÔÐÕ7Ö ÔÐ×�ÒpÎÐØUÖ ÙºÒ

Unite de recherche INRIA LorraineTechnopole de Nancy-Brabois, Campus scientifique,

615 rue de Jardin Botanique, BP 101, 54600 VILLERS LES NANCY (France)Telephone : (33) 83 59 30 30 – Telecopie : (33) 83 27 83 19

Antenne de Metz, technopole de Metz 2000, 4 rue Marconi, 55070 METZTelephone : (33) 87 20 35 00 – Telecopie : (33) 87 76 39 77

Page 5: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

���������������"3��v� �� $�<����& '�v� � ���������®����(*) �������v�����-.������������v� ���465�5�����&����82$�6��� = �/�������& '����3�� �}4��m���m "�7�������$� 2$�m2

� �!2�����������

���³°�������³¯� ¬­c��JlYq { c7~cq7o � q}jk~nkc�c�ysq { c�w � �c�yscu�qsc � »�lYc�n�»�lYc�yvuYt�lY©xc�orlY� � c�yslYnkqzorqsy { c�ysq�oU�YjknkjkqY�cx¤¥ n�y��Ðor�xjkq { cg~txu { j�q}jktxuYy�ysl�¡$y�oUu�qscy { c�ysq�oU�YjknkjkqY�c�wQtxl � nkcy�ys|�ysq acd$c�y�uJtxu¦nkjku��c�orj � cyvc�u q}cd$wYy { jky £~ � cq�¤��u dBtxu�q � c�~txdBd$cu�q�txu¦wQclYqglYqsjknkjkysc � { cy��¢txuJ~qsjktxuJy�y}cd$jª£ { �c�«�uJj�c�yv~t�d$d$c®�¢txuJ~qsjktxuJy { c¬ |¨oUwQtxlJuYtU© ao8n o�wJn or~c { c7�¢t�uY~qsjkt�uYy { c0«�uYjkcy7w�t�ysjkqsjk©�cy�¼QwQtxl � n�� cq}l { c�»�l�ornkj�q�oUq}j�©�c { � lYu¦ys|�y}q acdBc{ t�uYu��cx¤ � txl � jknknklYysq � c � nkcy { jª¹­c � cu�q}y�q ` �c�t �ac�d$cy!¼­wYnklYysjkcl � y�c��cdBwYnkcyvy}c � t�u�q { txuJu �cy�¼%oUjkuYysjÈ»¨lJc{ c�y�oUwJwYnkj�~!oUqsjkt�uYy ao�npogq ` �c�t � jkc { l�~t�u¨q �! t�n�c�¤"W·Q�H�0µ0�$#%�³ �'& »�l�oUq}j�t�uYy�orlY� { jº¹7�c � cuY~cy!¼Q�¢t�uY~qsjkt�u y}cd$jª£ { �c�«�uJj�c�¼Yysq�oU�YjknkjkqY�cx¼��½cc { ��or~�¾b¼Qy}|¨y}q acdBcyuYt�u�n�jku��c!oUj � cy�~�txu�q �( txn��cy�¤

Page 6: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

������������ ������������������ ����� ����� �!���"��������#�$���%'&(�������������)��*,+)-/.�.!0���1�2� ���2*3��� �4&(��*,�����5�6����2���7�8� �

9 : 2��<���$3 �$������82¥ u�q ` j�y�w�orw�c � ¼Y��c7��j�nknYc��¨q}cu { q ` c7��oUy}jk~ � c�yslYnkqsy�jku$q ` c�~�n orysy}j�~!oUn<¬­|�oUwYlJuYtU©�q ` ct � |m�½t � { jkys~ � cqsc�£q}j�dBc$uYt�uYnkjkuYc�o � y}|�ysqsc�d ¤<; �xt�t { j�u�q � t { lY~q}jktxu�qst ~nporysysjk~�orn�¬ |¨oUwJlYuYtU© q ` ct � |>�½t � { jª¹­c � cuJ~cc»�l�orqsjktxu j�y)=Ð��>ļ=Ð�">Ĥ�¬<oxhJoUnknkc�jku?=k���@>��xt�cy���c�|xtxu { q ` c { c©�cnktxwYdBcu�qsy�qstm�Qc��¢t�lYu { jku¦q ` cysc � c��½c�£� cuY~cy!¼­oUu { �xjk©�cy ogu�lYdm�Qc � tr� � cyslYnkq}yvq ` oUq�o � c7©�c � |Bj�u�q}c � cy}qsjkuY���¢t � { jº¹­c � cuY~c�c�»¨lQoUqsjkt�uYy�¤BA�lYqq ` jkyD~nporysysjk~�orn<oUwYw � t¨or~ ` jkyDc�ysysc�u¨q}jpoUnknk|���orysc { t�u$q ` cv~t�uYysq � lY~q}jktxu�tU��ogyslYjkq�oU�YnkcvwQtxy}jkqsjk©xc { c0«�uYjkqsc¬ |¨oUwJlYuYtU©��¢lYuJ~qsjktxuDCpjkc�ogwQtxysjkq}j�©�c { c0«�uYjkqsc��¢lYuJ~qsjktxuB� ` jk~ ` jky { c~ � c!oUysjkuY�$ornktxuY��q ` c�q � o��c~q}t � j�c�ytr�/q ` c7~txuJysj { c � c { ys|�y}qscdFE¤¥ q7jky�orn���o!|�y�uYtxq�c�oUy}|¦qst8«�u { yslY~ ` �¢lYuY~�qsjktxu<¤ GJt � { jº¹­c � cu�qsjpoUn�c»�l�orqsjktxuYy�q ` c � cmjky�oru¦c��qscuJysjk©xcnkjkqsc � oUq}l � c�� ` jk~ ` �xjk©xcy�orn�q}c � uQoUqsjk©�cDdBcq ` t { y�q}t�c��¨wJn�t � c�q ` c�ysq�oU�Yjknkjkq |�tr�b~�txu�qsjklYt�lYy�ys|�ysq}cd$y!¤ ��uYc~�oru�d$cu�qsjkt�u$q ` c�dBcq ` t { c�tr��y}cd$jª£ { c�«�uYjkq}c�¬­|�oUwYlJuYtU©��¢lYuY~�qsjktxuYy�=IH@>ļ { c~�txd$wQtxy}jkqsjktxuBqsc~ ` uYjk»�lYc�¢t � npo � �xc0£Sy}~�oUnkc7ys|�ysq}cd$y =k�eY¼­��JY¼­����¼,J@>s¼x~c�u¨q}c � d�oUuYjª�¢t�n { d or~ ` j�uJc � |K=Ð��><cq}~x¤(L�tU�Dc©�c � q ` c � c�jky o�¢c��Onkjkqsc � oUq}l � c7�½t � { jª¹bc � cuY~c�c»�l�orqsjktxuYy!¤_�` c�wYl � w�t�ysc7tU�<q ` jkyDw�orw�c � jky�q}t�w � txwQtxy}c�o7uYc��OoUwYw � t¨or~ ` qstgc��wYnkt � c�q ` c�ysq�oU�Yjknkjkq |�tr�buYt�uYnkjkuYc�o �{ jky}~ � cq}c$q}j�dBc7ys|�ysq}cd$y!¤�M c�y ` tU��¼­lJu { c � yst�d$c�~�txu { jkq}j�t�uYy�¼ q ` orq�q ` c � cy}lYnkqsy�tr�®¬ |¨oUwJlYuYtU© o � cy}qsjknkn�©xoUnkj { ��jkq ` y}cd$j { c�«�uYjkqscBuYtxuJuYc�¨orqsjk©xcg�¢lYuJ~qsjktxu?N oUy�¬ |¨oUwJlYuYtU©��¢lJuY~qsjkt�u[¤ _�` cmu�orqsl � oUnjku�qsc � cysq�jky�q ` orq�j�q�jky�lYyslQoUnknk|mc�oUy}j�c � qst�«Qu { o�uYt�uYuYc��oUq}j�©�c��¢lYuY~q}jktxu�q ` oru¦o�wQtxy}j�q}jk©xc7txuYc�¤��l � d orj�u � cy}lYnkq�j�y�o7�xcuJc � orn�jky�oUqsjkt�u�tr��¬­|¨orwYlYuYtU© � y�q ` ct � cd$yÈj�umq ` cvy}cuYy}c�q ` oUqÈ� ` cu$q ` c��½lYuY~�£q}j�t�u�N tU�­txl � q ` c�t � c�d$y�jky { c0«�uYjkqsc�q ` c � cyslYnkq}yDtr�<q ` jky�w�orw�c � nkc�o { q}t�q ` cv¬ |¨orwYlYuYtU© � y�q ` ct � cdByv¤_�` c7w�orw�c � j�y�t � ��oUuYjkysc { oUy��½txnknktU��yPO�¥ u�y}c~qsjkt�uQJg��c � c~�orn�n­y}txdBcvuYt�qzoUq}jktxuYy�oUu {B{ c�«�uJj�q}jktxuYy!¼�¥ uy}c~qsjkt�u �g��c�y}qzorqsc�oUu { w � tU©�c7q ` c7d orjku�q ` ct � cd$y!¤�h�c~q}jktxu$e��xjk©�cyDy}txdBcvjknkn�lJysq � oUq}j�uJ��c�YoUdBwYnkcyoru { � cd�o � ¾¨y!¤$¥ u wQo � q}jk~lYnpo � ¼��Dcmy ` tU� ` tU�§txl ��� cyslJn�q}y�~!oUu �Qc ` cnkw��½lYnkn�qst or~ ` jkc©xcmq ` c$nkt�~�oUny}qzoU�Jj�nkjkq |B�¢t � ~�oUy}~�o { cmys|�ysq}cd$y!¼­ys|�ysq}cd$y7��jkq ` ~txuYy}qzoru¨qgtU�DdBtxqsjkt�u oUu { cy}w�c�~jpoUnknk|¦� ` cu¯q ` c�nkjª£uYc!o � jky�oUqsjkt�u¦qsc~ ` uJj�»�lYc�� oUjknkc { ¤�¥ u¦y}c~q}j�t�uSRm��c��xjk©�c�oUu orwYwYnkjk~�oUq}jktxu�tU�Dq ` c � cy}lYnkqsy7tU�Dy}c~q}j�t�u �q}t$q ` c��¢c�c { ��or~z¾ ysqzor�Yjknkj0T!oUqsjkt�u oru { ��c { c � jk©xcmo�n�jkuY¾��Qcq ��ccu¯q ` c)Tc � t y}qzorqsc { cqsc�~qzor�Yjkn�jkq |¦oUu {q ` c�oUq}q � oU~q}j�©�jkq |mtU��q ` c Tc � tByst�n�lJqsjktxu<¤U ) �����7�����m2$� ��2$3�=?���v�H '�!2$�7������

¬ cqvlYy�~�txuYy}j { c � ogys|�ysq}cd tU� { jª¹bc � cuY~�c�c»�l�orqsjktxuJyV W C�XZY �7E([]\^C W C X,E�E W`_ba\^C¢��Ec[O� Cs�7E

� ` c � c a jky�o7uYcjk� ` �Qtxl �s` t�t { tr��q ` cvt � jk�xjkumjku$¥ �/d oru { \4OU¥ ��d�e ¥ �/d jky og~t�u¨q}jku¨lJtxlYyÈ�¢lYuY~�qsjktxu<¤GJt � c�oU~ ` f _ba ¼Unkcq�lYy { c�uYtxq}cD��|�\,ghC f E­q ` c�©xoUnklYcDorq�q}jkd$c(X7tU�Qq ` c�yst�n�lJqsjktxu�tr�iCs��E%ysqzo � q}j�uJ��oUqf ¤BM c � c~�orn�n%q ` orqj\ g C f E([k\^C \ g2lnm C f E�E�o1\�p2C f E([ f ¤BM c � c~!oUnkn<q ` oUq�~t�u�qsjku�lYjkq |mtU�q\ jkyDy}l�¡$~jkcu�qq}tm�xl�o � oUu�q}cc7c��j�y}qscuJ~c±oru { lYuYjk»�lYcuYc�ysyvtr��y}txnklYqsjkt�uYy��¢t � c�or~ ` j�uJj�q}jpoUnQysqzorqsc f _�a ¤¥ u¯�xc�uYc � orn���c$o � c�jku�qsc � cysq}c { jku¯w�t�j�u�q}y W p _ra y}lY~ ` q ` orqs\^C W p EZ[ W p ¤ _�` c�| o � cmlYysl�ornkn�|~�ornkn�c {r�1t7u3���������u3�v.,����*w� tr�bq ` cvy}|�ysqsc�d ¤(x�t �}� cy}w�t�u { jkuY��qst�c!oU~ ` c»�lYjknkjk� � jklYd.w�t�jku¨q W p ¼���c ` o!©�co�~t�uYysq�oUu�q�yst�nklYqsjktxuF\,ghC W p Ecy W p tU�PC}�7E�¤G%j � y}qv��c � c~�orn�n%yst�d$cvlJysl�orn­uYtxq�oUqsjkt�uYyvoUu { ysq�oUu { o � {¦{ c�«�uYjkqsjkt�uYyZO

z^z|{(}�~�����~

Page 7: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

e -�����������+2����*w+���� �7*3���2u �1�2� �

\ �jC f EB[��@\wg�C f E�o1X _ ¥ ���¨¤� � C f E�jky�q ` c���£ nkjkd$jkq�ysc�qvtU� f ¤��� [�� W`_ ¥ � d O�� W �������¨¼ ��� [�� W`_ ¥ � d O � W �"!#���¨¼%$ � [&� W`_ ¥ � d O � W ��['���¨¤(B³*),+.-½��-¢· +0/'1 ��� W p _ a � � �2*K�1t7u3����7����u3�<.,����*,�2�43 �8�����)� 5w��� Cs��E �� 1 � �1. u3*,�*6���������0���2� W p�2�Z��5,�2� W p �� � 1 � �1.hu3*,�768��� �2���Z�1t�u3�0��������u3� .,����*,�w����� Cs�7E98 � �n���2�j�1���:5 �<; � � 5w�7��� ��j� . �5����� �=67�> ��u �:5K��5,�2�3����� �1���:5 W %(����5 � W@?KW p �A� > �2*,+ �1�2�B5`��� u3� ���2* \,g!C W E:8 � 5w�7* ��\,g!C W E ?QW p ����� ���2��5� XC;O� �D3E5,��* C}�7E ���*w��� 1 � �". u3*,�*6���� �2������� W p 8 %(�)���2� ��5,������� ���u3*3��������0� �2� W p 8 ���)� 5w���W p � �Zu3*3��� �2��� ����� C}�7E �¬ |¨orwYlYuYtU©�y}qzor�Yjkn�jkq | ` oUy�q ` c®�¢txnknktU��jkuY� ` c�l � jkysq}jk~vd$c!oUuYjkuY�Q¤ _�` jkuY¾�tU� W p oUy�o { cy}j � c { y}qsc�o { |�£y}qzoUq}c¦tU��t�l � ys|�ysq}cd ¤ ADc�~�oUlYy}c tr��lYuJw � c { j�~�qzoU�Jn�c w�c � qsl � ��oUq}jktxuYyDCp� ` jk~ ` o � c yslYwYwQtxy}c { q}t ��c

y}d oUnkn�E¼Qq ` cm~l �}� cu�q�ysqzorqscmtr� q ` cmys|�ysq}cd�jky�oU~q}l�oUnknk| W&F[ W p ¤$¬­|�oUwYlJuYtU©¦ysq�oU�Yjknkjkq |��xl�o � oUu�q}ccyq ` oUq�c�©xc � | ysqzorqscm©xorn�lJc�q�oU¾xc�u �¨|¯q ` cmys|�ysq}cd�j�u jkq}yv�½lYqsl � c$c©�txnklYq}j�t�u¦jky�uYt�q�qst�tB�So � � � txd q ` c{ c�ysj � c { txuYc�¤ �/` |�y}j�~!oUn�y}|¨y}qscdBy7lYysl�ornkn�| ` o!©xc�q ` jky7w � txwQc � q |�¤m¥ u �SoU~q!¼ { lYc�q}t { oUdBwYjkuY���¢t � ~cy!¼� ` orq�oU~q}l�oUnknk| ` orwYwQcuYy�jky<q ` oUq�q ` c�oUdBwYnkjkqsl { c%tU��jkuYjkq}j ornUw�c � qsl � ��orqsjktxuYy { c�~ � c�oryscy�oUu { c©xc�u¨q}l�oUnknk|©xoruYjky ` cy!¤ _�` jky�w ` |�ysjk~�orn�nk|�jkdBw�t � qzoru�q/oryswQc~q�jky�uYtxq � c:G�c�~qsc { �¨|IH�c�«�uYjkq}j�t�u ��¤ _�` lYy!¼��Dcvo � c�n�c {q}tmj�u�q � t { lY~c�o�y}q � t�uY�xc � uYt�qsjktxu<¤

¬ cq<J���cgq ` c7ysc�qvtU��w�t�jku¨q}y f _ba �¢t � � ` j�~ `nkjkdgLKM��N

\ g C f E([ W p` t�n { y�¼°�¢t � orn�n­y}txnklYq}j�t�uYy�\,ghC f E�jkysyslJj�uJ��� � t�d f ¤OJ jky�~�ornkn�c { q ` c �����2���2*K�����2� �����2�7�����2* ¼�t � +2���)����*�����2� �����2�7������* tr� W p ¤/;vu c»�lYjkn�jk� � jklYd�wQtxjku�q�j�y�yzorj { q}tm��c ����� ������� �=67� jª��j�q�jky7oUu�jku¨q}c � jkt � w�t�j�u�q�tr�jkqsy � c�xjktxu¯tU��oUqsq � or~qsjktxu%¤ M c�yzo!| ornkyst$q ` oUq�C}�7E�jky�oUq}q � oU~q}j�©�c±orq W p ¤7¥ u¯�xc�uYc � orn ¼<oUu oUq}q � or~qsjk©�cc»�lYjknkjk� � jklYdWwQtxjku�q<jky<uYt�q�uYc~cy}yzo � jknk|�¬­|�oUwYlYuJtU©�y}qzor�YnkcZC½oUu�c�Yord$wYnkc�~�oUu��Qc��¢t�lYu { jku = e�>s¼!w<¤��7H���E¤(B³*),+.-½��-¢· +QP 3`� �"�2����5,�2� Cs�7E ��/0���1� ���� ��� � . ���������1� ��j��������0� ���B��5,� �1t7u3���������u3�v.,����*w��� W p �2���5,�2� W p �� ��0���1� ����5��� ��.h� �2� ���1�5�0�8��� �2�����1t�u � 0��������u3� . �5����� ����*����2� Cs�7E � � ���(�� 1 � �". u3*,�76)��������0��2*,+F����� ������� �R6����2� W p �¥ u�q ` c�ysc»�lYc�n<��c���jknkn­qzor¾xc W p [O�J¤(B³*),+.-½��-¢· +QS - ���7��T ��K��*%6���������*,�)� � \^C T EF[ T 8 . �5����� �=67��0�?��*U67�2������*w��� � \^C T EWV T �2*,+*,�X�2�����R6�������*%6��������2*,�/� �<T V \^C T E �GJt � oru�|¦w�t�ysjkqsjk©�cnk|¦jku¨©xo � jpoUu�q�yscq T ¼YJ[Z?��jkn�n { cuYt�qscmq ` c � c�n orqsjk©xc { t�d oUjku¦tr�®orqsq � oU~�qsjk©�j�q | jS¤ cx¼J[Zv[\J'] T ¤(B³*),+.-½��-¢· +_^`1 ����T �1��� ��0�5��� +s. �5����� �=67��0�)��*%6���������*,�B�����B��u3�B54� 5w��� � _ Ta�Ib�5,�)�����c����* � �j������+��� �1�)#d ��e T ? ��� �2����� �gf �h; ��i > ; �)O�\j� C �lk ] T E<V ����md �<e T ? �5�"� � . ���������1� �0�)��� �2����� �Z��� ��<T ? ��������0����*w+ ��5,�����)�Bn2������ > ;L� ��u3�B5D��5,�2�

nkjkdd KM��N\ d C W E([O� f WF_ T ] � k m

oRp^zqoRr

Page 8: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

������������ ������������������ ����� ����� �!���"��������#�$���%'&(�������������)��*,+)-/.�.!0���1�2� ���2*3��� �4&(��*,�����5�6����2���7�8� R

¥ u q ` cmy}c»�lYcn ¼�jª��q ` cBys|�ysq}cd Cs��E ` ory�o�uYt�uYuYc��oUqsjk©�c$¬­|¨orwYlYuYtU© �¢lYuY~q}jktxu { c�«QuYc { jku o�uJcjk� ` £�Qtxl �}` t�t { tU�Dq ` cmt � j���jku���V a ¼%�Dc���jknkn { cuYtxq}cm��|�� p q ` c�yscqg� ` c � c��;©xoruYjky ` c�y�¼��§q ` cmy}cq� ` c � c�q ` c { jº¹­c � cuY~cmtr���§oUnktxuY�mq ` c�q � o��c�~qst � jkcy7tU��q ` c�ys|�ysq}cd6©xoruYjky ` c�y�¼­oUu { ��&q ` c�npo � ��cysqjku�©xo � j oru�qDy}cq�~txu�q�oUjkuYc { jku�m¤��uYc¯~�oUu�c�orysjknk|�y ` tU� q ` orq�� p ¼���� oru { � o � c¦~�n�t�ysc { yscq}y�¼ � p jkymw�t�ysjkqsjk©�cnk|>jku�©xo � jporu¨qmoUu {� p�� �� � �m¤

� � ���H2 �/��� �80���

_�` c&« � y}q�q ` ct � cd ~�txuY~c � uYy7q ` c&¬ |¨orwYlYuYtU©my}qzoU�Jj�nkjkq |�¤� ��³�·Q�U³%� / �� ��5,�������:n2����h�Z*w�7�c��5,�1�2u � 5,���7+ �#V a ���/� 5w������� ����*)��*w+��(��u3*,��� ����* � _�� p C�� os¥ � E��u3�B5D��5,�2�

d /je �bC W E�� � ���2� � � WQ_ � �2*,+ �bC½��EB[W� �d P�e� ��C W E([���C \^C W E�E ? ��C W E<! � �������5� W`_ � �d S�e � 5w���2���c�2��*K�� � p ? � ��� � . ���������1� �����������0� 8 %q5,����� #

� p [�� W`_ �vO��bC W EB[W� � ���5,��*r��5,�)�����c����* � � 1 � �1.hu *w�76)��� �2��� ��7�U·­·�� h°lYwYwQtxysc�q ` oUq�q ` cDt � jk�xjku�jky�uYt�q�y}qzor�Ynkcx¤ _�` cumq ` c � c�c��jkysq}y �<; ���½t � � ` j�~ ` jkq�jky�wQtxysy}jk�Ynkcq}t$~t�uYysq � lY~q�o�y}c»�lYcuY~cKC W d E d��! " V ��� ¼�n�jkdd K�N

W d [W��yslJ~ ` q ` oUq��¢t � c�oU~ `�# _ ¥ ��¼Yq ` c�w�t�ysjkqsjk©�cq � o��c�~qst � | \wg�C W d EÈtU� W d { t¨c�yDuYt�q�ysq�o!|m��jkq ` jku ��� �¢t � ornknYw�t�ysjkqsjk©�c�qsjkd$cy(X _ ¥ ��¤%¥ u$txq ` c � �Dt � { yq ` c � c�c��jkysq}yvo�ysc»�lYcuJ~c C�X d E d��! " _ ¥ �?jku$y}lY~ ` o���o!|$q ` oUq

V ��\�$�C W d E<�����?\&%!'O��!)( � X d��\,g!*!C W d El�!��� f # _+ m C J�EM c7qzor¾xcM��y}l�¡$~jkcu�qsnk|my}d oUnknQjku$t � { c � qst ` o!©�c ��� ],� p V0J.-0/M c¦��jknkn�y ` tU� q ` oUq8�¢t � oru¨| w�t�ysjk©xc j�u�q}c�xc �21 q ` c � c¯c��j�y}qsy,(43 _ ¥ � y}lY~ ` q ` oUq X d ! �¯jkcx¼X d e Y 5#oUy #`e Y 5W¤¥ u { cc { nkcq 1 oUu�|¦wQtxy}j�q}jk©xc�j�u�q}c�xc � ¼�txu¯q ` cmt�uYc ` oru { ¼­q ` c��¢lYuY~�qsjktxuYy �@\ $ o6( ! 1 �8o � c

~t�u�qsjku�lYtxlYyByst q ` c � c¯c��jkysq}y�7&; �¯jku�yslJ~ ` o ��o!|S\�$ C �98 EWV � � �¢t � oUnkn:( ! 1 ¤ ��u�q ` ct�q ` c ��` oUu { q ` c7ysc�»¨lJcuY~cFC W d E d��! " ~t�u�©xc � �xcy�qst�q ` c7t � jk�xjkumyst�txuYc7~�orum«�u { ( p _ ¥ �Oy}lY~ ` q ` oUqW d _ �98 �¢t � oUnkn # �;( p ¤ _�` lYy��¢t � oUnkn # �;( p oru { oUnkn0( ! 1 txuYc ` oryZ\�$�C W d E _ � � ¤(;�u { ystor~~t � { jkuY�mqstmq ` c { c0«�uYjkqsjktxuBtU�(X d txuYc ` oryjX d � 1 ¤_�` cgt � jk��j�umjky<� p ? orys|�d$wYq}txq}j�~!oUnknk|�ysq�oU�Ynkc7ystmq ` c � cgc��j�y}qsy + _ ¥ �?yslY~ ` q ` orq�q ` c7y}txnklYqsjkt�uYy�tU��Cs�7Ey�oUqsjkyÄ�¢|

��\ d C�=�El��� �J f # � + oru { f = _ ��� ],� p C¢��E

z^z|{(}�~�����~

Page 9: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

� -�����������+2����*w+���� �7*3���2u �1�2� �

C _�` oUuY¾�y�qst�q ` cv~�txd$wQoU~jkq |�tr� ��� ] � p ¼�txuYc�~!oUu$c!oUysjknk|�~ ` c~�¾mq ` orq�q ` c�jku¨q}c�xc � + ~�oru$�Qcv~ ` t�yscujku { c�w�cu { cu�qsnk|�tU� =Y¤IE_�` cB~txu�q}j�u�lYjkq |¯tU�vq ` c$y}txnklYqsjkt�uYy���jkq ` � cyswQc~qBqst¦jkuYjkqsjporn�~txu { jkqsjktxuYygcuYysl � cymq ` c$c��jkysq}cuY~c�tr�> ; ��y}lY~ ` q ` orq

f C W o��2E _ ����� ��� o � WE? �4��� > [��&��\ d C W E ? \ d C��2Eh��� �J f # ! + Cpe E��tU�Oq ` c � cgc��j�y}qsy # p _ ¥ �?yslJ~ ` q ` orq � W d ��� > �¢t � ornkn # � # p oru { q ` lYy���|rC e EÈtxuYc ` oUy

��\�hC W d El��� �J f f ! + oru { f # � # p m_�` cgn orqsq}c � y ` tU��y�q ` oUqv���<X d ? + �<X d �¢t � oUnkn # � # p ¤ _�` lYy�lYy}jkuY�KC J2E��Dc7tx�JqzoUjku

��\ g * l� C W d El��� � f # � # p� ` jk~ ` jkd$wYnkjkcy7q ` orqmq ` c�y}c»�lYcuY~c C�� d E d� �d / { c�«�uJc { �¨|�� d [ \wg!*�l��C W d E ` ory$o¦~t�u�©xc � �xcu�qy}lY�Yysc�»¨lJcuY~c�yzo!|������� d���� d� !d / ¤�¬ cq='[ n�jkdd KM��N ���� d�� _ � � ¤ h�jkuY~c � jky orysyslJd$c { qst ��c~t�u�qsjku�lYtxlYy���c ` o!©xc

��! ��C�=2E([ nkjkdd KM��N ��C����� d�� E([ n�jkdd KM��N �)C \ g���� *�� l� C W �� d�� E�E<! n�jkdd KM��N ��C W �� d�� E([W�y}t4=���cnkt�uY�xy�q}t � � ],� p oru { q ` cuSC½��E�|�jkcn { y

��\ C�=�El��� �J C R�E��u¦q ` c7txq ` c �v` oru { q ` c � c�c��jkysq}y f � # p y}lY~ ` q ` orqM�<= ? \wg � l�bC W � Eh�"� > y}tm��|rCpe3E

��\ C =�E ? \ C \ g � l! C W � E�Eh��� �J C¢��EG%jku�oUnknk|mq ` c�~�txdm�Yjku�orqsjktxumtr�PC R2E�oUu { C¢�2E�n�c!o { y�q}t

�P\ g � C W � Eh���\�� ` jk~ ` jkyvo�~t�u�q � o { jk~qsjkt�u q}tKC J2E¤��tU�O��c7ysqzorqsc�oru { w � tU©xc7q ` c�oUy}|�d$wYq}txqsjk~�y}qzoU�Jj�nkjkq |mq ` ct � cd ¤� ��³�·Q�U³%� P �� ��5,�������:n2����h�Z*w�7�c��5,�1�2u � 5,���7+ �#V a ���/� 5w������� ����*)��*w+��(��u3*,��� ����* � _�� p C�� os¥ � E��u3�B5D��5,�2�

d /je �bC W E�� � ���2� � � WQ_ � �2*,+ �bC½��EB[W� �d P�e� ��C W E([���C \^C W E�E ? ��C W E<! � �������5� W`_ � �d S�e � �� �� ? � ��� � . ���������1� �����������0��%�5,����� �� ��j��5,�s0��� �������w. �5�"��� �R6���0�)��*%6��������2*,�^���7�(�1�2*,� �2��*,�1+��* �][�� W`_ � O���C�\nC W E�E ? ��C W E([W� ���5,��*r��5,�)�����c����* � �s�5��� ��.h� �2� ���1�5�0�8��� �2��� �

oRp^zqoRr

Page 10: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

������������ ������������������ ����� ����� �!���"��������#�$���%'&(�������������)��*,+)-/.�.!0���1�2� ���2*3��� �4&(��*,�����5�6����2���7�8� H

�7�U·­·���_�` c�y}cq � p [ � WD_ � O ��C W E [§� ��jky�w�t�ysjkqsjk©xc�n�|�jku�©xo � j oru�q�yst�jkqvjky7~txu�qzorjkuYc { jku ��U¤;�n�nJq ` c7oUysy}lYd$wJqsjktxuYy�tr� _�` c�t � c�d Cs��E�o � c�yzoUq}jky «�c { � ` jk~ ` j�dBwYnkjkcy<q ` oUq�q ` c�t � jk�xjku�jky�y}qzor�Ynkcx¼xq ` oUqjkq�jky��¢t � oru�|$wQtxysjkq}j�©�c > q ` c � cgc��j�y}qsy7o�w�t�ysjkqsjk©xc7u�lYdm�Qc ��� yslY~ ` q ` oUqvoru�|$yst�nklYqsjktxuBtU�jCs��E�� ` jk~ `y}qzo � qsy�j�u ���$� cd�oUjkuYy�j�u �lk �½t � oUnknQjku¨q}c�xc �:# ¤¬ cq,J -�� �Qcvq ` c { t�d oUjku�tr� orqsq � oU~�qsjk©�j�q | � cnpoUq}jk©xc�qst ��x¤^M c�~ ` t¨t�ysc > ;��Y¼�yslY~ ` q ` oUq � k ]���@VJ -�� ¤ _ t¦y ` tU��q ` c¦orqsq � oU~q}jk©¨jkq | tr�vq ` c�t � jk�xjku<¼���c$y ` oUnkn�w � tU©�c$q ` oUq � � jky�~txu�qzorjkuYc { jku q ` c{ t�d orj�umtr�/orqsq � oU~q}jk©¨jkq |�¼�j ¤ c�¼ f W`_ � � O nkj�dg�KM��N

\ g C W E([W� C H�E¬ cq W p _ ��� oru { nkcqM���Qc$oUu�|¦wQtxy}jkqsjk©xc � c�orn�u�lYdm�Qc � ¤ _�` oUuY¾�y7qst¦q ` cmysq�oU�Yjknkjkq |�tU��q ` cmt � jk�xjkuq ` c � c�c��jkysq}y<7I; ��y}lY~ ` q ` oUq�O \ d C � 8 E V ��� f # _ ¥ � C¢��Eh�jkuY~�c

�hk ],� � VDJ - �q ` c � c�c��jkysq}y + _ ¥ �?yslJ~ ` q ` oUq

�j\ d C��2E��"� 7 J f # � + o f � _ �hk ],� � m C¢��E_�` cg~txu�qsjku�lYjkq |mtU��q ` cgystxnklYq}jktxuYy�cuYy}l � cy7q ` c7c��j�y}qscuJ~c�tr���; ��yslJ~ ` q ` oUq

f C W o ��E _ �lk � �lk o`� WE? �I�"���K[��&��\ d C W E ? \ d C ��E���� 7 J f # ! + C}����E��tU��¼�nkcq �B�Qc±oru¦cnkcd$c�u¨q�tU� � ��C W p E¤ ;�~~t � { jkuY��qst�¬<o�hYoUnknkc7¥ u¨©xo � jpoUuJ~c ��� j�uJ~jkwYnkcx¼ �B��c�n�t�uY�xyq}t �hk ],��7y}t���|DC¢��E

��\ d C��2Eh��� 7 J f # � + m C}�x�7E��u¦q ` c7txq ` c �v` oru { � _ � ��C W p E ` c�uY~c

i f _ ¥ � OD��\ � C W p E ? �a�"�� C}�7J�E ysjkuY�KCs��J�E�¼hCs���2E�oUu { C}�x�7EÈ��c���cq

��\ � � C W p E<��� 7 J Y 7 J [ 7 C}����Eoru { � � t�d C¢�2E¼YjkqÈ�¢txnknktU��y

�P\ d C�\ h� � C W p E�Eh�"� � f # _ ¥ �� ` jk~ ` w � tU©xcy�q ` oUq�nkj�d gLKM��N \ g C W p E([?�Y¤�h�tm��c ` o!©xc�y ` tU��u�q ` orq�q ` c � c�c��¨jky}qsy�o�wQtxy}jkqsjk©xc � c!oUnu�lYdm�Qc ��� yslY~ ` q ` oUq ��� jky�~txu�qzorjkuYc { jku$q ` c { txd�oUjku�tU�/orqsq � oU~�qsjk©�j�q |�¼YoUu { q ` lYy _�` ct � cd C J2E�j�ycy}qzor�Ynkj�y ` c { ¤��tU�Oy}lYwYwQtxysc�q ` oUq�q ` c�ys|�ysq}cd Cs��E�jky { c�«�uYc { txu�¥ � d oUu { q ` c � c�c��jkysqsy7o�uYtxuJuYc�¨orqsjk©xc��¢lJuY~qsjkt�u� _�� p Cp¥ � d o}¥ � � E�� ` jk~ ` j�y�o�¬ |¨orwYlYuYtU©7�½lYuY~q}j�t�u��¢t � Cs�7E/q ` orq�jky � ��C W E([ ��C \^C W E�E ? ��C W E !L��¢t � oUnkn WF_ ¥ � d ¤/;�yvoU�QtU©xc �� { cuYt�qscy�q ` c�npo � �xc�ysqvjku�©xo � jpoUu�q�ysc�qv~t�u¨q�oUjkuYc { j�u�'[�� WQ_ ¥ � d O

z^z|{(}�~�����~

Page 11: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

� -�����������+2����*w+���� �7*3���2u �1�2� �

� ��C W E [ �)C \^C W E�E ? ��C W E [§� �¨¤���uYcm~�oru>oUy}¾¦q ` c��½txnknktU��j�uJ�KOMHvt�cygq ` cm��n�t���oUn�oUy}|¨dBwYqst�qsjk~y}qzoU�Jj�nkjkq |�tU�<q ` cvys|�y}qscd � c { lY~�c { qstgq ` c7jku�©xo � jporu¨q�y}cq�����jkd$wYnk|�q ` cv��nktx��orn�oUy}|¨dBwYqst�qsjk~�ysqzor�Yjknkj�q |tr�vys|�ysq}cd Cs�7E�� _�` c$oUuYy}�Dc � j�yglYu��¢t � qslJu�oUq}n�| uYt oUy7jkq�~�oru ��cmy ` tU��u jku c��°ord$wYnkcFC¢�2E7��c�n�tU��¤��c©xc � q ` c�n�c�ysy�¼���c ` o!©xc�q ` cÈ�¢txnknktU��jkuY���xnkt���oUn � cy}lYnkq�� ` j�~ ` jky�o�~t�uYysc»�lYc�uY~c�tU�­¬<oxhJoUnknkc�¥ u�©xo � jpoUuY~�c��� jkuY~jkwYnkc�oUu { _�` ct � cd|J�¤� ��³�·Q�U³%� S �� � 5w�7�����:n�� �"���Z� ��u3*,��� ���2* � _� p C ¥ ��d os¥ � � E ������������ ��*7�

d /je �bC W E�� � ���2� � � WQ_ ¥ � d �2*,+ ��C¢�2Ei[W� �d P�e� ��C W E([���C \^C W E�E ? ��C W E<! � �������5� W`_ ¥ � d �d S�e � �� �� ? � ���1� �0�F� ��� � . ���������1� ������ �2��� %q5w�7��� �� � �b��5,� 0��� �������B.,� �������R6���� ��*%6���������*,� ���7��1��*,������*w� +F��* �k[�� W`_ ¥ �/d O���C \^C W E�E ? ��C W E([W� � �d ^qe - �n��5,�8�"�50u3������*3����� �����"����������� �2�����1��u3*,+2�1+��5,��*r��5,�)�����c����* � �l�50�2�1� ����5�"� � . ���������1� �0�)��� �2��� �� �7 '�&��$� �±283 � $�� "5 ��v�

�8³%� �J���\/ � ¥ u$q ` c��¢txnknktU��jkuY�v��c � c~�ornkn­q ` c � cy}lYnkq�tU�n;vc�|xcnkyvoUu { h�cwJlYnk~ `J� c7jkur=k��>s¼¨oru { y ` tU�q ` oUq�jkq�~�oru$�Qc { c { lJ~c { ory { j � c~q�~�txuYy}c»�lYcuY~cmtr��q ` ct � cd��x¤ _�` c| ` o!©xc�ysq}l { jkc { q ` c7ysqzor�Yjknkj�q |tr�/~�txu�qsjku�lYtxlJy�qsjkd$c�ys|�ysq}cd6� ` jk~ `�` oUy�« � ysq7jku�qsc� � orn�yvoru { ` o!©xc7w � tU©xc { C�=��">s¼ _�` ct � cd ��E�q ` oUqq ` c$oUy}|¨dBwYqst�qsjk~7ysq�oU�Yjknkjkq | tr�Dq ` cmc»�lYjkn�jk� � jklYd ��jkq ` � cyswQc~q�qst�q ` c�wQc � q}l � �QoUqsjkt�uYy��QcnktxuY��j�uJ�$qstq ` cmnkc©xcn�ysc�qsy�tr� q ` c�« � y}q�jku�qsc�� � ornky�~�txu�qzorj�uJj�uJ�$q ` cmc»�lYjkn�jk� � jklYd w�t�jku¨q7cuJysl � c$q ` cmysqzor�Yjknkj�q |�tr�q ` c7c»�lYjkn�jk� � jklYd*��jkq `m� cyswQc~q�qstmo � �Yjkq � o � |mwQc � q}l � �QoUqsjkt�uYy�¤ _�` jky � cy}lYnkqDjky�ysq}j�nknQ©xoUnkj { �½t � { jky}~ � cq}cq}j�dBc�ys|�y}qscd¯¤�q ` cmw � t¨tr�DtU��C�=k��> E�jky��QoUysc { txu¯»¨lQoUnkjkqzoUq}jk©xc�y}qsl { | tU��q ` cmy}|¨y}qscd¯¼ ` c � cm��|¦lYysjkuY�q ` c�w � c©�j�t�lYy�q ` ct � cd �Dc7��j�©�c�o�y}j�dBwYnkc�w � t�tr���½t � { jkys~ � cq £ qsjkd$c7y}|¨y}qscdBy�jku { cc { OC�LZE);vy}yslYdBcmq ` orq�y}|�ysqsc�d C}�7Egw�t�ysysc�ysysc�yQX¯~�txu�qsjku�lYtxlJy�« � ysqmjku�qsc� � orn�y����1o�� [+� m m�m X q ` oUq�o � c{ c0«�uYc { t�u¦o�uYcjk� ` �Qtxl �}` t�t { a tr��q ` c7t � jk�xjku oru {�{ cuYt�qsc { ��|���q ` c7~txu�q}j�u�lYt�lYy��¢lYuJ~qsjktxu?O

�FO a V�� d e � g��j�©�cu���|��nC W E([ C�� m C W E�o m�m m o�� g C W E�E�oUu { y�oUqsjkyÄ�¢|�j�uJ���^C¢�2Ei[W�Y¤H�c�«�uJc�o�yscdBj { c�«�uYjkqsc�¬­|¨orwYlYuYtU©��½lYuY~q}j�t�uFNO��|rO

��C W E([ ��� g���� m

� �� C W E��uYc ` ory

� ��C W EB[ ��� g��!� m

� �� C \^C W E�E ? � �� C W EB[O�

oRp^zqoRr

Page 12: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

������������ ������������������ ����� ����� �!���"��������#�$���%'&(�������������)��*,+)-/.�.!0���1�2� ���2*3��� �4&(��*,�����5�6����2���7�8� �

y}t � j�yg~txuYy}qzoru¨q$ornktxuY��q ` c$d$t�qsjktxu%¤���t � ctU©�c � � jky�uJtxuYuYc��¨oUq}jk©xcm~t�u¨q}jku¨lJtxlYy7�½lYuY~q}j�t�u<¼�oUu {` c � c���c ` o!©�c

� p [�� W`_�a O ��C W EB[O� �j[�� W`_ba O �^C W E([ � �;�y�og~txuYy}c»�lYcuY~�cmtU� _�` ct � cd ��¼��Dcg�xcq�q ` c��¢txnknktU��jkuY��O�7�U·���·­� -½��-¢· +0/�� *,+����)� 5w��� �1��u � . �����2* ��� �7� �0����5,���2���c�2��*D������5,�)������� ��� ����� � � � p � ��� ��.h� �5������1� �����������0� 8 ��5,��*K���(���� �"������0�)�1t7u3���������u3� ��� ��5,�8�����"�����������7�

�8³%� �J��� P � �­���Y� - #2- �´¦·����U���!�U��¸%³ ��´<����³ �>�x�t�uYysj { c � uYtxuJn�jkuYc!o � ys|�ysq}cd$y�tr��q ` c7�¢txnknktU��jkuY���¢t � d � W C�X YO��EB[k\^C W C X,E�o��wC X,E�E�,C�X�Y �7E([ �hC��wC X,E�EC W C X,E�o��wC X,E�E _ ¥ �/d � ¥ � $ C}�e EM ` c � c�\!o�� o � c�~�txu�qsjku�lYtxlJyvoUu { yslJ~ ` q ` orqj\nC½�,o���EB[O�J¼�� C½��E([W� mx�t�uYysj { c � q ` c�u q ` c�y}|¨y}qscdBy�O V W C X Y ��E([]\nC W C�X,E�o���EW C X,E _ � d C}�7R�E

V �wC X�YW��Ei[�� C �,C�X,E�E�wC X,E _ ¥ � $ C}����E ysjkuY� _�` ct � cd C J2E��Dc7~�oru¦ysq�oUq}c�q ` c7�¢t�nkn�tU��jkuY��7�U·���·­� -½��-¢· +QP b�5w�����������7� ����� � �� � ��� � . ���������1� ��)�"������0�8� ����*w+ ��* 0��� ����5,�8��u3��������� ���8����������2*,+ ������� �������5��� ��.h� �2� ���1�5�0�8��� �2���[�¥ u { cc { ¼Qq ` c � c�c��¨jky}qsy�o�¬­|�oUwYlJuYtU©��¢lYuY~�qsjktxu ��C ��E�y�oUq}j�yÄ�¢|�jkuY�

�bC ��El;[� f � F[O�Fo���C¢�2E([W��oUu { ��C��hC��2E�E ? ��C��2Eh�[� f � F[W�GJt � q ` c�� ` txnkc7ys|�ysq}cd Cs��e E¼Jq ` jky®�¢lYuY~q}jktxu�jkyvomysc�d$jª£ { c�«�uYjkqsc7uYt�uYuYc��oUq}j�©�c�¬­|¨orwYlYuYtU©8�¢lYuY~�qsjktxu<¤��t � ctU©�c � ¼ ` c � c.� p [�� C W o ��E O��)C W o��2E [?� �Z[ � C W o���E�o W _ ¥ �/d �Z[ �'[ ����oUu { q ` c�t � jk�xjkuBj�yorysyslJd$c { qstm�Qc ��z£Äorys|�d$wYq}txq}j�~!oUnknk|�y}qzoU�Jn�c�¤Dh�tmoUnkn­q ` c ` |¨wQtxq ` cy}j�y�tU� _�` ct � cd C J2E�o � c�y�oUq}j�yÄ«�c {� ` jk~ ` jkdBwYnkj�c�yvq ` oUq�q ` c$t � jk�xjku¯j�ymoUu>orys|�d$wJqstxq}jk~�oUnknk|$y}qzoU�Jn�cBc»�lYjknkj�� � jklYd6wQtxjku�q7tU�vq ` c$y}|¨y}qscdC}�e E�¤���­� ����#¢³D/Q� C¢¬<o�hYoUnknkc7E/x�txuYy}j { c � q ` c��¢txnknktU��jkuY�7ys|�ysq}cd������ �������

W C�XZY �7E([ � �,C�X,E�(Y W C XwE ��,C X8Y �7Ec[ � W C XwE�(Y �,C XwE �C W C X,E�o��wC X,E�E _ ¥ � �

C}�7H�E

z^z|{(}�~�����~

Page 13: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

�!� -�����������+2����*w+���� �7*3���2u �1�2� �

¬%oxhYorn�nkc�j�u?=k����> ` oUy�ysq}l { jkc { q ` jky�c�YoUdBwYnkc��¨|BlYysjkuY��q ` c�¬­|�oUwYlYuJtU©��¢lYuY~q}jktxu���c�n�tU� O�bC W o ��E([ �J C W � Y � � E

L�c��xt�qDq ` c7�¢t�n�nktU��jkuY��O_�` cgt � jk��j�umjkyvorys|�d$wYq}txq}j�~!oUnknk|�ysq�oU�Ynkc�jª� � � � �?�*oUu { � � � �

%!'C � � ! �*oru { � � !?�7E � #�� � � Y � � � J��tU�[��|�q ` c�t � c�d JJ¼x��jkq ` ��C W o��2EB[ C W �2E � �Dc ` o!©xc�q ` c®�¢txnknktU��jkuY��¼�� ` jk~ ` jkuY~�n�l { c�q ` c { j�y}~lYy}ysjktxuor��tU©�cbO_�` cgt � jk��j�umjkyvorys|�d$wYq}txq}j�~!oUnknk|�ysq�oU�Ynkc�jª� ��� � � � �?�%!'

� � � � [.� � #�� C � �?� %!' � �?� E�8³%� �J���#S � _�` c�t � c�d C J�E�y}qzoUq}cy7q ` orq7q ` cmoUy}|¨dBwYqst�qsjk~7ysq�oU�Yjknkjkq |$tU��q ` c�t � jk�xjku�jky7c»�lYjk©xoUnkcu�qq}t$jkqsy ��}£soUys|�dBwYqst�qsjk~vy}qzoU�Jj�nkjkq |�¤ _�` jkyvc�»¨lJj�©xornkcuY~c�jky�uYtBd$t � cvq � lYcg�¢t � q ` c�¬ |¨orwYlYuYtU©Bysqzor�Yjknkj�q |ory�j�q�~!oUu���c7y ` tU��u�q ` oruY¾�yvqst�q ` c7�¢txnknktU��jkuY�7c�YoUdBwYnkc�O���­� ����#¢³_P � � W C X Y ��E([ W C XwEhY��,C�X,E�,C�X�YW�7EB[ �,C XwEC W o ��E _ ¥ � � C}����E¬ cq��C W o ��Ec[ � � �Dc ` o!©�c� p [�� C W o ��E _ ¥ � � O �)[O� � m

_�` c�t � jk�xjku�j�y � p £ ysq�oU�Ynkc��YlJqvq ` c�y}txnklYqsjkt�u tr�Dq ` c�y}|¨y}qscd jky)Oj\ d C W o��2E'[ C W Y # �,o ��E�¼Q� ` jk~ `q}cu { y�qst�jku�«QuYjkq |7�¢t � orn�nJj�uJj�q}jpoUn { oUqzo C W o��2E�yzorqsjky �¢|�jkuY� �E; �Y¤ _�` lYy�q ` c�ys|�ysq}cd�jky�lYuYysq�oU�Ynkcx¤ _�` j�yy ` tU��y7q ` orq:� p £ ysq�oU�Yjknkjkq |$tr�Dq ` c�t � jk�xjku�j�y�uYtxq�ysl�¡$~�j�c�u¨q�qst��xc�qvq ` c�y}qzoU�Jj�nkjkq |$tr��q ` c�t � j���jku ��jkq `� cyswQc~q�q}t±o � �Yjkq � o � |$wQc � q}l � �QoUqsjkt�uYy�¤

���­� ����#¢³_S � ����� ������W C X Y ��E([ W C X,EJ Y �J C �,C�X,E W C X,E � E�,C�X�Y ��E([ �wC X,EJC W C XwE�o �,C XwE�E _ ¥ � �

C}����E

¥½����c�q�oU¾�c �)C W o��2E([ � � q ` cu � ��C W o ��E([ ? ���re�� � ! �

oRp^zqoRr

Page 14: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

������������ ������������������ ����� ����� �!���"��������#�$���%'&(�������������)��*,+)-/.�.!0���1�2� ���2*3��� �4&(��*,�����5�6����2���7�8� �x�

oru { � p [ �3C W o��2E _ ¥ � � O��C W o��2E [.� ��[ �§oUu { yst,� p [ �� _�` c�t � j���jku jky � p �xnkt���oUnknk|orys|�d$wYq}txq}j�~!oUnknk|�y}qzoU�Jn�cg�YlYqvq ` c�y}|¨y}qscd jky�uYtxq���n�t���oUnknk|moUys|�dBwYqst�qsjk~�oUnknk|�ysqzor�Ynkcx¤�¥ u { cc { t�uYc�~�oruy}cc�q ` oUq�q ` c�yscq)O

�3C W o��2E _ � � O W ��[*�"�jky�jku�©xo � jporu¨q!¼¨oru { ystm��n�t���oUn­oUy}|�d$wYq}txqsjk~�y}qzoU�Jj�nkjkq |m~�oru uJtxq��Qc�c��¨wQc~q}c { ¤

���­� ����#¢³^<� ¥ qvjky�¾¨uJtU��u¦q ` orqvjª� \¯jky�o�� m �¢lJuY~qsjkt�u oUu { q ` c�nkjkuYc�o � jT�orqsjktxu�tU��y}|¨y}qscd Cs��EvoUqTc � t�¼Qu�ord$cnk| � [ � \� W C½��E C�Jx��Ejky�y}qzoU�Jn�c)Cpq ` oUq�jky!¼xq ` cvcjk��cu�©xoUnklYcy�� �<tr�bq ` cvd�oUq � jk� � nkj�c�jkumq ` c�txwQcu$lJuYjkq { jkys¾hO � � � � �O�7E�¼xq ` cuy}|¨y}qscd Cs�7E&j�ygn�t�~�ornkn�|¦orys|�dmqst�qsjk~�oUnk|�ysq�oU�Ynkc$oru { � ` cu q ` cmnkj�uJc�o � j0T!oUqsjkt�u C�Jx��E ` oUy�orq�nkc�oUy}q�txuJccjk��cu�©xoUnklYc���txlJqsysj { c�q ` cv~�n�t�ysc { lJuYjkq { j�y}¾ C j ¤ c�¼ � � � ;?�7E%q ` cu$y}|�ysqsc�d C}�7E�jky�lYuYy}qzor�Ynkcx¤BADlJq�� ` cuq ` c7n�jkuYc!o � jky}c { ys|�ysq}cd jky�~ � jkqsjk~�oUn­q ` oUq�jky�q ` c7d�oUq � jk� � ` oUyvornkn�jkqsy�cjk�xc�u¨©xornklYcy�jkuYysj { c�q ` c7~nkt�ysc {lYuJj�q { jky}¾¦��jkq ` oUqvnkc�orysq7txuJcmcjk�xcu�©xoUnklYc��¯� ` jk~ ` yzorqsjky «Qcy � � � [ ��q ` cu t�uYc�~!oUu¯uYtxq7~t�uY~nkl { cor��t�lYqvq ` c7ysqzor�Yjknkj�q |mtr��ys|�ysq}cd Cs��E�q ` orqvjky�q ` c8Tc � tByst�n�lJqsjktxuBtU�jCs��E�d o!|���c�y}qzor�Ynkc�t � lYuJysqzor�Ynkcx¤h�tgq ` c � cyslYnkq}yDtr�bq ` jky/o � q}j�~�n�c�~!oUum�Qc ` cnkw��¢lYnJqst�y}qsl { |�q ` c�ysqzor�Yjknkj�q |7w � txwQc � q}jkcy�tU�­ys|�ysq}cd$y�� ` t�yscnkjkuYc�o � jkyzorqsjktxuBj�y�~ � jkqsjk~�ornS¤BGJt � jkuYysq�oUuY~�c�~�txuYy}j { c � q ` c7�¢t�n�nktU��jkuY�7c�YoUdBwYnkc�� ���

W C�X Y �7Ec[ �wC X,E�,C�X�YW�7EB[ �wC X,E

�(Y�� W C X,E �C W C X,E�o��wC X,E�E _ ¥ � ��_; �C�JY�7E

_�` cgn�jkuYc!o � jky}c { ys|�ysq}cd o � t�lYu { q ` cgc»�lYjkn�jk� � jklYd|C¢�,o���EÈjkyV W C�X YO��EB[ �wC X,E�,C�X�YW�7EB[ �wC X,E m C�J�J�EL�c � c � [� � �

� � � ¤ _�` cgn�jkuYc!o � jky}c { ys|�ysq}cd jkyv~ � j�q}jk~�oUn/C ` c � c�jkq�jky�ysq�oU�Ynkc��JlYq�uYtxq7oUy}|¨dBwYqst�qsjª£~�ornkn�|Bysq�oU�Ynkc7E®yst$q ` c�n�jkuYc!o � jky�oUqsjkt�u$qsc�~ ` uYjk»¨lJcy { t$uYt�q�orn�nktU� q}tm~txuJ~nkl { cmoU�QtxlYq�q ` c�y}qzor�Yjkn�jkq |mtr�y}|¨y}qscd C�JY��E¤¬ cq �bC W o ��EB[ � � ¤BM c ` o!©�c � � [ � ��� � mm ����� � g ��� � ? ����![��y}t,�OjkyvoguYtxuYuJc�¨orqsjk©xc7¬­|¨orwYlYuYtU©�¢lJuY~qsjkt�u¦�¢t � y}|¨y}qscd C JJ�7E¤ ��t � ctU©�c � �Dc ` o!©xc ���[ � p oru { q ` c�t � jk��j�u�jky:��� ? orys|�d$wJqstxq}jk~�oUnknk|y}qzoU�Jn�cgystm��| _�` ct � cd Jgq ` c8Tc � tmy}txnklYq}j�t�u$tr� C�JY��E�jkyvoUy}|�d$wYq}txqsjk~�ornkn�|gysqzor�Ynkcx¤� 465�5�����7����m2$�9���1���m2��%���� 5$�������7 "�

����� ���! #"%$'&�$'() ��!$'*,+x�t�uYysj { c � o { j�y}~ � c�qsc�£ qsjkd$c7~t�u�q � t�n<uYt�uYnkjkuYc�o � ys|�y}qscd tr��q ` c7�¢t � d

W C X Y �7E([<\^C W C XwE�o �nC�X,E�E C�Jx��E

z^z|{(}�~�����~

Page 15: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

��J -�����������+2����*w+���� �7*3���2u �1�2� �

� ` c � c W C X,E _ ¥ � d jky�q ` c�ysqzorqsc�tU�7q ` c�y}|¨y}qscd#orq�q}jkd$c X­¼ � _ ¥ � $ jky�q ` c�~txu�q � txn ¼Doru { \ O¥ � d � ¥ � $ e ¥ � d jkyDo � � �½lYuY~q}j�t�umyzorqsjky �¢|�jkuY��\^C¢�,o���Ec[O�J¤ _�` c�w � t��Ynkcd�o {Y{ � cy}ysc { ` c � c7j�y ` tU�q}t�«�u { o&�¢cc { �QoU~�¾$~t�u�q � t�n­� ` jk~ ` ysq�oU�YjknkjTcy�q ` c�ys|�ysq}cd oUq�j�q}yDc�»¨lJj�nkjk� � j�lJd;wQtxjku�q � _ t��Qc7d$t � cw � c~jkysc���c � c~�orn�n%q ` c��¢t�nkn�tU��jkuY� { c0«�uYjkqsjktxu?O(B³*),+.-½��-¢· + � �!���"����� ����� �S�� ������+S���?� �4��� �2�7� 0��������0�F� �F��5,�����K�:n2������K�S�1�2*,� ��*,u3��u2�K���".�. ��*7�� O ¥ � dke ¥ � $ �"�2� � � ��� ��*7� �nC½��EF[ � �2*,+ ��u �:5]� 5w���)� 5w�r��0�5��� + 0���1.]�"�������7� W C X Y �7EF[\^C W C X,E�o��^C W C XwE�E�E �� � ��� � . ���������1� ��)�"������0�8���/� 5w���2���c�2��*%�_�` oruY¾�y<q}t _�` ct � cd���oUu { _�` c�t � c�d J���c�y ` ornkn { c©�cnktxw�o�d�oU~ ` jkuYc � |vq}tv~t�uYysq � lY~q}cvo�ysq�oU�YjknkjTjkuY��¢c�c { ��or~z¾��½t � y}|¨y}qscdByDtr�<q ` c®�¢t � d C�Jx��EÈoUu { q ` oUq�o � cv¬­|¨orwYlYuYtU©�ysq�oU�Ynkc)Cp�YlYqÈuYtxqDorys|�d$wJqstxq}jk~�oUnknk|y}qzoU�Jn�c�E�� ` c�u$q ` cv~t�u¨q � t�n�jky�j { cu�qsjk~�oUnknk|�u�lYn ¤^ADc��½t � c�ysq�oUqsjkuY�gtxl � ysq�oU�YjknkjT�oUq}j�t�u � cyslJn�q���cvuYcc { qstjku�q � t { lY~c�q ` c��¢txnknktU��jkuY��uYt�qzoUq}jktxuYy O¬ cq�\4OU¥ � d e ¥ � d �Qc7q ` c�� � �¢lYuJ~qsjktxu { c0«�uYc { t�u�¥ � d ��|

�\BC W EB[k\^C W oz�2E C�JUe Eoru { oUysy}lYd$c7q ` oUq�Od ¸ /je�_�` c7lYu��½t � ~�c {¦{ |�u�ord$jk~�ys|�ysq}cd

W C X YW�7EB[ �\� W C XwE �jky�¬­|�oUwYlYuJtU©x£ ysq�oU�Ynkc�oUu { q ` oUqvo�� � yscdBj { c�«�uYjkqscgw�t�ysjkqsjk©xc®�¢lYuY~�qsjktxu

��C W E � �,o WF[W�,o �bC½��EB[W�jky�¾�uYtU��u�yslY~ ` q ` orq

� �\BC W E � ! �bC W E�o f WF[O�d ¸ P�e�_�` c7ysc�qsy

� m [ � W`_ ¥ �/d��� � �\ gL�^m C W E � ? � �\ g C W E � [O�wo f X _ ¥ ���� � [ V W`_ ¥ � d ����

� �� W �\ gL�^m C W E � � \� � �\ g C W E�oz� � [O�wo f X _ ¥ ���� ` c � c �\wg�OU¥ ��d�e ¥ ��d ¼�X � �Y¼Yo � c7�xjk©xcu � c~l � ysjk©xcnk|���|

�\ p C W E [ W�\ g C W E [ �\ �\ g�l^m C W E � o �¢t � X.�?�

y�oUq}j�yÄ�¢| � m ] � � [)� p ¤d ¸ S�e q ` c�t � j���jku$jky<� p ? oUy}|¨dBwYqst�qsjk~�orn�nk|�y}qzor�Ynkcx¤

oRp^zqoRr

Page 16: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

������������ ������������������ ����� ����� �!���"��������#�$���%'&(�������������)��*,+)-/.�.!0���1�2� ���2*3��� �4&(��*,�����5�6����2���7�8� ���

¬ cq �� OU¥ � d � ¥ � $ e ¥ � oru {�� Or¥ � d � ¥ � $ � ¥ � $ e ¥ � ��c { c�«�uYc { � cy}w�c~�qsjk©xcnk|���|

���C W o��!E [ �)C \^C W o��!E�E C�J�R�E� C W o��^o���E [ � m

p C}�?�� E���jC W E � � ��� � � W o � �nC W E���,C W E � � C�Jx��E

GJt � o�«���c { 7I; �Y¼�nkcq�� m C W EDoru { � � C W EÈ�Qc�oUu�|�uYtxuJuYc�¨orqsjk©xc�~txu�q}j�u�lYt�lYy � c�oUn­©xorn�lJc { �¢lYuY~�qsjktxuYyy�oUqsjkyÄ�¢|�j�uJ� � m C W EhY�� � C W E F[W�,o f W`_ ¥ ��d oru {� m C W E � yslJw������� 8�� ���� � m �

� C W o �no���E � o f WF_ ¥ �/d C�J�H�E

� � C W E � ����� �� W �\BC W E � � \� � C W oz�2E����� o f W`_ ¥ � d C�Jx��E

oru { yscq

�?C W E([ 77�� m C W EhY�� � C W E C�Jx��E

��tU� ��c�~!oUu�ysq�oUqscgtxl � y}qzoU�Jj�nkjT�orqsjktxu � cyslYnkq)O� ��³�·Q�U³%� ^ �� � 5w��� �1��u3��.h� ���2*3� d ¸ /je 8 d ¸.PYe �2*,+ d ¸ S�e 5w� 0+ 8 � 5w�7* 8 ���2� ��*,� .,� �������R6��Z�1�2*3��� �2*,�7U8 ������� ��� � � � � ���� ��� � . ���������1� ������������0� �7�2�����������1��* ����� ��5,�)� �2*,����*,u3��u2� ���1�1+��1�2��� 0�2%

�^C W E([ ? �?C W E � �� W �\BC W E � � \� � C W o���E � � C½�x��E%q5w���:5F����������(���

� �nC W E���!)7!o f W`_ ¥ ��d�7�U·­·�� ¥½�<t�uYcv~�txd$wJlYqscyÈq ` c { jª¹bc � cuY~c7tr�<q ` c7¬­|¨orwYlYuYtU©g�¢lYuJ~qsjktxu,�?oUnktxuJ��q ` cvq � o�0c~qst � jkcy�tr�q ` c�~nktxy}c { £ nkt¨t�w$y}|¨y}qscd C�Jx�H£Ä����E¼�t�uYc7�xcq}y�� � t�d C J2R�E�oru { q ` c _ o!|�n�t � c��¨wQoUuYy}j�t�um�¢t � dmlYnpowO� ��C W E [ � \^C W o �nC W E�E � ? �bC W E

[ �� W o �nC W E � ? �bC W E[ ���C W oz�2E ? ��C W EhY � ��� � C W o���E��nC W E!Y � mp Cs� ? � E � � C W E � � ��� � � W o � �^C W E � �^C W E � �

��txqsjk~cgq ` orq ���C W o���EB[ � �\BC W E � C½�Y�7E

z^z|{(}�~�����~

Page 17: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

��e -�����������+2����*w+���� �7*3���2u �1�2� �

oru { � ��� � C W o���EB[ � �� W �\^C W E � � \� � C W o���Ey}tmq ` orq�¼�� � txd C Jx�2E�oUu { C¢����E¼

� �)C W Ei[�� �\^C W E � ? ��C W E ? ��?C W E � � C W E �nC W EhY � W o��^C W E�o �nC W E �¥ q��¢t�nkn�tU��y�q ` oUq�¼��½t � W`_ ¥ � d y}lY~ ` q ` orq �nC W EB[W��t�uYc ` oUy

� ��C W E([�� �\BC W E�� ? ��C W Eoru { txq ` c � ��jkysc�¼ � C W o��^o���E��QcjkuY� ` txdBtx��cuYct�lYyDtr� { c�� � c�c�J���jkq `$� cyswQc~q7q}t �Y¼Yt�uYc7�xcq}y7O

� ��C W EB[�� �\BC W E � ? ��C W E ? ��?C W E � �nC W E�� � Y ���^C W E � � � W o �nC W E�o �^C W E���^C W E � �

G � t�d C J�HH£ J���E�oru { C J���E�¼�t�uYc ` oUy®�¢t � oUu�| WD_ ¥ ��d ¼,� �nC W E��M! 7Q¼ oru { yst$t�uYc�~�oUu { c { lY~cmq ` oUq� ��C W E !L�J¤ ��u�q ` c�t�q ` c �È` oUu { ¼U��|�oUy}yslYdBwYqsjktxu d ¸ SYe oUu { oU~�~t � { jkuY��qst _�` c�t � c�d �x¼rq ` c�t � jk�xjkujkyv¬­|�oUwYlJuYtU©mysq�oU�Ynkcx¤¥ q � cd�oUjkuYy7qst¯w � tU©xcmq ` c oUy}|�d$wYq}txqsjk~�ysq�oU�Yjknkjkq |¦tU�vq ` c$t � jk�xjku<¤ _ t�q ` jky�cu { ¼���| _�` ct � cd J j�qjky7ysl�¡$~�j�c�u¨qgqst�y ` tU�.q ` orq�q ` cmt � jk��j�u j�y�� ? orys|�d$wYq}txq}j�~!oUnknk|$ysq�oU�Ynkcx¤)M c � c~!oUnkn�q ` oUq���jky7q ` cnpo � �xcy}q�jku¨©xo � jpoUu�q�yscq�~txu�q�oUjkuYc { j�u�q ` c7n�t�~lJy

�k[�� W`_ ¥ �/d � � ��C W E([�� \nC W o �^C W E�E � ? �)C W E([O�*� m

M c ` o!©�c� ��C W EB[W� � � �\BC W E � ? ��C W Ei[W�moUu { �^C W EB[O�

� � �\BC W E � ? ��C W Ei[W�moUu { � �� W �\BC W E � � \� � C W o���EB[W� C½��J�E¬ cq W C X,E��Qc�o�y}txnklYqsjkt�u tr��q ` c�~nktxy}c { £ nkt¨t�w�ys|�ysq}cd ��jkq ` W C½��E([ WQ_ ��U¤�h�jkuY~c��&j�y�jku¨©xo � jpoUu�q�¢t � q ` cg~nktxysc { £Snkt�txwBys|�ysq}cd txuJc ` oUy W C XwE _ �����¢t � oUnknnX2� �Y¤BA�lYq�¼��nC W E�©xoruYjky ` jkuY��txu,���¼YtxuJc` ory�¼°� � t�d C Jre E¼ W C XwE([ �\wg�C W E�oru { y}t�¼J�¨|KC½��J2E¼

�)C �\ gL�^m C W E�E ? ��C �\ g C W E�Ec[O� f X _ ¥ �oru { � �� W C �\ gL�^m C W E�E � \� � C �\ g C W E�o���EB[W� f X _ ¥ �¥ q��¢t�nkn�tU��y�q ` oUq W`_ � m ] � � � ` jk~ ` jkd$wJn�jkcy!¼U��|$oUy}yslYdBwYqsjktxu

d ¸ P�e ¼Uq ` oUq9��@V � p ¤�h�t���| d ¸ SYeq ` c�t � jk�xjku$jky9�� ? oUys|�dBwYqst�qsjk~�oUnknk|�ysqzor�Ynkcm¼�� ` jk~ ` cu { yvq ` c7w � t�tU����|$lJysjkuY� _�` ct � cd JY¤

oRp^zqoRr

Page 18: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

������������ ������������������ ����� ����� �!���"��������#�$���%'&(�������������)��*,+)-/.�.!0���1�2� ���2*3��� �4&(��*,�����5�6����2���7�8� �7R

���­� ����#¢³ ��� x�txuYy}j { c � q ` cguYtxuYnkjkuYc�o � ~�txu�q � txn<y}|�ysqsc�d c©xt�n�©�jkuY��t�u�¥ � ������� �������W m C X YW�7EB[

W m C X,EJ Y W � C�X,EhY W �� C�X,EhY W �� C X,EW� C X YW�7EB[ C W m C�X,EhYvJ W �� C XwE�E � m C�X,EW � C X YW�7EB[ W � C X,E^Y W�� m C�X,E�(Y W �� C X,E � � C X,E

C½�x��E

_�` cglYu��¢t � ~c {�{ |�u�ord$jk~vy}|�ysqsc�d���� �����W m C X YW�7EB[

W m C X,EJ Y W � C�X,EhY W �� C�X,EhY W �� C X,EW� C X YW�7EB[W�W � C X YW�7EB[ W � C X,E

jky�¬ |¨orwYlYuYtU©�£ ysqzor�Ynkc7�YlYqvuJtxqvoUy}|�d$wYq}txqsjk~�ornkn�|�ysq�oU�Ynkc�y}t$��|�lYysjkuY� _�` ct � cd e$��c�y ` oUnkn­~txdBwYlYq}co8ysqzor�Yjknkj0T�j�uJ�m�¢cc { ��oU~�¾�npo!� �nC W E8C ` c � c W [ C W m o W � o W � E�E¤�¬ cq�§�Qc�q ` c�uJtxuYuYc��¨oUq}jk©xc7�¢lJuY~qsjkt�u��C W EB[ W �� C�X,EhY W �� C X,E�¤BLvc � c � p [�� W � [ W � [W� ��¤M c ` o!©xc � ��C W E�[ ?jW �� ! ��y}t �*jky�o$¬ |¨orwYlYuYtU©8�¢lYuY~q}jktxu��¢t � q ` c�lYu��½t � ~�c { y}|�ysqsc�d ¤ �vu q ` ct�uYc ` oUu { jkqvjkyvt���©¨jkt�lYy�q ` orqvq ` c�t � jk�xjku�jky:� p ? orys|�d$wYq}txq}j�~!oUnknk|�y}qzoU�Jn�c�¤ ��u q ` c�txq ` c �7` oru { txuJcd�o!|$c�orysjknk|¦~ ` c~�¾¦q ` oUq � m ] � � [ � W � [ W � [§� ��[ � p ¤�h�t�¼ txuYc�~�oUu oUwJwYnk| _�` ct � cd�e$qsty}|¨y}qscd C¢����E�oru { q ` cvw � t¨~�c { l � cv�½t � q ` cv~t�d$wYlJqzoUq}jktxu�tr��o7ysq�oU�YjknkjTc � �¢cc { �QoU~�¾mjky�q ` c®�¢txnknktU��jkuY��OM jkq ` q ` c7yzord$cvuJtxqzorqsjktxuJyvoUyvoU�QtU©xc�ysjkd$wJn�c�yD~t�d$wYlJqzoUq}jktxuYy���jk©xc�O

� C W o��^o��2EB[ C W m Y J W �� E�� m � � Y C W�� m�(Y W �� E�� � � �y}tmtxuYc7~�oru¦qzor¾xc � m C W E([ C W m Y J W �� E � Y]C ����m ��� �� E � ¤� �� W �\BC W E � � \� � C W oz�2En[ ��o J W�� m W ��(Y W �� �y}tmtxuYc7~�oru¦qzor¾xc � � C W E([.�(Y W� m W �� ¤ _�` lYy���c���cq�q ` c7�¢txnknktU��jkuY�7��t�lYu { c { ysq�oU�YjknkjTc � O

�^C W EB[ �)o ? J 7 W�� m W � C}�(Y W �� E7 W m YkC}�(Y W �� E � C W m YvJ W �� E � � Y Cs�/Y W �� E � Cs�(Y W m W �� E � �� ` c � c 78j�yvoru¦o � �Jj�q � o � |$wQtxy}jkqsjk©xc � c�orn<~t�uYysq�oUu�q�¤���� �� )�� ����! "�$�&'$ ��� +���� �! #"%$'&�$ ���x�t�uYysj { c � o { j�y}~ � c�qsc�£ qsjkd$c7uYt�uYnkjkuYc�o � y}|�ysqsc�dV W C�X YO��EB[k\^C W C X,E�E� g [��^C W g E m C½�Ue E

z^z|{(}�~�����~

Page 19: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

�!� -�����������+2����*w+���� �7*3���2u �1�2� �

� ` c � c W C�X,E _ ¥ � d jky�q ` c�ysq�oUqscgtU��q ` c7y}|¨y}qscd6orq�qsjkd$c X�oUu { �,C�X,E�jky�q ` c�d$c!oUysl � oU�Jn�c�txlYq}wYlYq�tr�q ` c�ys|�y}qscd¯¤\ OY¥ � d e ¥ � d oUu { �SOQ¥ � d e ¥ � $ o � c�� p �½lYuY~q}j�t�uYy�y�oUqsjkyÄ�¢|�j�uJ� \^C¢��E [��wo��^C¢�2E�[��Y¤)GYt � q ` cy}c»�lYcn��Dc7uYc�c { qstmjku�q � t { lY~c7yst�d$c { c�«�uYjkq}j�t�uYy�O(B³*),+.-½��-¢· +�� �!���"��������� ������ �"�2��+ ��� �1���n�7��� � �����������������7� 6�����0�)� �

�nC�\ d C f E�E(yO����2��� � # _ ¥ � ��5,��*

\ d C f E(yW� m(B³*),+.-½��-¢· +�� �!���"������� � � � �� �"�2��+ ��� �1���n�7��� � ����������+���� �1��� �2����� �

�nC�\ d C f E�E([O����2��� � # _ ¥ � ��5,��*

nkjkdd KM��N \ d C f EB[W��7�U·���·­� -½��-¢· +QS -s�1�"u3�)� b�5w������5,�Q�"�������7� � � � �S����n�7��� � ��� �2� �4+���� �1��� �2���r�2*,+S��5,�����F�:n�������r�.,� �������R6�� ���1� �*,u3���1�����D��u3�B5v��5,�2����5,�`���7�������� Ng � p � �^C \wg�C W E�E � � � u *w� ���������K�1��*%6��7� ����*,�B���2��2*,� WQ_ a � 5w�7*K��5,� ������� �"�50u3������*K��� ��� ���5� �s�5��� ��.h� �2� ���1�5�0�)��������0�)� ����*w+ ��* 0� ��� �� 1 � �". u3*,�76��������0�E�

�7�U·­·�� u { c � q ` c ` |�wQtxq ` cysjky%q ` orq­ys|�ysq}cd C¢�re EQjky��Qc � tr£Sy}qzorqsc { cqsc�~qzor�Ynkc oru { q ` c Ng � p � �^C W g E � jky¦lYuJjº�½t � dBnk|>~t�u¨©�c � ��cu�qscx¼g�Dc y ` oUnkn�w � tU©xc q ` oUq q ` c>¬ |¨oUwJlYuYtU© y}qzoU�Jj�nkjkq |�tU�mq ` c t � jk�xjkuWjkdm£wYnkjkcy�jkq}y±orys|�d$wYq}txq}j�~�ysq�oU�Yjknkjkq |¨¤8¥ u { cc { ~txuJysj { c � q ` c8�¢txnknktU��jkuY�m~�oru { j { oUq}c ¬ |¨oUwJlYuYtU©��¢lJuY~qsjkt�u��C W EB[ Ng � p � �nC�\,g!C W E�E � ¤ �?jkyvo�~�txu�qsjku�lYtxlJy�uYtxuYuJc�¨orqsjk©xc��¢lYuJ~qsjktxuDCp�YlJqvuYt�q { c0«�uYjkqsc7E�¤¥ q}yv©xo � jpoUqsjkt�u$oUnktxuY��q ` c�y}txnklYq}j�t�uYy�tU��q ` c7y}|¨y}qscd C½�Ue3E�j�y O

� ��C W EB[���C \^C W E�E ? ��C W EB[ ? � �^C W E � ! �

L�c � c��Dc ` o!©�c�O�k[�� W _ba � �^C W E([O� � m

_�` oruY¾�yDq}t�q ` ct � cd C J2E�qstgw � t�tU�<q ` c�orys|�d$wJqstxq}jk~Dy}qzoU�Jj�nkjkq |�tr�bq ` cvt � jk�xjku<¼Ujkq�jky�y}l�¡$~jkcu�q�qst�y ` tU�q ` oUq7jkq�jky ���}£Äorys|�d$wJqstxq}jk~�oUnknk|mysq�oU�Ynkcx¤��vtU��¼Qjª� W �QcnktxuY�Bqst,���q ` cu �nC W E/[*�BoUu { ysjkuY~c.��gj�yjku�©xo � j oru�q oru { ~t�u�qzoUjkuYc { jku�?t�uYc ` oUy �^C \wghC W E�EB[W�g�¢t � oUnknnX _�+ ystKO

� � [�� W`_ a � �nC�\ g C W E�EB[W�,o f X _�+ � m

��tU�*��|�q ` c �Qc � tU£ ysq�oUqsc { cqsc~�qzoU�Jj�nkjkq | orysyslJd$wYq}j�t�u<¼Y��c ` o!©xc�nkj�d d KM��N \ d C W E [;�J¼Qyst��Dc ` o!©�cy ` tU��u q ` c4��0£Äorqsq � oU~�qsjk©�j�q |�tr� q ` c�t � jk�xjku oru { q ` lYy�jkqvjky��0£Äorys|�d$wJqstxq}jk~�oUnknk|mysq�oU�Ynkcx¼­y}jkuY~cmjkq7j�yorysyslJd$c { qstm�Qc�¬­|�oUwYlYuJtU©mysqzor�Ynkcx¤

oRp^zqoRr

Page 20: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

������������ ������������������ ����� ����� �!���"��������#�$���%'&(�������������)��*,+)-/.�.!0���1�2� ���2*3��� �4&(��*,�����5�6����2���7�8� �7H

�m³ � �Y��� ��uYcgtU��q ` c7jku¨q}c � c�ysqsjkuY�m��t � ¾m�¢t � y}qsl { |¨jkuY�mq ` c � cnporqsjktxuYy ` jkw$�Qcq ��ccu¯ysqzor�Yjknkj�q |moUu {t��Yysc � ©xoU�Yjknkjkq | �¢t � q ` c nkjkuYc�o � ~t�u�qsjku�lYtxlYyBqsjkd$c�y}|¨y}qscd jky$q ` c � cyslYnkq�tU� ��t � y}c =k�x��>s¤ Lvc ` oUyw � tU©xc { q ` oUqÈ�¢t � oUumt��Yysc � ©xoU�Jn�c7~t�u�qsjku�lYtxlYy�nkjkuYc�o � ys|�ysq}cd q ` c7t � j���jkumj�y�oUy}|�d$wYq}txqsjk~�ornkn�|7y}qzoU�Jn�c7jª�oru { t�uYnk|$jª�Dq ` c�t�lYqswJlYq��¢lYuY~q}jktxu¦jkyvy}»�l�o � c�jku�qsc� � or�Ynkc��¢t � orn�n%jkuYjkqsjpoUn­~t�u { jkqsjkt�u<¤ZGJtxnknktU��jkuY��q ` cy}q � orjk� ` q�nkjkuYc�tr� q ` jky���t � ¾­¼ � c~�cu�qsnk| jku<=IJ�>Dq ` c$oUlYq ` t � y�c��¨q}cu { oru { �xcuJc � orn�jky}cmq ` cmy}qsl { jkcy�qstuYt�uYnkjkuYc�o � ~�txu�qsjkuYt�lYy<q}j�dBc<y}|¨y}qscd¯¤n;�u�oUuQoUnktx��lYc � cyslYnkq�tU�Yq ` c�w � txwQtxysjkq}j�t�u�C¢��EJ�½t � q ` c�~t�u�qsjku�lYtxlYyq}j�dBc�ys|�y}qscd���oUy7�xjk©xc�u lYu { c � oBysq � t�uY�xc � oUysy}lYd$wJqsjktxu¦q ` oUu¯txl � y O�¥ uYysq}c�o { tr� q ` c �Qc � tr£Sy}qzoUq}c{ c�qsc~q�oU�Yjknkjkq |$q ` c|�yslYwJw�t�ysc�q ` oUq�q ` c7ys|�ysq}cd jky �Qc � tr£Sy}qzoUq}c�tx�Jysc � ©xoU�Ynkcx¤

� -;�82$�� �$�����m2

_�` cB»�l�oUnkjkqzorqsjk©xc�q ` c�t � | ~�cu�qsc � y$o � t�lYu { q ` c$��orysjk~m~t�uY~cwYqmtr��¬­|�oUwYlYuJtU©¦q ` c�t � |>oru { ¬<o�hYoUnknkcjku�©xo � j oruY~c�w � jkuY~jkwYnkcx¤%¥ u�q ` jky��Dt � ¾mq ` c7tx�Yq�oUjkuYc { � cy}lYnkqDc��q}cu { q ` cvjku�qsc � cysq�tU�<~nporysysjk~�orn­q ` c�t � |�¼jku q ` c¦ysc�uYy�q ` orqm�Dc { txu � q � c�»¨lJj � c q ` c { c0«�uYjkqscuJcysy¦tr��q ` c ¬ |¨orwYlYuYtU©¯�¢lJuY~qsjkt�uYy$lYy}c { ¤ GJt �jkuYy}qzoUuJ~c7q ` c�c��j�y}qscuJ~c�tU��oru$cuJc � ��|m�¢lYuJ~qsjktxu,�W~�oUu��QcvlYy}c { jkumq ` c�oU�JyscuY~�c�tr� { c�«�uJj�q}cuYcy}yvt�uy}lY~ ` �¢lYuY~�qsjktxu<¤_�` jky�jky�o�uYc� qst�txn��½t � q ` cvoru�oUnk|�ysjky%tU�­ysqzor�Yjknkj�q |7tr� { jky}~ � cq}c�£ qsjkd$c�uYtxuJn�jkuYc!o � ys|�ysq}cd$y�q ` oUq ` oUy�uYtxq|�cqD�QccuBc��wYnktxjkqsc { ¤n;�u$c��q}cu�qsjktxumq}t�uYtxu$orlYqst�uYtxdBtxlYy { jª¹­c � c�uY~c7c»�l�oUq}jktxuYy���jknknY�Qc�~txuJysj { c � c {jku¦o7�½t � q ` ~t�d$jkuY��w�orw�c � ¤M c ` o!©xc�oUwYwYnkjkc { q ` jky�qst�txn�qst7q ` cDw � tx�Jn�c�d*tU�QuYtxuYnkjkuYc�o � y}qzoU�Jj�nkjT�orqsjktxu7��|�jkd$w � tU©�j�uJ�Dq ` cD~�n orysy}j�~!oUn� l � { �0c©�j�~0£���lYjku�q ` c�t � c�d =Ð��>s¼Doru { � cd o � ¾�y ��¼IJ�jkn�nklYy}q � oUqsc ` tU��q ` jky�uYc�� orwYw � t�oU~ ` d�o!| ` o!©�cy}j���uYjª«�~�oru¨qvorwYwYnkjk~�oUq}jktxuYy!¤

���x�����&28�����

=��">�x7¤n;�c|xcnky$oru { � ¤�h�c�wYlYnk~ `Y� cx¤ h�qzor�Yjkn�jkq |��½t � { |�u�oUdBj�~!oUn�ys|�ysq}cd$ym��jkq ` « � y}qmj�u�q}c� � oUnky7O�;qstxwQtxnkt��xjk~�oUnQ~ � j�q}c � jkt�u<¤ ������� ���8��� &(�2*,� ��� 1 �7�����7�1� ¼ /�� Cs������J2E¼�e¨�J��e¨��RJ¤

= J@>�x7¤ AD| � uYcyvoUu { x7¤ �¦o � q}j�u%¤�;�umjku¨q}c� � oUnª£ j�u�©xo � jpoUuY~�cDw � jkuY~jkwYnkc��¢t � uYt�uYnkjkuYc�o � ys|�ysq}cd$y!¤ ��� � �b�����*3� �h- u3�2�/&(�2*,� ��� ¼ ^�� Cs�!�x�2R�E¼Y���x��°�x�re�¤

= �@> � ¤,x�o �}� ¤c;vwYwYnkjk~�orqsjktxuYy�tU�(x�cu�qsc � �¦oUuJjº�½txn { _�` ct � |�¤�h�w � jkuY��c � NÈc � npoU�� ��c���Dt � ¾­¼hCs�!�x�Y��E¤= e5>�h­¤���¤ & npo!| { jS¤3;�u�jku�q � t { lY~q}j�t�umqst { jª¹­c � cuJ~cvc»�l�orqsjktxuJy�¤�h°w � jkuY��c � N�c � npoU�� �vc���Dt � ¾­¼Y�����x�Y¤= R@>�M*¤3L�o ` u<¤�h�q�oU�Yjknkjkq |�tr��d$t�qsjktxu%¤<h�w � j�uJ�xc � N�c � npoU�� �vc����Dt � ¾­¼­������HJ¤= �@> � ¤FLvl � q�¤�h�t�d$c7h�qzor�Yjkn�jkq |mq ` ct � cd$y®�¢t � t � { jku�o � | { jª¹­c � c�uY~cmc»�l�orqsjktxuYy!¤ �%� -���� �n$8u3����� �- *,� �� ¼ ^ Cs������H2E¼,Rx�2J�,Rx�x�J¤= H@>�;�¤�¥ �x��j { � ¼2A�¤���oUnkjkqsjkuYcvoru { � ¤%��lYq}�Yjk�>h�cdBjº£ { c�«QuYjkqsc�¬ |¨orwYlYuYtU©g�¢lYuY~�qsjktxuYy O%ysqzor�Yjknkj�q |moUu {ysqzor�Yjknkj0T!oUqsjkt�u<¤ � &B�,� ¼^Cpqst$orwYwQc�o � E¤

z^z|{(}�~�����~

Page 21: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

�!� -�����������+2����*w+���� �7*3���2u �1�2� �

= �@>�N�¤ � l � { ��c©�jk~ oru { � ¤ � ¤ �vlJj�uJu<¤ x�txu�q � txnknpoU�Jj�nkjkq |>oUu { ysq�oU�Yjknkjkq |¨¤ � �2u3��*,� ���� ��� ��������*,����� ��t7u3�2� ���2*3� ¼ P�� Cs���2Hx�2E¼Y�x�J�Y�x�x�J¼�C}���2Hx��E�¤

= �@> � ¤ & ¤ �&ornkd oUu¦oru { � ¤ & ¤hA�c � q � ord ¤ x�t�u�q � t�n�ys|�ysq}cd oUuQoUnk|�ysjky�oUu {¯{ cy}j���u ©�j oBq ` cmysc~�txu {d$cq ` t { tr�bnk|¨orw�t�lYuYtU©�¥}¥ { jkys~ � cqsc7ys|�y}qscdByv¤ b�����*3� -s� � �v�������M� � �c � ����� ��**����*w� ������**� 8 �jPCs�����x�2E¼��x�Ue�¨e��x�Y¤

=k���@> � ¤ � ¤<¬���������<¤ _�` c$y}qzoU�Jj�nkjkq | oru { ~txu�q � txn�tr� { jkys~ � cq ��� t�~cy}yscy!¤[h°w � jkuY��c � £ N�c � n or��¼��vc��Dt � ¾b¼­�!�x���Y¤

=k�x�">�;�¤Ðh­¤ ��t � y}cx¤ _ tU��o � { o�lYuJjº«Qc { q ` c�t � |�tU�<wQo � ord$cq}c � o { orwYqsjk©�cD~t�u�q � t�npoU�Yjknkjkq |¨¤ � � � � b!����*3� �- u � �/&(��*,�����5 ¼ S � C¢h�cw ���x����E�¼��!�x�2J ­���J�7JY¤=k�7J@> � ¤�h�cjk�Qc � q!¤ � cnpoUqsjk©�c�y}qzor�Yjkn�jkq |�oUu { ysq�oU�Yjknkjkq |vtU�Q~nktxysc { y}cqsy!¤ 1 � ����u �����B$�������� ��*M�D����5,�����2� ����� ¼

�vt / ^ ^ h�w � jkuY�xc � £ NÈc � npoU�Q¼3ADc � nkjku C}���2Hx��E�¼­���2R�b�!�x�J¤=k���@> & ¤ H�¤�h�txu�q�oU��¤'GJl � q ` c � �Sor~qsy�oU�QtxlYqBj�uJwYlYq$q}t>y}qzoUq}c y}qzor�Yjkn�jT�orqsjktxu%¤ ��� � � b!����* �9��- u3� �&(��*,�����5 ¼ S � C}�����x��E�¼�e H���¨e3H�HJ¤=k�e5> � ¤(N�j { |¨oUy�oU��o � ¤ Hvc�~txdBw�t�ysjkqsjktxu qsc~ ` uJj�»�lYc�y��¢t � npo � ��c�£ ys~�orn�c ys|�ysq}cd$yB��j�q ` uYt�u�o {Y{ j�q}jk©xc

j�u�q}c � or~qsjktxuJy7Ovh�q�oU�Yjknkjkq | oru { ysq�oU�YjknkjT�oU�Jj�nkjkq |�¤ ��� � � b!���2*3� �i- u3� ��&(��*w� ��� ¼ P � C}�����x��E�¼hH�Hx��H�Hx�J¤

oRp^zqoRr

Page 22: Stability of Discrete-time Systems: New Criteria and

Unit e de recherche INRIA Lorraine, Technop ole de Nancy-Brabois, Campus scientifique,615 rue du Jardin Botanique, BP 101, 54600 VILLERS LES NANCY

Unit e de recherche INRIA Rennes, Irisa, Campus universitaire de Beaulieu, 35042 RENNES CedexUnit e de recherche INRIA Rh one-Alpes, 655, avenue de l’Europe, 38330 MONTBONNOT ST MARTIN

Unit e de recherche INRIA Rocquencourt, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY CedexUnit e de recherche INRIA Sophia-Antipolis, 2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA-ANTIPOLIS Cedex

EditeurINRIA, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY Cedex (France)

ISSN 0249-6399