Research for safety

2002-09-13 1

Spectrum EstimationSpectrum Estimation

Statistical digital signal processing and Statistical digital signal processing and modeling. Monson H. Hayes. Kap 8.modeling. Monson H. Hayes. Kap 8.

Niclas Persson & Peter HallNiclas Persson & Peter Hall

22002-09-13

Research for safetyVad är spektralskattning?Vad är spektralskattning?

Skatta energin i signalen för en viss frekvensSkatta energin i signalen för en viss frekvens Definition, effektspektrum:Definition, effektspektrum:

• DFT av autokorrelationsfunktionenDFT av autokorrelationsfunktionen Intressanta problem:Intressanta problem:

• Begränsat antal dataBegränsat antal data• Brus, störningarBrus, störningar

Hur utnyttja kunskaper om den bakomliggande processen?Hur utnyttja kunskaper om den bakomliggande processen? Tillämpningar…Tillämpningar…

32002-09-13

Research for safetyMetoder förMetoder för spektralskattning spektralskattning

Icke-parametriskaIcke-parametriska• Ingen kännedom om processen nödvändigIngen kännedom om processen nödvändig• abs(fft(x)) och liknandeabs(fft(x)) och liknande

Parametriska Parametriska • Kännedom om processen är nödvändigKännedom om processen är nödvändig• AR(2)AR(2)

Alternativa (någonstans mellan IP och Par)Alternativa (någonstans mellan IP och Par)• Minimum variansMinimum varians• Maximum entropiMaximum entropi

FrekvensFrekvens• MUSIC m.fl.MUSIC m.fl.

42002-09-13

Research for safety

0 20 40 60 80 100 120 14010

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

TrueUnbiased with non-zero varianceBiased with zero variance

Viktiga egenskaperViktiga egenskaper

UpplösningUpplösning• Förmågan att skilja Förmågan att skilja

närliggande frekvensinnehållnärliggande frekvensinnehåll BiasBias

• Är spektralskattningen Är spektralskattningen väntevärdesriktig?väntevärdesriktig?

VariansVarians• Går variansen mot noll när Går variansen mot noll när

antalet data ökar?antalet data ökar?

52002-09-13

Research for safetyIP - FFTIP - FFT

plot(abs(fft(x)).^2)plot(abs(fft(x)).^2) - Vad är det egentligen man gör? - Vad är det egentligen man gör? Definition: Periodogram = (1/N) abs(fft(x)).^2Definition: Periodogram = (1/N) abs(fft(x)).^2 Periodogram = skattning av spektrum baserat på begränsat antal Periodogram = skattning av spektrum baserat på begränsat antal

data data • Sant periodogram faltat med en sinc kvadrat (läckage)Sant periodogram faltat med en sinc kvadrat (läckage)

Egenskaper:Egenskaper:• Asymptotiskt väntevärdesriktigAsymptotiskt väntevärdesriktig• Ej avtagande varians = ej konsistent!Ej avtagande varians = ej konsistent!

62002-09-13

Research for safetyIP – Modifierade IIP – Modifierade I

Olika fönsterOlika fönster Syftar till att finna avvägning mellan hög upplösning och Syftar till att finna avvägning mellan hög upplösning och

undertryckning av sidlober.undertryckning av sidlober. MATLAB: wintool (GUI, 6.5)MATLAB: wintool (GUI, 6.5)

72002-09-13

Research for safety

0 20 40 60 80 100 120 14010

-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

102

OriginalBartlett

IP – Modifierade IIIP – Modifierade II

Syftar till att få konsistenta Syftar till att få konsistenta skattningarskattningar

MedelvärdesbildningMedelvärdesbildning• Bartlett, icke överlappande Bartlett, icke överlappande

segmentsegment• Welch, överlappande segmentWelch, överlappande segment

GlättningGlättning• Blackman-Tukey, fönstring av Blackman-Tukey, fönstring av

akfakf• Minskar inflytandet av osäkra Minskar inflytandet av osäkra

akf-komponenterakf-komponenter

Är "Figure of Merit" ett bra jämförelse tal för de olika algoritmerna, Är "Figure of Merit" ett bra jämförelse tal för de olika algoritmerna, eller ska man använda varians eller upplösning var för sig när man eller ska man använda varians eller upplösning var för sig när man väljer metod.väljer metod.

82002-09-13

Research for safetyAlt – Minimum VarianceAlt – Minimum Variance

Filtrera signalen med ett filter som har bandbredd Filtrera signalen med ett filter som har bandbredd ΔΔ, , centerfrekvens centerfrekvens ωωii och filterordning och filterordning pp

Filtret designas så attFiltret designas så att• förstärkningen är 1 för frekvensen förstärkningen är 1 för frekvensen ωωii

• läckage från sidolober minimeras (Minimum Variance)läckage från sidolober minimeras (Minimum Variance)

Skatta effekten för den filtrerade signalenSkatta effekten för den filtrerade signalen

Fördelar – hög upplösningFördelar – hög upplösning

Nackdelar - beräkningskrävande för stora Nackdelar - beräkningskrävande för stora pp

92002-09-13

Research for safetyAlt – Maximum entropyAlt – Maximum entropy

Klassiska metoder “sätter” Klassiska metoder “sätter” rrxx(k) = 0 för k ≤ N(k) = 0 för k ≤ N• begränsar upplösningen och säkerheten I skattningen av spektrumetbegränsar upplösningen och säkerheten I skattningen av spektrumet

Maximum entropy extrapolerar Maximum entropy extrapolerar rrxx(k) = 0 för k > N(k) = 0 för k > N så att entropin så att entropin för processen maximeras för processen maximeras

““signalen signalen x(n)x(n) görs så vit som möjligt eller spectrumet görs så platt görs så vit som möjligt eller spectrumet görs så platt som möjligt”som möjligt”

Fördelar – ???Fördelar – ???

Nackdelar - ???Nackdelar - ???

Varför entropi?Varför entropi?

102002-09-13

Research for safetyPar – AR, ARMA, MA … Par – AR, ARMA, MA …

Kunskap om processen inkorporeras i form av en parametrisk Kunskap om processen inkorporeras i form av en parametrisk modellstrukturmodellstruktur

Parametrarna skattas med lämplig metod (se material eller Ljung Parametrarna skattas med lämplig metod (se material eller Ljung bibel) och spectrumet beräknas utifrån de skattade parametrarnabibel) och spectrumet beräknas utifrån de skattade parametrarna

Fördelar – noggrannhet och upplösningFördelar – noggrannhet och upplösning

Nackdelar –Nackdelar –• Bias om modell inte är konsistent med dataBias om modell inte är konsistent med data• Frekvenssplittring vid övermodelleringFrekvenssplittring vid övermodellering

112002-09-13

Research for safetyFrekvensskattningFrekvensskattning

Letar efter vissa frekvenskomponenter (harmonics)Letar efter vissa frekvenskomponenter (harmonics) Modell: Sinusar i brusModell: Sinusar i brus Analogi: Beamforming, letar efter riktningarAnalogi: Beamforming, letar efter riktningar Metoder som bygger på egenuppdelning av ak-matrisen, R:Metoder som bygger på egenuppdelning av ak-matrisen, R:

• Pisarenko Harmonic DecompositionPisarenko Harmonic Decomposition• MUSICMUSIC• EgenvärdesmetodenEgenvärdesmetoden• PrincipalkomponenterPrincipalkomponenter

122002-09-13

Research for safetyFrekvensskattning – PisarenkoFrekvensskattning – Pisarenko

Antar p frekvenskomponenterAntar p frekvenskomponenter Givet p+1 akf-komponenter -> dim(brusunderrummet) = 1Givet p+1 akf-komponenter -> dim(brusunderrummet) = 1 Ortogonalitet -> projektionen av signalegenvektorerna på Ortogonalitet -> projektionen av signalegenvektorerna på

brusegenvektorn är nollbrusegenvektorn är noll Egenfiltrets nollställen ger frekvensernaEgenfiltrets nollställen ger frekvenserna BruskänsligBruskänslig

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Normalized Frequency ( rad/sample)

dB

Pisarenko Pseudospectrum

132002-09-13

Research for safetyFrekvensskattning - MUSICFrekvensskattning - MUSIC

Antar p frekvenskomponenterAntar p frekvenskomponenter Givet M akf-komponenter -> dim(brusunderrummet) = M-pGivet M akf-komponenter -> dim(brusunderrummet) = M-p Utnyttjar fler brusegenvektorer än Pisarenko (M > p+1)Utnyttjar fler brusegenvektorer än Pisarenko (M > p+1) Mindre bruskänsligtMindre bruskänsligt MATLAB: pmusic, rootmusicMATLAB: pmusic, rootmusic

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

Normalized Frequency ( rad/sample)

dB

MUSIC Pseudospectrum

142002-09-13

Research for safetyFrekvensskattning – EgenvärdesmetodenFrekvensskattning – Egenvärdesmetoden

Som MUSIC, fast termerna är skalade med resp. egenvärdeSom MUSIC, fast termerna är skalade med resp. egenvärde Teoretiskt identiskt med MUSIC, så när som på en skalfaktorTeoretiskt identiskt med MUSIC, så när som på en skalfaktor Vid skattad ak-matris mindre känslig för osäkra Vid skattad ak-matris mindre känslig för osäkra

nollställeplaceringar nollställeplaceringar Färre falska toppar i pseudospektrumFärre falska toppar i pseudospektrum MATLAB: peig, rooteigMATLAB: peig, rooteig

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-10

0

10

20

30

40

50

60

70

Normalized Frequency ( rad/sample)

dB

Eigenvector Method Pseudospectrum

152002-09-13

Research for safetyPrincipalkomponenterPrincipalkomponenter

Utnyttja egenuppdelning av R och släng brusdelenUtnyttja egenuppdelning av R och släng brusdelen Resulterar i ett R med reducerad rang (principalkomponenter)Resulterar i ett R med reducerad rang (principalkomponenter) Använd någon spektralskattningsmetod på detta RAnvänd någon spektralskattningsmetod på detta R Fördel: Man har “filtrerat bort” delar av brusetFördel: Man har “filtrerat bort” delar av bruset

162002-09-13

Research for safetyMatlab kommandonMatlab kommandon

help signalhelp signal

-> alla nödvändiga funktioner som kan behövas-> alla nödvändiga funktioner som kan behövas

Några bra gui:n för att snabbt testa olika metoderNågra bra gui:n för att snabbt testa olika metoder• wintool (titta på olika fönster och dess egenskaper)wintool (titta på olika fönster och dess egenskaper)• sptool (titta på spektrum med diverse olika metoder)sptool (titta på spektrum med diverse olika metoder)

172002-09-13

Research for safetyUppgift 1 - SpektralskattningUppgift 1 - Spektralskattning

Som svar förväntar vi oss Som svar förväntar vi oss

1)1) Frekvens(er) för den/de resonans(er) ni funnit.Frekvens(er) för den/de resonans(er) ni funnit.

2)2) Vilken metod ni tyckte gav bäst resultat och varför.Vilken metod ni tyckte gav bäst resultat och varför.

3)3) Bonus om man kan ange den exakta processenBonus om man kan ange den exakta processen

På kurshemsidan finns en mat-fil (y.mat) som generarats från På kurshemsidan finns en mat-fil (y.mat) som generarats från en av oss känd process. Processen innehåller en eller flera en av oss känd process. Processen innehåller en eller flera resonansfrekvenser.resonansfrekvenser. Uppgiften består i att ta reda på den/de resonansfrekvens(er) Uppgiften består i att ta reda på den/de resonansfrekvens(er) som förekommer så noggrannt som möjligt enligt de som förekommer så noggrannt som möjligt enligt de metoder som presenterats i materialet.metoder som presenterats i materialet.

Fina priser utlovas till dem som kommer närmast!Fina priser utlovas till dem som kommer närmast!

182002-09-13

Research for safetyUppgift 2 - FrekvensskattningUppgift 2 - Frekvensskattning

I filen FrekEst.mat finns signalen y som är ett antal sinusar i brus I filen FrekEst.mat finns signalen y som är ett antal sinusar i brus

(Ts=1).(Ts=1).

Uppgiften är att med hjälp av metoderna i artikeln ta reda på:Uppgiften är att med hjälp av metoderna i artikeln ta reda på:

1.1. Hur många sinusarHur många sinusar

2.2. Vilka frekvenserVilka frekvenser

3.3. Extra: Effekt (amplitud) hos sinusarna och brusvariansExtra: Effekt (amplitud) hos sinusarna och brusvarians

Testa gärna flera metoder och tala om vilken som funkar bäst!Testa gärna flera metoder och tala om vilken som funkar bäst!

192002-09-13

Research for safetyFrågor (några utvalda)Frågor (några utvalda)

Artikeln presenterar utförligt och tydligt olika klassiska Artikeln presenterar utförligt och tydligt olika klassiska spektralskattningsmetoder baserade på periodogram (Bartlett, spektralskattningsmetoder baserade på periodogram (Bartlett, Welch, B-T). Detta ingår i princip i grundkursen. Finns Welch, B-T). Detta ingår i princip i grundkursen. Finns ytterligare metoder eller material som hade varit värt att ta ytterligare metoder eller material som hade varit värt att ta upp?upp?

Är "Figure of Merit" ett bra jämförelse tal för de olika Är "Figure of Merit" ett bra jämförelse tal för de olika algoritmerna, eller ska man använda varians eller upplösning var algoritmerna, eller ska man använda varians eller upplösning var för sig när man väljer metod.för sig när man väljer metod.

Jag har lite funderingar om man kan säga när de olika metoderna Jag har lite funderingar om man kan säga när de olika metoderna är lämpliga att använda. Lite erfarenheter vore trevligt att få är lämpliga att använda. Lite erfarenheter vore trevligt att få ta del av. Ska man se samtliga metoder som komplement till ta del av. Ska man se samtliga metoder som komplement till varandra, eller kan man ge "lätta" konkreta tips för situationer varandra, eller kan man ge "lätta" konkreta tips för situationer när en viss metod är att föredra?när en viss metod är att föredra?

Vad finns det för fördelar/nackdelar med subspace-metoder och Vad finns det för fördelar/nackdelar med subspace-metoder och principalkomponentanalys? När ska man välja resp. metod?principalkomponentanalys? När ska man välja resp. metod?