D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue 11 SPATII LP

Cursul 11

Fie (X;A; ) un spatiu cu masura completa si p 2 [1;1).

Denitia 11.16 Fie un sir (fn) Lp(X) si e f 2 Lp(X).1. Spunem ca sirul (fn) converge ^n medie de ordinul p la functia f , si notam cu fn

kkp! f , daca kfn fkp ! 0.2. Spunem ca sirul (fn) converge ^n medie de ordinul p daca exista o functie f 2 Lp(X) astfel ^nca^t fn

kkp! f .3. Spunem ca sirul (fn) este fundamental ^n medie de ordinul p daca

8" > 0; 9n" 2 N astfel ^nca^t 8m;n n"; kfm fnkp < ":

Observatia 11.17 Deoarece ^n general kkp nu este o norma, sirurile convergente ^n medie de ordinul p nu aulimita unica.

Fie un sir (fn) Lp(X) si e f; g 2 Lp(X) astfel ^nca^t fnkkp! f si fn

kkp! g. Atunci avem

kf gkp kf fnkp + kfn gkp ! 0:

Prin urmare kf gkp = 0 si deci f = g -a.p.t..

Teorema 11.18 Un sir (fn) Lp(X) este convergent ^n medie de ordinul p daca si numai daca (fn) estefundamental ^n medie de ordinul p.

Demonstratie. Fie un sir (fn) Lp(X).")":Daca (fn) converge ^n medie de ordinul p, atunci exista o functie f 2 Lp(X) astfel ^nca^t fn

kkp! f si deci, pentruun " > 0, exista n" asa ^nca^t 8n n", kfn fkp 0;9n" 2 N asa ^nca^t 8m;n n"; kfm fnkp < ", adica sirul este fundamental ^n medie de ordinul p."(":Presupunem ca sirul (fn) este fundamental ^n medie de ordinul p. Atunci

8" > 0; 9n" 2 N astfel ^nca^t 8m;n n"; kfm fnkp < ": (120)

Fie n0 = 0. Pentru ecare k 2 N, lua^nd ^n (120) " = 12k

, exista nk > nk1 astfel ^nca^t

8m;n nk; kfm fnkp : fn0(x) +1Xk=1

(fnk+1(x) fnk(x)); daca x 2 A0; daca x 62 A

:

Rezulta ca fn0 +1Xk=1

(fnk+1 fnk) = f -a.p.t. si cum seria fn0 +1Xk=1

(fnk+1 fnk) este telescopica, deducem ca

fnka:p:t:! f:

Aratam ^n continuare ca sirul fnk converge ^n medie de ordinul p la functia f .Deoarece (fn) este fundamental ^n medie de ordinul p, pentru un " > 0, exista n" 2 N astfel ^nca^t

8n;m n"; kfn fmkp 0, exista P 2 R[X] asa ^nca^t kf Pku 0, exista Q 2 A astfel ^nca^t kf Qku < ", adica Akkp =

Lp([a; b]). Cum A este multime numarabila, urmeaza caLp([a; b]); kkp

este un spatiu separabil.

Observatia 11.43 Teorema anterioara ne spune de fapt ca orice functie p-integrabila pe [a; b] poate aproxi-mata, ^n sensul seminormei kkp, cu polinoame cu coecienti rationali.

12 Spatiul L1

Fie (X;A; ) un spatiu cu masura completa si e f : X ! R o functie A-masurabila.

Fie a = supx2X

f(x) 2 R. Cum f a, rezulta ca a 2 2 R j f -a.p.t. si deci 2 R j f -a.p.t. 6= ?.Prin urmare, exista inf

2 R j f -a.p.t. 2 R.

Denitia 12.1 Se numeste marginea superioara esentiala a functiei f numarul

ess sup f = inf 2 R j f -a.p.t. : (132)

Exemplul 12.2 Sa se determine marginea superioara esentiala a functiei f : R! R, denita prin

f (x) =

x3; daca x 2 Qarctg x; daca x 2 RnQ :

97

D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue 12 SPATIUL L1

Observatia 12.3 Deoarece jf j supx2X

jf(x)j, rezulta ess sup jf j supx2X

jf(x)j.Exista situatii ^n care avem chiar egalitate.

Propozitia 12.4 Daca f 2 C([a; b]), atunci ess sup jf j = supx2[a;b]

jf(x)j (= kfku).

Demonstratie. Deoarece ess sup jf j supx2[a;b]

jf(x)j, daca supx2[a;b]

jf(x)j = 0, atunci ess sup jf j = 0 = supx2[a;b]

jf(x)j.Presupunem ca sup

x2[a;b]jf(x)j > 0 si e asa ^nca^t 0 < < sup

x2[a;b]jf(x)j. Atunci 9x0 2 [a; b] astfel ^nca^t

< jf(x0)j. Cum f este continua ^n x0, exista > 0 asa ^nca^t < jf(x)j;8x 2 (x0 ; x0 + ) \ [a; b]. Deci(x0; x0+)\[a; b] fx 2 [a; b]j jf(x)j > g, de unde 0 < ((x0; x0+)\[a; b]) (fx 2 [a; b]j jf(x)j > g).Fie un 0 asa ^nca^t jf j -a.p.t.. Atunci (fx 2 [a; b]j jf(x)j > g) = 0.Daca < , atunci fx 2 [a; b]j jf(x)j > g fx 2 [a; b]j jf(x)j > g, de unde obtinem 0 < (fx 2 [a; b]j jf(x)j >g) (fx 2 [a; b]j jf(x)j > g) = 0; contradictie! Deci .Prin urmare, , 8 > 0 cu jf j -a.p.t., de unde rezulta inf 2 R j jf j -a.p.t. = ess sup jf j.Deci, pentru orice cu 0 < < sup

x2[a;b]jf(x)j, avem ess sup jf j.

Fie n0 2 N asa ^nca^t 1n0

< supx2[a;b]

jf(x)j. Luam atunci = supx2[a;b]

jf(x)j 1n, cu n n0 si deci sup

x2[a;b]jf(x)j 1

n

ess sup jf j ; 8n n0. Prin trecere la limita obtinem supx2[a;b]

jf(x)j ess sup jf j. Cum inegalitatea inversa esteevidenta, avem ess sup jf j = sup

x2[a;b]jf(x)j.

Propozitia 12.5 Daca f 2M(X;A), atunci jf j ess sup jf j -a.p.t..Demonstratie. Daca ess sup jf j =1, atunci jf j ess sup jf j. Presupunem ca ess sup jf j ng) = 0.Fie Bn = fx 2 Xj jf(x)j > ng;8n 2 N si e B =

[n2N

Bn. Atunci (Bn) = 0;8n 2 N, de unde (B) = 0.

Daca x 2 cB, avem x 2 cBn; 8n 2 N si deci jf(x)j n < ess sup jf j + 1n ;8n 2 N. Treca^nd la limita rezultajf(x)j ess sup jf j. Deci fx 2 Xj jf(x)j > ess sup jf jg B si cum (B) = 0, obtinem ca (fx 2 Xj jf(x)j >ess sup jf jg) = 0. Deci jf j ess sup jf j -a.p.t..

Denitia 12.6 O functie f : X ! R se numeste esential marginita daca f este A-masurabila si ess sup jf j kfk1g si B = fx 2 Xj jg(x)j > kgk1g. Din Propozitia 12.5 avem jf j kfk1-a.p.t. si jgj kgk1 -a.p.t.. Deci (A) = (B) = 0 si atunci (A [ B) = 0. Daca x 2 c(A [ B), avemjf(x)+g(x)j jf(x)j+jg(x)j kfk1+kgk1, de unde rezulta fx 2 Xj jf(x)+g(x)j > kfk1+kgk1g A[B. Deci(fx 2 Xj jf(x)+g(x)j > kfk1+kgk1g) (A[B) = 0, de unde (fx 2 Xj jf(x)+g(x)j > kfk1+kgk1g) = 0.Rezulta ca jf+gj kfk1+kgk1 -a.p.t. si atunci ess sup jf j kfk1+kgk1

D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue 12 SPATIUL L1

este o relatie de echivalenta pe L1(X) si pentru orice f 2 L1(X) consideram bf = fg 2 L1(X)j g fg, clasade echivalenta a functiei f ^n raport cu . Fie L1 (X;A; ) multimea factor asociata relatiei , adica

L1 (X;A; ) =n bf j f 2 L1(X)o :

Ca^nd nu exista pericol de confuzie, vom nota acest spatiu cu L1(X).Denim operatiile

+ : L1(X) L1(X)! L1(X); bf + bg = [f + g; 8 bf; bg 2 L1(X); : R L1(X)! L1(X); bf = d f; 8 2 R; 8 bf 2 L1(X):

Functiile + si sunt bine denite si (L1(X);+; ) este un spatiu liniar real.Fie functia kk1 : L1(X)! [0;1), denita prin

bf

1

= kfk1 ; 8 bf 2 L1(X).kk1 este bine denita si este o norma pe L1(X). Deci (L1(X); kk1) este un spatiu liniar normat.

Teorema 12.9 Fie f; fn 2 L1 (X) ; 8n 2 N. Avem urmatoarele:1. fn

kk1! f daca si numai daca 9A 2 A cu (A) = 0 astfel ^nca^t fn u!XnA

f .

2. (fn) este fundamental ^n kk1 daca si numai daca 9A 2 A cu (A) = 0 astfel ^nca^t (fn) fundamental uniformpe multimea XnA.Demonstratie. 1.

")"

Presupunem ca fnkk1! f . Atunci, pentru un " > 0, exista n" 2 N astfel ^nca^t 8n n", kfn fk1 < ".

Din Propozitia 12.5 avem jfn f j kfn fk1 -a.p.t. si atunci 8n n"; jfn f j < " -a.p.t..Pentru orice n 2 N, e multimea Bn = fx 2 Xj jfn(x) f(x)j "g si e A" =

[nn"

Bn. Cum (Bn) = 0; 8n

n", rezulta (A") = 0. De asemenea, 8n n"; 8x 2 XnA"; jfn(x) f(x)j < ". Deci

8" > 0; 9n" 2 N;9A" 2 A cu (A") = 0 astfel ^nca^t 8n n"; 8x 2 XnA"; jfn(x) f(x)j < ": (133)

I^n (133) luam " =1

k, unde k 2 N, si obtinem:

8k 2 N; 9nk 2 N; 9Ak 2 A cu (Ak) = 0 astfel ^nca^t 8n nk;8x 2 XnAk; jfn(x) f(x)j < 1k:

Consideram multimea A =[k2N

Ak. Atunci A 2 A si (A) = 0.

Fie acum un " > 0 si e un k 2 N asa ^nca^t 1k< ". Cum X n A X n Ak, obtinem ca 8n nk, 8x 2 XnA,

jfn(x) f(x)j < 1k< ". Prin urmare fn

u!XnA

f .

Deci 9A 2 A cu (A) = 0 astfel ^nca^t fn u!XnA

f .

"("Presupunem ca 9A 2 A cu (A) = 0 astfel ^nca^t fn u!

XnAf .

Atunci, pentru un " > 0; 9n" 2 N astfel ^nca^t 8n n", 8x 2 XnA, jfn(x) f(x)j < ". De aici rezulta cafx 2 Xj jfn(x) f(x)j "g A si deci este -neglijabila. Atunci jfn f j < " -a.p.t., de unde rezulta cakfn fk1 < ".Deci, 8" > 0; 9n" astfel ^nca^t 8n n"; kfn fk1 < ", adica fn

kk1! f .

2. Se demonstreaza la fel ca punctul (1).

T ina^nd seama ca un sir converge uniform daca si numai daca este fundamental uniform, din teorema de mai susrezulta:

Corolar 12.10 Fie un sir (fn) L1(X). Sirul (fn) este convergent ^n kk1 daca si numai daca (fn) estefundamental ^n kk1.

Corolar 12.11 (L1(X); kk1) este un spatiu Banach.

99

D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue 12 SPATIUL L1

De asemenea, caracterizarea din Teorema 12.9 ne permite sa comparam convergenta ^n kk1 cu convergentaaproape uniforma.

Corolar 12.12 Fie f; fn 2 L1 (X) ; 8n 2 N. Daca fn kk1! f , atunci fn a:u:! f .Vom compara ^n continuare spatiul L1(X) cu spatiile Lp(X).

Propozitia 12.13 Pentru orice f 2M(X;A) si orice p 1, are loc inegalitateaZX

jf jp d 1

p

ess sup jf j ((X)) 1p : (134)

Demonstratie. Din Propozitia 12.5 avem jf j ess sup jf j -a.p.t., de unde rezultaZX

jf jp d 1

p

Z

X

(ess sup jf j)pd 1

p

= ess sup jf j Z

X

d

1p

= ess sup jf j ((X)) 1p :

Teorema 12.14 Daca (X)

D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue 12 SPATIUL L1

Treca^nd la limita inferioara ^n aceasta inegalitate, rezulta

lim infp!1 kfkp lim infp!1 (A)

1p = :

Deci, 8 cu 0 < < ess sup jf j, avem lim infp!1 kfkp.

Daca ess sup jf j < 1, e n0 asa ^nca^t 1n0

< ess sup jf j. Luam atunci = ess sup jf j 1n, cu n n0 si deci

ess sup jf j 1n lim inf

p!1 kfkp ; 8n n0. Prin trecere la limita cu n ! 1, obtinem ess sup jf j lim infp!1 kfkp.Folosind (135) rezulta

ess sup jf j lim infp!1 kfkp lim supp!1 kfkp ess sup jf j ;

de unde lim infp!1 kfkp = lim supp!1 kfkp = ess sup jf j. Deci 9 limn!1 kfkp = ess sup jf j.

Daca ess sup jf j = 1, luam = n 2 N si atunci n lim infp!1 kfkp ;8n 2 N

. Prin trecere la limita obtinem

lim infp!1 kfkp =1 = ess sup jf j. Atunci lim infp!1 kfkp = lim supp!1 kfkp = ess sup jf j si deci 9 limn!1 kfkp = ess sup jf j.

Din teorema anterioara si din Propozitia 12.4 obtinem:

Corolar 12.18 Pentru orice functie f 2 C([a; b]) avem

limn!1

Z ba

jf (x)jn dx! 1

n

= supx2[a;b]

jf(x)j:

Exercitiul 12.19 Sa se verice rezultatul din corolarul anterior pentru functia f : [a; b] ! R, denita prinf(x) = (x a)(b x);8x 2 [a; b].

101