spatiul l(x)

12
D.Rusu, Teoriam˘asurii¸ si integrala Lebesgue 11 SPAT ¸II L P Cursul 11 Fie (X, A) un spat ¸iucum˘asur˘ acomplet˘a¸ si p [1, ). Definit ¸ia 11.16 Fie un ¸ sir (f n ) ⊆L p (X) ¸ si fie f ∈L p (X). 1. Spunemc˘a¸ sirul (f n ) converge ˆ ın medie de ordinul p la funct ¸ia f sinot˘amcu f n ∥·∥ p -→ f ,dac˘a f n - f p -→ 0. 2. Spunem c˘a ¸ sirul (f n ) converge ˆ ın medie de ordinul p dac˘a exist˘a o funct ¸ie f ∈L p (X) astfel ˆ ıncˆat f n ∥·∥ p -→ f . 3. Spunem c˘a ¸ sirul (f n ) este fundamental ˆ ın medie de ordinul p dac˘a ε> 0, n ε N astfel ˆ ıncˆat m, n n ε , f m - f n p < ε. Observat ¸ia 11.17 Deoarece ˆ ın general ∥·∥ p nu este o norm˘a, ¸ sirurile convergente ˆ ın medie de ordinul p nu au limit˘aunic˘a. Fie un ¸ sir (f n ) ⊆L p (X) ¸ si fie f,g ∈L p (X) astfel ˆ ıncˆat f n ∥·∥ p -→ f ¸ si f n ∥·∥ p -→ g. Atunci avem f - gp ≤∥f - f n p + f n - gp -→ 0. Prin urmare f - gp =0 ¸ si deci f = -a.p.t.. Teorema 11.18 Un ¸ sir (f n ) ⊆L p (X) este convergent ˆ ın medie de ordinul p dac˘a ¸ si numai dac˘a (f n ) este fundamental ˆ ın medie de ordinul p. Demonstrat ¸ie. Fie un ¸ sir (f n ) ⊆L p (X). ”: Dac˘a(f n ) converge ˆ ın medie de ordinul p, atunci exist˘a o funct ¸ie f ∈L p (X) astfel ˆ ıncˆ at f n ∥·∥ p -→ f ¸ si deci, pentru un ε> 0,exist˘a n ε sa ˆ ıncˆ at n n ε , f n - f p < ε 2 . Atunci, m, n n ε avem f m - f p < ε 2 ¸ si f n - f p < ε 2 ¸ si t ¸inˆ and seama c˘a ∥·∥ p satisface inegalitatea triunghiular˘ a, obt ¸inem f m - f n p ≤∥f m - f p + f - f n p < ε 2 + ε 2 = ε. Deci, ε> 0, n ε N sa ˆ ıncˆ at m, n n ε , f m - f n p ,adic˘a¸ sirul este fundamental ˆ ın medie de ordinul p. ”: Presupunem c˘a ¸ sirul (f n ) este fundamental ˆ ın medie de ordinul p. Atunci ε> 0, n ε N astfel ˆ ıncˆ at m, n n ε , f m - f n p < ε. (120) Fie n 0 = 0. Pentru fiecare k N * ,luˆandˆ ın (120) ε = 1 2 k ,exist˘a n k >n k-1 astfel ˆ ıncˆ at m, n n k , f m - f n p < 1 2 k . (121) Cum ¸ sirul (n k ) kN este cresc˘ator, din (121) rezult˘a f n k+1 - f n k p < 1 2 k , k N * . (122) Pentru fiecare j N * consider˘ am funct ¸ia g j = j k=1 f n k+1 - f n k . ˆ Intrucˆ at ¸ sirul (g j ) jN * este cresc˘ator, este bine definit˘a funct ¸ia g = sup jN * g j . Atunci g este A-m˘asurabil˘ si avem g = lim j→∞ g j = k=1 f n k+1 - f n k . 90

Upload: adrian-hagiu

Post on 10-Nov-2015

80 views

Category:

Documents


1 download

DESCRIPTION

integrala lebesque

TRANSCRIPT

  • D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue 11 SPATII LP

    Cursul 11

    Fie (X;A; ) un spatiu cu masura completa si p 2 [1;1).

    Denitia 11.16 Fie un sir (fn) Lp(X) si e f 2 Lp(X).1. Spunem ca sirul (fn) converge ^n medie de ordinul p la functia f , si notam cu fn

    kkp! f , daca kfn fkp ! 0.2. Spunem ca sirul (fn) converge ^n medie de ordinul p daca exista o functie f 2 Lp(X) astfel ^nca^t fn

    kkp! f .3. Spunem ca sirul (fn) este fundamental ^n medie de ordinul p daca

    8" > 0; 9n" 2 N astfel ^nca^t 8m;n n"; kfm fnkp < ":

    Observatia 11.17 Deoarece ^n general kkp nu este o norma, sirurile convergente ^n medie de ordinul p nu aulimita unica.

    Fie un sir (fn) Lp(X) si e f; g 2 Lp(X) astfel ^nca^t fnkkp! f si fn

    kkp! g. Atunci avem

    kf gkp kf fnkp + kfn gkp ! 0:

    Prin urmare kf gkp = 0 si deci f = g -a.p.t..

    Teorema 11.18 Un sir (fn) Lp(X) este convergent ^n medie de ordinul p daca si numai daca (fn) estefundamental ^n medie de ordinul p.

    Demonstratie. Fie un sir (fn) Lp(X).")":Daca (fn) converge ^n medie de ordinul p, atunci exista o functie f 2 Lp(X) astfel ^nca^t fn

    kkp! f si deci, pentruun " > 0, exista n" asa ^nca^t 8n n", kfn fkp 0;9n" 2 N asa ^nca^t 8m;n n"; kfm fnkp < ", adica sirul este fundamental ^n medie de ordinul p."(":Presupunem ca sirul (fn) este fundamental ^n medie de ordinul p. Atunci

    8" > 0; 9n" 2 N astfel ^nca^t 8m;n n"; kfm fnkp < ": (120)

    Fie n0 = 0. Pentru ecare k 2 N, lua^nd ^n (120) " = 12k

    , exista nk > nk1 astfel ^nca^t

    8m;n nk; kfm fnkp : fn0(x) +1Xk=1

    (fnk+1(x) fnk(x)); daca x 2 A0; daca x 62 A

    :

    Rezulta ca fn0 +1Xk=1

    (fnk+1 fnk) = f -a.p.t. si cum seria fn0 +1Xk=1

    (fnk+1 fnk) este telescopica, deducem ca

    fnka:p:t:! f:

    Aratam ^n continuare ca sirul fnk converge ^n medie de ordinul p la functia f .Deoarece (fn) este fundamental ^n medie de ordinul p, pentru un " > 0, exista n" 2 N astfel ^nca^t

    8n;m n"; kfn fmkp 0, exista P 2 R[X] asa ^nca^t kf Pku 0, exista Q 2 A astfel ^nca^t kf Qku < ", adica Akkp =

    Lp([a; b]). Cum A este multime numarabila, urmeaza caLp([a; b]); kkp

    este un spatiu separabil.

    Observatia 11.43 Teorema anterioara ne spune de fapt ca orice functie p-integrabila pe [a; b] poate aproxi-mata, ^n sensul seminormei kkp, cu polinoame cu coecienti rationali.

    12 Spatiul L1

    Fie (X;A; ) un spatiu cu masura completa si e f : X ! R o functie A-masurabila.

    Fie a = supx2X

    f(x) 2 R. Cum f a, rezulta ca a 2 2 R j f -a.p.t. si deci 2 R j f -a.p.t. 6= ?.Prin urmare, exista inf

    2 R j f -a.p.t. 2 R.

    Denitia 12.1 Se numeste marginea superioara esentiala a functiei f numarul

    ess sup f = inf 2 R j f -a.p.t. : (132)

    Exemplul 12.2 Sa se determine marginea superioara esentiala a functiei f : R! R, denita prin

    f (x) =

    x3; daca x 2 Qarctg x; daca x 2 RnQ :

    97

  • D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue 12 SPATIUL L1

    Observatia 12.3 Deoarece jf j supx2X

    jf(x)j, rezulta ess sup jf j supx2X

    jf(x)j.Exista situatii ^n care avem chiar egalitate.

    Propozitia 12.4 Daca f 2 C([a; b]), atunci ess sup jf j = supx2[a;b]

    jf(x)j (= kfku).

    Demonstratie. Deoarece ess sup jf j supx2[a;b]

    jf(x)j, daca supx2[a;b]

    jf(x)j = 0, atunci ess sup jf j = 0 = supx2[a;b]

    jf(x)j.Presupunem ca sup

    x2[a;b]jf(x)j > 0 si e asa ^nca^t 0 < < sup

    x2[a;b]jf(x)j. Atunci 9x0 2 [a; b] astfel ^nca^t

    < jf(x0)j. Cum f este continua ^n x0, exista > 0 asa ^nca^t < jf(x)j;8x 2 (x0 ; x0 + ) \ [a; b]. Deci(x0; x0+)\[a; b] fx 2 [a; b]j jf(x)j > g, de unde 0 < ((x0; x0+)\[a; b]) (fx 2 [a; b]j jf(x)j > g).Fie un 0 asa ^nca^t jf j -a.p.t.. Atunci (fx 2 [a; b]j jf(x)j > g) = 0.Daca < , atunci fx 2 [a; b]j jf(x)j > g fx 2 [a; b]j jf(x)j > g, de unde obtinem 0 < (fx 2 [a; b]j jf(x)j >g) (fx 2 [a; b]j jf(x)j > g) = 0; contradictie! Deci .Prin urmare, , 8 > 0 cu jf j -a.p.t., de unde rezulta inf 2 R j jf j -a.p.t. = ess sup jf j.Deci, pentru orice cu 0 < < sup

    x2[a;b]jf(x)j, avem ess sup jf j.

    Fie n0 2 N asa ^nca^t 1n0

    < supx2[a;b]

    jf(x)j. Luam atunci = supx2[a;b]

    jf(x)j 1n, cu n n0 si deci sup

    x2[a;b]jf(x)j 1

    n

    ess sup jf j ; 8n n0. Prin trecere la limita obtinem supx2[a;b]

    jf(x)j ess sup jf j. Cum inegalitatea inversa esteevidenta, avem ess sup jf j = sup

    x2[a;b]jf(x)j.

    Propozitia 12.5 Daca f 2M(X;A), atunci jf j ess sup jf j -a.p.t..Demonstratie. Daca ess sup jf j =1, atunci jf j ess sup jf j. Presupunem ca ess sup jf j ng) = 0.Fie Bn = fx 2 Xj jf(x)j > ng;8n 2 N si e B =

    [n2N

    Bn. Atunci (Bn) = 0;8n 2 N, de unde (B) = 0.

    Daca x 2 cB, avem x 2 cBn; 8n 2 N si deci jf(x)j n < ess sup jf j + 1n ;8n 2 N. Treca^nd la limita rezultajf(x)j ess sup jf j. Deci fx 2 Xj jf(x)j > ess sup jf jg B si cum (B) = 0, obtinem ca (fx 2 Xj jf(x)j >ess sup jf jg) = 0. Deci jf j ess sup jf j -a.p.t..

    Denitia 12.6 O functie f : X ! R se numeste esential marginita daca f este A-masurabila si ess sup jf j kfk1g si B = fx 2 Xj jg(x)j > kgk1g. Din Propozitia 12.5 avem jf j kfk1-a.p.t. si jgj kgk1 -a.p.t.. Deci (A) = (B) = 0 si atunci (A [ B) = 0. Daca x 2 c(A [ B), avemjf(x)+g(x)j jf(x)j+jg(x)j kfk1+kgk1, de unde rezulta fx 2 Xj jf(x)+g(x)j > kfk1+kgk1g A[B. Deci(fx 2 Xj jf(x)+g(x)j > kfk1+kgk1g) (A[B) = 0, de unde (fx 2 Xj jf(x)+g(x)j > kfk1+kgk1g) = 0.Rezulta ca jf+gj kfk1+kgk1 -a.p.t. si atunci ess sup jf j kfk1+kgk1

  • D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue 12 SPATIUL L1

    este o relatie de echivalenta pe L1(X) si pentru orice f 2 L1(X) consideram bf = fg 2 L1(X)j g fg, clasade echivalenta a functiei f ^n raport cu . Fie L1 (X;A; ) multimea factor asociata relatiei , adica

    L1 (X;A; ) =n bf j f 2 L1(X)o :

    Ca^nd nu exista pericol de confuzie, vom nota acest spatiu cu L1(X).Denim operatiile

    + : L1(X) L1(X)! L1(X); bf + bg = [f + g; 8 bf; bg 2 L1(X); : R L1(X)! L1(X); bf = d f; 8 2 R; 8 bf 2 L1(X):

    Functiile + si sunt bine denite si (L1(X);+; ) este un spatiu liniar real.Fie functia kk1 : L1(X)! [0;1), denita prin

    bf

    1

    = kfk1 ; 8 bf 2 L1(X).kk1 este bine denita si este o norma pe L1(X). Deci (L1(X); kk1) este un spatiu liniar normat.

    Teorema 12.9 Fie f; fn 2 L1 (X) ; 8n 2 N. Avem urmatoarele:1. fn

    kk1! f daca si numai daca 9A 2 A cu (A) = 0 astfel ^nca^t fn u!XnA

    f .

    2. (fn) este fundamental ^n kk1 daca si numai daca 9A 2 A cu (A) = 0 astfel ^nca^t (fn) fundamental uniformpe multimea XnA.Demonstratie. 1.

    ")"

    Presupunem ca fnkk1! f . Atunci, pentru un " > 0, exista n" 2 N astfel ^nca^t 8n n", kfn fk1 < ".

    Din Propozitia 12.5 avem jfn f j kfn fk1 -a.p.t. si atunci 8n n"; jfn f j < " -a.p.t..Pentru orice n 2 N, e multimea Bn = fx 2 Xj jfn(x) f(x)j "g si e A" =

    [nn"

    Bn. Cum (Bn) = 0; 8n

    n", rezulta (A") = 0. De asemenea, 8n n"; 8x 2 XnA"; jfn(x) f(x)j < ". Deci

    8" > 0; 9n" 2 N;9A" 2 A cu (A") = 0 astfel ^nca^t 8n n"; 8x 2 XnA"; jfn(x) f(x)j < ": (133)

    I^n (133) luam " =1

    k, unde k 2 N, si obtinem:

    8k 2 N; 9nk 2 N; 9Ak 2 A cu (Ak) = 0 astfel ^nca^t 8n nk;8x 2 XnAk; jfn(x) f(x)j < 1k:

    Consideram multimea A =[k2N

    Ak. Atunci A 2 A si (A) = 0.

    Fie acum un " > 0 si e un k 2 N asa ^nca^t 1k< ". Cum X n A X n Ak, obtinem ca 8n nk, 8x 2 XnA,

    jfn(x) f(x)j < 1k< ". Prin urmare fn

    u!XnA

    f .

    Deci 9A 2 A cu (A) = 0 astfel ^nca^t fn u!XnA

    f .

    "("Presupunem ca 9A 2 A cu (A) = 0 astfel ^nca^t fn u!

    XnAf .

    Atunci, pentru un " > 0; 9n" 2 N astfel ^nca^t 8n n", 8x 2 XnA, jfn(x) f(x)j < ". De aici rezulta cafx 2 Xj jfn(x) f(x)j "g A si deci este -neglijabila. Atunci jfn f j < " -a.p.t., de unde rezulta cakfn fk1 < ".Deci, 8" > 0; 9n" astfel ^nca^t 8n n"; kfn fk1 < ", adica fn

    kk1! f .

    2. Se demonstreaza la fel ca punctul (1).

    T ina^nd seama ca un sir converge uniform daca si numai daca este fundamental uniform, din teorema de mai susrezulta:

    Corolar 12.10 Fie un sir (fn) L1(X). Sirul (fn) este convergent ^n kk1 daca si numai daca (fn) estefundamental ^n kk1.

    Corolar 12.11 (L1(X); kk1) este un spatiu Banach.

    99

  • D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue 12 SPATIUL L1

    De asemenea, caracterizarea din Teorema 12.9 ne permite sa comparam convergenta ^n kk1 cu convergentaaproape uniforma.

    Corolar 12.12 Fie f; fn 2 L1 (X) ; 8n 2 N. Daca fn kk1! f , atunci fn a:u:! f .Vom compara ^n continuare spatiul L1(X) cu spatiile Lp(X).

    Propozitia 12.13 Pentru orice f 2M(X;A) si orice p 1, are loc inegalitateaZX

    jf jp d 1

    p

    ess sup jf j ((X)) 1p : (134)

    Demonstratie. Din Propozitia 12.5 avem jf j ess sup jf j -a.p.t., de unde rezultaZX

    jf jp d 1

    p

    Z

    X

    (ess sup jf j)pd 1

    p

    = ess sup jf j Z

    X

    d

    1p

    = ess sup jf j ((X)) 1p :

    Teorema 12.14 Daca (X)

  • D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue 12 SPATIUL L1

    Treca^nd la limita inferioara ^n aceasta inegalitate, rezulta

    lim infp!1 kfkp lim infp!1 (A)

    1p = :

    Deci, 8 cu 0 < < ess sup jf j, avem lim infp!1 kfkp.

    Daca ess sup jf j < 1, e n0 asa ^nca^t 1n0

    < ess sup jf j. Luam atunci = ess sup jf j 1n, cu n n0 si deci

    ess sup jf j 1n lim inf

    p!1 kfkp ; 8n n0. Prin trecere la limita cu n ! 1, obtinem ess sup jf j lim infp!1 kfkp.Folosind (135) rezulta

    ess sup jf j lim infp!1 kfkp lim supp!1 kfkp ess sup jf j ;

    de unde lim infp!1 kfkp = lim supp!1 kfkp = ess sup jf j. Deci 9 limn!1 kfkp = ess sup jf j.

    Daca ess sup jf j = 1, luam = n 2 N si atunci n lim infp!1 kfkp ;8n 2 N

    . Prin trecere la limita obtinem

    lim infp!1 kfkp =1 = ess sup jf j. Atunci lim infp!1 kfkp = lim supp!1 kfkp = ess sup jf j si deci 9 limn!1 kfkp = ess sup jf j.

    Din teorema anterioara si din Propozitia 12.4 obtinem:

    Corolar 12.18 Pentru orice functie f 2 C([a; b]) avem

    limn!1

    Z ba

    jf (x)jn dx! 1

    n

    = supx2[a;b]

    jf(x)j:

    Exercitiul 12.19 Sa se verice rezultatul din corolarul anterior pentru functia f : [a; b] ! R, denita prinf(x) = (x a)(b x);8x 2 [a; b].

    101