Solusi UTS Kalkulus 2014

Download Solusi UTS Kalkulus 2014

Post on 17-Jan-2016

22 views

Category:

Documents

1 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Solusi UTS Kalkulus 2014 FT UI

TRANSCRIPT

  • Solusi UTS Kalkulus

    Rabu, 22 Oktober 2014

    08.00 09.50 WIB

    Bagian A

    1. Fungsi (f g)(x) = 1x 1

    terdefinisi saat x 1 > 0, sehingga daerah asalnya adalah

    Dfg = (1,). Karenax 1 > 0, daerah hasilnya adalah Rfg = (0,).

    2. Dari definisi harga mutlak diketahui bahwa,

    |x 1| ={x 1, jika x 11 x, jika x < 1

    Sehingga,

    limx1

    x2 |x 1| 1|x 1|

    = limx1

    x2 (1 x) 11 x

    = limx1

    x2 + x 21 x

    = limx1

    (x 1)(x + 2)1 x

    = limx1

    (x + 2)

    = 3

    3. Agar fungsi f punya turunan di x = 1, fungsi turunan kiri dan turunan kanan di x = 1haruslah sama.Tinjau turunan kiri f di x = 1,

    limh0

    f(1 + h) f(1)h

    = limh0

    (h2 + h + 3) 3h

    = limh0

    h(h + 1)

    h= lim

    h0h + 1

    = 1

    Tinjau turunan kanan f di x = 1,

    limh0+

    f(1 + h) f(1)h

    = limh0+

    (1 + 2

    1 + h) 3h

    = limh0+

    11 + h

    = 1

    Kefas 1

  • Karena turunan kiri dan turunan sama, maka fungsi f diferensiabel di x = 1 denganf (1) = 1.

    4. Dari definisi harga mutlak diketahui bahwa,

    |x| ={x, jika x 0x, jika x < 0

    Maka, 11

    (1 |x|) dx = 01

    (1 |x|) dx + 10

    (1 |x|) dx

    = 01

    (1 + x) dx + 10

    (1 x) dx

    =[1 +

    1

    2x2]01

    +[1 +

    1

    2x2]10

    = 1

    Bagian B

    1. (a) Sketsa grafik fungsi f :

    -3

    -2

    -1

    1

    2

    3

    -3 -2 -1 1 2 3 x

    yf(x)

    (b) Agar fungsi f kontinu pada x = 1, haruslah f(1) = limx1

    f(x).

    f(1) = 1 lim

    x1f(x) = lim

    x1|x| = 1

    limx1+

    f(x) = limx1

    x2 = 1

    limx1

    f(x) = 1

    Jadi, f kontinu pada x = 1.

    Sekarang, tinjau kekontinuan f pada x = 1, f(1) = 1 lim

    x1f(x) = lim

    x1bxc = 2

    Kefas 2

  • limx1+

    f(x) = limx1

    |x| = 1

    Karena limit kanan dan limit kiri berbeda, maka limitnya tidak ada. Jadi f tidakkontinu pada x = 1.

    2. Misalkan x, t, V, dan A berturut-turut adalah panjang persegi, tinggi peti, volume peti, dan

    luas permukaan peti. Karena volume tabung adalah V = x2t = 27000, maka t =27000

    x2.

    Luas permukaan peti tersebut dapat dirumuskan sebagai,

    A = 2x2 + 4xt = 2x2 +108000

    x

    Maka,dA

    dx= 4x 108000

    x2

    Titik stasioner terjadi saatdA

    dx= 0, sehingga diperoleh x = 30 sebagai titik stasioner.

    Untuk x = 30, maka t = 30. Jadi ukuran peti agar bahan yang diperlukan sehematmungkin adalah 30 30 30 cm3.

    3. (a) Misalkan t = x2, maka dt = 2x dx.x3 sinx2 dx =

    1

    2

    t sin t dt

    Misalkan u = t dan dv = sin t dt, maka du = dt dan v = cos t.t sin t dt = t cos t

    cos t dt

    = t cos t + sin t + C

    Jadi, x3 sinx2 dx = 1

    2x2 cosx2 +

    1

    2sinx2 + C

    (b) 1x2 + 2000x 999999

    dx = 1

    1 (x 1000)2dx

    = arcsin(x 1000) + C

    4. Dengan partisi x diperoleh,

    A =((x2 4

    )(x2 2x

    ))x

    Dengan batas x = 3 sampai x = 2 diperoleh luas daerah,

    A = 23

    ((x2 4

    )(x2 2x

    ))dx

    = 23

    (2x2 + 2x 4

    )dx

    =[2

    3x3 + x2 4x

    ]23

    =11

    3

    Kefas 3