Solusi UTS Kalkulus

Rabu, 22 Oktober 2014

08.00 – 09.50 WIB

Bagian A

1. Fungsi (f ◦ g)(x) =1√x− 1

terdefinisi saat x − 1 > 0, sehingga daerah asalnya adalah

Df◦g = (1,∞). Karena√x− 1 > 0, daerah hasilnya adalah Rf◦g = (0,∞).

2. Dari definisi harga mutlak diketahui bahwa,

|x− 1| ={x− 1, jika x ≥ 11− x, jika x < 1

Sehingga,

limx→1−

x2 − |x− 1| − 1

|x− 1|= lim

x→1−

x2 − (1− x)− 1

1− x

= limx→1−

x2 + x− 2

1− x

= limx→1−

(x− 1)(x + 2)

1− x= lim

x→1−−(x + 2)

= −3

3. Agar fungsi f punya turunan di x = 1, fungsi turunan kiri dan turunan kanan di x = 1haruslah sama.Tinjau turunan kiri f di x = 1,

limh→0−

f(1 + h)− f(1)

h= lim

h→0−

(h2 + h + 3)− 3

h

= limh→0−

h(h + 1)

h= lim

h→0−h + 1

= 1

Tinjau turunan kanan f di x = 1,

limh→0+

f(1 + h)− f(1)

h= lim

h→0+

(1 + 2√

1 + h)− 3

h

= limh→0+

1√1 + h

= 1

Kefas 1

Karena turunan kiri dan turunan sama, maka fungsi f diferensiabel di x = 1 denganf ′(1) = 1.

4. Dari definisi harga mutlak diketahui bahwa,

|x| ={x, jika x ≥ 0−x, jika x < 0

Maka, ∫ 1

−1(1− |x|) dx =

∫ 0

−1(1− |x|) dx +

∫ 1

0(1− |x|) dx

=∫ 0

−1(1 + x) dx +

∫ 1

0(1− x) dx

=[1 +

1

2x2]0−1

+[1 +

1

2x2]10

= 1

Bagian B

1. (a) Sketsa grafik fungsi f :

-3

-2

-1

1

2

3

-3 -2 -1 1 2 3 x

yf(x)

(b) Agar fungsi f kontinu pada x = 1, haruslah f(1) = limx→1

f(x).

• f(1) = 1

• limx→1−

f(x) = limx→1−

|x| = 1

• limx→1+

f(x) = limx→1−

x2 = 1

• limx→1

f(x) = 1

Jadi, f kontinu pada x = 1.

Sekarang, tinjau kekontinuan f pada x = −1,

• f(−1) = 1

• limx→−1−

f(x) = limx→−1−

bxc = −2

Kefas 2

• limx→−1+

f(x) = limx→1−

|x| = 1

Karena limit kanan dan limit kiri berbeda, maka limitnya tidak ada. Jadi f tidakkontinu pada x = −1.

2. Misalkan x, t, V, dan A berturut-turut adalah panjang persegi, tinggi peti, volume peti, dan

luas permukaan peti. Karena volume tabung adalah V = x2t = 27000, maka t =27000

x2.

Luas permukaan peti tersebut dapat dirumuskan sebagai,

A = 2x2 + 4xt = 2x2 +108000

x

Maka,dA

dx= 4x− 108000

x2

Titik stasioner terjadi saatdA

dx= 0, sehingga diperoleh x = 30 sebagai titik stasioner.

Untuk x = 30, maka t = 30. Jadi ukuran peti agar bahan yang diperlukan sehematmungkin adalah 30× 30× 30 cm3.

3. (a) Misalkan t = x2, maka dt = 2x dx.∫x3 sinx2 dx =

1

2

∫t sin t dt

Misalkan u = t dan dv = sin t dt, maka du = dt dan v = − cos t.∫t sin t dt = −t cos t−

∫− cos t dt

= −t cos t + sin t + C

Jadi, ∫x3 sinx2 dx = −1

2x2 cosx2 +

1

2sinx2 + C

(b) ∫ 1√−x2 + 2000x− 999999

dx =∫ 1√

1− (x− 1000)2dx

= arcsin(x− 1000) + C

4. Dengan partisi ∆x diperoleh,

∆A =((x2 − 4

)−(−x2 − 2x

))∆x

Dengan batas x = −3 sampai x = −2 diperoleh luas daerah,

A =∫ −2−3

((x2 − 4

)−(−x2 − 2x

))dx

=∫ −2−3

(2x2 + 2x− 4

)dx

=[2

3x3 + x2 − 4x

]−2−3

=11

3

Kefas 3