1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 6

Pebruari Pekan Ke-2, 2010

Nomor Soal: 51-60

51. Perhatikan bentuk 11 211 nnn anannann , untuk setiap bilangan bulat positif 1n .

Jika nilai 10 a dan 21 a , tentukanlah nilai dari 51

50

3

2

2

1

1

0 ...a

a

a

a

a

a

a

a .

Solusi:

Dari 10 a , 21 a , dan 11 211 nnn anannann , 1n

Kita dapatkan bahwa

2 0 0 2

11(2) 1(0) ( 1) 1atau

2!a a a a

3 2 1 3

1 12(3) 2(1) 0 2 1atau

2! 3!a a a a

4 3 2 4

1 1 1 13 4 3 2 1 6 atau

3! 2! 2 4!a a a a

Ini menunjukkan bahwa 1

!nan

, 1n , dan dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi. Jika

1

!kak

untuk k = 0, 1, 2, 3, … , n maka

11 211 nnn anannann , n 3.

!1

1

1

2

!

1

nn

n

n

nn

3,!1

11

nn

an

2,11

nna

a

n

n

Sehingga

51...5432/1

2

2

1...

51

50

2

1

1

o a

a

a

a

a

a51...5434

2

1

51...5432112

1

2

5251

2

3 5,1327

52. Jika A = jumlah 100 suku pertama deret 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + …, tentukanlah nilai 500

A.

Solusi:

Perhatikan digram berikut ini.

3 7 13 21 31 …

4 6 8 10

2 2 2

2 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

Misalnya jumlah n suku pertama deret itu adalah dcnbnannS 23)( , maka

3)1()1()1()1( 23 dcbaS 3 dcba …. (1)

10)2()2()2()2( 23 dcbaS 10248 dcba …. (2)

23)3()3()3()3( 23 dcbaS 233927 dcba …. (3)

44)4()4()4()4( 23 dcbaS 4441664 dcba …. (4)

(2) – (1): 737 cba …. (5)

(3) – (2): 13519 cba …. (6)

(4) – (3): 21737 cba …. (7)

(6) – (5): 6212 ba …. (8)

(7) – (6): 8218 ba …. (9)

(9) – (8): 26 a 3

1a

3

1a 6212 ba

623

112

b

1b

7371,3

1 cbaba

7)1(33

17

c

3

5c

33

5,1,

3

1 dcbacba

33

51

3

1 d

0d

nnnnS3

5

3

1)( 23 53

3

1 2 nnn

51003100)100(3

1)100( 2 SA 343500

Jadi, nilai dari 687500

343500

500

A

53. Barisan ,...,, 321 aaa dari bilangan real yang memenuhi hubungan rekursif

nnn annanann 121 11 untuk setiap bilangan bulat positif n, dengan 110 aa .

Hitunglah jumlah 2014

2013

3

2

2

1

1

0 ...a

a

a

a

a

a

a

a

Solusi:

110 aa

Jika 1n , maka 11111 11121111 aaa

02 02 aa

3 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

2

1

2

02

aa

Jika 2n , maka 21112 12222122 aaa

23 26 aa

6

1

2

1

6

3

6

223 aa

Jika 3n , maka 31313 13323133 aaa

324 612 aaa

2

1

2

1

6

16612 234 aaa

24

14 a

dan seterusnya

sehingga na

a

n

n 1 untuk setiap n bilangan bulat positif

2014

2013

3

2

2

1

1

0 ...a

a

a

a

a

a

a

a ...

6

12

1

2

1

1

1

1 2014...321 105.029.220141

2

2014

54. Berapa banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang tidak habis dibagi 2 maupun 3?

Solisi:

Bilangan-bilangan asli dari 200 hingga 700 adalah 200, 201, 202, …, 700.

200a , 1200201 b , dan 700nu

bnaun 1

11200700 n

199700 n

501n

Banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 adalah 501.

Bilangan-bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 adalah 200, 202, …, 700.

200a , 2200202 b , dan 700nu

bnaun 1

21200700 n

1982700 n

5022 n

251n

Banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 adalah 251.

Bilangan-bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 3 adalah 201, 204, …, 699.

201a , 3201204 b , dan 699nu

bnaun 1

31201699 n

1983699 n

5013 n

167n

4 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

Banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 3 adalah 167.

Bilangan-bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 maupun 3 (habis dibagi 6) adalah

204, 210, 216, …, 666.

204a , 6204210 b , dan 696nu

bnaun 1

61204696 n

1986696 n

4986 n

83n

Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 maupun 3 adalah 83.

Dengan demikian, banyak bilangan dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 maupun 3 adalah

501 – 251 – 167 + 83 = 166.

55. Berapa banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3, atau 5?

Solusi:

Kita menggunakan prinsip inklusi-eksklusi.

Misalnya An adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2.

Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 200, 202, 204, …, 500 .

200a , 2200202 b , dan 500nu

bnaun 1

21200500 n

1982500 n

3022 n

151n

Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 adalah 151, sehingga

151An .

Misalnya Bn adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 3.

Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 201, 204, 207, …, 498 .

201a , 3201204 b , dan 498nu

bnaun 1

31201498 n

1983498 n

3003 n

100n

Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 3 adalah 100, sehingga

100Bn .

Misalnya Cn adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 5.

Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 200, 205, …, 500.

200a , 5200205 b , dan 500nu

bnaun 1

51200500 n

1955500 n

3055 n

61n

5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 5 adalah 61, sehingga

61Cn .

Misalnya BAn adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 dan 3

(atau habis dibagi 6) adalah

Bilangan-bilangan yang dimaksud adalah 204, 210, …, 498.

204a , 6204210 b , dan 498nu

bnaun 1

61204498 n

1986498 n

3006 n

50n

Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 dan 3 adalah 50, sehingga

50BAn .

Misalnya CAn adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 dan 5

(atau habis dibagi 10) adalah

Bilangan-bilangan yang dimaksud adalah 200, 210, …, 500.

200a , 10200210 b , dan 500nu

bnaun 1

101200500 n

19010500 n

31010 n

31n

Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 dan 5 adalah 31, sehingga

31CAn .

Misalnya CBn adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 3 dan 5

(atau habis dibagi 15) adalah

Bilangan-bilangan yang dimaksud adalah 210, 225, …, 495.

210a , 15210225 b , dan 495nu

bnaun 1

151210495 n

19515495 n

30015 n

20n

Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 3 dan 5 adalah 20, sehingga

20CBn .

Misalnya CBAn adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3,

dan 5 (atau habis dibagi 30) adalah

Bilangan-bilangan yang dimaksud adalah 210, 240, …, 480.

210a , 30210240 b , dan 480nu

bnaun 1

301210480 n

18030480 n

6 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

30030 n

10n

Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3, dan 5 adalah 10, sehingga

10 CBAn .

Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3, atau 5 adalah

CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn

2211020315061100151 .

56. Berapa banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 2?

Berapakah jumlah bilangan-bilangan tersebut?

Solusi:

Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 3, 6, 9, 12, …, 999 .

Barisan ini dapat ditulis sebagai 3333,...,43,33,23,13 .

Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 333.

Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 333.

Dari barisan tersebut diketahui 3a , 333n , dan 999333 uun

nn uan

S 2

16683399932

333333 S

Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 166.833.

Bilangan-bilangan dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 dan 2 (atau habis dibagi 6) adalah

6, 12, 18, 24, …, 996

Barisan ini dapat ditulis sebagai 1666,...,46,36,26,16

Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 166.

Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 166.

Dari barisan tersebut diketahui 6a , 166n , dan 996166 uun

nn uan

S 2

166.8399662

166166 S

Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 83.166.

Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis

dibagi 2 adalah 333 – 166 = 167. Sedangkan jumlahnya adalah 166.833 – 83.166 = 83.667.

57. Berapa banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2? Berapakah jumlah

bilangan-bilangan tersebut?

Solusi:

Kita menggunakan prinsip inklusi-eksklusi.

Misalnya An adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3.

Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 3, 6, 9, 12, …, 999 .

Barisan ini dapat ditulis sebagai 3333,...,43,33,23,13 .

Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 333.

Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 333, sehingga

333An .

Dari barisan tersebut diketahui 3a , 333n , dan 999333 uun

7 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

nn uan

S 2

16683399932

333333 S

Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 166.833.

Misalnya Bn adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 2.

Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 2, 4, 6, 8, …, 1000 .

Barisan ini dapat ditulis sebagai 5002,...,42,32,22,12 .

Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 500.

Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 500, sehingga

500Bn .

Dari barisan tersebut diketahui 2a , 500n , dan 1000500 uun

nn uan

S 2

500.250100022

500500 S

Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 2 adalah 250.500.

Misalnya BAn adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 dan 2

(atau habis dibagi 6) adalah

6, 12, 18, 24, …, 996

Barisan ini dapat ditulis sebagai 1666,...,46,36,26,16

Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 166.

Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 166, sehingga

166BAn .

Dari barisan tersebut diketahui 6a , 166n , dan 996166 uun

nn uan

S 2

166.8399662

166166 S

Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 83.166.

Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2 adalah

BAnBnAnBAn 667166500333

Jumlahnya adalah 166.833 + 250.500 – 83.166 = 334.167

58. Berapa banyak bilangan asli dari 1 hingga 700 yang habis dibadi 4 dan 7? Berapakah jumlah

bilangan-bilangan tersebut?

Solusi:

Bilangan-bilangan asli dari 1 hingga 700 yang habis dibagi 4 dan 7 (habis dibagi 28) adalah 28,

56, 84, …, 700.

28a , 282856 b , dan 700nu

bnaun 1

28128700 n

n28700

25n

Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 700 yang habis dibagi 4 dan 7 adalah 25.

8 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

Dari barisan tersebut diketahui 28a , 25n , dan 70025 uun

nn uan

S 2

100.9700282

2525 S

Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 700 yang habis dibagi 4 dan 7 adalah 9.100.

59. Berapakah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi

2? Berapakah jumlah bilangan-bilangan tersebut?

Solusi:

Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 3, 6, 9, 12, …, 999 .

Barisan ini dapat ditulis sebagai 3333,...,43,33,23,13 .

Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 333.

Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 333.

Dari barisan tersebut diketahui 3a , 333n , dan 999333 uun

nn uan

S 2

16683399932

333333 S

Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 166.833.

Bilangan-bilangan dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 dan 2 (atau habis dibagi 6) adalah

6, 12, 18, 24, …, 996

Barisan ini dapat ditulis sebagai 1666,...,46,36,26,16

Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 166.

Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 166.

Dari barisan tersebut diketahui 6a , 166n , dan 996166 uun

nn uan

S 2

166.8399662

166166 S

Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 83.166.

Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis

dibagi 2 adalah 333 – 166 = 167. Sedangkan jumlahnya adalah 166.833 – 83.166 = 83.667.

60. Berapakah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2? Berapakah

jumlah bilangan-bilangan tersebut?

Solusi:

Kita menggunakan prinsip inklusi-eksklusi.

Misalnya An adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3.

Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 3, 6, 9, 12, …, 999 .

Barisan ini dapat ditulis sebagai 3333,...,43,33,23,13 .

Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 333.

Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 333, sehingga

333An .

Dari barisan tersebut diketahui 3a , 333n , dan 999333 uun

nn uan

S 2

9 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

16683399932

333333 S

Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 166.833.

Misalnya Bn adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 2.

Bilangan-bilangan asli yang dimaksud adalah 2, 4, 6, 8, …, 1000 .

Barisan ini dapat ditulis sebagai 5002,...,42,32,22,12 .

Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 500.

Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 500, sehingga

500Bn .

Dari barisan tersebut diketahui 2a , 500n , dan 1000500 uun

nn uan

S 2

500.250100022

500500 S

Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 2 adalah 250.500.

Misalnya BAn adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 dan 2

(atau habis dibagi 6) adalah

6, 12, 18, 24, …, 996

Barisan ini dapat ditulis sebagai 1666,...,46,36,26,16

Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 166.

Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 166, sehingga

166BAn .

Dari barisan tersebut diketahui 6a , 166n , dan 996166 uun

nn uan

S 2

166.8399662

166166 S

Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 83.166.

Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2 adalah

BAnBnAnBAn 667166500333

Jumlahnya adalah 166.833 + 250.500 – 83.166 = 334.167