solucionario semana n 9 pre san marcos ordinario 2015-ii

7/25/2019 Solucionario Semana n 9 Pre San Marcos Ordinario 2015-II

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UNMSM-CENTRO PREUNI VERSITARIO Ciclo 2015-I I

Semana N 9 (Pr ohibida su reproduccin y venta) Pg. 1

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSUniversidad del Per, DECANA DE AMRICA

CENTRO PREUNIVERSITARIO

Habil idad Lgico MatemticaEJERCICIOS DE CLASE N 9

1. Para el siguiente juego, se utiliza una ficha y un dado normal. El juego consiste en quesi al lanzar el dado se obtiene un nmero par de puntos, la ficha avanza tantas casillascomo la mitad del puntaje obtenido; pero si sale un nmero impar, la ficha avanza eldoble. Si Mariano lanz el dado cuatro veces y obtuvo los siguientes resultados: 2, k,5, y 6 puntos, y luego de avanzar lleg al casillero 21, cul es el valor de k?

A) 2 B) 5

C) 1 D) 6

E) 3

Solucin:1) Veamos: En total avanz 20 casillas, esto es

Obtuvo 2, avanzo 1 casillaObtuvo 5, avanzo 10 casillasObtuvo 6, avanzo 3 casillas,

Luego, con k puntos debe avanzar 6 puntos, luego k=32) Por tanto el valor de k=3

Rpta.: E

2. Cierto juego consiste en derribar latas con una pelota, las latas estn apiladas comose indica en la figura. Por cada lata derribada se obtiene S/. 10 de premio. Si ocurreque la lata en la que impacta la pelota, y todas las que dependen de dicha lata sonderribadas, cul es mximo premio que se puede obtener haciendo un solo disparo?

A) 90 B) 100 C) 80 D) 120 E) 110

Solucin:1) Colocando nmeros en las latas de base:

2) Observando la figura tenemos:

Si lanzamos en la lata 5, caen 5 latasSi lanzamos en la lata 7, caen 2 latas


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Si lanzamos en la lata 1, 2, y 8 cae 1 lata

3) Entonces el dinero mximo ganado por Manuel ser: 100

4) Por tanto Manuel gana como mximo 100 soles.

Rpta.: B

3. Siguiendo las reglas del juego de domin, diez fichas diferentes de un juego completodeben ser colocadas como se muestra en la figura. Cul es el menor valor posiblede la suma de puntos de las 10 fichas?

A) 35 B) 32

C) 34 D) 33

E) 31

Solucin:1) Distribucin de los puntos en las casillas:

41 4

4

0

4

3

2

2

2

1

2

2

1

00 0

0

3

0

2) Por tanto menor valor de la suma: 35.

Rpta.: A

4. Sobre una mesa estn dos dados idnticos no estndares de tal forma que los puntosde las caras en contacto con la mesa suman 14 puntos. Si en cada dado la cantidadde puntos por cara es distinta, cul es la suma mnima de los puntos de las carasque no se muestran en la figura?

A) 36 B) 32

C) 34 D) 30

E) 35Solucin:

1) Nmeros en las caras de los dados idnticos:

8

6

14

5

9

2) Por tanto la suma de los puntos de las caras no visibles en la fotografa:(9+6+1)+(5+9+4)=34.Rpta.: C


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5. Se tienen 10 fichas ordenadas en filas tal como se muestra en la figura. Un juego entredos personas consiste en que cada una puede retirar, por turno, una o ms fichas perosolo de la misma fila. Gana el juego el que se queda con la ltima ficha. Cul de lassiguientes es la estrategia que debe seguir la persona que empieza el juego para,jugando adecuadamente, asegurarse ganar la partida?

A) Retirar 1 ficha de fila CB) Retirar 3 fichas de fila C

C) Retirar 2 fichas de fila D

D) Retirar 4 fichas de fila D

E) Retirar 2 fichas de fila B

Solucin:Para ganar el primer jugador debe retirar las 4 fichas de la fila D

I) Si el 2do jugador saca la ficha de A, el 1ero saca una ficha de C. Luego a cualquierjugada del 2do gana el 1ero.

II) Si el 2do jugador saca una o dos fichas de B, el 1ero saca 3 o 2 fichas de C,respectivamente. Luego a cualquier jugada del 2do gana el 1ero.

III) Si el 2do jugador saca 1, 2 o 3 de C; el 1ero saca una ficha de A, 2 fichas de B o 1ficha de B, respectivamente y a continuacin gana.Rpta.: D

6. La siguiente figura est formada por nueve crculos. Colocar los nmeros del 91 al 99uno en cada crculo, sin repetir, tal que la suma sea la misma en cada grupo de trescrculos alineados. Hallar la suma mxima de los nmeros colocados en los crculossombreados.

A) 375

B) 378

C) 380

D) 384

E) 388

A

B

C

D

A

B

C


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Solucin:

Rpta.: C

7. Se han dispuesto 24 cerillos idnticos como se indica en la figura; cuntos cerilloscomo mnimo se deben retirar para que no se pueda visualizar ningn cuadrado?

A) 6

B) 5

C) 4

D) 7

E) 8

Solucin:

En la figura se indican los cerillos que se han retirado, que en total son 6.

Rpta.: A8. David forma una torre con seis dados normales sobre una mesa, tal como se muestra

en la figura. Cuntos puntos como mnimo son visibles para l?

A) 71 B) 80

C) 73 D) 65

E) 75

99

93

97

91

94 98

95

92 96


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Solucin:

Se sabe que la suma de lados opuestos de un dado comn es 7.Mnimo visible:1ra fila: [4+2+1+3+6]2da fila: [4+5+3+2]3ra fila: [2+5+1]+[1+6+4+2]

4ta fila: [1+6+2]+[5+2+4]Entonces el mnimo nmero de puntos visibles para Markito ser 71.

Rpta.: A

9. Mario compr un artculo en S/. 350. Qu precio debe fijar para su venta, de modoque haciendo un descuento del 30% an obtenga como ganancia el 20% del preciode costo?

A) S/. 600 B) S/. 450 C) S/. 500 D) S/. 700 E) S/. 560

Solucin:

L V

V C

L C

L C C L

Desde que: P P D ... (i) ; D: descuento

Adems: P P G ... (ii) ; G: ganancia

Reemplazando (ii) en (i): P P G D

P P 20%P 30%P

L C

L C

C

L

L

70%P 120%P

7P 12P ... (iii)

Dato: P 350

Luego de (iii): 7P 12 350

P 600

LP S/. 600.

Rpta.: A

10. Si al precio de cierta tela se le rebaja en 12%, entonces con el dinero que tiene Luispuede comprar exactamente 9 metros ms de tela. Si no se hace la rebaja, cuntosmetros de tela, como mximo, puede comprar Luis?

A) 50 B) 46 C) 52 D) 72 E) 44

Solucin:Si el precio inicial es 100% S/.100, se descuenta : 12% S/.12 el nuevo precioes 88% S/. 88

Precio unitario 100 88Longitud de tela

(m)n n + 9

Costo Total 100 x n = 88 (n+9)

100n88n = 88 x 912n = 88 x 9

-12


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n = 66Ahora puede comprar

n + 6 = 66 + 6 = 72Luis podr comprar: 72 m.

Rpta.: D

11. Qu hora indica el reloj?

A) 5 h: 6 min

B) 5h: 8min

C) 5h: 8min: 30s

D) 5h: 7 min

E) 5h: 7min: 30s

SolucinAsumiendo que son las 5: x entonces el ngulo barrido por el horario es (x/2); debidoa que es igual a la mitad de los minutos que han pasado desde la 5:00 y el ngulobarrido por el minutero es (6x) (seis veces el nmero de minutos que han pasadodesde las 5:00) entonces

Del grfico:

Para el horario:2

x

.. (I)

Para el minutero: 6 3 60x

Simplificando: 2 20x (II)Reemplazando (I) en (II):

2 202

x 8

x

x

El reloj indica que son las 5:08Rpta.: B

12 Qu hora indica el reloj?

A) 9h: 37min: 30s

B) 9h: 36 min

C) 9h: 38min

D) 9h: 36min: 30s

E) 9h: 37min


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SolucinAsumiendo que son las 9: x

Del grfico: 6 180 2x .. (I)

2

x

(II)

Reemplazando (II) en (I):6 180 2

2

36

x

x

x

Son las 9:36Rpta.: B

13. Anita dispone de varias piezas plsticas idnticas que tienen la forma de tringulosrectngulos, como se indica en la figura. Con dichas piezas desea construir un

hexgono cuyos ngulos interiores sean congruentes; cul es el permetro mnimode dicho hexgono?

A) 40 cm B) 48 cm

C) 60 cm D) 24 3 cm

E) (24 8 3 ) cm

Solucin:

1. Como los ngulos interiores del hexgonotienen la misma medida, cada uno de ellosha de medir 120.

2. En la figura se indica la forma como se han decolocar las piezas triangulares para para obtenerdicho hexgono de permetro mnimo.

Rpta.: A

14. Anita dispone de nueve piezas de madera con las cuales puede construir un cuadradocomo se muestra en la figura. Si las piezas triangulares del mismo color soncongruentes entre si, y las piezas blancas tienen la forma de un tringulo equiltero

cuyo lado mide 2 6 2 cm , halle el permetro del cuadrado construido.

A) 16 cm B) 12 3 cm

C) 4 6 cm D) 24 cm

E) 8 6 cm


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Solucin:

1. En el tringulo ABC: AB=BC=2 2 2( 6 2 )cm ( 6 2 )cm

2. En el tringulo rectngulo AHC: AC= ( 6 2 ) 6 2 6 2 4 Por lo tanto, Permetro del cuadrado construido: 16 cm

Rpta.: A

EJERCICIOS DE EVALUACIN N 9

1. Con ocho dados normales se quiere construir un cubo como el que se indica en lafigura, de modo tal que las caras en contacto no tengan el mismo puntaje. Cul es elmximo puntaje que puede haber en la superficie de dicho cubo?

A) 120 B) 124

C) 108 D) 148

E) 88

Solucin:

1. Los dados es posible de ubicarloscomo se indica en la figura.

2. Puntaje mx en la superficie delcubo: 8x(4+5+6)=120

Rpta: A

2. Sobre una mesa estn colocados separadamente cierta cantidad de dados, todos ellostienen el mismo puntaje en la cara en contacto con la mesa. Si la diferencia del puntajevisible y no visible de todos los dados es 81, cuntos dados como mximo puedenhaber sobre la mesa?

A) 9 B) 7 C) 11 D) 8 E) 12

Solucin:

Como los dados se colocan en la misma posicin, basta analizar uno de ellos.Si buscamos la mxima cantidad de dados, entonces la diferencia entre las carasvisibles y la cara no visible debe ser mnima es decir: (14+1)6 = 9.Y como esto pasar para cada dado, Beln necesita colocar 9 dados para que9(9)=81.

Rpta.: A


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3. Calcule x - y en la siguiente sucesin de fichas de domin:

A) 2 B) - 3 C) 5 D) 3 E) - 5

Solucin:

5, 8, 11, 14, 17, Y= 20=6

2, 6, 10, 14, 18, X= 22=1

Rpta.: E

4. Al lanzar cuatro dados normales, se ha obtenido, en las caras superiores, puntajesdiferentes, tal que la suma de estos es 18. Cul es el mximo puntaje total que setendr en las caras opuestas de tres de estos dados?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

Solucin:Para sumar 18, nica posibilidad: 6 + 5 +4 +3 = 18Luego las caras opuestas sern: 1, 2, 3, 4Puntaje mximo de tres dados: 2 + 3 + 4 = 9

Rpta.: C

5. Si la longitud de un lado de un tringulo disminuye en 20% y la longitud de la alturarelativa a dicha lado aumenta en 30%, entonces su rea vara en 0,3 cm2. Calcule lasuma de las medidas del lado y altura mencionadas, si se sabe que son nmerosenteros, en centmetros, diferentes de la unidad.

A) 7 cm B) 8 cm C) 12 cm D) 9 cm E) 10 cm

Solucin:

Ao =

AF =

% %

= 140%

Ao

Entonces el rea vara en:

4% = 0.3Datob x h = 15

5 3

3 5Por lo tanto, la suma de las medidas de la base y la altura es 8 cm.

Rpta.: B

X

Y


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6. En una feria de libros se vende un libro en S/. 150, con una ganancia del 25% sobreel precio de costo. Si se gan tanto como se descont, cul fue el precio fijado, ensoles, de dicho libro para la venta al pblico?

A) 180 B) 190 C) 185 D) 175 E) 130

Solucin:

Si se gan tanto como se descont: = =25%Del dato: = + = + Por tanto: 1 5 0 = +25% =150+25%1 2 0 = =150+25%120 =180

Rpta.: A

7. Mara sale de su casa cuando las manecillas del reloj estn superpuestas entre las 8y las 9 am; llega a su destino entre las 2 y 3 pm, cuando las manecillas del reloj forman

un ngulo de 180 grados. Qu tiempo estuvo Mara fuera de casa?

A) 7 h: 36 m B) 7 h: 05 m C) 7 h D) 6 h E) 6 h: 02 m

Solucin:

Hora de salida:A0 =30H - (11/2) m, entonces (11/2) m=240,entonces m=480/11 mitLa hora que sale: 8hr 480/11 mit

12

1

2

4

57

8

9

10

11

Hora de llegadaA0 = - 30H + (11/2) m;Entonces 180=30H - (11/2) m, m=480/11Luego llega 14hr 480/11 mitPor tanto: estuvo fuera durante 6hr.

12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Rpta.: D


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A

B

C

D E

Hx

x+2

3

x+5

8. A un reloj que se atrasa un minuto por hora, se le sincroniza con la hora exacta elmircoles 13 de julio a las 12 h. Qu fecha y hora volver a indicar nuevamente lahora exacta?

A) 11 de agosto: 12:00 h B) 12 de agosto: 13:00 hC) 09 de agosto: 09:00 h D) 10 de agosto: 10:00 hE) 11 de agosto: 14:00 h

Solucin:Para que un reloj vuelva a marcar la hora exacta se debe atrasar 12h.

1 h -------------------- 1 minx h --------------------12 h 720 minx = 720 min 30 das

13 de julio(19 das).31 julio, 1 agosto( 11 dis)..11 de agosto

Rpta.: A

9. En un tringulo rectngulo (recto en B), se traza la altura BH , luego se prolonga HB hasta un punto D y se construye el cuadrado HDEC. Si BH AH 2cm y BD= 3cm,calcule el permetro del cuadrado.

A) 36 cm B) 40 cm C) 28 cm D) 38 cm E) 44 cm

Solucin:

1) Dato: BH AH 2 AH x BH x 2 2) Aplicando relaciones mtricas en:

3)

2

ABC : (x 2) x(x 5) x 4

4) 2P 4(9) 36cm

Rpta.: A

10. En la figura, AM = 1cm y MH =4cm. Calcule el valor de NC.

A) 16 cm

B) 15 cm

C) 18 cm

D) 14 cm

E) 12 cm

Solucin:

1) Aplicando Relaciones mtricas en: 22) APH : PM 2

3) HQC : QN 2 x

4)2 4

PMH QNCx2 x

5) Se tiene que: x 16 cm

Rpta.: A

A

B

CNM

P

Q

H

A

B

CNM

P

Q

H

1

n n

4 4 x


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Hab. VerbalSEMANA 9A

ACTIVIDADES

Determine el tipo de inferencia (deductiva o inductiva)

1. Pol Pot fue un dictador, tirano y desalmado. Stalin fue un dictador, tirano y desalmado.Pinochet fue un dictador. Por lo tanto, Pinochet fue tirano y desalmado.

.

Solucin:Inductiva.

2. O un rin presenta anomalas morfolgicas en los vasos rectos, o el funcionamientode la arteriola eferente es la esperada en un paciente sano. El rin no presentaanomalas morfolgicas. Ergo, la arteriola eferentefunciona adecuadamente.

..Solucin:Deductiva.

3. Todos los caballos son mamferos y son placentarios. Todos los venados sonmamferos y son placentarios. Todos los humanos son mamferos y son placentarios.Por consiguiente, todos los mamferos tienen placenta...

Solucin:Inductiva.

4. Siempre que se dio un aumento excesivo en los inventarios, ello implic un retraso enla produccin. Ahora, tenemos un aumento excesivo en los inventarios. Porconsiguiente, tendremos un retraso en la produccin.

..

Solucin:Deductivo.

5. Si un presidente suspende las garantas constitucionales, se convierte en unusurpador. Si un presidente se convierte en usurpador, entonces se aplica el art. 46de la constitucin, nadie le debe obediencia. Por consiguiente, si un presidentesuspende las garantas constitucionales, se aplica el artculo 46 de la constitucin,nadie le debe obediencia.

..

Solucin:Deductiva.

6. Carlos y sus amigos de colegio realizan un experimento y observan que la caoba, untipo de madera, flota en el agua; adems, realizan el mismo experimento con el cedro,el pino, el tornillo y treinta tipos ms de madera. Luego, llegan a la siguienteconclusin: Todo tipo de madera flota en el agua.

..

Solucin:Inductiva.

7. Mi tatarabuela tuvo trillizos, y los tres fueron pelirrojos. Mi abuela tuvo trillizos, y mipadre y los dos hermanos de mi padre fueron pelirrojos. Mis dos hermanos y yo somostrillizos y pelirrojos. Por lo tanto, cuando me case, tendr tres hermosos bebspelirrojos.

..

Solucin:Inductiva.


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8. Si la Tierra es plana, entonces una nave que se interna en el ocano no se perderade vista en el horizonte. Sin embargo, una nave que se interna en el ocano s sepierde de vista en el horizonte. Esto sucede en cualquier punto de la tierra. Enconsecuencia, la Tierra no es plana.

..

Solucin:Deductiva.9. El lunes busqu al doctor en su consultorio pero no lo encontr. El martes acud en la

maana y no estaba. El mircoles lo busqu por la noche, toqu la puerta y norespondieron. Ese doctor no va nunca a trabajar.

..

Solucin:Inductiva.

10. Dos entendidos de hpica, Enrique y Fernando, conversan sobre las ltimasactuaciones de Pegaso, un caballo campen. El primero sostiene que est ganandodemasiado y afirma, por eso, que lo estn dopando. Pero, Fernando responde que

eso es imposible porque un caballo campen, cuando lo dopan, gana todas lascarreras, mientras que Pegaso ha perdido algunas.

..Solucin:Deductiva.

EJERCICIO DE RAZONAMIENTO LGICO VERBAL

En un avin se presenta la siguiente situacin entre la tripulacin: los puestos de piloto,copiloto e ingeniero responsable de vuelo son ocupados por Alberto, Bernal y Carlos,aunque no necesariamente en ese orden. El copiloto, quien es hijo nico, es el que ganamenos. Carlos, quien est casado con la hermana de Bernal, gana ms que el piloto.

Copi, I. (2002) Introduccin a la lgica. Mxico: Limusa. [Adaptado]

1. A partir de los datos presentados, podemos inferir queA) Carlos es el ingeniero de vuelo. B) Carlos es el copiloto.C) Carlos es el piloto. D) Bernal es el ingeniero de vuelo.

Solucin:Si Carlos gana ms que el piloto, tampoco es el copiloto. Por ende, Carloses el ingeniero.

Rpta.: A

2. La siguiente afirmacin es, necesariamente, verdadera

A) Alberto es el ingeniero. B) Bernal es el copiloto.C) Alberto es el piloto. D) Bernal es el piloto.

Solucin: Si Bernal tiene una hermana, no es hijo nico, entonces no puede ser elcopiloto, como tampoco es el ingeniero, necesariamente, es el piloto.

Rpta.: D

COMPRENSIN LECTORA

TEXTO

De Dios nadie se re, pero de los hombres y las mujeres podemos rernos a mandbulabatiente.Eso explica que en las sociedades y en los estados teocrticos la risa y el humor

son prcticamente inexistentes. En las sociedades aristocrticas predominaba (o era msconocida) la risa de los de arriba contra los de abajo. En las sociedades democrticas


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predomina la risa de los abajo tanto contra los de arriba como contra ellos mismos. En losalbores del mundo moderno, la risa ayud a laemergenciade la cultura popular.

Los que condenan el asesinato de los caricaturistas de Charlie Hebdo,pero afirmanque estos se lo buscaron con su humor provocador, comparten (en el fondo) la misma lgicade los que dispararon. Al humor que los agravia le responden con un tiro. No le contestancon una crtica, con ms humor o, en todo caso, con juicios en los tribunales sino que

liquidan a los humoristas a balazos. Confunden la poltica con la guerra o, en todo caso,piensan la poltica como guerra []. Carl Schmitt sostena que es necesario pensar lapoltica desde la guerra porque esta configura mejor la relacin de amistad y enemistad quedefine a aquella. Pero ello no significa que se (ELIMINAR) ambas sean asumidas como unasola, a menos que se quiera ver en el otro a un enemigo absoluto.

Los terroristas no slo diluyen la poltica en la guerra sino que transforman a esta enabsoluta porque aquellos a los que combaten son enemigos absolutos que tienen que morir.No hay enemigos reales, slo enemigos absolutos. Segn Carl Schmitt, cuya trayectoriapoltica condeno pero cuya enorme capacidad terica reconozco, la enemistad absolutasurge cuando se fusiona la tica con la poltica. Esa fusin hace que todo enemigo seamalo y al serlo no quede ms remedio que matarlo. No hay ms reglas en la guerra, hay

que rematar al enemigo, aunque se haya rendido. []Lo mismo puede decirse de la fusin de la poltica con la religin. Segn los

fundamentalistas religiosos los enemigos que critican o se ren de los dioses verdaderos ydifunden a sus falsos dioses tienen que morir. No es un choque de civilizaciones comosostiene Hungtinton, sino un choque de fundamentalismos religiosos que atraviesan adiversas culturas en el tiempo. El catolicismo ha padecido del mismo mal (cruzadas, guerrasreligiosas, santa inquisicin) porque como religin hacia poltica; sin embargo, aunque haysectores catlicos que siguen padeciendo el radicalismo, hoy esa religin convive enarmona con otros credos. De esto deriva la importancia de separar la poltica de la religiny de postular la necesidad de los estados laicos, as lo hicieron las monarquas absolutasen un primer momento y luego las revoluciones democrticas y republicanas.

Lopez, S. (15 de Enero de 2015). Humor y terror. La Repblica. Obtenido dehttp://larepublica.pe/columnistas/el-zorro-de-abajo/humor-y-terror-15-01-2015

1. Centralmente, el texto desarrolla

A) lo peligroso de fusionar poltica con religin.B) la tesis que rechaza los Estados teocrticos.C) lo terrible del asesinato de ciertos humoristas.D) la tesis de C. Schmitt en relacin a la guerra.E) la risa como el smbolo del desarrollo cultural.

Solucin:El texto, a partir del anlisis del atentado contra un grupo de humoristas y

de la teora de Schmitt, desarrolla lo peligroso de fusionar poltica con religin.Rpta.: A

2. La expresin A MANDBULA BATIENTE connota

A) desidia. B) mesura. C) relajo.D) diatriba. E) decoro.

Solucin:Contextualmente la expresin alude a despreocupacin, relajo.Rpta.: C

3. En el texto el trmino EMERGENCIA tiene el sentido contextual de

A) urgencia. B) inmediatez. C) surgimiento.D) peligrosidad. E) gravedad.


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Solucin:Contextualmente se alude a la aparicin, es decir, surgimiento.Rpta.: C

4. Es incompatible con el texto sostener que

A) el fundamentalismo es un lastre ideolgico, superado por la modernidad.B) el humor juega un papel importante en la transformacin de los Estados.C) los Estados teocrticos pueden considerar ofensivos el humor y la irona.D) la fusin de la poltica, con la religin o la tica, resulta contraproducente.E) hay fundamentalismo en condenar el atentado, pero justificar sus razones.

Solucin: Si estuviera superado, no habra tenido lugar el atentado.Rpta.: A

5. Es compatible con el texto afirmar que

A) las monarquas absolutistas buscaron reforzar la religin oficial de sus reinos msprsperos.

B) para un Estado laico resulta imposible separar la poltica, y la religin es un

esfuerzo intil.C) salvar el alma no es solo un asunto de religiones, tambin le interesa al Estado.D) asumir la idea de enemistad absoluta implica entender tica y poltica como lo

mismo.E) incluso el terrorismo es capaz de entender la contraposicin entre la poltica y la

guerra.

Solucin: El texto refiere: la enemistad absoluta surge cuando se fusiona la ticacon la poltica; es decir, se les asume como lo mismo.

Rpta.: D

6. Se infiere del texto que algunas religiones fundamentalistas

A) pueden cambiar y aceptar otros credos.B) buscan combatir y erradicar a los dioses.C) soslayan la poltica y las dems herejas.D) erradican a quienes no respetan el humor.E) no deben ser caricaturizadas nunca.

Solucin:Si el catolicismo fue fundamentalista y hoy convive con otros credos, sepuede inferir por analoga que algunas religiones hoy radicales pueden dejar de serlo.

Rpta.: A

7. A partir del texto es posible colegir que la aclaracin a Hungtinton es til para afirmar

queA) toda civilizacin padece el fundamentalismo para confrontar.B) los fundamentalismos y la prctica poltica son inseparables.C) el fundamentalismo promueve espacios de clara tolerancia.D) el choque de fundamentalismos es igual al de civilizaciones.E) el fundamentalismo siempre est al margen de lo civilizado.

Solucin:Cuando el autor aclara la expresin Hungtinton da entender que civilizaciny fundamentalismo no son lo mismo, de ah que se pueda colegir la alternativa E.

Rpta.: E


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8. Si los fundamentalistas rechazaran de plano la tesis del enemigo absoluto de CarlSchmitt, entonces

A) no habran huido luego del atentado y asumiran la muerte como un sacrificio frentea lo sucedido.

B) rechazaran la tesis del enemigo real e insistiran en la idea de matar a losenemigos absolutos.

C) habran demandado judicialmente a los humoristas o publicado una stiraburlndose de ellos.

D) seran altamente peligrosos por tomar fundamentos tericos occidentales parajustificar sus actos.

E) perseguiran tambin a todo aquel que rechace dicha tesis por ser considerado untraidor a su credo.

Solucin:Para Schmitt al enemigo absoluto hay que matarlo. Si se rechaza esa tesis,se abren otras opciones como la va legal o la respuesta poltica.

Rpta.: C

SERIES VERBALES1. Oprobio, humillacin, afrenta,

A) atribulacin. B) deshonra. C) estulticia.D) descaro. E) indecencia.

Solucin:Serie sinonmica, sigue DESHONRA.Rpta.: B

2. Salacidad, venalidad; felona, traicin; despecho,

A) malquerencia. B) zozobra. C) ansiedad.D) desestimacin. E) inquietud.

Solucin:Serie de sinnimosRpta.: A

3. Cul es el trmino que no corresponde al campo semntico?

A) Animadversin B) Animosidad C) ImpiedadD) Inquina E) Ojeriza

Solucin: El campo semntico es el de la desafeccin y no el de la impiedad.Rpta.: C

4. Desazn, esperanza; barahnda, armona; serenidad, desesperacin;A) perplejidad, duda. B) descrdito, detraccin.C) versatilidad, uniformidad. D) analoga, semejanza.E) vulnerabilidad, fragilidad.

Solucin:Pares de antnimos que se completan con versatilidad, uniformidad.Rpta.: C

5. Qu trmino no corresponde al campo semntico?

A) Nefando B) Inocuo C) ProtervoD) Retorcido E) Inicuo

Solucin: El campo semntico es el de la maldad, perversin, inocuo es inofensivo.Rpta.: B


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6. Elija el antnimo para la siguiente serie: acceder, asentir, tolerar,

A) consentir. B) conmutar. C) disentir.D) respaldar. E) adherir.

Solucin:serie verbal constituida por sinnimos dentro del campo semntico delpermiso o autorizacin, su antnimo sera disentir.

Rpta.: C

7. Confabular, conspirar, conjurar,

A) complotar. B) fabular. C) consumar.D) conturbar. E) aspirar.

Solucin:serie verbal conformada por sinnimos que se completa con complotar.Rpta.: A

SEMANA 9BTEXTO 1

Las matemticas proceden por razonamiento deductivo a partir de axiomas enunciadosexplcitamente. Hasta aqu, sin embargo, no hemos dicho nada de los axiomas. Esto sedebe sencillamente a que los axiomas relativos a los nmeros son propiedades tan obvias,que los aplicamos en forma automtica, sin darnos cuenta de que lo estamos haciendo.

Una analoga ayudar a entender. Cuando un nio arroja al aire una pelota esperaque esta y cualquier otra, en realidad, golpeen el piso. Esta suposicin, desde luego, estbien fundada en la experiencia. Con todo, la expectativa del nio de que la pelota caiga esdeduccin del supuesto que se acaba de hacer y de la premisa de que est arrojando unapelota al aire. Al reconocerse que el nio hace una suposicin, se transparenta elrazonamiento, consciente o inconsciente, que est detrs del acto.

Para entender el proceso deductivo de las matemticas de los nmeros, as como dela geometra, debemos reconocer la existencia y el empleo de axiomas. No vacilamos enafirmar que 275 + 384 = 384 + 275. De seguro que no agregamos 384 objetos a 275, loscontamos para sacar el total, agregamos luego 275 objetos a 384, los contamos para saberel total, y verificamos si concuerdan ambos totales. Ms bien, sabemos por experiencia que,siempre que combinamos dos grupos de objetos, vemos que obtenemos la misma coleccintotal independientemente de que pongamos el primer grupo con el segundo o ste conaquel. Claro est que nuestra prueba de que no viene al caso el orden en que se haga lacombinacin se limita a un nmero pequeo de casos, pero en el terreno de la prctica laextendemos a todos los nmeros. De ah que en realidad estemos haciendo una suposicin,a saber, la de que para cualesquiera dos nmeros a y b, enteros, fraccionarios, irracionales

y negativos, el orden en que sean sumados no afectar el resultado. Nuestra suposicinincluye tambin la afirmacin de que 3 5 5 3 . Hay otra razn importante paraque se reconozca que se hizo esta suposicin. Los nmeros no son ni manzanas ni vacas.Son abstracciones de situaciones fsicas. Las matemticas trabajan con estasabstracciones para deducir informacin sobre situaciones fsicas. Por eso, si no se eligenbien los axiomas, las deducciones carecern de validez. Consiguientemente, convieneadvertir qu suposiciones se estn empleando y averiguar si tienen buenos fundamentosen la experiencia.

Kline, M. (2009) Matemtica para estudiantes de humanidades. Mxico: Fondo de Cultura Econmica.


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1. Cul es el tema central del texto?

A) La matemtica y su fundamento en la abstraccin de nmeros realesB) La matemtica y sus abstracciones para afirmar axiomas sobre fsicaC) El muy obvio fundamento experimental de las matemticas: el axioma.D) La funcin de los axiomas el mundo experimental de las matemticasE) Los axiomas matemticos, una explicacin de qu son y cmo operan

Solucin: Se hace hincapi en la explicacin sobre qu son y cmo operan losaxiomas, incluso como un conjunto de supuestos que se relacionan con la experiencia.

Rpta.: E

2. La expresin GOLPEEN EL PISO connotaA) cada. B) violencia. C) continuidad.D) caucin. E) contrariedad.

Solucin:Al mencionarse que cuando una pelota es lanzada hacia arriba, en realidadse busca que golpee el piso, se da a entender que se asume como inevitable la cada.

Rpta.: A

3. De los datos 3 5 5 3 o 275+384=384+275, se colige que

A) la conmutatividad opera considerando el nmero y la funcin que lo acompaa.B) el axioma no radica en la abstraccin numrica sino en lo conmutable de la sumaC) ha sido necesario experimentar con una gran cantidad de casos para afirmar ello.D) son solo conmutables las races cuadradas y las sumas de nmeros racionales.E) las races, siempre que sean cuadradas, equivalen a nmeros enteros de 3 cifras.

Solucin:para cualesquiera dos nmeros a y b, (), el orden en que sean sumadosno afectar el resultado. Por ende, son conmutables por la funcin de la suma.

Rpta.: B4. Es incoherente con lo afirmado por el texto sostener que

A) lanzar una pelota al aire implica asumir que esta caer, un nio es tan conscientede esto que obvia razonarlo.

B) la eleccin adecuada de los axiomas le asegura al sujeto que la validez de susdeducciones est asegurada.

C) una persona no necesita experimentar un sinfn de combinaciones en la suma paraasumir que es conmutativa.

D) la aplicacin de un axioma, sobre todo de un axioma matemtico, exige que elsujeto sea consciente de ello.

E) la aplicacin de un axioma se da en la experiencia real de modo tan natural que sehace al margen de la reflexin.

Solucin:los axiomas relativos a los nmeros son propiedades tan obvias, que losaplicamos en forma automtica; es decir, sin que seamos conscientes de ello.

Rpta.: D

5. Si insistiramos en aplicar a las ciencias biolgicas la forma como la matemticaacepta y opera los axiomas, entonces

A) necesariamente la Biologa tendra que ser una ciencia exacta, no es posibleB) sera de gran utilidad para el desarrollo del conocimiento humano en CC.NN.C) la Biologa ganara mayor prestigio, porque podra axiomatizarse y deducirse.D) la Biologa sera la nica ciencia natural operada con deducciones y axiomas.


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E) no habra dificultad, pues la Biologa est, hoy en da, al 100% matematizada.Solucin:La matemtica opera con axiomas y deducciones porque es una cienciaexacta, deductiva. Pero, la Biologa es una ciencia inductiva, por ello no sera posible.

Rpta.: A

TEXTO 2

La rebelin de las masas,aunque publicado en 1930, haba sido anticipado en artculos yensayos desde dos o tres aos antes. El libro se estructura alrededor de una intuicingenial: ha terminado la primaca de las elites; las masas, liberadas de la sujecin deaqullas, han irrumpido en la vida de manera determinante, provocando un trastornoprofundo de los valores cvicos y culturales y de las maneras de comportamiento social.Escrito en plena ascensin del comunismo y los fascismos, del sindicalismo y losnacionalismos, y de los primeros brotes de una cultura popular de consumo masivo, laintuicin de Ortega establece uno de los rasgos claves de la vida moderna.

Tambin lo es que su crtica a este fenmeno se apoye en la defensa del individuo,cuya soberana ve amenazada en muchos sentidos ya arrasada por esta irrupcin

incontenible de la muchedumbre de lo colectivo en la vida contempornea []. La"masa" a que Ortega se refiere abraza transversalmente a hombres y mujeres de distintasclases sociales, igualndolos en un ser colectivo en el que se han fundido, abdicando desu individualidad soberana para adquirir la de la colectividad, para ser nada ms que una"parte de la tribu". La masa, en el libro de Ortega, es un conjunto de individuos que se handesindividualizado, dejado de ser unidades humanas libres y pensantes, para disolverse enuna colectividad que piensa y acta por ellos, ms por reflejos condicionados -emociones,instintos, pasiones- que por razones. Estas masas son las que por aquellos aos yacoagulabaen torno suyo en Italia Benito Mussolini, y se arremolinaran cada vez ms enlos aos siguientes en Alemania en torno a Hitler, o en Rusia, para venerar a Stalin, el"padrecito de los pueblos". El comunismo y el fascismo, dice Ortega, "dos claros ejemplos

de regresin sustancial", son ejemplos tpicos de la conversin del individuo en el hombre-masa.

Vargas Llosa, M. (4 de Diciembre de 2005). La rebelin de las masas. El Pas. Rescatado de:http://elpais.com/diario/2005/12/04/opinion/1133650807_850215.html.

1. La idea principal del texto sostiene que

A) las lites han sido desplazadas por la colectividad, emotiva e irracional.B) la irrupcin del hombre-masa es un fenmeno curioso y poco frecuente.C) la resistencia de lo individual exige asumir un sujeto emotivo y pasional.D) para Ortega y Gasset lo individual es el rasgo central de la modernidad.E) el hombre-masa ha terminado por extinguir valores cvicos y culturales.

Solucin: Lo central muestra cmo la masa, emotiva e irracional, cobraprotagonismo en el ordenamiento sociocultural en desmedro de la individualidad y laslites.

Rpta.: A

2. En el segundo prrafo, el trmino COAGULABA connota

A) efervescencia. B) distensin. C) radicalizacin.D) concentracin. E) dispersin.

Solucin:Estas masas son las que por aquellos aos ya coagulaba en torno suyo;es decir, aglomeraba, concentraba.

Rpta.: D


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A) la muchedumbre acta siempre de modo temperamental, al margen de razones.B) la irrupcin del hombre-masa se da como alterna al individuo, ambos compiten.C) las lites han sido desplazadas por gentos aglutinados en torno a sus lderes.D) el sujeto renuncia a sus rasgos individuales para hacerse uno solo con la masa.E) la prdida de protagonismo individual ha alterado los comportamientos sociales.

Solucin:Hacia el final del texto se afirma que el individuo se convierte en el hombre-masa, por ende, el proceso no es paralelo sino que implica una transformacin.

Rpta.: B

4. En relacin a los valores cvicos y culturales, se infiere que

A) la masa altera valores y cultura, no los suprime, postula un nuevo ordenamiento.B) la masa al ser irracional propendi hacia la supresin de cualquier orden cvico.C) la masa consolida una visin cvica que propone como protagonista al individuo.D) la masa es anarquista, por lo tanto, persigue a las lites amparadas en lo cvico.

E) en una sociedad gobernada por la masa ni los valores ni la cultura son posibles.Solucin:Las masas trastocan profundamente los valores cvicos y culturales; esdecir, los alteran, distinto a suprimir, eliminar o soslayar.

Rpta.: A

5. Si el fenmeno del surgimiento de las masas no se hubiera dado durante la primeramitad del siglo XX, entonces

A) las lites gobernantes habran cedido el poder, pues estaban desprestigiadas.B) el individuo se habra visto obligado a recurrir a formas radicales de expresin.C) el ordenamiento cvico y cultural se habran visto muy profundamente afectados.D) la defensa del individuo habra sido intensa, pues confrontara individualidades.E) el fascismo italiano y el nazismo, probablemente, no habran llegado al poder.

Solucin: Tanto el fascismo como el nazismo fueron movimientos de masas, sin eserespaldo, probablemente, no habran tenido opcin de llegar al poder.

Rpta.: E

ELIMINACIN DE ORACIONES

1. I) Su nombre oficial no es Irn sino ms bien Repblica Islmica de Irn y ello de por

s ya dice mucho II) Irn est ubicado, geogrficamente, como un Estado de OrienteMedio y Asia Occidental. III) La regin que desde el primer milenio a. C. hasta 1935fue conocida en Occidente como Persia es lo que hoy reconocemos como Irn, ambosnombres son vlidos y aceptados por los propios iranes. IV) Irn limita con Pakistny Afganistn por el este; Turkmenistn por el noreste, el mar Caspio por el norte yAzerbaiyn y Armenia por el noroeste; el golfo Prsico y el golfo de Omn por el sur;Turqua e Irak por el oeste. V) La rivalidad que sostuvo Irak con Irn, el Irak de SaddamHussein, era por su cariz religioso, pues la elite gobernante iraqu, por aquel entonces,era sun.

A) V B) II C) III D) IV E) I

Solucin:Se elimina la oracin V por impertinencia. El eje temtico es Irn, la oracinV gira en torno a Irak.

Rpta.: A


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2. I) El Winchester es un arma creada en 1866 cuyo nombre es sinnimo de fusil derepeticin II) El Winchester es un arma con accin de palanca de la segunda mitaddel siglo XIX; III) O. Winchester fabric y patent en 1860 el fusil Henry, que habraservido de inspiracin para otros fusiles del mismo sello. IV) El modelo de fusilWinchester fue fabricado por iniciativa de Oliver Winchester, presidente de WinchesterRepeating Arms Company, V) Fusiles como el Winchester pertenecen a aquellos

primeros fusiles que permitan disparar varias veces sin necesidad de recargar,desalojando el casquillo usado y reemplazndolo por un cartucho nuevo.

A) I B) II C) III D) IV E) V

Solucin:Se elimina la oracin III por impertinencia. El tema es el fusil Winchester yno el Henry.

Rpta.: C

3. I) Segn el mito, arcnido deriva de aracn; al parecer la diosa Atena convirti a unahbil tejedora de nombreAracnen una araa, lo hizo al sentir celos por la calidad desus tejidos. II) La aracnofobia es el asco o miedo irracional hacia las araas. III) La

aracnofobia se caracteriza por sudoracin, respiracin rpida, taquicardia y nuseas.IV) Las reacciones de los aracnofbicos suelen parecer exageraciones para las demspersonas, poco interesadas en comprender las implicancias psicolgicas. V) Losaracnofobicos procuran mantenerse alejados de cualquier sitio donde creen quehabitan araas.

A) V B) II C) III D) IV E) I

Solucin:Se elimina la oracin I por inatingencia. El tema es la aracnofobia y no elorigen mtico del trmino arcnido.

Rpta.: E

4. I) bano es la denominacin que recibe una densa madera de color negro. II) El banoes el producto de la combinacin de varias especies del gnero Diospyros, III) ElDiospyros dendro(D. crassiflora, bano de Gabn) es una especie de bano nativadel oeste de frica. IV) Algunas especies bien conocidas de bano incluyen Diospyrosebenum (bano de Ceiln), nativa del sur de India y Sri Lanka. V) El bano es unamadera cuyo color es uno de los negros ms intensos que se conocen, y por su muyalta densidad es una de las pocas maderas que se hunden en el agua.

A) II B) V C) III D) IV E) I

Solucin:Se elimina la oracin I por redundancia con la oracin V.

Rpta.: E

5. I) La polimerizacin se encarga de procesar polmeros como el almidn, la seda o lacelulosa naturalmente en los seres vivos. II) Los polmeros son macromolculas cuyacomposicin est basada en el conjunto de monmeros III) En la polimerizacin cadacadena tiene un tamao distinto y, por tanto, una masa molecular distinta. IV) En unapolimerizacin el tamao de la cadena depender de parmetros como la temperaturao el tiempo de reaccin. V) La polimerizacin en cadena, es la reaccin que sintetizaun polmero como el ADN.


Solucin: Se elimina II por impertinencia. El tema es la polimerizacin como procesoy no la composicin de los polmeros.

Rpta.: B.


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6. I) El sistema operativo Android, basado en el ncleo Linux, fue diseadoprincipalmente para dispositivos mviles con pantalla tctil. II) El sistema Android,popular entre dispositivos tctiles como telfonos inteligentes o tablets,tambin regulael funcionamiento de relojes inteligentes, televisores y automviles. III) Android fuedesarrollado por Android Inc., empresa financiada por Google, en 2005 est ltima lacompr. IV) El primer mvil con el sistema operativo Android fue el HTC Dream y se

vendi en octubre de 2008. V) El xito del sistema operativo Android, basado en elncleo Linux, se ha convertido en objeto de litigios sobre patentes, pues losdispositivos de Android venden ms que las ventas combinadas de Windows Phone eIOS.


Solucin:Se elimina I por redundancia con la II y la V.Rpta.: A

SEMANA 9C

TEXTO 1Durante siglos el hombre de la calle tuvo ms fe en la hechicera que en la ciencia: paraganarse la vida, Kepler necesit trabajar de astrlogo; hoy los astrlogos anuncian en losdiarios que sus procedimientos son estrictamente cientficos. El ciudadano cree con fervoren la ciencia y rinde pleitesa a Einstein y a Madame Curie. Pero, por un destinomelanclico, en este momento de esplendor popular muchos profesionales comienzan adudar de su poder. El matemtico y filsofo ingls A. N. Whitehead nos dice que la cienciadebe aprender de la poesa; cuando un poeta canta las bellezas del cielo y de la tierra nomanifiesta las fantasas de su ingenua concepcin del mundo, sino los hechos concretosde la experiencia desnaturalizados por el anlisis cientfico.

Es difcil separar el conocimiento vulgar del cientfico; pero quiz pueda decirse que elprimero se refiere a lo particular y concreto, mientras que el segundo se refiere a lo generaly abstracto. As, a medida que la ciencia se vuelve ms abstracta y en consecuencia mslejana de los problemas, de las preocupaciones, de las palabras de la vida diaria, su utilidadaumenta en la misma proporcin. Una teora tiene tantas ms aplicaciones cuanto msuniversal, y por lo tanto cuanto ms abstracta, ya que lo concreto se pierde con lo particular.El poder de la ciencia se adquiere gracias a una especie de pacto con el diablo: a costa deuna progresiva evanescencia del mundo cotidiano. Llega a ser monarca, pero, cuando lologra, su reino es apenas un reino de fantasmas.

El anlisis cientfico es deprimente: como los hombres que ingresan en una penitenciara,las sensaciones se convierten en nmeros. El verde de aquellos rboles que el aire meneaocupa una zona del espectro alrededor de las 5000 unidadesAngstrm; el manso ruido escaptado por micrfonos y descompuesto en un conjunto de ondas caracterizadas cada unapor un nmero; en cuanto al olvido del oro y del cetro, queda fuera de la jurisdiccin delcientfico, porque no es susceptible de convertirse en matemtica. El mundo de la cienciaignora los valores: un gemetra que rechazara el teorema de Pitgoras por considerarloperverso tendra ms probabilidades de ser internado en un manicomio que de serescuchado en un congreso de matemticos.

Sbato, E. (1968) Uno y el universo.Argentina: Tauro.Recuperado de: https://iiejf499r8rowjfedjf03.bookz.lt/Literatura/S/


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A) La ciencia y su abstraccin, un poder ejercido desde lo no realB) La ciencia y el combate contra el saber vulgar de profesionalesC) El anlisis cientfico, una depresin numrica de la cotidianidadD) Hechicera versus ciencia, la necesidad de abstraer la realidadE) Los procesos cientficos, una muestra del podero de la ciencia

Solucin:El autor reflexiona en torno a la paradoja de la ciencia: tiene y ejerce poder(abstraccin-utilidad) pero no lo hace desde mundo real.

Rpta.: A

2. La expresin RINDE PLEITESAconnota

A) sumisin. B) desacato. C) respeto.D) conquista. E) comprensin.

Solucin:la gente cree con fervor y muestra su RESPETO por los cientficos.Rpta.: C


A) la ciencia tiende a abstraer hechos, con ello rompe el vnculo.B) el conocimiento vulgar gira en torno a lo particular y concreto.C) la ciencia gana poder con la universalidad de sus postulados.D) la ciencia puede desnaturalizar los hechos de la experiencia.E) la ciencia tiende a mantener un vnculo fluido con los hechos.

Solucin:es precisamente, la ruptura con los hechos lo que ms se le critica en eltexto a la ciencia. Por ende, no mantiene un vnculo fluido.

Rpta.: E

4. De la metforaLlega a ser monarca, pero, cuando lo logra, su reino es apenas unreino de fantasmas es posible inferir que

A) la ciencia expresa aspiraciones polticas, pero los pases estn devastados.B) toda organizacin poltica recurre a cientficos desconocidos como lderes.C) la ciencia logra tener poder cuando se asocia con la poltica, as gobiernan.D) el poder que alcanza la ciencia se ejerce, en esencia, sobre abstracciones.E) el poder al que aspira la ciencia es un poder concreto, no es un poder iluso.

Solucin:En el proceso de asumir las abstracciones como la base de su quehacer,alcanza gran poder, pero lo ejerce, precisamente, sobre tales abstracciones.

Rpta.: D

5. Si el planteamiento central del texto fuera a la inversa; es decir, si la ciencia rechazaralas abstracciones, etc., principalmente, qu podramos afirmar?

A) El conocimiento de la realidad sera mucho ms limitado.B) El trabajo de la ciencia seria indescriptible e indescifrable.C) El conocimiento de la realidad sera mucho ms profundo.D) Conocer la realidad sera imposible sin las abstracciones.E) Conocer la realidad sera sencillo, sin las abstracciones.

Solucin: Se critican las abstracciones, pero no se niega que estas concedan poder

a la ciencia, el poder de comprender con ms profundidad. Si se planteara el casocontrario tendramos la alternativa A.

Rpta.: A


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TEXTO 2

Aparte de la astronoma, las matemticas son quiz la rama del pensamiento humano msantigua y con ms persistencia cultivada. Por otro lado, a diferencia de las ciencias fsicas,la filosofa y las ciencias sociales, en el campo de las matemticas muy poco es lo que seha creado y luego descartado. El desarrollo de las matemticas es acumulativo; esto es,las creaciones ms recientes se fundan, lgicamente hablando, en las anteriores. De ah

que por lo comn deba uno entender los resultados antiguos para dominar los nuevos.Estos hechos nos aconsejan que nos remontemos a los orgenes mismos de lasmatemticas.Al examinar las primeras civilizaciones, inmediatamente salta a la vistaun hecho notable.No obstante que han existido cientos de sociedades humanas, muchas de ellas con granarte, literatura, filosofa, religin e instituciones sociales complejas, fueron muy pocas lasque poseyeron conceptos matemticos de los que valga la pena hablar. Muchas de ellasapenas si rebasaron la etapa de saber contar hasta cinco o diez. En algunas de esasremotas sociedades se dieron unos cuantos pasos en el terreno de las matemticas. Entiempos prehistricos, lo que ms o menos significa antes del ao 4000 a. C., hubocivilizaciones que ya pensaban en los nmeros como conceptos abstractos. Esto significaque reconocan que tres ovejas y tres flechas posean algo en comn, el nmero llamadotres, en el que poda ponerse desligado de cualquier objeto fsico. Cada uno de nosotros,en los primeros aos de escuela, pasa por el mismo proceso de separar los nmeros de losobjetos fsicos. La apreciacin del nmero como idea abstracta es un gran paso, quizsel primero, en el largo camino de fundar las matemticas.Otro adelanto fue la introduccin de las operaciones aritmticas. Es toda una proeza sumarlos nmeros que representan dos colecciones de objetos y obtener el total, en lugar decontar uno por uno los objetos de las colecciones combinadas. Y lo mismo sucede con laresta, la multiplicacin y la divisin. Los primeros procedimientos para realizar estasoperaciones fueron burdos y enredados en comparacin con los nuestros, pero las ideas y

sus aplicaciones ya estaban all.Kline, M. (2009) Matemtica para estudiantes de humanidades. Mxico: Fondo de Cultura Econmica

1. Centralmente, el texto trata sobre

A) el origen de las matemticas y sus saberes acumulativos.B) las matemticas y la astronoma, sus leyes y aplicaciones.C) el nmero como idea abstracta en operaciones prelgicas.D) la matemtica comparada con otros saberes civilizadores.E) la evolucin de las ciencias y los saberes lgicos comunes.

Solucin: El texto aborda centralmente la aparicin de las matemticas y el tipo

particular de saber que posee, acumulativo. Rpta.: A

2. En el texto, el sentido de la expresin SALTAR A LA VISTA es

A) aparecer. B) enrarecer. C) ocultarse.D) surgir. E) sobresalir.

Solucin:salta a la vista porque llama la atencin de entre todo lo que hay, es decir,sobresale.

Rpta.: E


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3. Resulta incompatible con el texto aseverar que

A) las nociones matemticas nacen con las civilizaciones de nuestra era.B) la abstraccin matemtica implica separar cantidad de representacin.C) los procedimientos aritmticos fueron en principio rsticos y enredados.D) en las matemticas no hubo grandes revoluciones, el saber se acumula.E) se considera la abstraccin del nmero como el origen de la matemtica.

Solucin:En tiempos prehistricos, [] antes del ao 4000 a. C., hubo civilizacionesque ya pensaban en los nmeros como a. C. equivale a nuestra era.

Rpta.: A

4. Del texto se infiere que la matemticaA) busc contribuir y apoyar a otros saberes para construir civilizaciones.B) tuvo como pretensin inicial y permanente la complejidad y el enredo.C) incentiv en sociedades antiguas el surgimiento de la religin y el arte.D) fue desde su origen un saber de desarrollo autosuficiente y autnomo.E) justifica su existencia en la necesidad insoslayable que se tena de ella.

Solucin: Autosuficiente porque no necesit del auxilio de otros saberes paraavanzar, y autnomo porque se construy sin interrelacin aparente con otrosconocimientos.

Rpta.: D

5. Si las matemticas fueran equiparables a la fsica o a las ciencias sociales, entonces

A) el momento y la cultura en que aparece la matemtica sera de vital importanciapara entender su evolucin.

B) los objetos de estudio de la matemtica no se habran podido abstraer de larealidad, como el nmero.

C) no tendramos necesidad de estudiar la geometra euclidiana para entender lasecuaciones de Newton.

D) muchas civilizaciones no habran tenido necesidad de ella, como no la tuvieron delas CC.SS. o de la fsica.

E) su desarrollo habra sido autosuficiente, pues habra estado interconectada con elsaber de otras ciencias.

Solucin:Al ser equiparables, la matemtica habra sufrido revoluciones y habradescartado muchos de los saberes ms antiguos, como la geometra de Euclides.

Rpta.: C

TEXTO 3

Las proposiciones son los ladrillos con los que estn hechos los argumentos. [De ah laimportancia de saber qu es una proposicin, consideremos como tal la siguiente: conjuntofinito de smbolos lingsticos que, con pleno sentido, pueden ser calificados comoverdaderos o falsos (Piscoya, 2007)]. Cuando afirmamos o llegamos a una proposicinbasndonos en otras proposiciones, decimos que hemos hecho una inferencia. Lainferencia es el proceso que puede ligar a un conjunto de proposiciones. Algunasinferencias son justificadas o correctas, otras no. Para determinar si una inferencia escorrecta o no, el lgico examina las proposiciones con las que inicia y termina el proceso ylas relaciones entre estas proposiciones. Este conjunto de proposiciones constituye unargumento. Los argumentos son el principal objeto de estudio de la lgica.

Tal como los lgicos utilizan la palabra, un argumento es un grupo de proposiciones delcual se dice que una de ellas se sigue de las otras, consideradas como base o fundamento


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para la verdad de este. Evidentemente, la palabra argumentoa menudo se utiliza con otrossentidos, pero en lgica se utiliza estrictamente en el sentido que se acaba de explicar.Para cada inferencia posible existe un argumento correspondiente.

Est claro que un argumento no es meramente una coleccin de proposiciones; un pasajepuede contener varias proposiciones relacionadas y aun as no contener ningn argumento.

Para que pueda decirse que existe un argumento, tiene que haber alguna estructura en eseconjunto de proposiciones, una estructura que capture o muestre alguna inferencia. Estaestructura se describe utilizando los trminos premisa y conclusin. La conclusin de unargumento es la proposicin que se afirma con base en otras proposiciones del argumento.Estas otras proposiciones, las cuales se afirma (o se asume) que son soporte de laconclusin, son las premisas del argumento.

El argumento ms simple consiste en una premisa y una conclusin, la cual se dice que sesigue de la primera. Cada una puede enunciarse en oraciones separadas. [Por ejemplo:]

- Nadie estaba presente cuando surgi la vida por primera vez sobre la Tierra. Por lo

tanto, cualquier enunciado acerca del origen de la vida tiene que ser considerado unateora, no un hecho.

Copi, I. (2002). Introduccin a la lgica.Mxico: Limusa. Adaptado: Ortiz, W.


A) Definicin de las premisas proposicionalesB) Los argumentos y su estructuracin lgicaC) Las premisas proposicionales en la lgicaD) La inferencia relacionada a la proposicin

E) Los argumentos verdaderos y los invlidosSolucin:Al afirmar dicha alternativa se incluye automticamente toda la estructurainterna del argumento, desde el punto de vista de la lgica proposicional.

Rpta.: B

2. En el ejemplo, el trmino TEORA se puede reemplazar por

A) ilusin. B) falsedad C) premisa. D) conjetura. E) evidencia.

Solucin:Teora como hiptesis, conjetura, conjunto de supuestos explicativos.Rpta.: D

3. Se puede colegir del texto que, para la mayora, un argumentoA) tiene estructura lgica y parte de afirmaciones inferenciales.B) es cualquier afirmacin basada en un sentido lgico estricto.C) solo se considera verdadero si tiene premisas y conclusin.D) es de gran inters para las ciencias sociales y la matemtica.E) puede no tener conclusin y solo ser un conjunto de datos.

Solucin: evidentemente, la palabra argumentose utiliza con otros sentidos; seinfiere que muchos llamarn argumento a un conjunto de datos sin conclusin.

Rpta.: E


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4. Qu enunciado se condice con lo afirmado en el texto?

A) Las proposiciones son construcciones lgicas relacionadas entre s, nicamente,como un conjunto de premisas.

B) La conclusin, para la lgica, no es una proposicin, es un argumento autnomo,con una estructura muy particular.

C) La inferencia est constituida por una serie inconexa de eslabones ordenados,segn aparecen en el argumento.

D) El argumento es el conjunto de proposiciones vinculadas por la inferencia, ya seaa nivel de premisas o conclusin.

E) Los trminos inferencia y proposicin son considerados como sinnimos por lalgica, ello provoca confusiones.

Solucin:Tanto las premisas como la conclusin son aseveraciones, es decir, sonproposiciones vinculadas por inferencia. Son evidentes los errores de las otras claves.

Rpta.: D

5. Asumiendo la necesidad de construir un argumento lgico y considerando el concepto

de proposicin, es posible afirmar queA) las preguntas y las rdenes no pueden ser la parte central de un argumento lgico.B) las combinaciones de smbolos lingsticos seran infinitas, eso lo hace imposible.C) es evidente que no se condice con lo real, hay que pensar en un nuevo concepto.D) se nos ofrece un nebuloso panorama lingstico para construir argumentaciones.E) si lo aceptamos caeramos, sin remedio, en la tirana de la lgica y el cientificismo.

Solucin: Preguntas y rdenes no se pueden calificar como verdaderas o falsas, ens mismas. Por ello, no son proposiciones ni pueden ser lo central en un argumento.

Rpta.: A

AritmticaEJERCICIOS DE CLASE N 9

1. Halle la suma de los factores primos de los trminos de la fraccin.

A) 24 B) 23 C) 28 D) 53 E) 31

Solucin:11 12 13 19

11 12 13 1999 99 99 99

110 210 310 910 11 21 31 91

990 990 990 990

+ + +....++ + +.... +

f = =+ + +...+

+ + +... +

3

3

135 3 5 15f = = =

459 3 17 117

factores primosS (f) = 24

Rpta.: A

2. Si 0,235(6)= 0, mnp(18), calcule el valor de (mn + p).

A) 4 B) 0 C) 1 D) 2 E) 6

0,11+0,12+0,13+....+0,19f =

0,111+0,212+0,313+...+0,919


28/96



Solucin:

0,235(6) =)6(

)6(

1000

235=

36

95=

36

95.

3

3

3

3=

318

2565= 3

)18(

18

9)16(7= 0,7(16)9(18)

Luego tenemos que: m= 7 ; n = 16 ; p = 9 por lo tanto: mn + p = 0

Rpta.: B

3. Si ,ab

= 0 dbcc

adems ab+db =100 , determine la suma de los valores de

a + b.

A) 7 B) 8 C) 13 D) 17 E) 15

Solucin:

Del dato tenemos:ab db

=99cc

Entonces cc puede ser : 11, 33, 99

c 1;3;9 9abdb =c

Del dato ab+db=100 se tiene 9abab + = 100c

Para c = 1 ab =10 a +b =1

Para c = 3 ab = 25 a + b = 7

Para c = 9 ab = 50 a + b = 5 Por lo tanto la suma de valores de a + b es 1 + 7 + 5 = 13

Rpta.: C

4. S

=0,ppqqrr8888

91 22 37, halle la suma del nmero de cifras peridicas y no

peridicas del nmero decimal generado por la fraccin:p p

+q r

A) 10 B) 12 C) 14 D) 4 E) 11

Solucin:

Tenemos:

ppqqrr= ppqqrr

3

8888 4 2222119988

91 22 37 2 7 11 13 37 3 7 11 13 37

p p+

q r 2 3

17 # # 3 1 43 2

CPNP CPP

Rpta.: D

5. Determine la ltima cifra del periodo de2015

1

7.

A) 6 B) 1 C) 7 D) 9 E) 3

Solucin:2015

2015 2015

1 1 a...x 1 1 a...x

= = 0,a...x = = = x = 37 7 99...99 7 99...99b...3

Rpta.: E


29/96



6. Una fraccin irreducible genera un decimal peridico puro de un nmero parde cifras en su periodo. Si el bloque de las seis cifras centrales del periodo es493927, determine la suma de las tres ltimas cifras del periodo.

A) 11 B) 9 C) 6 D) 12 E) 10

Solucin:

Como: abc...493924...xyzf =999...99999

por el teorema de MIDY tenemos

abc...493 924...xyz 999...999 x = 5, y = 0, z = 6 x + y + z =11

Rpta.: A

7. Sin 5

+ =0,(n-1)6637 27

, determine la suma de cifras del periodo de1

n + 4

A) 36 B) 27 C) 9 D) 18 E) 45

Solucin:

De los datos(n-1)6627n+185

= n = 3999 999

luego1 1

= = 0,142857n + 4 7

Por lo tanto la suma de cifras del periodo de1

n+4es 27.

Rpta.: B

8. Si

(8)

(8)

1=0,ab274c

19es un nmero de Midy en la base 8, determine el valor de

a+b+c .

A) 6 B) 10 C) 8 D) 9 E) 7

Solucin:

Del teorema de Midy tenemos:

(8)0,ab274c ab2 74c = 777 a +b + c = 0 + 3 + 5 = 8(8) (8) (8)

Rpta.: C

9. Halle la cantidad de cifras peridicas y no peridicas del nmero decimal

generado por la fraccin

20163f =

2015! y d como respuesta la diferencia positivade ambas cantidades.

A) 11 B) 12 C) 9 D) 14 E) 10

Solucin:

Del dato:

5 2

13 4 2 8 4 4

2016 2 3 7 13f = = 3f =

20 15! 2 3 5 7 1113 2 3 5 711136

Luego #CPP - #CPNP =18- 8 =10

Rpta.: E


30/96



10. Si1 17 18 19 20 21

42 - cifras

1= 0,c ...c c c c c ...abcde

127talque

17 18 19 20 21c c c c c 96062 , halle la suma de

cifras del periodo debac

ed.

A) 63 B) 45 C) 81 D) 72 E) 36Solucin:

1 1 22

21-cifras21-cifras

42 - cifras

1c ...96062c ..abcde c ...96062 + c ...abcde = 99...99999

127 22

Teoremade Midy

Luego

bac 309= = 4, 23287671

73edas tenemos suma de cifras del periodo es 36.

Rpta.: E

EVALUACIN DE CLASE N 91. Luego de simplificar la expresin

7 7

7 7

(1,7)(1, )(1,1 )F =

(0,7)(0, )(0,1 )

halle la diferencia positiva de trminos de la fraccin F .

A) 270 B) 150 C) 160 D) 290 E) 310

Solucin:17 16 106

+ +

(1,7)(1,7)(1,17) 41910 9 90F = = =7 7 16 149(0,7)(0,7)(0,17) + +10 9 90

luego la diferencia positiva de los

trminos de la fraccin es 270.Rpta.: A

2. Si la fraccin irreducible1a

bbb genera un decimal de la forma 0,b53 , determine

el nmero de cifras del periodo de2

a+b

(a+b+1).

A) 11 B) 9 C) 8 D) 12 E) 10Solucin:De los datos tenemos que:

1a b53 1a b53= = a = 7 b =1

999 b 9bbb luego

2 2

a +b 8= = 0,098765432

(a +b +1) 9

Por lo tanto el periodo de2

a +b

(a+b+1)tiene 9 cifras.

Rpta.: B

3. Si (a+1)0,a (a - 1)a = 0, 6, determine la menor cifra del periodo dea

2a

A) 2 B) 1 C) 0 D) 3 E) 4


31/96



Solucin:

De la condicin dada (a+1)(a+1)(a+1)

a(a - 1)a - a 20,a(a - 1)a = 0,6 = a = 1

3aa0

Luego la menor cifra del periodo dea 1

= 0,047619212a

es cero.

Rpta.: C

4. Determine el nmero de cifras de la parte no peridica de la fraccin22!

f =99! - 68!

A) 49 B) 48 C) 54 D) 47 E) 56

Solucin:

Buscamos los exponentes de dos en cada trmino de la fraccin.1922! 2 (Trmino. impar (1)) (Trmino. impar (1))

f =99! - 68! 2 (Trmino. impar(2) ) 2 (Trmino. impar(2) )

66 47

Luego la parte no peridica de la fraccin tiene 47 cifras.Rpta.: D

5. Siabc

f =xyz

es la mayor fraccin propia e irreducible, que genera un decimal

peridico puro con 7 cifras en su periodo, determine el valor de a + b + c .

A) 12 B) 18 C) 15 D) 13 E) 14

Solucin:

abc abcabc xyz f = f =3(239) 239

luego mxabc = 716 a +b +c =14

Rpta.: E

6. Si ab y ba son PESI donde ab es un nmero primo y la fraccin irreducible

abaf =

abba genera un decimal peridico mixto de la forma

30 cifras

0, x y.....z , determine

el valor de x + y + z .

A) 13 B) 10 C) 12 D) 14 E) 20

Solucin:

30 cifras 30 cifras

aba 141f = = 0, xy.....z = = 0, 2456445993031358 885017421602787

1441abba

Luego x+y+z=13 .Rpta.: A

7. S1

49es un nmero de Midy con 42 cifras en su periodo, de izquierda a derecha

determine la suma de las cifras de lugar 21, 22 y 23 del periodo de1

49

A) 25 B) 24 C) 23 D) 22 E) 21


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Solucin:

020408163265306122448 9795918367346938775511

0,49

Luego21 22 23

c + c + c = 8+ 9 + 7 = 24

Rpta.: B

8. Halle la cantidad de cifras peridicas y no peridicas del nmero decimal

generado por la mayor fraccin3

f =N

y d como respuesta la diferencia positiva

de ambas cantidades, donde a 5 9N= b c (a +1) a es la descomposicincannica de N .

A) 0 B) 21 C) 9 D) 2 E) 11

Solucin:

a 5 9 8 5 2 9 4 2

3 3f = = =

b c (a +1) a 2 3 5 7 2 3 5 7

1entonces el nmero de cifras

no peridicas es 9 (es el mximo de los exponentes de 2 y 5) y el nmero decifras peridicas es 18(es el MCM de los niveles de 81 y 7)

Rpta.: C

9. Si31

=0,xwzab

, determine el nmero de cifras de la parte no peridica de

;1

z > wzw

.

A) 4 B) 3 C) 1 D) 5 E) 2

Solucin:

De los datos ab = 22; 66 55 entonces31 xwz - x 31 xwz - x

= =990 66 990ab

luego

531(15)= 465 = xwz- x x = 4 zw =96 = 2 (3) as5

1 1=

2 3zw tiene 5 cifras no

peridicas.Rpta.: D

10. Determine la ltima cifra del periodo de2015

67

567.

A) 6 B) 3 C) 7 D) 9 E) 1

Solucin:

De los datos tenemos2015

67 a...x= 0,a...x =

567 9...9 entonces

201567(9...9) = (10+7 )(a...x) ...3 = (10+3)(a...x) x =1 Rpta.: E


33/96



lgebraSEMANA N 9

EJERCICIOS DE CLASE

1. Si r y s son las races de

2

p x 2x 3x 2 , halle el valor

r 2M 2s

r

1

.

A)5

4 B) 3 C)

1

4 D)

5

4 E) 1

Solucin:

Como r es raz de 2 p x 2x 3x 2

Se tiene 2 3r2r 2 0

Luegor 2

2rr 1

r 2 3M 2s 2r 2s 2 3.r 1 2

Rpta.: B

2. Halle el mayor valor de m para que una de las races de 2p(x) x (m 2) 3m xsea dos unidades ms que su otra raz.

A) 8 B)8 C) 4 D) 0 E)2

Solucin:

Consideremos r y s las races de 2p(x) x (m 2) 3m x

Por Cardano se tienei) r s m 2ii) rs 3mtambin s r 2en (i) 2r men (ii) r r 2 3m

2r 4r

Luego m 0 m 8

m 8.

Rpta: A

3. Si r y s son las races del polinomio 2p(x) x mx 4n y 2r k y 2s k son las

races del polinomio 2t(x) x x , halle el valor de 2M 4 .

A) 2m 16n B) 24m 32n C) 2m 4n

D) 24m 64n E) 22m 16n

Solucin:

Si r y s son las races de p(x), un polinomio cuyas races son 2r k y 2s k es

2x k x k x k p m 4n2 2 2


34/96



Luego2

x k x kt x 4 4m n

16

2 2

2 2t x x (2k 2m)x k 2mk 16n

Del dato 2t(x) x x

2(

k m)

2

k 2m

k 16n2 2

M 4 4 4m 6 n.

Rpta.: D

4. Si r, s y t son races del polinomio 3 2p (x) x x 4 , halle el valor de2 2 2

r s tG

r 2 s 2 2t .

A) 4 B) 3 C)1

2 D) 2 E)

1

4

Solucin:

Como r es raz de 3 2p (x) x x 4 , se tiene 3 2r r 4 0 3 2r r 4 (r 2)( ) 2r

22r r 2 2

1r 2 r r

Por otro lado segn Cardanoi) r s t 1ii) rs rt st 0

iii)rst 4

2 2 2

r s t 2 2 2G 1 1 1

r 2 s 2 t 2 r s t

0G 3 2

4

3

G .

Rpta.: B

5. Si 3 2 es una raz de3 2p(x) x (3m 2n 27)x (5m 3n 12)x 35

con m,n Q , halle el valor de 2 2m mn n .

A) 15 B) 17 C) 19 D) 21 E) 26

Solucin:

Como p(x) xQ y 3 2 es una de sus races, otra de sus races es 3 2 ,

consideremos su tercera raz r.Por Cardano se tienei) 6 r (3m 2n 27) ii) 7 6r 5m 3n 12iii) 7r 35 r 5 de (i) y (ii)


35/96



3m 2n 16

5m 3n 25

m 2 , n 5 2 2

m mn n 4 10 5 . 2 19

Rpta.: C

6. Si 1 3ies una raz de 3 2 2p(x) x (m 1)x ( m ) n5 x con

m,n

R , halle

la suma de los coeficientes del polinomio mnico en ]x[Q de menor grado

posible con races simples m yn

5.

A) 6 B) 4 C) 4 D) 5 E) 6

Solucin:

Como p(x) xR y 1 3i es una de sus races, otra de sus races es 1 3i,

consideremos su tercera raz r.Por Cardano se tienei) 2 r m 1

ii) 210 2r m 5iii) 10r n Se tiene r 2 , m 3 , n 20

m 2 , n 5 Sea q(x) el polinomio que pide el problema, entonces q(x) (x 3)(x ) 4 La suma de sus coeficientes:

q(1) (1 3 )(1 4) 6.

Rpta.: E7. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I) Dado 3 2p(x) ax bx cx d , a 0,d 0 . Si p(x) tiene tres races reales,

3 1x px

tiene las mismas races reales que p(x).

II) Si polinomio p(x) con coeficientes complejos tiene una raz compleja, elconjugado de dicha raz tambin es una raz de p(x).

III) Dado un polinomio p(x) de tercer grado tal que dos de sus races son2

33

y2

3 3 , se cumple que p(x) tiene coeficientes racionales.

A) VVF B) VFF C) FFF D) FVF E) FVV

Solucin:

I) Falso.Consideremos p x x x 3 2 1 x sus races son: 3, 1 y 2

3 31 1 1 1x p x ( 3)( 1)( 2) (1 3x)(1 x)( 1 2x x x

x)x

sus races son:1 1

, 1, 3 2

.

II) Falso.p(x) = xi, solo tiene una raz que es i.III) Falso.


36/96



2 2p x (x 2)(x 3)(x 3)

3 3 tiene coeficientes reales, no todos son

racionales.Rpta.: C

8. Dados los polinomios 3 2p(x) 2x 4x 4x 2 y

1 2 2 3 1 3

1 1 1q x p x p

x .x x .x x .x

donde 1 2 3x , x y x son las races de p x ,

halle q 1 .

A) 2 B) 5 C) 6 D) 4 E) 0

Solucin:

Para )x(p se tiene por Cardano:

i)1 2 3

x x x 2

iii) 1 2 3x x x 1

1 2 2 3 1 3

1 1 1q x p x p

x .x x .x x .x

3 1 2

1 2 3

x x xq(x) p(x) p

x x x

q(x) p(x) p 2

q( 1) p( 1) p 2 12

1 6.

6

q

Rpta.: C

EJERCICIOS DE EVALUACIN

1. Si r y s son las races de 2p(x) x 2x 5 , determine el valor de

1 1 1 1T

r s r 2 s 2 .

A) 0 B) 1 C) 1 D) 2 E) 3

Solucin:

Por Cardano se tienei) r s 2ii) rs 5

Por otro lado 2r 2r 5 0 r 1

5 r 2

En1 1 1 1 r s 1 2 2

T (r s)r s r 2 s 2 rs 5 5

5

T 0.

Rpta.: A


37/96



2. Sir

2y

k

3son las races del polinomio completo 2p (x) 3x 4kx r , determine

el valor de 2(k 1) r .

A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Solucin:

Por Cardano se tiene:

i)r k 4k

2 3 3

rk

2

ii)rk r

6 3 2k

luego r 4 2(k 1) 5. r

Rpta.: E

3. Si r y s son las races de 2p(x) 2x 3 x y 2q(x) 3x x es un polinomio

cuyas races son1

ry

1

s, calcule 2T 2 .

A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Solucin:

Un polinomio cuyas races son1

ry

1

ses 2

1x p

x

2 2 2

2

1 2 1x p x 3 3x x 2

x xx

2q x 3x 2 x 2 2

T 2 2 2( 1) 6.

Rpta.: B

4. Si r, s y t son las races de 3p (x) x 5x 8 , halle el valor de

2 2 2 2

r s rst tG

5 5(r 1) r t 3 s .

A) 3

5 B)

2

5 C)

1

5 D)

3

5 E)

2

5

Solucin:

Como r es una raz de p(x), 3r 5r 8 03

2

2

2

r 8 5r

(r 2)(r 2r 4) 5r

5r(r 1) 3

r 2

r r 25(r 1) 3


38/96



Adems por Cardano se tiene:i) r s t 0ii) rs rt 5stii) rst 8

Luego 2 2 2r s t 2(rs rt st) 2( 5) 10

2 2 2 2 2 2 2

r s rst t r 2 s t rstG 5 5 5 5 5(r 1) 3 r s t r s t

2 8 2G .

5 1

0 5

Rpta.: B

5. Si 2 3 es una raz de 3 2p(x) x (2m 3n 18)x (4m n 1)x 2 con

m,n Q , halle la raz real de p x 1 .

A) 2 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

Solucin:Como p(x) xQ y 2 3 es una de sus races, otra de sus races es 2 3 ,

consideremos su tercera raz r.Por Cardano se tienei) 4 r (2m 3n 18) ii) 1 4r 4 1mniii) r 2 Como 2 es la raz real de p(x)

2 1 es la raz real de p x 1 .

Rpta.: E

6. Si 3i es raz del polinomio de tercer grado 3 2p(x) mx nx 18x t x Z , halle

la raz real de p(x) .

A)9

2 B)

t

9 C)

2

t D)

n

2 E)

t

2

Solucin:

Como 3 2p(x) mx nx 18x t x Z , sus races son 3i, 3i y r.

Por Cardano se tiene:

i) rm

n

ii)18

9m

m = 2

iii) 9rm

t

de (i) y (iii) r2

n o r

8

t

1 .

Rpta.: D


39/96



7. Si m es una raz de multiplicidad 2 del polinomio completo3 2 2

p(x) x ax 3(m 2)x 4m , halle el valor de 2m 2a 5 .

A) 18 B) 12 C) 9 D) 10 E) 8

Solucin:

Consideremos m, m y t las races de3 2 2

p(x) x ax 3(m 2)x 4m

Por Cardano se tiene:i) 2m t a

ii) 2 m 2mt 3(m 2)

iii) 2 2m t 4m t 4

en (ii) 2m 5m 6 0m 3 m 2 y para que sea completo m = 3, en (i) a 2

2m 2a 5 10.

Rpta. : D

8. Determine la suma de coeficientes del polinomio mnico de menor grado concoeficientes racionales cuyas races son 3 5 y 3.

A) 1 B) 2 C) 0 D) 3 E) 1

Solucin:Consideremos el polinomio buscado p(x), como tiene coeficientes racionales y

3 5 es una de sus races, tambin lo es 3 5 .Luego

2p(x) (x 3 5)(x 3 5)(x 3) (x 6x 4)(x 3 )

La suma de sus coeficientes2p(1) (1 6(1) 4)( 1 3) 2.

Rpta.: B

TrigonometraEJERCICIOS DE LA SEMANA N 9

1. Determine el equivalente de la expresin3 3cos x sen x

2tg2x.sen x cos x

A) 3tg4x B) 4ctg4x C) ctg4x D) tg3x E) 1

Solucin:3 3 4 4cos x sen x cos x sen x

2tg2x 2tg2xsen x cos x senx.cos x

cos2x1

2 2 2 2

ctg2x

cos x sen x cos x sen x2tg2x

senx.cos x

cos2x2 2tg2x

sen2x4ctg4x.

Rpta.: B


40/96



2. Determine el valor de la expresin2 48cos .sen4 tg4 .cos4 8cos .sen4

.sen8

A)1

2 B) 1 C)

1

2 D) 1 E) 0

Solucin:

4 22 4

2 2

sen4 8cos 8cos 18cos .sen4 tg4 .cos4 8cos .sen4

sen8 2sen4 .cos4

8cos cos 1 1

2cos4

2 2

2

1 8sen .cos

2cos4

1 2sen 2

2cos4

1 .

2

Rpta.: A

3. Simplifique la expresin

2 o 3

2 2

sec 60 2cos .sen sen .cos8 8 8 8

.

1 8sen .cos8 8

A)4

ctg

B)2

ctg

C)4

tg

D)2

tg

E)4

2tg

Solucin:

2 3 2

2 2 2 2

sec 60 2cos .sen sen .cos 2 2cos 1 2cos .sen8 8 8 8 8 8 8

1 8sen .cos 1 2 4sen .cos8 8 8 8

2

2cos sen4 4

1 2sen4

tg2

Rpta.: D

4. Simplifique la expresin o 3 o o 3 o4cos15 .sen 5 4sen15 .cos 5 .

A) o3cos20 B) o3cos15 C) o3sen20 D) o3sen15 E) o3sen10


41/96



Solucin:

3 o o 3 o o

o o o o o o

o o o o

o

E 4sen 5 cos15 4cos 5 sen15

E 3sen5 sen15 cos15 3cos5 cos15 sen15

E 3 sen5 cos15 cos5 sen15

E 3sen20 .

Rpta.: C5. Si 2m 2mcos2 sen4 , calcule el valor de la expresin 3 2mtg tg mtg .

A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2

Solucin:

22m 1 cos2 2cos2 sen2 m 2sen 2sen cos cos2 m ctg cos2 .

Luego,

3 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

m tg tg tg mtg tg 1 tg

cos2 ctg tg sec tg

cos2 sec tg

2cos 1 sec sec 1

2 2 2 2 2cos sec sec sec 1

1.

Rpta.: B

6. Simplifique la expresin4 o 2 o

2 o 4 o

tg 20 tg 20 12.

4 11tg 20 3tg 20

A) o1

702

tg B)o3tg20 C)

o3tg70

D) o3tg20

3 E)

o3tg70

Solucin:

2 o 2 o4 o 2 o

2 o 4 o 2 o 2 o

2 o

2 o

o 3 oo

2 o

tg 20 3 tg 20 4tg 20 tg 20 124 11tg 20 3tg 20 3tg 20 1 tg 20 4

3 tg 20

1 3tg 20

3tg20 tg 20 ctg20 .

1 3tg 20

o o

o

o

ctg20 .tg60

3ctg20

3tg70 .

Rpta.: C


42/96



7. Si 2 x

2senx 3 6cos ,2

calcule el valor de sec 2x 1 sen2x .

A)1

5 B) 2 C) 5 D) 5 E)

2

5

Solucin:2 x 32senx 3 2cos 1 2senx 3cosx tgx

2 2

As:sec 2x(1 sen2x) sec 2x tg2x

csc( 2x) ctg( 2x)2 2

ctg( x)4

1 tg tgx145

tg tgx4

Rpta.: A

8. Con la informacin dada en la figura, calcule 2cos2x.

A)n m

n m

B)n m

n m

C)n m

m

D)n m

m

E)n m

2m

Solucin:

m

tgx tg3xn

tg3x n

tgx m

2cos2x 1 n

2cos 2x 1 m

m n2cos2x .

n m

Rpta.: B

mtg3x


43/96



9. Determine el valor que debe tomar A para que se cumpla la igualdad1 sen2 cos2 sen2

.1 sen2 cos2 1 A

A) sec2 B) ctg2 C) sen2 D) cos2 E) tg2

Solucin:

2

2

1 sen2 cos2 1 cos2 sen2

1 sen2 cos2 1 cos2 sen2

2sen 2sen cos

2cos 2sen cos

2sen sen cos

2cos sen cos

sentgcos

2

sen2 2sen cos sen 2cos 1tg

1 A 1 A cos 1 A cos

A 2cos 1

A cos2 .

Rpta.: D

10. Calcule el valor de la expresin:

2

2tgx1 sen2x 1 sen2x cosx ,

1 tg x

5

x , .4

A) 2sen2x B)2

sen x C) 1 D) 1 E) 0

Solucin:

2

2 2

2tgxE 1 sen2x 1 sen2x cosx

1 tg x

E senx cosx senx cosx cosx sen2x


Como:5

x , senx cosx senx cosx; senx cosx senx cosx4

Luego,


E 2senx.cosx sen2x

E sen2x sen2x

E 0.

Rpta.: E


44/96



EVALUACIN N 9

1. Calcule el valor de la expresino o o

o

sen20 .cos40 .sen70.

2cos10

A) 2 B) 1 C)1

2 D)

1

4 E)

1

8

Solucin:o o o o o o

o o

o o o

o o

o o

o o

sen20 cos40 sen70 sen20 .cos40 .sen70

2cos10 2sen80

sen20 .cos40 .sen70

4sen40 .cos40

sen20 .cos20

8sen20 .cos20

1

.8

Rpta.: E

2. Simplifique la expresin2

sen 6x cos8x 1.

cos8x cos3

A) 2sec x B)22cos x C)

2cos 2x D)

22sen 2x E)

2sen 2x

Solucin:

2 2

2

sen 6x cos8x 1 2sen 6x 2cos8x 2

H 2cos8x 1cos8x cos

3

2cos8x 1 1 2sen 6x

2cos8x 1

cos12x 1

2cos8x 1

2

1 cos4x

2sen 2x

Rpta.: D

3. Si6 6

o

4 4

sen cossen150 ,

sen cos

halle cos8 .

A)3

2 B)

1

4 C) 1 D)

1

2 E)

3

4


45/96



Solucin:

6 6

4 4

22

5 3cos4

sen cos 18sen150

3 cos4sen cos 2

4

5 3cos4 3 cos4

cos4 1

cos8 2cos 4 1 2 1 1 1

cos8 1.

Rpta.: C

4. Simplifique la expresin csc2 .cos8 sec 2 .sen8 cos2 .ctg2 .

A) sen2

B) 3sen2

C) sen

D) 3sen2 E) sen2

Solucin:3

3

cos8 .cos2 sen8 .sen2 cos 2csc2 .cos8 sec 2 .sen8 cos2 .ctg2

sen2 .cos2

cos6 cos 2

sen2 .cos2

3 3

3

2

2

4cos 2 3cos2 cos 2

sen2 .cos2

3cos 2 3cos2

sen2 .cos2

3cos2 cos 2 1

sen2 .cos2

3 sen 2

sen2

3sen2

Rpta.: B

5. Si tg6x 9tg2x,

determine el valor de la expresin 32cos8x.A) 7 B) 14 C) 8 D) 7 E) 6

Solucin:3

2 2 2

2

3tg2x tg 2x9tg2x 3 tg 2x 9 27tg 2x 26tg 2x 6

1 3tg 2x

As:

2 2 5

13 2sen 2x 3 2cos 2x 13 1 cos4x 3 1 cos4x cos4x8


46/96



Luego,

2 50 50 64 14 7cos8x 2cos 4x 1 1

64 64 64 32

32cos8x 7.

Rpta.: D

GeometraEJERCICIOS DE LA SEMANA N 9

1. En un tringulo rectngulo ABC se trazan la altura BH y la mediatriz de BH que

intersecta a BC en P. Si AB = 4 cm, halle AP2HP2.

A) 16 cm2 B) 4 cm2 C) 8 cm2 D) 12 cm2 E) 32 cm2

Solucin:

1) Sea: x = AP2HP2

2) ABP: Pitgoras42+ HP2= AP2

x = 16 cm2

Rpta.: A

2. En la figura, BQ = 1 cm y QC = 2 cm. Halle HR.

A) 6 cm B)6

2cm

C)6

12cm D)

6

6cm

E)6

3cm

Solucin:

1) BH// QR : Thales

RC = 2x

2) HQC:

22= 2x(3x)

6x =

3cm

Rpta.: E

A

B

CH

Q

R

A

B

CH

PQ4

A

B

CH

Q

Rx

1

2

2x


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solucionario semana n 9 pre san marcos ordinario 2015-ii

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