solucion guia logica completa

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Universidad de la Frontera Facultad de Ingenier´ ıa, Ciencias y Administraci´ on. TEMUCO, Marzo 26 de 2013 Departamento de Matem´ atica y Estad´ ıstica Resoluci´ on Gu´ ıa de Trabajo. L´ ogica. Fundamentos de Matem´ aticas. Profesores: P. Valenzuela - A. Sep´ ulveda - A. Parra - L. Sandoval - J. Molina - E. Milman - M. Choquehuanca - H. Soto - E. Henr´ ıquez. Ayudante: Pablo Atu´ an. 1. Simbolizar, sustituyendo las proposiciones b´ asicas por letras may´ usculas. (a) Si x 6= y, entonces x 6=1y x 6= z (b) Si x = y, entonces x =2 (c) Si x + y = 3, entonces y +3=3 (d) x + y =2y z =1 (e) Si x - y = 2, entonces y - x 6=2 (f) x + y =2´ o x + y =0 (g) Si x 6= y e y 6= z , entonces x>z (h) Si x 6= 2, entonces y> 1 (i) Si x 6=0´ o x 6= 3, entonces x =1 (j) Si x + y>z y z = 1, entonces x + y> 1 Soluci´on: (a) Sea P laproposici´on x 6= y, sea Q laproposici´on x 6=1 y sea R laproposici´on x 6= z . Entonces la proposici´ongeneralser´ ıa P -→ (Q R). (b) Sea P laproposici´on x = y y sea Q laproposici´on x =2. Entonces la proposici´on general ser´ ıa P -→ Q. (c) Sea P la proposici´ on x + y =3 y sea Q la proposici´ on y +3=3. Entonces la proposici´on general ser´ ıa P -→ Q. (d) Sea P laproposici´on x + y =2 y sea Q laproposici´on z =1. Entonces la proposici´on general ser´ ıa P Q. (e) Sea R laproposici´on x - y =2 y sea S laproposici´on y - x 6=2. Entonces la proposici´on general ser´ ıa R -→ S . (f) Sea A laproposici´on x + y =2 y sea B laproposici´on x + y =0. Entonces la proposici´on general ser´ ıa A B. (g) Sea H laproposici´on x 6= y, sea J laproposici´on y 6= z y sea K laproposici´on x>z . Entonces la proposici´ongeneralser´ ıa (H J ) -→ K. (h) Sea X laproposici´on x 6=2 y sea Y laproposici´on y> 1. Entonces la proposici´on general ser´ ıa X -→ Y . (i) Sea P laproposici´on x 6=0, sea Q laproposici´on x 6=3 y sea R laproposici´on x =1. Entonces la proposici´ongeneralser´ ıa (P Q) -→ R. (j) Sea D laproposici´on x + y>z , sea S laproposici´on z =1 y sea M laproposici´on x + y> 1. Entonces la proposici´on general ser´ ıa (D S ) -→ M . 1

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Page 1: Solucion Guia Logica Completa

Universidad de la FronteraFacultad de Ingenierıa, Ciencias y Administracion. TEMUCO, Marzo 26 de 2013

Departamento de Matematica y Estadıstica

Resolucion Guıa de Trabajo. Logica.

Fundamentos de Matematicas.Profesores: P. Valenzuela - A. Sepulveda - A. Parra - L. Sandoval - J. Molina - E. Milman -

M. Choquehuanca - H. Soto - E. Henrıquez.Ayudante: Pablo Atuan.

1. Simbolizar, sustituyendo las proposiciones basicas por letras mayusculas.

(a) Si x 6= y, entonces x 6= 1 y x 6= z

(b) Si x = y, entonces x = 2

(c) Si x + y = 3, entonces y + 3 = 3

(d) x + y = 2 y z = 1

(e) Si x− y = 2, entonces y − x 6= 2

(f) x + y = 2 o x + y = 0

(g) Si x 6= y e y 6= z, entonces x > z

(h) Si x 6= 2, entonces y > 1

(i) Si x 6= 0 o x 6= 3, entonces x = 1

(j) Si x + y > z y z = 1, entonces x + y > 1

Solucion:

(a) Sea P la proposicion x 6= y, sea Q la proposicion x 6= 1 y sea R la proposicion x 6= z. Entonces laproposicion general serıa P −→ (Q ∧R).

(b) Sea P la proposicion x = y y sea Q la proposicion x = 2. Entonces la proposicion general serıaP −→ Q.

(c) Sea P la proposicion x + y = 3 y sea Q la proposicion y + 3 = 3. Entonces la proposicion generalserıa P −→ Q.

(d) Sea P la proposicion x + y = 2 y sea Q la proposicion z = 1. Entonces la proposicion general serıaP ∧Q.

(e) Sea R la proposicion x − y = 2 y sea S la proposicion y − x 6= 2. Entonces la proposicion generalserıa R −→ S.

(f) Sea A la proposicion x + y = 2 y sea B la proposicion x + y = 0. Entonces la proposicion generalserıa A ∨B.

(g) Sea H la proposicion x 6= y, sea J la proposicion y 6= z y sea K la proposicion x > z. Entonces laproposicion general serıa (H ∧ J) −→ K.

(h) Sea X la proposicion x 6= 2 y sea Y la proposicion y > 1. Entonces la proposicion general serıaX −→ Y .

(i) Sea P la proposicion x 6= 0, sea Q la proposicion x 6= 3 y sea R la proposicion x = 1. Entonces laproposicion general serıa (P ∨Q) −→ R.

(j) Sea D la proposicion x + y > z, sea S la proposicion z = 1 y sea M la proposicion x + y > 1.Entonces la proposicion general serıa (D ∧ S) −→M .

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Page 2: Solucion Guia Logica Completa

2. Formar dos proposiciones compuestas con las frases que se entregan a continuacion. Expresarlas sim-bolizadas.

(a) ”ven pronto”

(b) ”No quiero estar contigo”

(c) ”olvidate”

(d) ”Tengo planes para manana”

Solucion: Dos proposiciones compuestas pueden ser: ”Si no tengo planes para manana entonces quieroestar contigo” y ”Tengo planes para manana y no quiero estar contigo”.

3. Senalar los terminos de enlace y luego simbolizar cada una de las proposiciones siguientes.

(a) No es la hora y la clase de matematica no termina.

(b) Si no estamos en primera fila, entonces no se entiende la clase.

(c) Si dos numeros no son iguales, entonces uno es mayor que el otro.

(d) x < 5 siempre que x sea negativo.

Solucion:

(a) Sea P la proposicion ”es la hora” y Q la proposicion ”la clase de matematica termina”. Entonces segunel enunciado los Enlaces serıan ”No”, ”Y” y nuevamente ”No”. Por lo tanto llevandolo a un lenguajesimbolico la proposicion general serıa ¬P ∧ ¬Q.

(b) Sea M la proposicion ”estamos en primera fila” y sea L la proposicion ”se entiende la clase”. En-tonces segun el enunciado los enlaces serıan ”Si...,Entonces...”, ”No” y nuevamente ”No”. Por lo tantollevandolo a un lenguaje simbolico la proposicion general serıa ¬M −→ ¬L.

(c) Sea A la proposicion ”dos numeros son iguales” y sea B la proposicion ”uno es mayor que el otro”.Entonces segun el enunciado los enlaces serıan ”Si..., Entonces...”, ”No”. Por lo tanto llevandolo a unlenguaje simbolico la proposicion general serıa ¬A −→ B.

(d) Sea P la proposicion x < 5 y sea Q la proposicion x es negativo. Entonces segun el enunciado, los enlacesserıan ”siempre que”. El enlace ”siempre que” se puede considerar un equivalente a ”Si..., Entonces...”.Por lo tanto llevandolo a un lenguaje simbolico la proposicion general serıa P −→ Q.

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Page 3: Solucion Guia Logica Completa

4. Simbolizar cada una de las siguientes proposiciones.

(a) Tienes exito solo si aprecias la opinion de los demas.

(b) Si x = 1 o y = 2, entonces z = 3.

(c) Todo trabajo es noble.

(d) No es cierto que 1 = 0.

(e) O es y = 0 y x 6= 0 o z = 2.

(f) Si x 6= 2 entonces y > 1.

(g) Si x 6= 2 o x 6= 3 entonces x = 1.

(h) Si x 6= y y y 6= z entonces x 6= z.

(i) Si x + y > z y z = 1 entonces x + y > 1.

(j) Si yo y Juan sabemos logica, entonces o tenemos un 7 en la prueba o la prueba esta super difıcil.

(k) Si x es menor que dos, entonces x es igual a uno o x es igual a cero.

(l) Si a la ves x es menor que tres y x es mayor que uno entonces x es igual a dos.

(m) y = 4 y si x < y entonces x < 5.

(n) O x es mayor que cinco y x es menor que siete o no es igual a seis.

(o) Si x + 3 > 5 y y − 4 > x entonces y > 6.

Solucion:

(a) Sea P la proposicion ”Tendras exito” y sea Q la proposicion ”Apreciar la opinion de los demas”. Dadoque el conectivo logico ”Solo sı” es equivalente a ”Si..., Entonces...” se sigue que la proposicion serıa ”Siaprecias la opinion de los demas, entonces tendras exito”. Por lo tanto la solucion serıa Q −→ P .

(b) Asignandole a P , Q y S las proposiciones x = 1, y = 2 y z = 3 respectivamente, la proposicion generalserıa (P ∨Q) −→ S.

(c) Sea P la proposicion ”Todo trabajo es noble”. Entonces la proposicion general serıa P .

(d) Sea M la proposicion ”Es cierto que 1 = 0. Entonces como la proposicion general esta negada, esta serıa¬M .

(e) Sea A, B y C las proposiciones y = 0, x 6= 0 y z = 2 respectivamente. Entonces la proposicion generalserıa (A ∧B) ∨ C.

(f) Sea H la proposicion x 6= 2 y sea K la proposicion y > 1. Entonces la proposicion general esta dada porH −→ K.

(g) Sea Z la proposicion x 6= 2, sea Y la proposicion x 6= 3 y sea W la proposicion x = 1. Entonces laproposicion general serıa (Z ∨ Y ) −→W .

(h) Sea U la proposicion x 6= y, sea V la proposicion y 6= z y sea W la proposicion x 6= z. Entonces laproposicion general serıa (U ∧ V ) −→W .

(i) Sea P la proposicion x + y > z, sea Q la proposicion z = 1 y sea R la proposicion x + y > 1. Entoncesla proposicion general serıa (P ∧Q) −→ R.

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Page 4: Solucion Guia Logica Completa

(j) Sea P la proposicion ”Yo y Juan sabemos Logica” , sea Q la proposicion ”tenemos un 7” y sea S laproposicion ”la prueba esta super difıcil”. Entonces la proposicion general serıa P −→ (Q ∨ S).

(k) Sea A, B y C las proposiciones x < 2, x = 1 y x = 0 respectivamente. Entonces la proposicion generalserıa A −→ (B ∨ C).

(l) Sea P , Q y R las proposiciones x < 3, x > 1 y x = 2 respectivamente. Entonces la proposicion generalserıa (P ∧Q) −→ R.

(m) Sea A, B y C las proposiciones y = 4, x < y y x < 5 respectivamente. Entonces la proposicion generalserıa A ∧ (B −→ C).

(n) Sea W , Y y Z las proposiciones x > 5, x < 7 y x 6= 6 respectivamente. Entonces la proposicion generalserıa (W ∧ Y ) ∨ Z.

(o) Sea P , Q y R las proposiciones x + 3 > 5, y − 4 > x y y > 6 respectivamente. Entonces la proposiciongeneral serıa (P ∧Q) −→ R.

5. Escribir en lenguaje formal la negacion de las siguientes proposiciones:

(a) x es un numero entero mayor que 3 o menor que 2.

(b) La figura representa o bien un triangulo o bien un cuadrado, pero no un rectangulo o un rombo.

(c) No se aceptan cambios ni devoluciones.

(d) Hay numeros pares divisibles por 3.

(e) Toda ecuacion de segundo grado tiene dos soluciones reales distintas o bien dos soluciones complejasconjugadas.

Solucion:

(a) Sean las proposiciones p: x es un numero mayor que 3, q: x es un numero menor que 2 y r: x esun numero entero, entonces la proposicion compuesta queda escrita como (p ∧ r) ∨ (q ∧ r). Luego,su negacion es ¬r ∨ (¬ ∧ ¬q).

(b) Sean las proposiciones p1: La figura representa un triangulo, p2: La figura representa un cuadrado,p3: La figura representa un rectangulo y p4: La figura representa un rombo. Entonces la proposicioncompuesta que escrita como (p1Yp2)∧¬(p3∨p4). Luego, su negacion es (¬p1∧¬p2)∨(p1∧p2)∨p3∨p4.

(c) Sean las proposiciones r: Se aceptan cambios y s: Se aceptan devoluciones, entonces la proposicioncompuesta queda escrita como r Z s. Luego, su negacion es ¬r ∧ ¬s.

(d) Sean las proposiciones p: Hay numeros pares y q: Hay numeros divisibles por 3, entonces laproposicion compuesta queda escrita como ¬(p ∧ q). Luego, su negacion es ¬p ∨ ¬q.

(e) Sean las proposiciones p: Toda ecuacion de 2do grado tiene dos soluciones reales distintas, q: Toda

ecuacion de 2do grado tiene dos soluciones complejas conjugadas, entonces la proposicion compuestaqueda escrita como ¬(p Y q). Luego, su negacion es (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q).

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Page 5: Solucion Guia Logica Completa

6. Anadir parentesis necesario, para que la proposicion dada corresponda al tipo de proposicion senalada:

Solucion:

(a) Negacion: ¬(P → R)

(b) Conjuncion: (P ∨Q) ∧R

(c) Condicional: (¬P )→ R

(d) Negacion: ¬(P ∧Q)

(e) Conjuncion: (¬P ) ∧ (¬R)

(f) Conjuncion: (¬P ) ∧Q

(g) Negacion: ¬(R ∧ T )

(h) Condicional: (P ∧Q)→ R

(i) Condicional: (¬P )→ (¬Q)

(j) Negacion: ¬(P ∨ ¬R)

(k) Negacion: ¬(P → ¬Q)

(l) Disjuncion: (P → Q) ∨R

(m) Disjuncion: (¬Q) ∨ (¬R)

(n) Condicional: (¬P )→ (¬R)

(o) Negacion: ¬(T ∨ S)

(p) Disjuncion: P ∨ (Q ∧R)

(q) Conjuncion: (¬S) ∧ (¬Q)

(r) Negacion: ¬(P → Q)

(s) Negacion: ¬(R→ S)

(t) Conjuncion: P ∧ (Q→ R)

7. Relacionar cada termino de la izquierda con solo uno de la derecha.

Solucion:

(a) Disjuncion ↪→ ¬P ∨ ¬Q.

(b) Proposicion Basica ↪→ Cualquier proposicion sin termino de enlace.

(c) Proposicion Condicional ↪→ P −→ Q.

(d) Proposicion Compuesta ↪→ Cualquier proposicion con un termino de enlace.

(e) Antecedente ↪→ P en P −→ Q.

(f) Consecuente ↪→ Q en la proposicion P −→ Q.

(g) Conjuncion ↪→ P ∧Q.

(h) Negacion ¬(P ∧Q)

8. Sean p ”tengo un loro” y q ”tengo un gato”, simplificar y luego escribir en lenguaje corriente

¬(¬p ∨ ¬(¬q)) ∧ ¬(¬p)

Solucion: Desarrollando y aplicando propiedades se tiene que:

¬ (¬p ∨ ¬ (¬q)) ∧ ¬ (¬p) = ¬ (¬p ∨ q) ∧ p

= (p ∧ ¬q) ∧ p

= p ∧ ¬q

Lo cual en el lenguaje comun es ”Tengo un loro y no tengo un gato”.

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Page 6: Solucion Guia Logica Completa

9. Escribir la recıproca, la contrarrecıproca y la inversa de cada una de las siguientes imlicaciones:

(a) Si 4 es par entonces 1 > 0

(b) 2 + 3 = 5 si 1 + 1 < 3

(c) Si 4 es impar entonces 1 > 0

(d) Si 1 + 1 < 3 entonces 2 = 4

Solucion: Haremos un listado de cada una de ellas, como sigue:

• Recıproca.

(a) Si 1 > 0 entonces 4 es par.

(b) Si 1 + 1 < 3 entonces 2 + 3 = 5.

(c) Si 1 > 0 entonces 4 es impar.

(d) Si 2 = 4 entonces 1 + 1 < 3.

• Contrarrecıproca.

(a) Si 1 ≤ 0 entonces 4 es impar.

(b) Si 1 + 1 ≥ 3 entonces 2 + 3 6= 5.

(c) Si 1 ≤ 0 entonces 4 es par.

(d) Si 2 6= 4 entonces 1 + 1 ≥ 3.

• Inversa.

(a) Si 4 es impar entonces 1 ≤ 0.

(b) Si 2 + 3 6= 5 entonces 1 + 1 ≥ 3.

(c) Si 4 es par entonces 1 ≤ 0.

(d) Si 1 + 1 ≥ 3 entonces 2 6= 4.

10. Determinar los valores de verdad de las siguientes proposiciones compuestas.

(a) Si 2 + 2 = 4 entonces 2 + 4 = 8.

(b) Si 2 + 2 = 5 entonces 2 + 4 = 8.

(c) Si 2 + 2 = 4 entonces 2 + 4 = 6.

(d) Si 2 + 2 = 5 entonces 2 + 4 = 6.

Solucion:

a) Falso.

b) Verdadero.

c) Verdadero.

d) Verdadero.

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Page 7: Solucion Guia Logica Completa

11. Suponiendo que p −→ q es falso, indica los valores de verdad para

(a) p ∧ q (b) p ∨ q (c) q −→ p

Solucion: Dado que p −→ q es falso (por enunciado). Existen dos maneras para determinar el valorde verdad de p y q. El primero serıa por tabla de la verdad del conectivo logico entonces (−→), el cualnos demuestra que con un V erdadero −→ Falso se obtiene como valor de verdad Falso por tanto p ≡ Vy q ≡ F . O bien se puede desarrollar (p −→ q) ≡ F siguiendo el mismo razonamiento. Luego:

a) p ∧ q. Falso

b) p ∨ q. Verdadero

c) q ⇒ p. Verdadero

12. Sabiendo que la proposicion compuesta (¬q)∨ (q −→ p) es falsa, indique cual es el valor de verdad de lasproposiciones p y q.

Solucion: Desarrollando tenemos que (¬q) ∨ (q ⇒ p) ≡ (¬q) ∨ (¬q ∨ p) ≡ ¬q ∨ p ≡ F .

Por lo tanto ¬q ≡ Falso y p ≡ Falso. ası obtenemos que q ≡ Verdadero y p ≡ Falso.

13. Indicar para que valores de verdad de p y q resulta verdadera la proposicion compuesta

(p −→ q) ∧ (¬q −→ p)

.

Solucion: Desarrollando la proposicion compuesta tenemos que:

(p⇒ q) ∧ (¬q ⇒ p) ≡ (¬p ∨ q) ∧ (q ∨ p)

≡ q ∨ (¬p ∧ p)

≡ q ∨ F

≡ q

Por lo tanto para que la proposicion compuesta original resulte verdadera, solo depende del valor de verdadde q. por ello p puede tomar cualquier valor de verdad (sea verdadero o falso) y q solamente puede serVerdadero.

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Page 8: Solucion Guia Logica Completa

14. Demostrar los siguientes enunciados. (No olvide RAA).

(a) Demuestre ¬T

(1) T −→ P ∧ S(2) Q −→ ¬P(3) R −→ ¬S(4) R ∨Q

Solucion:

(1) T −→ P ∧ S(2) Q −→ ¬P(3) R −→ ¬S(4) R ∨Q(5) ¬R −→ Q(6) ¬R −→ ¬P ∧ S(7) P −→ R(8) P −→ ¬S(9) S(10) ¬P(11) T −→ P(12) ¬T

PremisaPremisaPremisaPremisaT.L 23 (4)Silogismo Hipotetico (2,5)Contra Recıproco de (6)Silogismo Hipotetico (3,7)Simplificacion (1)Modus Tolens (8,9)Simplificacion (1)Modus Tolens (8,9)

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Page 9: Solucion Guia Logica Completa

(b) Demuestre T

(1) P ∨ ¬R(2) ¬R −→ S(3) P −→ T(4) ¬S

Solucion:

(1) P ∨ ¬R(2) ¬R −→ S(3) P −→ T(4) ¬S(5) ¬S −→ R(6) R(7) R −→ P(8) P(9) T

PremisaPremisaPremisaPremisaC.R (2)Modus Ponens (4,5)T.L 23 (6)Modus Ponens (6,7)Modus Ponens (3,8)

(c) Demuestre D

(1) ¬A −→ B(2) C −→ B(3) C ∨ ¬A(4) ¬B ∨D

Solucion:

(1) ¬A −→ B(2) C −→ B(3) C ∨ ¬A(4) ¬B ∨D(5) B −→ D(6) ¬C −→ ¬A(7) ¬C −→ B(8) B(9) D

PremisaPremisaPremisaPremisaT.L 23 (4)T.L 23 (3)Silogismo Hipotetico (1,6)Demostracion por casos (2,7)Modus Ponens (5,8)

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Page 10: Solucion Guia Logica Completa

(d) Demuestre ¬ (x = 5 ∧ y = 4)

(1) y 6= 3(2) x + y = 8 −→ y = 3(3) x + y = 8 ∨ x 6= 5

Solucion:

(1) y 6= 3(2) x + y = 8 −→ y = 3(3) x + y = 8 ∨ x 6= 5(4) y 6= 3 −→ x + y 6= 8(5) x + y 6= 8(6) x 6= 8(7) x 6= 5 ∨ y 6= 4(8) ¬ (x = 5 ∧ y = 4)

PremisaPremisaPremisaContra Recıproco de (2)Modus Ponens (1,4)Silogismo disyuntivo (3,5)Ley de Adicion en (6)Ley de De Morgan en (7)

(e) Demuestre y = 2 ∨ x > y

(1) ¬(y > 5 ∧ x 6= 6)(2) x = 6 −→ x > y(3) y ≤ 5 −→ x > y

Solucion:

(1) ¬(y > 5 ∧ x 6= 6)(2) x = 6 −→ x > y(3) y ≤ 5 −→ x > y(4) y ≤ 5 ∨ x = 6(5) (x = 6 ∨ y ≤ 5) −→ x > y(6) x > y(7) y = 2 ∨ x > y

PremisaPremisaPremisaT.L (1)Demostracion por casos (2,3)Modus Ponens (4,5)Ley de Adicion en (6)

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Page 11: Solucion Guia Logica Completa

(f) Demuestre ¬(x = 2 ∨ y < 5)

(1) ¬(y − x = 2 ∨ x + y ≤ 8)(2) ¬(x > y ∨ y < 5)(3) x = 2 −→ x + y ≤ 8

Solucion:

(1) ¬(y − x = 2 ∨ x + y ≤ 8)(2) ¬(x > y ∨ y < 5)(3) x = 2 −→ x + y ≤ 8(4) x ≤ y ∧ y ≥ 5(5) y − x 6= 2 ∧ x + y ≤ 8(6) x 6= 2 ∨ x + y ≤ 8(7) x + y > 8(8) y ≥ 5(9) x + y > 8 −→ x 6= 2(10) x 6= 2(11) x 6= 2 ∧ y ≤ 5(12) ¬(x = 2 ∨ y < 5)

PremisaPremisaPremisaLey de De Morgan en (2)Ley de De Morgan en (1)T.L 23 (3)Simplificacion (5)Simplificacion (4)T.L 23 (6)Modus Ponens (7,9)Regla de Conjuncion (8,10)Ley de De Morgan en (11)

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Page 12: Solucion Guia Logica Completa

(g) Demuestre ¬P

(1) R −→ ¬P(2) (R ∧ S) ∨ T(3) T −→ (Q ∨ U)(4) ¬Q ∧ ¬U

Solucion:

(1) R −→ ¬P(2) (R ∧ S) ∨ T(3) T −→ (Q ∨ U)(4) ¬Q ∧ ¬U(5) ¬(Q ∨ U)(6) ¬T(7) ¬T −→ (R ∧ S)(8) R ∧ S(9) R(10) ¬P

PremisaPremisaPremisaPremisaLey de De Morgan en (4)Tollendo Tolens (3,5)(2)Modus Ponens (6,7)Simplificacion (8)Modus Ponens (1,9)

(h) Demuestre ¬Q ∧ S

(1) S ∧ ¬R(2) R ∨ ¬T(3) Q −→ T

Solucion:

(1) S ∧ ¬R(2) R ∨ ¬T(3) Q −→ T(4) S(5) ¬T −→ ¬Q(6) ¬R −→ ¬T(7) ¬R −→ ¬Q(8) ¬R(9) ¬Q(10) ¬Q ∧ S

PremisaPremisaPremisaSimplificacion (1)Contra Recıproco de (3)Contra Recıproco de (2)Silogismo Hipotetico (5,6)Simplificacion (1)Modus Ponens (7,8)Regla de Conjuncion (4,9)

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Page 13: Solucion Guia Logica Completa

(i) Demuestre R ∧Q

(1) P ∨Q(2) S −→ Q ∧R(3) P −→ S(4) Q −→ S

Solucion:

(1) P ∨Q(2) S −→ Q ∧R(3) P −→ S(4) Q −→ S(5) (P ∨Q) −→ S(6) S(7) Q ∧R

PremisaPremisaPremisaPremisaDemostracion por Casos (3,4)Modus Ponens (1,5)Modus Ponens (2,6)

(j) Demuestre G ∨ ¬H

(1) E ∨ F −→ ¬H(2) J −→ E(3) K −→ F(4) J ∨K

Solucion:

(1) E ∨ F −→ ¬H(2) J −→ E(3) K −→ F(4) J ∨K(5) E ∨ F(6) ¬H(7) G ∨ ¬H

PremisaPremisaPremisaPremisaSilogismo Disyuntivo (2,3,4)Modus Ponens (1,5)Adicion (6)

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Page 14: Solucion Guia Logica Completa

(k) Demuestre x = 1

(1) ¬(z < 3 ∨ x > y) ∧ y = 2(2) x ≥ y ∨ x = 1(3) x > z −→ x > y(4) x ≤ z −→ x < y

Solucion:

(1) ¬(z < 3 ∨ x > y) ∧ y = 2(2) x ≥ y ∨ x = 1(3) x > z −→ x > y(4) x ≤ z −→ x < y(5) z ≥ 3 ∧ x ≤ y ∧ y = 2(6) x < y −→ x = 1(7) x ≤ z −→ x = 1(8) x ≤ y(9) x ≤ y −→ x ≤ z(10) x ≤ z(11) x = 1

PremisaPremisaPremisaPremisaLey de De Morgan en (1)(2)Silogismo Hipotetico (4,6)Simplificacion (5)Contra Recıproco de (3)Modus Ponens (8,9)Modus Ponens (7,10)

(l) Demuestre ¬P

(1) ¬(P ∧Q)(2) P −→ R(3) Q ∨ ¬R

Solucion:

(1) ¬(P ∧Q)(2) P −→ R(3) Q ∨ ¬R(4) ¬P ∨ ¬Q(5) R −→ Q(6) P −→ Q(7) ¬P ∨Q(8) ¬P ∨ (Q ∧ ¬Q)(9) ¬P

PremisaPremisaPremisaLey de De Morgan en (1)(3)Silogismo Hipotetico (2,5)(6)Distribucion (4,7)(8)

14

Page 15: Solucion Guia Logica Completa

(m) Demuestre S

(1) P −→ Q(2) Q −→ ¬R(3) R(4) P ∨ (T ∧ S)

Solucion:

(1) P −→ Q(2) Q −→ ¬R(3) R(4) P ∨ (T ∧ S)(5) P −→ ¬R(6) ¬P(7) ¬P −→ (T ∧ S)(8) T ∧ S(9) S

PremisaPremisaPremisaPremisaSilogismo Hipotetico (1,2)Modus Tolens (3,5)(4)Modus Ponens (6,7)Simplificacion (8)

(n) Demuestre ¬T

(1) P ∨Q(2) T −→ ¬P(3) ¬(Q ∨R)

Solucion:

(1) P ∨Q(2) T −→ ¬P(3) ¬(Q ∨R)(4) ¬P −→ Q(5) T −→ Q(6) ¬Q ∧ ¬R(7) ¬Q(8) ¬T

PremisaPremisaPremisa(1)Silogismo Hipotetico (2,4)Ley de De Morgan en (3)Simplificacion (6)Tollendo Tolens (5,7)

15

Page 16: Solucion Guia Logica Completa

(o) Demuestre ¬T

(1) T −→ ¬S(2) F −→ ¬T(3) S ∨ F

Solucion:

(1) T −→ ¬S(2) F −→ ¬T(3) S ∨ F(4) ¬S −→ F(5) T −→ F(6) T −→ ¬T(7) ¬T

PremisaPremisaPremisa(3)Silogismo Hipotetico (1,4)Silogismo Hipotetico (2,5)

(p) Demuestre R

(1) ¬(P ∧Q)(2) ¬R −→ Q(3) ¬P −→ R

Solucion:

(1) ¬(P ∧Q)(2) ¬R −→ Q(3) ¬P −→ R(4) ¬P ∨ ¬Q(5) Q −→ ¬P(6) ¬R −→ ¬P(7) ¬R −→ R(8) R

PremisaPremisaPremisaLey de De Morgan en (1)(4)Silogismo Hipotetico (2,5)Silogismo Hipotetico (3,6)(7)

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Page 17: Solucion Guia Logica Completa

(q) Demuestre ¬(T ∨ S)

(1) ¬R ∨ ¬B(2) T ∨ S −→ R(3) B ∨ ¬S(4) ¬T

Solucion:

(1) ¬R ∨ ¬B(2) T ∨ S −→ R(3) B ∨ ¬S(4) ¬T(5) R −→ ¬B(6) ¬B −→ ¬S(7) R −→ ¬S(8) T ∨ S −→ ¬S(9) ¬S(10) ¬T ∧ ¬S(11) ¬(T ∨ S)

PremisaPremisaPremisaPremisa(1)(3)Silogismo Hipotetico (5,6)Silogismo Hipotetico (2,7)

Regla de Adjuncion (4,9)Ley de De Morgan (10)

(r) Demuestre ¬P

(1) P −→ ¬S(2) S ∨ ¬R(3) ¬(T ∨ ¬R)

Solucion:

(1) P −→ ¬S(2) S ∨ ¬R(3) ¬(T ∨ ¬R)(4) ¬T ∧R(5) R(6) S −→ ¬P(7) R −→ S(8) R −→ ¬P(9) ¬P

PremisaPremisaPremisaLey de De Morgan en (3)Simplificacion (4)Contra Recıproco de (1)(2)Silogismo Hipotetico (6,7)Modus Ponens (5,8)

17

Page 18: Solucion Guia Logica Completa

(s) Demuestre ¬(A ∧D)

(1) A −→ B ∨ C(2) B −→ ¬A(3) D −→ ¬C

Solucion:

(1) A −→ B ∨ C(2) B −→ ¬A(3) D −→ ¬C(4) A ∧D(5) A(6) ¬B(7) D(8) ¬C(9) ¬C −→ (A −→ B)(10) A −→ B(11) B(12) B ∧ ¬B(13) ¬(A ∧D)

PremisaPremisaPremisaPremisa AgregadaSimplificacion (4)Tollendo Tolens (2,5)Simlificacion (4)Modus Ponens (3,7)(1)Modus Ponens (8,9)Modus Ponens (5,10)Contradiccion

(t) Demuestre ¬S ∨ ¬T

(1) ¬P −→ ¬S(2) ¬P ∨R(3) R −→ ¬T

Solucion:

(1) ¬P −→ ¬S(2) ¬P ∨R(3) R −→ ¬T(4) ¬R −→ ¬P(5) ¬R −→ ¬S(6) T −→ ¬R(7) T −→ ¬S(8) ¬S ∨ ¬T

PremisaPremisaPremisaT.L 23 (2)Silogismo Hipotetico (1,4)Contra Recıproco de (3)Silogismo Hipotetico (5,6)T.L 23 (7)

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Page 19: Solucion Guia Logica Completa

(u) Demuestre ¬E ∨M

(1) S ∨Q(2) S −→ ¬E(3) Q −→M

Solucion:

(1) S ∨Q(2) S −→ ¬E(3) Q −→M(4) ¬S −→ Q(5) E −→ ¬S(6) E −→ Q(7) E −→M(8) ¬E ∨M

PremisaPremisaPremisa(1)Contra Recıproco de (2)Silogismo Hipotetico (4,5)Silogismo Hipotetico (3,6)T.L 23 (7)

(v) Demuestre R

(1) T ∧R←→ ¬S(2) ¬S −→ T(3) ¬R −→ ¬S

Solucion:

(1) T ∧R←→ ¬S(2) ¬S −→ T(3) ¬R −→ ¬S(4) ¬R(5) ¬S(6) T(7) ¬S −→ T ∧R(8) T ∧R(9) R(10) ¬R ∧R(11) R

PremisaPremisaPremisaPremisa AgregadaModus Ponens (3,4)Modus Ponens (2,5)(1)Modus Ponens (5,7)Simplificacion (8)Contradiccion (4,9)

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Page 20: Solucion Guia Logica Completa

(w) Demuestre y > z

(1) x = y −→ x = z(2) x 6= y −→ x < z(3) x ≥ z ∨ y > z(4) y 6= z ∧ x 6= z

Solucion:

(1) x = y −→ x = z(2) x 6= y −→ x < z(3) x ≥ z ∨ y > z(4) y 6= z ∧ x 6= z(5) y 6= z(6) x 6= z(7) x 6= y ∨ x = z(8) x 6= y(9) x < z(10) y > z

PremisaPremisaPremisaPremisaSimplificacion (4)Simplificacion (4)T.L 23 (1)Tollendo Ponens (6,7)Modus Ponens (2,8)Tollendo Ponens (3,9)

(x) Demuestre P −→ S

(1) P −→ Q(2) P −→ (Q −→ R)(3) Q −→ (R −→ S)

Solucion:

(1) P −→ Q(2) P −→ (Q −→ R)(3) Q −→ (R −→ S)(4) P(5) Q(6) R −→ S(7) Q −→ R(8) R(9) S

PremisaPremisaPremisaPremisa AgregadaModus Ponens (1,4)Modus Ponens (3,5)Modus Ponens (2,4)Modus Ponens (5,7)Silogismo Hipotetico (1,7,6)

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Page 21: Solucion Guia Logica Completa

(y) Demuestre x < 5

(1) x < y ∨ x = y(2) x = y −→ y 6= 5(3) x < y ∧ y = 5 −→ x < 5(4) y = 5

Solucion:

(1) x < y ∨ x = y(2) x = y −→ y 6= 5(3) x < y ∧ y = 5 −→ x < 5(4) y = 5(5) x 6= y(6) x < y(7) x < y ∧ y = 5(8) x < 5

PremisaPremisaPremisaPremisaTollendo Tolens (2,4)Tollendo Ponens (1,5)Regla de Adjuncion (4,6)Modus Ponens (3,7)

(z) Demuestre x = 5 ∧ x 6= y

(1) x = y −→ x 6= y + 3(2) x = y + 3 ∨ x + 2 = y(3) x + y 6= 2 ∧ x = 5

Solucion:

(1) x = y −→ x 6= y + 3(2) x = y + 3 ∨ x + 2 = y(3) x + y 6= 2 ∧ x = 5(4) x 6= y ∨ x 6= y + 3(5) x + 2 6= y(6) x = 5(7) x = y + 3(8) x 6= y(9) x = 5 ∧ x 6= y

PremisaPremisaPremisaT.L 23 (1)Simplificacion (3)Simplificacion (3)Tollendo Ponens (2,5)Tollendo Tolens (1,7)Regla de Adjuncion (6,8)

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Page 22: Solucion Guia Logica Completa

(a’) Demuestre S

(1) ¬T ∨R(2) T(3) ¬S −→ ¬R

Solucion:

(1) ¬T ∨R(2) T(3) ¬S −→ ¬R(4) R(5) S

PremisaPremisaPremisaTollendo Ponens (1,2)Tollendo Tolens (3,4)

(b’) Demuestre Q ∨R

(1) S −→ ¬T(2) T(3) ¬S −→ (Q ∨R)

Solucion:

(1) S −→ ¬T(2) T(3) ¬S −→ (Q ∨R)(4) ¬S(5) Q ∨R

PremisaPremisaPremisaTollendo Tolens (1,2)Tollendo Ponens (3,4)

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Page 23: Solucion Guia Logica Completa

(c’) Demuestre ¬P

(1) P −→ Q(2) R ∨ ¬Q(3) ¬P ∨ ¬R

Solucion:

(1) P −→ Q(2) R ∨ ¬Q(3) ¬P ∨ ¬R(4) Q −→ R(5) R −→ ¬P(6) Q −→ ¬P(7) P −→ ¬P(8) ¬P

PremisaPremisaPremisa(2)(3)Silogismo Hipotetico (4,5)Silogismo Hipotetico (1,6)Idempotencia (7)

(d’) Demuestre C ∨ ¬A

(1) A −→ B(2) B −→ (C ∨D)(3) ¬D

Solucion:

(1) A −→ B(2) B −→ (C ∨D)(3) ¬D(4) A −→ (C ∨D)(5) ¬A ∨ C ∨D(6) C ∨ ¬A

PremisaPremisaPremisaSilogismo Hipotetico (1,2)T.L 23 (4)Tollendo Ponens (3,5)

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Page 24: Solucion Guia Logica Completa

(e’) Demuestre ¬R

(1) S ∨ ¬R(2) T −→ ¬S(3) T

Solucion:

(1) S ∨ ¬R(2) T −→ ¬S(3) T(4) ¬S(5) ¬R

PremisaPremisaPremisaTollendo Ponens (2,3)Tollendo Ponens (1,4)

(f’) Demuestre S

(1) T −→ R(2) ¬R(3) T ∨ S

Solucion:

(1) T −→ R(2) ¬R(3) T ∨ S(4) ¬T(5) S

PremisaPremisaPremisaTollendo Tolens (1,2)Tollendo Ponens (3,4)

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Page 25: Solucion Guia Logica Completa

(g’) Demuestre ¬T

(1) P −→ S(2) P ∧Q(3) (S ∧R) −→ ¬T(4) Q −→ R

Solucion:

(1) P −→ S(2) P ∧Q(3) (S ∧R) −→ ¬T(4) Q −→ R(5) P(6) S(7) Q(8) R(9) S ∧R(10) ¬T

PremisaPremisaPremisaPremisaSimplificacion (2)Modus Ponens (1,5)Simplificacion (2)Modus Ponens (4,7)Regla de Adjuncion (6,8)Modus Ponens (9,10)

(h’) Demuestre ¬Q

(1) T ∨ ¬S(2) S(3) Q −→ ¬T

Solucion:

(1) T ∨ ¬S(2) S(3) Q −→ ¬T(4) T(5) ¬Q

PremisaPremisaPremisaTollendo Tolens (1,2)Tollendo Ponens (3,4)

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Page 26: Solucion Guia Logica Completa

15. El conectivo proposicional Y se llama disyuncion exclusiva. Para dos proposiciones p y q se anota pYq,se lee ”p o q pero no ambos”

(a) Construir la tabla de verdad de p Y q

(b) Probar que p Y q ≡ (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)

Solucion: Trabajando con tablas de verdad, se tiene que:

(a)

p q p YqV V F

V F V

F V V

F F F

(b)

p q p Yq p ∨q p ∧q (p ∨q) ∧ ¬(p ∧ q)

V V F V V F

V F V V F V

F V V V F V

F F F F F F

Luego, se tiene que: p Y q ≡ (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)

16. El conectivo proposicional Z se llama conjuncion negativa. Para dos proposiciones p y q se anota pZ q,se lee ”ni p ni q”

(a) Construir la tabla de verdad p Z q

(b) Probar que:

i. ¬p ≡ p Z p

ii. p ∧ q ≡ (p Z p) Z (q Z q)

iii. p ∨ q ≡ (p Z q) Z (p Z q)

Solucion: Trabajando con tablas de verdad se tiene que:

(a)

p q p ZqV V F

V F F

F V F

F F V

(b) i.p ¬p p ZpV F F

F V V

Luego ¬p ≡ p Z p.

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Page 27: Solucion Guia Logica Completa

ii. De a) se tiene que ¬p ≡ p Z p, por lo tanto ¬q ≡ q Z q.

p q p ∧q ¬p ¬q ¬p Z ¬qV V V F F V

V F F F V F

F V F V F F

F F F V V F

Luego p ∧ q ≡ ¬p Z ¬q ≡ (p Z p) Z (q Z q).

iii. De a) se tiene que (p Z q) Z (p Z q) ≡ ¬(p Z q).

p q p ∨q p Zq ¬(p Z q)

V V V F F

V F V F F

F V V F F

F F F V V

Luego p ∨ q ≡ ¬(p Z q) ≡ (p Z q) Z (p Z q).

17. Decidir sobre la validez de los razonamientos siguientes:

(a) Si el mundial de futbol es en Brasil, entonces la gente no puede ir. Si el futbol es un deporte popular,entonces el mundial de futbol es en Brasil. El futbol es popular. Por lo tanto

(b) Si la vida es facil, entonces no vale la pena vivir. Si no vale la pena vivir, entonces no trabajo. Lavida es facil. Luego, no trabajo.

(c) Si x es un numero par, entonces x + z = 0. Si x + z = 0, entonces z = 0. x es un numero par. Portanto, z = 0.

(d) Si x es un numero par, entonces x + z 6= 0. Si x + z 6= 0, entonces x es mayor que z. x es numeropar. Luego, x es mayor que z.

Solucion:

(a) Sean las proposiciones p: El mundial de futbol es en Brasil, q: La gente puede ir y r: EL futbol espopular. Tenemos que:(1) p −→ ¬q(2) r −→ p(3) r(4) r ∧ (r −→ ¬q)(5) ¬qLuego, el razonamiento es valido.

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Page 28: Solucion Guia Logica Completa

(b) Sean las proposiciones p: La vida es facil, q: Vale la pena vivir y r: trabajo. Tenemos que:

(1) p −→ ¬q(2) ¬q −→ ¬r(3) p(4) p ∧ (p −→ ¬q)(5) ¬q(6) ¬rLuego, el razonamiento es valido.

(c) Sean las proposiciones p: x es par, q: x + z = 0 y z = 0. Tenemos que:

(1) p −→ q(2) q −→ r(3) p(4) p −→ r(5) rLuego, el razonamiento es valido.

(d) Sean las proposiciones p: x es par, q: x + z 6= 0 y r: x > z. Tenemos que:

(1) p −→ q(2) q −→ r(3) p(4) p −→ r(5) rLuego, el razonamiento es valido.

18. Indicar cuales de las siguientes proposiciones son equivalentes a la proposicion ”Si Heriberto apruebaAlgebra, entonces hizo trampa”. Se considera que ”Heriberto es honrado” equivale a ”Heriberto no estramposo”.

(a) Heriberto aprueba Algebra y es tramposo.

(b) Heriberto, una persona honrada, no aprobo Algebra.

(c) Si Heriberto es honrado, entonces no aprobo Algebra.

(d) No es cierto que: Heriberto aprueba o es tramposo.

(e) Si Heriberto es tramposo, entonces aprueba Algebra.

Solucion: Sean las proposiciones P : Heriberto aprueba Algebra, Q: Hizo trampa. Luego, ¬Q: No hizotrampa ≡ Es Honrado. La traduccion al lenguaje formal de ”Si Heriberto aprueba Algebra, entonces hizotrampa” es P → Q. Veamos algunas equivalencias de la proposicion compuesta anterior, para compararcon las alternativas:

P → Q ≡ ¬Q→ ¬P≡ ¬P ∨Q

≡ Q ∨ ¬P

Desarrollando las alternativas, la unica equivalente es la alternativa c).

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19. Analizar la validez de los siguientes argumentos:

argumento 1:1 Si Heriberto lee el Mercurio, entonces esta bien informado2 Heriberto esta bien informadoPor tanto, Heriberto lee el Mercurio

argumento 2:1 Si Heriberto queda en la Universidad, va a ganar dinero2 Heriberto no queda en la UniversidadPor tanto, Heriberto no va a ganar dinero

argumento 3:1 Si Heriberto entiende logica, entonces disfruta estos problemas2 Heriberto no entiende logicaPor tanto, Heriberto no disfruta estos problemas

Solucion:

Si denotamos por:P : Heriberto lee el MercurioQ : Heriberto esta bien informadoR : Heriberto queda en la UniversidadS : Heriberto va a ganar dineroT : Heriberto entiende logicaU : Heriberto disfruta estos problemas

Tenemos:Argumento 1:(P −→ Q) ∧Q Aplicando Modus Ponens resulta PDe Manera que el argumento es valido.

Argumento 2:(R −→ S) ∧ ¬R Aplicando T.L 23 resulta (¬R ∨ S) ∧ ¬RDe Manera que el argumento no es valido.

Argumento 3:(T −→ U) ∧ ¬T Aplicando T.L 23 resulta (¬T ∨ U) ∧ ¬TDe Manera que el argumento no es valido.

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Page 30: Solucion Guia Logica Completa

20. Simbolizar las siguientes proposiciones:

(a) Nunca he oıdo esa musica.

(b) Jamas he visto al vecino.

(c) Es imposible que el atomo sea molecula.

(d) Es falso que el juez sea fiscal.

(e) Al papa de Nelly le falta caracter.

Solucion:

(a) Sea la proposicion p: Yo he oıdo esa musica. Luego, la traduccion al lenguaje formal de ”Nunca heoıdo esa musica” es ¬p.

(b) Sea la proposicion q: Yo he visto al vecino. Luego, la traduccion al lenguaje formal de ”Jamas hevisto al vecino” es ¬q.

(c) Sea la proposicion r: El atomo es una molecula. Luego, la traduccion al lenguaje formal de ”Esimposible que el atomo sea molecula” es ¬r.

(d) Sea la proposicion s: El juez es fiscal. Luego, la traduccion al lenguaje formal de ”Es falso que eljuez sea fiscal” es ¬s.

(e) Sea la proposicion t: El papa de Nelly no le falta caracter. Luego, la traduccion al lenguaje formalde ”Al papa de Nelly le falta caracter” es ¬t.

21. Simbolizar las siguientes proposiciones:

(a) Kant es filosofo, pero Frege es logico.

(b) No iremos al teatro a menos que venga Raul.

(c) Einstein no es filosofo, sino fisico.

(d) Euclides no es medico ni fısico.

(e) Ni Vilma, ni Silvia, ni Angelica ingresaron a la universidad.

(f) Sin carbono, oxıgeno, nitrogeno e hidrogeno, no hay vida.

(g) Cesar es profesor o es alumno, pero no puede ser ambas cosas a la vez.

Solucion: Haremos la traduccion al lenguaje simbolico de las proposiciones compuestas anteriores.

(a) Sean las proposiciones p: Kant es filosofo y q: Frege es logico. Luego, la proposicion compuesta esp ∧ q.

(b) Sean las proposiciones r: Raul viene y s: Iremos al teatro. Luego, la proposicion compuesta esp←→ q.

(c) Sean las proposiciones t: Einstein es fısico y v: Es fısico. Luego, la proposicion compuesta es p∧¬q.

(d) Sean las proposiciones p: Euclides es medico y q: Es fısico. Luego, la proposicion compuesta esp ∧ ¬q.

(e) Sean las proposiciones A: Vilma ingresa a la universidad, B: Silvia ingresa a la universidad y C:Angelica ingresa a la universidad. Luego, la proposicion compuesta es (¬A ∧ ¬B) ∧ ¬C.

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Page 31: Solucion Guia Logica Completa

(f) Sean las proposiciones q: Hay vida, p1: Hay carbono, p2: Hay oxıgeno, p3: Hay nitrogeno y p4: Hayhidrogeno. Luego, la proposicion compuesta es (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ p4)←→ q.

(g) Sean las proposiciones p: Cesar es profesor y q: Es alumno. Luego, la proposicion compuesta esp Y q.

22. Formalizar (no resolver) las siguientes inferencias:

(a) Los congresistas representan a la Nacion, pero no estan sujetos a mandato imperativo. Luego, loscongresistas representan a la Nacion.

(b) Felipe no sera expulsado del club a menos que el cometa actos de traicion e inmoralidad. No ha sidoexpulsado. En consecuencia, no ha cometido actos de traicion e inmoralidad.

(c) Si el nino, el adolescente y el anciano son abandonados, entonces son protegidos por el Estado. Peroel nino es abandonado, tambien el anciano. Luego, tanto el nino como el anciano son protegidos porel Estado.

Solucion:

(a) Sean las proposiciones P : Los congresistas representan a la nacion, Q: Los congresistas no estansujetos a mandato imperativo. Luego, la traduccion al lenguaje formal es (P ∧Q)→ P .

(b) Sean las proposiciones P : Felipe no sera expulsado del club, Q: Felipe comete actos de traicion yR: Felipe comete actos de inmoralidad. Luego, la traduccion al lenguaje formal es[{(Q ∧R)→ ¬P} ∧ P ]→ (Q ZR)

(c) Sean las proposiciones A: El nino es abandonado, B: El adolescente es abandonado, C: El an-ciano es abandonado, D: El nino es protegido por el estado, E: El adolescente es protegido porel estado y F : El anciano es protegido por el estado. Luego, la traduccion al lenguaje formal es[(A ∧B ∧ C)→ (D ∧ E ∧ F )] ∧ (A ∧ C) → (D ∧ F ).

23. Mediante la tabla de verdad determine si las siguientes formulas son tautologıas:

(a) ¬ [p −→ (¬p ∧ p)]

(b) ¬ (¬p←→ p) −→ ¬ (¬p ∨ p)

(c) ¬ (p −→ q) ∨ ¬ (¬q −→ ¬p)

(d) ¬ [(p←→ q)←→ ¬ (¬q ∧ q)]

(e) [(¬p −→ ¬q) ∧ (¬q −→ ¬r)] −→ (¬p −→ ¬r)

(f) (p −→ q)←→ (¬q −→ ¬p)

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Page 32: Solucion Guia Logica Completa

Solucion: Construımos las tablas de verdad pedidas:

(a)p ¬p ¬p ∧ p p −→ (¬p ∧ p) ¬ [p −→ (¬p ∧ p)]

V F F F V

F V F V F

Por lo tanto no es una Tautologıa.

(b)p ¬p ¬p←→ p ¬ (¬p←→ p) ¬p ∨ p ¬ (¬p ∨ p) ¬ (¬p←→ p) −→ ¬ (¬p ∨ p)

V F F V V F F

F V F V V F F

Por lo tanto no es una Tautologıa.

(c)

p q ¬p ¬q p −→ q ¬ (p −→ q) ¬q −→ ¬p ¬ (¬q −→ ¬p) ¬ (p −→ q) ∨ ¬ (¬q −→ ¬p)

V V F F V F V F F

V F F V F V F V V

F V V F V F V F F

F F V V V F V F F

Por lo tanto no es una Tautologıa.

(d)

p q ¬p ¬q p ↔ q ¬q ∧ q ¬ (¬q ∧ q) (p↔ q)↔ ¬ (¬q ∧ q) ¬ [(p↔ q)↔ ¬ (¬q ∧ q)]

V V F F V F V V F

V F F V F F V F V

F V V F F F V F V

F F V V V F V V F

Por lo tanto no es una Tautologıa.

(e)

p q r p q r p→ q q → r p→ r (p→ q) ∧ (q → r) [(p→ q) ∧ (q ⇒ r )]⇒ (p⇒ r)

V V V F F F V V V V V

V V F F F V V V V V V

V F V F V F V F V F V

V F F F V V V V V V V

F V V V F F F V F F V

F V F V F V F V V F V

F F V V V F V F F F V

F F F V V V V V V V V

Por lo tanto SI es una Tautologıa.

(f)

p q ¬p ¬q p → q ¬q → ¬p (p→ q)↔ (¬q → ¬p)

V V F F V V V

V F F V F F V

F V V F V V V

F F V V V V V

Por lo tanto SI es una Tautologıa.

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Page 33: Solucion Guia Logica Completa

24. Analizar la validez de los siguientes razonamientos:

(a) El triangulo se llama isosceles si tiene dos lados iguales. No se llama isosceles. En consecuencia, notiene dos lados iguales.

(b) Si Juan es burgues, es propietario de los medios de produccion social y emplea trabajo asalariado.Es burgues y propietario de los medios de produccion social. Luego, Juan emplea trabajo asalariado.

(c) Si eres fiscal, eres abogado. Si eres profesional, eres abogado. Luego, si eres fiscal, eres profesional.

(d) Si hay abundancia de peces, habra abundante harina de pescado. Si hay abundante harina depescado, se incrementa la exportacion. La exportacion no se incrementa. O hay abundancia depeces o sera preciso recurrir a otras actividades. Luego, sera preciso recurrir a otras actividades.

Solucion:

(a) Sean las proposiciones p: El triangulo se llama isosceles y q: Tiene dos lados iguales. Tenemos que:

(1) q −→ p(2) ¬p(3) q

Como tenemos una contradiccion, el razonamiento no es valido.

(b) Sean las proposiciones A: Juan es burgues, B: Es propietario de los medios de produccion social yC: Emplea trabajo asalariado. Tenemos que:

(1) A −→ (B ∧ C)(2) A ∧B(3) A(4) B(5) B ∧ C(6) C

Luego, el razonamiento es valido.

(c) Sean las proposiciones p: Eres fiscal, q: Eres abogado y r: Eres profesional. Tenemos que:

(1)p→ q(2)r → qDemostrar p→ r

p q r p → q r → q (p → q) ∧ (r → q)(1) p → r (1) → (p→ r)

V V V V V V V V

V V F V V V F F

V F V F F F V V

V F F F V F F V

F V V V V V V V

F V F V V V V V

F F V V F F V V

F F F V V V V V

Luego, el razonamiento no es valido.

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Page 34: Solucion Guia Logica Completa

(d) Sean las proposiciones A: Hay abundancia de peces, B: Habra abundante harina de pescado, C: Seincrementa la exportacion y D: Sera preciso recurrir a otras actividades. Tenemos que:

(1) A→ B(2) B → C(3) ¬C(4) A YD(5) A→ C(6) ¬A(7) D

Luego, el razonamiento es valido.

25. Determine mediante la tabla de verdad si las siguientes inferencias son validas o invalidas:

(a) Si se levanta la veda, entonces se podra pescar anchoveta. No se puede pescar anchoveta. Luego, nose levanto la veda.

(b) Si no se levanta la veda, entonces no se podra pescar anchoveta. Se puede pescar anchoveta. Enconsecuencia, se ha levantado la veda.

(c) Si hay veda, entonces no se podra pescar atun. Hay veda. Por tanto, no se puede pescar atun.

Solucion:

(a) Sean las proposiciones p: Se levanta la veda y q: Se podra pescar anchoveta. Tenemos que:

(1)p→ q(2)¬qDemostrar ¬p

p q p → q ¬q (p → q) ∧ ¬q ¬p { (p → q) ∧ ¬q} → ¬pV V V F F F V

V F F V F F V

F V V F F V V

F F V V V V V

Luego, la inferencia es valida.

(b) Conservando las proposiciones anteriores tenemos que:

(1)¬p→ ¬q(2)qDemostrar p

p q ¬p ¬q ¬p→ ¬q (¬p→ ¬q) ∧ q { (¬p→ ¬q) ∧ q} → p

V V F F V V V

V F F V V F V

F V V F F F V

F F V V V F V

Luego, la inferencia es valida.

34

Page 35: Solucion Guia Logica Completa

(c) Agregando la proposicion r: Se podra pescar atun. Tenemos que:

(1)p→ ¬r(2)pDemostrar ¬r

p r ¬r p → ¬r (p → ¬r) ∧ p { (p → ¬r) ∧ p} → ¬rV V F F F V

V F V V V V

F V F V F V

F F V V F F

Luego, la inferencia no es valida.

26. Usar el metodo de la premisa agregada (PA) para probar que ¬q −→ t, a partir de:

(a) s −→ r

(b) s ∨ p

(c) p −→ q

(d) r −→ t

Solucion:

(1) s→ r(2) s ∨ p(3) p→ q(4) r → t(5) ¬q(6) ¬p(7) s(8) r(9) t

PremisaPremisaPremisaPremisaPremisa AgregadaTollendo Tolens (3,5)Tollendo Ponens (2,6)Modus Ponens (1,7)Modus Ponens (4,8)

35

Page 36: Solucion Guia Logica Completa

27. Usar reduccion al Absurdo para probar r a partir de:

(a) ¬(p ∧ q)

(b) ¬r −→ q

(c) ¬p −→ r

Solucion:

(1) ¬(p ∧ q)(2) ¬r → q(3) ¬p→ r(4) ¬r(5) q(6) ¬q ∨ ¬p(7) q → ¬p(8) ¬p(9) r(10) r ∧ ¬r

PremisaPremisaPremisaPremisa AgregadaModus Ponens (2, 4)De Morgan (1)T.L 23Modus ponens (5, 7)Modus ponens (3, 8)Contradiccion (4, 9)

28. Indique cual de las siguientes proposiciones es falsa:

(a) Si 2(3 + 5) = 16 entonces 5(6 + 1) = 35

(b) Si (4 + 5) = 20 entonces (6 + 7) = 12

(c) Si (9 + 5) = 14 entonces (6 + 5) = 11

(d) Si 9(4 + 2) = 54 entonces 9(4 + 1) = 14

(e) Si 3(4 + 5) = 28 entonces 7(6 + 5) = 37

Solucion:

(a) V → V ≡ V

(b) F → F ≡ V

(c) V → V ≡ V

(d) V → F ≡ F

(e) F → F ≡ V

Luego, la alternativa falsa es la d).

36

Page 37: Solucion Guia Logica Completa

29. Una recıproca de la proposicion ”Carlos llega impuntual, siempre que se levanta tarde” es:

(a) Si Carlos se levanta tarde, entonces llega impuntual.

(b) Si Carlos llega impuntual, entonces se levanta tarde.

(c) Si Carlos no llega impuntual, entonces no se levanta tarde.

(d) Carlos llega impuntual, si no se levanta tarde.

(e) Si Carlos no llega impuntual, entonces se levanta tarde.

Solucion: Sean las proposiciones p: Carlos se levanta tarde y q: Carlos llega puntual. Entonces latraduccion al lenguaje formal de ”Carlos llega impuntual, siempre que se levanta tarde” es p→ q. Luego,la recıproca de p→ q es q → p. Es decir, ”Si Carlos llega impuntual, entonces se levanta mas tarde”.

30. La traduccion en el lenguaje formal de la proposicion ”Si tu eres inteligente y no actuas con prudencia,eres un ignorante en la materia”, siendo las proposiciones:

• m: Tu eres inteligente.

• n: Tu actuas con prudencia.

• p: Tu eres un ignorante en la materia. Es:

(a) (m ∧ ¬n) −→ p

(b) m ∨ (n ∨ p)

(c) p −→ (m ∧ ¬n)

(d) (m ∧ ¬p) −→ n

(e) m −→ ¬(n ∧ ¬p)

Solucion: Traduciendo al lenguaje formal, tenemos (m ∧ ¬p) −→ p.

31. Considere la proposicion ”Compro y uso el traje gris, si me pagan”. Empleando tablas de verdad,identifique:

• Una recıproca de la proposicion dada.

(a) Si compro y uso el traje gris, entonces me pagan.

(b) Si no compro y no uso el traje gris, entonces no me pagan.

(c) Si no compro o no uso el traje gris, entonces me pagan.

(d) Si no me pagan, entonces no compro o no uso el traje gris.

(e) Si me pagan, entonces compro y uso el traje gris.

• Una inversa de la proposicion dada.

(a) Si compro y uso el traje gris, entonces me pagan.

(b) Si no compro o no uso el traje gris, entonces no me pagan.

(c) Si no compro o no uso el traje gris, entonces me pagan.

(d) Si no me pagan, entonces no compro o no uso el traje gris.

(e) Si me pagan, entonces compro y uso el traje gris.

37

Page 38: Solucion Guia Logica Completa

• Una contrarrecıproca de la proposicion dada.

(a) Si compro y uso el traje gris, entonces me pagan.

(b) Si no compro o no uso el traje gris, entonces no me pagan.

(c) Si no compro o no uso el traje gris, entonces me pagan.

(d) Si no me pagan, entonces no compro o no uso el traje gris.

(e) Si me pagan, entonces compro y uso el traje gris.

Solucion: Sean las proposiciones p: Compro un traje gris, q: Uso el traje gris y r: Me pagan. Latraduccion al lenguaje formal de la proposicion compuesta ”Compro y uso el traje gris, si me pagan” esr −→ (p ∧ q). Entonces:

• Recıproca: (p ∧ q) −→ r: Si compro y uso el traje gris, entonces me pagan.

• Inversa: ¬r −→ (¬p ∨ ¬q): Si no me pagan, entonces no compro o no uso el traje gris.

• Contrarrecıproca: (¬p ∨ ¬q) −→ ¬r: Si no compro o no uso el traje gris, entonces no me pagan.

32. Hallar una traduccion al lenguaje simbolico de ”Temuco mejora su imagen si la Municipalidad realizaobras o los ciudadanos colaboran en el aseo de las calles”, siendo las proposiciones simples:

• m: La Municialidad realiza obras.

• n: Los ciudadanos colaboran en el aseo de las calles.

• p: Temuco mejora su imagen.

Solucion: Traduciendo al lenguaje simbolico, tenemos (m ∨ n) −→ p.

33. Considere las proposiciones simples:

• a: Utilizo mis habilidades matematicas.

• b: Resuelvo bien los ejercicios.

• c: Hago un buen deber.

Hallar la traduccion simbolica de la proposicion compuesta ”Es necesario que utilice mis habilidadesmatematicas para que resuelva bien los ejercicios y haga un buen deber”.

Solucion: Traduciendo al lenguaje simbolico, tenemos (b ∧ c) −→ a.

34. Si se consideran las siguientes proposiciones simples:

• m: Viajo al exterior.

• n: Apruebo el curso de Fundamentos.

• p: Obtengo una beca.

Hallar una traduccion al lenguaje formal de la proposicion compuesta ”Viajo al exterior solo si aprueboel curso de Fundamentos y obtengo una beca”.

Solucion: Traduciendo al lenguaje formal, tenemos m←→ (n ∧ p).

38

Page 39: Solucion Guia Logica Completa

35. Dadas las proposiciones simples:

• p: Necesito un doctor.

• q: Necesito un abogado.

• r: Tengo un accidente.

• s: Estoy enfermo.

Una traduccion al lenguaje formal de la proposicion compuesta ”Si estoy enfermo, necesito un doctor; ysi tengo un accidente, necesito un abogado”, es:

• (s −→ p) ∧ (¬r −→ q)

• (s −→ p) ∧ (r −→ q)

• (s ∧ p) ∧ (¬r −→ q)

• (s ∨ p) ∧ (r −→ q)

• (s −→ p) ∧ (r ∧ q)

Solucion: Traduciendo al lenguaje formal, tenemos (s −→ p) ∧ (r −→ q).

36. Dadas las proposiciones simples:

• p: Hoy es domingo.

• q: Tengo que estudiar Fundamentos.

• r: Aprobare el curso.

Una traduccion al lenguaje formal de la proposicion compuesta ”Hoy es domingo pero tengo que estudiarFundamentos, o no aprobare el curso”, es:

• (p ∧ q) ∨ r

• p ∧ q ∧ r

• (p ∨ q) ∨ r

• (p ∧ q) ∨ ¬r

• (p ∧ q) −→ r

Solucion: Traduciendo al lenguaje formal, tenemos (p ∧ q) ∨ ¬r.

37. Si ¬p ∧ q es verdadero, determinar el valor de verdad de las siguientes:

• p −→ (¬q ∧ r)

• ¬p ∧ ¬q• (p ∧ q) ∨ (¬p −→ q)

• ¬(p ∧ q) −→ ¬(p ∨ q)

• (p ∧ ¬q) ∨ ¬(q ∧ ¬p)

Solucion: Como ¬p ∧ q ≡ V , se sigue que p ≡ F y q ≡ V . Entonces

• p −→ (¬q ∧ r) ≡ F −→ (F ∧ r) ≡ F −→ F ≡ V .

• ¬p ∧ ¬q ≡ V ∧ F ≡ F .

• (p ∧ q) ∨ (¬p −→ q) ≡ (F ∧ V ) ∨ (V −→ V ) ≡ V .

• ¬(p ∧ q) −→ ¬(p ∨ q) ≡ ¬(F ∧ V ) −→ ¬(F ∨ V ) ≡ F .

• (p ∧ ¬q) ∨ ¬(q ∧ ¬p) ≡ (F ∧ F ) ∨ ¬(V ∧ V ) ≡ F .

39

Page 40: Solucion Guia Logica Completa

38. El razonamiento: ”Si te gustan las Matematicas, entonces eres habil para la Geometrıa. Luego, no tegustan las Matematicas”, es valido.

• Verdadero • Falso

Solucion: Sean p: Te gustan las matematicas y q: Eres habil para la Geometrıa. La traduccion allenguaje formal de la proposicion ”Si te gustan las Matematicas, entonces eres habil para la Geometrıa.Luego, no te gustan las Matematicas” es (p −→ q) −→ ¬p. Analizaremos si el razonamiento es valido atraves de la siguiente tabla de verdad:

p q p −→ q ¬p (p −→ q) −→ ¬pV V V F F

V F F F V

F V V V V

F F V V V

Luego el razonamiento no es valido.

39. El razonamiento ”Si trabajo arduamente gano un buen sueldo, pero no gano un buen sueldo. Por lotanto, no trabajo arduamente”, es valido.

• Verdadero • Falso

Solucion: Sean p: Trabajo arduamente y q: gano buen sueldo. La traduccion al lenguaje formal de laproposicion ”Si trabajo arduamente gano un buen sueldo, pero no gano un buen sueldo. Por lo tanto, notrabajo arduamente” es [(p −→ q) ∧ ¬q] −→ ¬p. El cual es un Teorema Logico (Tollendo Tolens). Luego,este razonamiento es valido.

40. Dado el razonamiento H1 ∧H2 −→ C, donde:

• H1: Si lo intento con ahınco y tengo talento, entonces me convierto en musico.

• H2: Si me convierto en musico, sere feliz.

Una conclusion C que hace valido este razonamiento es:

(a) Voy a ser feliz.

(b) Si me convierto en musico, entonces lo intento con ahınco.

(c) No me convierto en musico.

(d) No tengo talento.

(e) Si no voy a ser feliz, entonces no lo intento con ahınco o no tengo talento.

Solucion: Sean las proposiciones A: Lo intento con ahınco, B: Tengo talento, C: Me convierto enmusico y R: Sere feliz. Las hipotesis H1 y H2 traducidas al lenguaje simbolico quedan como H1 :(A ∧B)→ C, H2 : Q→ R. Analizando el razonamiento tenemos que:

(1) (A ∧B)→ Q(2) Q→ R

40

Page 41: Solucion Guia Logica Completa

(3) (A ∧B)→ R(4) ¬R→ ¬A ∨ ¬BLa traduccion al lenguaje normal es ”Si no voy a ser feliz, entonces no lo intento con ahınco o no tengotalento. Por lo tanto, nos quedamos con la alternativa E.”

41. Dadas las siguientes proposiciones:

• H1: Si el reloj esta adelantado, entonces Juan llego antes de las diez y vio partir el coche de Andres.

• H2: Si Andres no dice la verdad, entonces Juan no vio partir el coche de Andres.

• H3: Andres dice la verdad o estaba en el edificio en el momento del crimen.

• H4: El reloj estaba adelantado.

Se puede inferir que:

(a) Juan no llego antes de las diez.

(b) Andres estaba en el edificio en el momento del crimen.

(c) Juan no vio partir el coche de Andres o este estaba en el edificio en el momento del crimen.

(d) Andres dice la verdad.

(e) Marque esta opcion si ninguna de las anteriores es una conclusion valida.

Solucion: Sean las proposiciones A: El reloj esta adelantado, B: Juan llego antes de las diez, C: Viopartir el coche de Andres, D: Andres dice la verdad y E: Andres estaba en el edificio en el momento delcrimen. Tenemos que:

(1) A←→ (B ∧ C)(2) ¬D −→ ¬C(3) D ∨ E(4) A(5) B ∧ C(6) B(7) C(8) D(9) E

Luego, ”Andres estaba en el edificio en el momento del crimen”.

42. Demostrar que el siguiente razonamiento es valido: ”Esta ley sera aprobada en esta sesion del Congresosi y solo sı es apoyada por la mayorıa legislativa. Es apoyada por la mayorıa legislativa o el Presidentede la Republica se opone a ella. Si el primer mandatario se opone a ella, entonces esta ley sera pospuestaen las deliberaciones del Congreso Nacional. Por lo tanto, esta ley sera aprobada en esta sesion o serapospuesta en las deliberaciones del Congreso Nacional”.

41

Page 42: Solucion Guia Logica Completa

Solucion: Sean las proposiciones A: Esta ley sera aprobada en este sesion del congreso, B: Es apoyadapor la mayorıa legislativa C: El presidente se opone a ella y D: Sera pospuesta en las deliberaciones delcongreso nacional. Tenemos que:

(1) A←→ B(2) B ∨ C(3) (A −→ B) ∧ (B −→ A)(4) B −→ A(5) A ∨D

Luego, el razonamiento es valido.

43. Un razonamiento que no es valido se denomina Falacia. Verificar que el siguiente razonamiento es unafalacia:

• Si el mayordomo es el asesino, se pondra nervioso cuando lo interroguen.

• El mayordomo se puso nervioso cuando lo interrogaron.

Por lo tanto, el mayordomo es el asesino.

Solucion: Sean las proposiciones A: El mayordomo es el asesino y B: Se pone nervioso cuando lointerroguen. La traduccion al lenguaje formal del razonamiento es:

(1) A −→ B

(2) B

A

Verificamos si el razonamiento anterior es una falacia a traves de una tabla de verdad:

A B A −→ B (A −→ B) ∧B

V V V V

V F F F

F V V V

F F V F

Luego el razonamiento no es valido. Falacia.

44. Verificar que el siguiente razonamiento es valido (Tautologıa):

• Si el Chavo se casa, entonces Florinda se tira al tren.

• Florinda se tira al tren siempre y cuando el Chavo no se haga cura.

Por lo tanto, si el Chavo se casa, entonces no se hace cura.

42

Page 43: Solucion Guia Logica Completa

Solucion: Sean las proposiciones p: El chavo se casa, q: Florinda se tira al tren y r: El chavo no sehace cura. Para verificar que el razonamiento es valido trabajaremos con el enunciado siguiente:

(1) p −→ q(2) r ←→ q(3) q −→ r(4) p −→ r

(2) Bicondicional(1, 3) Transitividad

Por lo tanto, el razonamiento es valido.

45. Para cada una de los siguiente conjuntos de premisas (cada lınea), decir cuales son las conclusiones:

(a) Estoy gordo o delgado. Ciertamente no estoy delgado.

(b) Si corro, me quedare sin aliento. No estoy sin aliento.

(c) Si el mayordomo lo hizo, entonces tiene las manos sucias. Las manos del mayordomo no estan sucias.

(d) El cielo celeste me pone contento y el cielo gris me pone triste. El cielo esta celeste o gris.

(e) Todas las funciones trigonometricas son periodicas y todas las funciones periodicas son continuas.

Solucion: Las conclusiones son las siguientes:

(a) Estoy gordo.

(b) No corro.

(c) El mayordomo no lo hizo.

(d) Estoy contento o estoy triste.

(e) Todas las funciones trigonometricas son continuas.

46. Determinar cuales de los razonamientos siguientes son validos. Construir demostraciones para los ra-zonamientos que lo sean y para los que no lo sean, explicar por que la conclusion no se sigue de lahipotesis.

(a) (1)p ∧ q(2)p→ r∴ r ∧ q

(b) (1)p ∨ q(2)p→ r∴ r ∨ q

(c) (1)p→ q(2)p→ r∴ r ∧ q

43

Page 44: Solucion Guia Logica Completa

Solucion:

(a)

{(p→ r) ∧ (p ∧ q)} → (r ∧ q) ≡ {(¬p ∨ r) ∧ p ∧ q} → (r ∧ q)

≡ {{(p ∧ ¬p) ∨ (p ∧ r)} ∧ q} → (q ∧ r)

≡ {{F ∨ (p ∧ r)} ∧ q} → (q ∧ r)

≡ {p ∧ q ∧ r} → (q ∧ r)

≡ ¬p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ (q ∧ r)

≡ ¬p ∨ ¬q ∨ {(¬r ∨ q) ∧ (¬r ∨ r)}≡ ¬p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ q

≡ p ∨ ¬r ∨ (q ∨ ¬q)

≡ (p ∨ ¬r) ∨ V

≡ V

Luego el razonamiento es valido.

(b)

p q r p ∨q p → r q ∨r (p ∨q) ∧ (p→ r) {(p ∨q) ∧ (p→ r)} → (q ∨ r)

V V V V V V V V

V V F V F V F V

V F V V V V V V

V F F V F F F V

F V V V V V V V

F V F V V V V V

F F V F V V F V

F F F F V F F V

Luego el razonamiento es valido.

(c)

p q r p → q p → r (p → q) ∧ (p→ r) r → q {(p → q) ∧ (p→ r)} → (r → q)

V V V V V V V V

V V F V F F V V

V F V F V F F V

V F F F F F V V

F V V V V V V V

F V F V V V V V

F F V V V V F F

F F F V V V V V

Luego el razonamiento no es valido.

44

Page 45: Solucion Guia Logica Completa

47. Para cada una de las siguientes proposiciones analice el valor de verdad de las mismas y escriba, en formasimbolica, su negacion. Asuma que las variables toman valores en el conjunto de los numeros reales.

(a) (∃x)(3x− 2 = −4x + 1)

(b) (∀x)(x + x = 0)

(c) (∀x)(3x− 2 6= −4x + 1)

(d) (∃x)(x2 + x + 1 = 0)

(e) (∀x)((x− 1)(x + 1) = x2 − 1)

(f) (∃x)(x2 + 1 ≥ 0)

(g) (∀x)(x2 + 3x + 2 = 0)

(h) (∃x)(x = −x)

(i) (∃x)(x3 + 6x2 + 11x + 6 = (x + 3)(x + 1))

(j) (∀x)(∃y, x2 + y2 = (x + y)2)

(k) (∀x)(∀y, x + y − y|x)

(l) (∃x)(∀y, x + y = 0)

(m) (∃x ∈ R)(x2 + x = 2)

(n) (∃x ∈ R)

(9

8< x <

5

4

)(o) (∀x)

(x ≤ 3

2o x ≥ 8

5

)Solucion: Analizando los valores de verdad y escribiendo la negacion de las proposiciones tenemos que:

(a) Verdadero. (∀x)(3x− 2 6= −4x + 1)

(b) Falso. (∃x)(x + x 6= 0)

(c) Falso. (∃x)(3x− 2 = −4x + 1)

(d) Falso. (∀x)(x2 + x + 1 6= 0)

(e) Verdadero. (∃x)((x− 1)(x + 1) 6= x2 − 1)

(f) Verdadero. (∀x)(x2 + 1 < 0)

(g) Falso. (∃x)(x2 + 3x + 2 6= 0)

(h) Verdadero. (∀x)(x 6= −x)

(i) Verdadero. (∀x)(x3 + 6x2 + 11x + 6 6= (x +3)(x + 1))

(j) Verdadero. (∃x)(∀y, x2 + y2 6= (x + y)2)

(k) Falso. (∃x)(∃y, x + y − y 6 |x)

(l) Falso. (∀x)(∃y, x + y 6= 0)

(m) Verdadero. (∀x ∈ R)(x2 + x 6= 2)

(n) Verdadero. (∃x ∈ R)

(9

8< x <

5

4

)

(o) Falso. (∃x)

(x >

3

2∧ x <

8

5

)48. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}. Hallar el valor de verdad de cada enunciado, y luego, escribir simbolicamente la

negacion de cada uno de ellos:

(a) (∃x ∈ A)(x + 3 = 10)

(b) (∀x ∈ A)(x + 3 < 10)

(c) (∃x ∈ A)(x + 3 < 5)

(d) (∀x ∈ A)(x + 3 ≤ 7)

(e) (∃!x ∈ A)(x2 − 3x + 2 = 0)

Solucion: Analizando los valores de verdad y escribiendo la negacion de las proposiciones tenemos que:

(a) Falso. (∀x ∈ A)(x + 3 6= 10)

(b) Verdadero. (∃x ∈ A)(x + 3 ≥ 10)

(c) Verdadero. (∀x ∈ A)(x + 3 ≥ 5)

(d) Falso. (∃x ∈ A)(x + 3 > 7)

(e) Falso. {(∀x ∈ A)(x2 − 3x + 2 6= 0)} ∨ {∃x, y;x2 − 3x + 2 = 0 ∧ y2 − 3y + 2 = 0 ∧ x 6= y}

45

Page 46: Solucion Guia Logica Completa

49. Negar las siguientes afirmaciones:

(a) (∀x)(∃y)(x + y = 5) −→ y = −x(b) (∀x)(∀y)[x + y es impar → (x es impar ∨ y es impar )]

(c) (∃x)(∀y)(x < y ∧ x2 ≥ y)

(d) (∀x)(∀y)(x < y → x + z = y)

Solucion: Negando las proposiciones tenemos que:

(a) (∃x)(∀y)(x + y = 5 ∧ y 6= −x)

(b) (∃x)(∃y)(x + y es impar ∧ x es impar ∧ y es impar )

(c) (∀x)(∃y)(x ≥ y ∨ x2 < y)

(d) (∃x)(∃y)(x < y ∧ x + z 6= y)

50. Sea R el conjunto referencial. Averiguar el valor de verdad de:

(a) (∀x)(x < 0→ x < 3)

(b) (∃x)(x2 ≥ 0→ x4 = x3)

(c) (∀x)(∃y)(x2 + y2 = 1)

(d) (∀x)(∀y)(y < x→ 2y < 10)

Solucion: Analizando los valores de verdad tenemos que:

(a) Verdadero.

(b) Verdadero.

(c) Falso.

(d) Falso.

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