“SISTE

MAS LINEALE

S. EL

MÉTODO DE GAUSS”

JUAN CARLO

S VILLEGAS

CI 24926573

ÍNDICE

Introducción HistóricaSistema de Ecuaciones LinealesLa ecuación LinealLas siguientes son algunas transformaciones

que nos permiten pasar de un sistema l ineal a otros equivalente

Clasif icación de los sistemas de ecuaciones l ineales

Esquematicamente lo anteriorDescripción del método de GaussEl método de Gauss

INTRODUCCIÓN HISTÓRICACHARLES HERMITE (1822 – 1901), MATEMÁTICO FRANCÉS, FUE PROFESOR EN LA FACULTAD DE CIENCIAS DE PARÍS. REALIZÓ INVESTIGACIONES SOBRE LAS TEORÍAS DE LAS FORMAS ALGEBRAICAS Y DESCUBRIÓ LA LEY DE RECIPROCIDAD QUE LLEVA SU NOMBRE.

“SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES”ABORDAMOS AQUÍ SISTEMAS LINEALES CUALESQUIERA COMO COMPLEMENTO A LO ESTUDIADO RECIENTEMENTE. EL OBJETIVO ES FACILITAR AL ALUMNO UNA MANERA SENCILLA Y SISTEMÁTICA DE RESOLVER SISTEMAS LINEALES CON CUALQUIER NÚMERO DE INCÓGNITAS.

SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES EN LA PÁGINA QUE COLOCARE A CONTINUACIÓN:

HTTP://OLMO.CNICE.MECD.ES/~JROL0022/EULER/POOL/SIST2.PDF

LA ECUACIÓN LINEALES UNA EXPRESIÓN DE LA FORMA A1X1 + A2X2 +...+ ANXN = B, DONDE A1, A2... AN SON NÚMEROS CONOCIDOS LLAMADOS COEFICIENTES; B ES OTRO NÚMERO CONOCIDO LLAMADO TERMINO INDEPENDIENTE, Y X1, X2,... XN SON LAS INCÓGNITAS, ES DECIR, LOS VALORES A DETERMINAR.SISTEMAS LINEALES, PERO DE FORMA DINÁMICA:HTTP://ES.WIKIPEDIA.ORG/WIKI/SISTEMA_DIN%C3%A1MICO

EJEMPLO 12X + 3Y = -1; X – Y + 8Z = O SON ECUACIONES

LINEALES.UN CONJUNTO DE ECUACIONES LINEALES, TALES

COMO: (1) A11X1 + A12X2 +...+ A1NXN = B1

A21X1 + A22X2 +...+ A2NXN = B2

......................................... AM1X1 + AM2X2 +...+ AMNXN=BM

SE LLAMA SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ( EN ESTE CASO, DE M ECUACIONES CON N

INCÓGNITAS)

EJEMPLO 2X – 2Y + 2Z – T = 1

2X + Y – Z + 4T =

-X + 3Z – 8T = 2

ES UN SISTEMA DE M = 3 ECUACIONES Y N = 4 INCÓGNITAS.

UNA SOLUCIÓN DEL SISTEMA LINEAL (1) ES UN CONJUNTO DE N NÚMEROS ( S1, S2,..., SN) TALES QUE, AL SUSTITUIRLOS EN LUGAR DE X1, X2,..., XN, RESPECTIVAMENTE, ORIGINAN M IDENTIDADES.

EJEMPLO 3 EN EL SISTEMA 2X – Y + 2Z = 5 X + 2Y = 5 3X + Y + Z = 10LA TERNA ( 3, 1, 0), O BIEN X = 3 Y = 1 Z = 0

ES SOLUCIÓN, PUES AL SUSTITUIR X, Y, Z POR DICHOS VALORES OBTENEMOS TRES IDENTIDADES.

DOS SISTEMAS CON UN MISMO NÚMERO DE INCÓGNITAS SON EQUIVALENTES SI TIENE EXACTAMENTE LAS MISMAS SOLUCIONES ( EL NÚMERO DE ECUACIONES PUEDE SER DISTINTO). LO EXPRESAREMOS CON ESTE SÍMBOLO

VEREMOS LOS TIPOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE SISTEMAS LINEALES A CONTINUACIÓN:

HTTP://WWW20.BRINKSTER.COM/FMARTINEZ/ALGEBRA7.HTM

LAS SIGUIENTES SON ALGUNAS TRANSFORMACIONES QUE NOS PERMITEN PASAR DE UN SISTEMA LINEAL A OTROS EQUIVALENTE

I . SI A LOS DOS MIEMBROS DE UNA ECUACIÓN LINEAL SE LE SUMA UN MISMO NÚMERO O UNA MISMA EXPRESIÓN LINEAL SE OBTIENE OTRA ECUACIÓN LINEAL EQUIVALENTE.

II . SI LOS DOS MIEMBROS DE UNA ECUACIÓN LINEAL SE MULTIPLICAN POR UN MISMO NÚMERO DISTINTO DE CERO, SE OBTIENE OTRA ECUACIÓN LINEAL EQUIVALENTE.

II I . EL CAMBIO EN EL ORDEN DE SITUACIÓN DE LAS ECUACIONES O DE LAS INCÓGNITAS NO AFECTA AL CONJUNTO DE SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

IV. SI EN UN SITEMA DE ECUACIONES LINEALES SE SUPRIME O SE AÑADE UNA ECUACIÓN QUE SEA COMBINACIÓN LINEAL DE LAS DEMÁS, SE OBTIENE UN SITEMA EQUIVALENTE AL DADO

EJEMPLO 1 2X - Y = 4

X – Y = -1 2X – Y = 4

3X –2Y = 3 X – Y = 1

PUESTO QUE LA TERCERA ECUACIÓN ES LA SUMA DE LAS DOS ANTERIORES Y NO IMPONE NINGUNA NUEVA CONDICIÓN.

PÁGINA DE SISTEMAS LINEALES:

http://www.matematicas.unal.edu.co/cursos/ecuadif/sislin.html

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SEGÚN SEAN LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES, ÉSTE PUEDE SER:

INCOMPATIBLES: SI NO ADMITE SOLUCIÓN.

COMPATIBLES: SÍ ADMITE SOLUCIÓN ( O SOLUCIONES). EN ESTE CASO DISTINGUIREMOS:

- DETERMINADO: SI TIENE SOLUCIÓN ÚNICA

- INDETERMINADO: SÍ TIENE INFINITAS SOLUCIONES

HTTP://WWW.UNLU.EDU.AR/~MAPCO/APUNTES/230/MAPCO230.HTM

ESQUEMATICAMENTE LO ANTERIORSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

INCOMPATIBLES COMPATIBLESNO TIENE SOLUCIÓN TIENEN SOLUCIÓN

DETERMINADOS INDETERMINADOS LA SOLUCIÓN ES ÚNICA TIENEN INFINITAS SOLUCIONES

DISCUTIR UN SISTEMA LINEAL ES AVERIGUAR SÍ ES INCOMPATIBLE, DETERMINADO O INDETERMINADO

DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DE GAUSSEL SISTEMA LINEAL DE M ECUACIONES Y N INCÓGNITAS

A11X1 + A12X2 +...+ A1NXN = B1

A21X1 + A22X2 +...+ A2NXN = B2

.........................................

AM1X1 + AM2X2 +...+ AMNXN = BM

PUEDE SER DESCRITO DE FORMA ABREVIADA MEDIANTE LA MATRIZ:

A11 A12 ...A1N B1

A21 A22 ... A2N B2

... ... ...

AM1 AM2 ... AMN BM

EJEMPLOLA MATRIZ CORRESPONDE AL SISTEMA

5X + 2Y – 3Z = 51

4X + 7Y + 5Z = 5 ES

6X + 8Y = 3

5 2 –3 51

4 7 5 53

6 8 0 3

DIREMOS QUE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ES TRIANGULAR SI TODOS LOS COEFICIENTES SITUADOS POR DEBAJO DE LA DIAGONAL PRINCIPAL SON NULOSEJEMPLO:

LOS SISTEMAS 3X – 5Y + 4Z – T = 6 Y – 3Z + 4T = 1 Z – T = 2Y5X – 4Y + Z = 4 2Y – Z = 1 Z = 2ESTÁN ESCRITOS EN FORMA TRIANGULAR

EL MÉTODO DE GAUSSEL MÉTODO DE GAUSS PARA LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CONSISTE EN TRANSFORMAR UN SISTEMA EN OTRO EQUIVALENTE CON FORMA TRIANGULAR, CUYA RESOLUCIÓN ES SENCILLA.

PARA ELLO SE MANTIENE INVARIABLE LA PRIMERA ECUACIÓN Y SE SUSTITUYEN LAS SIGUIENTES ECUACIONES POR LAS QUE RESULTAN DE ELIMINAR LA PRIMERA INCÓGNITA ENTRE LA PRIMERA ECUACIÓN Y CADA UNA DE LAS RESTANTES

A CONTINUACIÓN SE MANTENDRÁN INVARIABLES LAS ECUACIONES POR LAS QUE SE OBTIENEN DE ELIMINAR LA SEGUNDA INCÓGNITA ENTRA LA SEGUNDA ECUACIÓN Y CADA UNA DE LAS SIGUIENTES.

SE CONTINÚA ASÍ EL PROCESO HASTA OBTENER UN SISTEMA EN FORMA TRIANGULAR

POR COMODIDAD Y PARA AHORRAR ASÍ UN ESFUERZO INNECESARIO EFECTUAREMOS LAS TRANSFORMACIONES DE EQUIVALENCIA SOBRE EL DIAGRAMA EN VEZ DE HACERLO SOBRE EL PROPIO SISTEMAA CONTINUACIÓN INTRODUCIRÉ A UNA PÁGINA DEL MÉTODO DE GAUSS PARA EXPLICARLO UN POCO MÁS:

HTTP://THALES.CICA.ES/RD/RECURSOS/RD99/ED99-0024-03/ED99-0024-03.HTML

EJEMPLOREDUCIR A FORMA TRIANGULAR LOS SIGUIENTES SISTEMAS:

• X + Y + Z = 3

X+ 2Y + 3Z = 2

X + 4Y + 9Z = - 2

SOBRE LA MATRIZ DEL SISTEMA ELIMINAMOS LA X ENTRE LA PRIMERA ECUACIÓN Y LAS DOS RESTANTES. PARA ELLO:

( m =3, n = 3)

1 1 1 3 1 1 1 3 1 2 3 2 0 1 2 -1 1 4 9 -2 -F1 + F2 0 3 8 -5 -F1 + F3

AHORA ELIMINAMOS LA Y ENTRE LA SEGUNDA Y LA TERCERA ECUACIÓN, 1 1 1 3 1 1 1 31 2 3 -1 0 1 2 -1 0 3 8 -5 -3 / 2 + F3 0 0 2 -2

OBTENEMOS ASÍ EL SISTEMA EQUIVALENTE EN FORMA TRIANGULAR X + Y + Z = 3 Y + 2Z = -1 2Z = -2

-2X + Y + Z = 1 X – 2Y + Z = -2 (M = N = 3) X + Y – 2Z = 4

-2 1 1 1 -2 1 1 1 1 -2 1 -2 0 -3 3 -3 1 1 -2 4 F1 + 2F2 0 3 -3 9 F2 + F3

F1 + 2F3

-2 1 1 10 -3 3 –3 0 0 0 6

OBTENIENDO EL SISTEMA TRIANGULAR EQUIVALENTE AL ORIGINAL: -2X + Y + Z = 1 -3Y + 3Z = -3 0 = 6

2X + Y +Z = 1 (M = 2 N =3)3X + Y – Z = 0

EFECTUANDO TRANSFORMACIONES: 2 1 1 1 2 1 1 13 1 -1 0 -3F1 + 2F2 0 –1 –5 -3

Y OBTENEMOS EL SISTEMA TRIANGULAR : 2X + Y + Z = 1 -Y – 5Z = -3