solución de problemas en circuitos eléctricos por transformada de...
TRANSCRIPT
Solución de problemas Solución de problemas en circuitos eléctricos en circuitos eléctricos por transformada de por transformada de
Laplace.Laplace.
AUTORES: AUTORES:
Planteamiento del Planteamiento del ProblemaProblema
Al plantear ecuaciones en el dominio Al plantear ecuaciones en el dominio del tiempo a circuito eléctrico con del tiempo a circuito eléctrico con resistencias, inductores, y resistencias, inductores, y condensadores, aparecen ecuaciones condensadores, aparecen ecuaciones diferenciales con coeficientes diferenciales con coeficientes constantes y valores iniciales. constantes y valores iniciales.
Objetivos de la Objetivos de la InvestigaciónInvestigación
• Aplicar la transformada de Laplace Aplicar la transformada de Laplace en la solución de problemas en en la solución de problemas en circuitos eléctricos circuitos eléctricos
Objetivo Objetivo GeneralGeneral
• Presentar las generalidades Presentar las generalidades teóricas y prácticas del método.teóricas y prácticas del método.
Objetivos Objetivos EspecíficosEspecíficos
• Aplicar la teoría en diferentes casos Aplicar la teoría en diferentes casos que involucran, resistencias, que involucran, resistencias, fuentes y condensadores.fuentes y condensadores.
• Aplicar el método a un circuito Aplicar el método a un circuito eléctrico típico eléctrico típico
Objetivos de la Objetivos de la InvestigaciónInvestigación
Objetivos Objetivos EspecíficosEspecíficos
• Aplicaciones de la Transformada de Laplace, Aplicaciones de la Transformada de Laplace, para la solución de ecuaciones diferenciales.para la solución de ecuaciones diferenciales.
• En el caso de los circuitos eléctricos se puede En el caso de los circuitos eléctricos se puede trabajar por medio de modelos físicos trabajar por medio de modelos físicos haciendo más comprensible la solución del haciendo más comprensible la solución del problema.problema.
• Este estudio pretende ampliar, sintetizar y Este estudio pretende ampliar, sintetizar y aplicar, de manera sencilla la teoría tal como aplicar, de manera sencilla la teoría tal como se suele aplicar a los circuitos eléctricosse suele aplicar a los circuitos eléctricos
JustificaciónJustificación
Alcances y LimitacionesAlcances y Limitaciones• Abarca aplicaciones básicas de la Abarca aplicaciones básicas de la
transformada de Laplace.transformada de Laplace.• Estudio de circuitos formados por fuentes, Estudio de circuitos formados por fuentes,
resistencias, condensadores e inductores. resistencias, condensadores e inductores. • Se hallarán las ecuaciones de corrientes y Se hallarán las ecuaciones de corrientes y
voltajes en el tiempo. voltajes en el tiempo. • No se analizan circuitos complejos que No se analizan circuitos complejos que
involucren otros elementos de circuitos. involucren otros elementos de circuitos. • Los resultados no serán contrastados Los resultados no serán contrastados
experimentalmente experimentalmente
Bases TeóricasBases Teóricas• Definición de Transformada de Definición de Transformada de
LaplaceLaplace
0
)()]([)( dttfetfsF stL
• Propiedades de la Transformada de Propiedades de la Transformada de LaplaceLaplace La transformada de Laplace es La transformada de Laplace es
lineal lineal )]([)]([)]()([ 2121 tftftftf LLL
Transformada de una derivada Transformada de una derivada Bases TeóricasBases Teóricas
)0(...)0(.)]([.)( 11
n
nnn
n
n
dtfd
fstfsdttfd
LL
CondensadorCondensador y Capacitancia y Capacitancia ResistenciaResistencia Inductor e InductanciaInductor e Inductancia FuenteFuente
• Definición de términos básicosDefinición de términos básicos
Transformada de una integral Transformada de una integral )]([.1]).([
0
tfs
dft
LL
Marco Metodológico Marco Metodológico • Definir el caso de estudio.Definir el caso de estudio.• Identificar cada uno de los elementos Identificar cada uno de los elementos
del circuito eléctrico a resolver.del circuito eléctrico a resolver.• Plantear el diagrama del circuito Plantear el diagrama del circuito
eléctrico a resolver.eléctrico a resolver.• Establecer las ecuaciones Establecer las ecuaciones
diferenciales que permitan resolver el diferenciales que permitan resolver el circuito eléctrico.circuito eléctrico.
• Realizar la transformación del dominio Realizar la transformación del dominio del tiempo al de la frecuencia.del tiempo al de la frecuencia.
• Resolver el sistema algebraico obtenido Resolver el sistema algebraico obtenido al aplicar la transformada de Laplace.al aplicar la transformada de Laplace.
• Definir la señal de entrada o Definir la señal de entrada o perturbación.perturbación.
• En la medida de lo posible, aplicar la En la medida de lo posible, aplicar la transformación inversa para obtener la transformación inversa para obtener la solución de la ecuación diferencial solución de la ecuación diferencial planteada.planteada.
• Graficar y analizar los resultados.Graficar y analizar los resultados.
Marco Metodológico Marco Metodológico
Caso I: CIRCUITO RCLCaso I: CIRCUITO RCL• Definición del casoDefinición del caso • Elementos del circuitoElementos del circuito • Diagrama del circuitoDiagrama del circuito
• Se aplica una la Ley de Kirchoff Se aplica una la Ley de Kirchoff )()()()( tvctvltvrtv
• Aplicando las definiciones para cada Aplicando las definiciones para cada elemento del circuito elemento del circuito
t
dttiCdi
tdiLtiRtv0
).(.1)(.)(.)(
Caso I: CIRCUITO RCLCaso I: CIRCUITO RCL
• Transformación al dominio de la Transformación al dominio de la frecuenciafrecuencia
Caso I: CIRCUITO RCLCaso I: CIRCUITO RCL
sCsIisIsLsIRsV
dttiCdi
tdiLtiRv(t)t
.)()0()(..)(.)(
).(.1)(.)(.0
LLLL
22)(.)(.)(
asLsVssI
• Corriente en el dominio de la Corriente en el dominio de la frecuenciafrecuencia
LRa.2
2
.2.1
LR
CL
Caso I: CIRCUITO RCLCaso I: CIRCUITO RCL• Solución de la ecuación diferencialSolución de la ecuación diferencial
Si se asume que el potencial aplicado Si se asume que el potencial aplicado es de corriente directaes de corriente directa
svovotvV(s) LL )(
Aplicando la transformada inversa de Aplicando la transformada inversa de LaplaceLaplace
).(..)(
.)]([
.
22
tseneLvo
ti
asLvo
sI
ta
1-1- LL
Circuito RCL
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 1 2 3 4 5 6 7
Tiempo
Inte
nsid
ad d
e Co
rrie
nte
(i)
Caso I: CIRCUITO RCLCaso I: CIRCUITO RCL• Gráfica del resultadoGráfica del resultado
Caso II: Motor eléctrico Caso II: Motor eléctrico de corriente directade corriente directa
• Definición del CasoDefinición del Caso• Elementos del circuitoElementos del circuito • Diagrama del CircuitoDiagrama del Circuito
,
La
Ra
ia
Rf
Lf
if vf
Rozamiento: f Inercia: J
Armadura
Campo
Caso II: Motor eléctrico Caso II: Motor eléctrico de corriente directade corriente directa
• Relación torque – Corriente eléctricaRelación torque – Corriente eléctrica
)(.
)(...1
tiK
tiiKKT
f
faf
• Relación torque – Velocidad AngularRelación torque – Velocidad Angular .. f
dtdJT
• Ecuación de VoltajeEcuación de Voltaje
dttdi
LtiRtV fffff
)(.)(.)(
Caso II: Motor eléctrico Caso II: Motor eléctrico de corriente directade corriente directa
• Ecuación diferencial del sistema físicoEcuación diferencial del sistema físico
dtdf
dtdJ
KL
fdtdJ
KR
tV fff
......)( 2
2
• Transformación al dominio de la Transformación al dominio de la frecuenciafrecuencia
).).(.()(.
)(fsJRsL
sVKsW
ff
f
Si se asume que el potencial aplicado Si se asume que el potencial aplicado es de corriente directaes de corriente directa
svovotvV(s) LL )(
Jfs
LR
ss
voJLK
fsJRsLsvoKsW
f
f
f
ff
..
..
).).(..(.)(
Caso II: Motor eléctrico Caso II: Motor eléctrico de corriente directade corriente directa
• Ecuación en el dominio de la frecuenciaEcuación en el dominio de la frecuencia
• Solución de la ecuación diferencialSolución de la ecuación diferencialLa solución se obtiene realizando una La solución se obtiene realizando una
expansión en fracciones parciales.expansión en fracciones parciales.
Caso II: Motor eléctrico Caso II: Motor eléctrico de corriente directade corriente directa
• Expansión en fracciones parcialesExpansión en fracciones parciales
Jfs
C
LR
s
BsAvo
JLK
Jfs
LR
ss
voJLK
sW
f
ff
f
f
f ...
..
..
)(
• Los valores de A, B, C son:Los valores de A, B, C son:
)(1
)(1
.1
babC
baaB
baA
f
f
LR
a
Jfb
Con
Caso II: Motor eléctrico Caso II: Motor eléctrico de corriente directade corriente directa
• Aplicando la transformada inversaAplicando la transformada inversa
Caso II: Motor eléctrico Caso II: Motor eléctrico de corriente directade corriente directa
• Grafica Velocidad Angular - TiempoGrafica Velocidad Angular - TiempoMotor Eléctrico
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25 30 35 40Tiempo
w(t)
*Lf*J
/(K*v
o)
ConclusionesConclusiones• Se logró conocer la importancia de la técnica de Se logró conocer la importancia de la técnica de
transformada de Laplace en la resolución y transformada de Laplace en la resolución y análisis de circuitos eléctricos.análisis de circuitos eléctricos.
• Existe una equivalencia real entre los elementos Existe una equivalencia real entre los elementos principales de un circuito eléctrico como los principales de un circuito eléctrico como los resistores, condensadores e inductores en el resistores, condensadores e inductores en el dominio del tiempo y en el dominio de Laplace.dominio del tiempo y en el dominio de Laplace.
• La existencia de las equivalencias de circuitos La existencia de las equivalencias de circuitos permite la posibilidad de analizar circuitos permite la posibilidad de analizar circuitos eléctricos directamente en el dominio de Laplace eléctricos directamente en el dominio de Laplace sin tomar en cuenta el dominio del tiempo.sin tomar en cuenta el dominio del tiempo.
ConclusionesConclusiones• La técnica de Transformada aplicada permite resolver La técnica de Transformada aplicada permite resolver
ecuaciones diferenciales lineales relativamente ecuaciones diferenciales lineales relativamente complejas como el circuito de RCL y el motor eléctrico.complejas como el circuito de RCL y el motor eléctrico.
• Se obtuvo una solución en el tiempo para un circuito Se obtuvo una solución en el tiempo para un circuito RCl dando una función periódica amortiguada.RCl dando una función periódica amortiguada.
• Se resolvió el problema de un motor eléctrico Se resolvió el problema de un motor eléctrico resultando en una ecuación que es suma de resultando en una ecuación que es suma de exponenciales pero en el cual la frecuencia de rotación exponenciales pero en el cual la frecuencia de rotación del motor se estabiliza a un valor dado por: del motor se estabiliza a un valor dado por:
bavo
JLK
f ..
.