Solución de la interacción ión-láser en varios regímenes

Hector Moya-Cessa

Instituto Nacional de Astrofísica, Optica y ElectrónicaTonantzintla, Pue.

http://speckle.inaoep.mx/ICSSUR/hector_moya.htm

Resumen

• Atrapamiento de iones• Interacción ión-láser (intensidad baja, sin

dependencia en t)• Solución para diferentes intensidades.• Invariantes para el problema dependiente de t,

generalización de una transformación• A futuro: 2 modos, muchos iones• Conclusiones

http://tf.nist.gov/ion/

Solución del problema independiente de t,para baja intensidad

Energía energía interacción dipolarvibracional del ión

Consideramos una onda plana

Parámetro de Lamb-Dicke

2

2x

Operador de desplazamiento de Glauber Baker-Hausdorff

Hamiltoniano de interacción

ˆ ˆ

ˆ ˆ/ / 1

ˆ ˆ

ˆ ˆ/ / 1

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

n n

n n

ix ix

ix n ix n n

ip ip

ip n ip n n

e pe p

e pe p x

e xe x

e xe x p

Efectos de operadores de desplazamientoEn funciones de posición y momento

<<

Aproximaciónde onda rotante(RWA)

xsF ~);(

D. LEIBFRIED, D. M. MEEKHOF, B.E. KING, C. MONROE, W.M. ITANO AND D.J. WINELAND

0

( ) ( 1) , | | ,n

n

W n n

Solución para diferentes intensidades

22 11

21

12

1 0

0 1

0 1

0 0

0 0

1 0

z A A

A

A

Matrices de pauli

Podemos considerar ahora intensidad baja<<, o alta >> y obtener hamiltonianos efectivos (via pequeñas rotaciones), L.M. Arévalo-Aguilar and H. Moya-Cessa, Phys. Rev. A65, 053413 (2002). Generalized Qubits of the Vibrational Motion of a Trapped Ion

^ ^†

1 ( )1

a aU e ^^†

2 ( )2

a aU e

1 2(2 )

2 2(2 )

^ ^ ^

( 1/ 2)2 x z zH n n

O el caso intermedio ~,<<1, =0

^ ^

( )2z

iH n a a

Conocido como modelo de Jaynes-Cummingsen la interacción átomo con campo cuantizado

Más soluciones para parámetros arbitrarios:podemos encontrar algunos eigenestadosdel hamiltoniano H. Moya-Cessa, D. Jonathan and P.L. Knight

J. OF MODERN OPTICS 50, 265 (2003). A family of exact eigenstates for a single trapped ion interacting with a laser field

^ ^2 2^

2 21( )2 2 2 z

p qH t E E

Se puede usar teoría de Floquet. En P.J. Bardroff, C. Leichtle, G. Schrade, and W.P. SchleichPhys. Rev. Lett. 77, 2198 (1996) demuestran que se puede obtenertodavía interacciones k-fonones

2 ( ) 2 cos( )rft a q t Micro-movimiento

Frecuencia dependiente de t

Veamos ahora el problema con INVARIANTES de movimiento

2

21( ) ,

2

qI q q

2 ( ) 0q t q

2 3( ) 1/t

2

2[ ( )] 0

dE V x

dx

2

21( ) ,

2

d dI

dx dx

23

2[ ( )] 1/

dE V x

dx

Oscilador armónico dependiente de t, clásico

Invariante de Ermakov-Lewis

Ecuación de Ermakov

Lewis, PRL (1967).

2^^ ^ ^

21( )

2

qI p q

^ ^2 2^

2 ( )2 2

p qH t

Compresión y desplazamiento

^^ ^ ^ ^ 2ln^ ^( )

22i qi q p pq

S e D e

Caso cuántico

||i H

t

^ ^ ^

| | |S D T

2 2^ ^^

0 0 2

^ ^

| 1 1| , ( ) ( )

( ) 2 2

2

p qi H H t n

t t

q i pa

Se ha factorizado la dependencia temporal

H. Moya-Cessa and M. Fernández Guasti PHYSICS LETTERS A 311, 1 (2003). Coherent states for the time dependent harmonic oscillator: the step function

cos[ ( , ) ]A B

A B tA B A B

^^ ^ ^ ^ 2ln^ ^( )

22i qi q p pq

S e D e

^^ ^ ^†T qT q

^ ^( ) ( )( )

2i a a i a a

T zH t n g e e

2( )t

^ ^

^ ^2 2^

2 21( )2 2 2

L Lik q i t ik q i tz

p qH t e e

†

†

2 21

2

2 2

i iD D

Ri i

D D

^ ^* †( ) ( )( )

2R zH t n a a

2 3( ) 1/t

2 ( ) 0t

1( )2

i

2

dti

e

2

21

dt

( )* 1( )

i t dte i

J.M. Vargas-Martínez and H. Moya-CessaJ. of Optics B6, S618-S620 (2004). Solution of a trapped ion with time dependent frequency

Futuro también: considerar N iones: ¿Es posibletransformar el Hamiltoniano independiente de t?¿Y el dependiente de t?

Conclusiones

• Se ha mostrado una transformación que permite obtener un hamiltoniano lineal en operadores de creación y aniquilación para la interacción ión-láser.

• Se ha generalizado para el caso dependiente de t, mediante métodos que involucran invariantes del oscilador armónico dependiente de t.