Sólidos de Kepler-Poinsot 1

Sólidos de Kepler-PoinsotUn sólido de Kepler (también llamado sólido de Kepler-Poinsot) es un poliedro regular no convexo, cuyas carasson todas polígonos regulares y que tiene en todos sus vértices el mismo número de caras que se encuentran(compárese con los sólidos platónicos).Las caras están solo parcialmente en la superficie del sólido, y las partes expuestas están sólo conectadas en puntos(si están conectadas de algún modo). Si las partes se cuentan como caras separadas, el sólido deja de ser regular.

Los sólidos de Kepler-Poinsot con sus símbolos de Schläfli.

Un sólido de Kepler cubre su esferacircunscrita más de una vez, con loscentros de las caras como puntosdireccionales en los sólidos con carasen forma de pentagrama, mientras queen los otros son los vértices los quecumplen esa función. Por esta razón,no son necesariamente equivalentestopológicos de la esfera como lo sonlos sólidos platónicos, y en particularla característica de Euler V − E + F = 2se verifica solamente para Gran dodecaedro estrellado y Gran icosaedro.

Esto dependerá de cómo observemos el poliedro. Considérese, por ejemplo, el pequeño dodecaedro estrellado.[1]

Consiste de un dodecaedro con una pirámide pentagonal en cada una de sus 12 caras. En consecuencia, las 12 carasse extienden a pentagramas con el pentágono central dentro del sólido. La parte externa de cada cara consiste decinco triángulos conectados por sólo cinco puntos. Si las contamos separadamente, hay 60 caras (pero estas sontriángulos isósceles, no polígonos regulares). De modo similar, cada lado puede ser contado como tres, pero entonceslos habrá de dos tipos. Igualmente, con los "cinco puntos" antes mencionados: en total habrá 20 puntos que puedencontarse como vértices, por lo que tendremos un total de 32 vértices (otra vez, de dos tipos). Ahora la ecuación deEuler se verifica: 60 - 90 + 32 = 2.

HistoriaLos sólidos de Kepler fueron definidos por Johannes Kepler en 1619, cuando notó que los dodecaedros estrellados(tanto el grande como el pequeño) se componían de dodecaedros "ocultos" (con caras pentagonales) que tienen carascompuestas de triángulos, tomando la apariencia de estrellas estilizadas. En realidad, Wenzel Jamnitzer halló el grandodecaedro estrellado en el siglo XVI, y Paolo Uccello descubrió y dibujó el pequeño dodecaedro estrellado en elsiglo XV. La contribución de Kepler fue reconocer que cumplían con la definición de sólidos regulares, aunquefueran cóncavos en lugar de convexos como los tradicionales sólidos platónicos. Los otros dos, el gran icosaedro y elgran dodecaedro, fueron descritos por Louis Poinsot en 1809, razón por la que en alguna literatura aparecen comoSólidos de Poinsot.

Sólidos de Kepler-Poinsot 2

TiposHay cuatro sólidos de Kepler distintos:

Sólidos de Kepler-Poinsot

Nombre Imagen Caras Aristas Vértices Simetría

K1 Pequeño dodecaedro estrellado

Animación

12 12 × pg 30 12 12 × 5/25 Ih

K2 Gran dodecaedro estrellado

Animación

12 12 × pg 30 20 20 × 5/23 Ih

K3 Gran icosaedro

Animación

20 20 × te 30 12 12 × 35/2 Ih

K4 Gran dodecaedro

Animación

12 12 × pr 30 12 12 × 55/2 Ih

pg = pentagramas; pr = pentágonos regulareste = triángulos equiláteros

Los dos primeros son estrellamientos, es decir, sus caras son cóncavas. Los otros dos tienen caras convexas, perocada par de caras que se encuentra en un vértice de hecho lo hace en dos.

Referencias[1] « Small Stellated Dodecahedron - from Wolfram MathWorld (http:/ / mathworld. wolfram. com/ SmallStellatedDodecahedron. html)».

Enlaces externos• Sólidos de Kepler-Poinsot en Mathworld (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Kepler-PoinsotSolid. html) (en

inglés)• Modelos de papel de poliedros de Kepler-Poinsot (http:/ / www. software3d. com/ Kepler. html)• Virtual Reality Polyhedra: La Enciclopedia de los Poliedros (http:/ / www. georgehart. com/ virtual-polyhedra/

vp. html) (en inglés)

Fuentes y contribuyentes del artículo 3

Fuentes y contribuyentes del artículoSólidos de Kepler-Poinsot  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58394257  Contribuyentes: Alex299006, Cinabrium, LordT, Rondador, Swazmo, Tano4595, Tintazul, 6 edicionesanónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Kepler-Poinsot solids (es).svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Kepler-Poinsot_solids_(es).svg  Licencia: desconocido  Contribuyentes: Original design andconcept: Tom Ruen; SVG creation: Júlio ReisArchivo:SmallStellatedDodecahedron.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SmallStellatedDodecahedron.jpg  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike3.0 Unported  Contribuyentes: Aknorals, Cyp, Frankee 67, Jidari, Oodzunadaira, SharkDArchivo:GreatStellatedDodecahedron.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:GreatStellatedDodecahedron.jpg  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike3.0 Unported  Contribuyentes: Cyp, Danhash, Docu, Frankee 67, Jidari, Oodzunadaira, SharkDArchivo:GreatIcosahedron.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:GreatIcosahedron.jpg  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: Cyp, Danhash, Jidari, Oodzunadaira, Paulbe, SharkDArchivo:GreatDodecahedron.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:GreatDodecahedron.jpg  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: Cyp, Danhash, Frankee 67, Jidari, Oodzunadaira, SharkD, Tintazul

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