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Solidi assialsimmetrici

Solidi assialsimmetrici: tubi, serbatoi, dischiLecture 16

CDM - N.Bonora 2016


Introduzione

• Con il termine «solidi assialsimmetrici» intendiamo quei componenti riconducibili a solidi di rotazione (tubi, dischi, etc.)

• Obiettivo: determinazione dello stato di sforzo/deformazione conseguente all’applicazione di sollecitazioni (principalmente carico di pressione)

• Tubi spessi vs tubi a parete sottile: nei secondi lo spessore è trascurabile rispetto al raggio.

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Tubi a parete spessa

• Corpo cilindrico cavo soggetto a pressione interna e/o esterna

• Geometria e sollecitazione assialsimmetrica

• Stato di sforzo piano ( o deformazione piana)

• La trattazione che ne deriva è applicabile ad altri organi meccanici quali mozzi, dischi, serbatoi, etc.

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Tubi a parete spessa: deformazioni

Ipotesi:

• Sistema di riferimento in coordinate polari: (r, t, z)

• Stato di sforzo piano: sz=0

• Deformazione radiale er:

• u spostamento radiale

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z

r

A

A’

B

B’

𝜀𝑟 =𝐴′𝐵′ − 𝐴𝐵

𝐴𝐵=𝑑𝑢

𝑑𝑟


Tubi a parete spessa: deformazioni

Ipotesi:

• Sistema di riferimento in coordinate polari: (r, t, z)

• Stato di sforzo piano: sz=0

• Deformazione circonferenziale et:

• u spostamento radiale

• Deformazione assiale ez è non nulla ed indipendente da u.

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𝜀𝜏 =2𝜋 𝑟 + 𝑢 − 2𝜋𝑟

2𝜋𝑟=𝑢

𝑟


Tubi a parete spessa: equilibrio delle forze

• Equilibrio in direzione radiale:

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𝑑𝜎𝑟𝑑𝑟+𝜎𝑟 − 𝜎𝑡𝑟

= 0

dz

r

σz

dϕ

𝑑(𝜎𝑟𝑟)

𝑑𝑟− 𝜎𝑡 = 0

𝑑𝑉 = 𝑆𝑑𝑟𝑑𝜙

(𝜎𝑟+𝑑𝜎𝑟) 𝑟 + 𝑑𝑟 𝑑𝜙𝑑𝑧 − 𝜎𝑟𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝜙 − 𝜎𝑧𝑟𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝜙 = 0


Tubi a parete spessa: campo degli spostamenti

• L’equazione per il campo di spostamenti si ottiene:

1. Sostituendo nell’equazione di equilibrio il legame costitutivo (congruenza)

2. Ed esprimendo le deformazioni in funzione di u ed r

Nota: lo stesso risultato si ottiene anche nell’ipotesi di deformazione piana (𝜀𝑧 = 0)

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𝜎𝑟 =𝐸

1 − 𝜈2𝜀𝑟 + 𝜈(𝜀𝜏 + 𝜀𝑧) =

𝐸

1 − 𝜈2𝑑𝑢

𝑑𝑟+ 𝜈

𝑢

𝑟+ 𝜈𝜀𝑧

𝜎𝜏 =𝐸

1 − 𝜈2𝜀𝜏 + 𝜈(𝜀𝑟 + 𝜀𝑧) =

𝐸

1 − 𝜈2𝑢

𝑟+ 𝜈

𝑑𝑢

𝑑𝑟+ 𝜈𝜀𝑧



• Pertanto:

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𝜎𝑟 =𝐸

1 − 𝜈2𝑑𝑢

𝑑𝑟+ 𝜈

𝑢

𝑟+ 𝜈𝜀𝑧

𝜎𝜏 =𝐸

1 − 𝜈2𝑢

𝑟+ 𝜈

𝑑𝑢

𝑑𝑟+ 𝜈𝜀𝑧

𝑑𝜎𝑟𝑑𝑟+𝜎𝑟 − 𝜎𝑡𝑟

= 0

𝑑2𝑢

𝑑𝑟2+1

𝑟

𝑑𝑢

𝑑𝑟−𝑢

𝑟2= 0

Problema di Lamè



• Riconoscendo che l’equazione può essere riscritta come:

Integrando una volta:

Integrando una seconda volta,

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𝑑

𝑑𝑟

1

𝑟

𝑑 𝑢𝑟

𝑑𝑟= 0 Problema di Lamè

1

𝑟

𝑑 𝑢𝑟

𝑑𝑟= 𝐶1

𝑢𝑟 = 𝐶1𝑟2

2+ 𝐶2 𝑢 = 𝐴𝑟 +

𝐵

𝑟


• Ricordando le definizioni delle deformazioni:

• Le costanti A’ e B’ sono determinate dalle condizioni al contorno

• Proprietà: la somma delle componenti di sforzo è costante

Tubi a parete spessa: campo delle deformazioni e delle tensioni

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𝜀𝑟 =𝑑𝑢

𝑑𝑟= 𝐴 −

𝐵

𝑟2

𝜀𝜏 =𝑢

𝑟= 𝐴 +

𝐵

𝑟2

𝜎𝑟 =𝐸

1 − 𝜈2𝐴 −

𝐵

𝑟2+ 𝜈𝐴 + 𝜈

𝐵

𝑟2= 𝐴′ +

𝐵′

𝑟2

𝜎𝜏 =𝐸

1 − 𝜈2𝐴 +

𝐵

𝑟2+ 𝜈𝐴 − 𝜈

𝐵

𝑟2= 𝐴′ −

𝐵′

𝑟2

𝜎𝑟 + 𝜎𝜏 = 2𝐴′


• Condizione generica: pressione interna ed esterna

Tubi a parete spessa: determinazione di A’ e B’

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• 𝑟 = 𝑟𝑒 ⇒ 𝑝 = −𝑝𝑒

• 𝑟 = 𝑟𝑖 ⇒ 𝑝 = −𝑝𝑖

𝐴′ +𝐵′

𝑟𝑒2 = −𝑝𝑒

𝐴′ +𝐵′

𝑟𝑖2 = −𝑝𝑖

𝐴′ =𝑝𝑖𝑟𝑖

2 − 𝑝𝑒𝑟𝑒2

𝑟𝑒2 − 𝑟𝑖

2

𝐵′ = 𝑟𝑖2𝑟𝑒2𝑝𝑒 − 𝑝𝑖


2


Risultante delle forze assiali uniformemente distribuite

Si dimostra che la risultante assiale di forze uniformemente distribuite agenti su una superficie di forma qualsiasi è pari alla pressione moltiplicata per l’area proiettata della superficie sul piano ortogonale all’asse

Nella fattispecie se agisce la sola pressione interna p, la risultante assiale delle forze è

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𝐹 = 𝑝 𝜋𝑟2


Significato fisico di A’

• Il numeratore è pari alla risultante delle forze assiali e il denominatore l’area della corona circolare;

• Il loro rapporto rappresenta lo sforzo assiale agente nel mantello cilindrico

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re

ri




2 =𝜋

𝜋

𝑝𝑖𝑟𝑖2 − 𝑝𝑒𝑟𝑒

2


2 =𝐹

𝐴= 𝜎𝑧


Deformazione e tensione assiale

• Tre casi:a) Tensione piana

b) Tensione assiale uniforme sz=A’

c) Deformazione piana

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𝜀𝑧 = −𝜈

𝐸𝜎𝑟 + 𝜎𝑧 = −2𝐴′

𝜈

𝐸

a) b) c)

𝜀𝑧 =𝜎𝑧𝐸−𝜈

𝐸𝜎𝑟 + 𝜎𝑧 =

1 − 2𝜈

𝐸𝐴′

0 =𝜎𝑧𝐸−𝜈

𝐸𝜎𝑟 + 𝜎𝑧 ⇒ 𝜎𝑧 = 2𝐴′𝜈


Casi particolari: tubo soggetto a sola pressione interna

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𝐵′ = −𝑝𝑖𝑟𝑖2𝑟𝑒2


2𝐴′ =𝑝𝑖𝑟𝑖

2


2

𝜎𝑟 𝑟 = 𝑟𝑖 = 𝐴′ +𝐵′

𝑟2=

𝑝𝑖𝑟𝑖2


2 −𝑝𝑖

𝑟𝑖2

𝑟𝑖2𝑟𝑒2


2 = −𝑝𝑖

𝜎𝜏 𝑟 = 𝑟𝑖 = 𝐴′ −𝐵′

𝑟2=

𝑝𝑖𝑟𝑖2


2 +𝑝𝑖

𝑟𝑖2

𝑟𝑖2𝑟𝑒2


2 = 𝑝𝑖𝑟𝑖2 + 𝑟𝑒

2


2

Fattore di intensificazione


Casi particolari: tubo soggetto a sola pressione interna

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𝐵′ = −𝑝𝑖𝑟𝑖2𝑟𝑒2


2𝐴′ =𝑝𝑖𝑟𝑖

2


2

𝜎𝑟 𝑟 = 𝑟𝑖 = −𝑝𝑖

𝜎𝜏 𝑟 = 𝑟𝑖 = 𝑝𝑖𝑟𝑖2 + 𝑟𝑒

2


2

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

sr/p

, s

t/p

Distanza r/ri

Cilindro internamente pressurizzato

Sforzo_radiale

Sforzo_circonf


Applicando il criterio di Tresca per i materiali duttili

Nel caso di tubo internamente pressurizzato,

Risultato: al raggio interno la tensione equivalente supera di due volte la pressione interna!

Questo rende difficile dimensionare i tubi oltre certe pressioni.

Tensione equivalente

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𝜎𝑒𝑞𝑇𝑟 = 𝜎1 − 𝜎3 = 𝜎𝜏 − 𝜎𝑟

𝜎𝑒𝑞𝑇𝑟 = 𝑝𝑖

𝑟𝑖2 + 𝑟𝑒

2


2 + 𝑝𝑖 = 2𝑝𝑖𝑟𝑒2


2


La condizione di sessore infinito si realizza per rapporti re/ri> 4

In questo caso si ha,

Ovvero, con un tubo idealmente a spessore infinito il valore della tensione equivalente non si riduce.

Soluzione: tubi composti

Tubo a spessore infinito

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2 ⟶ 0



2 → −𝑝𝑖𝑟𝑖

𝜎𝑟,𝜏 = ∓𝑝𝑖𝑟𝑖2

𝑟𝑒2


La condizione di spessore infinito si realizza per rapporti re/ri> 4

In questo caso si ha,

Andamento del picco di tensione circonferenziale a raggio interno in funzione dello spessore (normalizzato)

Tubo a spessore infinito

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2 ⟶ 0



2 → −𝑝𝑖𝑟𝑖

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

4

5

st, r

=r i/p

Spessore/ri


Le componenti di sforzo sono date da:

Componenti di sollecitazione entrambe di compressione.

Tubo pressurizzato esternamente

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𝐵′ = 𝑝𝑒𝑟𝑖2𝑟𝑒2


2𝐴′ = −

𝑝𝑒𝑟𝑒2


2

𝜎𝑟 = −𝑝𝑖𝑟𝑒2


2 1 −𝑟𝑖2

𝑟2

𝜎𝜏 = −𝑝𝑖𝑟𝑒2


2 1 +𝑟𝑖2

𝑟2

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

-4.0

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

sr/p

, s

t/p

Distanza r/ri

Cilindro esternamente pressurizzato

sr

st


• Cilindro pieno e pressione esterna

• Foro piccolo e pressione interna

• Raggio esterno grande e pressione interna

Soluzioni asintotiche

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• 𝑟𝑖 = 0 𝑝𝑖 = 0• 𝑟𝑒 ≠ 0 𝑝𝑒 ≠ 0

• 𝐴′ = −𝑝𝑒• 𝐵′ = 0

• 𝜎𝑟 = −𝑝𝑒• 𝜎𝑡 = −𝑝𝑒

• 𝑟𝑖 ≪ 𝑟𝑒 𝑝𝑖 = 0• 𝑟𝑒 ≠ 0 𝑝𝑒 ≠ 0

• 𝐴′ = −𝑝𝑒• 𝐵′ → −𝑝𝑒𝑟𝑖

2• 𝜎𝑟(𝑟=𝑟𝑖) = 0

• 𝜎𝑡(𝑟=𝑟𝑖) = −2𝑝𝑒

• 𝑟𝑖 ≠ 0 𝑝𝑖 ≠ 0• 𝑟𝑒 → ∞ 𝑝𝑒 = 0

• 𝐴′ = 0• 𝐵′ → −𝑝𝑖𝑟𝑖

2• 𝜎𝑟(𝑟=𝑟𝑖) = −𝑝𝑖• 𝜎𝑡(𝑟=𝑟𝑖) = 𝑝𝑖


• Tubo internamente pressurizzato con re ~ ri . Introduciamo il concetto di raggio medio

Estensione della teoria al caso di tubi a parete sottile

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𝑟𝑖 = 𝑟𝑚 +𝑠

2𝑟𝑒 = 𝑟𝑚 −

𝑠

2


2


2 =𝑝𝑖 𝑟𝑚 −

𝑠2

2

𝑟𝑒 − 𝑟𝑖 𝑟𝑒 + 𝑟𝑖≅𝑝𝑖𝑟𝑚2𝑠

𝐵′ = −𝑝𝑖𝑟𝑖2𝑟𝑒2𝑟𝑖2𝑟𝑒2


2 ≅ −𝑝𝑖𝑟𝑚4

2𝑟𝑚𝑠= −𝑝𝑖

𝑟𝑚3

2𝑠

𝜎𝑟 = 𝐴′ +𝐵′

𝑟2≅ 0 𝜎𝑡 = 𝐴

′ −𝐵′

𝑟2≅𝑝𝑖𝑟𝑚2𝑠


• Un serbatoio è assimilabile ad un tubo di spessore sottile con fondi di chiusura

Serbatoi

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𝜎𝑎 =𝑝𝜋𝐷2

4

2𝜋𝐷2𝑠=𝑝𝐷

4𝑠(= 𝐴′)

𝜎𝑡 =𝐹

𝐴=𝑝𝐷𝐿

2𝑠𝐿=𝑝𝐷

2𝑠

Equazioni di Boyle e Mariotte

𝜎𝑟 trascurabile


• La soluzione tecnologica del tubo composto serve a ridurre la tensione circonferenziale in corrispondenza della superficie interna del tubo pressurizzato al fine di garantirne la resistenza a valori di pressione elevati non sopportabili con un semplice aumento dello spessore del mantello.

• La pressione esterna vie realizzata sul tubo interno attraverso un’interferenza meccanica: il tubo esterno ha un diametro interno inferiore al diametro esterno del tubo interno.

• L’interferenza viene temporaneamente annullata attraverso riscaldamento del tubo esterno ( e/o raffreddamento di quello interno)

Tubi composti

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• La pressione di contatto generata sul tubo interno determina uno spostamento radiale u1 del raggio esterno

• Condizioni:

• Congruenza:

Tubi composti: pressione di contatto

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𝜀𝑡 =𝑢1𝑟→ 𝑢1 = 𝜀𝑡𝑐

𝑝𝑖 = 0 e 𝑝𝑒 = 𝑝𝑘

𝐵′ = 𝑝𝑘𝑐2𝑎2

𝑐2 − 𝑎2

𝐴′ = −𝑝𝑘𝑐

2

𝑐2 − 𝑎2

𝜀𝑡 =𝜎𝑡𝐸− 𝜈

𝜎𝑟𝐸

𝜀𝑡 =1

𝐸𝐴′ −

𝐵′

𝑟2−𝜈

𝐸𝐴′ +

𝐵′

𝑟2=1 − 𝜈

𝐸𝐴′ −

1 + 𝜈

𝐸

𝐵′

𝑟2

𝑢1 = −1 − 𝜈

𝐸

𝑝𝑘𝑐3

𝑐2 − 𝑎2−1 + 𝜈

𝐸𝑝𝑘

𝑐𝑎2

𝑐2 − 𝑎2


• Ripetendo lo stesso ragionamento ma per il tubo esterno

• Condizioni:

• Spostamento:

• Interferenza


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𝜀𝑡 =𝑢2𝑟→ 𝑢2 = 𝜀𝑡𝑐

𝑝𝑖 = 𝑝𝑘e 𝑝𝑒 = 0

𝐵′ = −𝑝𝑘𝑐2𝑏2

𝑏2 − 𝑐2

𝐴′ =𝑝𝑘𝑐

2

𝑏2 − 𝑐2

𝑢2 =1 − 𝜈

𝐸

𝑝𝑘𝑐3

𝑏2 − 𝑐2+1 + 𝜈

𝐸𝑝𝑘

𝑐𝑏2

𝑏2 − 𝑐2

Δ = 𝑢2 − 𝑢2 → 𝑝𝑘 =𝐸Δ

2𝑐3𝑐2 − 𝑎2 𝑏2 − 𝑐2

𝑏2 − 𝑎2


• Abbattimento della tensione circonferenziale per r=a in un tubo composto soggetto a pressione interna

• Per il principio di sovrapposizione degli effetti la st(r=a)è pari a quella che avrei in un tubo non composto dello stesso spessore meno quella che avrei nel solo cilindro interno senza pressione interna e con una pressione esterna pari a pk

• La tensione circonferenziale in A decresce per effetto della cerchiatura mentre in B cresce quindi la giusta interferenza Δ deve essere scelta in modo da garantire uguale resistenza dei cilindri


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𝜎𝑡(𝑟=𝑎) = 𝑝𝑖𝑏2 + 𝑎2

𝑏2 − 𝑎2− 𝑝𝑘

2𝑐

𝑐2 − 𝑎2

𝜎𝑒𝑞𝐴 = 𝜎𝑒𝑞

𝐴Δ =

2𝑝𝑖𝐸

𝑐𝑏2 𝑐2 − 𝑎2

𝑏2 𝑐2 − 𝑎2 + 𝑐2 𝑏2 − 𝑐2


• Il principio dei cilindri composti può essere ripetuto più e più volte al fine di contenere pressioni molto elevate

• Es. Cannone «Schwerer Gustav» progettato nel 1930, peso 1334 ton., 47 m lungo, calibro 800 mm, lanciava proiettili dal peso di 7 ton. Con una gittata massima di 47 Km


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• Disco a spessore costante h, in rotazione con velocità angolare costante ω.

• Sul generico elemento per effetto della rotazione agisce la forza centrifuga dP.

• La forza dP è pari al prodotto della massa dell’elemento per l’accelerazione centrifuga.

Dischi in rotazione

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𝑑𝑃 = 𝑑𝑚𝜔2𝑟

𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 =𝛾

𝑔𝑑𝑉


• In maniera analoga ai cilindri pressurizzati, riscriviamo l’equazione di equilibrio

• Per la relazione di congruenza e ricordando la definizione delle deformazioni in funzione del solo spostamento radiale u

Dischi in rotazione: relazione di equilibrio

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𝑑𝑃 =𝛾

𝑔(ℎ ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝜙 ∙ 𝑑𝑟)𝜔2𝑟

𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 =𝛾

𝑔𝑑𝑉

𝑑(𝜎𝑟𝑟)

𝑑𝑟− 𝜎𝑡 = −

𝛾

𝑔𝜔2𝑟2

𝑑

𝑑𝑟

1

𝑟

𝑑 𝑢𝑟

𝑑𝑟= −

(1 − 𝜈2)𝛾

𝐸𝑔𝜔2𝑟


• Integrando due volte rispetto ad r,

• Nota: al contrario dei tubi a grande spessore, nei dischi il campo di spostamenti radiali dipende dalle proprietà del materiale.

• Sostituendo nell’espressioni delle componenti di deformazione e poi nel legame costitutivo, otteniamo

Dischi in rotazione: relazione di equilibrio

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𝑢 = −1 − 𝜈2 𝛾

𝐸𝑔𝜔2𝑟3

8+ 𝐶1

𝑟

2+ 𝐶2

1

𝑟

𝜀𝑟 = 𝐴 +𝐵

𝑟2−3 1 − 𝜈2 𝛾

𝐸𝑔𝜔2𝑟2

8

𝜀𝜏 = 𝐴 +𝐵

𝑟2−1 − 𝜈2 𝛾

𝐸𝑔𝜔2𝑟2

8

𝜎𝑟 = 𝐴′ +𝐵′

𝑟2−3 + 𝜈 𝛾𝜔2

8𝑔𝑟2

𝜎𝜏 = 𝐴′ −𝐵′

𝑟2−1 + 3𝜈 𝜔2𝛾

8𝑔𝑟2


• In assenza di sollecitazioni esterne la tensione radiale al raggio esterno va a zero

• Il punto al centro appartiene all’asse di simmetria:

• Stato di sforzo:

Disco pieno

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𝜎𝑟(𝑟=𝑟𝑒) =0

𝐵′ = 0

𝜎𝑟 = 𝐴′ +𝐵′

𝑟2−3 + 𝜈 𝛾𝜔2

8𝑔𝑟2 𝐴′ = −

𝐵′

𝑟2+3 + 𝜈 𝛾𝜔2

8𝑔𝑟2

𝑢(𝑟=0) =0 𝑢 = −1 − 𝜈2 𝛾

𝐸𝑔𝜔2𝑟3

8+ 𝐴

𝑟

2+ 𝐵

1

𝑟

𝜎𝑟 =3 + 𝜈 𝛾𝜔2

8𝑔(𝑟𝑒2 − 𝑟2)

𝜎𝑡 =3 + 𝜈 𝛾𝜔2

8𝑔𝑟𝑒2 −

1 + 3𝜈

3 + 𝜈𝑟2

Andamento parabolicoAl centro entrambe le componenti sono uguali


• In assenza di sollecitazioni esterne la tensione radiale al raggio esterno va a zero:

• In assenza di sollecitazioni interne la tensione radiale al raggio esterno va a zero:

Disco forato

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𝜎𝑟(𝑟=𝑟𝑒) =0 𝜎𝑟 = 𝐴′ +𝐵′

𝑟2−3 + 𝜈 𝛾𝜔2

8𝑔𝑟2 𝐴′ = −

𝐵′

𝑟𝑒2 +

3 + 𝜈 𝛾𝜔2

8𝑔𝑟𝑒2

𝜎𝑟(𝑟=𝑟𝑖) =0 𝐴′ = −𝐵′

𝑟𝑖2 +

3 + 𝜈 𝛾𝜔2

8𝑔𝑟𝑖2

𝐴′ =3 + 𝜈 𝛾𝜔2

8𝑔𝑟𝑒2 + 𝑟𝑖

2 𝐵′ =3 + 𝜈 𝛾𝜔2

8𝑔𝑟𝑒2𝑟𝑖2


• Stato di sforzo:

• Sforzi massimi sempre in corrispondenza della parte centrale del disco

Disco pieno

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𝜎𝑟 =3 + 𝜈 𝛾𝜔2


2 −𝑟𝑒2𝑟𝑖2

𝑟2− 𝑟2

𝜎𝑡 =3 + 𝜈 𝛾𝜔2


2 +𝑟𝑒2𝑟𝑖2

𝑟2−1 + 3𝜈

3 + 𝜈𝑟2


• Si definisce disco di uniforme resistenza un disco in cui in ogni punto la tensione radiale è uguale alla tensione circonferenziale ed è costante.

• Riscriviamo l’equazione di equilibrio considerando che lo spessore del disco non sarà costante

• Imponiamo la condizione di uniforme resistenza:

Disco di uniforme resistenza

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𝑑(𝜎𝑟𝑟𝑦)

𝑑𝑟− 𝑦𝜎𝑡 = −

𝛾

𝑔𝜔2𝑟2𝑦

𝜎𝑟 = 𝜎𝑡 = 𝜎0

𝑑𝑦

𝑑𝑟𝜎0𝑟 + 𝑦𝜎0 − 𝑦𝜎0 = −

𝛾

𝑔𝜔2𝑟2𝑦

𝑑𝑦

𝑦= −

𝛾

𝑔𝜎0𝜔2𝑟𝑑𝑟


• Integrando:

• Legge di variazione esponenziale dello spessore in funzione di r.

• Al bordo esterno la tensione radiale diversa da zero va equilibrata con una massa.

Disco di uniforme resistenza

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ln 𝑦 = −𝛾

𝑔𝜎0𝜔2𝑟2

2+ 𝑦0

𝑦 = 𝑦0𝑒𝑥𝑝 −𝛾

𝑔𝜎0𝜔2𝑟2

2


• Il comportamento di molti componenti (caldaie, serbatoi, cisterne, etc.) sono riconducibili al comportamento di gusci (shell)

• La teoria è complessa. Si semplifica notevolmente facendo le seguenti ipotesi:

• Sforzo uniforme nello spessore (assenza di flessioni)

• Guscio come superficie media di rotazione (simmetria assiale)

• Questa teoria , «detta particolare», fornisce soluzioni tanto più accurate quanto minore è lo spessore (comportamento membranale)

Teoria dei gusci

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• Equilibrio delle forze lungo la normale alla superficie

• Equazione di Laplace

𝜎𝑎𝜌𝑚+𝜎𝑐𝜌𝑡=𝑝

𝑡


• Equilibrio delle forze lungo la direzione assiale

• F risultante delle forze (pressione e non)

• Solo pressione interna:

• Il comportamento di molti componenti (caldaie, serbatoi, cisterne, etc.) sono riconducibili al comportamento di gusci (shell)

• La teoria è complessa. Si semplifica notevolmente facendo le seguenti ipotesi:

• Sforzo uniforme nello spessore (assenza di flessioni)

• Guscio come superficie media di rotazione (simmetria assiale)

• Questa teoria , «detta particolare», fornisce soluzioni tanto più accurate quanto minore è lo spessore (comportamento membranale)

Teoria dei gusci

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𝜎𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃2𝜋𝑟𝑡 = 𝐹

𝑝𝜋𝑟2 = 𝐹


• Equilibrio circonferenziale

• Equilibio assiale

Teoria dei gusci: equazioni di Mariotte

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𝑠

𝜎𝑐 =𝐹

𝐴=𝑝𝐷𝐿

2𝑠𝐿=𝑝𝐷

2𝑠

𝜌𝑚 = ∞ 𝑒 𝜌𝑡 = 𝐷/2

𝜃 =𝜋

2𝑒 𝐹 = 𝑝𝜋

𝐷

2

2

𝜎𝑎 =𝐹

𝐴=𝑝𝜋4𝐷2

𝑠2𝜋𝐷/2=𝑝𝐷

4𝑠


• Consideriamo un serbatoio contenente liquido. Le sollecitazioni sul serbatoio saranno dovute a:

• Pressione idrostatica del liquido

• Peso del liquido

• Peso proprio del serbatoio

• Il tratto AB del mantello cilindrico non è colmo e quindi è soggetto al solo peso del liquido + il peso proprio che genera tensione uniassiale

Teoria dei gusci: Serbatoio contenente liquido

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𝑝 ℎ = 𝜌𝑔ℎ = 𝛾𝐿ℎ


• Il punto maggiormente sollecitato del tratto BD è in D, dove agisce la massima pressione idrostatica

• In D:


CDM - N.Bonora 2016

𝜌𝑚 = ∞ 𝜌𝑡 = 𝑅 𝑝 = 𝛾𝐿𝐵𝐷 𝜃 = 𝜋/2


𝑠

𝜎𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃(2𝜋𝑟)𝑡 = 𝐹

𝐹 = 𝛾𝐿𝑉𝐿 + 𝛾𝑚𝑉𝑚 𝛾𝐿𝑉𝐿 = 𝐷

𝐸

𝑝(ℎ)𝜋𝑅2𝑑ℎ

𝜎𝑐 =𝛾𝐿𝐵𝐷

𝑠𝑅𝜎𝑎 =

𝛾𝑚𝑉𝑚 + 𝜋𝑅2 𝐷

𝐸𝑝(ℎ)𝑑ℎ

𝑠


• In E la tensione assiale si ottiene da:

• Con F peso del liquido (sino ad E) + peso della struttura


CDM - N.Bonora 2016

𝜌𝑚 = 𝜌𝑡= 𝑟

𝜎𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃(2𝜋𝑟)𝑡 = 𝐹

𝑝 = 𝛾𝐿𝐵𝐸


𝑠

𝜎𝑐 =𝛾𝐿𝐵𝐸

𝑠𝑟 − 𝜎𝑎


• Nel fondo e nel mantello di pari spessore le deformazioni circonferenziali non sono uguali. Tipicamente il fondo è più rigido (si deforma meno)

• Nelle zone di collegamento nascono delle sovratensioni che garantiscono la congruenza delle deformazioni

Interazione fondo-mantello

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• Congruenza degli spostamenti radiali.

• Serbatoio cilindrico:

• Fondo semisferico:


CDM - N.Bonora 2016

𝜎𝑐 =𝑝𝐷

2𝑠

𝜎𝑎 =𝑝𝐷

4𝑠

𝜀𝑐𝑀 =

𝜎𝑐𝐸−𝜈

𝐸𝜎𝑎 + 𝜎𝑟 =

𝑝𝐷

𝐸2𝑠𝑀1 −

𝜈

2

𝜎𝑐,𝑎 =𝑝𝐷

4𝑠𝜀𝑐𝐹 =

𝜎𝑐𝐸−𝜈

𝐸𝜎𝑎 + 𝜎𝑟 =

𝑝𝐷

𝐸2𝑠𝐹

1 − 𝜈

2


• Imponendo l’uguaglianza delle deformazioni radiali:


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𝜀𝑐𝑀 = 𝜀𝑐

𝐹

𝑝𝐷

𝐸2𝑠𝑀1 −

𝜈

2=𝑝𝐷

𝐸2𝑠𝐹

1 − 𝜈

2

𝑠𝐹 ≅ 0.41𝑠𝑀

𝑠𝐹𝑠𝑀=1 − 𝜈

2 − 𝜈

• La congruenza delle deformazioni comporta un peggioramento dello stato di tensione nella zona di transizione fondo-mantello

• La tensione assiale aumenta del 30% e quella circonferenziale del3%

• L’adozione di fondi con profilo più schiacciato comporta sovrasollecitazioni via via crescenti

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