soal evaluasi akhir semester 6

Soal Evaluasi Akhir Semester 6

1. Diberikan tiga persamaan sebagai berikut

f ( x , y , z )=x2+ y2+z2−14=0g ( x , y , z)=x2+2 y2−9=0h ( x , y , z )=x−3 y2+z2=0Dengan menggunakan metode Newton-Raphson, selesaikan ketiga persamaan tersebut secara simultan untuk mengestimasi nilai x,y,dan z. Jika

mk ( x , y , z )=mk−1 ( x , y , z )−J ¿

2. Sebuah batu dilemparkan dengan kecepatan horizontal 30m/det dengan sudut lemparan sebesar 60 derajat dari sumbu x. Jika batu tersebut dilemparkan dari ketinggian 60 meter.a. Turunkan persamaan vy (t), y(t) dan y(x)b. Hitung dengan menggunakan metode Newton, Bisection, dan Secant untuk

mengetahui waktu yang dibutuhkan agar batu mencapai ketinggian maksimum dan agar batu mencapai ke tanah. Selain itu juga, hitunglah x ketika batu sampai ke tanah.

3. Dengan menggunakan prinsip finite difference, hitung solusi dari persamaan

y ' '=−4 y+4 x y (0 )=0y ' ( π2 )=0Dengan banyaknya grid dalam finite difference sebanyak 30.

4. Cari solusi minimum global suatu fungsi banana

f ( x , y )=(1−x )2+100( y−x2)2

Dengan range [-5,5] untuk x dan y menggunakan salah satu metode variant PSO (G-PSO,CC-PSO,CP-PSO,PP-PSO,RR-PSO,dan lain-lain)

PAGE 1

Penyelesaian1. Untuk memperoleh persamaan dalam metode Newton-Raphson, digunakan

deret TaylorDengan tidak memperhitungkan orde dua dan orde yang lebih tinggi, maka persamaan dalam deret Taylor tersebut menjadi

Atau dapat ditulis menjadi

dengan J adalah matriks Jacobian yang berukuran n x n, yang berisikan turunan parsialAsumsikan bahwa x adalah pendekatan untuk mencari solusi f(x)=0 , dan x+Δx menjadi solusi perbaikan. Untuk mencari koreksi dari Δx, f(x+Δx)=0 sehingga persamaan menjadiUntuk menyelesaikan persamaan dengan metode Newton-Raphson secara

simultan dilakukan tahap-tahap berikut Mengestimsi solusi dari vector x Mengevaluasi fungsi f(x) Menghitung matriks Jacobian J(x) Membentuk persamaan yang simultan dan menyelesaiakan Δx Menjadikan nilai x menjadi x+ Δx Kembali ke poin 2 hingga 5

Untuk nilai dari jacobian adalah

Pemecahan persoalan

Tiga persmaan dalam soal ditulis menjadi

PAGE 2

Dengan variable x ditulis sebagai x1, y sebagai x2, dan z sebagai x3

Baris ke

Penjelasan

1 Nama dari fungsi, fungsi yang digunakan adalah fungsi yang ada dalam soal nomor 1

2 Penjelasan dari baris nomor 1, hanya sebagai komentar tidak dapat dioperasikan

3 Penguraian dari fungsi ke dalam bentuk matriks 3 x 1, baris ke 4 merupakan persamaan pertama, akan diletakan di baris pertama

dalam matriks

4 Persamaan ke dua, akan diletakan dalam baris kedua dalam matriks persamaan, variable z tetap ditulis agar dimensi matriks sama

namun bernilai nol.

5 Persamaan ke tiga akan diletakan dalam baris ke tiga dalam matriks. Koefisien dalam persamaan ini adalah nol, dan harus ditulis

nol untuk mempertahankan keseimbangan dimensi dari matriks

Kemudian pemrogaman untuk jacobian dalam matlab adalah sebagai berikut

Baris ke-

Penjelasan

1 Nama fungsi. Fungsi ini merupakan fungsi jacobian yang selanjutnya akan digunakan dalam penyelesaian Newton Raphson

2 Penjelasan dari fungsi jacobian

3

Nilai h yang digunakan dalam persamaan adalah 10-4.

h adalah selisih antara titik 1 dan titik 2

4 Nilai n adalah banyaknya fungsi yang akan diturunkan

5 Jacobian adalah matriks dengan ukuran n x n dengan semua

PAGE 3

elemen matriksnya adalah nol

6 Fungsi awal adalah fungsi yang digunakan dalam variabel x

7 Iterasi uang digunakan dalam symbol i, yang bergerak dari 1 hingga n

8 Pengulanagn atau iterasi dilakukan pada variable x(i)

9 Nilai x(i) merupakan nilai hasil pengulangan tersebut ditambahkan dengan besar nilai h

10 Fungsi f1 adalah fungsi persamaan yang akan di selesaikan

11 Nilai x(i) adalah nilai perulangan

12 Nilai Jacobin adalah nilai looping atau perhitungan berulang

dengan persamaan hingga semua fungsi dioperasikan

13 Akhir dari fungsi jacobian

Setekah fungsi dari jacobian telah dibentuk kemudian dilanjutkan dengan fungsi utama yaitu fungsi Newton-Raphson.

Baris ke-

Penjelasan

1 Nama fungsi, root merupakan akar dari persmaan, sedangkan fungsi yang digunakan adalah newtonraphson2, yang bertindak

dalam fungsi ini adaah fungsi yang akan diselesaikan, nilai toleransi, dan juga nilai x

2 Jumlah argument dalam fungsi input adalah 2 dan toleransi sebesar 104x 2-54 karena eps=2-54

PAGE 4

3 Akhir fungsi if

4 Jika ukuran dimensi matriks adalah x * 1, dan nilai x’ adalah x, berartix yang baru merupakan nilai x yang lama.

5 Akhir dari fungsi if

6 Nilai i berjalan dari 1 hingga 30, iterasi yang dilakukan adalah 30 kali

7 Fungsi jacobian yang telah dibahas sebelumnya

8 Jika akar kuadarat dari perkalian dot antara vector matriks fungsi kemudian dibagi dengan besarnya x lebih kecil dari nilai toleransi,

maka

9 Akarnya adalah nilai x, perhitungan diulangi

10 Akhir dari fungsi if

11 Besarnya dx adalah matriks jacobian yang bekerja dalam fungsi f0

12 Berlaku persamaan x=x+dx, x yang

13 Namun jika akar kuadrat dari perkalian dot antara dx dan dx dibagi dengan banyaknya x bernilai kurang dari toleransi

maksimum dari nilai absolut 1

14 Akar persamaan adalah x, kemudian perhitungan dikembalikan

15,16 Akhir dari fungsi

17 Fungsi ini akan error jika iterasi yang dilakukan terlalu banyak, berati pencarian akar penyelesaian dari persamaan yang dibrikan

tidak dapat ditemukan

Untuk persoalan dalam soal EAS ini persamaan ditulis terebih seperti pada pemrograman matlab yang pertama, kemudian fungsi ini akan dikerjakan dalam fungsi jacobian dan juga fungsi penyeesaian akar dengan metode Newton-Raphson. Solusi dari persmaan dalam soal dapat dicari dengan single command dalam command window, sebagai berikut

Command tersebut berate perintah untuk menjalankan fungsi newtonRaphson2 pada persamaan fquest1, dan dalam bentuk matriks berdimensi 1 x n. Hasilnya adalah sebagai berikut

Hasil ini berate nilai x dalam persamaan adalah 1.616, nilai y adalah 1.8113, dan nilai z dalam persamaan adalah 2,8776. Hasil ini akan menunjukan nilai yang sama walaupun umlah iterasi yang digunakan ditambahkan hingga 100

PAGE 5

kali pengulangan, berarti hasil yang ditunjukan sudah merupakan hasil penyelesaian yang diinginkan.

PAGE 6

2. Dari persoalan, diketahui bahwa kecepatan horizontal batu adalah 30m/s, sudut elevasi lemparan adalah 60derajat, sedangkan titik awal batu dilemarkan adalah pada ketinggian 60meter di atas tanah. Permasalahan ini dapat digambarkan dalam permodelan berikut

a. Persamaan-persamaan

v y (t )=v0 sinα ±−¿v0x=v0cosα v0=v0xcosα

v y ( t )=v0xcosα

sinα±>¿v y ( t )=v0x tan

y (t )=(v0 sin∝ )∗t−12¿2y (t )=v0 x tanα∗t−( 12 )g t 2x=v0x∗t t= x

v0 x

y ( x )=v0 xtanα∗xv0 x

−( 12 ) g( xv0x )2

y ( x )=tan∝∗x−12g ( xv0x )

2

mx+cb. 1.1 Waktu batu

Mencapai ke tanah

Persamaan umum yang akan digunakan adalah

y (t )= y0+(v0sin∝ )∗t−12¿2y (t )= y0+(v0x tan∝)∗t−1

2¿20=60+¿0=60+52∗t−t2

Persamaan tersebut kemudian ditulis ke daalm Matlab sebagai berikut

Baris ke- Penjelasan

1 Nama fungsi dalam variable t

PAGE 7

60meter

2 Isi dari fungsi waktu

b.1.1.1 Metode Newton-Raphson


1 Digunakan untuk menghapus fungsi sebelumnya

2 Tebakan awal bernilai 9

3 Nilai dt yang digunakan, merupakan nilai dt yang secara umum digunakan dalam semua fungsi yang berkaitan

4 Nilai dt yang digunakan sebesar 10-3

5 Jumlah iterasi yang digunakan sebanyak 20

7 Perulangan yang dilkaukan dengan menggunakan nilai ii yang berjalan dari 1 hingga n

8Fungsi umum dari metode Newton-Raphson, yaitu xn+1=xn+

f (xn)f 1(xn)

dengan x adalah t, dan fungsi x adalah fungsi waktu dalam t

9 Fungsi untuk penampilan

10 Akhir dari fungsi


1 Nama fungsi dalam t dan dt

2 Nilai dt, adalah nilai dt yang digunakan untuk fungsi yang terkait

3 Persamaan turunan(diferensial)

PAGE 8

4 Akhir dari fungsi

Hasil dari perhitungan dengan metode Newton-Raphson

Dalam hasil terlihat bahwa solusi ke 3 hingga ke 20 menunjukan nilai yang sama yaitu 11.448, hal ini berate nilai tersebut adalah solusi dari t yang dicari. Karena nilai tersebut telah konstan.

b.1.1.2 Metode Bisection

PAGE 9


1 Digunakan untuk menghapus perintah atau fungsi yang dijalankan sebelumnya

2 Nilai batas awal dan batas bawah awal, yaitu bernilai 3 untuk batas bawah awal, dan 13 utuk nilai batas atas awal

3 Jumlah iterasi yang akan dilakukan sebanyak 20

4 Nilai dari m(1) adalah batas bawah awal

5 Nilai dari m(2) adalah batas atas awal dan batas bawah awal dibagi dua, dalam artian m(2) adalah titik yang berada di tengah antara batas atas dan batas bawah awal

7 Itarasi yang dilakukan dalam ii yang bernilai dari 1 hingga jumlah iterasi.

8 Jika persamaan memenuhi syarat untuk mendapatkan solusi f (a ) f (b )<0, maka perhitungan dapat dilanjutkan

9 Nilai pada batas bawah akan menjadi a(ii+1)=m(ii+1)

10 Nilai pada batas atas b(ii+1) akan menjadi b(ii), yang berlaku adalah jika persamaan memenuhi persyaratan maka batas bawah akan bergerak lebih selangkah lebih maju dari batas pada saat iterasi dan batas bawahnya sesuai dengan iterasi yang sebelumnya

11 Penjelasan yang tidak akan beroperasi karena hanya sebuah komentar

12 Jika persamaan tidak memenuhi syarat pada baris ke 8, maka:

13 Nilai a(ii+1) akan menjadi a(ii)

14 Nilai b(ii+1) akan menjadi b(ii+1)

PAGE 10

15 Penjelasan yang tidak akan beroperasi karena hanya dalam sebuah fungsi


17 Persamaan umum dari metode bisection

18 Fungsi display hasil pada metode bisection


Hasil dari perhitungan yang dilakukan dengan menggunakan metode Bisection adalah sebagai berikut:

Solusi dari persamaan adalah 11.45. Hal ini diketahui karena nilai konstan yang muncul dalam hasil ini adalah 11.45 yang muncul secara terus menerus atau konstan pada iterasi ke 11 hingga iterasi ke 20.

b.1.1.3 Metode Secant

PAGE 11



2 Nilai tebakan awal t(1) bernilai 1

3 Nilai tebakan awal t(2) bernilai 13, nilai tebajan ini sebagai x1 dan x2 dalam persmaan secant secara umum.

4 Nilai dari f(1) adalah fungsi waktu 1 dikerjakan dengan menggunkana nilai t(1)

5 Nilai dari f(2) adalah fungsi waktu 1 dikerjakan dengan menggunkana nilai t(2)

6 Jumlah iterasi yang dilakukan sejumlah 10

8 Pengulangan yang dilakukan didasarkan pada nilai k yang bergerak dari nilai 2 hingga ke nilai akhir pada jumlah iterasi yang dilakukan

9Persamaan umum untuk metode secant xn+1=xn− yn

xn−xn+1yn− yn+1

dengan

x merupakan t dan y merupakan fungsi waktu(t)

10 Kemudian nilai t(k+1) pada baris 9 dimasukan dalam fungsi waktu dengan k+1

11 Fungsi display hasil


Hasil yang dihasilkan dari hitungan dengan menggunakna metode Secant dengan iterasi yang dilakukan sebanyak 9 kali

PAGE 12

Nilai solusi dari persamaan dengan menggunakan metode secant adalah 11.448. Nilai ini diambil sebagai nilai solusi dari persamaan karena nilai 11.448 telah muncul secara berulang mulai dari iterasi ke 5.

1.2. Jarak batu di tanah (x)

Dengan menggunakan persamaan

y ( x )=60+ tan∝∗x−12g( xv0 x )

2

y ( x )=60+1.7∗x− 5900

∗x2

Dengan nilai t adalah hasil dari pemechan solusi pada subbab b.1.1 , persamaan jarak batu ditusliskan dalam Matlab sebagai berikut


1 Nama fungsi berupa jarak dalam fungsi t

2 Fungsi yang dilakukan. Nilai t diambil dari solusi yang dilakukan sebelumnya

3 Akhir dari fungsi

Hasil dari perhitungan ini adalah

Jarak bola mendarat di tanah adalah 343.5 meter dari titik awal

PAGE 13

b.2 Waktu yang dibutuhkan agar batu mencapai ketinggian maksimum

persamaan umum yang akan digunakan adalah

y (t )=v0 x tanα∗t−( 12 )g t 2v y (t )2=v02−2∗g∗y ( t )v y ( t )2=v0

2−2∗g∗(v0 x tanα∗t−( 12 )g t 2)0=2700−2∗10∗52∗t+100∗t 20=2700−1040∗t+100∗t 2Persamaan tersebut ditulis di

dalam Matlab sebagai berikut

2.1. Metode Newton-Raphson

PAGE 14

2.2. Metode Secant

PAGE 15

2.3. Metode Bisection

PAGE 16

Penjelasan untuk pemrograman subbab b.2 sama dengan b.1, yang berbeda hanya persamaan yang digunakan dan juga hasil solusi yang dihasilkan. Dari perhitungan yang dilakuakan dengan ketiga metode ang dilakukan, diperoleh waktu untuk mencari waktu pada titik tertinggi adalah ≈ 5detik

3. Turunan dari pendekatan turunan berhingga untuk turunan f(x) berdasarkan pada ekspansi maju dan ekspansi mundur f(x) dalam deret Taylor, seperti

PAGE 17

4. Fungsi banana adalah

f ( x , y )=(1−x )2+100( y−x2)2

Akan diselesaikan dengan metode CP-PSOPertama fungsi banana yang akan digunakan ditulis sebagai

Baris ke-

Penjelasan

1 Nama fungsi adaah fungsi banana, dan variable yang diguanakna adalah variable X

2 Jumlah populasi yang digunakan dapat digunakan dengan fungsi yang lain

3 Untuk ii adalah berjalannya fungsi ke 1 hingga jumlah populasi, nilai ii ini digunkaan untuk iterasi

4 Fungsi banana dalam nilai ke ii. Untuk variable x ditulis sebagai x(1) dan variable y ditulis sebagai x(2)

5 Akhir dari fungsi

Dalam penyelesaian solusi minimum dalam range [-5,5] dengan menggunakan metode CP-PSO, fungsi-fungsi yang berkaitan adalah fungsi inisial, fungsi syarat, dan fungsi optimum local.Fungsi syarat yang digunakan adalah sebagai berikut

Baris ke-

Penjelasan

1 Nama fungsi yang bersangkutan, fungsi merupakan fungsi syarat

PAGE 18

dalam variabel X

2 Nilai batas atas dan bawah yang digunakan adalah nilai batas yang digunakan pada semua fungsi

3 Matriks berdimensi m x n

4 Pengulanagan yang akan dilakukan dari pergerakan nilai ii, yaitu dari 1 hingga m

5 Pengulangan berikutnya dilakukan oleh pergerkn jj dari 1 hinngga nilai n. Pengulanagan yang dilkukan adalah setiap ii bergerak 1

maka jj akan bergerak dari 1 hingga n.

6 Jika nilai X ke ii dank e jj lebih kecil dai batas bawah X ke jj, maka

7 Nilai X(ii,jj), nilai x ke I dan y ke j adalah

8 Atau jika nialai x dan y lebih besar dari batas atas y ke jj

9 Maka persamaanpada baris 8 akan memenuhi persamaan pada baris ke 9, dengan dikalikan dengan nilai batas y bawah dengan

nilai random

10-13 Akhir dari fungsi

Fungsi ini merupakan fungsi syarat yang digunakan dalam penyelesaian fungsi CP-PSO. Fungsi syarat ini berisi tentang fungsi apa yang harus dijalankan untuk kasus-kasus jika penyelesaian berada di luar batas atas dan batas bawah. Kemudian untuk fungsi optimum local


1 Nama fungsi yang akan digunakan, Fungsi tersebut berisikan X, Pbest, Ybest, dan Y. dengan X adalah posisi partikel saat ini, Pbest adalah posisi partikel terbaik, dan Ybest adalah posisi partikel dalam sumbu Y yang mana berisikan posisi partikel

terbaik, dan Y adalah posisi partikel dalam Y

2 Ukuran matriks yang digunakan adalah matriks berdimensi m x n

3 Pengulangan yang dilakuakn dari nilai ii, ii ini akan berjalan dari

PAGE 19

nilai 1 hingga nilai m

4 Jika posisi partikel lebih besar atau melebihi dari posisi partikel terbaik

5 Maka, posisi partikel dalam sumbu X yang terbaik merupakan posisi partikel yang terbaik

6 Sedangkan posisi Y merupakan Y yang terbaik

7 Komentar yang tidak akan dijalankan

8 Jika nilai partikel dalam sumbu Y ini lebih kecil atau di bawah posisi partikel terbaik, maka:

9 Nilai X yang dimaksut adalah nilai X yang dituju

10 Nilai Y yang dimaksut adalah nilai Y yang dituju

11-12 Akhir dari fungsi

Untuk fungsi inisial adalah sebagai berikut


1 Nama fungsi, merupakan fungsi inisial yang selanjutnya akan digunakan untuk penyelesaian CP-PSO. Fungsi Inisial ini

digunakan sebagai fungsi pembatas wilayah pencaria titik terbaik minimum atau maksimum

2 Nilai Npop X up Xbawah, merupakan jumlah populasi, batas atas, batas bawah yang digunakan untuk semua fungsi yang berkaitan

3 Posisi partikel sicari di persmaan pada baris ke tiga, dengan ones adalah matriks satuan yang berdimensi Npop*1 . Matriks satuan

ini digunakan untuk menyamakan dimensi matriks yang akan dioperasikan.

4 Akhir dari fungsi

Kemudian fungsi pada CP PSO adalah sebagai berikut

PAGE 20



2 Nilai

PAGE 21

soal evaluasi akhir semester 6

Documents