soal dan jawaban matriks

Download Soal Dan Jawaban Matriks

Post on 04-Jul-2015

17.467 views

Category:

Documents

7 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

YOGI MISBAHUDINX TKJ%#$FtNtSt MATHtHS FtNtSt MATHtHS.. ..kumpulan bilangan yang disaiikan secara teratur dalam barisdankolomyangmembentuksuatupersegi paniang, sertatermuat diantara sepasang tanda kurung.upa0a aaaa d|ma0:ad deaaaa at-|0: ?NOTASt MATHtHS NOTASt MATHtHS ,2,2,978 menggunakan huruI besar Anggota-anggota matriks dapat berupa huruI kecilmaupun angka Digunakan kurung biasa atau kurung siku 7/42,978 atau ukuran matriks merupakan banyaknyabaris (garis horizontal) dan banyaknya kolom(garisvertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut.

6 7 52 3 1A

i h gf e dc b aHNOTASt MATHtHS NOTASt MATHtHS-- -- adi, suatumatriksyangmempunyai mbarisdannkolomdisebut matriks berordo atau berukuran m x n. Memudahkan menuniuk anggota suatu matriksnoLaslA (a

)

23 2 2 2333a a a aa a a aa a a aa a a a...... ... ... ... ............3 2 13 33 32 312 23 22 211 13 12 11

Dengani 1,2,...,mi 1,2,...,nMATHtHS MATHtHS-- -- ontoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4x2 Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriksdinamakanentri dalammatriks ataudisebut iuga 00203,9,::38:7.

1 61 21 34 1ANOTASt MATHtHS NOTASt MATHtHS.. ..

23 2 233a a aa a aa a aA

2 12 22 211 12 11

BarisKolomUnsur MatriksMatriks berukuran m x n atau berorde m x nMATHtHS HAHtS AN HOLOM MATHtHS HAHtS AN HOLOM

Matriksbarisadalahmatriksyanghanyamempunyai satubaris MatrikskoIomadalahmatriksyanghanya mempunyai satukolom. ) 4 1 2 1

431

MATHtHS A = H MATHtHS A = H ua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila Adan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama (berordosama) dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama. aij = bijdimana- aij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j- bij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j A = Bdan A = Bdan

1 04 2A

1 04 2

5 1 02 4 2A

1 34 1

!N1tMLAHAN MATHtHS ApabilaAdanBmerupakanduamatriks yangukurannyasama, maka hasilpenjumlahan (A + B) adalah matriks yangdiperolehdenganmenambahkanbersama-samaentri yangseletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapatditambahkan.dan

33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a aA

33 32 3123 22 2113 12 11b b bb b bb b b

33 33 32 32 31 3123 23 22 22 21 2113 13 12 12 11 11b a b a b ab a b a b ab a b a b a A!N1tMLAHAN MATHtHSr r r r ontoh Soal

2 23 12 4A

2 11 24 3

2 2 1 21 3 2 14 2 3 4 A

4 34 12 7 A!NGtHANGAN MATHtHSrr rr rr rr AdanBadalahsuatuduamatriksyangukurannyasama,maka A-B adalah matriks yang diperoleh denganmengurangkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaiandalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapatdikurangkan.dan

33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a aA

33 32 3123 22 2113 12 11b b bb b bb b b

33 33 32 32 31 3123 23 22 22 21 2113 13 12 12 11 11b a b a b ab a b a b ab a b a b a A!NGtHANGAN MATHtHSr. r. r. r. ontoh

0 4 33 2 21 0 1A

2 4 34 2 11 1 1

2 0 4 4 3 34 3 2 2 1 21 1 1 0 1 1 A

2 0 07 0 32 1 0 A!HHALtAN MATHtHS NGAN SHALAH r r r r ika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) makamatriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh denganmengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikanmatriksdenganskalar dapat dituliskandi depanatau dibelakang matriks.(k((k

1 58 3A

1 * 4 5 * 48 * 4 3 * 44A

4 2032 124A!HHALtAN MATHtHS NGAN SHALAH r- r- r- r-Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalark(B+) = kB + kk(B-) = kB-k(k1+k2) = k1 + k2(k1-k2) = k1 k2(k1.k2) = k1(k2)!HHALtAN MATHtHS NGAN SHALAH r- r- r- r-ontohdengan k = 2, makaK(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B

1 21 0A

1 14 3

0 610 60 35 3* 2 )1 14 31 21 0( * 2 ) ( 2A

0 610 62 28 62 42 01 14 3* 21 21 0* 2 2 2A%#&%!HHALtAN MATHtHS NGAN SHALAH r. r. r. r.ontohdengan k1 = 2 dan k2 = 3, maka(k1+k2) = k1. + k2.

1 21 1

5 105 51 21 1* 51 21 1* ) 3 2 ( * ) (2 1

%#&%

5 105 53 63 32 42 21 21 1* ) 3 (1 21 1* ) 2 ( ) * * (2 1 !HHALtAN MATHtHS !HHALtAN MATHtHSr r r r !erkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidakbersifat komutatif. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua. ika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxpmaka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks =(cij ) berukuran mxp dimana!HHALtAN MATHtHS !HHALtAN MATHtHSr r r r ontoh :

013

))) 11 ) 0 * 1 ( ) 1 * 2 ( ) 3 * 3 (013* 1 2 3 *

A ) 1 2 3A )

0 0 01 2 33 6 91 * 0 2 * 0 3 * 01 * 1 2 * 1 3 * 11 * 3 2 * 3 3 * 31 2 3 *013* A !HHALtAN MATHtHS !HHALtAN MATHtHSr r r r Apabila A merupakan suatu matriks persegi, makaA = A.A ; A=A.A dan seterusnya Apabila AB = B maka tidak dapat disimpulkan bahwa A= (tidak berlaku sifat penghapusan) Apabila AB = A belum tentu B = Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau B=0 Terdapat beberapa hukum perkalian matriks 1. A(B) = (AB)2. A(B+) = AB+A3. (B+)A = BA+A4. A(B-)=AB-A. (B-)A = BA-A6. A(B) = (aB)= B(a)7. A = A = A1NtS1NtS ~~1NtS MATHtHS 1NtS MATHtHS. . . . Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yangberukuran n x n Matriks noI adalah matriks yang setiap entri atau elemennyaadalah bilangan nolSifat-sifat dari matriks nol-A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0-A*0=0, begitu juga 0*A=0.

1 34 1A

0 00 00 02 3

1NtS1NtS ~~1NtS MATHtHS 1NtS MATHtHS.r .r .r .r Matriks DiagonaI adalah matriks persegi yang semua elemendiatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. inotasikansebagai.ontoh : Matriks SkaIar adalah matriks diagonalyang semua elemenpada diagonalnya sama

5 0 00 2 00 0 13 3

5 0 00 5 00 0 53 3

1NtS1NtS ~~1NtS MATHtHS 1NtS MATHtHS.. .. .. .. Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemenpada diagonal utamanya bernilai 1.Sifat-sifat matriks identitasA*=A*A=A Matriks Segitigatas adalah matriks persegi yang elemen dibawah diagonal utamanya bernilai nol Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemendi atas diagonal utamanya bernilai nol

1 0 00 1 00 0 1

6 0 02 1 05 4 2A

1 5 20 4 30 0 1

THMtNAN MATHtHS THMtNAN MATHtHS. . . . $etiapmatrikspersegi ataubuiursangkarmemiliki nilaideterminan Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatuskalar. ika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol,maka matriks tersebut disebut matriks singular.NOTASt THMtNAN NOTASt THMtNAN.- .- .- .- Misalkanmatriks A merupakansebuahmatriks buiursangkar Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A) umlah det(A) disebut determinan A det(A) sering dinotasikan 'A'NOTASt THMtNAN NOTASt THMtNAN.- .- .- .- !adamatriks 2x2caramenghitungnilai determinannyaadalah : ontoh :

22 2112 11a aa aA21 12 22 11) det( a a a a A

3 15 2A1 5 6 ) det(A22 2112 11) det(a aa aA3 15 2) det(AMTO SAHHtS MTO SAHHtS.. .. .. .. !adamatriks 3x3caramenghitungnilai determinannyaadalah menggunakan Metode$arrus Metode$arrus hanya untuk matrix berdimensi3x312 21 33 11 23 32 13 22 31 32 21 13 31 23 12 33 22 11) det( a a a a a a a a a a a a a a a a a a A

33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a aAMTO SAHHtS MTO SAHHtS. . . . ontoh : Nilai Determinan dicari menggunakan metode$arrusdet(A) (-21-1) (232) (-3-10)(-312) (-230)-(2-1-1)2 1206-0-218

1 0 23 1 13 2 2AMtNOH MtNOH. . . . ang dimaksud dengan MINOR unsur aii adalahdeterminanyangberasal dari determinanordeke-ntadidikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-i. Dinotasikan dengan Mii ontoh Minor dari elemen a& &

33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a aA33 3223 2211a aa aM

44 43 42 4134 33 32 3124 23 22 2114 13 12 11a a a aa a a aa a a aa a a aA44 43 4234 33 3224 23 2211a a aa a aa a aM MtNOH MtNOH. . . . Minor-minor dari Matrik A (ordo3x3)THANS!OS MATHtHS ika A adalah suatu matriks mx n, maka tranpose AdinyatakanolehA dandidefinisikandenganmatriksnxmyang kolompertamanya adalah barispertama dari A, kolomkeduanyaadalahbariskeduadari A, demikianjugadengankolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya. ontohmatriks A berordo 2 x 3transposenya berordo 3 x 2

3 1 41 3 1A

3 11 34 19ATHANS!OS MATHtHSr r r rBeberapa Sifat Matriks Transpose% %% % %% %% % %A AAAA A AA

) .( 4) .( 3) .( 2) .( 1THANS!OS MATHtHS. . . .!embuktian aturan no1

23 23 22 22 21 2113 13 12 12 11 1123 22 2113 12 1123 22 2113 12 11b a b a b ab a b a b ab b bb b ba a aa a a A

23 22 2113 12 11b b bb b b

23 22 2113 12 11a a aa a aA

23 1322 1221 11a aa aa aA%

23 1322 1221 11b bb bb b

%

23 23 13 1322 22 12 1221 21 11 1123 1322 1221 1123 1322 1221 11b a b ab a b ab a b ab bb bb ba aa aa a A% %%#&%

23 23 13 1322 22 12 1221 21 11 11) (b a b ab a b ab a b a A%THANS!OS MATHtHS !embuktian aturan no 2

23 22 2113 12 11a a aa a aA

23 1322 1221 11a aa aa aA%

23 22 2113 12 1123 1322 1221 11) (a a aa a aa aa aa aA%% %%#&%MATHtHS StMTHt- - - -Sebuahmatriksdikatakansimetri apabilahasil dari transposematriks A sama dengan matriks A itu sendiri.ontoh1. 2.

0 0 20 0 32 3 10 0 20 0 32 3 1%AA

2 11 22 11 2%

A A%

tNVHS MATHtHS tNVHS MATHtHS- - - - Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriksB yangapabila dikalikan dengan matriks Amemberikan satuan I Notasi matriks invers : $ebuah matriks yang dikalikan matriks inversenya akanmenghasilkan matrik satuan ikaMaka1 AI A A 1

d cb aA

a cb dbc adA11tNVHS MATHtX tNVHS MATHtX. . . . angkah-langkah untuk mencari invers matriks Myangberordo3x3 adalah :- ari determinan dari M- Transpose matriks M sehingga meniadi- ari adioin matriks- Gunakan rumus%M)) ( () det(11M adioi3MM

tNVHS MATHtX tNVHS MATHtX ontoh$oal :-ari Determinannya :det(M) 1(0-24)-2(0-20)3(0-5) 1- Transpose matriks M

0 6 54 1 03 2 1M

0 4 36 1 25 0 1%MtNVHS MATHtX tNVHS MATHtX