Smith-CorripioTEMA 2Introducción y propiedades de la transformada de LaplaceLa transformada de Laplace de una función en el dominio del tiempo, representada como f (t) se calcula como sigue:F ( s)=L [ f (t ) ]=∫

0

∞

f ( t )∙ e−st ∙ dt

Las siguientes señales se aplican comunmente a los sistemas de instrumentación para estudiar sus respuestas dinámicas:-Escalón unitario, definido como un cambio súbito de una unidad de magnitud tal que:

u ( t )={0 ,∧t<01,∧t ≥0

L [ f ( t ) ]=∫0

∞

f ( t ) ∙ e−st ∙ dt=−1s

∙e− st ]0

∞

=−1s

∙ (0−1 )=1s

-Pulso de magnitud H y duración T, rerpresentado del siguiente modo:f ( t )={0 ,∧t<0 , t ≥ T

H ,∧0≤ t<T

L [ f ( t ) ]=∫0

∞

f ( t ) ∙ e−st ∙ dt=∫0

T

H ∙e−st ∙ dt=−Hs

∙ e−st ]0

T

=−Hs

∙ ( e−st−1 )= Hs

∙ (1−e−st )

-Función impulso unidad o delta de Dirac, δ (t) que representa un pulso ideal con duración cero y área unidad. Toda su área se concentra a tiempo cero, ya que la función

es cero en todo momento salvo en el propio cero, por tanto si el término e-st es igual a la unidad a t = 0, la transformada de Laplace será:L [δ (t ) ]=∫

0

∞

δ (t ) ∙ e− st ∙ dt=1

El resultado de la integración, 1, es el área del impulso. Se puede obtener el mismo resultado sustituyendo H = 1/T en el resultado final del apartado anterior del pulso de magnitud H, donde por tanto se tiene que H·T = 1, para posteriormente tomar límite cuando T tiende a cero.-Onda senoidal de amplitud unidad y frecuencia ω, que representada en su forma exponencial viene dada por:sinωt= e iωt−e−iωt

2i, sabiendoque i=√−1

L [sin ωt ]=∫0

∞

[ eiωt−e−iωt

2 i ] ∙ e−st ∙ dt= 12i

∙∫0

∞

(e iωt−e−iωt ) ∙ e−st ∙dt= 12 i

∙∫0

∞

( e−(−s−iω) ∙t−e−( s+ iω )∙ t ) ∙ dt ¿ 12i

∙ ( e−(−s−iω )∙ t

s−iω+ e− (s+iω )∙ t

s+iω )]0∞

= 12i

∙( 0−1s−iω+ 0−1

s+iω )= 12i

∙ 2iωs2+ω2=

ωs2+ω2

Tras esto se muestra una tabla con las transformadas más comunes:

La transformada de Laplace tiene unas propiedades asociadas, así como varios teoremas que verifica. De este modo se pueden citar a continuación, para su aplicación en problemas de ingeniería:-Linealidad, que para a constante se resume como sigueL [a·f (t ) ]=a·L [ f (t ) ]=a·F (s )

También es lineal la propiedad distributiva respecto la adición, siendo de nuevo a y b constantes:L [a·f ( t )+b ∙ g ( t ) ]=a·L [ f ( t ) ]+b· L [ g ( t ) ]=a·F (s )+b ∙G (s )

-Teorema de la diferenciación real, que establece una relación entre la derivada de una función y su transformada, de uso en la transformación de ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.L[ df ( t )

dt ]=s ∙ F (s )−f (0 )

Relación demostrable como sigue:L[ df ( t )

dt ]=∫0

∞ [df ( t )dt ] ∙ e−st ∙ dt , que si se integra por pa rtes

u=e−st y dv=[df ( t )dt ] ∙ dt , du=−s ∙e− st y v=f ( t )

L[ df ( t )dt ]=e−st ∙ f ( t ) ]0

∞−∫

0

∞

f ( t ) ∙ (−s ∙ e− st )∙ dt

(0−f (0 ) )+s ∙∫0

∞

f ( t ) ∙e− st ∙ dt=s ∙ F (s )−f (0 ) , c . q .d .

Puede extenderse a derivadas de orden superior fácilmente:L[ d2 f ( t )

dt2 ]=L[ ddt ∙( df ( t )

dt )]=s ∙ L[ df ( t )dt ]− df ( t )

dt |t =0

=¿

¿ s ∙ [ s ∙ F (s )−f (0 ) ]− df ( t )dt |

t=0=s2 ∙ F ( s )−s ∙ f (0 )− df ( t )

dt |t=0

Para cualquier orden se tiene que:L[ dn f (t )

dtn ]=sn∙ F (s )−sn−1 ∙ f (0 )−sn−2 ∙ f ' (0 )−…−dn−1 f ( t )

dt n−1 |t=0

Un caso muy importante en el control de procesos presenta condiciones iniciales propias del estado estacionario, ya que se admite que para t = 0 el sistema carece de perturbaciones. Pues bien, en este caso particular se tiene que:L[ dn f (t )

dtn ]=sn∙F (s )

-Teorema de la integración real, que establece una relación entre la transformada de Laplace de una función y la integral de la misma (Demostrable como el caso anterior, integrando la definición por partes):L[∫0

t

f ( t ) ∙ dt ]=1s ∙ F (s )

-Teorema de la traslación real, utilizado para trasladar la función el el eje del tiempo, dando como resultado una función retrasada en el mismo. Es de utilidad en el tratamiento de los tiempos muertos:L [f (t−t 0 ) ]=e−s t0 ∙F (s )

Como la transformada no contiene información sobre la función original en tiempo negativo, la función retrasada debe ser cero para tiempos menores que el tiempo de retardo, condición satisfecha si las variables de proceso se expresan como desviaciones de unas condiciones iniciales de estado estacionario. Se puede demostrar a partir de la definición de la transformada de Laplace:L [f (t−t 0 ) ]=∫

0

∞

f (t−t 0 ) ∙e− st ∙ dt ,con τ=t−t 0 , o t=¿ t0+τ ¿

L [f (t−t 0 ) ]= ∫τ=−t 0

∞

f ( τ ) ∙ e−s ( t0+τ )∙ d ( t0+ τ )=¿¿

¿ ∫τ =0

∞

f (τ ) ∙ e−s t0 ∙ e−sτ dτ=¿e− s t0∙∫0

∞

f ( τ ) ∙ e−sτ dτ=e−s t0 ∙F (s ) ¿

Nótese que se ha hecho uso de que f (τ) = 0 para τ < 0 (t < t0).-Teorema del valor final, que permite conocer el valor último de estado estacionario a partir de su transformada. Es también útil en la comprobación de las transformadas derivadas. Si el límite de f (t) cuando t tiende a infinito existe, se puede hallar de su transformada como sigue:

limt → ∞

f (t )=lims →0

[s ∙ F (s ) ]

Los siguientes teoremas no se emplean tan frecuentemente en el análisis de procesos, pero se enuncian por compleción.-Teorema de la diferenciación compleja, empleado para tratar con trasnformadas que involucran potencias de la variable independiente t

L [ t ∙ f (t ) ]=−dd s

∙F (s )

-Teorema de la traslación compleja, empleado para lidiar con funciones exponenciales del tiempoL [eat ∙ f (t ) ]=F (s−a )

-Teorema del valor inicial, que permite el cálculo del valor inicial de una función a partir de su transformada. Sería útil como comprobación de la validez de otras

transformadas pero en el análisis dinámico de procesos las condiciones iniciales de las variables suelen ser cerolimt →0

f (t )= lims → ∞

[ s ∙ F (s ) ]

EJEMPLOObtener la transformada de Laplace de la ecuación diferencial que sigue, sabiendo que sus condiciones iniciales en el estado estacionario son:9 d2 y ( t )

dt 2+6 dy (t )

dt+ y (t )=2 xt { y (0 )=0

dy (t )dt |

t=0=0

Aplicando la linealidad de la transformada se toma la transformada de cada término de la misma, quedando:9 ∙ L[ d2 y (t )

dt 2 ]+6 ∙ L[ df (t )dt ]+L [ y (t ) ]=2 ∙ L [ x (t ) ]

Luego se aplica el teorema de la diferenciación real para obtener:9 ∙ s2∙ Y (s )+6 ∙ s ∙ Y ( s )+Y ( s )=2∙ X (s )Resolviendo para el valor de Y (s) se tiene:

Y (s )= 29 s2+6s+1

∙ X (s )

EJEMPLOObtener la transformada de Laplace de la función dada a continuación:

c (t )=u (t−3 ) ∙ (1−e−(t−3 )4 )

Sabiendo que el primer término representa que la función es cero para t < 3. Representa un cambio de cero a uno en t = 3, lo cual significa que la expresión entre paréntesis se multiplica por cero antes de t = 3 y luego se multiplica por la unidad tras ello. La presencia de un escalor unitario no altera el comportamiento de la función para t ≥ 3.c (t )=f ( t−3 )=u ( t−3 ) ∙ (1−e

−(t−3 )4 )

Por tanto:f (t )=u (t ) ∙ (1−e

−t4 )=u (t )−u (t ) ∙ e

−t4

Aplicando la propiedad de la linealidad de la transformada, se tiene que para a = :¼

F ( s )=1s− 1

s+ 14

= 1s ∙ (4 s+1 )

Ahora se aplica el teorema de la traslación real:c ( t )=L [ f ( t−3 ) ]=e−3 s ∙ F (s )= e−3 s

s ∙ ( 4 s+1 )Se puede comprobar la validez aplicando el teorema del valor final:limt → ∞

c (t )= limt →∞

[u (t−3 ) ∙(1−e−(t−3)4 )]=1

lims →0

[s ∙ C ( s) ]=lims→0 [ e−3 s

s ∙ (4 s+1 ) ]=1

Solucionar ecuaciones diferenciales con transformadas de Laplace