slides act6420-e2014-ts-1

1. Arthur CHARPENTIER - Mod`eles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Mod`eles de prevision Partie 2 - series temporelles # 1 Arthur Charpentier [email protected] http ://freakonometrics.hypotheses.org/ Ete 2014

2. Arthur CHARPENTIER - Modèles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Plan du cours Motivation et introduction aux series temporelles Methodes de lissage Modèles de regression (Buys-Ballot) Lissage(s) exponentiel(s) (Holt-Winters) Notions generales sur les processus stationnaires Les processus SARIMA Les modèles autoregressifs, AR(p), (L)Xt = t Les modèles moyennes mobiles, MA(q) (moving average), Xt = (L)t Les modèles autoregtressifs et moyenne mobiles, ARMA(p, q), (L)Xt = (L)t Les modèles autoregtressifs, ARIMA(p, d, q), (1 L)d (L)Xt = (L)t Les modèles autoregtressifs, SARIMA(p, d, q), (1 L)d (1 Ls )(L)Xt = (L)t Prevision avec un SARIMA, T XT +h

3. Arthur CHARPENTIER - Modèles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Methode de Buys Balot - la tendance Notons (Xt) une serie temporelle, observee jusquà la date T. Si on a une tendance lineaire, on cherche à resoudre = (0, 1) argmin T t=1 (Xt (0 + 1 t))2 > autoroute=read.table( + "http://freakonometrics.blog.free.fr/public/data/autoroute.csv", + header=TRUE,sep=";") > a7=autoroute$a007 > X=ts(a7,start = c(1989, 9), frequency = 12) > T=time(X) > S=cycle(X) > B=data.frame(x=as.vector(X),T=as.vector(T),S=as.vector(S)) > regT=lm(x~T,data=B) > plot(X) > abline(regT,col="red")

4. Arthur CHARPENTIER - Mod`eles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Methode de Buys Balot - la tendance Time X 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 200003000040000500006000070000

5. Arthur CHARPENTIER - Mod`eles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Methode de Buys Balot - la tendance Posons Yt = Xt (0 + 1t) > X1=predict(regT) > B$X1=X1 > Y=B$X1 > plot(X,xlab="",ylab="") > YU=apply(cbind(X,Y),1,max) > YL=apply(cbind(X,Y),1,min) > i=which(is.na(Y)==FALSE) > polygon(c(T[i],rev(T[i])),c(Y[i],rev(YU[i])),col="blue") > polygon(c(T[i],rev(T[i])),c(Y[i],rev(YL[i])),col="red") > lines(B$T,Y,lwd=3)

6. Arthur CHARPENTIER - Mod`eles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Methode de Buys Balot - la tendance 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 200003000040000500006000070000

7. Arthur CHARPENTIER - Mod`eles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Methode de Buys Balot - le cycle On cherche un cycle mensuel (de periode s = 12). Supposons Yt = s1 k=0 k1(t = k mod. s) + Zt > B$res1=X-X1 > regS=lm(res1~0+as.factor(S),data=B) > B$X2=predict(regS) > plot(B$S,B$res1,xlab="saisonnalite") > lines(B$S[1:4],B$X2[1:4],col="red",lwd=2) > lines(B$S[5:13],B$X2[5:13],col="red",lwd=2) Remarque mod. est loperateur de calcul du reste de la division euclidienne, ex : 27 mod. 12 = 27 (12 2) = 3

8. Arthur CHARPENTIER - Mod`eles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Methode de Buys Balot - le cycle q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q 2 4 6 8 10 12 20000100000100002000030000 saisonnalit B$res1

9. Arthur CHARPENTIER - Mod`eles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Methode de Buys Balot - le cycle Alors Xt = 0 + 1t tendance lineaire + s1 k=0 k1(t = k mod. s) cycle +Zt > plot(X,xlab="",ylab="") > YU=apply(cbind(X,Y),1,max) > YL=apply(cbind(X,Y),1,min) > i=which(is.na(Y)==FALSE) > polygon(c(T[i],rev(T[i])),c(Y[i],rev(YU[i])),col="blue") > polygon(c(T[i],rev(T[i])),c(Y[i],rev(YL[i])),col="red") > lines(B$T,Y,lwd=3)

10. Arthur CHARPENTIER - Mod`eles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Methode de Buys Balot - tendance et cycle 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 200003000040000500006000070000

11. Arthur CHARPENTIER - Mod`eles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Methode de Buys Balot - prevision On peut alors faire de la prevision, en supposant le bruit Zt i.i.d., i.e. T XT +h = E(XT +h|X1 , XT ) = 0 + 1[T + h] + s1 k=0 k1(T + h = k mod. s) > n=length(T) > T0=T[(n-23):n]+2 > plot(X,xlim=range(c(T,T0))) > X1p=predict(regT,newdata=data.frame(T=T0)) > Yp=X1p+B$X2[(n-23):n] > se=sd(X-Y) > YpU=Yp+1.96*se > YpL=Yp-1.96*se > polygon(c(T0,rev(T0)),c(YpU,rev(YpL)),col="yellow",border=NA) > lines(T0,Yp,col="red",lwd=3) > lines(B$T,Y,lwd=3,col="red")

12. Arthur CHARPENTIER - Mod`eles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Methode de Buys Balot - prevision Time X 1990 1992 1994 1996 1998 200003000040000500006000070000

13. Arthur CHARPENTIER - Mod`eles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Formalisation de Buys-Ballot (1847) > sncf=read.table( + "http://freakonometrics.blog.free.fr/public/data/sncf.csv", + header=TRUE,sep=";") > SNCF=ts(as.vector(t(as.matrix(sncf[,2:13]))), + ,start = c(1963, 1), frequency = 12) > plot(SNCF,lwd=2,col="purple")

14. Arthur CHARPENTIER - Mod`eles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Formalisation de Buys-Ballot (1847) La serie Xt est la somme de 2 composantes deterministes : une tendance Zt, dune saisonnalite St et dune composante aleatoire t Xt = Zt + St + t. On suppose que Zt et St sont des combinaisons lineaires de fonctions connues dans le temps, Zi t et Sj t , i.e. Zt = 0 + Z1 t 1 + Z2 t 2 + ... + Zm t m (ex : 0 + 1 t) St = S1 t 1 + S2 t 2 + ... + Ss t n. Le but est destimer les 1, ..., m et 1, ..., n `a partir des T observations. Xt = m i=1 Zi ti + s j=1 Sj t j + t pour t = 1, ..., T.

15. Arthur CHARPENTIER - Mod`eles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Formalisation de Buys-Ballot (1847) La forme de St depend du type de donnees, et de la forme de la saisonnalite. On consid`erera ici des fonctions Si t indicatrices, Si t = 0 si t = mois i 1 si t = mois i ou Si t = 0 si t = 0 [modulo i] 1 si t = 0 [modulo i] . Example : Considerons des donnees trimestrielles, Xt = + t Zt + 1S1 t + 2S2 t + 3S3 t + 4S4 t St + t,

16. Arthur CHARPENTIER - Mod`eles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Que lon peut ecrire de facon matricielle, 5130 6410 8080 5900 5110 6680 8350 5910 5080 ... Xt = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... t 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ... S1 t 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ... S2 t 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ... S3 t 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ... S4 t 1 2 3 4 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... t

17. Arthur CHARPENTIER - Mod`eles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Formalisation de Buys-Ballot (1847) Remark : pour transformer les donnees en donnees trimestrielles (et non plus mensuelles) > SNCFQ= ts(apply(matrix(as.numeric(SNCF),3,length(SNCF)/3),2,sum), + start = c(1963, 1), frequency = 4) > plot(SNCFQ,col="red") > SNCFQ Qtr1 Qtr2 Qtr3 Qtr4 1963 5130 6410 8080 5900 1964 5110 6680 8350 5910 1965 5080 6820 8190 5990 1966 5310 6600 8090 6020 ... etc.

18. Arthur CHARPENTIER - Mod`eles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Formalisation de Buys-Ballot (1847) Le graphique des donnees trimestrielles est le suivant

19. Arthur CHARPENTIER - Modèles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Formalisation de Buys-Ballot (1847) On considère un modèle de la forme Xt = m i=1 Zi ti + s j=1 Sj t j + t pour t = 1, ..., T. La methode des moindres carres ordinaires consiste à choisir les i et j de facon à minimiser le carre des erreurs i, j = arg min T t=1 2 t = arg min T t=1 Xt m i=1 Zi ti + s j=1 Sj t j 2 .

20. Arthur CHARPENTIER - Mod`eles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) Formalisation de Buys-Ballot (1847) > T = seq(from=1963,to=1980.75,by=.25) > Q = rep(1:4,18) > reg=lm(SNCFQ~0+T+as.factor(Q)) > summary(reg) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) T 231.87 12.55 18.47 plot(D,T,col="light blue",xlab="Temperature minimale journaliere Paris",ylab="",cex=.5) 1. Estimer la tendance lineaire Xt = [0 + 1 t] + Yt > abline(h=0,lty=2,col="grey") > abline(lm(T~D),lwd=2,col="red")

25. Arthur CHARPENTIER - Mod`eles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) q q qq q qq qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q qqq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q qq q q q q q q q q q qq q q q q qq q q q q q q q qq q q qq q q q q q q q q qq qq q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q qq q q q q q q q qq q q q q q qq q q q q q q q q q q q qqq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q qq q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q q q 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26. Arthur CHARPENTIER - Mod`eles de previsions (ACT6420 - Ete 2014) 2. Representer la serie residuelle Yt = Xt [0 + 1 t] q q qq q qq qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q qqq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q qq q q q q q q q q q qq q q q q qq q q q q q q q qq q q qq q q q q q q q q qq qq q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q

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