skurcz betonu - konspekt

Author: grzesmir

Post on 07-Jul-2018

235 views

Category:

Documents


2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt

    1/14

    2015-08-

     Marek Wesołowski  

     Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

    Skur cz betonu

    Geneza, właściwości, konsekwencje 

    •  A.Mitzel , Reologia betonu, Arkady, Warszawa 1972

    • T.Szulczyński, Wpływ skurczu betonu na wielkość momentu zarysowania zginanychelementów żelbetowych, Archiwum Inżynierii Lądowej 2/1975 

    •  H.Rüsch D.Jungwirth, Skurcz i pełzanie w konstrukcjach betonowych, Arkady,Warszawa 1979

    •  K. Flaga, Skurcz betonu i jego wpływ na nośność, użytkowalność i trwałośćkonstrukcji żelbetowych i sprężonych, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej,

    Kraków 2002 

    •  K. Flaga, Zbrojenie przeciwskurczowe, obliczenia, zalecenia konstrukcyjne w

     budownictwie powszechnym, XVII Ogólnopolska Konferencja Warsztat Pracy

    Projektanta Konstrukcji, Ustroń 20 ÷ 23 lutego 2002

    • W. Kiernożycki, Betonowe konstrukcje masywne, Polski Cement, Kraków 2003 

    •  K. Flaga, Naprężenia skurczowe i zbrojenie przypowierzchniowe w konstrukcjach

     betonowych, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 2004 

    •  K. Flaga, Naprężenia skurczowe i zbrojenie przypowierzchniowe w konstrukcjach

     betonowych, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 2011 

    •  K. Flaga, Rola skurczu betonu w żelbetowych elementach konstrukcyjnych,

    Inżynieria i Budownictwo 9/2014 

    Skurcz betonu –  literatura

    Norma europejska

    EN 1992-1-1. Eur ocode 2. Design of concr ete structures  , Part 1-1. General rules and rules for buildings,

    European Commitee for Standarization, Brussels 2004

    PN-EN 1992-1-1.Eur okod 2. Projektowanie konstrukcji z betonu  ,Część 1-1. Reguły ogólne i reguły dla budynków,Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2008

    Norma polska

    PN-B-03264:2002. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone, 

    Obliczenia statyczne i projektowanie,Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2002

    Skurcz betonu –  literatura Skurcz betonu –  dane podstawowe

    Skurcz betonu  jest procesem zmian objętościowych, wywołanych złożonymi

    zjawiskami fizyko-chemicznymi. Powstają one skutkiem wysychania

    twardniejącego zaczynu cementowego –  skurcz od wysychania (zwany także

    fizycznym, wilgotnościowym) oraz wskutek zachodzących w młodym betonie

     procesów przemian strukturalnych i chemicznych –  skurcz samoczynny (zwany

    także samorodnym, chemicznym, autogenicznym, właściwym, plastycznym). 

    Skurcz wilgotnościowy rozwija się powoli, gdyż wynika z powolnego procesu

    migracji wody przez twardniejący beton. 

    Skurcz autogeniczny kształtuje się w trakcie procesu twardnienia masy

     betonowej i dlatego ważna jego część narasta we wczesnym okresie po

    zarobieniu mieszanki betonowej –   jest on liniową funkcją wytrzymałości betonu. 

     Profesor Bronisław Bukowski nazywał go skurczem powstałym z kontrakcji(o charakterze fizyko-chemicznym), czyli z nieodwracalnego zmniejszania

    objętości, towarzyszącego reakcjom chemicznym w betonie, w tym przypadku

    zmniejszaniem objętości układu woda-cement w procesie tężenia oraz

     początkowego okresu twardnienia betonu. 

    W najogólniejszym przypadku, dla bryły betonu o dowolnym kształcie, miarę

    miarodajnego wymiaru przekroju można zdefiniować wzorem 

    gdzie

    V c   –   objętość bryły betonu 

     Aout    –   zewnętrzna powierzchnia betonu, podlegająca wysychaniu 

    Skurcz betonu –  dane podstawowe

    Ponieważ dominującą składową skurczu betonu jest skurcz od wysychania, który

    uzależniony jest głównie od stosunku powierzchni zewnętrznej elementu

    (podlegającej wysychaniu) do jego objętości (zawierającej niezwiązaną wodę),

    stąd jako praktyczną miarę stopnia zwartości zadanego elementu wprowadzono pojęcie miarodajnego wymiaru przekroju ho .

    out 

    co  A

    V h

       2

    Skurcz betonu –  dane podstawowe

    Dla prętowego elementu pryzmatycznego miarodajny wymiar przekroju

    można obliczyć według relacji 

    gdzie

     Ac   –   pole przekroju poprzecznego elementu

    u  –   obwód przekroju poprzecznego elementu 

    l  –   długość elementu 

     Au A Al u l  A AV h cc

    c

    c

    out 

    co

    22222

    Ponieważ dla pręta o znacznej długości (teoretycznie dla l   ∞) stosunek pola

     przekroju poprzecznego do długości zmierza do zera, otrzymuje się 

    u A

    h   co

     2

    Jest to definicja normowa, lecz ważna jedynie dla pręta pryzmatycznego ,

    o czym normy  PN-EN   oraz  PN   jednak nie wspominają! 

  • 8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt

    2/14

    2015-08-

    Dla bryły betonu o dowolnym kształcie, miarę modułu powierzchniowegoelementu definiuje się wzorem 

    gdzie

    V c   –   objętość bryły betonu 

     Aout    –   zewnętrzna powierzchnia betonu, podlegająca wysychaniu 

    Skurcz betonu –  dane podstawowe

    Drugim parametrem, ważnym do oceny zjawiska skurczu betonu (obok

    wspomnianego wcześniej miarodajnego wymiaru przekroju) jest inna miara

    stopnia zwartości elementu w postaci modułu powierzchniowego mo .

    c

    out o V 

     Am  

    Dla zadanego prętowego elementu pryzmatycznego, związek pomiędzy

    modułem powierzchniowym mo a miarodajnym wymiarem przekroju ho 

    opisanym normową zależnością 

    Skurcz betonu –  dane podstawowe

     Na tej podstawie wyróżnia się trzy typy elementów, w zależności od ich modułu

     powierzchniowego:

    •  elementy masywne  mo    2 m-1 

    •  elementy średniomasywne   2 < mo  < 15 m-1 

    •  elementy niemasywne  mo    15 m-1 

    oo h

    m   2

    u A

    h   co

     2

     jest następujący 

    Skurcz betonu –  dane podstawowe

    Skurcz od wysychania objawia się objętościowym zmniejszaniem się bryły

     betonu (co w przypadku elementu prętowego prowadzi praktycznie do jego

    dominującego skracania się podłużnego). 

     Natomiast w sytuacji ograniczenia swobody odkształceń  betonu, powstają

    wymuszone naprężenia wewnętrzne, które dla elementu prętowego mają

    charakter stanu liniowego.

    Wymuszenia powyższe wynikają z dwóch przyczyn:

    • więzów wewnętrznych  –  generowanych przez istniejące zbrojenie elementu

    żelbetowego, 

    • więzów zewnętrznych  –  związanych ze skrępowaniem elementu na

     podporach lub w innych jego obszarach.

    Teoretycznie , umożliwienie swobody odkształceń  bryły betonu w każdym

    dowolnym punkcie, prowadziłoby do beznaprężeniowej  zmiany jej kształtu. 

    Skurcz betonu –  dane podstawowe

     Należy jednak mieć dodatkowo na względzie, że nawet jeżeli nie będzie żadnych

    więzów wewnętrznych (czyli przy braku zbrojenia) ani więzów zewnętrznych

    (czyli przy umożliwieniu całkowitej swobody na podporach), a element zostanie

    dodatkowo w pełni odizolowany od otoczenia zewnętrznego (czyli będzie

    zabezpieczony przed wysychaniem) –  to i tak objawią się w nim odkształcenia

    skurczowe, spowodowane trzecią przyczyną: wewnętrznymi procesami

    chemicznymi w betonie (skurcz autogeniczny).

    W tej sytuacji generowane skutkiem tego nieliniowe i niestacjonarne pola

    wilgotnościowe (wspomniane już wcześniej) pociągają za sobą powstanie

    wypadkowego nieliniowego stanu naprężeń własnych, który charakteryzuje się

    tym, że przypowierzchniowe pasma betonu są rozciągane, natomiast pasma

    wewnętrzne są ściskane. 

     Naprężenia te powstają na skutek oporu jednych warstw betonu w stosunku do

    innych (co wynika z tendencji do nierównomiernych odkształceń skurczowych

     poszczególnych warstw betonu). 

    Według  A.M.Freundenthala (1906-1977), przez długie lata będącego wzorcem

    dla wielu norm, odkształcenia skurczowe można opisać relacją 

    gdzie

    t  –   czas wysychania betonu, w latach

    Skurcz betonu –  ujęcie klasyczne 

    41041 6)(  t t t cs 

    W tym ujęciu, dla czasu t   ∞ wynika

    końcowa wartość odkształceń skurczowych: 0,15·10 -3 = 0,15 ‰ 

    Warto zauważyć, że wg powyższego wzoru otrzymuje się  

    • dla czasu t  = 0,25 roku: 1/2 skurczu całkowitego 

    • dla czasu t  = 0,50 roku: 2/3 skurczu całkowitego 

    • dla czasu t  = 1,00 roku: 8/10 skurczu całkowitego 

    Ponieważ skurcz betonu polega na zmniejszaniu się jego objętości, nasuwa się

    logiczny wniosek, że dla elementów liniowych można jego skutki modelować

    adekwatnym spadkiem temperatury, według relacji 

    gdzie

    αt    –   współczynnik liniowej rozszerzalności betonu   ΔT  –   równoważny skurczowi spadek temperatury 

    Skurcz betonu –  ujęcie klasyczne 

    Przyjmując średnią wartość współczynnika liniowej rozszerzalności betonu na

     poziomie 1· 10-5 1/deg, to przy zastosowaniu wzoru A.M.Freundenthala, dla

    którego końcowa wartość odkształceń skurczowych wynosi 0,15‰ wynika, że

    skurcz ten jest równoważny z obniżeniem temperatury betonu o 15 stopni .

    T t cs     

    Taką wartość przyjmowano w klasycznej teorii żelbetu oraz w wielu normach

     projektowania konstrukcji z betonu w poprzednich dekadach.

  • 8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt

    3/14

    2015-08-

    Całkowite odkształcenia skurczowe  betonu opisuje wzór  

    gdzie

     cd    –   odkształcenie skurczowe od wysychania 

     ca   –   odkształcenie skurczowe autogeniczne 

    W normie  PN-EN   odkształcenia skurczowe betonu opisano z uwzględnieniem

    wszystkich istotnych parametrów materiałowych i warunków środowiskowych,

    a także biorąc pod uwagę technologię wykonywania konstrukcji oraz pielęgnację

    świeżego betonu. 

    cacd cs        

    Skurcz betonu wg PN-EN:2008

    W porównaniu do wcześniejszych norm należy mieć na uwadze istotny fakt, że

    końcowe odkształcenia skurczowe w skrajnie niekorzystnych warunkach mogą

     być znacznie większe, aniżeli klasyczna ich wartość wynosząca 0,15 ‰. 

    Końcowe wartości skurczu przy wysychaniu oblicza się z następującego

    wzoru (odmiennego niż w PN ):

    gdziek h   –   współczynnik zależny od miarodajnego wymiaru przekroju  

    εcd,o   –   nominalne odkształcenia skurczowe przy wysychaniu 

    ocd hcd    k  ,)(       

    Skurcz betonu wg PN-EN:2008

    Współczynnik korekcyjny k h wyznacza się z następującej tabeli: 

     Nominalne odkształcenia skurczowe przy wysychaniu opisuje relacja 

    gdzie

     f cm   –   średnia wytrzymałość betonu na ściskanie 

     f cmo   –   porównawcza wytrzymałość betonu, równa 10 MPa 

       RH    –   współczynnik zależny od wilgotności otoczenia 

     ds1   –   współczynnik zależny od rodzaju cementu 

    = 3 –  dla cementów klasy (S) 

    = 4 –  dla cementów klasy (N) 

    = 6 –  dla cementów klasy (R) 

     ds2   –   współczynnik zależny od rodzaju cementu 

    = 0,13 –  dla cementów klasy (S) 

    = 0,12 –  dla cementów klasy (N) 

    = 0,11 –  dla cementów klasy (R) 

    Skurcz betonu wg PN-EN:2008

    6

    21,   10exp)110220(85,0 

     

      

        RH 

    cmo

    cmdsdsocd 

     f  

     f       

    Tempo narastania w czasie skurczu od wysychania przedstawia równanie

    (odmienne niż w PN )

    gdzie

    t  –   czas (wiek betonu) w dniach

    t  s   –   wiek betonu (w dniach) na początku procesu wysychania 

    ho   –   miarodajny wymiar przekroju równy 2Ac /u

     Ac   –   pole przekroju betonu

    u  –   obwód części przekroju wystawionej na wysychanie 

    34,0),(

    o s

     s sds

    ht t 

    t t t t 

      

    Skurcz betonu wg PN-EN:2008

    Przebieg skurczu od wysychania w funkcji czasu  jest w tym ujęciu ostatecznie

    opisany zależnością 

    ocd h sdscd    k t t t  ,),()(         

    Końcowe wartości skurczu autogenicznego oblicza się z następującego wzoru

    (analogicznego jak w PN ):

    gdzie

     f ck    –   charakterystyczna wytrzymałość betonu (MPa) 

    610)10(5,2)( 

      ck ca   f   

    f ck   [MPa] ca (∞) [‰] 

    12 0,01

    16 0,02

    20 0,03

    25 0,04

    30 0,05

    35 0,06

    40 0,08

    45 0,09

    50 0,10

    Skurcz betonu wg PN-EN:2008

    Tempo narastania w czasie skurczu autogenicznego przedstawia równanie

    (analogiczne jak w PN ):

    gdzie

    t  –   czas (wiek betonu) w dniach

    )2,0exp(1)(   t t as     

    )()()(     caasca   t t        

    Skurcz betonu wg PN-EN:2008

    Przebieg skurczu autogenicznego w funkcji czasu jest ostatecznie opisany

    zależnością 

  • 8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt

    4/14

    2015-08-

    Odkształcenia skurczowe betonu niezbrojonego (swobodnego)  cs  realizują

    się w stanie beznaprężeniowym. 

    Więzami wewnętrznymi dla elementu żelbetowego jest opór zbrojenia,

    spowodowany faktem, że stal zbrojeniowa –  w przeciwieństwie do betonu –  nie

    ulega samoistnie odkształceniom reologicznym. 

    Efekt skurczu betonu wskutek więzów wewnętrznych  

    Efekt działania więzów wewnętrznych w kontekście skurczu betonu zostanie przedstawiony poniżej, na przykładzie symetrycznego elementu zbrojonego,

    o jednostkowej długości. 

    Odkształcenia skurczowe betonu zbrojonego (z więzami wewnętrznymi)  cs RC  

    są mniejsze od odkształceń skurczu swobodnego i generują stan naprężeń

    wewnętrznych w elemencie. 

    Efekt skurczu betonu wskutek więzów wewnętrznych  

     Schemat do wyznaczania odkształceń i naprężeń skurczowych 

    wskutek więzów wewnętrznych 

    Ponieważ wypadkowa siła normalna w przekroju żelbetowym musi być równa

    zero, stąd otrzymujemy zależność 

    Efekt skurczu betonu wskutek więzów wewnętrznych  

    0   sc   N  N 

    Podstawiając odpowiednie wartości odkształceń, wynikające z zasady

    zachowania płaskich przekrojów, dochodzimy do równania 

      0   s RC cs sc RC cscsc   E  A E  A      

    Dzieląc obustronnie przez  Ac· E c  mamy

    0   RC cs se RC 

    cscs         

    … i ostatecznie 

    cs

     se

     RC 

    cs       

       

    1

    1 Skurcz elementu żelbetowego  bez uwzględnienia relaksacji

     betonu wskutek jego pełzania 

    Naprężenia normalne w betonie (rozciągające) wynoszą 

    Efekt skurczu betonu wskutek więzów wewnętrznych  

      csc se

     sec

     RC 

    cscsc   E  E        

            

    1

    Naprężenia normalne w stali (ściskające) wynoszą 

    cs s

     se

     s

     RC 

    cs s   E  E        

        

    1

    1

     Należy raz jeszcze wyraźnie podkreślić, że w wyniku działania więzów

    wewnętrznych nie jest generowana żadna zewnętrzna siła normalna. 

    W metodzie uniwersalnej (która dalej będzie zamiennie nazywana metodą sił

    uogólnionych  N  s  –   M  s ) zakłada się, że najpierw swobodny beton (nie związany

    ze stalą siłami przyczepności) uległ skurczowi beznaprężeniowemu  o wielkości

     jednostkowej  cs  –  natomiast każdy pręt zbrojeniowy został oddzielnie ściśniętyadekwatną dla niego zewnętrzną siłą normalną, co wygenerowało w każdym z

    nich naprężenia 

    Efekt skurczu dla więzów wewnętrznych wg metody uniwersalnej  

     scs s   E    

    Następnie usunięto wspomniane zewnętrzne siły normalne w każdym pręcie,

    których rolę przejęły naprężenia przyczepności na styku stali i betonu. 

    W konsekwencji tego, wskutek odkształcalności betonu, pierwotnie ściśnięte

     pręty doznały stopniowego odprężenia, sukcesywnie rozciągając przy tym

     beton, aż do osiągnięcia stanu równowagi w przekroju. 

    W tej sytuacji opisane powyżej zjawisko można analizować obliczeniowo biorąc

     pod uwagę żelbetowy przekrój sprowadzony (z uwzględnieniem istniejącej stali

    zbrojeniowej, co uwzględnia częściowe jej odprężenie), poddany działaniu

    mimośrodowego rozciągania siłami w stali  N  si  według poniższego szkicu (dla przykładowych dwóch warstw zbrojenia): 

    Efekt skurczu dla więzów wewnętrznych wg metody uniwersalnej  

    Schemat odpowiada sytuacji, gdy A s1  > As2   –  w wyniku tego moment M s  wygina element ku dołowi  

    (gdy As1  < As2   –  wygięcie ku górze, natomiast dla As1  = As2   –  tylko zmiana długości od siły N s )

  • 8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt

    5/14

    2015-08-

    Dla tego przypadku otrzymujemy wypadkową siłę normalną od stali

    Efekt skurczu dla więzów wewnętrznych wg metody uniwersalnej  

      2121   s scs s scs s s s   A E  A E  N  N  N      

      )()( 221121   a z  N a z  N  M  M  M   g  sd  s s s s

      )()( 2211   a z  A E a z  A E   g  s scsd  s scs     

     s scs g  sd  s scs   S  E a z  Aa z  A E           )]()([ 2211

     s scs s s scs   A E  A A E  

           )( 21

    W ostatniej zależności wielkość S  s  jest momentem statycznym zbrojenia

    względem środka ciężkości przekroju żelbetowego (fazy I lub fazy II). 

    oraz wypadkowy moment zginający od stali

    Interpretując wpływ skurczu jako działanie pary sił uogólnionych  N  s  –   M  s(odniesionych do przekroju sprowadzonego) otrzymujemy ze znanych wzorów

    następujące relacje 

    Efekt skurczu dla więzów wewnętrznych wg metody uniwersalnej  

    Z powyższych równań wynikają zależności 

     g csc

     s

    csc

     s

    cg    z  J  E 

     M 

     A E 

     N 

     

    csc

     s

    csc

     scd    z 

     J  E 

     M 

     A E 

     N  

    cg cs g         

    cd csd         

    W szczególnym przypadku, dla zbrojenia symetrycznego ( A s2 = A s1), moment

    zginający  M  s wynosi zero, skąd otrzymujemy 

    Efekt skurczu dla więzów wewnętrznych wg metody uniwersalnej  

    a po dalszych podstawieniach dochodzimy do wyrażenia 

    csc

     sccd cg 

     A E 

     N       

      cs se se

    cs

     secc

     s s

    csc

     s scsc

     A E 

     A E 

     A E 

     A E  

       

        

       

        

    11

    Jak widać, odkształcenia wyznaczone powyższą metodą mają identyczną postać 

     jak wcześniej obliczone w elementarnych rozważaniach wstępnych. 

    Efekt skurczu dla więzów wewnętrznych wg metody uniwersalnej  

    Obraz graficzny przekroju żelbetowego w stanie równowagi: 

    stal ściśnięta odkształceniami εs natomiast beton rozciągnięty odkształceniami εc

    Po wyznaczeniu odkształceń   d     s1    s2    g   można obliczyć towarzyszące im

    naprężenia, oparte na bazie teorii liniowej sprężystości, która w tym przypadku

    może mieć adekwatne zastosowanie: 

    Efekt skurczu betonu wskutek więzów wewnętrznych  

    W powyższych wzorach przyjęto następującą konwencję znakowania naprężeń: 

    rozciąganie  ( + )

    ściskanie  ( –  )

     Należy raz jeszcze zwrócić uwagę na fakt, że powyższe wzory nie uwzględniają

    pełzania betonu, powodującego relaksację naprężeń. 

      c g cs g    E       

      cd csd    E       

     s s s   E    22     

     s s s   E    11     

    Uwzględnienie relaksacji naprężeń wskutek pełzania betonu może być

    dokonane przy założeniu stałych –  niezależnych od czasu –  naprężeń w betonie. 

    Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego 

     przy czym moduł sprężystości opóźnionej (reologicznej) opisuje równanie 

    ,

    11c

     p

    c

     pel  E  E 

      

        

     p

    cc

     E  E 

     1

    ,

    Ten postulat z uwagi na fakt, że efekt skurczu ma charakter wymuszenia typukinematycznego, może być przyjęty bez większych zastrzeżeń. 

    Zostanie to przedstawione na przykładzie symetrycznego elementu zbrojonego,

    w którym dla czasu t  = ∞ mamy całkowite odkształcenia jednostkowe równe 

  • 8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt

    6/14

    2015-08-

    Z wcześniejszych rozwiązań, bez uwzględnienia pełzania betonu (czyli według

    interpretacji reologicznej dla czasu t  = 0 ) uzyskano odkształcenia skurczowe

    dla żelbetowego elementu symetrycznego w postaci 

    gdzie

    Stosując metodę sił uogólnionych  N  s  –   M  s dla czasu t  = ∞  mamy z kolei

    c

     se

     E 

     E  

    cs se

     RC 

    cs         

    1

    1

     s scs s   A E  N     

    0 s M 

    Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego 

    W tej sytuacji obliczamy odkształcenia według wzoru  

    gdzie

     ,

    ,

    c

     se

     E 

     E  

      cs se se

    cs

     secc

     s s

    csc

     s scsc

     A E 

     A E 

     A E 

     A E  

       

        

       

        

    ,

    ,

    ,,,,

    ,11

     ,,

    ,

    csc

     sc

     A E 

     N  

    czyli

    Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego 

     Na tej podstawie otrzymujemy ostatecznie odkształcenia skurczowe elementu

    żelbetowego z uwzględnieniem pełzania betonu (czyli według interpretacji

    reologicznej dla czasu t  = ∞ ) 

     pe pc

     s

    c

     se

     E  E 

     E  E        

      11,

    ,

    cs

     se

    cs

     se

     se

    csccs

     RC 

    cs       

        

             

    ,,

    ,

    ,,1

    1

    1

    Jak widać, jest to postać równania analogiczna jak dla czasu t  = 0, z jedną tylko

    różnicą: zamiast αe  mamy αe∞  –   przy czym między tymi dwiema wielkościamizachodzi relacja

    Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego 

    W tej sytuacji można wyznaczyć związek zachodzący między odkształceniami

    elementu z uwzględnieniem pełzania betonu, a odkształceniami bez

    uwzględnienia pełzania betonu, otrzymując  

     p

     se

     se p se

     se

     se

     se

     RC 

    cs

     RC 

    cs

        

           

       

       

       

     

     

    11

    1

    11

    1

    1

    1

    ,

    ,

    Przyjmując następnie oznaczenie 

     se

     se

       

        

    1

    mamy

    3

    ,

    1

    1k 

     p

     RC 

    cs

     RC 

    cs

       

     

    Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego 

    Uwaga: z definicji k 3 < 1

    Aby uwzględnić efekt reologiczny w postaci starzenia betonu, we wzorze

    opisującym współczynnik zmniejszający  k 3  w jego pierwotnej postaci

    dokonuje się modyfikacji, wprowadzając przy φ p  dodatkowy mnożnik   β  

    Przy analizie zjawisk skurczowych przyjmuje się najczęściej  

    80,0  

    Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego 

     p

    k   

    1

    13

     p

    k       

    1

    13

     Interpretacja graficzna efektu skurczu z uwzględnieniem pełzania betonu 

    rysunek górny: po czasie t = 0, rysunek dolny: po czasie t = ∞ 

    Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego 

  • 8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt

    7/14

    2015-08-

    Po czasie t  = 0

    cs

     se

     RC 

    cs s       

        

    1

    1

    cs

     se

     se RC 

    cscsc       

            

    1

     s

     RC 

    cs s   E    

      c RC cscsc   E       

    Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego 

    Po czasie t  = ∞ 

     s

     RC 

    cscs

     se

     RC 

    cs s   k k          

        

      33

    ,

    ,,1

    1

     s s

     RC 

    cs s

     RC 

    cs s   k  E k  E               33,,

     RC 

    cscscs

     se

     se RC 

    cscsc   k          

            

      3

    ,

    ,

    ,,1

          ,3,,,   c RC cscsc RC cscsc   E k  E         

    Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego 

    Mamy zatem następujące związki 

    33, k k 

     s

     s

     s

     s

     

     

     

     

    33, k k 

     s

     s

     s

     s

     

     

     

     

      3

    ,

    ,,1

    1

    1k  p

     se

     se

     se

     se

    c

    c

     

       

       

       

       

     

     

      33,,,

    11   k  E 

     E 

    k  E 

     E 

     pc

    c

     pcc

    cc

    c

    c

     

       

     

     

     

    Wniosek : odkształcenia stali, naprężenia stali, naprężenia betonu zmieniają się

     proporcjonalnie do k 3  –  nie dotyczy to odkształceń betonu!

    Wpływ pełzania betonu dla symetrycznego elementu zbrojonego 

    W najogólniejszym przypadku, dla elementu dowolnie zbrojonego, stan

    odkształceń dla czasu  t  = ∞ uzyskamy metodą sił uogólnionych  N  s  –   M  sstosując we wzorach obliczeniowych parametry materiałowe adekwatne dla

    wyżej wymienionego czasu. 

    a następnie wyznaczamy odkształcenia krawędziowe betonu według wzorów 

    Przyjmujemy zatem wyjściowe siły uogólnione w znanej formule  

    Wpływ pełzania betonu dla dowolnego elementu zbrojonego 

     s scs s   S  E  M     

     s scs s   A E  N     

        ,,,,,,   g csc

     s

    csc

     s

    cg 

      z  J  E 

     M 

     A E 

     N  

        ,,,,,

    ,   d 

    csc

     s

    csc

     scd    z 

     J  E 

     M 

     A E 

     N  

    Po wyznaczeniu odkształceń krawędziowych betonu można łatwo obliczyć

    dopełniające odkształcenia krawędziowe:

    Powyższe odkształcenia stanowią punkt wyjścia do obliczenia odpowiednich

    odkształceń stali zbrojeniowej w poszczególnych jej warstwach. 

    Wpływ pełzania betonu dla dowolnego elementu zbrojonego 

        ,,,,   cg cs RC 

     g cs g        

        ,,,,   cd cs RC 

    d csd        

    W tym celu wystarczy tylko znajomość usytuowania poszczególnych warstw

     prętów zbrojeniowych, a następnie skorzystanie z elementarnych zależności

    geometrycznych, wynikających z zasady zachowania płaskich przekrojów.

    Więzami zewnętrznymi elementu żelbetowego są dodatkowe podpory, tworzące

    ustrój statycznie niewyznaczalny, krępujące jego swobodne przemieszczenia.  

    Efekt skurczu betonu wskutek więzów zewnętrznych 

    Efekt działania więzów zewnętrznych w kontekście skurczu betonu zostanie przedstawiony na przykładzie symetrycznego elementu zbrojonego,

    o jednostkowej długości, w schemacie pręta obustronnie utwierdzonego: 

  • 8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt

    8/14

    2015-08-

    Przed analizą wpływu więzów zewnętrznych na zachowanie się elementu

    żelbetowego poddanego skurczowi betonu, należy przypomnieć podstawowy

    fakt, że każda zmiana odkształceń tegoż elementu, przy założeniu zgodności

    odkształceń stali i betonu (co z definicji stanowi istotną cechę konstrukcji

    żelbetowych, opisaną warunkiem:  c =   s =   ), wymaga zaistnienia siły 

    normalnej o wartości 

    Efekt skurczu betonu wskutek więzów zewnętrznych 

    Po uporządkowaniu prowadzi to do znanej relacji  

     s scc s scc sc   A E  A E  A A N  N  N           )(

                

      

        cc se

    c

     s

    c

     scc   A E 

     A

     A

     E 

     E  A E  N    11)(

    Przy więzach zewnętrznych niepodatnych (sztywnych) rozważanego

    elementu, powstaje stan jego wymuszonego rozciągania o wartości  cs RC  .

    Efekt skurczu betonu wskutek więzów zewnętrznych 

    Skutkiem tego generowana jest zewnętrzna siła normalna , której wartość

    można obliczyć, w kontekście poczynionej przed chwilą uwagi, z zależności 

    Podstawiając do powyższego równania wyprowadzoną wcześniej wielkość  

      RC cscc seo RC 

    cs   A E  N  N  N               1)()(

    cs

     se

     RC 

    cs       

       

    1

    1

    otrzymujemy wyrażenie alternatywne 

      cscccs se

    cc seo   A E  A E  N         

         

    1

    11

    Stal zbrojeniowa wskutek niepodatnych więzów zewnętrznych poddana

    rozciąganiu jednostkowemu  cs RC   niejako powraca do swego położenia

    wyjściowego, jak przed zabetonowaniem elementu, stąd naprężenia normalne

    w stali są zerowe, a siła normalna wynosi 

    Efekt skurczu betonu wskutek więzów zewnętrznych 

    Beton od momentu zabetonowania elementu poddany został wypadkowemu

    rozciąganiu jednostkowemu  cs  (odpowiadającemu skurczowi swobodnemu

    elementu betonowego), wykazując naprężenia normalne (bez uwzględnienia

    relaksacji betonu wskutek jego pełzania) o wartości  

      c RC 

    cs seccsc   E  E               1

    Skutkiem tego globalna siła w betonie jest równa 

      cc RC 

    cs secccsccc   A E  A E  A N               1

    0   s s s   A N     

    Warto zauważyć, że globalna siła w betonie, obliczona poprzednim wzorem,

     jest dokładnierówna zewnętrznej sile normalnej, generowanej wskutek

    więzów zewnętrznych w postaci niepodatnych podpór. 

    Efekt skurczu betonu wskutek więzów zewnętrznych 

    co powoduje, że na podporach nie jest potrzebna żadna siła zewnętrzna. 

     Nie powinno to jednak dziwić, gdyż w przypadku braku więzów zewnętrznych 

    sumaryczna siła rozciągająca w betonie jest równoważona sumaryczną siłą

    ściskającą w stali, czyli zachodzi  

     Natomiast w przypadku niepodatnych więzów zewnętrznych, skutkiem czego

    w stali naprężenia ponownie powracają do zera (jak przed zabetonowaniem),

    celem zrównoważenia siły rozciągającej w betonie (która w międzyczasie

    wzrosła w stosunku do stanu, gdy nie było niepodatnych więzów zewnętrznych)

    musi na podporach powstać zewnętrzna siła normalna o takiej samej wartości

     jak wspomniana siła w betonie. 

     sc   N  N  

    Opisany przed chwilą mechanizm powstawania zewnętrznej siły rozciągającej

    oraz obliczona wielkość tej siły dotyczyły sytuacji, gdy element żelbetowy

    wskutek rozciągania od skurczu nie uległ zarysowaniu. 

    Efekt skurczu betonu wskutek więzów zewnętrznych 

    Prowadzi to do zmniejszenia rozciągającej siły normalnej na podporze do

    wartości 

    Po zarysowaniu sytuacja ulega istotnej jakościowej oraz ilościowej zmianie:

    zakładając, że powstało n  rys o rozwarciu wk   –  wymuszone jednostkowe

    odkształcenia ε x  wskutek niepodatnych więzów zewnętrznych są mniejsze niżdla elementu niezarysowanego, proporcjonalnie do sumy szerokości powstałych

    rys, co dla elementu żelbetowego o długości l   można wyrazić równaniem 

    wn k  RC cs x

      

       

      

       

    wn A E  A E  N    k  RC cscc se xcc se x              11

    Po przekształceniach otrzymujemy siłę po zarysowaniu elementu w postaci  

    Efekt skurczu betonu wskutek więzów zewnętrznych 

    Ponieważ siła przed zarysowaniem elementu wynosiła 

    zatem siła rozciągająca po zarysowaniu może być opisana relacją 

     

     

     

     

    wn A E  N 

     RC cs

    k  RC 

    cscc se x         11

      RC cscc seo   A E  N            1

      

     

      

     

      11 o RC 

    cs

    k o x   N 

    wn N  N 

     RC 

    cs

     x

     RC 

    cs

    o

     x

    wn

     N 

     N 

     

      

     

      11

    lub

  • 8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt

    9/14

    2015-08-

    Znając siłę po zarysowaniu elementu 

    Efekt skurczu betonu wskutek więzów zewnętrznych 

    oraz siłę przed zarysowaniem elementu 

    można wyznaczyć spadek siły wskutek zarysowania elementu  

     

      

     

    wn A E  N 

     RC 

    cs

    k  RC 

    cscc se x 

           11

      RC cscc seo   A E  N            1

    Stąd względna miara ubytku siły rozciągającej wskutek zarysowania wynosi 

      

    wn

     N 

     N  RC 

    cs

    o

    wn A E  N  N  N    k cc se xo

        1

    Stal zbrojeniowa w elemencie zarysowanym, wskutek niepodatnych więzów

    zewnętrznych wykazuje średnie naprężenia równe zero, przy czym w rysach

    oraz w ich otoczeniu jest lokalnie rozciągana, natomiast pomiędzy rysami jest

    lokalnie ściskana. 

    Efekt skurczu betonu wskutek więzów zewnętrznych 

    Beton w elemencie zarysowanym, wskutek niepodatnych więzów zewnętrznych

    wykazuje spadek naprężeń rozciągających z pierwotnej wartości przed

    zarysowaniem elementu: 

      c RC 

    cs seccso   E  E               1

    do wartości po zarysowaniu elementu  

            1oc

    Rzeczywiste i obliczeniowe naprężenia skurczowe w betonie 

     Zależność σ–ε dla betonu w strefie rozciąganej, wynikająca z jego nieliniowości materiałowej:  

    σ pl  –  naprężenia rzeczywiste (plastyczne), σ el   –  naprężenia obliczeniowe (sprężyste, elastyczne) 

    W nawiązaniu do poprzedniego rysunku, należy zwrócić uwagę na fakt, że

    obliczając naprężenia rozciągające w betonie według teorii liniowej (co w

     praktyce ma najczęściej miejsce), przeszacowuje się naprężenia obliczeniowe

    w stosunku do rzeczywistych, z uwagi na nieliniowość materiałową betonu.

    Przyjmując w strefie rozciąganej betonu przebieg zależności σ–ε  wedługparaboli drugiego stopnia (co jest wystarczająco dokładne), otrzymuje się

    zależność między naprężeniami sprężystymi –  liniowymi ( σ el ), a naprężeniami plastycznymi –  nieliniowymi ( σ  pl ) w postaci

     

      

     

    ct 

    el el  pl 

     f  

     

     

       

    2

    11

    Przykładowo, dla φ = 1,7 (często przyjmowana wartość w praktyce)

    242,07,1

    17,1122

     

     

     

    Rzeczywiste i obliczeniowe naprężenia skurczowe w betonie 

    Do tej pory były omawiane odkształcenia i naprężenia skurczowe, wynikające

    z istnienia więzów wewnętrznych oraz zewnętrznych w rozpatrywanym

    elemencie żelbetowym. 

    Naprężenia skurczowe własne 

    Istnieje jeszcze trzecia składowa odkształceń i naprężeń skurczowych: są to

    naprężenia skurczowe własne, wynikające z nieliniowych i niestacjonarnych pól

    wilgotnościowych w elemencie. 

    Jak wspomniano już wcześniej, naprężenia skurczowe własne są wynikiem

    oporu  poszczególnych warstw betonu w stosunku do warstw sąsiednich,

    spowodowanego ich zróżnicowaną odkształcalnością skurczową. 

     Na następnym rysunku zostanie przedstawiony przykładowy rozkład

    wspomnianych nieliniowych i niestacjonarnych pól wilgotnościowych w dwóch

    różnych okresach czasu. 

     Interpretacja graficzna nieliniowych i niestacjonarnych pól wilgotnościowych w elemencie 

     z uwzględnieniem funkcji czasu  

    Naprężenia skurczowe własne 

  • 8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt

    10/14

    2015-08-

     Na szkicu obrazującym pole wilgotności na grubości elementu żelbetowego

    wyszczególniono następujące wielkości: 

    U o   –   wilgotność wyjściowa (po zarobieniu betonu) 

    U  z    –   wilgotność zewnętrzna (powietrza) = constU w   –   wilgotność wnętrza elementu po czasie τ  U  p   –   wilgotność powierzchni betonu po czasie τ  U  śr    –   wilgotność średnia elementu po czasie τ  U kr   –   wilgotność średnia początkowa elementu 

    Naprężenia skurczowe własne 

     Należy wspomnieć, że naprężenia skurczowe własne, będące skutkiem

    nieliniowych i niestacjonarnych pól wilgotnościowych, mają przebieg podobny 

    do pól wilgotnościowych w rozważanym czasie. 

    Odkształcenia skurczowe wynikające z więzów zewnętrznych i wewnętrznych

    (oporu zbrojenia) są funkcją średniej zmiany wilgotności w przekroju:

    Naprężenia skurczowe własne 

     Natomiast odkształcenia skurczowe własne zależą od gradientu wilgotności

    przypowierzchniowe j elementu:

              śr w śr kr w

     I 

    cs   U U U   

           p śr w III cs   U U   

              śr w śr kr w

     II 

    cs   U U U   

    W powyższych wzorach  β w  oznacza współczynnik liniowy względnejodkształcalności wilgotnościowej betonu dla jednostkowej względnej zmiany

    wilgotności wagowej 

     Naprężenia skurczowe własne na tle pozostałych dwóch składowych naprężeń skurczowych w elemencie 

    (beznaprężeniowa część skurczu wynika z podatności więzów zewnętrznych)  

    Naprężenia skurczowe własne 

    Schemat do wyznaczania przypowierzchni owego zbroj enia przeciwskurczowego

    dla elementów masywnych i średniomasywnych 

    Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne  

    W elementach o średniej masywności krzywa naprężeń skurczowych własnych

    (w przybliżeniu podobna do kształtu pola wilgotności) zbliżona jest do paraboli

    trzeciego stopnia, stąd szerokość przypowierzchniowej strefy rozciąganej wynosi 

    Mniejsze wartości odpowiadają elementom o dużej grubości (gdy moduł

     powierzchniowy jest znacząco mniejszy od 2,0 m-1), natomiast większe wartości

    odpowiadają elementom o współczynniku masywności zbliżonym do 2,0 m-1 .

    bb     185,01

    W elementach masywnych krzywa naprężeń skurczowych własnych (w ślad za

    kształtem pola wilgotności) zbliża się do parabol wyższych stopni, stąd

    szerokość przypowierzchniowej strefy rozciąganej wynosi  

     bb     15,005,01

    Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne  

    Przekrój zbrojenia przeciwskurczowego w warstwie przypowierzchniowej

    o szerokości b1  wyznacza się z warunku podobnego, jak przy klasycznym

    obliczaniu zbrojenia minimalnego w elementach żelbetowych, czyli przy

    założeniu, że w momencie pojawienia się rysy (w tym przypadku rysyskurczowej) cała bryła naprężeń rozciągających musi być przejęta przez stal. 

     przy czym powierzchnia strefy rozciąganej wynosi w tej sytuacji 

    Powyższy postulat można ująć w sposób przybliżony ogólnym warunkiem 

    ct ct  y ss   f   A f   A  

    00,11  b Act 

    Przybliżenie  powyższej procedury polega na założeniu, że w strefie rozciąganej

    naprężenia w betonie są stałe, równe wytrzymałości betonu na rozciąganie. 

    Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne  

  • 8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt

    11/14

    2015-08-

    Po przekształceniach dochodzi się do relacji  

    W zależności od tego, jakie konkretne wartości przyjmuje się w odniesieniu do

    wytrzymałości betonu na rozciąganie ( f ct ) oraz do wytrzymałości stali ( f  y),

    uzyskuje się różne formuły obliczeniowe do wyznaczania potrzebnego zbrojenia

     przeciwskurczowego.

    a po wykorzystaniu definicji stopnia zbrojenia w przypowierzchniowej warstwie

     betonu uzyskuje się 

     y

    ct 

    ct 

     ss

     f  

     f  

     A

     A

     y

    ct  ss

     f  

     f    

    Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne  

    Według F.Leonhardta

    Według H.Rüscha –  D.Jungwirtha

     yk 

    ctm

     yk 

    ctk 

     ss f  

     f  

     f  

     f     30,195.0,  

       yk 

    ctm

     yk 

    ctmctm

     yk 

    ctmctk 

     ss f  

     f  

     f  

     f   f  

     f  

     f   f  

      89,0

    7,05,005,1

    5,005,1

      05.0,  

    Według K.Flagi

     yk 

    ctm ss

     f  

     f     10,1  

    Według PN-EN:2008

     yk 

    ctm ss

     f  

     f     00,1  

    Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne  

    Przy wyznaczaniu zbrojenia przypowierzchniowego z uwagi na działanie

    naprężeń skurczowych własnych, należy mieć dodatkowo na względzie

    spełnienie wymagań w zakresie ograniczenia szerokości rys.

    Wykorzystując pierwszy i trzeci człon powyższej relacji uzyskuje się 

    Wychodząc z teorii przyczepnościowej, rozstaw rys  sr   wyznacza się z warunku 

     s sct ct r  sbm   A A f   su       

    Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne  

     s

     s

    bm

     sr 

    u

     A s  

     

     

     przy czym τ bm  opisuje średnie naprężenia przyczepności w betonie  

    Dla n  jednakowych prętów zbrojeniowych o średnicy ϕ s  otrzymuje się 

    Ponieważ odległość pomiędzy rysami w skrajnych przypadkach wynosi  sr   lub

    2 sr   –  stąd średnia ich odległość jest równa 

    stąd rozstaw rys  sr   wynosi

    Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne  

    44

    2

     s

     s

     s

     s

     s

    n

    n

    u

     A    

      

      

    4

     s

    bm

     sr  s

       

     

     

    r r r 

    rm   s s s

     s  

    2

    3

    2

    2

    W tej sytuacji otrzymujemy

    uzyskuje się ostatecznie 

    Przyjmując przybliżenie 

    Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne  

    bm

     s s s

    bm

     srm s  

       

     

       

    8

    3

    42

    3

    3

    1

    9

    3

    8

    3

    bm

     s srm s

     

      

    3

    Przy założeniu, że całe wydłużenie elementu realizuje się tylko w rysie (bez

    uwzględnienia rozciągania betonu na odcinku między rysami, czyli bez efektu

    tension stiffening ), średnią szerokość rysy wrm  wyznacza się z warunku 

     pociąga za sobą 

    Zatem postulat ograniczenia szerokości rys 

    Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne  

     sbm

     s s

    bm

     s s

     s

     srm srm

     E  E  sw

     

      

     

        

    33

    2

    limwwrm 

    2

    lim3

     s

     sbm s

     E w

     

      

     

  • 8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt

    12/14

    2015-08-

    Przy zastosowaniu minimalnego zbrojenia przeciwskurczowego, które z definicji

    ulega uplastycznieniu po zarysowaniu, otrzymujemy

    Jest to wzór  H.Rüscha –  D.Jungwirtha  nakładany na średnicę zbrojenia przeciwskurczowego, celem kontroli szerokości rys skurczowych, przy czym dla

     prętów zabetonowanych w pozycji poziomej autorzy dopuszczają przyjęcie 

    stąd warunek ograniczenia średnicy prętów zbrojeniowych przyjmuje postać 

    Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne  

     yk  s   f   

    2

    lim3

     yk 

     sbm s

     f  

     E w      

     

    cmbm   f     15,0 

    Warto zauważyć, że średnica prętów ϕ s  odpowiadająca uplastycznieniuminimalnego zbrojenia przeciwskurczowego, może być zamieniona na średnicę

    większą ϕ  –   przy czym, aby spełnić wymóg ograniczenia szerokości rys, należyzmienić któryś z innych parametrów wpływających na szerokość rys. 

    •  dla wyjściowej średnicy ϕ s 

    Praktycznie mamy jedynie wpływ na zmniejszenie naprężeń w stali z wyjściowejwartości  f  yk   na wartość σ  s  3 mm), czyli

           1262max s

           632max slub

    W świetle normy  PN-EN:2008  wpływ korzystnego oddziaływania pręta

    zbrojeniowego na zwiększenie wydłużalności granicznej betonu zachodzi w

     paśmie o szerokości 

     przy czym c  jest grubością otuliny betonowej pręta. 

    Zbrojenie z uwagi na naprężenia skurczowe własne  

     

      

     2

    5max 

    c s

    Przykładowo, przy otulinie zbrojenia wynoszącej c = 30 mm, mamy dla prętów

    zbrojeniowych ϕ = 10 mm: c = 3ϕ  i wówczas 

      

         

      

        5,172

    35max s

  • 8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt

    13/14

    2015-08-

    Podstawowym pojęciem w analizie ugięć jest krzywizna, którą wyznaczyć

    można z definicji miary łukowej kąta 

    Wpływ skurczu na ugięcia 

    ds

    d   

      

    1

    gdzie

    κ    –   krzywizna w zadanym punkcie krzywej ρ   –   promień krzywizny w zadanym punkcie krzywej ds  –   przyrost długości łuku krzywej w zadanym punkcie 

    d φ   –   przyrost kąta stycznych do krzywej na długości ds

    otrzymując ostatecznie 

      

       ds

    d   

    W ortogonalnym układzie współrzędnych  x –  y  krzywizna dowolnej krzywej,opisanej równaniem  y( x), wynosi w miejscu o odciętej  x

    Wpływ skurczu na ugięcia 

    2/32

    2

    2

    )(1

    )(

     

      

     

    dx

     xdy

    dx

     x yd 

     x 

    Przy małych nachyleniach krzywej  y( x) jej pierwsza pochodna podniesiona do

    kwadratu przyjmuje bardzo małe wartości, w związku z czym można przyjąć, że

     jest bliska zeru, otrzymując w wyniku tego 

    2

    2)(

    dx

     x yd  x    

    Dla elementów prętowych, przebiegających wzdłuż umownej osi  x  (co często

    wykorzystujemy w praktyce), wychodzimy z definicji

    Wpływ skurczu na ugięcia 

    dx

    d   

      

    1

    gdzie

    κ    –   krzywizna w zadanym punkcie krzywej  ρ   –   promień krzywizny w zadanym punkcie krzywej dx  –   przyrost długości elementu wzdłuż osi x

    d φ   –   przyrost kąta stycznych do krzywej na długości dx

    otrzymując w rezultacie 

         dx

    d   

     Schemat do wyznaczania krzywizny elementu w zadanym przekroju, przy znanych odkształceniach 

    (na rysunku zaznaczono dodatnie wartości odkształceń jednostkowych) 

    Wpływ skurczu na ugięcia 

    Dla przypadku pokazanego na poprzednim rysunku otrzymujemy

    Wpływ skurczu na ugięcia 

    gdzie

    ε g  εd    –   odkształcenia krawędziowe (górne i dolne) h   –   wysokość przekroju poprzecznego 

    Wykorzystując następnie definicję kąta d φ  mamy

       

        d 

    h

    dx

    h

    dxdx d  g  g d 

      11

    skąd ostatecznie krzywizna wynosi 

    h

    d  g       

      

    1

      

         dx

    h

    dxd  g 

    Znając odkształcenia krawędziowe od skurczu betonu w zadanym przekroju

    wzdłuż umownej osi  x, krzywiznę od skurczu, w nawiązaniu do ostatniego

    wzoru, opisujemy analogicznie

    Wpływ skurczu na ugięcia 

    Wykorzystując następnie fakt, że w przypadku skurczu będziemy mieli do

    czynienia z małymi ugięciami (co jest najczęstsze w realnych konstrukcjach

     budowlanych), możemy zapisać 

     przy czym znak minus oznacza, jak w wytrzymałości materiałów, że ugięcia

    skierowane ku dołowi są traktowane jako dodatnie.  

    h

     x  d  g 

    cs

       

     xdx

     xwd cs 2

    2 )(

  • 8/18/2019 Skurcz betonu - Konspekt

    14/14

    2015-08-

    Jeżeli krzywizna od skurczu jest stała na całej długości elementu 

    Wpływ skurczu na ugięcia 

    otrzymujemy

    Stałe całkowania C 1  oraz C 2  w powyższej relacji wyznaczamy z odpowiednich

    warunków brzegowych. 

    cs

    dx

     xwd  

    2

    2

      212

    2C  xC 

     x xw cs      

    to po dwukrotnym scałkowaniu wyrażenia 

      csd  g 

    cs   const h

     x      

       

    W szczególnym przypadku  jednoprzęsłowego elementu swobodnie podpartego

    o długości l   mamy dwa warunki brzegowe:

    •   x = 0    w = 0

    •   x = l     w = 0

    Wpływ skurczu na ugięcia 

    z których ostatecznie uzyskujemy linię ugięcia od skurczu o równaniu 

     przy czym

     

      

     

    22

    2)(

     x

     x x xw   cs

     

    82

    2

    max

    l l ww   cs

     

     

      

     

       

    Podstawiając następnie zdefiniowane wcześniej wyrażenie opisujące krzywiznę

    od skurczu

    Wpływ skurczu na ugięcia 

    uzyskujemy wartość maksymalnego ugięcia od skurczu 

    8

    2

    max

    hw

      d  g 

        

    gdzie ε g  εd    –   skurczowe odkształcenia krawędziowe (górne i dolne) h   –   wysokość przekroju poprzecznego 

    l    –   rozpiętość elementu

    hconst 

      d  g 

    cs

       

    Jak widać, kluczowe dla problemu ugięć jest wyznaczenie adekwatnej krzywizny

    od skurczu, której najogólniejszy wzór ma postać  

    Wpływ skurczu na ugięcia 

    Korzystanie z powyższej relacji może być w praktycznych zastosowaniach

    niewygodne, w związku z czym celowe jest wykorzystanie opisanej wcześniej

    uniwersalnej metody sił uogólnionych  N  s  –   M  s w której dla standardowych

    dwóch warstw zbrojenia (górnego i dolnego) mamy 

    h

    d  g 

    cs

       

     s scs s s scs s   A E  A A E  N           )( 21

     s scs g  sd  s scs s   S  E a z  Aa z  A E  M           )]()([ 2211

    Ponieważ moment od stali  M  s  można interpretować jako moment od skurczu 

     M cs  (siła  N  s  nie daje żadnego wygięcia, a jedynie skrócenie elementu), wobec

    czego krzywizna od skurczu może w tej sytuacji być opisana relacją 

    Wpływ skurczu na ugięcia 

    cs

    cs

     se

    csc

     s scs

    csc

    cscs

     J 

     J  E 

    S  E 

     J  E 

     M   

        

    Powyższy wzór, dokładnie w takiej samej postaci, zamieszczono w normie

     PN-EN:2008  (str.119), gdzie zdefiniowano:

    S  s   –   moment statyczny zbrojenia względem ś.c. przekroju

     J cs   –   moment bezwładności przekroju sprowadzonego  

    εcs   –   swobodne odkształcenia skurczowe betonu 

     Dziękuję za uwagę