skripta vjerojatnost i statistika

Upload: obri-gadole

Post on 08-Jul-2015

670 views

Category:

Documents


6 download

TRANSCRIPT

Vjerojatnost i statistikaE.Kovac-StrikoN.KapetanovicB.Ivankovic17.svibnja2006.Sadrzaj1 Kombinatorika 21.1 Teoremouzastopnomprebrojavanju . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Formulaukljucivanjaiiskljucivanja . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Permutacijeivarijacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1 Faktorijele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Permutacijebezponavljanja . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.3 Permutacijesponavljanjem . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.4 Varijacijebezponavljanja . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.5 Varijacijesponavljanjem. . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4 Kombinacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.1 Kombinacijebezponavljanja . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.2 Kombinacijesponavljanjem. . . . . . . . . . . . . . . 231.5 Problemskizadaci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Vjerojatnost 312.1 Klasicnadenicijaapriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Problemskizadaci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3 Geometrijskavjerojatnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4 Uvjetnavjerojatnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5 Potpunavjerojatnost. Bayesovaformula. . . . . . . . . . . . . 4313 Slucajnevarijable 453.1 Diskretneslucajnevarijable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Binomnarazdioba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3 Poissonovadistribucija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4 Kontinuiraneslucajnevarijable . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.5 Uniformnarazdioba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.6 Eksponencijalnarazdioba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.7 Normalnarazdioba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.7.1 Standardnanormalnarazdioba . . . . . . . . . . . . . 654 Problemskizadaci 715 Statistika 735.1 Mjerecentralnetendencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2 Mjerevarijabilnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2.1 Raspon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2.2 Srednjeodstupanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2.3 Standardnadevijacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2.4 Koecijentvarijabilnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 826 Metodestatistickihzakljucivanja 836.1 Karakteristikeuzoraka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2 Testiranjestatistickihhipoteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.3 Testiranjehopotezeodistribucijiuosnovnomskupu. . . . . . 866.4 Korelacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.5 Regresija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001 KombinatorikaMatematicka disciplina koja uglavnom proucava konacne skupove i strukture.Prebrojavanjeskupovadanasjesamojedanodvidovakombinatorike. Rijecdolazi od latinske rijeci combinare=slagati. U prebrojavanju sluzimo se enu-merativnim metodama ako uopce mozemo uociti strukturu skupa. Navedimonekeodtipicnihproblema:1. Nakolikoserazlicitihnacina6plohakockemozeobojiti akoimamocetiri boje, a isti nacini bojanja su oni koji se mogu rotacijama dovestidopoklapanja?22. Mozelisesvakiod5telefonaspojitistocnotripreostala?3. Nakolikorazlicitihnacinamoze cetvoroljudisjestizaokruglistol?4. Kolikoukupnoutakmicaodigrajumomcadi nogometnehrvatskeligeako svaki klub odigra po dvije utakmice sa svakim od preostalih klubova?5. Nakolikonacinamozepetoroljudipodijeliti24kovaniceodpojednukunu?6. U drustvu od cetvero ljudi svaka dvojica imaju tocno jednog zajednickogprijatelja. Dokazitedautomdrustvupostoji osobakojajeprijateljsvimostalim clanovimadrustva.7. Svaki jeclannekogkolektivautocnodvijedelegacije, asvakedvijedelegacije imaju tocno jednog zajednickog clana. Ukupno,taj kolektivima5delegacija. Koliko clanovaimatajkolektiv?8. Kolikojepeteroznamenkastihbrojevakojimajasvakaznamenkatogbroja veca od zbroja dviju znamenaka neposredno s njoj desne strane?(Fibonaccijevibrojevi)Rjesenjaiobrazlozenjaprobajtepronacisami.Mozdasutosamozgodnezagonetkei sluzesamozarazonodu. Povijesnogledano,kombinatorikajekaoznanstvenadisciplinanastajalomalo-pomalo,asvojekorijenevuceizzabavnematematike, zagonetaka, igarajosod17.stoljeca. Kombinatorikase danas ozbiljnoprimjenjuje ubiologiji, kemiji,elektronici,medicini,lingvistici,sociologiji. . .1.1 TeoremouzastopnomprebrojavanjuTeorem1.1NekasuA1, A2, . . . , AmkonacniskupoviinekajeT A1A2 Amskupuredjenihm-torki(a1, a2, . . . , am)deniranihnaslijedecinacin:- prvakomponentaa1mozesebiratinak1razlicitihnacina,izmedjuk1razlicitihelemenataskupaA1,- zasvakuvecodabranukomponentua1, drugukomponentua2mozemoizabratinak2razlicitihnacina,. . .3- svedokposljednjumozemobiratinakmrazlicitihnacina.TadaskupTsvihuredjenihn-torkiimak1 k2 kmelemenata.Dokaz: seprovodiindukcijom,alitonijeudomenikolegija.Primjeri primjenenavedenogteoremaouzastopnomprebrojavanju:1. Ako registarska plocica zagrebackog registarskog podrucja ima u izborunajvise 4-znamenkasti broj i dva slova abecede koja ne mogu biti palatali,kolikoserazlicitihtablicamozeizdati?Rjesenje:prvaseznamenkamozeizabrati nadeset nacina, s timdasenulanepise. Za svaku tako izabranu znamenku, druga se opet moze izabrati na 10 nacina. . . Abeceda ima 7 palatala, pa je po teoremu 1:1010101023232. Ako na podrucju Republike BiH registarske tablice imaju troznamenkastibroj, zatimslovokojepostoji i jednakojeuazbuci i abecedi, aondaponovo troznamenkastibroj,koliko se tablicamoze izdatinapodrucjususjednerepublike?Rjesenje: analogno prethodnom,ako su zajednicka slova azbuke i abecede: A, B,E, I, J, K, M, O i T:103 9103.3. U razredu koji broji 20 ucenika, treba izabrati Predsjednika, njegova za-mjenika i blagajnika. Koliko je razlicitih mogucnosti za izbor troclanogpovjerenstvarazreda?Rjesenje:201918.4. Iz grada A u grad Bvode cetiri ceste, a iz Bu Cpet. Na koliko nacinamozemoizgradaAprekoBsticiuC?Rjesenje:45 = 205. Na nekom je sahovskom turniru odigrano 78 partija. Turnir je igran poprincipudajesvaki igracodigraosasvakimsamojedanmec. Kolikojebilo sahistanaturniru?Rjesenje:n(n 1)2= 78 n = 1346. Kolikodijagonalaimakonveksni 12-terokut?Rjesenje: Izsvakogjevrhamoguce povucin 3 dijagonala:12(12 3)27. Kolikoimapeteroznamenkastihbrojevacije susvake dvije susjedneznamenkerazlicite?Rjesenje: Prvaznamenkanemozebiti 0. Kadseonaodabere, drugojemjestomoguce popuniti opet na 9 nacina, jer se ne smije staviti znamenka kao na prvommjestu. Konacan broj takovih brojeva je:999998. Kolikoimarazlicitihtelefonskihbrojevaod7znamenaka?Rjesenje:9106akosuprvetriznamenkeneparne?Rjesenje:555101010akosuprvedvijeznamenkejednake?Rjesenje:91105svesuznamenkerazlicite?Rjesenje:9987654.prvetriiposljednjetrisujednake?Rjesenje:911101011.svesurazlicite, stimdasuprva, trecai petaneparne, adruga,cetvrtai sestaparne?Rjesenje:55443310.5Zadacizasamostalnorjesavanje:1. Kolikoelemenataskupa1, 2, 3, . . . 1000jedjeljivosa cetiri?2. Ako godina ima 365 dana, koliko najvise u toj godini ima dana petaktrinaesti?3. Testima20pitanjasodgovorimaDAili NE. Nakolikoserazlicitihnacinatestmozerijesiti?4. Knjiznicasadrzi 40razlicitihknjigaizmatematike, 30izzike, 27izkemijei 20knigaizbiologije. Nakolikonacinamozeucenikuzeti izknjiznicepojednuknjiguizta cetiripredmeta?5. Nafarmisenalazi20ovaca,24svinjei10goveda.(a) na koliko se nacina moze odabrati po jedna ovca, svinja i govedo?(b) istopitanjekaoua,aliakojevecodabranajednatakvatrojka?6. Koliko cijelih brojeva izmedu 100 i 999 ima razlicite znamenke, a kolikojemedunjimaneparnih?7. Na nekom sportskom peteroboju nacija, svaka od zamalja ucesnica imaekipuiz nogometa, rukometa, kosarke, plivanja, vaterpola, atletike,boksa i tenisa. Propozicije natjecanja nalazu da svaka zemlja u svakomod tih sportova mora odrzati mec sa svakom od preostlih zemalja. Ko-liko cesemecevaukiupnoodrzatinatomnatjecanju?8. Krozsvakuodtri tockeA, Bi Curavnini, povucenoje10pravaca,medukojimanemaparalelnihi nikoja3senesijekuujednoj tocki(osimuA, B, C). Naditebrojpresjecistaodredenihtimpravcima.(a) NaditebrojpresjecistaakokrozAprolazi 10, krozB20, akrozC30pravaca.9. Nanekom sahovskomturniru,svakijeigracodigraosasvakimodpre-ostalihpojednupartiju. Ukupnojeodigrano78partija. Kolikojesahistasudjelovalonaturniru?610. ZadanisuskupoviA = 1, 2, 3, 4, B= a, b, c. Kolikoima(a) svihfunkcijaizAuB?(b) surjekcijaizAuB?Rjesenje: 1. 250; 2. 3; 3. 220; 4. 648.000; 5. a)4800;b)3933; 6.648(324); 7. 80; 8. 13; 9.3n2= 300;a)mn +mp +np = 1100; 10. a)34= 81, b) 361.2 FormulaukljucivanjaiiskljucivanjaRjesenjeposljednjeg zadatka iz prethodnog poglavlja u kojem se trazi brojsurjekcija nemoguce je izvesti bez primjene formule iskljucivanja i ukljucivanja.a) Funkcijaf: A Bje takvopridruzivanje koje svakomelementuskupaApridruzitocno jedan element iz skupa B. Broj funkcija iz A = 1, 2, 3, 4 uskup B= a, b, c moguce je humanizirati u problem broja nacinanakojesesvakomodcetirimladicamozesvidatitocnojednaodtridjevojke. Ocitosvakideckoima3mogucnostiizbora,pajeto3333 = 34= 81nacinsimpatiziranja(dodusejednostranog)b) Surjektivnost funkcije je svojstvo da svaki element kodomene imaudomenibarjedanelementkojimujepridruzen.To bi u navedenoj humanizaciji znacilo da nema djevojke koju barjedanmladicnebisimpatizirao.Zadatakserjesavaupravosuprotno:1. racunasebrojfunkcijaf: A B akoje simboliziraju broj nacina na koji mladici u simpatiziranjuzaobilazedjevojkua:2222 = 24= 1672. racunasebrojfunkcijaf: A B bkoje simboliziraju broj nacina na koji mladici u simpatiziranjuzaobilazedjevojkub:2222 = 24= 163. racunasebrojfunkcijaf: A B ckoje simboliziraju broj nacina na koji mladici u simpatiziranjuzaobilazedjevojkuc:2222 = 24= 16Pogresnobibilozakljucitidajezbroj16 + 16 + 16 = 316 = 48stvaranbrojfunkcijakojenisusurjekcije:- postojislucajukojemsusvizatreskaniudjevojkuaitajslucajseugornjojsumibrojaodvaput- postoji slucajukojemsusvi zatreskani udjevojkubi tajslucajseugornjojsumibrojaodvaput- postoji slucajukojemsusvi zatreskani udjevojkuci tajslucajseugornjojsumibrojaodvaput.Slijedidaizzbroja16 + 16 + 16morajutatrislucajabitiizuzeti. Ukupanbrojfunkcijakojenisusur-jekcijeje48 3 = 45,pajebrojonihkojejesusurjekcije36,kaourjesenju.Vennovidijagrami su gracki prikazi skupova koji isticu relacije biti pod-skup, imati presjek, biti disjunktani biti element. Vennovidijagraminesluzeusvrhudokaza.8Zadaci1. Unekomdrustvuumirovljenikaprimijetili sudanemaclanakoji nebi biocelavili nebi nosionaocale. Utrenucimadokoliceustanovilisudaje31clancelav, daih24nosi naocalei daih12imanaocaleiistovremenosu celavi. Koliko clanovaimadrustvopenzionera?2. Unekomrazredusvakiucenikucibarjedanodtristranajezika. 18ihuciengleski,15njemacki,a9francuski. 10ihuciengleskiinjemacki,7 ih uci engleski i francuski, a 6 francuski i njemacki. 5 ucenika uci svatrijezika.(a) Kolikoucenikaimautomrazredu?(b) Kolikoucenikaucisamanjemacki?(c) Kolikoucenikauciengleskiifrancuski,alineinjemacki?3. Uskupuod100studenataengleski jezikzna28studenata, njemacki30, francuski 42, engleski i njemacki zna njih 8, engleski i francuski 10,njemacki i francuski pet, doksvatri jezikaznajusamotri studenta.Kolikostudenataneznanijedanjezik?Rjesenja: 1. 43; 2. ?3. 20Propozicija1.1(Formulaukljucivanja-iskljucivanja) prebrojava nedis-junktneunije:1. AkosuAiBkonacniskupovi,tadavrijedi:k(A B) = k(A) +k(B) k(A B)2. AkosuA,BiCkonacniskupovi,tadavrijedi:k(ABC) = k(A)+k(B)+k(C)k(AB)k(AC)k(BC)+k(ABC)3. AkosuA1, A2, . . . , Amkonacniskupovi:k(m_i=1Ai) =m

i=1k(Ai)

1i 106dajek > 18Nakon1019 = 190min = 3h10minsvi ce znati.1.4 Kombinacije1.4.1 KombinacijebezponavljanjaKombinacijar-tograzredaodnelemenatajesvakipodskupodrelemenataskupaS,k(S) = n.RacunanjeseizvodipoformulizabinomnekoecijenteKrn=_nr_ =n!r!(n r)!.NakalkulatorupostojitipkanCrkojaracunabinomnekoecijente.Zadatak1.12Kosarkaski trenerprijavi momcadod11igraca. Kolikora-zlicitihpetorkimozeposlatinaparket?20Rjesenje:Odabirsevrsi tako, daseigraci poredajuuvrstu. Tosemozeuciniti na11!nacina. Usvakomodabiruprvihpetseposaljenaparket. Buduciuigrinjihov poredaknijebitan,tojebrojpetorki5!putamanjiod11!. Istotako,ostalih 6 se moze na klupi posjesti bez obzira na poredak. Tako je broj nacinajos6!putamanjiod11!. Konacno,brojpetorkije11!5!6!ili462nacina.Zadatak1.13Natulumusuodluciliigratimini-loto. Uzetoje10biljarskihkugliiizvlacisepet. Kolikoimakombinacija?Rjesenje:Brojkombinacijaje10!5!5!= 252.Dalibibilovisekombinacijadaseizvlacetrikuglice?Zadatak1.14Iz spila od 52 igrace karte na slucajannacinizvlacimo 8karata. Nakolikonacinamozemoisvuci:1. tocno3asa2. barem3asaRjesenje:1._43_

_485_.2._43_

_485_+_44_

_485_.Posebni binomnikoecijenti:Zadatak1.15Kolikesuvrijednosti_n0_;_nn_.21Zadatak1.16Koliko kombinacijaimaloto7od 39,akolikoloto6od45?Dalijelaksedobitinalotu10od40?Rjesenja: 15, 380.937;8, 145.060;847, 660.528.Binomnaformuladajekoecijenteupotenciranjubinoma:(a +b)n=n

k=0_nk_ankbk.Zadatak1.17Uizrazu(1 +x)30odreditekoecijentuzx20.Rjesenje:_3020_ = 30, 045.015.Zadaci:1. Izracunajte:a)_72_;b)_75_;c)_10199_;d)_10011000_Rjesenja: a) 21;b)21;c)5050;c)5005002. Dokazitedaje_n + 1k + 1_ =n + 1k + 1_nk_3. Od 20 kandidata za stolnotenisku momcad, selektor mora izabrati troclanureprezentaciju. Nakolikonacinamozeizvrsitiizbor?Rjesenje._203_= 11404. Na koliko se nacina mogu 3 jednake knjige razdijeliti medu 12 ucenika,takodasvakiucenikdobijenajvisejednuknigu?Rjesenje. Od 12 ucenika izaberu se trojica koji dobivaju knjigu:_123_= 1320nacina225. Namaturalnoj veceri biloje28ucenikajednograzreda. Odtoga16mladicai12djevojaka.(a) Kolikoparovazaplessemozeformirati odpojednogmladicaijednedjevojke?Rjesenje. 192(b) Nakolikonacinamogunapodijuplesatitripara?Rjesenje. Tri mladica i tri djevojke moguce je odabrati na_163_i_123_nacina, s tim da je kod plesa bitan poredak mladica:_163_

_123_ 3! = 7392006. Od 100 mobitela, 5 ih je s greskom. Na koliko se nacina moze odabrati10mobitela,takodamedunjimabude(a) svih10ispravnih?Rjesenje:_9510_(b) 1neispravan?Rjesenje:_959_

_51_(c) 4sgreskom?Rjesenje:_956_

_54_=(d) svih5sgreskom?Rjesenje:_955_=1.4.2 KombinacijesponavljanjemKombinacije s ponavljanjemodnelemenata r-tog razreda je svaki pod-skupodr elemenatapri cemujedozvoljenoponavljanjesvakogelementaproizvoljnomnogoputa.23Primjer1.5NekajeskupS= 1, 2, 3Permutacijedrugograzredadanogskupasuslijedecimultiskupovi:11 22 3312 2313Racunanjejepoformuli:Krn=_n +r 1r_stodajezaista_42_ = 6permutacija. Analognobibilopostavitipitanjenakolikonacinatrojeljudimozepodijelitidvijekune:0 0 20 1 10 2 01 0 11 1 02 0 0U ovom slucaju multiskupovi imaju po dva elementa koji simboliziraju kune,aelementimultiskupovaseuzimajuizskupaljudi1, 2, 3kaodasenasvakuodkunanalijepiceduljica cijajeuzadanojpodjeli.Zadatak1.18Nakolikose nacinamoze 5bombonapodijeliti nacetverodjece. Pritom svako pojedino dijete moze ostati i bez bombona,ali moze dobitiivisebombona.Rjesenje. RjesenjePrvo dijete dobije nekoliko bombona u vrecici, drugo i trece dijete takodjer, dok cetvrtodobiva bombone bez vrecice. Bombone i vrecice moguce je posloziti u niz:O O V O V O V Otakodausvakuvrecicuidubomboniisprednje. Posljednjedijetedobivabombonebezvrecice. Razlicite rasporede dobivamo razmjesajem vrecica i bombona, ukupno_5 + 4 14 1_=_5 + 4 15_= 5624nacina.Napomena. Uprethodnomzadatkuradi se o kombinacijama 5-tograzreda(podjelabombona)skupaodcetiri elementa(djecakojasudobilabombon).Svaku podjelu bombona moguce je promatrati kao multiskup od 5 eleme-natauzetihizskupadjeceD = 1, 2, 3, 4kodkojihnemorajubiti uzetasvacetiri elementaizDi ukojemsenekielementimoguponavljati. Jedanodskupovaje:P= 1, 1, 1, 2, 3kojisimbolizirapodjelu- prvibombonjedobiloprvodijete- drugibombonjedobiloprvodijete- trecibombonjedobiloprvodijete- cetvrtibombonjedobilodrugodijete- petibombonjedobilotrecedijeteZadatak1.19Nakolikonacinapeteroljudimozepodijeliti24kune?Rjesenje. RjesenjeAnalogno se dijele kune, tako da posljednju dobiva ostatak:_24 + 5 15 1_= 20475Zadaci1. Dobavljac narucujepetistovrsnihproizvodakojimogubitiispravniilineispravni. Nakolikonacinajemogucodabir?Rjesenje. Rjesenje jeuslaganjupetproizvodai elementakoji dijeli ispravneineispravne:_5 + 2 15_= 6252. Dobavljac moze nabaviti proizvode prve, druge i trece klase. Na kolikonacinamoze,obziromnakvalitetu,narucititriproizvoda?Rjesenje. Rjesenjese postize analogno slaganjem:_3 + 3 13_= 10.3. Ukolikorazlicitihekipamozeuci cetiriucenikazatriigre,kojeigrajujednuzadrugom, akoredoslijedsudjelovanjauigramaneznaci novuekipu,ako(a) svakiucenikjedamputsudjelujeuigrama(b) svakiuceniksudjelujeviseputauigrama?Rjesenje. Rjesenje(a)_43_= 4.(b)_4 + 3 13_= 20.4. Unekomrestoranuimajudvijevrstejelanajelovniku.(a) Na koliko nacina pet osoba moze naruciti jedno od dvije vrste jela?Rjesenje. 25= 32.(b) Na koliko se nacina moze uci i naruciti 5 jela za van ako je mogucebiratiizmedudvamoguca?Rjesenje. (_2 + 5 15_= 6).5. Nakolikonacinapeterodjecemozemedusobomrazdijeliti12jabuka,10 krusaka i 8 naranci, tako da svako dijete dobije bar po jednu jabuku,kruskuinarancu?Rjesenje:_154_

_34_

_114_26Zadacizavjezbanje:1. Nekasuzadaneznamenke2,3,5i8. Kolikoseodnjihmozenapisati:(a) cetveroznamenkastihbrojeva(b) cetveroznamenkastihbrojevakojimasusveznamenkerazlicite(c) sesteroznamenkastihbrojeva(d) dvoznamenkastihbrojevasrazlicitimznamenkamaRjesenje. Rjesenja:(a) V44 = 44(b) P4 = 4!(c) V64 = 46(d) V24=4!(42)!2. Koliko ima razlicitih karata za putovanje prugom na kojoj je 10 stanica?Rjesenje. Rjesenje: svaka je karta odredjena s dvije stanice:V210 = 109 = 90razlicitih karata.Napomena: ako gledamo karte po cijeni i ako cijena ovisi samo o pocetnoj i ciljnojstanici, tada je toK210 =_102_= 45karata, duplo manje od slucaja u zadatku.3. Na koliko se nacina izmedju 10 muskaraca i 10 zena mogu izabrati dvamuskarcaitri zene?Rjesenje.K210 K310 =_102_

_103_= 5400nacina izbora.4. Nakolikosenacinamozerazdijeliti12karatamedju3osobe,takoda:(a) prvadobije5,druga4,atreca3karte?Rjesenje.K512 K47K33=_125_

_74_

_33_= 2772027(b) nijeodredjenbrojkaratakoji cedobitisvakapojedinaosoba?Rjesenje.K312 =_12 + 3 12_= 915. KolikoimarazlicitihdijeljenjakodBeleu cetvero?Rjesenje._328_

_248_

_168_

_88_ 1016.6. Izmedju100proizvodaima15ostecenih. Nakolikonacinamozemoizabrati10proizvodatakodaihbaremosambudeneosteceno?Rjesenje._858_

_152_+_859_

_151_+_8510_.281.5 Problemskizadaci1. U skupuod 50 proizvoda nalazise 40 ispravnih,a ostali suneispravni.Na koliko se nacina moze izabrati uzorak od 5 proizvoda, ali tako da unjemubudu3ispravnai2neispravna?2. Od7zenai cetiri muskarcatrebaizabrati delegaciju. Nakolikosenacinamozeizabratidelegacijaakoseonasastojiod(a) peteroljudiitotri zeneidvamuskarca,(b) bilokojegbrojaljudi ali dajejednakbroj zenai muskaracaudelegaciji,(c) peteroljudiodkojihsubardvije zene,(d) peteroljudistimdajednoodnjihbudevecunaprijedodredjenazena,(e) sestero ljudi, po troje od oba spola, ali u jednoj delegaciji ne mogubitizajednojedanmuskaracijednazenazakojeseznadasenepodnose?3. Studentmoraurokuod8danapoloziti cetiriispita.(a) Nakolikotonacinamozeuciniti?(b) Na koliko nacina ih moze poloziti ako u jednom danu moze polozitinajvisejedanispit?(c) Kolikojenacina,akoposljednjiodlucipolozitizadnjidan?(d) Istokaouc),alidaudanunepoloziviseodispita?4.Sest muskaraca i pet zena moraju stati u red tako da se u redu izmjen-juju. Nakolikojenacinamogucekonstruiratitakavred?5. Na zasjedanju nekog studentskog udruzenja prisustvuju 52 studenta, po13studenatasasvakogodcetiri fakulteta. Predsjednistvoudruzenjaima cetiri clana, tako da u njemu budu predstavnici barem tri fakulteta.Kolikoimarazlicitihpredstavnistva?29Rjesenja problemskih zadataka:1._403_

_102_= 444600.2. (a)_73_

_42_= 210.(b)_71_

_41_+_72_

_42_+_73_

_43_+_74_

_44_= 329.(c)_116__71_

_44_= 455.(d)_104_= 210.(e)_115__62_

_32_= 417.3. (a)84= 4096(b)8765 = 1680.(c)83 4 = 2048(d)4765 = 1680.4.6!5! = 86400.5._131_4+ 43 _131_2

_132_= 186745,jer na cetiri nacina mozete izabrati onoga koji nema predstavnika, dok na tri nacinamoze biti izabran fakultet s dva predstavnika.302 Vjerojatnost2.1 KlasicnadenicijaaprioriSlucajanpokus s konacno mnogo jednako mogucih elementarnih ishoda jetakavpokuskodkojeg- svakipojediniishodnijemogucejednoznacnoodrediti- postojimogucnostponavljanjaproizvoljnokonacnomnogoputa.Elementarnidogadaj je svaki od konacno mnogo ishoda slucajnog pokusa:1, 2, . . . nProstorelementarnihdogadajajeneprazanskup = 1, 2, . . . , n,cijisuelementiielementarnidogadajiDogadaj jepodskupskupakoji senazivaprostoromelementarnihdogad-jaja:A VjerojatnostdogadjajaA racunasepoformuli:p(A) =k(A)k(),gdjejek(A) = [A[oznakazabrojelemenataskupaA.Primjeri1. Kolika je vjerojatnost dace kodbacanja simetricnog novcica pastipismo?312. Kolikajevjerojatnostda cekodbacanjakockepastibroj6?3. Kolikajevjerojatnostdacekodizvlacenjajednekarteizspilaod32bitiizvucenakartabojekaro?4. AkonasistemskomlisticuLota7/39igramo23broja,kolikajevjero-jatnostdobitkasedmice?Nemogucimdogadjajemnazivase- prazanskup - bilokojiskupC:C = Sigurnimdogadjajemnazivaseskup.Ocitovrijedi:- p(A) 0- p() = 1- p( A) = p(Ac) = 1 p(A)- A B= p(A B) = p(A) +p(B)Uteorijiskupovasekolekcija Tpodskupovanekogskupa, kojasadrziprazanskup, skup, komplement svakogsvojegclanauodnosunamaticniskupAc= A,aizatvorenajenaprebrojivuuniju,zove- algebrapodskupovaod.Vjerojatnost jetadafunkcijskopridruzivanjep : T [0, 1]koje,akovrijedeprethodnasvojstva,zajednosi TciniVjerojatnosniprostor:(p, T, ).Nekiprimjerivjerojatnosnihprostora:321. Neka se slucajni pokus sastoji od bacanja triju razlicitih novcica. Odred-ite prostor elementarnih dogadjaja, vjerofatnost svakog od njih i vjero-fatnostdanabarjednomnovcicupadneglava.2. Igra na srecu sastoji se od bacanja dviju kocaka. Odredite vjerojatnostdazbrojnakockamabudeveciod9?3. UBelisedijeliosamkarata. Odreditevjerojatnostdobivanja:(a) jednogasa(b) barjednogasa4. Na zidu dimenzija 85 metara nalaze se cetiri prozora svaki dimenzija1.81.2metra. Kolikajevjerojatnostdadjecakkoji nasumicepucaloptuuzidpogodibilokojiprozor?Zadaci1. Studentjeizasaonaispitznajuci20od25pitanja.Naispituseizvlacetripitanja. Kojajevjerojatnostdastudentznaodgovorna:(a) nasvatripitanja(b) nabaremjednopitanjeRjesenje:(a) povoljnojedasvatri pitanjabuduizabranaod20poznatih, stonapramaukupnog broja izbora pitanja:p(A) =_203__253_= 0.495(b) suprotno bi bilo da nezna bas nista, pa su sanse za okladu da bar nesto zna:100%_53__253_= 0.9957332. Koja je vjerojatnost da dvije slucajno izabrane osobe imaju rodjendaneistogdana?Rjesenje: = (i, j), 1 i, j 365A = (i, i), 1 i 365p =36513653653. Kojajevjerojatnostdaizmedjunosobabudubaremdvijekojeimajurodjendanistogdana?Rjesenje:pn = 1 p(Ac) = 1 365364(365 n + 1)365n(a) izracunatizabrojosoban = 5.Rjesenje:p5 = 1 6.310126.51012= 2.7%4. Iz spila od 52 karte na slucajan nacin, jednu za drugom, izvlacimo dvijekarteito(a) prvuizvucenukartuvracamou spil(b) prvuizvucenukartunevracamou spilKojajevjerojatnostdaizvucemoobaasa?Rjesenje:p(A) =443232p(B) =4332315. Kolikojevjerojatnodacedobiti sedmicunalotu7/39onaj tkonasistemskom listicu uplati najveci broj kombinacija koji se nudi?Kolikocenovacaizdvojiti?Rjesenje: diskutirati sa studentima i postaviti analogon za 6/45.6. Koja je vjerojatnost da dijete dobije sesticu ako baca triput uzastopce?Rjesenje se dobiva preko suprotnog dogadjaja, a to je da u tri puta nijednom nijeopala sestica:p = 1 (56)3= 0.42.347. Simetricannovcicbacamo5puta. Kojajevjerojatnost dajepismopalotriput?Rjesenje:p =_53_ (12)5= 0.31258. Igramo poker s 52 karte, znaci da biramo 5 karata. Koliko je vjerojatnodauprvih5karatadobijemo(a) poker(cetiriiste)(b) ful(paritriiste)Rjesenje:(a)p(P) =13 _44_

_481__525_(b)p(B) =13 _43_ 12 _42__525_9. U kutiji se nalazi 4 puta vise ispravnih nego neispravnih proizvoda. Naslucajannacinbirajusetri proizvoda. Vjerojatnostdamedjunjimabudebarjedanneispravanproizvodiznosi2957. Kolikojeproizvodaukutiji?Rjesenje: se dobiva iz jednadzbe u kojoj je nepoznanica n broj neispravnih proizvoda.Tada je 4n broj ispravnih, a zadanu vjerojatnost dobivamo preko negacije suprotnogdogadjaja, da su sva tri izvucena proizvoda ispravna:1 _4n3__5n3_ =29574n(4n 1)(4n 2)5n(5n 1)(5n 2)=285737n2159n + 44 = 0n1,2= 4; 113735dobiva se da neispravnih proizvoda ima 4, ispravnih 16, dok sveukupno u kutiji ima20 proizvoda.10. Ukutiji je 12kuglica: plave, zute i tri crvene. Naslucajannacinbiramotri kuglice. Akovjerojatnost daizaberemopojednuplavu,zutuicrvenukuglicuiznosi311,kolikoje zutihkuglicaukutiji?Rjesenje: zadatka dobivamo jednadzbom po nepoznatom broju zutih kuglica -n.Ukupno se od 12 kuglica tri mogu izvuci na_123_nacina. Povoljno je da to budejedna od 3 crvene, jedna odn zutih i jedna od 9 n plavih:_31_

_n1_

_9 n1__123_ =311n(9 n) = 20.Dobivaju se dva rjesenja za broj zutih kuglica: n = 5, 4.11. Udvorani je prisutno 12 studentica i 18 studenata. Slucajnimseizborom bira troclana delegacija. Kolika je vjerojatnost da su izabrana:(a) tristudenta(b) tristudentice(c) dvijestudenticeistudent?Rjesenja:(a)p(A) =_183__303_= 0.20(b)p(B) =_123__303_= 0.05(c)p(C) =_181_

_122__303_ = 0.29263612. Kutija sadrzi 12 loptica za stolni tenis,od kojih su 4 lose. Na slucajannacinizvadimoodjednom7loptica. Kolikajevjerojatnostda cemedunjimabiti(a) najvisejednalosaloptica(b) 2loseili4loselopticeRjesenje:(a)p(A) =_87_+_86_

_41__127_(b)p(B) =_85_

_42_+_83_

_44__127_13. Kojajevjerojatnostdase sesticapojaviunbacanjakocke? Napisiteformulupokojoj sevjerojatnostracunai nacrtajtegraf funkcijep=p(n). Kolikoputatrebabacitikockupadapojavu sesticegarantirasvjerojatnostibarem0, 9?Rjesenje:(a)p = 1 (56)n(b)1 (56) 0, 9(56)n 0, 1n 1314. Bacaju se dvije kocke. Koja je vjerojatnost da na obje kocke padne istibrojilidazbrojbude8?(1036)3715. Kolikojevjerojatnodapribacanjudvijukocakanabarjednojpadnepetica?Rjesenje: se dobiva preko suprotne vjerojatnosti:p = 1 p(Ac)p(Bc) = 1 56 56=1136,gdje jedogadajA - na prvoj je kocki pala peticadogadajB- na drugoj je kocki pala petica.382.2 Problemskizadaci1. Ukutijisenalazi16proizvoda,odkojihsu4neispravna. Naslucajannacinseizvlaci 5proizvoda. Kolikajevjerojatnost damedjunjimabudebaremjedanneispravan?2. Student jeizasaonaispit znajuci odgovor na20odmogucih26pi-tanja. Profesorpostavljatri pitanjazaredom. Kolikajevjerojatnostdastudentznaodgovor:(a) nasvatripitanja(b) nabaremjednopitanje?3. Uzorak sadrzi dva puta vise ispravnih nego neispravnih proizvoda. Akoslucajnobiramocetiri proizvoda, vjerojatnost damedjunjimabududvaispravnai dvaneispravnaiznosi 30/91. Kolikoproizvodasadrziuzorak?4. Ukutiji senalazi 20%manjebijelihnegocrnihkuglica. Naslucajannacin biramo dvije kuglice. Ako vjerojatnost da izvucemo barem jednubijelukuglicuiznosi1217,kolikojecrnihkuglicaukutiji?5. Iz kutije u kojoj se nalaze 4 plave, 5 zutih i crvene kuglice, na slucajannacinizvlacimodvijekuglice. Vjerojatnostdaneizaberemonijednucrvenuiznosi30%. Kolikojekuglicaukutiji?6. U kutiji je 15 kuglica: crvene, plave i tri zute. Na slucajan nacin biramotri kuglice. Vjerojatnostdaizaberemopojednucrvenu, plavuizutuiznosi313. Kolikojeplavihkuglicaukutiji?7. Kojipostotakpeteroznamenkastihbrojeva(a) sadrziznamenku5,(b) djeljivjes20,anesadrziznamenke8i9?8. U kutiji se nalazi 50% vise bijelih nego crvenih kuglica. Na slucajan senacin biraju tri kuglice. Ako je vjerojatnost da izvucemo jednu crvenukuglicuidvijebijelejednaka0.5,kolikojebijelihkuglicaukutiji?392.3 GeometrijskavjerojatnostNekajemoguceuzeti mjeruskupui svakomnjegovompodskupu. Vjero-jatnostdogadajaAtadaje:p(A) =(A)().Primjer2.1U krug je upisan kvadrat. Kolika je vjerojatnost da s propisaneudaljenostipikadopogodidiokrugaizvankvadrata?Rjesenjejejasnoiznacrtanesituacijeiracunjeslijedeci:p =2r2r2=2.Zadatak2.1Prometnanesrecadogodilase izmedu8i 9sati. Kolikojevjerojatnodasedogodiloizmedu8 : 25i8 : 40?Vjerojatnostjeuomjeruminuta:p =1560= 25%.Zadatak2.2Dvavlakaduljine200mkrecusebrzinom72km/hprugamakojesemedusobnokrizaju. Trenutakukojemceoniuciukrizanjeslucajanjeizmedu22satai22 : 30. Kojajevjerojatnostdacesevlakovizakaciti?Nekajex-trenutakulaskaprvogvlakaukrizanjey-trenutakulaskadrugogvlakaukrizanjeAkoprvi vlakudeukrizanjetocnou22satastavimox=0, au22: 30,ondanekajex = 1800. Sadaje(x, y) [0, 1800] [0, 1800]Dakle, mozemonacrtati uXOY ravnini kaokvadrat. Mjeresuiskazaneusekundama. Unutarkvadrata18001800rjesavasenejednadzbauvjetanjihovogsusreta:[x y[ 200m20m/s40Trazenavjerojatnostjep =18002179018002= 4, 4%.Zadaci1. Iz intervala [0, 10] biraju se dva realna broja. Kolika je vjerojatnost danjihov zbroj bude veci od 8, a apsolutna vrijednost njihove razlike vecaod3?(39200)2. Iz intervala [0, 1] na slucajan nacin biraju se dva broja. Kolika je vjero-jatnostdanjihovzbrojbudeveciod13,aapsolutnavrijednostnjihoverazlikemanjaod13?3. Iz intervala [1, 1] biraju se dva broja. Kolika je vjerojatnost da njihovzbroj bude pozitivan, umnozak negativan, a zbroj kvadrata mani od 1?4. Iz intervala [0, 2] na slucajan se nacin biraju dva broja. Kolika je vjero-jatnostdanjihovzbroj budemanji od3, arazlikapoapsolutnoj vri-jednostimanjaod1?5. Deckoicuradogovoresusretizmedu7 : 00i8 : 00natrgu. Dogovorese, daonokojedodeprvo, cekadrugo20min. Kolikajevjerojatnostda ceseipaksusresti?2.4 UvjetnavjerojatnostNeka su A i B dogadaji iz vjerojatnosnog prostora . Racunamo vjerojatnostdasedogodiodogadajAuzuvjetdanamjepoznatodasedogodiodogadajB.Primjer2.2Kockajebacenai paojeneparanbroj. Kolikajevjerojatnostdajepaotri?Kolikajevjerojatnostdajepaobrojdva?Trazenavjerojatnostje1 : 3 = 33, 3%.Opcenitoformulakojaracunauvjetnuvjerojatnostjep(A/B) =p(A B)p(B)41Zadatak2.3Vjerojatnostdasuobablizancamuskogspolaje40%,adasuzenskogje35%. Priporodu,prvoserodilomusko. Kojajevjerojatnostdaidrugobudemusko?Blizancisemogudonijetinasvijetnatridisjunktnanacina:A-dvadjecakaB-dvijedjevojciceC-djevojcicaidjecakTrazisep(A/(A C)) =p(A (A C))p(A B)=0, 40, 65= 61, 5%Dogadaji Ai Bsunezavisni, akoinformacijaodogadajuBneuticenavjerojatnostdogadajaA. Tadajep(A/B) = p(A) =p(A B)p(B)islijedip(A B) = p(A)p(B).Primjer2.3Dobar, losi zaostrijelacgadajumetu. Dobarpogadasvjero-jatnoscu80%,lossa60%izaos90%. Kolikojevjerojatnodaumetizavrsisamojedanmetak,akosvatrojicagadajusamospojednimmetkom?Buducipogodakilipromasajbilokojegodnjihneuticenagadanjeostalih,trazenavjerojatnostje:p = 0, 80, 40, 1 + 0, 20, 60, 1 + 0, 20, 40, 9 = 11, 6%.Zadaci:1. Tri strijelca gadajujednute istumetu. Vjerojatnost pogotka kodsvakogstrijelcaredomiznosi80%,70%i60%. Kolikajevjerojatnost42(a) tocnojednogpogotkaumetu(b) barjednogpogotkaumetu(c) najvisedvapogotkaumetu2. Vjerojatnost da avion bude oboren prije nego sto dospije do cilja je 5%.Ako dospije do cilja, avion ga unistava s vjerojatnosti od 40%. Koja jevjerojatnostdaavionunisticilj?(0,38)3. Nastolusudvijejednake, neprozirnekutije. Uprvomsukuglicesbrojevima2,4,6i 8. Udrugoj sukuglices brojevima1,3,5i 7. Nasrecubiramokutijuiizvlacimokuglicu. Akojenanjojparanbroj,iziste kutije izvucemo jos jednu kuglicu. U suprotnom izvlacimo iz drugekutije. Kolika je vjerojatnost da je izvucen jedan paran i jedan neparanbroj?Rjesenje zadatka je uopisupostupka povoljnog izvlacenja kada jepozeljnoodabratidrugukutiju. Vjerojatnostje50%2.5 Potpunavjerojatnost. Bayesovaformula.PotpunsistemdogadajacinedogadajiH1, H2, . . . Hn akovrijedislijedece:_iHi= Hi Hj= Formulatotalnevjerojatnosti dogadajaA jeformula:p(A) =n

i=1p(A/Hi)p(Hi)Bayesovaformulasluzi zaaposteriornoizracunavanjevjerojatnosti poje-dinihhipotezaakojepoznatodasedogodiodogadajA:p(Hi/A) =p(Hi)p(A/Hi)p(A)43Zadatak2.4Zaruljeseproizvodeutripogona. Prvipogondaje50%proizvodnje, drugi 30%i treci 20%. Postotak neispravnihzaruljaizprvog pogona je 10%,iz drugog 15%,a iz treceg 8%. Kolika je vjerojat-nostdajeslucajnoizabranproizvodneispravan?Kolikajevjerojatnostdajeneispravanproizvodproizvedennaprvomstroju?Sistemhipotezauovomslucaju:H1-proizvodjeizprvogpogonaH2-proizvodjeizdrugogpogonaH3-proizvodjeiztrecegpogonaVjerojatnostihipotezaiuvjetnevjerojatnostisu:p(H1) = 0.5 p(A/H1) = 0.1p(H2) = 0.3 p(A/H2) = 0.15p(H3) = 0.2 p(A/H3) = 0.08Formulatotalnevjerojatnostidaje:p(A) =3

i=1p(A/Hi)p(Hi) = 0.131OdgovornadrugopitanjedajeBayesovaformula:p(H1/A) =p(A/H1)p(A)p(A)=0, 10, 50, 131= 0, 38Zadaci:1. Jedantipproizvodaizradujese4stroja. NastrojuS1izradujese40%proizvodnjeodcegaje0, 1%skarta, naS2seradi 30%iodtigaje0, 2%skarta, naS320%sa0, 25%skartai naS410%proizvodnjesa0, 5% skarta. Kolikajevjerojatnost:(a) dajeproizvoddobar(b) akoje skart,dajeizradennastrojuS1?442. Strijelci Mate i Ante, svaki sapojednimmetkom, gadajucilj.Matepogadasvjerojatnosti0, 8,aAntes0, 4. Utvrdenojedajemeta pogodena jednim metkom. Kolika je vjerojatnost da je metupogodioMate?3. U uzorku ispitanika, u kojem je dio muskaraca 55%, 70% muskaracai60%zenapusi. Kolikajevjerojatnostdaslucajnoodabranaos-obapusi? Kolikajevjerojatnostdajeslucajnoodabranaosobakojapusi,muskarac?3 SlucajnevarijableSlucajna varijabla je velicina koja se dobije mjerenjem u vezi s nekim slucajnimpokusom. Onapoprimasvojevrijednostiuzodredenevjerojatnosti.Nekajevjerojatnosniprostor. SlucajnavarijablajefunkcijaX: R,takodavrijedi:x R X1(x) .Postojediskretneikontinuiraneslucajnevarijable.3.1 DiskretneslucajnevarijableSkupvrijednostiX() = x1, x2, . . .jekonacaniliprebrojiv. Uglavnom cesepromatratikonacniskupovi.Takvadenicijaomogucavaprirodnufunkcijugustocevjerojatnostif= p X1: R [0, 1]gdjejep : [0, 1]funkcijavjerojatnostidenirananaprostorudogadaja.Funkcijagustocevjerojatnostiimaslijedeceosobine:1.f(x) 0452.

xRf(x) = 1Zadatak3.1Slucajanpokus je bacanje dviju kocaka. Slucajna varijablanekajezbrojnakockama. Odrediteprostorelementarnihdogadaja,skupvri-jednostislucajnevarijableifunkcijugustocevjerojatnosti,azatimnacrtajtegraffunkcijegustocevjerojatnosti.Rjesenje:prostordogadaja: = (i, j); 1 i, j 6,vrijednostislucajnevarijable:X() = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12funkcijagustocevjerojatnostidanajetablicom:X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12f(X)136236336436536636536436336236136Funkcija gustoce vjerojatnosti jednaka je nuli za realne brojeve koje slucajnavarijablanepoprima. Tosenajboljemozepredocitigracki.Primjer1. Bacanjedvijukocakaimazaslucajnuvarijablumanjiodbrojevakojisupali. Odrediteprostorelementarnihdogadaja, vrijednosti slucajnevarijableifunkcijugustocevjerojatnosti.Funkcijavjerojatnosti kod diskretnih slucajnih varijabli jednaka je funkcijigustocevjerojatnosti:p(X= x) = f(x).Oznakap(X= x) = p(X1(x))predstavljavjerojatnostdogadajaukojemslucajnavarijablapoprimavrijednostx.46FunkcijadistribucijeslucajnevarijableXkumulativnajefunkcija:FX(x) = p(X x).Vjerojatnostp(X x)jednakajevjerojatnosti daslucajnavarijablapoprimivrijednostmanjuilijednakuvrijednostix:p(X x) = p(_yxX1(y)).FunkcijadistribucijeF: R [0, 1]jefunkcija:- neopadajuca- neprekidnasdesna- vrijedi:limxF(x) = 0;limxF(x) = 1.Zadatak3.2SlucajnavarijablakodbacanjaigracekockeX=vrijednostjeokrenutog broja. Odredite prostor elementarnih dogadaja, vrijednosti slucajnevarijable,nacrtajtefunkcijugustocevjerojatnostiifunkcijudistribucije.Rjesenje: = 1, 2, 3, 4, 5, 6X() = 1, 2, 3, 4, 5, 6f(x) =_16, x 1, 2, . . . 60 ostalo_tablicafunkcijedistribucije:X 1 2 3 4 5 6f(X)1626364656147MatematickoocekivanjediskretneslucajnevarijableXjebroj:E(X) =

ixi p(X= xi) =

ixipi=

ixi f(xi)Varijancadiskretneslucajnevarijablejematematickoocekivanjekvadrataodstupanjaslucajnevarijableodocekivanja:V arX= E[(X EX)2] =

i(xiEX)2 pi.AlgebarskisemozedokazatiV arX= EX2(EX)2=

ix2if(xi) (EX)2.Standardnadevijacijaje mjera rasipanja rezultata i racuna se po formuli=V arX.Vjerojatnost da je slucajna varijabla poprimila vrijednost unutar inter-vala[EX , EX +]nijemanjaod68%.Primjer3.1Odredite matematicko ocekivanje i standardnu devijaciju u za-datku25.(rjesenje: EX= 3.5,V arX=)Zadatak3.3Ukutijusadevetbijelihping-ponglopticaubacenesutri zute.Bira se uzorak od tri loptice. Slucajna varijabla je broj zutih loptica u uzorku.Odreditematematickoocekivanjeistandardnudevijaciju. Kolikajevjerojat-nostdasuizvucenebaremdvije zute?(rjesenje: EX= 0.75,=,p(X 2) =28220)Zadatak3.4Ukutije se nalaze 24kuglice, odkojihsu4sarene, dok suostalepune, jednobojnekuglice. Kugliceizvlacimojednuzadrugomdokneizvucemojednobojnukuglicu. Kuglice sujednake pomasi i velicini. Akojeslucajnavarijablajednakabrojuizvucenihkuglica,odrediteocekivanibrojizvlacenja,standardnudevijacijuinacrtajtefunkcijudistribucije.48(rjesenje: EX= 1, 195,V arX=)Zadatak3.5Dvastrijelcagadajumetuspojednimmetkom. Vjerojatnostda prvi strijelac pogodi metu je 70%, a da je pogodi drugi iznosi 40%. Slucajnavarijablabroj jepogodakaumetu. Odrediteslucajnuvarijablu, ocekivanje,varijancuifunkcijudistribucijuslucajnevarijable.(rjesenje: EX= 1.1,V arX= 0.45,=)Zadatak3.6Tristrijelcagadajumetuspojednimmetkomipogadajujesvjerojatnostima0.9, 0.7i 0.6. Slucajnavarijablajebroj pogodakaumetu.Naditegustocui distribucijuvjerojatnosti, ocekivanjei vjerojatnosti dacemetabiti- barjednompogodena- bardvaputpogodena(rjesenje:EX= 2.2,p(X 0) = 0.998,p(X 2) = 1 F(1) = 1 0.167.)Zadatak3.7Igracbaca3novcica. Dobiva5akopadnu3G,3za2Gi1zajednu glavu. Igrac gubi 15 za 3P. Odredite funkciju gustoce vjerojatnosti zaslucajnu varijablu X-dobitak u igri. Izracunajte ocekivanje slucajne varijable.Dalijeigrapostena?RjesenjeSlucajna varijabla i pripadne vjerojatnosti dane su u tablici:X 15 1 3 5f(x)18383818xf(x)158389858ocekivanjejezbrojzadnjegretkaiiznosiE(X) =28= 0.25Igrajenastrani igraca, jer seocekujeprosjecandobitakpoigri odcetvrtineEura.Zadaci:491. Prirodni broj naziva se prostim, ako ima tocno dva razlicita djelitelj, aslozenim ako ima vise od dva razlicita djelitelja. Bacamo kocku. Prostibroj donosi tri boda, slozeni donosi dva, a ako padne broj koji nije nitiprostniti slozen, tadaigracdobiva11bodova. Naditeocekivani brojbodovaistandardnudevijaciju.(Rjesenje: = 4, = 3.2)2. Ukutiji senalazi jednabijela, dvijecrne, cetiri crvenei jednaprlavakuglica. Ako igrac izvuce bijelu,gubi cetiri kune,za crnu gubi 5 kuna,azatrvenudobivadvijekune. Odrediteocekivanjeiocijenitedalijeigrapostena?Rjesenje: = 1, NE3. Simetricni novcic baca se sve dok se ne pojavi glava ili pet pisama za re-dom. Odredite ocekivani broj bacanja novcica i standardnu devijaciju.(Rjesenje: = 1.9, = 1.2)4. Meta za zracnicu promjera je 20cm. Ona se sastoji od tri koncentricnakruga. Prvi krug ima promjer 4cm, a drugi 12cm. Pogodak u unutrasnjikrugnosi10bodova, pogodakuprvislijedeciprstennosi5bodova, apogodakuvanjskiprstennosi3boda. Vjerojatnostdastrijelacuopcepogodimetuje50%. Akojeslucajnavarijablabrojdobivenihbodova,naditenjenoocekivanjeistandardnudevijaciju.(Rjesenje: = 1.96, = 1.76)5. Igrac baca dva simetricna novcica. On dobiva 10kn ako se pojavi jednaglava, 20kn ako se pojave dvije glave i gubi 50kn ako se ne pojavi glavaninajednomnovcicu. Dalijeigrapostena?(Rjesenje: = 0.25, NE)6. Igrac baca dva simetricna novcica. Dobiva 5kn u slucaju javljanja dvijeglave, 2knuslucajujedneglavei 1knakoseglavanepojavi. Kolikoigractrebaigruplatiti organizatoru, padabudepostena. Troskovadodatnihnema.(Rjesenje: 2.5kn.)7. Akosenaradaruuhvati neprijateljski avion, tadaispaljenaraketas20% pogada rep, s 30% krilo i s 50% trup. Pogodi li krilo ili rep, avionjesrusen, autruptrebajutri raketezaobaranjeaviona. Avionjeuhvacen u radar i otvorena je vatra raketama. Odredite ocekivani brojispaljenihraketa.(Rjesenje: = 1.75)8. Strijelac koji imacetiri metka, gadacilj dokgane pogodi. Akojevrerojatnost pogotka cilja pri svakom gadanjui 80%, odredite ocekivani50brojhitacaistandardnudevijaciju.Rjesenje: = 0.546, = 1.248)3.2 BinomnarazdiobaBinomna razdioba ili binomna distribucija pretpostavlja n ponavljanja jednogteistogslucajnogpokusakojimozeimatisamodvaishoda:- uspjeh,kojemsevjerojatnostoznacavasp- neuspjeh,kojemjevjerojatnostq= 1 pSlucajnavarijablaXkojajejednakabrojuuspjehaunponavljanjapokusazoveseBinomna slucajnavarijabla.ParametriBinomneslucajnevarijablesu- brojponavljanjapokusan- vjerojatnostuspjehapOznakabinomneslucajnevarijablejeX B(n, p)Funkcijagustocevjerojatnost deniraseprekovjerojatnostif(x) =____nx_ px qnk, x = 0, 1, . . . n0, x ,= 0, 1, . . . nFunkcijadistribucijevjerojatnosti racunasezbrajanjem:F(x) = p(X x) =

kx_nk_ pk qnk.MatematickoocekivanjeslucajnevarijableEX= npVarijanca binomneslucajnevarijablejeV arX= npq51Primjer3.2NekajeXB(6, 0.7), gdjejen=6, p=0, 7. Koristecitablicu ispisite funkciju gustoce vjerojatnosti, funkciju distribucije, izracunajtematematicko ocekivanje i varijancu. Nacrtajte grafove funkcija gustoce i dis-tribucijevjerojatnosti.Funkcijesuzadanetablicom:X 0 1 2 3 4 5 6f(X) 0.0007 0.0102 0.0595 0.1832 0.3241 0.3136 0.1187F(X) 0.0007 0.0109 0.0704 0.2536 0.5777 0.8813 1Pri pop-unjavanjutablicemudrojekoristitisetablicama.EX = np = 4, 2V arX = 12, 6Zadatak3.8Vjerojatnost pogotka u metu je 0, 75. Meta se gada cetiri puta.Naci:a) skupvrijednostislucajnevarijablebrojapogodakaumetub) f(x), F(x), EX, V arXc) vjerojatnostdajemetapogodenabaremjednomd) vjerojatnostdajemetapromasenabarjednomRjesenjezadatkapoda) vrijednostislucajnevarijableB(4, 0.75)suX= 0, 1, 2, 3, 4b) gustocavjerojatnostiX=_0 1 2 3 40.0039 0.0469 0.2109 0.4219 0.3164_52funkcijadistribucijeF(x) =___0, x < 00.0039, 0 x < 10.0508, 1 x < 20.2617 2 x < 30.6836 3 x < 41 x 4EX = np = 3V arX = npq= 0.75c) barjedanpogodakjevjerojatanp(x 1) = 1 p(x < 1) = 1 p(0) = 0.996abarjedanpromasajp(x < 4) = F(3) = 0, 6863Zadatak3.9Operacijauspjevau75%slucajeva. Kolikojevjerojatnoda75%od8pacijenataimauspjeluoperaciju?Rjesenjezadatka:uocitibinomnurazdiobuB(8, 0.75)izracunati75%od8daje6izracunatiiliprepisatiiztablicep(x = 6) =_86_ 0.756 0.2586= 280.180.0625= 0.315Teorem3.1KodbinomnerazdiobeX B(n, p)najvecavjerojatnost pri-padaonojdiskretnojvrijednostislucajnevarijablex0zakojuvrijedi:np q x0 np +q53Primjer3.3Automat izraduje proizvod i daje 8% defektnih proizvoda. Proizvodisebez kontrolepakirajuukutijeodpo30komada. Kolikoseneispravnihproizvodabitinajcesceukutiji?Rjesenjeprimjerajednostavnajeprimjenateoremazan = 30p = 0.08300, 08 0, 95 x0 300, 08 + 0, 951, 48 x0 2, 48x0= 23.3 PoissonovadistribucijaPoisonovarazdiobagranicnijeslucajbinomnedistribucijekadan infty,avjerojatnostuspjehajerelativnomala:limninfty_nx_ px qnx= e

xx!,gdjeje = npx = 0, 1, 2, . . .Dobri se rezultati postizu za np 10. Funkcija gustoce vjerojatnosti deniraseprekofunkcijevjerojatnosti. Funkcijadistribucije, ocekivanjei varijancaracunajusepremaformulama:f(x) = e

xx!F(x) =

yxe

yy!EX= V arX = Primjer3.4Nekaskolaima2190ucenika. Kolikojevjerojatnodajepetucenika rodeno na Novu godinu?Koja je vjerojatnost da su barem tri ucenikarodenanaNovugodinu?54Rjesavanje zadatkabilobi neprikladnopomocubinomne razdiobe, jer jen = 2190,ap =1365. Parametardobivaseizjednakosti = np = 6VjerojatnostdajetocnopetucenikarodenonaNovugodinujednakajevri-jednostigustocevjerojatnostizax = 5:p(x = 5) = f(5) = e6

655!= 0, 16062Vjerojatnost dasubaremtrojicarodeni naNovugodinudobivapomocufunkcijedistribucije:p(x 3) = 1 p(x 2) = 1 F(2)= 1 (f(0) +f(1) +f(2))= 0, 9380Umjestoracunanjamozemosekoristititablicama.Zadatak3.10Statisticki jeutvrdenodaje1%ljevorukihljudi. Kolikajevjerojatnostdaizmedu200slucajnoizabranihosobabudea) tocnocetiriljevakab) nemanjeodcetiriljevakaRjesenjezadatkatrazimoPoissonovomrazdiobom,buduciseradioX B(200, 0.01)Ocekivanibrojljevorukihljudiuuzorkuod200ljudijenp = = 2 < 10Koristecitablice,dobivamoprviodgovor:p(X= 4) = f(4) =244!e2= 0.0902iodmahzatimidrugiodgovor:p(x 4) = 1 p(x 3) = 1 F(3) = 1 0, 8571 = 0, 1428.55Zadatak3.11Telefonskacentralaimaprosjecnoposatu300zahtjevazauspostavljanjemtelefonske veze. Centralamoze uminuti ostvariti maksi-malno10veza. Kolikajevjerojatnost dacecentralabiti preopterecenautokuproizvoljneminute, akosebrojzahtjevaravnapoPoissonovomzakonuvjerojatnosti.Rjesenjezadatka trazi otkrivanje parametra . Ako matematicko ocekivanjepredstavlja ocekivanu vrijednost slucajne varijable, a u ovom zadatku ocekujemouminuti30060= 5poziva,toje = 5Buducipreopterecenjevrijedikadjebrojzahtjevax > 10p(x > 10) = 1 p(x 10) = 1 F(10)= 1 0, 9863 = 0, 0137Zadatak3.12Od milijun stanovnika jednog grada smrtno je stradalo uprometnimnesrecamautokujednegodine730osoba. Kolikajevjerojatnostdaujednomdanua) nebudenastradalihb) nastradajupetoricac) nenastradaviseodtrojice?d) Uzvjerojatnostod95%prognozirajtegornjugranicubrojapoginulihujednomdanu,akojetajbrojslucajnavarijablaPoissonoverazdiobe.Rjesenje zadatakakoizracunamoparametar , koji odgovar ocekivanombrojuod,nazalost,730365= 2smrtnostradalagradana.a) p(x = 0) = f(0) = e2 200!= 13.5%56b) p(x = 5) = f(5) = e2 255!= 3.6%c) iztablica: p(x 3) = F(3) = 67.7%d) Problemjerijesenkadaseotkrijeonajbrojstradalihxzakojijep(X x) = 0, 95IztablicadistribucijetojenepoznatavrijednostxzakojujeF(x) = 0, 95daklex = 4.Beztablica,rjesavanjebibilogotovonemoguceimoralobiseizvoditipogadanjem.Zadaci1. BrojautomobilakojidolazenaparkiralisteujednomsatuimajuPois-sonovurazdiobus ocekivanimbrojemod25.3automobilaujednomsatu. Kolika je vjerojatnost dolaska automobila na parkiraliste u inter-valuodpetminutakadajeparkiralistepopunjeno?2. Broj automobila koji dolati na raskrsce ima Poissonovurazdiobusocekivanjem dolaska 12.5 automobila u 3 minute. Kolika je vjerojatnostdolaskaviseod5automobilau30sekundi?3.4 KontinuiraneslucajnevarijableSlucajnavarijablaX: X()poprimavrijednostinaneprebrojivomskupu:X() R.FunkcijadistribucijeslucajnevarijablejefunkcijaF: R Rkojaimaslijedecasvojstva:571) neopadajuca2) neprekidna3) F() = 0,F(+) = 1Funkcijagustocevjerojatnosti jenenegativnafunkcijag: R R,takvadajeF(x) =_xg(t)dtsasvojstvima1) g(x) 0, x R2)_+g(t)dt = 1Izdenicijeslijedidajeg(x) = F

(x).Uslucajudaselijevai desnaderivacijarazlikuju, odaberemolijevuderivaciju.Funkcijavjerojatnosti denirasea) prekofunkcijegustocevjerojatnosti:p(a < x < b) =_bag(t)dtb) odnosnoprekofunkcijedistribucije:p(a < x < b) = F(b) F(a)c) dokvrijedidajep(X= x) = 0, x R.58Primjer3.5SlucajnavarijablaXzadanajefunkcijomdistribucijeF(x) =___0, x 014x2, 0 x 21, x 2a) Nacrtatifunkcijudistribucijeb) Nacifunkcijugustoceinacrtatijec) Odreditep(x > 1)ip(1 < x < 1.5)Rjesenja.b)g(x) =___0, x 012x, 0 x 20 x > 2c) p(1 < x < 1.5) =516MatematickoocekivanjekontinuiraneslucajnevarijableE(X) =_+xg(x)dxVarijanca kontinuiraneslucajnevarijableV ar(X) =_+(x E(X))g(x)dx =_+x2g(x)dx (E(X))2.Zadatak3.13Odreditematematickoocekivanjeivarijancuizprimjera.Rjesenje. Dobivaseizravnopodeniciji, nopotrebnojeintegrirati podi-jelovima:E(X) =_00xdx +_20x 12xdx +_+2x0dx=43V ar(X) =29Zadaci:591. NekajeXneprekidnaslucajnavarijablasgustocomvjerojatnostig(x) =_kx, 0 x 50, ostalo(a) odreditik(b) odreditifunkcijudistribucije(c) izracunatip(x 3),p(2 < x < 4)ip(x > 4)(d) izracunatiE(X),V ar(X).(rjesenja: k =225; g(x) =225x, 0 x 5; ostalo 0; F(x) =___0, x < 0125x2, 0 < x < 51 x > 5,p1=925,p2=1225ip3=925.)2. GustocavjerojatnostislucajnevarijableXdanajesag(x) =_Acosx, 2 x 20 [x[ >2IzracunajtevrijednostparametraA, odreditei nacrtajtefunkcijudis-tribucije,matematickoocekivanjeivarijancu. Odreditep(4< x 0, 5).603.5 UniformnarazdiobaFunkcijagustocevjerojatnostiuniformnerazdiobef(x) =_k, a x b0, ostaloKonstantakracunaseizzahtjeva_+=_bakdx = k(b a) = 1k =1b aFunkcijadistribucijeF(x) =_xa1b adt =x ab a=___0, x axaba, a x b1, b xMatematickoocekivanjeuniformnerazdiobeEX=_baxf(x)dx =a +b2.VarijancaV arX=(b a)212,dokjestandardnadevijacija=V arX.Zadatak3.14Dojavljenojepoliciji dasvakenoci izmedu2i 3satakrozcrvenoprojuri jedante isti auto. Nacrtajte funkcijugustoce vjerojatnostii funkcijurazdiobe. Izracunajtematematickoocekivanjei standardnudevi-jaciju. Kolikojevjerojatnodaceprocikrozcrveno:a) tocnou2 : 25b) prije2 : 15c) izmedu2 : 35i5 : 00d) prije8 : 00sati(Rjesenje:a)p = 0;b)p = 25%;c)p =512;d)p = 1)613.6 EksponencijalnarazdiobaEksponencijalna razdioba zadana je pozitivnom konstantom > 0. Funkcijagustocevjerojatnostislucajnevarijablet:f(t) =_et, t 00, ostaloUvjetnormiranostijezadovoljen:_+f(t)dt =_+0etdt = et[+0= ( limtet1)= 1,jerjelimtet= 0.Oznaka t slucajne varijable sugerira njeno znacenje vremenskog trajanja kojejevjerojatnijeakojekrace. Obicnosutotrajanjauslugana salterima, vri-jemeizmedudvanailaskavozila, vrijemepotrebnozaotpremutelegrama,putovanjeE-maila...Funkcija distribucije daje vjerojatnost da se ne prekoraci predvideno vri-jemezaobavljanjeusluge:F(t) = 1 et.Vjerojatnost da usluga traje od najmanje a do najvise b vremenskih jedinica:p(a t b) = eaeb.OcekivanotrajanjeuslugejeE(t) =1uzvarijancuV ar(t) =12,odnosnostandardnudevijaciju=1.62Zadatak3.15Vremenski razmak izmedu vozila koja prelaze preko pjesackogprijelaza slucajna je velicina eksponencijalne distribucije. Prometno opterecenjeuliceiznosi600vozilaposatu. Izracunajte:1. vjerojatnostdanastupirazmakveciod10sekundi2. vjerojatnostdarazmakizmedunailazakabude5-10sekundi3. odrediteonajrazmakusekundamaiznadkojegjevjerojatnost5%.Rjesenje:Eksponencijalnajedistribucijaodredenajednimparametrom: =1EXBuduciseocekuje600vozilaposatu,toje,usekundama,ocekivanirazmakizmedudvavozilaEX=3600600= 6s,a eksponencijalna razdioba u ovom zadatku dana je formulom gustoce vjero-jatnostif(x) =16et6, t > 0.1. vjerojatnostdanastupirazmakveciod10sje:p(t > 10) = 1 p(t < 10) = 1 F(10) = 1 (1 e106)= e106= 18.9%2. vjerojatnostrazmakaod5do10sjep(5 < t < 10) = e56e106= 24.6%3. trazisevremenskirazmakt0,zakojivrijedip(t > t0) = 0.051 F(t0) = 0.05et06= 0.05[lnt06= ln 0.05t0= 6ln 0.05= 18s63Zadaci1. Vrijeme cekanja na naplatnim kucicama autoputa slucajna je varijablaeksponencijalnedistribucije. Prosjecnoprode120vozilaposatu. Ko-likajevjerojatnosta) davozilo cekaduljeod2minuteb) davozilo ceka30-60sekundi?c) Uzvjerojatnost90%odreditegornjugranicuvremena cekanja.2. Vrijeme ispravnog rada nekog uredaja eksponencijalna je slucajna var-ijabla s ocekivanjem neprekidnog rada 2 mjeseca nakon servisa. Kolikajevjerojatnostda ceseuredajpokvaritiutokua) prvogmjesecab) drugogmjeseca?3.7 NormalnarazdiobaNormalna razdioba u oznaci X N(, 2) zadana je s dva parametra: R,> 0. Normalnarazdiobazadanajeformulomgustocevjerojatnosti:f(x) =12e(x)222GraffunkcijejeGaussovazvonastakrivuljasimetricnaobziromnavertikalux = ,spljostenostovisiovelicinikonstante.Matematickoocekivanjenormalneslucajnevarijable:EX= .Varijanca:V arX= 2.FunkcijarazdiobeF(x) =12_xe(t)222dtkoji nije moguce elementarno izracunati. Racunanje vjerojatnosti je mogucesamopomocutablicailiracunala.643.7.1 StandardnanormalnarazdiobaStandardnanormalnarazdiobauoznaciZ N(0, 1)imafunkcijugustocevjerojatnosi(z) =12ez22imagrafzvonastuGaussovukrivulju.Funkcijadistribucije(z) =12_zeu22duciji graf crtamo zahvaljujuci matematici 1. Treba uociti da je (z< 3) = 0idaje(z> 3) = 1.Supstitucijaz=x omogucavaprekoF(x) = (z)jedinomoguceracunanjevjerojatnostip(a < x < b) = F(b) F(a)Zadatak3.16NekajeX N(4, 1.52). Izracunajte1. p(x > 5.2),p(x 4)2. vrijednostslucajnevarijablectakodap(x < c) = 0.35Rjesenjezadatkaje1. ocitojep(x 4) = 50%p(x > 5.2) = 1 F(5.2) = 1 (5.2 41.5)= 1 (0.8) = 1 0.7881= 0.2119652. racunanjevrijednostislucajnevarijable:p(x c) = 0.35F(c) = 0.35(c 41.5= 0.35c 41.5= 0.385c = 3.4225uzneophodnupomoctablica.Primjer3.6Neka su EXi > 0 ocekivanje i standardna devijacija slucajnevarijablekojajenormalnodistribuirana. Izracunajteslijedecevjerojatnosti:1. p(EX x EX +)2. p(EX 2 x EX + 2)3. p(EX 3 x EX + 3)Rjesenjesedobivaocitavanjem:1. D(1) = 68.27%2. D(2) = 95.45%3. D(3) = 99.73%PrimjerpokazujedaseunutarEX nalazi 68.27%vrijednosti slucajnevarijablekojajenormalnodistribuirana. Posljednji dioprimjerapokazujebespotrebnost nastavkatablicaprekovrijednosti 3standardizirane vari-jable.Primjer3.7Pretpostavimo da se tezina paketa ravna po normalnoj distribu-ciji ukojoj jesrednjavrijednost x=6.4, astandardadevijacija=2.1Odrediteinterval ukojemseocekujetezinasvjerojatnostiod90%.Rjesenjetrazimouoblikuvrijednostic,zakojuvrijedidajep(EX c < x < EX +c) = 0.966KratakracunpodenicijidajeF(EX +c) F(EX c) = (c) (c)= D(c)stopouvjetimazadatkadajeD(c= 0.9c= 1.64c = 3.4konacnotrazenegranice3 x 9.8ukojimasenalazi90%paketa.Zadatak3.17Visina covjekajenormalnaslucajnavarijablasocekivanjemEX= 174cmivarijancom2= 81cm2.a) Kolikijepostotakljudivisihod2m?b) Ispodkojevisineje5%ljudi?c) Kolikijepostotakljudivisine160 190cm?Rjesenjaa)p(x > 200) = 1 F(200) = 1 (200 1749) = 1 (2.89) == 1 0.9981 = 0.0019b) trazisevisinahp(x < h) = 0.05(h 1749) = 0.05h 1749= 1.645h = 15967c)p(160 < x < 190) = (190 1749) (160 1749) == (1.78) (1.56) == 0.9625 0.0594 == 90.31%Zadatak3.18Nekajebrojosvojenihbodovanapismenomispitunormalnodistribuiranaslucajnavarijablasocekivanjem76istandardnomdevijacijom15. Prvih15%studenatadobivaocjenuodlican,dokzadnjih10%neprolaziispit. Naditea) minimalnibrojbodovapotrebandabisedobiloodlicanb) minimalnibrojbodovapotrebandaseprodeispit?Rjesenja:a) trazisebrojazakojijep(x > a) = 1 F(a) = 1 (a 7615) = 0.15(a 7615) = 0.85a 7615= 1.04a = 92b) traziseonajmalibrojbodovabispodkojegje10%studenatakojisupali:p(x < b) = 0.1(b 7615) = 0.1b 7615= 1.28b = 57Zadaci681. Masa covjeka je normalno distribuirana slucajna varijabla s ocekivanjemEX= 82kgistandardnomdevijacijom= 11kg.a) Kolikipostotakljudiimamasu60 90kg?b) Kolikijepostotaktezihod100kg?c) Ispodkojegraniceje5%ljudi?2. SlucajnavarijablaXimanormalnurazdiobuN(= 4, 23; 2= 25, 35).IzracunajtevjerojatnostnegativnevrijednostislucajnevarijableX?3. SlucajnavelicinaXnormalnojedistribuiranasparametrimaE(X) =20,= 2. Izracunatip(17 < x < 22),p(x < 18)ip(x 19).4. SlucajnavarijablaXnormalnojedistribuiranasicekivanjemE(X) =34ivarijancomV ar(X) = 6, 25. IzracunajteP(X 34),P(X> 29)iP(34 < X< 40).5. GodisnjakolicinapadalinauZagrebuslucajnajevarijablanormalnedistribucije s oceivanjem 880mm/m2i standardnom devijacijom 130mm/m2.Odrediti:a) vjerojatnost da godisnja kolicina padalina bude iznad tisucu litarapometrukvadratnomb) vjerojatnostdagodisnjakolicinapadalinabudeod500dotisucuidvijestolitarapokvadratnommetruc) onugodisnjukolicinupadalinaispodkojejevjerojatnost10%?6. MaksimalnadnevnatemperaturazrakaumjeseculipnjuslucajnajevelicinaXnormalnodistribuiranasE(X) = 25Ci= 6C. Odredite(a) vjerojatnostdamaksimalnatemperaturapadneispod16C,(b) vjerojatnostdamaksimalnatemperaturaporasteiznad33C,(c) temperaturu u Ciznad kojeg maksimalna temperatura zraka nas-tupasvjerojtnoscu1%.7. Tezina covjeka je slucajna varijabla X normalne razdiobe s EX= 78kg,dokje= 8kg.69(a) Iznadkojetezineje0.5%ljudi?(b) Kolikijepostotakljudilaksihod50kg?(c) Kolikijepostotakljudiizmedu70kgi80kg?704 Problemskizadaci1. Odredite(a) Kolikoimarazlicitihdijeljenjanapokerautomatukoji dajepetkarataiz spilaod52karte?(b) Kolikobi partijasahaodigraladvarazredaodpo24ucenikaumedusobnomdvoboju?(c) Nakolikonacinamoze peterodjece razdijeliti medusobom12jabuka,10krusakai8naranci?2. Na kvadratnom zemljistu 1km1km raste 3110 stabala promjera 50cm.Da li se u sumi moze pronaci mjesta za tenisko igraliste 25m25m zakojenetrebasjeca?3. Na drugoj godini ima 400 studenata, od kojih se neki bave sportom i to:180snogometom,130skosarkom,100srukometom,40snogometomi kosarkom, 30 s nogometom i rukometom, 20 s kosarkom i rukometom,a 10 sa sva tri ta sporta. Kolika je vjerojatnost da se nasumce izabraniucenikbavis:(a) barjednimsportom(b) samojednimsportom(c) bardvasporta(d) svatrisporta?4. Velikaserijaproizvodaneketvornicedaje2% skarta. Kolikonajmanjeproizvoda treba izabrati pa da vjerojatnost da se medu njima nade barjedandefektanbudep = 95%?5.Cetiri aviona nezavisno jedan od drugog bombardiraju brod. Vjerojat-nostpidabombaizi-togaviona(i = 1, 2, 3, 4)pogodibrodjeredom:p1= 0.1,p2= 0.3,p3= 0.4ip4= 0.5.(a) Kolikajevjerojatnostdabrodbudepogoden?(b) Kolikajevjerojatnostdaprotuzracnaobranasrusi sveavione, anitijedanavionnepogodibrod?716. U posiljci je 15 mobitela, a pet ih je neispravnih. Netko kupi 3 mobitela.Odredite vjerojatnosti broja neispravnih mobitela u kupovini, ocekivanibroj neispravnihmobitelai funkcijurazdiobebrojaneispravnihmo-bitelauuzorkuodtrikupljena.7. Iz zadane funkcije gustoce vjerojatnosti na slici (stranice trokuta svrhovima(1, 0), (0, a>0), (3, 0)bezstranicenaosi 0X, dijelovi osi0Xbezduzineod-1do3)potrebnojeizracunati:(a) parametara(b) matematickoocekivanje.(c) Nacrtajtefunkcijudistribucijeiodreditep(12< x 0f(x/y) = P(X= x/Y= y) =f(x, y)f1(x), f1(x) > 0,gdjesu- f(x, y)funkcijagustocevjerojatnostislucajnogvektora(x, y)- f1(x)funkcijagustocevjerojatnostislucanjevarijableX- f2(y)funkcijagustocevjerojatnostislucanjevarijableY .Vjerojatnost da jedna slucajna varijabla poprimi neku vrijednost uz infor-maciju da je druga slucajna varijabla vec prije poprimila odredjenu ksiranuvrijednost.Matematickoocekivanjeslucajne varijable X uz zadanu vrijednost slucajnevarijableY uoznaciE(X/Y )nazivaseregresijavarijableXuodnosunavarijabluY .:E(X/Y= y) =

ixi f(xi, y)f2(y)=1f2(y)

ixif(xi, y).100Regresija varijable Y uodnosuna Xoznacava se s E(Y/X) i racunaanalogno.Funkcijaregresijevarijable Xobzirom na Yfunkcija je zadana formulomf y (y) = E(X/Y ),dokjef x (x) = E(Y/X)funkcijaregreseijevarijableY obziromnaX.Krivuljaregresijejegraffunkcijefx, odnosnofyi pokazujekakoseuprosjekumijenjaY kadasemijenjaX.Koecijentkorelacije , odnosnor, pokazujecvrstinupovezanosti XiY ,afunkcijaregresijedajematematickuzakonitostkojomjeizrazenaistapovezanost.Linearnaregresijaizraz je za regresiju kojoj je funkcija linearna,a moguceje dokazati da je u slucaju normanih distribucija varijabli Xi Yregre-sijauvijeklinearna.Oblikfunkcijalinearneregresije:E(X/Y ) . . . x EX =C(X, Y )2y(y EY )E(Y/X) . . . y EY =C(X, Y )2x(x EX)Uvrstavanje =C(X, Y )xydajePravciregresijeuosnovnomoblikuglase:x EX = xy(y EY )y EY = yx(x EX)U praksi se statisticki zakljucci izvode na bazi uzoraka za koji se vjerujedasureprezentativni.101PravacregresijeE(Y/X)imasvojsvodapokazujeminimalnokvadratnoodstupanjevrijednosti izvanpravca, ododgovarajucihvrijednosti naprovcu.Metodomnajmanjihkvadrataprocjenjuje se koecijent pravca regresijeJednadzbapravcaregresijekojapokazujeovisnostslucajnevarijableYoslucajnojvarijabliXzapodatketipa:x x1x2 xny y2x2 ynjesteksplicitnajednadzbapravcay= a +bx, (4)gdjesekoecijentiaibracunajupoformulama:a =

iyi

ix2i

ixi

ixiyin

ix2i (

ix2i)2b =n

ixiyi

ixi

iyin

ix2i (

ixi)2Formula pravcaregresijex = a +bykoji prikazuje kako slucajna varijablaXovisi o Ydobiva se zamjenomulogax y.Zadatak6.3Napisite jednadzbu pravca regresije koja ce pokazivati ovisnostbrojaobavljenihpostanskihuslugaibrojazaposlenihupostibr. zaposl. 10 11 15 12br. usluga 50 80 100 70Rjesenje. Brojusluga ceimatiuloguyu(4),dok cebrojzaposlenihbitix. Tablicasasvimpotrebnimizracunaslijedi:102xiyix2ixiyi10 50 100 50011 80 121 88015 100 225 150012 70 144 840

=48 300 590 3720Dabidobiliy= a +bx,a =300590 4837204590 (48)2= 27.86b =43720 483004590 482= 8.57Jednadzbatakoglasi: y =8.57x 27.86. Racunanjemyzatablicnuvri-jednostx=10dobivasey(10)=57.84uodnosunaempirijskih50, dokjey(15) = 100.67uodnosunaispitanih100.Pravacregresije dajemogucnostprocjenekolikojepotrebnoradnikazaizvrsenjeodredjenogbrojausluga.103