GRA EVINSKI FAKULTET SVEU ILIŠTA U RIJECI

SKRIPTA RIJEŠENIH ZADATAKA IZ

OTPORNOSTI MATERIJALA

NEIRA TORI ,dipl.ing.gra .

2

1. Zadatak

Izra unati naprezanja i nacrtati dijagram naprezanja na konzolnom nosa u ako je zadano :

2

2

11

11

mm

NMPa

m

NPa

=

=

Vrijednosti uzdužnih sila na pojedinim segmentima :

NFN

FFN

NFN

I

II

III

43

21

41

104

0

102

⋅==

=+−=⋅−=−=

Vrijednosti naprezanja na pojedinim segmentima :

MPaPaA

NA

N

MPaPaA

N

II

III

IIIIII

401040

0

201020

6

6

=⋅==

==

−=⋅−==

σ

σ

σ

mb

ma

mcmA

PaE

NF

NFF

1

2

1010

102,2

104

102

232

11

43

421

==

==

⋅=

⋅=

⋅==

−

3

2. Zadatak

Odrediti naprezanja u štapu pri promjeni temperature za + T :

Rješenje :

Ukoliko nema vanjskog otpora izduženju štapa, nema niti naprezanja u štapu. To zna i da se štap AC može slobodno izdužiti pod utjecajem temperature za veli inu . Sve dok je δ≤∆ tl u štapu su naprezanja jednaka nuli.Ukoliko je tendencija štapa da se izduži za δ>∆ tl , aktivira se u štapu sila koja opet “ vra “ štap na realnu dužinu AB, kao što se vidi na slici. Može se zaklju iti i da e sila u štapu biti tla na , odnosno s predznakom – (minus).

– realno izdužrnjeB – nerealno izduženje

( )( )

( )3

2)(

1

0,0

0,0

22

2

11

1

2211

2211

K

K

K

AE

lF

AE

lFl

Tlll

ll

l

l

TlTll

BBB

t

Bt

t

t

t

+=∆

∆+=∆

∆−∆=

≠>→>∆

=>→≤∆

∆+∆=∆

ααδ

σεδσεδ

αα

( ) ( ) ( ) [ ]

22

11

22

11

1

21

112211

1

)(13;2

A

F

A

F

AE

AE

l

ll

AETllF

Bx

Bx

B

−=

−=

+

−∆+=⇒→

σ

σ

δαα

4

3. Zadatak

Odrediti pomak to ke C ukoliko se temperatura štapa 1 pove a za T :

Rješenje :

βδ=

βδ=

β∆α

=β

∆=δ

=∆δ∆

=β

∆α=ε=∆⇒∆

=ε

sinv

cosu

2sinTl

2sinl

0l;l

2sin

Tlllll

C

C

1C

2C

1

ttt

t

5

4. Zadatak

Odrediti naprezanja u štapovima ukoliko se temperatura štapa 2 pove a za T :

Rješenje

Iz plana pomaka i optere enja (ovdje promjena temperature) možemo zaklju iti da se štap 2 nastoji izdužiti, no njegovo potpuno izduženje sprje avaju druga dva štapa spojena u voru D, koji nisu direktno optere eni i nemaju tendenciju izduženja. Štap 2 se izduži za lt pri

2

D' u D''.

Budu i da su sva tri štapa me usobno spojena u voru D, izduženjem štapa 2 prisilno se izdužuju i štapovi s brojem 1. Kao posljedica izduženja u njima se javlja vla na sila F1(vla na sila uzrokuje izduženje ako nema nikakvog drugog optere enja).

Zadatak 5

Iz uvjeta ravnoteže sila :

( )10cos20 21 K=−→=Σ FFY α

Iz plana pomaka :

( )2coscos 212

1

1

2 Kαα lll

l

l

l∆=∆→

∆∆

==

Iz Hookovog zakona :

( )311

111 K

AE

lFl =∆

( )42222

222 KlT

AE

lFl ⋅∆⋅+=∆ α

( ) ( )α

αα3

22

11

2112

1

cos21

cos)2(4);3(;1

AE

AEATE

F−

∆=⇒→

α

ααα

3

22

11

3112

212

cos21

cos2cos2)1(

AE

AEATE

FFF−

∆=⇒=→

2

22

1

11 ;

A

F

A

F−== σσ

6

5. Zadatak

Odrediti naprezanja u štapovima ako je srednji štap kra i za od predvi ene duljine l.

Rješenje

Iz uvjeta ravnoteže sila :

( )1cosF2F0cosF2F0Y 1212 Kα=→=α−→=Σ

Iz plana pomaka :

( )2cos

1AElF

AElF

cosl

l

ll

ll

cos

11

11

22

2212

2

1

1

2

Kα

+=α

∆+∆=δ

∆−δ∆

==α

( ) ( )

( )

( ) ( )223

112

32211

2

223

112

22211

1

11

1

22

21

11

11

22

21

AEcosAE2l

cosAEAE2F1

AEcosAE2l

cosAEAEF

cos1

AEl

cosAE

l2F

cos1

AElF

cosAElF

221

+α

αδ=⇒

+α

αδ=

α

+α=α

+α=δ⇒→

1

11 A

F−=σ

2

22 A

F−=σ

22

222

11

111

AE

lFl

AE

lFl

=∆

=∆

7

6. Zadatak

Odrediti naprezanja u štapovima 1 i 2 te vertikalni pomak to ke D.

Rješenje

Sustav je jedanput stati ki neodre en (ima jednu prekomjernu veli inu), odnosno nepoznate su 4 veli ine ( RH , RV , S1 , S2 ).Uz tri uvjeta ravnoteže postavljamo dodatnu jednadžbu na deformiranom sustavu na principu sli nosti trokuta.Iz uvjeta ravnoteže sila :

( )

( )

( )30sin0

2cos0cos0

10sin0

12

11

1122

K

K

K

=++−→=Σ

=→=−→=Σ

=−−→=Σ

V

HH

A

RSFSY

SRSRX

aSaSFlM

α

αα

α

Iz plana pomaka :

αδδ

sin; 1

2

ll BC

∆=∆≡

Iz sli nosti trokuta :

( )412

Kaa

BC δδ=

Iz Hookovog zakona :

22

222

11

111 ;

AE

lSl

AE

lSl =∆=∆ ( )4→

( )

222

22

22

2

2

2

22

1

11

22

2

21

1

2

22

112

21

2

1

1

2

22

1121

sin1

1

sin

aAE

llS

a

ll

la

l

A

S

A

S

a

all

AEAE

a

FlSS

a

a

l

l

AE

AESS

DD =∆=⇒=

∆

=

=

+

=⇒→

=

δδ

σ

σ

α

α

8

7. Zadatak

Dimenzionirati štapove AB i DG kružnog popre nog presjeka napravljene od elika, te odrediti njihova produljenja.

mc

mb

ma

kNF

MpaE

Mpadop

1

2

3

100

102

1405

====

⋅=

=σ

)15,6(2861,24

4

36,510536,010140

1075

)85,13(4201,44

4

6,121026,110140

108,176

8,17645sin3

575

45sin3

50345sin50

751004

3

4

30340

221

22

22

2

2236

32

2

211

11

21

1

2236

31

1

2112

22

cmAmmdusvojenocmA

dd

A

cmmS

A

cmAmmdusvojenocmA

dd

A

cmmS

A

SA

A

S

ranjeDimenzioni

kNSSSSM

kNFSFSM

doppot

doppot

doppotdopx

C

H

=→=→→==⇒=

=⋅=⋅⋅

=≥

=→=→→==⇒=

=⋅=⋅⋅

=≥

≥⇒≤=

=°⋅

=°⋅

=→=⋅°⋅−⋅⇒=∑

===→=⋅−⋅⇒=∑

−

−

ππ

σ

ππ

σ

σσσ

9

cmmAE

lSl

cmmAE

lSl

MPaMPaA

S

MPaMPaA

S

Kontrola

dopx

dopx

12,010195,121015,6102

21075

18,010056,18707,01085,13102

2108,176

1409,1211015,6

1075

1406,1271085,13

108,176

4411

3

22

222

4411

3

11

111

4

3

2

22

4

3

1

11

=⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅==∆

=⋅=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅==∆

==⋅⋅

==

==⋅⋅

==

−−

−−

−

−

σσ

σσ

p

p

10

8. Zadatak

Odrediti pomak to aka B i D na zadanom sustavu.

( )

( )

( )AEa

bahFB

ba

B

a

h

AEa

bahF

AE

hSh

a

baFSSabaFM A

⋅⋅+⋅⋅

=∆⇒+

∆=

∆

⋅⋅+⋅⋅

=⋅⋅

=∆

+=→=−+⇒=Σ

2

2

00

11

9. Zadatak

( )

( )

( ) ( )

MPam

N

A

S

MPam

N

A

S

NS

NS

Al

AlF

SaSAl

aAlSFa

Al

AlSS

AE

lS

AE

lS

lla

l

a

l

aSaSFaM

NF

EE

mcmA

mcmA

ml

ml

A

7,8105,1

35,1304

43,10101

5,1043

35,1304

5,1043

33

403

3

412

23

223

2332

10320

6000

105,15,1

1011

8,1

1

242

22

241

11

2

1

21

1222

21

122

21

1221

22

22

11

11

2121

21

21

2422

2421

2

1

=⋅

==

=⋅

==

==

+=⇒=−−⇒→

=⇒=

∆=∆⇒∆

=∆

=−−⇒=Σ

==

⋅==

⋅==

==

−

−

−

−

σ

σ

K

K

12

10. Zadatak

Kruta greda AB obješena je o tri eli na štapa istog popre nog presjeka površine 10 cm2. Dužina štapova je h = 1 m, s tim da je srednji štap (2) napravljen kra i od projektirane dužine za

= 0,6 mm. Odrediti sile u štapovima i izduženje srednjeg štapa ako je izvršena prinudna montaža sustava.

EA

hSl

EA

hSl

EA

hSl

hlll

EAAEAEAE

33

22

11

321

332211

;; =∆=∆=∆

======

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

mmmEA

hSl

kNS

kNS

kNS

kNccScSS

kNcSS

kNcSSScS

kNNch

EA

SSSaSaSaSM

Sh

EAS

EA

hS

EA

hSll

a

l

a

l

SSEA

hS

EA

hSll

a

l

a

l

A

4,0103,4101101,2

00,11090

54

90

18

901267

5

7

222

541267

3

7

31

187

126

7

194232,1

1261012600,1

101101,2106

3320320

22222

13333

4311

32

2

3

2

1

121

31

1111

33114

321321

1212

2121

1313

1313

=⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅==∆

=

=

=

==−=−=⇒→

===⇒→

===→−−=⇒→

=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅

==∆

−=⇒=+−→=Σ

−∆

=⇒−∆=⇒∆−∆=∆⇒∆−∆

=∆

=⇒=⇒∆=∆⇒∆

=∆

−−

−−

K

K

K

13

11. Zadatak

Cilindri ni stup promjera 4 cm, dužine 120 cm optere en je u presjecima (1), (2) i (3) na udaljenostima zi = 0; 40 i 80 cm (i=1,2,3) od slobodnog kraja aksijalnim silamaFi(i=1,2,3) = 15 kN, 10 kN i 5 kN.Izra umati naprezanje u pojedinim dijelovima stupa i pomak slobodnog kraja.

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

mmllll

mmmNkl

mmmNkl

mmmNkl

N

m

AE

lk

NkNNNAE

lllll

MPaPam

N

A

N

kNFFFN

cmz

MPaPam

N

A

N

kNFFN

cmz

MPaPam

N

A

N

kNFN

cmz

md

A

cmL

llllcmL

cmd

MPaE

ii

112,0

048,01080,4103010159,0

04,01000,4102510159,0

024,010415,2101510159,0

10159,01021056,12

4,0

2410241056,12

1030

30

120803

2010201056,12

1025

25

80402

1210121056,12

1015

15

4001

1056,124

104

4

403

;120

4

102

321

53833

53822

53811

8114

3

1321321

624

33

3

3213

3

624

32

2

212

2

624

31

1

11

1

24422

321

5

−=∆+∆+∆=∆

−=⋅−=⋅−⋅⋅=⋅=∆

−=⋅−=⋅−⋅⋅=⋅=∆

−=⋅−=⋅−⋅⋅=⋅=∆

⋅=⋅⋅⋅

==

⋅=++=∆+∆+∆=∆

−=⋅−=⋅⋅−

==

−=−−−=<≤

−=⋅−=⋅⋅−

==

−=−−=<≤

−=⋅−=⋅⋅−

==

−=−=<≤

⋅=⋅

==

======

=⋅=

−−

−−

−−

−−

=

−

−

−

−−

∑

σ

σ

σ

ππ

K

K

K

14

12. Zadatak

Dimenzionirati eli nu zategu kružnog pore nog presjeka (A1) i drveni kosnik pravokutnog popre nog presjeka (h=2b) površine A2 = 10A1 ako je F=155 kN a dopušteni naponi za elik 12 ·107

N/m2 i drvo 6·106 N/m2.

Plan pomaka :

bh

AA

EEm

NE

m

NE

m

Nm

N

dop

dop

2

10

20

101

102

106

1012

12

21

210

2

211

1

26

2

27

1

===

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

σ

σ

2

2cossin

6

53

2

5

4

6/5

3/2cos

5

3

6/5

2/sin

1

2

==

=

=

==

==

ββ

α

α

ll

ll

l

ll

l

15

Sile u štapovima :

( )

( )

( )

( )

kNSkNSFFF

S

SSSlAE

lAES

SlAE

lAES

AE

lS

AE

lS

AE

lSl

AE

lSl

ll

lSlSFlM

DC

CDDc

A

4,353;9,5838,0

26

1

5

12sin4sin3

1

16252610

2335202

sin

sin2

sin2

sin2

sinsin;

sinsin

22

3

2

3

1

103

1sin

3

2sin0

122

212

12

121

2122

2111

22

22

11

11

11

111

22

222

21

==→=

+

=+

=⇒

⇒→=⇒⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=

=→=⇒

=∆

==∆

=

=→=

=−−→=∑

αβ

βα

βα

ααδ

ββδ

δδδδ

βα

K

K

Dimenzioniranje :

cmh

cmb

cmA

bcnbhbA

cmAA

cmdcmmd

Sd

SdA

A

S

dopdopdop

74,27

87,13

87,132

8,384

28,3842

8,38448,381010

7606,0

1012

104,35344

4

2222

212

7

3

1

1

1

12

111

11

=

=

===⇒==⋅=

=⋅==

=→=≥

⋅⋅⋅⋅

=≥→≥=→≤=ππσσ

πσσ

Kontrola napona :

MPaMPaA

S

MPaMPaA

S

dop

dop

653,11087,132

109,58

12084,91

4

107

104,353

242

3

2

22

142

3

1

11

=≤=⋅⋅

⋅==

=≤=⋅

⋅==

−

−

σσ

σπ

σ

16

13. Zadatak

Odrediti sile u eli nim kružnim zategama CF, DF i EG uslijed djelovanja nazna enog optere enja.

4

FlM =

Plan pomaka

lll

ll

l

llll

l

24

3

16

92

2

2

42

4

5

16

5

164

23

2

2

222

1

==

==

==+=

2

1

2

22sin

5

2

4

52sin

==

==

l

l

l

l

β

α

17

Iz uvjeta ravnoteže sila :

( )[ ] ( ) ( )10sin32sin20sin32sin44

0 321321 K=+−−→=++−+→=∑ βαβα SSSFSSSl

MFl

M A

Iz plana pomaka :

( )

;sin

;sin

;sin

2

43

24

321

βδ

βδ

αδ

δδδ

lll

lll

EDC

EDC

∆=

∆=

∆=

== K

( )

( ) ( )

FFSS

FSS

FSSSSF

SSllll

ll

SSlSlSll

ll

EDED

DCDC

38,047,05

4

5

4

47,0

sin5sin5

42

0sin32sin5

421

23sin

2

sin

323

43

2

5

4

sinsin

2

sinsin

22

24

2

21

32

2222

323232

21221121

===

==

→+

=→=+−−→

=→∆=∆→∆

=∆

→=→=

=→=→∆

=∆

→=→=→

βαβα

ββδδ

δδ

βαβαδδ

δδ

18

[ ]

−−

−+

−−−−=

7,2600

07,260

007,26

3,332015

203,2310

15107,56

ijσ

14. Zadatak

Zadani tenzor naprezanja prikazati kao zbroj sfernog tenzora naprezanja i tenzora devijatorskog naprezanja. Odrediti normalno, posmi no i puno naprezanje u ravnini s normalom koja ima kosinuse smjera :cos(x,n)=2/3 ; cos(y,n)=1/3 ; cos(z,n)=2/3.

[ ]

+

−−

−=

−−−−=

s

s

s

szzyzx

yzsyyx

xzxysx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij MPa

σσ

σ

σστττσστττσσ

στττστττσ

σ

00

00

00

602015

205010

151030

srednje naprezanje devijatorski dio sferni dio

MPazyxs 7,26

3

605030

3−=

−−=

++=

σσσσ

Komponente devijatorskog tenzora naprezanja :

MPa

MPan

MPa

nnn

nn

nznynxn

9,53108,54

103

27,36

3

13,23

3

23,33

8,547,363,233,33

2222

222222

=−=−=

−=⋅−⋅−⋅=⋅=

=++=++=

σρτ

ρσ

ρρρρ

[ ]

−−=

⋅

−−−−=

⋅=

7,36

3,23

3,33

3

23

13

2

602015

205010

151030

nz

ny

nx

ijn n

ρρρ

σρ

( )( )( ) Pas

MPas

MPas

szzz

syyy

sxxx

3,337,2660

3,237,2650

7,567,2630

−=−−−=−=

−=−−−=−==−−=−=

σσ

σσσσ

19

15. Zadatak

Za zadano stanje naprezanja x = 100M Pa , y = -80M Pa , txy = 50 Mpa odrediti analiti ki a) glavna naprezanjab) maksimalno posmi no naprezanje s odgovaraju im normalnim naprezanjemc) naprezanja n i tn u presjeku s normalom koja s osi x zatvara kut = -25°.

Glavna naprezanja i smjerovi naprezanja :

( ) ( )

°−=⇒−=+−

=−

=

°=⇒=+

=−

=

−==

±=⋅++±−

=+−±+

=

5,758462,38093

50

5,142591,080113

50

93

113

10310504801002

1

2

801004

2

1

2

022

02

011

01

2

1

22222,1

ϕσσ

τϕ

ϕσσ

τϕ

σσ

τσσσσ

σ

y

xy

y

xy

xyyxyx

tg

tg

MPa

MPa

Kontrola preko invarijante naprezanja :

°=°+°=+

=→−=−→+=+

905,755,14

2020801093113

0201

21

ϕϕ

σσσσ yx

Maksimalno posmi no naprezanje, smjer normale ravnine i normalno naprezanje :

MPa

MPa

s 102

93113

2

1032

93113

2

5,59455,1445

21

21max

011

=−

=+

=

=+

=−

=

°=°+°=°+=

σσσ

σστ

ϕϕ

Naprezanja u ravnini pod kutem :

( ) ( )

( ) ( ) MPa

MPa

xyxy

n

n

xyyxxyyxyx

n

1,10150cos5050sin2

100802cos2sin

2

6,2950sin5050cos2

80100

2

80100

2sinsincos2sin2cos22

22

=°−+°−−−

=+−

=

=°−+°−+

+−

=

++=+−

++

=

ϕτϕσσ

τ

σ

ϕτϕσϕσϕτϕσσσσ

σ

20

Prikaz Mohrove kružnice naprezanja za zadano stanje naprezanja :

)1,101;6,29(),(;1,101;6,29

)103,10(),(;5,59;103;10

)0,93()0,(;5,75;93

)0,113()0,(;5,14;113

)50,80(),(

)50,100(),(

1max31max

122022

111011

−→==→°===

−→°−=−=→°==

−→

−→

KKMPaMPa

NNMPaMPa

NNMPa

NNMPa

NN

NN

nnnn

ss

yxyyy

xxyxx

τστστσϕτσ

σϕσσϕσ

τσ

τσ

21

16. Zadatak

Za zadano stanje naprezanja odrediti glavna normalna naprezanja, glavna posmi na naprezanja i oktaedarska naprezanja.

[ ] [ ]MPaij

−=

6000

012050

05080

σ

( ) ( )( )[ ]

( )( )

( ) ( )[ ] ( )

( )

( )[ ]

MPa

MPa

MPa

MPaMPaMPa

MPa

xyyxyx

m

yxxyyxyx

mxyyxmyxm

xymymx

zmmz

xymymxmz

mz

myyx

xymx

mzzyzx

yzmyyx

xzxymx

8,91

60

8,131

60;8,91;8,131

8,11120504120802

1

2

12080

42

1

2

2

40

0

600

0

0

00

0

0

0

3

2

1

321

222,1

22

22

22

2

3

2

−===

=′−=′=′

±=⋅+−−±+−

=′

+−±+

=

+−−+−±+=→=−++−

=−−−

′===⇒=−

=−−−−

=−

−−

⇒=−

−−

σσσ

σσσ

σ

τσσσσ

σ

σστσσσσστσσσσσσ

τσσσσ

σσσσσ

τσσσσσσ

σσσστ

τσσ

σστττσστττσσ

22

Kontrola naprezanja :

MPaMPa

zyx

100100

8,91608,1316012080

321

=−+=++−

++=++ σσσσσσ

Pravac glavnog naprezanja 2 podudara se s pravcem osi z. Pravci glavnih naprezanja 1 i 3

okomiti su na pravac naprezanja 2, a njihov se položaj u ravnini okomitoj na pravac 2 odre uje prema izrazima :

°=°+°=+

°−=⇒−=−−

=−

=

°=⇒=−

=−

=

903,137,76

3,13236,01208,91

50

7,76237,41208,131

50

0301

033

03

011

01

ϕϕ

ϕσσ

τϕ

ϕσσ

τϕ

y

xy

y

xy

tg

tg

Maksimalna posmi na naprezanja :

MPa

MPa

MPa

MPa

8,111

9,352

608,131

2

8,1112

8,1318,91

2

9,752

8,9160

2

2max

213

132

321

==

±=−

±=−

±=

±=−−

±=−

±=

±=+

±=−

±=

ττ

σστ

σστ

σστ

Oktaedarska naprezanja :

Budu i da normala oktaedarske ravnine zatvara s koordinatnim osima kuteve :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

MPa

MPa

MPa

oktoktokt

okt

okt

okt

zyxokt

0,992,933,33

2,93

,1318,918,9160608,1313

1

3

1

3,33

8,91608,1313

1

3

1

3

1

7,543

1cos1cos31coscoscos

2222

222213

232

221

321

2222

=+=+=

=

−−+++−=−+−+−=

=

−+=++=++=

°=→±=→=→=++

τσρ

τ

σσσσσστ

σ

σσσσσσσ

αααγβα

23

17. Zadatak

Plo a je izložena djelovanju vla nog naprezanja u oba pravca i tangencijalnog naprezanja u bo nim ravninama.Odrediti komponente naprezanja u presjeku ija normala zatvara kut od 30° s osi x i smjer i veli inu glavnih naprezanja.

( )MPa

MPa

MPa

MPa

MPa

MPa

n

nnn

n

xyxy

n

n

xyyxn

xy

y

x

93,5

73,227,5

73,2

60cos260sin2

842cos2sin

2

27,5

60sin230sin430cos82sinsincos

30

2

4

8

2222

2222

=

−+=+=

−=

°−°−

=+−

=

=

°−°+°=++=

°=

−=

==

ρ

τσρ

τ

ϕτϕσσ

τ

σ

ϕτϕσϕσσ

ϕ

τ

σσ

Glavna naprezanja :

( ) ( ) ( )

°=⇒=−

−=

−=

°−=⇒−=−

−=

−=

==

±=−⋅+−±+

=+−±+

=

5,6741,2417,3

2

5,22414,0483,8

2

17,3

83,8

83,2624482

1

2

484

2

1

2

022

02

011

01

2

1

22222,1

ϕσσ

τϕ

ϕσσ

τϕ

σσ

τσσσσ

σ

y

xy

y

xy

xyyxyx

tg

tg

MPa

MPa

Kontrola preko invarijante naprezanja :

°=°+°=+

=→+=+→+=+

905,675,22

1212482,38,8

0201

21

ϕϕ

σσσσ yx

Maksimalno posmi no naprezanje, smjer normale ravnine i pripadaju e normalno naprezanje :

MPa

MPa

s 62

2,38,8

2

8,22

2,38,8

2

4,22456,2245

21

21max

011

=+

=+

=

=−

=−

=

°=°+°−=°+=

σσσ

σστ

ϕϕ

24

18. Zadatak

Kratki betonski stup, kvadratnog popre nog presjeka 30x30 cm pritisnut je silom F.Odrediti veli inu ove sile ako je normalno naprezanje u kosom presjeku pod kutem od 30°prema normali 1,5 Mpa.Koliko je tangencijalno naprezanje u tom presjeku?

MPa

MPaA

F

kNF

AF

A

F

maA

mcma

MPa

xn

xyxy

n

x

nxn

xyyxn

n

86,060sin2

1022sin

2

2cos2sin2

209,0

10180

180

30cos

09,0105,1

coscoscos

2sinsincos

09,0

3,030

30

5,1

6

3

2

6

222

22

22

=°⋅−

−=−

=

+−

=

−=⋅

−==

−=°

⋅⋅−=−=→−==

++=

==

==°=

=

ϕσ

τ

ϕτϕσσ

τ

σ

ϕσ

ϕϕσσ

ϕτϕσϕσσ

ϕσ

19. Zadatak

Stup kružnog popre nog presjeka optere en je vla nom silom intenziteta 20 kN. Tangencijalno naprezanje na bilo kojem presjeku (ravnini) ne smije prije i vrijednost od 7Mpa. Odrediti polumjer stupa.

cmdcmdd

Fd

d

F

A

F

MPa

kNF

n

xn

n

5,43,4107

1022

1)2(sin

2sin107

10222sin

22sin

22sin

22sin

2

7

20

6

4

max

6

4

2

=→≥→⋅

⋅⋅≥

=

⋅⋅⋅

=≥→==≤

==

π

ϕ

ϕπ

ϕπτ

ϕπ

ϕϕσ

τ

τ

25

20. Zadatak

U to ki A napregnutog elementa izmjerene su dužinske deformacije u smjerovima x, y i n xx = -8·10-4, yy = 4·10-4, nn = 6·10-4. Odrediti promjene pravog kuta izme u osi x i y, te veli inu i smjerove glavnih deformacija.

( ) ( )

radxyxy

xy

yyxxnnxy

xyyyxxnn

4

4

44422

22

104,252

107,12

30sin10430cos10810660sin

1sincos

2sin

1

2sinsincos

−

−

−−−

⋅==

⋅=

°⋅−°⋅+⋅°

=−−=⇒

⇒++=

εγ

ε

ϕεϕεεϕ

ε

ϕεϕεϕεε

Glavne deformacije :

( )

( ) ( )

42

41

442,1

4222,1

222,1

1016

1012

1014102

107,124482

1

2

48

42

1

2

−

−

−−

−

⋅−=

⋅=

⋅±⋅−=

⋅

+−−±

+−=

+−±+

=

ε

ε

ε

ε

εεεεε

ε xyyyxxyyxx

Kontrola :

44

4444

21

104104

10161012104108−−

−−−−

⋅−=⋅−

⋅−⋅=⋅+⋅−

+=+ εεεε yyxx

Smjerovi glavnih deformacija :

°≈°=°+°=+

°−=⇒−=⋅−⋅−

⋅=

−=

°=⇒=⋅−⋅

⋅=

−=

−−

−

−−

−

902,904,328,57

4,32635,01041016

107,12

8,57588,11041012

107,12

0201

0244

4

202

0144

4

101

ϕϕ

ϕεε

εϕ

ϕεε

εϕ

yy

xy

yy

xy

tg

tg

26

21. Zadatak

Odrediti deformaciju dijagonale eli nog elementa.

5

55

55

55

5

105,192

1075,915102

3,011

2

109102

603,0

1030102

60

15

60

3,0

102

−

−

−

−

⋅==

⋅=⋅+

=+

==

⋅−=⋅

−=−=

⋅=⋅

==

==

=⋅=

xyxy

xyxy

xy

xyy

xxx

xy

x

EG

E

E

MPa

MPa

MPaE

εγ

τντε

σνε

σε

τσν

Relativna deformacija dijagonale :

cmdd

d

xyyyxxd

1030sin

5530sin

1069,28

60sin1075,930sin10930cos10302sinsincos5

5252522

=°

=→=°

⋅=

°⋅+°⋅−°⋅=++=−

−−−

ε

ϕεϕεϕεε

Apsolutna deformacija :

mmdd d35 1069,281001069,28 −− ⋅=⋅⋅=⋅=∆ ε

27

22. Zadatak

Pravokutna plo ica dimenzija 120x90 mm optere ena je u dva pravca tako da su

MPacm

N

MPacm

N

MPaE

y

x

404000

10010000

3,0

102

2

2

5

−=−=

==

=⋅=

σ

σ

ν

Odrediti kolika su naprezanja u kosoj ravnini koja se poklapa s dijagonalom koja s osi x zatvara oštri kut i za koliko e se promijeniti dužina dijagonale.

( )

( )

( )

555

555

2222

1035102

1003,0

102

40

1056102

403,0

102

100

0,682,677,10

2,67106sin2

100402cos2sin

2

7,10106cos2

40100

2

401002sin2cos

22

53903775,012

9

−

−

⋅−=⋅

−⋅

−=−=

⋅=⋅

−−

⋅=−=

=+=+=

=°−−−

=+−

=

=°−+

+−

=+−

++

=

°−=°−=⇒°=→==

EE

EE

MPa

MPa

MPa

tg

xyyy

yxxx

nnn

xyxy

n

xyyxyx

n

σν

σε

σν

σε

τσρ

ϕτϕσσ

τ

ϕτϕσσσσ

σ

αϕαα

Budu i da tražimo izduženje dijagonale, tražimo deformaciju u smjeru normale ravnine okomite na dijagonalu, te je sada kut

mmdd

mmd

d

xyyyxxd

25

22

5252522

1046,31501004,23

15012090

1004,23)37(sin1035)37(cos10562sinsincos

−−

−−−

⋅=⋅⋅=⋅=∆

=+=

⋅=°⋅−°⋅=++=

ε

ϕεϕεϕεε

28

23. Zadatak

eli na kocka brida a = 10 cm postavljena je bez zazora izme u dviju krutih stijenki na podlogu i na gornjoj plohi optere ena s q = 60 MPa. Odrediti : a) naprezanja i deformacije u tri okomita smjera i deformaciju dijagonale kocke

b) promjenu volumena kockec) normalno i posmi no naprezanje u presjeku pod kutem od 45° prema stjenki.

( )[ ] ( )

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]

mmdd

ad

E

E

MPaE

MPaq

MPaE

d

d

zzyyxxd

yxzzz

xzyyy

yxyzxxx

z

y

325

5

55222

55

55

5

109310102,5

102,5

3

1107,11

3

1103,270coscoscos

3

107,1160183,0102

11

103,27183,060102

11

18603,001

0

60

30,0

102

−−

−

−−

−

−

⋅−=⋅⋅⋅−=⋅=∆

⋅−=

⋅⋅+⋅⋅−=++=

=

⋅=−−−⋅

=+−=

⋅−=−−−⋅

=+−=

−=−⋅==→=+−=

=

−=−==

⋅=

ε

ε

γεβεαεε

σσνσε

σσνσε

νσσσσνσε

σ

σν

Relativna i apsolutna promjena volumena :

cmVV

V

V

V

zzyyxxV

15,010106,15

106,15107,11103,270

35

555

−=⋅⋅−=⋅=∆

⋅−=⋅+⋅−=++=∆

=

−

−−−

ε

εεεε

[ ]

MPa

MPa

MPan

MPa

MPa

n

nnn

nznynxn

nn

nz

ny

nx

ijn

21

28,44042,4272,12

3945cos42,4245cos72,12

0

42,42

72,12

90cos

45cos

45cos

000

0600

0018

22

222222

=−=

=++=++=

−=°⋅−°⋅−=⋅=

=

−=−=

°°°

−

−=⋅=

σρτ

ρρρρ

ρσ

ρ

ρρ

σρ

29

24. Zadatak

Odrediti glavna naprezanja na stranicama kvadratnog elementa ako su tenzometri (ure aji za mjerenje dužinske deformacije) A i B pokazali prirast nA = 9,9 mm i

nB = 3,1 mm. Tenzometar A postavljen je pod kutem = 30° prema pravcu glavnog naprezanja 1, a tenzometar B okomito na tenzometar A. Baza tenzometra l0 = 20 mm, a uve anje

tenzometra k = 1000. E = 0,8·105 Mpa, =0,35

Relativne deformacije :

43

0

43

00

1055,12010

1,3

1095,42010

9,9

−

−

⋅=⋅

=⋅

∆=

⋅=⋅

=⋅

∆=

∆=

lk

n

lk

n

l

l

BnnB

AnnA

ε

ε

Za ravninsko stanje deformacija :

Kontrola :

MPanBnA 8020603050 =+=+=+σσ

( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( )( )

MPa

MPa

MPaE

MPaE

nB

nA

xyyxn

nnAnnBnB

nnBnnAnA

20

60

23075,025,0

15025,075,0

230cos30sin)90(sin)90(cos

coscos90sin

sinsin90cos

130sin30cossincos

2sinsincos

301095,435,01055,135,01

108,0

1

501055,135,01095,435,01

108,0

1

2

1

21

21

22

21

22

21

222

222

22

21

22

21

22

442

5

2

442

5

2

==

⇒=+=+

°+°=°++°+=

==°+

=−=°+

°+°=+=

++=

=⋅⋅+⋅−

⋅=+

−=

=⋅⋅+⋅−

⋅=+

−=

−−

−−

σσ

σσσσ

σσϕσϕσσ

ϕϕϕ

ϕϕϕ

σσϕσϕσσ

ϕτϕσϕσσ

νεεν

σ

νεεν

σ

K

K

K

K

30

25. Zadatak

Kocka dužine stranice “a“, izložena je djelovanju jednolikog tlaka intenziteta p = - 700 N/cm2. Odrediti Poissonov koeficijent ako je relativna promjena volumena -9·10-5, a modul elasti nosti materijala 0,7·104 kN/cm2.

( )

( )( )

35,0

1073

107,01091

2

1

31

2

13

21

21

109

107,0107,0

107700

6

115

321

321321

5

211

24

26

2

=

⋅−

⋅⋅⋅−−=

−=→

−=

====

++−

=++=

⋅−=

⋅=⋅=

⋅−=−=

−

−

ν

εννε

σσσσ

σσσνεεεε

ε

p

Ep

E

pE

m

N

cm

kNE

m

N

cm

Np

VV

V

V

26. Zadatak

U gredi eli nog mosta, pri prolazu vlaka, izmjerena su pomo u tenzometra relativna izduženja u horizontalnom pravcu (u smjeru osi x ili paralelno s osi grede) 0,0004 i vertikalnom pravcu(u smjeru osi y ili okomito na os grede) -0,00012. Odrediti normalna naprezanja u pravcu osi grede i okomito na nju.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

MPaE

MPam

N

E

EE

EE

MPaE

xyy

x

yxx

xyyxyy

yxxyxx

y

x

010843,0101,200012,0

841084

3,01

00012,03,00004,0101,2

112

21

11

3,0

101,2

00012,0

0004,0

611

26

2

11

2

5

=⋅⋅+⋅⋅−=+=

=⋅=

−⋅−⋅

=−

+=⇒→

+=→−=

+=→−=

=⋅=

−==

νσεσ

σ

ννεε

σ

νσεσνσσε

νσεσνσσε

ν

εε

K

K

31

27. Zadatak

Za optere enje na tlak betonske kocke ( stranice 7 cm) postavljene su na njene etiri strane papu ice od elika spojene me usobno zglobnim mehanizmom. Dvije sile veli ine F djeluju u vorovima A i D. Odrediti za koliko se promijeni volumen kocke ako je E =4 ·103 KN/cm2, = 0,3 i F

= 50 kN.

( ) ( )

( ) ( )

38

10

3

332221

321321

109,9

1042

105007,03,0214

2

214

;0;2

2

22121

45

0cos

0

cos:0sin

0sin:0

mV

E

aFV

aVa

F

a

S

VE

VE

VVV

FFy

SF

Sx

FFSFx

FSSFy

V

BC

AB

ABAAB

AA

−⋅−=∆⋅⋅

⋅⋅⋅⋅−−=

−−=∆

==−

=−

==

−=++

−=++=⋅=∆

°==→=Σ

=−=→=Σ

=→⋅+=Σ

−=→=+=Σ

ν

σσσ

σν

σσσν

εεεε

α

α

αα

α

32

28. Zadatak

Odrediti potrebne duljine l1 i l2 zavara spajanjem kutnih metalnih profila s plo om.

( )( )( ) ( )

cmlcmlcmlcmllcmll

llh

h

l

lhlhl

halhalhFhFM

cmt

Fll

tll

F

al

F

A

F

MPa

cmh

cmh

cmt

kNF

dopdopA

dopdop

dop

5,55,13195,134,1

19194,1194,019

4,04,06,3

4,1

220

191090105,04,1

10120

7,0245cos2

90

4,1

6,3

5,0

120

1222221

211

2

2

12211

22112211

62

3

2121

2

1

=−=→==→=→=+→=+

=→≅==⇒⋅=⋅⇒

⇒=→⋅=⋅→=∑

=⋅⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅≥+⇒≤

°+=

∑==

===

==

−

ττ

τττ

τ

l 1

l 2

h1

h2

t

aF

33

29. Zadatak

Odrediti potreban broj zakovica promjera 20 mm, ako je

FF

FF/2

F/2F

F/2

F/2

t1

t2

t

d

n – broj zakovicam – reznost zakovica

( )

MPaMPandt

F

A

F

redannn

dm

Fn

dnm

F

nmA

F

A

F

MPa

MPa

mmt

mmt

kNF

dopp

dop

dops

dop

dop

280208101210206

10300

212265

101004

10202

10300

44

280

100

12

8

300

33

3

6

23

3

221

1

=≤=⋅⋅⋅⋅

⋅===

→=→=→≥

⋅⋅

⋅=≥→≤===

=

====

−−

−

σσ

πτπτ

πτ

σ

τ

34

30. Zadatak

Na vijak promjera d djeluje tla na sila F koja izaziva naprezanje u vijku i površinski pritisak p izme u prstena promjera D i lima. Odrediti promjer D, te posmi no naprezanje u prstenu ako je prsten debljine

( )

MPat

d

td

d

A

F

cmp

dp

ddD

dAF

A

F

p

FdD

dD

F

A

Fp

cmt

MPap

MPa

cmd

s

p

5010505,04

1,010100

44

7,1840

1001101

4

4

4

44

5

40

100

10

762

22

2

222

=⋅=⋅

⋅⋅====

=+=+=+=

==→=

+=→−

==

====

σππστ

σπ

πσ

πσσσ

ππ

σ

35

31. Zadatak

Metalna vilica i plo ica 1 i 2 spojene su vijkom i optere ene prema slici. Odrediti promjer vijka d, ako je

mmdmm

map

Fdpp

bd

F

A

Fp

ad

F

A

Fp

pA

Fp

mm

Fd

dm

F

mA

F

A

F

mmb

mma

MPap

MPa

kNF

dop

p

p

dopp

sdopsdop

s

dop

sdop

37033,00369,0

033,010150015,02

10150

2

2

0369,010702

1015044

4

35

15

150

70

150

6

3

21

22

11

6

3

2

=⇒>

=⋅⋅⋅

⋅=≥⇒>

==

==

≤=

=⋅⋅⋅

⋅⋅=≥→≤===

==

=

==

ππττ

πτ

τ

36

Zavareni spojevi

Lom zavarenih spojeva optere enih na smicanje nastaje po najslabijem (smi nom) presjeku A-B, tj. po presjeku za koji je smi na površima najmanja.Naprezanja u zavaru iznose :

- normalno naprezanje al

F=σ

- posmi no naprezanje al

F=τ

ili op enito ( ) ( )ττσσ

τσla

F

A

F

la

F

A

F

⋅∑==

⋅∑== , gdje je A , A … veli ina površine zavara koja

se odnosi na normalno, odnosno posmi no naprezanje.Za spoj na slici posmi no naprezanje je

( ) ( )lla

F

la

F

A

F

+=

⋅∑==

12τ

τ

Normalno naprezanje jednako je posmi nom.Kod zavarenih spojeva uobi ajeno se provjeravajunormalna naprezanja ako sila djeluje okomito na površinu zavarenog spoja, odnosno na posmi na naprezanja dok sila djeluje u samoj površini zavarenog spoja.

37

33. Zadatak

Odrediti potrebnu duljinu zavara prema slici.

54040

84,0

7,0

2,1

135

50

2

1

21

2

××==≥

=

=

B

ta

ta

ttmm

N

kNF

dopτ

Iz priru nika za profile :

2

2

379

6,11

40

mmA

mme

mmb

=

==

( )( )

( )

mmlmmlusvojeno

mma

Almm

a

Al

mmammausvojeno

mmta

mmta

mmAAA

mmb

AeA

b

FeF

mmF

AA

F

FebFM

FFFF

dopdop

B

z

70,40

62,62,56,30

4,3

2,4584,084,0

5,357,07,0

263

10740

6,113702

370135

1050

20

10

21

2

22

1

11

21

2

1

212

221

21

23

21

21

==→

====

==→=⋅==

=⋅===−=

=⋅

==→=→

=⋅

=≥→≤=

=→=∑

=+→=∑

τττ

K

K

38

34. Zadatak

Odrediti najve a naprezanja zakovica.

kNH

cmb

cma

cmd

kNQ

12

8

4

4,1

20

=====

Sila na jednu zakovicu od djelovanja sile H

h

HFH =

Moment u težištu sustava zakovica( )baQM +=

Sila na jednu zakovicu od djelovanja sile Q

h

QFQ =

Sila u i-toj zakovici od momenta MiMi kF ρ⋅=

Q

H

baa

a

a

1

23

4

5

1

23

4

5FH

FQ

FM

FM

FM

FH

FH

FQ FQ

FQ

FQ

45°

39

Moment od sile FMi s obzirom na težište sustava

( ) ( ) ( )kN

a

baQa

a

baQF

FFFFF

a

MF

MkkMM

kFM

M

MMMMM

i

i

ii

Mi

ii

ii

i

iiMii

6,1004,08

08,004,0202

8

22

24

0,2

2

4321

5432

5

1

2

5

1

2

25

1

2

=⋅

+⋅⋅=

⋅+⋅⋅

=⋅⋅⋅

+⋅=

=========

⋅=

=⇒⋅=∑=

⋅=⋅=

∑

∑∑

=

=

=

ρρρρρ

ρρ

ρρ

ρρ

U srednjoj zakovici ne djeluje sila od momenta!05 =MF

kNFFR

kNFFFFR

kNFFFFR

kNFFFFR

kNFFFFR

kNF

kNF

QH

MQMH

MQMH

MQMH

MQMH

Q

H

66,4

49,102

2

2

2

17,62

2

2

2

57,122

2

2

2

15,152

2

2

2

45

20

4,25

12

225

22

4

22

3

22

2

22

1

=+=

=

⋅−+

⋅+=

=

⋅−+

⋅−=

=

⋅++

⋅−=

=

⋅++

⋅+=

==

==

Najve e optere enje ima zakovica 1 : R1 = 15,15 kN

MPad

R

mA

F

s

20,49

4

014,02

15150

42

221 ====

ππτ

40

35. Zadatak

Unutarnji promjer vanjskog eli nog prstena je za D manji od vanjskog promjera unutarnjeg aluminijskog valjka, pa je eli ni prsten u zagrijanom stanju nataknut na aluminijski valjak. Odrediti pritisak prstena na valjak i naprezanje u prstenu nakon hla enja prstena. Kolika sila djeluje u prstenu?

mmt

mm

NEE

mm

NEE

mmD

Al

Al

5

3,0

34,0

102

107,0

1,1

2

1

25

2

25

1

=

====

⋅==

⋅==

=

νννν

Uvjet deformacija :( )

mmDDD

DDD

1,1

1

21

21

=−=∆

∆+∆=∆ K

Uvjet ravnoteže :( )

2

22

22

2

202

DpR

tDpS

DpS

⋅=

⋅⋅=

=⋅−⋅ K

Izraz za deformacije :( ) ( )

( )1

11

111

11

12

11

11

1 1D

D

E

p

E

p

E

p

EE

∆=−=−=−= νν

σν

σε

Za valjak :( )

( )

hDF

tE

pDD

FE

S

D

D

EF

S

ED

D

⋅=

=∆→⋅

=∆

⇒⋅

=∆

=

2

1

22

22

1

2

2

2

1

22

2

22 2

,σε

Za prsten :

2

2

2

2

22

22

2 22 D

D

tE

pD

DtE

pD ∆===ε

41

( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )1

21

12

5

2

5

21

2

22

11

12

22

11

11

2

22

222

11

1111

85,0

10252

160034,01

107,0

1600

1,1

1600

21

1,11,1

21

2

1

σσ

νν

ε

νε

===

⋅⋅⋅+−

⋅

=

≅≅

+−=→=+−→

==∆

−==∆

mm

Np

mmDD

tE

D

E

Dp

tE

pD

E

pD

tE

pDDD

E

pDDD

Naprezanje u prstenu (homogeno stanje naprezanja) :( )

222

1 0,13652

160085,0

2 mm

N

t

pD=

⋅⋅

==σ

Sila u prstenu :( ) kNhtS 1360,13620052

1 =⋅⋅=⋅⋅= σ

Kontrola :( )

( ) ( )

mmDDD

mmE

pDD

mmE

DD

1,1013,0087,1

013,034,01107,0

160085,01

087,1102

0,1361600

21

511

11

52

21

22

=+=∆+∆=∆

=−⋅⋅

=−=∆

=⋅

==∆

ν

σ

42

36. Zadatak

U parnom kotlu promjera D djeluje pritisak p. Kotlovski lim debljine t spojen je u uzdužnom smjeru dvorednim zakovicama promjera d na me usobnom razmaku e. Odrediti :a) naprezanja u sastavub) koliki maksimalni tlak pare može kotao podnijeti ako su zadana dopuštena naprezanja.

2

2

2

2

160

100

70

100

20

10

0,1

1600

mm

Nmm

Nmm

N

mme

mmd

mmtmm

Np

mmD

dopO

dop

dop

=

=

=

==

=

=

=

σ

σ

τ

a) Naprezanje stjenke kotla (u smjeru tangente na stjenku)

280

102

16000,1

2 mm

NpD=

⋅⋅

==δ

σ

Sila na razmaku e (sila koja djeluje na jedan red zakovica)kNeS 801001080 =⋅⋅=⋅⋅= δσ

Naprezanje zakovice

posmik222

32,127

4

202

80000

4

mm

N

dm

S===

ππτ

bo ni pritisak2

20010202

80000

2 mm

N

d

SO =

⋅⋅==

δσ

Vlak na oslabljenom presjeku

( ) ( ) 2100

1020100

80000

mm

N

de

S=

−=

−=

δσ

43

b) Nosivost zakovice

( ) ( )

2max

2

max

22

200

2001601600

1001022

2

80

801020100100

322010160

22991,214

2070

4

mm

Np

mm

N

Dp

pD

kNNN

kNdeN

kNdN

kNkNd

N

V

dopV

OdopO

dopS

=

=⋅⋅

==⇒=

==

=−=−=

=⋅⋅==

≅===

δσδ

σ

δσ

δσ

ππτ

44

37. Zadatak

Za satavljeni štap na slici potrebno je odrediti najve a posmi na naprezanja i potencijalnu energiju deformacija ako su u to ki A zadana glavna naprezanja.

30,0

102

8

8

25

22

21

=

⋅=

−=

=

ν

σ

σ

mm

NE

mm

Nmm

N

kNmNmmI

MI

M

mmmD

I

mmmD

I

A

pACA

p

CA

p

p

4,5104,530

103,208

103,20103,2032

120

32

1002,41002,432

80

32

66

2

21

464644

22

464644

11

=⋅=⋅⋅

=⋅

=→==

⋅=⋅===

⋅=⋅===

−

−

ρτ

ρστ

ππ

ππ

Uvjet ravnotežeTCB MMM =+

Uvjet deformacije

00,24,18,0

0121

=⋅⋅

−⋅⋅

−⋅⋅

→=p

C

p

C

p

TC IG

M

IG

M

IG

Mϕ

kNmMMM

kNmM

I

IM

IIM

IM

CTB

T

p

pC

ppC

pT

10

4,15

0,23,20

02,44,1

8,0

413,50,24,1

8,0

0,24,1

8,0 2

1

12

1

=−==

+=

+=

+=

45

( ) ( )

NmmkNmU

U

IG

M

IG

M

IG

MU

m

kN

mm

NEG

mm

ND

I

M

p

C

p

C

p

B

p

B

198000198,0013,0056,0129,0

103,201077,02

4,14,5

1002,41077,02

2,14,5

1002,41077,02

8,010

2

4,1

2

2,1

2

8,0

1077,01077,03,012

102

12

5,992

80

1002,4

1010

2

68

2

68

2

68

2

2

2

1

2

1

2

28

25

5

26

61

1max

==++=

⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅

⋅+

⋅⋅⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

=

⋅=⋅=+⋅

=+

=

=⋅

⋅==

−−−

ν

τ

46

38. Zadatak

Osovina kružnog popre ena je momentom torzije Mt. Temperatura osovine se promijeni za t. Odrediti smjer i veli inu glavnih naprezanja u to ki C.

C

1,7 m

1,2 m

D

0,5 m

A

B0,8 m

tMt

C

( ) ( )

222422

464644

28

25

5

101,1101,14

120

4

1036,20104,2032

120

32

1077,01077,03,012

102

12

mmmD

A

mmmD

I

m

kN

mm

NEG

p

−

−

⋅=⋅===

⋅=⋅===

⋅=⋅=+⋅

=+

=

ππ

ππ

ν

Uvjet ravnoteže :

( )1KtBA MMM =+

Uvjet deformacije :

( )

kNmMMM

kNml

bMM

IG

bM

IG

lM

AtB

tA

p

t

p

AA

71,4

29,117,1

2,116

20

=−=

===

=⋅⋅

−⋅

⋅= Kϕ

kNmM

mmD

Kt

K

mm

NE

t

t

16

120

30

1025,1

30,0

100,2

15

25

==

+=∆⋅=

=

⋅=

−−α

ν

47

( )

( )

°−=→°−=→−=−

⋅=

−=

+=

±−=⋅+−±−

=+±=

−=⋅

⋅−=−=

=⋅

⋅==

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅∆⋅=⇒⋅⋅

=⋅∆⋅=∆

−

215,1043,2023725,052,74

88,1322

02,77

50,2

76,3926,3788,13452,742

1

2

52,744

2

1

2

52,74101,1

1023,848

88,132

120

1036,20

1071,4

2

23,848101,1102301025,1

22

21

22222,1

24

3

26

6

455

ϕϕϕ

σ

σ

τσσ

σ

σ

τ

αα

tg

mm

Nmm

N

tlakmm

N

A

F

mm

ND

I

M

kNF

AEtFAE

lFltl

C

C

CCCC

C

p

BC

tt

48

39. Zadatak

Za spoj dva vratila odrediti potreban broj vijaka krute spojke. Zanemariti utjecaj spojke na uvijanje.

mR

mmD

mmD

kNmM

kNmM

MPa

mmd

t

t

dop

V

2,02

140

100

15

10

50

12

2

1

2

1

===

==

==

τ

4544

2

4544

1

10771,332

14,0

32

109817,032

1,0

32

mD

II

mD

II

pIVpIII

pIIpI

−

−

⋅====

⋅====

ππ

ππ

Uvjet ravnoteže :

( )100 21 K=−++→=∑ ttBAz MMMMM

Uvjet deformacije :

( )2004

1

K=+++→== ∑=

=IVIIIIII

i

iiAB ϕϕϕϕϕϕ

49

( )

( )( )

( )( ) kNmM

II

IIMIMM

IIII

aGI

MMM

GI

MM

GI

MM

GI

M

A

pIIIpI

pIIIpItpItA

pIVpIIIpIIpI

pIV

ttA

pIII

tA

pII

tA

pI

A

483,4771,39817,02

771,39817,02109817,015

2

2

,

0

2

12

2111

−=+

+⋅−⋅=

+

+−=

==

=⋅

−++

++

++−

→

Torzijski moment u presjeku C :

kNmMMM tAC 517,510483,41 −=−=+=

Zbog djelovanja momenta MC vijci spojke su optere eni na smicanje :

RFnM C ⋅⋅=n – broj vijakaF – posmi na sila koja djeluje na jedan vijakR – krak djelovanja sile F

Potreban broj vijaka u spoju :

vijakanRd

Mn

dF

d

F

A

F

sdopv

C

sdopv

sdop

vvs

1076,91,01050012,0

551744

4

4

622

2

2

=→=⋅⋅⋅⋅

⋅=≥

≤→≤==

ππτ

τπ

τπ

τ

50

40. Zadatak

Sastavljena osovina kružnog popre nog presjeka optere ena je momentom torzije Mt . Odrediti najve a naprezanja u pojedinim dijelovima osovine i potencijalnu energiju deformacije.

mmd

mmD

mmD

mm

NE

kNmM t

64

120

80

3,0

102

15

2

1

5

===

=

⋅=

=

ν

( ) ( )

4644

22

464444

11

103,2032

120

32

104,232

6480

32

mmD

I

mmdD

I

p

p

⋅===

⋅=−

=−

=

ππ

ππ

Uvjet ravnoteže( )10 KtBAz MMMM =+→=∑

Uvjet deformacije

( )

kNmMMM

kNm

III

MM

GI

M

GI

M

GI

M

BtA

pp

ptB

p

B

p

B

p

tA

458,9

54,50,24,1

18,0

200,24,18,0

0

12

1

121

=−=

=+

=

=⋅

−⋅

−⋅

→= Kϕ

( ) ( )

kNmGI

M

GI

M

GI

MUE

m

kN

mm

NEG

mm

ND

I

M

mm

ND

I

M

p

B

p

B

p

Ap

p

A

p

B

307,00137,00996,01936,02

4,1

2

2,1

2

8,0

1077,01077,03,012

102

12

63,1572

80

104,2

10458,9

2

37,162

120

103,20

1054,5

2

2

2

1

2

1

2

28

25

5

26

61

11max

26

62

22max

=++=⋅

+⋅

+⋅

==

⋅=⋅=+⋅

=+

=

=⋅⋅

==

=⋅⋅

==

ν

τ

τ

51

41. Zadatak

Odrediti potrebne dimenzije pojedinih odsje aka te kut uvijanja slobodnog kraja.

MPa

kNmM

kNmM

kNmM

GPaG

mma

dop

t

t

t

60

3

7

4

80

400

3

2

1

====

==

τ

Uvjet ravnoteže :

( )( )

kNmM

kNmMMMM

MMMMM

A

tttA

Atttz

6

64731

100

123

321

==−+=−+=→

=+−−→=∑ K

Vrijednost momenata torzije na pojedinim odsje cima :

kNmMMMM

kNmMMM

kNmMM

tttIII

ttII

tI

6374

374

4

321

21

1

−=−−=−−=−=−=−=

==

Kriterij vrsto e :

33

16,,,,

16

dop

iidop

i

i

pi

ii

MDIVIIIIIIi

d

M

W

M

πττ

πτ ≥→=≤==

52

Dimenzioniranje :

mmDmM

D

mmDmM

D

mmDmM

D

IIIdop

IIIIII

IIdop

IIII

Idop

II

800798,01060

1061616

640634,01060

1031616

700698,01060

1041616

36

3

3

36

3

3

36

3

3

=→=⋅⋅⋅⋅

=≥

=→=⋅⋅⋅⋅

=≥

=→=⋅⋅⋅⋅

=≥

ππτ

ππτ

ππτ

Kutevi uvijanja :

( )

( )rad

DG

aM

IG

aM

radDG

aM

IG

aM

radDG

aM

IG

aM

III

III

IIIp

IIIABIII

II

II

IIp

IIBCII

I

I

Ip

ICDI

349

3

4

349

3

4

349

3

4

1046,708,01080

4,01063232

1007,9064,01080

4,01033232

1099,1607,01080

4,010464642

−

−

−

⋅−=⋅⋅⋅

⋅⋅−⋅=

⋅

⋅=

⋅⋅

==

⋅−=⋅⋅⋅

⋅⋅−⋅=

⋅

⋅=

⋅⋅

==

⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅

=⋅⋅

==

ππϕϕ

ππϕϕ

ππϕϕ

Kut uvijanja slobodnog kraja nosa

( ) radIIIIIIADuk33 1046,01046,707,999,16 −− ⋅=⋅−−=++== ϕϕϕϕϕ

53

42. Zadatak

Za nosa oblika I-profila odrediti dimenzije popre nog presjeka prema maksimalnim normalnim i tangencijalnim naprezanjima.

MPa

MPa

tb

thm

kNq

kNF

dop

dop

60

120

8

20

2

4

=

===

=

=

τ

σ

Reakcije oslonaca :

( )

kNqFFF

kNqFF

qFFM

qFFFF

AAy

B

BA

BAyy

6,63

4,35,425

1

05,13250

030

=+==

=+=

=⋅⋅−⋅−⋅→=∑

=⋅++−−→=∑

54

Momenti savijanja :

kNmFM

kNmqFMM

Bx

Ayl

xx

8,62

2,9122

2

11

=⋅=

=⋅⋅−⋅==

Ekstremni momenti savijanja na udaljenosti z od oslonca A :

( )

( ) ( )

mq

FFzFqzF

dz

dM

zFqzzFzM

mz

mq

FzqzF

dz

dM

qzzFz

qzzFzM

mz

AyAy

x

Ayx

AyAy

x

AyAyx

3,10

22

1

32

3,30

2

1

2

20

2

2

=−

=→=−−=

−−−=

=

==→=−=

−=−=

=

K

K

Iz dijagrama D(M) i D(Q) je vidljivo da se maksimalni moment savijanja javlja u presjeku 1, dok se maksimalna popre sila javlja u presjeku A

kNQQ

kNmMM

yAy

xx

6,6

2,9

max

1max

====

Aksijalni moment površine drugog reda i moment otpora

( ) ( )

34

max

433

09,221

2

2432

243212

207

12

228

tt

ht

y

IW

ttttt

I

xx

x

=

+

==

=⋅

−⋅

=

55

Iz kriterija vrsto e za maksimalna normalna i posmi na naprezanja :

mQ

t

tt

Q

tt

ht

hthbt

b

S

b

S

I

Q

mM

t

t

M

W

M

dop

y

dopy

zy

x

dopx

x

yzy

dop

x

dopx

x

xz

3max

24

maxmax

2

max

max

maxmax

33

max

3maxmax

max

1046,22432

134

1342432

134422

1003,709,221

09,221

−

−

⋅=≥

≤=

=+

+

=

≤

=

⋅=⋅

≥

≤==

τ

ττ

ττ

σ

σσ

Zaklju uje se da je za dimenzioniranje mjerodavan kriterij maksimalnih normalnih naprezanja i usvaja se :

461018,6,8,568,14220,1,7 mmImmtbmmthmmt x−⋅======

Provjera naprezanja u presjecima 1 i 2 :

MPaMPab

S

I

Q

MPaMPayI

M

kNQ

kNmM

MPaMPab

S

I

Q

MPaMPayI

M

kNQ

kNmM

dopx

x

mjyzymj

dopmjx

mjxmjz

mjy

mjx

dopx

x

mjyzymj

dopmjx

mjxmjz

mjy

mjx

60026,00071,0841018,6

3400

12094,850781,01018,6

6800

4,3

8,6

60051,00071,01341018,6

6600

12026,1160781,01018,6

9200

6,2

2,9

36

max

2

6

22

1

2

36

max

1

6

11

1

1

=≤=⋅⋅⋅

=

=

=≤=⋅⋅

==

=

=

=≤=⋅⋅⋅

=

=

=≤=⋅⋅

==

=

=

−

−

−

−

ττ

σσ

ττ

σσ

56

Dijagrami naprezanja :

57

43. Zadatak

Za nosa zadan i optere en prema slici potrebno je: a) odrediti reakcije u osloncima b) skicirati dijagrame popre nih sila i momenta savijanja c) dimenzionirati nosa ( t zaokružiti na prvi ve i cijeli broj u milimetrima ) d) u presjeku x skicirati raspodjelu normalnog i tangencijalnog naprezanja po visini

presjekaa = 2.2 m b = 1.8 m c = 1.2 m x = a / 2 F = 8 kN q = 7 kN/m σDOP = 180 Mpa

58

a) reakcije u osloncima

b) dijagram popre nih sila i momenta savijanja

I. podru je: 0 m <x < 2.2 m

59

II. podru je: 2.2 m < x < 4 m

III. podru je: 4 m < x < 5.2 m

60

Mmax = 5.488 kNm Mmin = -9.6 kNm

Najve i moment po apsolutnoj vrijednosti je u to ki x = 4 m i iznosi My = - 9.6 kNm . Stoga treba dimenzionirati nosa za iznos momenta |My| = 9.6 kNm !

61

c) dimenzioniranje nosa a

-

- moment tromosti presjeka

62

d) raspodjela normalnog i tangencijalnog naprezanja u presjeku za x = 1.1 m

- normalno naprezanje

63

- tangencijalno naprezanje

64

44. Zadatak

Za nosa sa slike odrediti dimenzije popre nog presjeka ako je on:a) kružnog oblikab) pravokutnog oblikac) oblika I-profila

prema uvjetu maksimalnih normalnih naprezanja.Za I-profil napraviti kontrolu dobivenih dimenzija prema kriteriju dopuštenih tangencijalnih naprezanja.

Reakcije oslonaca :

kNF

kNFF

MqFFM

qFFFF

B

AAy

BA

BAyy

5,112

5,12

024140

040

=

−==

=+⋅⋅−⋅−⋅→=∑

=⋅++−−→=∑

Momenti savijanja :

kNmFM

kNmqFMM

Bx

Ayl

xx

8,62

2,9122

2

11

=⋅=

=⋅⋅+⋅==

MPa

MPa

tb

thm

kNq

kNF

dop

dop

60

120

8

20

2

4

=

===

=

=

τ

σ

65

Maksimalni moment savijanja na udaljenosti z od oslonca B :

( )

kNmM

mq

FzqzF

dz

dM

qzzFzM

BB

x

Bx

56,1262

25,225,25025,25,112

25,20

2

1

max

2

=⋅⋅−⋅=

==→=−=

−=

Moment savijanja u to ki A :

kNmFM xA 1001 =⋅=

Za dimenzioniranje prema najve im normalnim naprezanjima koristi se maksimalni moment savijanja :

kNmMM x 56,1261max ==

Za kontrolu dimenzija prema dopuštenim tangencijalnim naprezanjima koristi se vrijednost popre ne sile :

kNFQQ ByBy 5,112max ===

a) kružni popre ni presjek

mmDUSVOJENO

mmD

MD

DMW

dop

x

dop

xx

235

47,234

100

1056,1263232

323

6

3max

3max

min

=→≥

⋅⋅=≥→=≥

ππσπ

σ

b) pravokutni popre ni presjek

mmbmmhUSVOJENO

mmh

Mh

MhbhW

dop

x

dop

xx

124,248

6,247

100

1056,1261212

1263

6

3maxmax

32

==→≥

⋅⋅=≥→≥==

σσ

66

c) popre ni presjek oblika I-profila

( ) ( )

mmbmmthmmtUSVOJENO

mmt

Mt

Mt

t

t

y

IW

ttttt

I

dop

x

dop

xxx

x

160,40025,16

39,15

1009,346

1056,126

9,3469,346

5,13

8,4683

8,468312

259

12

2710

3

6

3maxmax3

4

max

433

====→≥

⋅⋅

=≥→≥===

=−=

σσ

Provjera dimenzija prema dopuštenom tangencijalnom naprezanju :

22max

244

3

max

2

max

max

maxmax

6053,19

53280163,4683

105,112

53280422

mm

N

mm

N

mmmm

N

mmt

ht

hthbt

b

S

b

S

I

Q

dopzy

zy

x

dopx

x

yzy

=<=

⋅⋅⋅

=

=+

+

=

≤

=

ττ

τ

ττ

67

45. Zadatak

Za zadani nosa i optere enje odrediti maksimalna normalna i posmi na naprezanja u visini osi “z“te smjer i veli inu glavnih naprezanja u to ki 3 popre nog presjeka nad ležajem B.

Položaj težišta popre nog presjeka nosa a :

( )5,52;30),(

5,522400

126000

60102

601026020

306010402

60102706020

TyxT

cmA

yAy

TT

i

iiT

=

==⋅+

⋅

+⋅

⋅⋅+⋅

⋅

+⋅⋅=

∑∑

=

Moment površine drugog reda :

( )( ) ( )

4844

2323

23

2333

2222

2111

105,110105,110

5,5230601012

60105,5260

3

2

2

6010

36

601025,52702060

12

2060

2

mmcmI

I

yAIyAIyAII

z

z

zzzz

⋅=⋅=

−⋅⋅+⋅

+

−⋅

⋅+

⋅+−⋅⋅+

⋅=

+++++=

Reakcije i unutarnje sile :

kNFFqbFF

bqFFFF

kNFa

bqFa

F

bbqaFaFaFM

BAB

BAy

AA

AB

2507034010022

020

7023

2

34021003

32

3

02

230

22

=→−⋅+⋅=−+=

=⋅−−+→=∑

=→⋅

−⋅⋅=

−=

=⋅⋅+⋅−⋅−⋅→=∑

68

max

1

1802

3340

2

140270

MkNmb

bqM

kNmaFM

B

A

=−=⋅⋅−=⋅⋅−=

=⋅=⋅=

kNT

kNmM

130

180

max

max

−=−=

Maksimalno normalno naprezanje :

( )

( )28

6

2max

1

28

6

1max

1

55,8105,52105,110

10180

48,4105,5280105,110

10180

mm

Ny

I

M

mm

Ny

I

M

z

d

z

g

−=⋅⋅

⋅−==

+=⋅−⋅

⋅+==

σ

σ

69

Posmi :

28

63max

363

933,0275105,110

1082,2110130

2755,271075,82102

75,860

105,52

60

10

5,52

8210,21218203

5,52

2

5,5275,82

2

5,525,5210

mm

N

bI

ST

mmcmxb

cmxx

mmcmS

z

zz

z

=⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅

=

==+⋅=+=

=⋅

=→=

==

⋅

+⋅⋅=

τ

Glavna naprezanja i njihov smjer u to ki 3 :

( )

( )

( )

( )

( )

°=→°=→=⋅

=

−=

+=

±=⋅+±=+±=

+=⋅−⋅

⋅+==

=⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

=

⋅==−⋅⋅=

67,2635,53234,122,1

82,022

412,0

632,1

022,161,082,0422,12

1

2

22,14

2

1

2

22,1105,5260105,110

10180

82,0300105,110

102110130

1021210005,52706020

2

32

2

31

222232,1

28

6

3max

3

28

63max

3

3633

ϕϕϕ

σ

σ

τσσσ

σ

τ

tg

mm

Nmm

N

mm

Ny

I

M

mm

N

bI

ST

mmcmS

z

z

z

z

70

46. Zadatak

Koriste i analiti ki postupak odre ivanja elasti ne linije nosa a odrediti kut zaokreta u to kama D i F te progib u to ki E.

mdc

mb

ma

1

2

5

====

Ekvivalentni sustav

Reakcije u osloncima

kNFFFPqFF

kNFFFPqM

kNP

FPFM

ACFAz

CFCA

FFd

D

11070

845

42009585,370

252

50

20120

=→=++−⋅−→=∑

==→=⋅−⋅−⋅+⋅⋅→=∑

===→=⋅−⋅→=∑

25108

50

10

NmEI

kNPm

kNq

y ⋅=

=

=

71

Momenti savijanja na pojedinim segmentima :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )82

75

2

2

75

2

52

20

22

22

2

2

−⋅−−

⋅+−⋅+⋅−⋅=→+++≤≤++

−⋅+−⋅+⋅−⋅=→++≤≤+

−⋅+⋅−⋅=→+≤≤

⋅−⋅=→≤≤

xPx

qxFx

qxFxMdcbaxcbaIV

xqxF

xqxFxMcbaxbaIII

xFx

qxFxMbaxaII

xqxFxMaxI

CA

CA

CA

A

Iz diferencijalne jednadžbe elasti ne linije nosa a slijedi za moment savijanja :

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )82

75

2

2

75

2

52

2

22

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

−⋅+−

⋅−−⋅−⋅+⋅−=

−⋅−−⋅−⋅+⋅−=

−⋅−⋅+⋅−=

⋅+⋅−=

−=

xPx

qxFx

qxFdx

wdEIIV

xqxF

xqxF

dx

wdEIIII

xFx

qxFdx

wdEIII

xqxF

dx

wdEII

xMdx

wdEI

CA

CA

CA

A

Za kut zaokreta :

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )4

23232

3

3232

2

232

1

32

2

8

6

7

2

5

62

6

7

2

5

62

2

5

62

62

Cx

Px

qx

Fx

qx

Fdx

dwEIIV

Cx

qx

Fx

qx

Fdx

dwEIIII

Cx

Fx

qx

Fdx

dwEIII

Cx

qx

Fdx

dwEII

CA

CA

CA

A

+−

⋅+−

⋅−−

⋅−⋅+⋅−=

+−

⋅−−

⋅−⋅+⋅−=

+−

⋅−⋅+⋅−=

+⋅+⋅−=

Za progib nosa :

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )44

34343

33

4343

22

343

11

43

6

8

24

7

6

5

246

24

7

6

5

246

6

5

246

246

DxCx

Px

qx

Fx

qx

FEIwIV

DxCx

qx

Fx

qx

FEIwIII

DxCx

Fx

qx

FEIwII

DxCx

qx

FEIwI

CA

CA

CA

A

+⋅+−

⋅+−

⋅−−

⋅−⋅+⋅−=

+⋅+−

⋅−−

⋅−⋅+⋅−=

+⋅+−

⋅−⋅+⋅−=

+⋅+⋅+⋅−=

72

Uvjeti kompatibilnosti deformacija :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 434433

3322

21

43

21

88

177

DDDCDCcbawcbaw

DCDCbawbaw

DDawaw

CCcbacba

CCaa

IVIII

IIIII

III

IVIII

III

=→+⋅=+⋅→++=++

+⋅=+⋅→+=+

=→=

=→++=++

=→=

K

ϕϕ

ϕϕ

Rubni uvjeti :

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

34

34

4444

44

44

34343

211

43

121

31,1563

58,22923

3775,4370725,61

209917,502

096

8950

24

7910

6

5984

24

910

6

91109

25,60524

510

6

51105

0000

DD

CC

CDDC

DC

DCxwlw

CCCxwaw

DDDw

IV

I

==

=−=⇒→

⋅−−=→+⋅=+⋅−⇒

=+⋅+

=+⋅+−

⋅+−

⋅−−

⋅−⋅+⋅−→===

=−=→=⋅++−→===

==→=→=

K

K

Progib u to ki E :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

mmmw

w

DxCx

qx

Fx

qx

FEI

xwxww

E

E

CAy

IVIIIE

53,141053,14

31,1563858,22924

7810

6

5884

24

810

6

811

108

10

24

7

6

5

246

188

3

4343

6

3

33

4343

=⋅=

+⋅−

−⋅−

−⋅−⋅+⋅−

⋅=

+⋅+

−⋅−

−⋅−⋅+⋅−=====

−

Kut zaokreta u to ki F :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

radrad

Cx

Px

qx

Fx

qx

FEI

x

F

F

CAy

IVF

01505,01005,15

58,2292

8950

6

7910

2

5984

6

910

2

911

108

10

2

8

6

7

2

5

62

19

3

23232

6

3

4

23232

−=⋅−=

−

−⋅+

−⋅−

−⋅−⋅+⋅−

⋅=

+

−⋅+

−⋅−

−⋅−⋅+⋅−===

−ϕ

ϕ

ϕϕ

73

Kut zaokreta u to ki D :

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

rad

rad

radrad

Cx

qx

Fx

qx

FEI

Cx

Fx

qx

FEI

xx

D

dD

dD

lD

lD

CAy

dD

CAy

lD

IIIIIdD

lDD

00406,001193,001599,0

01193,01093,11

58,2296

7710

2

5784

6

710

2

711

108

10

01599,01099,15

25,62

5784

6

710

2

711

108

10

6

7

2

5

62

1

2

5

62

1

77

3

3232

6

3

3

232

6

3

3

3232

2

232

=−=

−=⋅−=

−

−⋅−

−⋅−⋅+⋅−

⋅=

=⋅=

−

−⋅−⋅+⋅−

⋅=

+

−⋅−

−⋅−⋅+⋅−=

+

−⋅−⋅+⋅−=

=+==+=

−

−

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕϕϕ

74

47. Zadatak

Odrediti to

mcma

ml

kNF

2,020

5

10

====

( )

422'

42

232

23

'

42

232

23

'

2

22

2

22

22

3

1

6

5

6

7

2

320

6

5

26

7

20

12

11

6

52

12

2

6

5

212

12

11

6

7

2

32

12

2

6

7

212

6

7

32

32

2

6

5

3

22

32

aaaaaaaa

aa

aI

aaaaaa

aa

aaa

I

aaaaaa

aa

aaa

I

aa

aaa

az

aa

aaa

ay

aaaaA

yz

z

y

T

T

=

−⋅

−⋅++

−⋅

−⋅+=

=

−⋅+

⋅+

−⋅+

⋅=

=

−⋅+

⋅+

−⋅+

⋅=

=⋅+⋅

=

=⋅+⋅

=

=+⋅=

Glavne osi momenata površine drugog reda :

( ) ( ) ( )

0

12

7

3

1

12

11

4

5

3

1

12

11

3

1

12

11

3

12

2

1

12

112

2

14

2

1

2

1

4590203

12

12

11

12

113

122

2

442

441

4442'2''''2,1

4

44

4

''

'

=

==

−=

==

+=

±=⋅±⋅⋅=+−±+=

°=→°=→∞=⋅

−=−

⋅−=

−−=

yz

z

y

yzzyzy

zy

yz

I

IaaI

IaaI

aaaIIIIII

a

aa

a

II

Itg ααα

75

Položaj neutralne osi :

°−=→−=−=°−=−= 6514286,27

1545

12

74

5

4

4

ϕαϕ tga

atg

I

Itg

z

y

Ekstremna naprezanja su u to kama B i D :

MPa

a

Fl

a

Fl

a

a

a

aFly

Iz

IM

MPa

a

Fl

a

Fl

a

a

a

aFly

Iz

IM

D

Dz

Dy

D

B

Bz

By

B

78,6

2,0

51010

35

38

35

38

7

2

5

4

12

76

2

4

52

2

245sin45cos

21,3

2,0

51010

35

18

35

18

7

2

5

4

12

76

2

4

52

2

245sin45cos

3

3

3344

3

3

3344

=

⋅⋅==

+=

+=

°+

°=

−=

⋅⋅−=−=

+−=

+−

=

°+

°=

σ

σ

σ

σ

aaaaay

aaaaaz

aaaaay

aaaaaz

D

D

B

B

6

2

2

2

6

5

2

2

6

745sin

6

545cos

6

7

22

2

6

7

2

2

6

545sin

6

745cos

6

5

6

2

2

2

6

7

2

2

6

545sin

6

745cos

6

5

22

2

6

5

2

2

6

745sin

6

545cos

6

7

=−=°−°=

=+=°+°=

=+−

=°−

−°−

=

−=−

+−

=°−

+°−

=

76

48. Zadatak

Za zadani tankostijeni presjek prikazan na slici potrebno je odrediti središte posmika u odnosu na to ku A.

mmx 8,1425sin35 =°⋅=

77

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

TT

yy

I

Tdyty

tI

TT

mmS

tytI

TSS

tI

T

bI

ST

TT

zz

I

tTdz

zz

I

tTdzt

zz

I

TT

zz

I

Tztz

tI

T

bI

ST

mmI

I

yy

y

yyy

yy

y

xy

yyy

yyy

y

xz

y

y

⋅=

+=⋅⋅+

⋅=

=+⋅⋅=

⋅⋅+⋅

=+⋅

=⋅

⋅=

⋅=

+

⋅=⋅

+

⋅=⋅⋅

+=

+=

+⋅⋅⋅

=⋅

⋅=

⋅=

⋅⋅+

⋅+⋅⋅+

⋅+

−⋅⋅+

⋅=

∫

∫∫

184,0

21495,16721495,1672

5,16722/158,14155

8,295,1672

0324,0

628,14

28,14

28,14

28,14

28,14

104364,3

2

8,148,145

12

8,1458,29520

12

5205,78,29155

12

15522

2

20

0

22

22

20

0

22

31

221

2

2

1

15

0

31

21

15

0

1

21

11

21

1

15

0

1

21

11

1

1

1

45

232

32

3

τ

τ

( )

( ) ( )

mme

TTTeT

TTTeT

TT

zzz

I

Tdzt

zz

tI

TT

mmS

zz

tI

T

ztz

tI

TSSS

tI

T

bI

ST

yy

y

y

yyyy

yy

yxz

16,1

244,0272,31184,06,590324,044,103

25cos3528,29225cos35202

244,0

65

21495,4652

251495,4652

29808,29205

251495,4652

28,2929805,1672

321

3

15

0

33

23

33

23

3

15

0

3

32

23

3

33321

33

−=⋅⋅−⋅+⋅=⋅

°⋅⋅⋅−⋅⋅+°⋅+⋅⋅=⋅

⋅=

−+=⋅⋅

−+

⋅=

=⋅⋅=

−+

⋅=

=

−⋅⋅++

⋅=++

⋅=

⋅

⋅=

∫

τ

78

49. Zadatak

Za zadani nosa i optere enje odrediti mjerodavan koeficijent sigurnosti prema teoriji najve ih normalnih naprezanja u to kama 1 i 2 presjeka I-I ako je zadano kriti no naprezanje materijala

K.

kNRPqRR

F

kNRRPqq

M

kNHRHR

F

AyBAy

y

BB

A

AxAx

x

375,4905,2

:0

125,18035,12

5,1

2

11

:0

250

:0

2

=⇒=−⋅−+

=Σ

=⇒=⋅−⋅+⋅+⋅⋅−

=Σ

==⇒=−=Σ

Presjek I – I :

kNmM

kNT

kNN

1875,27

125,18

25

=−=−=

( ) ( ) ( )46

23

23

23

2

1083,5

102,66204012

2040608,6310010

12

1001058,631070

12

1070

2500

8,632500

159500

4020100107010

1204020601001057010

mmI

I

mmA

mmyy

y

y

TT

⋅=

−⋅⋅+⋅

+−⋅⋅+⋅

+−⋅⋅+⋅

=

=

=⇒=⋅+⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

( ) ( ) 33maxmax

33max

6

maxmax

106,552

202,6610202,66102,662040

101,882,66

1083,5

mmSS

mmWz

IW

yy

yy

y

⋅=⇒−

⋅⋅−+−⋅⋅=

⋅=⇒⋅

==

MPa

mkNq

kNH

kNP

K 320

/15

25

30

====

σ

40

20

100

10

130

2

1T

z

y

70 mm

30 10 30

79

To ka 1 :

MPamm

N

bI

ST

MPamm

N

A

N

xzy

yxz

xx

29,1729,17101083,5

106,5510125,18

10102500

1025

1

26

33max1

1

2

31

=⇒=⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅

⋅=

−=⇒−=⋅−

==

ττ

σσ

To ka 2 :

0

00401083,5

010125,18

6,3186,318106,3082500

1025

101,88

101875,27

2

2

6

322

2

2

3

3

62

=

=⇒=⋅⋅

⋅⋅=

⋅

⋅=

−=⇒−=−−=⋅−

+⋅

⋅−=+=

y

xzy

yxz

xy

x

S

bI

ST

MPamm

N

A

N

W

M

ττ

σσ

Provjera po teoriji najve ih normalnih naprezanja (1. teorija vrsto e) :

To ka 1 :

( ) ( )( ) ( ) ( )

6,2413

320

00,1329,174105,0105,0

45,05,0

11

1

1221

212111

=⇒==

=⇒⋅+−⋅+−⋅=

⋅+⋅+⋅=

kk

MPa

ek

K

ekek

xzxxek

σσ

σσ

τσσσ

To ka 2 :

( ) ( )( ) ( ) ( )

0,16,318

320

6,318046,3185,06,3185,0

45,05,0

22

2

21221

222222

=⇒==

−==⇒⋅+−⋅+−⋅=

⋅+⋅+⋅=

kk

MPa

ek

K

xekek

xzxxek

σσ

σσσ

τσσσ

80

AB

x

1,0 m 1,5 m1,5 m

C D

P

z

H

4,0 m

qI

I

- D(N)

D(T)

D(M)

-+

-

+ +

-

-25

-15

34,375

-18,125

11,875

-7,5

27,1875