situaciÓn problema

5/11/2018 SITUACIÓN PROBLEMA - slidepdf.com

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SITUACIÓN PROBLEMA

REGULARIDADES Y PATRONES

DIANA PATRICIA VEGARA MARIN

JOSÉ ALBERTO RÚA V.

DIPLOMADO:

MOVILIZACIÓN Y DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO

UNIVERSIDAD DE MEDELLÍN

MEDELLÍN

NOVIEMBRE DE 2009



2



CONTENIDO

Pág.

INTRODUCCIÓN 4

1. SITUACIÓN PROBLEMA 5

2. ACTIVIDAD 1 : Juego con palillos 10

3. ACTIVIDAD 2: Números triangulares 10

4. ACTIVIDAD 3 :Libros Artesanales 15

5. ACTIVIDAD 4: Números Cuadrados 16

6. ACTIVIDAD 5 :Números pentagonales 17

7. ACTIVIDAD 6: Triángulo de Pascal 20

8. ACTIVIDAD 7: Ejercicios Propuestos 23

CONCLUSIONES

3



BLIOGRAFIA

4



INTRODUCCIÓN

Escogí este tema, de regularidades y patrones, debido a que he observado, lasdificultades que enfrentan los alumnos de grado once, cuando, necesitan resolver series, sucesiones o ciertos problemas algebraicos. Convirtiéndose en obstáculopara la comprensión de procedimientos algebraicos.

Reconocer los patrones, poder descubrir, regularidades y expresarlos dediferentes maneras, manipulando, números triangulares, números cuadrados,números pentagonales y el triangulo de pascal; es el inicio, para poder alcanzar lageneralización matemática y consecuentemente hacer predicciones. Intentando

facilitar el estudio de las sucesiones y series, para encontrar el termino n-ésimo.

La propuesta se hace a partir de siete actividades, con la intención que losestudiantes a partir de sus propios registros, el trabajo en equipo y dandorespuesta a las preguntas planteadas, pueda superar sus dificultades.

Este ejercicio de poder realizar una situación problema, ha sido un reto personal,porque aunque había escuchado acerca de ella, como estrategia de intervenciónen el aula, no poseía la claridad de cómo crearla. A través del diplomado herecibido la cualificación para realizarla. Siendo el medio prpicio, deseo poder

adquirir la experiencia suficiente, para mejorar mi trabajo dentro del aula de clase,puesto que esta estrategia permite, establecer relaciones entre las diferentesáreas y acercar las actividades matemáticas al contexto en que se desenvuelvenlos estudiantes.

Soy de una generación de maestros que ha recibido su formación desde laescuela tradicional y la teoría. Paradójicamente, recibo la reclamación de trabajar desde la práctica, con estrategias innovadoras sin saber cómo. Este diplomado,que ha sido de excelente calidad, me mostro una alternativa, lejana de losdiscursos teóricos, con actividades prácticas, concretas y centradas en las

necesidades que tenemos al interior del aula de clase con los jóvenes.He recibido la respuesta a un interrogante que he tenido desde hace ya muchotiempo. Muchísimas gracias a todos los profesores por su calidad intelectual ydisposición personal.

5



1. SITUACION PROBLEMA

1.1 REGULARIDADES Y PATRONES

1.2 PARA LOS GRADOS NOVENO- DECIMO- UNDECIMO

1.3 Conceptos que quiere trabajar: VER LA RED CONCEPTUAL(página….)

1.4 Qué motivo ha pensado: REAL Motivo.pptx

La leche en polvo "Nutrebien" tiene presentación en tarros de 400 gramos. Conuna altura de 12cm y diámetro de base 10cm.La etiqueta cubre la superficie lateral de cada tarro.

Como la leche "Nutrebien" ha tenido una excelente acogida. La compañía

productora, quiere lanzar nuevas presentaciones de 500 y 600 gramos. Elproveedor de los tarros, le sostiene el precio, con la condición que no altere laaltura ó diámetro; asimismo el fabricante de las etiquetas le cobra por centímetrocuadrado de etiqueta.

• ¿Qué debe hacer el jefe de costos de "Nutrebien" para minimizarlos?CREATIVA-DIRIGIDA

• Don Joaquín, el vendedor del almacén, coloca las latas de la leche

"Nutrebien", armando pilas. ¿Cuántas latas necesita para armar una pila

que tiene 24 latas en la base? CREATIVA-DIRIGIDA

• La caja menor de la compañía tiene un tope máximo de $900.000,pretenden implementar la política de gastar cada semana, solo la mitad delo que le queda. ¿Qué expresión representa el dinero que le queda alfinalizar la octava semana? CREATIVA-DIRIGIDA

• Puesto que las utilidades de la compañía en el mes de diciembre,ascienden a 282 millones de pesos. Se ha tomado la decisión de invertir

6

12cm

10cm

http://opt/scribd/conversion/tmp/scratch6300/Motivo.pptx

http://opt/scribd/conversion/tmp/scratch6300/Motivo.pptx



este dinero sin hacer retiros, en una entidad financiera que paga el 10% deinterés anual sobre el dinero que se tenga invertido.Busca una expresión que represente la inversión de la compañía"Nutrebien", transcurridos n años. CREATIVA / ABIERTA

1.5 Preguntas: abiertas, orientadas, creativas

1.6 Niveles de complejidad.

Se tendrán como parámetros, los niveles de complejidad, propuestos por las pruebas saber en el año 2006:

“Competencias: Las competencias se evidencian en desempeños que

integran conocimientos y procedimientos, para resolver con éxitodeterminadas tareas o problemas. Tienen que ver con lo que aprendieron ahacer los niños, niñas y jóvenes con su saber. Cada área ha definido suspropias competencias.

Niveles: Las preguntas comportan tres niveles de complejidad y deabstracción que implican las acciones que deberá realizar el estudiantepara responderlas.

El nivel básico (B para 5° y C para 9°) parte de lo más particular yconcreto: la percepción diferenciada de fenómenos en la experiencia

cotidiana. Implica, por ejemplo, la simple repetición literal de lo que dice untexto o resolver problemas simples en los que se maneja unarelación directa y con una sola variable.

En el nivel intermedio (C para 5° y D para 9°) la percepción se afina y ladiferenciación se hace cada vez más rica, estableciendo relaciones nuevasentre los contenidos de la percepción. Se evidencia, por ejemplo, en laclasificación y ordenamiento de un conjunto de datos para responder enuna situación determinada.

En el nivel más alto (D para 5° y E para 9°) se ordenan y comprenden los

fenómenos desde conceptualizaciones universales y teorías que implicanun grado mayor de abstracción y conocimiento. Un ejemplo de este nivel sepuede ver en la formulación de hipótesis experimentales.

La estructura que se acaba de describir aplica para todas las áreas, exceptopara Competencias Ciudadanas, en la que se evalúan y reportan las

7



competencias de manera independiente por medio de un promedio y unadesviación estándar.”1

1.7 Formas de lenguaje: Escrito, oral, concreto, geométrico,

algebraico, icónico, numérico, simbólico y formal.

1.8 Evaluación: La participación individual, por parte de los alumnos en el desarrollo

de sus guías de trabajo en clase. El reconocimiento de aspectosimportantes de la variación, su identificación, registro ycomunicación.

El estudio individual por parte de los alumnos de las actividadescomplementarias.

Observación por parte del docente respecto al trabajo grupal y la

socialización. La expresión de sus ideas matemáticas, verificando las hojas de

trabajo.

La elaboración de los libros artesanales asignados

Elaboración de mapas conceptuales de los diferentes matemáticos.

1.9 Intervenciones después de la Evaluación

Favoreciendo el acercamiento significativo a conceptos fundamentales delálgebra, como expresiones algebraicas y ecuaciones, ayudándolos a través

de preguntas intencionadas que beneficien los procesos de visualización yexpresión de lo observado para salir de posibles errores y así llegar a lageneralización.

Identificar los procesos en que la clase, presente dificultades, paradesarrollar ejemplos de manera conjunta, pero donde los estudiantespuedan actuar.

Corregir los posibles errores o falencias que las actividades sugeridaspuedan presentar.

Aplicar los tres derechos que propone El profesor Miguel Monsalve en lasaulas taller de la-Escuela del maestro: “Derecho a no saber, a preguntar y aequivocarse”.

1

1 Altablero No. 38, ENERO-MARZO 2006.

http://www.mineducacion.gov.co/1621/article-107332.html

8

http://www.mineducacion.gov.co/1621/propertyvalue-33074.html


http://www.mineducacion.gov.co/1621/propertyvalue-33074.html




1.10 Qué medios y mediadores piensa utilizar: Palillos, Botones, guíasde trabajo, páginas de internet, cartulina plana, biblioteca, mediosimpresos, marcadores, prácticas guiadas, prácticasindependientes.

1.11 Qué tiempo considera necesario para la aplicación de la situaciónproblema. APROXIMADAMENTE SEIS SEMANAS.

9



10

Pensamiento Espacial y

sistema Geométrico

Representaciones

geométricas para resolver

problemas de índole

algebraico

Pensamiento Métrico y

Sistemas de MedidasGeneralización en el cálculo

de áreas y perímetros de

regiones planas.

Aplicación de modelos

matemáticos utilizando

magnitudes discretas ycontinuas

Pensamiento Numérico

y Sistema Numérico

Utilizar las operaciones y

relaciones con números

reales Variacional y sistemasalgebraicos.

Pensamiento Variacional y

Sistemas Algebraicos

Expresiones algebraicas.

Procesos inductivos y lenguaje

algebraico para formular y pone

a prueba conjeturas.

Progresiones y series

Pensamiento Aleatorio y

Sistemas de Datos

Experimentos aleatorios

para responder problemas o

preguntas.

Combinaciones

Talleres d

irigidos

Y tareas

Planteamiento y

Resolución de

Problemas

Creatividad e

ingenio

Planteamiento y

Resolución de

Problemas

ComparacionesModelación

Creatividad e

Ingenio.

Razonamiento

PATRONES Y REGULARIDADES



2 PRIMERA ACTIVIDAD: Juego con palillosLUDICA: TRIANGULOS PRES.ppsx

2.4. podrías adelantarte a decir cuántos palillos requieres para la fila doce,¿Cuántos triángulos tendría? CREATIVA

2.5. Es posible escribir un término general para la cantidad de palillos y lacantidad de triángulos de cada fila?. Explica CREATIVA

2.6. Qué fenómenos o situaciones conoces que sean recurrentes o regulares.Nómbralos (mínimo tres) ORIENTADA

3. SEGUNDA ACTIVIDAD: Números triangulares.

En la antigüedad, se pensaba que algunos números tenían propiedades un tantomágicas. Muchos hombres y mujeres destinaron gran parte de sus tiempos a

buscar estas propiedades. De esta búsqueda nacen algunas secuencias denúmeros que parecen ser aleatorios, pero que sin embargo es posible describir mediante fórmulas matemáticas. Con un poco de entrenamiento y ejercitaciónpodrás deducir algunas de estas secuencias.Una representación geométrica de los números naturales, son los llamadosnúmeros figurados. Por convención el primer número de ellos siempre es el uno.

11

FILAS 1 2 3 4 5 12 n

CANTIDAD DEPALILLOS 3

CANTIDAD DETRIANGULOS

1

2.1. Formar un triangulo con palillos ORIENTADA

2.2. Emplea palillos para construir triángulos del mis

tamaño, justo debajo del triangulo inicial. ¿Cuántos

triángulos hay en la segunda fila? ¿Cuántos palillos

empleaste? ORIENTADA

2.3. Construye las siguientes filas y completa los da

de la tabla.

http://opt/scribd/conversion/tmp/scratch6300/TRIANGULOS%20PRES.ppsx

http://opt/scribd/conversion/tmp/scratch6300/TRIANGULOS%20PRES.ppsx



Entre ellos están los números triangulares, los números cuadrados, los númerospentagonales, números hexagonales entre otros.Un número triangular es un número que puede recomponerse en la forma de untriángulo equilátero (recuerda, el primer número triangular es el 1). Los números

triangulares, junto con otros números figurados, fueron objeto de estudio por Pitágoras y los Pitagóricos, quienes consideraban sagrado el 10 escrito en formatriangular, y al que llamaban trianón.Expresiones y conceptos como números triangulares, números cuadrados,números pentagonales, etc. no sólo conservan su interés histórico, sino quefueron el origen de la teoría de números. Continuada por Eratóstenes y ampliadapor Menelao, que resumió todas las propiedades de los números pares, impares,primos, perfectos, amigos, poligonales, etc. ha llegado hasta nuestros días.Los discípulos de Pitágoras representaban los números por medio de agujeros enla arena o por medio de piedras. Así por ejemplo los números triangulares losformaba uno del anterior, añadiendo líneas de piedras conformando triángulos

equiláteros como se muestra en la siguiente figura. El primer, segundo, tercero ycuarto números triangulares

TRIANGULOBOLPRES.ppsx

A partir del trabajo con 60 botones y la intención de encontrar patrones yregularidades, los cuales pueden ser visuales, numéricos, o de ambos tipos.Una vez que el patrón ha sido reconocido, el problema se resuelve de inmediato.

Las preguntas, se deben resolver en hojas adicionales preferiblementecuadriculadas.3.1. Con los botones se van a construir números triangulares y a llenar lasiguiente tabla. Dibuja en hojas auxiliares las posiciones 5° a 10°. Coloca encada número triangular la cantidad de botones que utilizas en cada posiciónORIENTADA

POSICIÓN 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°NÚMEROTRIANGULAR

1 3

3.2. El primero de todos los números figurados, siempre es el uno. ¿Cuántosbotones más se necesitan, para completar la posición siguiente?ORIENTADA

POSICIÓN 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°Cantidad

12

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras

http://es.wikipedia.org/wiki/Pitag%C3%B3ricos

http://opt/scribd/conversion/tmp/scratch6300/TRIANGULOBOLPRES.ppsx

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras

http://es.wikipedia.org/wiki/Pitag%C3%B3ricos

http://opt/scribd/conversion/tmp/scratch6300/TRIANGULOBOLPRES.ppsx



adicionaldebotones

3. 3. Si cada botón, la tomamos como una unidad de medida, y teniendo encuenta que el primer botón, debería ser un triangulo, de una unidad de ladoBusca el perímetro de cada triangulo. De acuerdo con los dibujos que hiciste en elpunto uno. Completa la tabla. ORIENTADA

POSICIÓN 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°PERÍMETRODE LAFIGURA

3.4. Observa la tabla y determine las cantidades que varían. ¿Cómo varían?

Explica.

3.5. Explica de qué depende el valor del perímetro. CREATIVA

3.6. ¿cuál el perímetro del triángulo que ocupa la posición 35? CREATIVA

3.7. Escribe una expresión que permita calcular el perímetro de cualquiera deestos triángulos. CREATIVA

3.8. Escribe una expresión que permita calcular el perímetro de cualquier triangulo. CREATIVA

3.9. Se puede formar un número triangular con 80 botones?. Explica. ORIENTADA

3.10. Cuál es el mayor número triangular que se puede formar con 100 botones?ORIENTADA

3.11. Ahora observa todos los números triangulares que has diagramado, ¿en quécifras terminan? ¿En cuáles

no? ORIENTADA

3.12. Escribe cuál es la correlación que hay entre las posiciones y los números

triangulares correspondientes. ORIENTADA

3.13. ¿Es posible crear otro modelo geométrico para los números triangulares. Por ejemplo con la Ayuda de tus hojas cuadriculadas. Dibuja. CREATIVA

“El diablo de los números le dijo a Robert”.

“…con estos números triangulares se pueden hacer cualquier cosa…”

13



“….Ahora me dirás el número que prefieras y te demostraré que puedo

confeccionarlo con un máximo de tres números triangulares.

-Bien –dijo Robert-. El 51.

-Esto es fácil, sólo necesito dos: 51 = 15 + 36

-¡83!

-Encantado: 83 = 10 +28+ 45

-¡12!

- Muy fácil: 12 = 1 + 1 +10.

¿Lo ves?, sale siempre. Y ahora una cosa más, un verdadero puntazo, mi querido

Robert. Si sumas dos de los números triangulares sucesivos, veras un autentico

milagro…..” 2

3.14. Resuelve la propuesta que el diablo de los números le hace a Robert.

Obtienes otra sucesión de números, anótala y observa que regularidad existeentre dichos números. ESCRIBE. ORIENTADAPOSICIÓN 1° +

2°2° +3°

3° +4°

4° +5°

5° +6°

6° +7°

7° +8°

8° +9°

9° +10°

3.15. Escoge cinco números en el círculo del mil, y muestra cuales son losnúmeros triangulares que sumados, forman cada uno de los número queescogiste. Obviamente, diferentes ha los que escogió el diablo de los números.ORIENTADA

3.16. Es posible hallar una expresión general para cualquier número triangular (esta pregunta no se debe dejar como tarea, se debe hacer en clase, con elapoyo del profesor, puede ser en equipos de tres personas, de acuerdo con susregistros para luego socializar sus respuestas. Desarrollándola como unadiscusión y demostración con toda la clase. a tráves de un proceso inductivo. , sinentregarlo como un proceso acabado) . CREATIVA / ABIERTA?

Ideas que los alumnos propongan.

Buscar expresiones, para cada uno de los números triangulares.

“ = 1, = + 2 = ( 1 ) + 2 = 3 , = + 3 = ( 3 ) + 3 = 6 , ..., =

+

2 Hans Magnus enzensberger, el Diablo de los Números, Editorial Siruela, España, 1997.

Pág9514



luego si se da como condición inicial a = 0 , entonces dándole a los

valores

= 1 , 2 , . . . , n , se obtendrá:

- = 1,

- = 2,

- = 3,

.................

- = n

Sumando término a término las expresiones anteriores se obtiene: - = 1 +

2 + 3 + . . . + n , esto es = 1 + 2 + 3 + . . . + n , donde esta última suma puedecalcularse así:

= 1 + 2 + 3 + . . . + n

= n + ( n - 1 ) + ( n - 2 ) + . . . + 1

Sumando éstas últimas expresiones término a término se obtiene:

2 = n véces ( n + 1 ) = n ( n + 1 ) , de donde = “3

3 INTERMAT (Revista Matemática Interactiva) 2002, Volumen 1, Número 1, 1-

14.http://valle.fciencias.unam.mx/~gomal/nf.html

15



3.17. Escribe el número triangular que ocupa el lugar 28? EXPLICA TURESPUESTA. CREATIVA

3.18. Mario hace un triángulo de números impares. En cada fila coloca un númeromás que en la fila anterior.

4. TERCERA ACTIVIDAD: Libros Artesanales

Se divide el grupo en equipos de a tres personas, y en forma aleatoria se lesentrega el nombre de un matemático, de acuerdo a la lista. Para que en eltranscurso de tres semanas construyan un libro artesanal, a partir de su biografía,aportes que ha hecho a la ciencia, y específicamente con el tema tratado.Detallando el lugar y fecha de nacimiento, anécdotas acerca de su vida, entreotros. Debe ser elaborado en cartulina con un tamaño de 35 cms por 50 cms.Mínimo debe tener cuatro páginas, entre ellas, la portada. Debe haber introducción y bibliografía o cibergrafía.Puesto que es para exponerlo, el tamaño de la letra, si es impreso, debe ser mínimo en 24.

LUEGO DE QUE CADA EQUIPO EXPONE SU TRABAJO, CADA ESTUDIANTE,DEBE PRESENTAR UN MAPA CONCEPTUAL DE LOS MATEMATICOS,TRATAND DE TENER UN ORDEN CRONOLÓGICO. DIRIGIDA CREATIVA(Pitágoras de Samos, Diofanto de Alejandria, Leonhard Paul Euler, JohamCarl Friedrich Gauss, Agustin Louis Cauchy, Eratóstenes, Menelao deAlejandría, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, Leonardo de Pisa-Fibonacci-

5. CUARTA ACTIVIDAD: Números Cuadrados

AHORA CONSTRUYAMOS CON LOS BOTONES LOS NÚMEROS CUADRADOSY COMPLETA LA SIGUIENTE TABLA

L PRES.ppsx

16

EN LA FIGURA ESTÁN PRIMEROS CUATRO NÚMECUADRADOS. Los números quepresentaron cumplen con la relaciótener el mismo número de puntos ebase y en la altura. Es por eso qullaman números cuadrados.

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

21 .... .... .... ....

Si hace un triángulo de 7 filas, ¿cuál es el tercer número de la séptima fila? CREATIVA

http://opt/scribd/conversion/tmp/scratch6300/L%20PRES.ppsx

http://opt/scribd/conversion/tmp/scratch6300/L%20PRES.ppsx



5.1. Con los botones se van a construir números cuadrados y a llenar la siguientetabla. Dibuja en hojas auxiliares las posiciones 5° a 10°. Coloca en cadanúmero cuadrado la cantidad de botones que utilizas en cada posición.ORIENTADAPOSICIÓN 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°NÚMEROCUADRADO

1 4

5.2. Escribe cuál es la correlación entre las posiciones y los números cuadradoscorrespondientes. ORIENTADA

5. 3. ¿Cuántos botones más necesitas? ENTRE CADA NÚMERO CUADRADO,ES DECIR, A PARTIR DEL PRIMER CUADRADO FORMAR EL SEGUNDO, DEESTE PARA FORMAR EL TERCERO….ESCRIBE TU RESPUESTA EN LATABLA. ORIENTADA

POSICIÓN 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°CANTIDADDEBOTONES

1

5.4. ¿Qué relación existe entre la pregunta catorce de la segunda actividad(números triangulares) y los números cuadrados? ORIENTADA

5.5. Determina en cada caso el perímetro de la figura. Tomando cada botón comouna unidad de medida. ORIENTADA

5.6. Realice una tabla que permita visualizar los cambios del perímetro.ORIENTADA

5.7. Observe la tabla y determina las cantidades que varían. ¿Cómo varían?CREATIVA

5.8. ¿Cuál sería el perímetro de la figura que ocupa el 15° lugar? CREATIVA¿Y cuál el perímetro del cuadrado que ocupa la posición 28°? CREATIVA

17



5.9. Determina una manera de calcular el área de cualquier cuadrado CREATIVA/ABIERTA

5.10. Explica de qué depende el valor del área de un cuadrado. ORIENTADA4.11.

6. QUINTA ACTIVIDAD: Números PentagonalesAHORA CON LOS BOTONES, CONSTRUYAMOS LOS NÚMEROSPENTAGONALES Y COMPLETA LA SIGUIENTE TABLA

POSICIÓN 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°NÚMEROPENTAGONAL

1 5

6.1. Escribe, la cantidad de botones, que se necesita, al pasar de un númeropentagonal a otro, como una suma. En cada uno de los números pentagonales.(P: número pentagonal) Ejemplo ORIENTADA

P 1= 1 P2 = 1+4 P3 = 1+4+7 P4 = 1+4+7+10

6.2.Compara y Busca una relación entre los números pentagonales y losnúmeros triangulares. Explica CREATIVA – ORIENTADA

A. Indagar que proponen los alumnos.B. Reflexionar respecto a las sumas del numeral doce

18

Se tiene un cuadrado de lado 4cm. Se construye un segundocuadrado uniendo los puntos medios de los lados del cuadradooriginal (tal como se muestra en la figura). Si se continúa esteproceso de construir cuadrados más pequeños, uniendo lospuntos medios de los lados del cuadrado anterior, entonces¿cuál será la longitud del lado del duodécimo cuadrado?CREATIVA



C. Que observas que se repite o que sea recurrente.

Expresando cada término de la sucesión como sumas, donde cada nuevosumando se forma con el último más 3, o sea que cada nuevo número se forma

sumando a los anteriores el último sumando más 3:

“ =1

=1+(1+3)= +( +3)=1+4=5

=5+(4+3)= +(P1+3+3)= +( +2x3)=5+(1+6)=12

=12+( 7 +3)= +( +2x3+3)= +( +3x3)=12+(1+9)=22

=22+(10+3)= +( +3x3+3)= +( +4x3)=22+(1+12)=35

......................................................................................................

= +[1+(k-1)3]

D. Con base en la cual dándole a k=1,2,3,...,n y dada la condición inicial:Po=0

> - = [1+0x3]

> - = [1+1x3]

> - = [1+2x3]

...........................

- = [1+(n-1)3]

E. Que sumadas término a término se obtiene

19



- = n+3[1+2+...+(n-1)]

= n+3(n-1)n/2

=

F. Expresando cada término de la sucesión como la suma del anterior másel último sumando más 3:

=1

=1+(1+3)

=1+(1+3)+(1+3+3)

=1+(1+3)+(1+3+3)+(1+3+3+3)

=1+(1+3)+(1+3+3)+(1+3+3+3)+(1+3+3+3+3)

......................................................................................................

= +[1+(k-1)3]

G. A partir de esto se repite la deducción anterior, con base en la cual se obtienede nuevo:

= “ 4

4 INTERMAT (Revista Matemática Interactiva) 2002, Volumen 1, Número 1, 1-

14.http://valle.fciencias.unam.mx/~gomal/nf.html

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7. SEXTA ACTIVIADAD

EL TRIÁNGULO DE PASCAL

Como su nombre nos lo dice, construiremos un triángulo formado por números dela siguiente manera: en el primer renglón se empieza con el uno. A continuaciónen el segundo renglón y en todos los siguientes, se inicia con el número uno y setermina con el uno. En el tercer renglón, se inicia con el número uno, después eldos, que es el resultado de sumar los unos que están justo encima de él y por último otro uno.Si observas con cuidado el dibujo podrás darte cuenta de que todos los renglones

del triángulo de Pascal se construyen de la misma manera: Empiezan y terminancon un 1 y cada uno de los números siguientes se obtiene sumando los dosnúmeros que están justo arriba en el renglón anterior.

7.1. completa en el triángulo de pascal del dibujo, los números faltantes.ORIENTADA

21

El Triángulo de Pascal debe su nombre al filósofo y matemático Blaise Pascal (1623-1662). Pascal hizo aportaciones importantes a las Matemáticas y se codeo conpersonajes tan peculiares como Fermat. Sin embargo, como en muchos casosmatemáticos, su origen es muy anterior. Se tienen referencias que datan del siglo XII eChina. De hecho, algunas de sus propiedades ya fueron estudiadas por el matemáticochino Yang Hui (siglo XIII), así como el persa Omar Khayyam (siglo XII).

1

1 1

1 12

1 13 3

1 4 6 4 1



7.2. suma cada uno de los números de cada fila o renglón y explica que tiene deespecial la sucesión de estos resultados. ORIENTADA

7.3. Observa cada uno de los números que se forman en cada una de las filas.

¿Qué puedes decir de ellos? CREATIVA 7.4. Repite en las hojas auxiliares el triángulo de pascal, tres veces. En elprimero escoge un color y colorea los números impares. En el segundo de otrocolor los números pares. En el tercero los múltiplos de tres (ANEXO)¿Qué patrones encontraste al iluminar los triángulos? ¿Son todos iguales?CREATIVA

7.5. Observa las diagonales, la primera diagonal es la sucesión de unos, lasegunda diagonal es la sucesión de los números naturales, observa la terceradiagonal y explica que tiene de especial esta diagonal. ORIENTADA

7.6. Observa la cuarta diagonal y con la ayuda de tu equipo, trata de hallar unaexpresión algebraica para esta diagonal.(CON ESTA PREGUNTA SE DEBE PROCEDER DE IGUAL FORMA QUE CONLA PREGUNTA 16 DE LA PRIMERA ACTIVIDAD) ABIERTA

Con la ayuda del triángulo de pascal se pueden resolver ejercicios decombinaciones y probabilidad.Observando la siguiente grafica, las filas están marcadas con “n” y las diagonalescon “k”.

Por ejemplo, el triángulo de Pascal, dice cuántas combinaciones de caras ysellos, pueden salir al lanzar monedas.

22



7.7 Registra, todos los posibles sucesos. Cuando se lanza una moneda 4 veces.ORIENTADA

La cantidad total de sucesos, está determinado por la suma de los númerosque aparecen en la fila cuando n=4. 1 + 4 + 6 + 4 + 1= 16. Verifica contus registros.

La cantidad de lanzamiento se asocia con la fila. Mientras que las posiblescombinaciones se asocia con la diagonal. Observando cuando n=4, es

decir las cinco primeras filas del triangulo de pascal. Se pueden responder las siguientes preguntas. ¿Cuántas posibilidades hay para sacar tres veces cara? cuando n=4,

cuenta hasta la diagonal 3, iniciando de cero, es decir cuando k= 3.Observa que el resultado es 4 de 16 . Confronta con tus registros.

¿Cuántas posibilidades de sacar dos caras y dos sello? Observandocuando n=4 y k=2 . el resultado es 6 de 16. Verifica con tus registros.

¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente cara? n=4 y k=1 elresultado es 4 de 16. Es decir 0,25 ó 25%.

Responde, ¿Cuál será la probabilidad de sacar exactamente sello?7.8. Se lanza una moneda cinco veces y se anota la sucesión de caras y sello.

¿Cuántos son los posibles sucesos? ORIENTADA

7.9. Por ejemplo, si tienes 9 bolas de billar, ¿de cuántas maneras puedes elegir tres de ellas (sin hacer diferencia del orden en que las eliges)? ORIENTADA

5 http://apuntes-dematematicas.blogspot.com/2009/01/72-el-tringulo-de-pascal-y-el-

teorema.html23



7.10. De cuantas formas se pueden escoger 4 personas entre un grupo de 9personas, para realizar un trabajo. ORIENTADA

7.11. Entre 8 camisetas y 7 pantalonetas, Juan quiere escoger para viajar con 4

camisetas y 3 pantalonetas. ¿cuántas combinaciones distintas pueden formarse?ORIENTADA

7.12. En un grupo de 30 alumnos se quieren elegir 5 para asistir a un evento. ¿Decuantas formas puede hacerse?. Explica cómo lo harías? ORIENTADA.CREATIVA.

8. SEPTIMA ACTIVIDAD

EJERCICIOS PROPUESTOS.

8.1. “En esta figura se ha dibujado un cuadrado alrededor del 12; esta figura serállamada cuadrado de cuatro puntos alrededor de 12 porque como vértices tiene loscuatro números, 2, 13, 22, y 11, y como centro tiene al número 12. Dibuje ydenomine otros cuadrados de cuatro puntos. ¿Cuál es la relación existente entrelos vértices y el centro? Elabore una conjetura y trate de demostrarla.” 6 ABIERTA

LAS SIGUIENTES PREGUNTAS SON DEL ICFES CON ALGUNASVARIACIONES

6 http://sferrerobravo.wordpress.com/2009/09/08/la-centena-cuadriculada-un-buen-recurso-para-hacer-

matematicas/

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http://sferrerobravo.wordpress.com/2009/09/08/la-centena-cuadriculada-un-buen-recurso-para-hacer-matematicas/


http://sferrerobravo.wordpress.com/2009/09/08/la-centena-cuadriculada-un-buen-recurso-para-hacer-matematicas/centena-cuadriculada-2/





RESPONDA LAS PREGUNTAS 2 A 5 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTEINFORMACIÓNSe realizaron unas pruebas con esferas de un metal experimental. Se descubrióque si se deja caer a una determinada altura una esfera de volumen V se divide en

dos esferas de volumen V/2 y luego estas esferas, al caer desde la misma altura,se dividen en cuatro esferas de volumen V/4 y así sucesivamente. A continuaciónse muestra un dibujo que representa la prueba planteada:

8.2. Al practicar estas pruebas, se afirma que el número de esferas que se tendráen el escalón 6 es 64, explica, esto es debido a que? CREATIVA

8.3. De acuerdo con la variación o aumento de esferas por escalón. ¿qué puedesafirmar? CREATIVA/ ABIERTA

8.4. Se encontró una regularidad frente al aumento de esferas por escalón, buscala expresión que muestra el número de esferas en un escalón a partir del númerodel escalón. CREATIVA

8.5. Al empezar el experimento con tres esferas en el escalón cero y comparandocon las características del experimento anterior, ¿Qué puede suceder?. Explica.CREATIVA

RESPONDA LAS PREGUNTAS 10 A 13 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTEINFORMACIÓN

Un profesor de matemáticas le propone a sus estudiantes realizar el conteo dedígitos de los números que hay desde 1 hasta 999, como lo indica el siguienteejemplo:¿Cuántos dígitos hay desde 8 hasta 13?

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La cantidad de dígitos de los números que hay desde 8 hasta 13 es 10dígitos.

El profesor les da como información que la cantidad de dígitos que haydesde 1 hasta 99 es 189

8.6. Daniel, luego de hacer el conteo afirma que cada dígito se repite la mismacantidad de vecesen los números desde 1 hasta 999, pero su compañero Camilo comenta que esaafirmación es falsa. ¿Quién tiene la razón? Explica. CREATIVA8.7. Un estudiante le pregunta al profesor si es posible saber cuántos dígitos haydesde -999 hasta -1, conociendo la cantidad que hay desde 1 a 999 sin contar de1 en 1. Si usted fuera el profesor, ¿Qué le respondería a este estudiante?CREATIVA8.8. El profesor les pide a sus estudiantes encontrar cuántos dígitos hay de 4038.9. ¿Cuál procedimiento escogería para hacer este conteo?8.10. Para responder a la situación planteada por el profesor, cuatro estudiantes

presentaron algunos procedimientos. Si el procedimiento debe ser el más rápido yconfiable, ¿cuál de los presentados por los estudiantes escogería? ORIENTADAA. contar de 1 en 1 hasta llegar a 999.B. contar de 1 a 9, luego de 10 a 99, por último de 100 a 999 y sumar la cantidadobtenida en cada grupo contado.C. contar cuántos números hay con 1 dígito, con 2 dígitos y con 3 dígitos,multiplicar por 1, por 2 y por 3 respectivamente y luego sumar.D. contar cuántos números hay desde 100 hasta 999; multiplicar por 3, yfinalmente sumarle la cantidad de dígitos que hay desde 1 hasta 99

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CONCLUSIONES

La situación problema, no es un problema de preguntas cerradas, es unaestrategia que permite ser dosificada, de acuerdo a ciertos niveles decomplejidad, paralelamente permite seguir incorporando mas conceptos yactividades.

Este tipo de actividades se deben aplicar en clases contextualizadas, a medidaque se van realizando las secuencias de actividades sugeridas, puedan decidir cuales secuencias pueden obviar, de acuerdo a su abstracción mental yasimilación.

La situación problema permite el manejo de las diferentes relaciones, para ir fortaleciendo el lenguaje simbólico matemático y llegar al lenguaje formal. Dondenecesariamente se debe cuidar la comunicación maestro alumno.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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funcional. http//didactic.udem.edu.co

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Septiembre 2009

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http://www.disfrutalasmatematicas.com/triangulo-pascal.html



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ANEXO

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situaciÓn problema

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