sistemlərin dayanıqlığı
TRANSCRIPT
-
0
Q..Rstmov, A.T. Mmmdova
SSTEMLRN
DAYANIQLII
Matlab /Simulinkd modelldirm
Mn dayaq nqtsi verin,
Yer krrsini yerindn oynadm
Arximed
-
1
Q..Rstmov, A.T.Mmmdova
SSTEMLRN DAYANIQLII
MATLAB/Simulinkd modelldirm
Ali texniki mktblr n drs vsaiti
Azrbaycan Respublikas Thsil Nazirliyi
trfindn tsdiq edilmidir
AzTU-nun nriyyat Bak -2015
-
2
Ry vernlr: Sumqayt Dvlt Universitetinin Proseslrin
avtomatladrlmas kafedrasnn mdiri,
t.e.d., professor F.H. lkbrli,
AzTU-nun Avtomatika v idaretm
kafedrasnn dosenti, t.e.n. V.Q.Frhadov
Elmi redaktor: t.e.n., dosent R. hmdov
Q.. Rstmov, Mmmdova A.T. Sistemlrin dayanql: Matlab/Simulinkd modelldirm.
Drs vasaiti. Bak. AzTu-nun nriyyat, 2015, 162 s.
Drs vsaitind avtomatik tnzimlm nzriyysinin v
praktikasnn sas mslsi olan dinamik sistemlrin
dayanqlnn tdqiq sullar rh edilmidir.
Kitabn frqli chti cbri v tezlik dayanqlq kriterilrinin
Matlab/Simulinkd modelldirilmsi v tdqiqidir. Nzri
mdalar analitik v kompyterd hll olunan oxsayl misallar
il znginldirilmidir. Kitabn sonunda is stifad olunan
Matlab funksiyalar , sas anlaylar v triflr verilmidir.
Vsaitdn Avtomatik idaretm nzriyysi, Lokal
tnzimlm sistemlri, Kompyter modelldirmsi, Sistemli
analiz v mliyyatlarn tdqiqi fnlrinin tdrisind istifad
oluna bilr.
Drs vsaiti Proseslrin avtomatladrlmas mhndisliyi
Kompyuter mhndisliyi, Mexatronika v robototexnika
mhndisliyi, nformasiya texnologiyalar v sistemlri
mhndisliyi, ixtisaslar zr thsil alan tlblr v bu sahd
alan mxtlif pe sahiblri n nzrd tutulmudur.
Azrbaycan Texniki Universiteti-2015
-
3
MNDRCAT
Giri.....................................................................................5
BLM 1............................................................. 11 Hrktin dayanql........................11
1. Dayanqlq anlay................................................................11
2. Lyapunova gr dayanqlq...............................13
3. Dayanqln obyektin differensial tnliyinin hlli sasnda
tyini......................................................................................21 4. Qeyri-xtti sistemlrin dayanqlnn birinci taxnlama tnliyi
sasnda tyini. Lyapunovun 1-ci sulu (1892)........................... ......27 5. Lyapunovun 2-ci sulu. mumi hal......................................32
6. Xtti sistemlrin dayanqlnn Lyapunovun 2-ci sulunun
kmyi il tyini....................................................................34
7. Lyapunov tnliyinin Matlabda hlli.......................................39
8. Xtti sistemlr n Lyapunov funksiyasnn trtib
olunmas................................................................................42
9.Qeyri-xtti sistemlr n Lyapunov funksiyasnn trtib
olunmas.................................................................................45
10. V.M. Popovun mtlq dayanqlq kriterisi (1960 c ).....................55
11. Xtti sistemlriin dayanqlnn xarakteristik tnliyin
kklri sasnda tyini. Kklr sulu............................62
11.1. MATLABda realizasiya............................................ 67
BLM 2..............................................................74 Dayanqlq kriterilri..........................74
2.1. Cbri dayanqlq kriterilri........................................74 1. Hurvis dayanqlq kriterisi.....74
1.1. MATLABda realizasiya..78
2. Raus dayanqlq kriterisi80
2.1. MATLABda realizasiya..................82
-
4
2.2.Tezlik dayanqlq kriterilri........................................85 1. Arqument prinsipi..................................................................85
2. Mixaylov dayanqlq kriterisi............................88
2.1. MATLABda realizasiya.92
3. Naykvist dayanqlq kriterisi..95
4. mumildirilmi Naykvist dayanqlq kriterisi.....103
4.1. Naykvist kriterisinin Matlabda realizasiyas.......105
5. Dayanqlq ehtiyatlar......................116
5.1. MATLABda realizasiya...............................................118
6. Gecikmy malik olan sistemlrin dayanql........122
6.1. MATLABda realizasiya...123
BLM 3............................................................128 Sistemin parametrlrinin dayanqlia
rsiri.......................128 1. Kklr qodoqraf sulu............128
2. D-blm sulu.............131
3. Dayanqlq oblastnn brabrsizliklr sisteminin hlli
sasnda tyini.....................................................................137
3.1. Bir parametr gr dayanqlq oblastnn tyini...................138
3.2. ki parametr gr dayanqlq oblastnn tyini...................140
4. Bilvasit brabrsizliklr sisteminin hllin
saslanan sul......................................................................142
5. Parametrik mhdudiyytlr olduu halda dayanqln
tyini. Xaritonov teoremi.....................................................146
6. Struktur dayanqszlq..........................................................147
almalar.................................................................151 stifad olunan Matlab funksiyalar........................154
sas anlaylar v triflr........................................155 dbiyyat..................................................................158
-
5
Giri
Masir dvrd avtomatik idaretm nzriyysinin metod v
sullarnn praktiki msllrin hlli n inkiaf etdirilmsi ox
vacibdir.
daretm sistemlrinin dayanqlnn nzri v praktiki
saslar Avtomatik tnzimlm nzriyysi fnnindn coxsayl
drsliklrd v monoqrafiyalarda kifayyt qdr aqlanmdr.
Lakin baxlan metod v sullar inkiafda olan kompyter proqram
vasitlrinin v sistemlrinin ttbiqi il lazimi sviyyd
aprobasiya olunmamdr.
Hazrk mrhld avtomatik idaretmnin v informatikann
metod v sullarnn Matlab/Simulink kompyter proqram
paketind realizasiyas geni vst almdr. Mvafiq predmet
oblastnda nr olunan elmi-metodik ilrin v drsliklrin
ksriyyti bu sahy aiddir. Lakin, Azrbaycan dilind masir
tlblr cavab vern drslik olmadndan tlblr myyn
tinliklrl qarlarlar.
Matlab Math Work Inc. (AB) irkti trfindn
yaradlmdr. Sistem ilk df XX srin 70-ci illrind istifad
edilmy balansa da, onun iklnm dvr 80-ci illr tsadf
edir.
Matlab (qsa- Matrix Labaratory-matris laboratoriyas)
mhndis v elmi hesablamalar yerin yetirmk n nzrd
tutulmu interaktiv kompyter sistemidir.
Matlab elmi kalkulyator adlandrmaq olar. Burada
proqramla vizual vasitlrin vhdti tdqiqatlar n
vzolunmaz imkanlar yaradr. Matlabn trkibind olan v
dinamik sistemlrin modelldirilmsi n nzrd tutulmu
vizual-bloklu imitasiya modelldirm paketi Simulink xsusi
yer tutur. Simulinkd avtomatik tnzimlm sisteminin tipik
element v bloklar, funksional v vizualladrma vasitlri
kitabxanada olan hazr bloklar klind tqdim olunur. Proqram
tminat is z xmayaraq arxa planda qalr. Bloklarn
-
6
parametrlrini dyimk n parametrlr pncrsindn istifad
olunur.
Simulinkd mxtlif modellr klind verilmi idaretm
obyektlrini modelldirmk mmkndr. Bunlardan trm
funksiyalarn v vziyyt modellrini gstrmk olar. Bloklu
imitasiya modelldirmsin olduqca az vaxt srf olunduundan
bir drs saat rzind nticlri almaq v daha ox mlumat
toplamaq mmkndr.
Matlabda hesablama elementi matris olduundan modeli
matris klind verilmi sistemlri modelldirdikd qurulmu
vektor Simulink sxemind matris v vektorlar daxil etmk
kifayytdir.
Tdqiqatlarn virtual xarakter damasna baxmayaraq
praktiki tdbiqlrd ox vacib olan biliklr qazanmaq
mmkndr.
Avtomatik idaretmd istifad olunan sas Matlab paketlri
aadaklardr:
Signal Processing Toolbox;
Control System Toolbox;
System Identification Toolbox;
Optimization Toolbox. Matlabda mvcud olmayan mslnin hllini ld etmk n
nternet mracit etmk olar.
Drs vasaiti geni oxucu ktlsin hesablanm v aadak
xsusiyytlr malikdir:
xtti v qeyri-xtti sistemlri hat edir;
btn evirmlr v hesablamalar Matlab/Simulinkd verilmidir;
cbri v tezlik dayanqlq kriterilrinin Matlab/Simulinkd tdqiq texnologiyas verilmidir;
hr blmy aid oxsayl misallarn analitik v kompyter hllri gstrilmidir;
-
7
hr blmy aid almalar, fslin sonunda is istifad olunan Matlab funksiyalar, sas anlaylar v triflr
verilmidir;
hr-bir metodun v sulun mahiyyti sad dild aqlanm v doruluu Matlab/Simulinkd modelldirm yolu il
tsdiq edilmidir.
stniln idaretm sistemini layih etdikd ilk nvbd onun
dayanql olmasn tmin etmk lazmdr. Lakin sistem eyni
zamanda myyn keyfiyyt gstricilrini d dmlidir. Bu
sbbdn dayanqlq zruri olsa da kafi sayla bilmz.
gr giriin kiik dyimsin xn da kiik dyimsi uyun
glrs bel sistemlr (obyektlr) praktiki baxmndan dayanql
sayla bilr.
Dayanqlq sistemin mxsusi (daxili) xsusiyyti olduundan
xarici qvvdn asl deyil. Bel ki, idar giriini mvafiq qaydada
semkl dayanqsz olan uu aparatlarn, nv reaktorlarn v
s. dinamik tarazlqda saxlamaq mmkndr.
Dayanql tdqiq etdikd xarici qvvlri sfra brabr
gtrb sistemin sfra brabr olmayan balanc rtlriin tsiri
altnda ba vern srbst hrktini aradrmaq lazmdr.
Fiziki baxmdan dayanql xarici qvvlrin tsiri ksildikdn
sonra obyektin (sistemin) z tarazlq vziyytin (faza srtinin
sfra brabr olduu nqt) qayda bilmk xsusiyyti il
xarakteriz etmk olar:
1. Xarici qvvlrin tsiri ksildikdn sonra obyekt istniln
balanc nqtdn tarazlq vziyytinin kiik trafna qaydrsa,
bel obyektlr btvlkd v ya qlobal dayanql sistemlr adlanr. Bel sistemlrin myyn rtlri dyn qeyri-xtti sinfi
mtlq dayanql sistemlr adlandrlr (V.M. Popov).
gr tarazlq nqtsin atma sonsuz t vaxta ba verirs,
bel sistemlr asimptotik dayanql sistemlr adlanr. Qlobal
dayanqlq yalnz xtti sistemlr aiddir. Qeyri-xtti sistemlrd
myyn balanc vziyytlri n sistem dayanql, digrlri
n dayanqsz ola bilr.
-
8
2. Xarici qvvlrin tsiri ksildikdn sonra obyekt t
halnda tarazlq vziyytindn sonsuz uzaqlaarsa bel obyektlr
dayanqsz obyektlr adlanr.
3. Xarici qvvlrin tsiri ksildikdn sonra sistem yeni
tarazlq vziyytin glrs v bel nqtlrin say sonsuz olarsa,
bel sistemlr neytral sistemlr adlanr.
lk df dayanqlq haqqnda ciddi riyazi anlay 1892-ci ild
rus alimi A.M.Lyapunov znn Hrkt dayanql haqqnda
mumi msl srind tklif etmidir. Lyapunovun irli
srdy dayanqlq anlay o qdr uurlu v mumildiricidir
ki, o hazrda da elm v texnikann mxtlif sahlrind geni
istifad olunur.
A.M.Lyapunovun dayanqlq anlay aadak dialektik
qanunauyunlua saslanr: 1.El balanc rtlr mvcud olmaldr ki, zaman artqca
hll mhdud crcivd qalr.
2. Balanc rtin kiik dyimsi hllin byk dyimsin
sbb olmur.
3. Qabarq czbetm oblastndan balayan btn hllri eyni
tarazlq nqtsin v ya attraktoruna (qapal yri) yldndan
zaman artdqca bu hllr arasndak msaf sonsuz azalr. Drsliyin mqsdi masir informasiya texnologiyalarndan
istifad etmkl istifadiy dinamik sistemlrin dayqlnn sad
hesablama v thlil usullarn yrtmkdir. Bunun n hal-
hazrda kompyuter sistemlrindn daha mnasib olanlar
MatLAB/Simulink paketindn istifad edilmidir.
Matlab elmi kalkulyator adlandrmaq olar. Burada
proqramla vizual vasitlrin vhdti tdqiqatlar n
vzolunmaz imkanlar yaradr. Matlabn trkibind olan v
dinamik sistemlrin modelldirilmsi n nzrd tutulmu
vizual-bloklu imitasiya modelldirm paketi Simulink xsusi
yer tutur. Simulinkd avtomatik tnzimlm sisteminin tipik
element v bloklar, funksional v vizualladrma vasitlri
kitabxanada olan hazr bloklar klind tqdim olunur. Proqram
-
9
tminat is z xmayaraq arxa planda qalr. Bloklarn
parametrlrini dyimk n parametrlr pncrsindn istifad
olunur.
Simulinkd mxtlif modellr klind verilmi idaretm
obyektlrini modelldirmk mmkndr. Bunlardan trm
funksiyalarn v vziyyt modellrini gstrmk olar. Bloklu
imitasiya modelldirmsin olduqca az vaxt srf olunduundan
bir drs saat rzind nticlri almaq v daha ox mlumat
toplamaq mmkndr.
Matlabda hesablama elementi matris olduundan modeli
matris klind verilmi sistemlri modelldirdikd qurulmu
vektor Simulink sxemind matris v vektorlar daxil etmk
kifayytdir.
Tdqiqatlarn virtual xarakter damasna baxmayaraq
praktiki tdbiqlrd ox vacib olan biliklr qazanmaq
mmkndr.
Kitabda Matlabn aadak blmlrindn istifad
olunmudur:
Symbolic Math Toolbox;
Signal Processing Toolbox;
Control System Toolbox;
Statistics Toolbox;
System Identification Toolbox;
Optimization Toolbox;
Simulink. Matlabda mvcud olmayan mslnin hllini ld etmk n
nternet mracit etmk lazmdr.
Drs vsaiti 3 blmdn ibartdir:
1. Hrktin dayanql.
2. Dayanqlq kriterilri.
3. Sistemin parametrlrinin dayanqla tsiri.
Kitabda dayanqln MatLABda thlilin aid kifayt qdr
misal nmunlri gstrilmidir.
Drs vsait Proseslrin avtomatladrlmas mhndisliyi
-
10
Kompyuter mhndisliyi, Mexatronika v robototexnika
mhndisliyi, nformasiya texnologiyalar v sistemlri
mhndisliyi, ixtisaslar zr thsil alan tlblr v bu sahd
alan mxtlif pe sahiblri n nzrd tutulmudur.
Mlliflr:
Q..Rstmov A.T.Mmmdova
Email: [email protected] mob. (0 50) 516 85 60
-
11
Blm 1
HRKTN DAYANIQLII
1. Dayanqlq anlay
stniln idaretm sistemini layih etdikd ilk nvbd onun
dayanql olmasn tmin etmk lazmdr. Lakin sistem eyni
zamanda myyn keyfiyyt gstricilrini d dmlidir. Bu
sbbdn dayanqlq zruri olsa da kafi sayla bilmz.
gr giriin kiik dyimsin xn da kiik dyimsi uyun
glrs bel sistemlr (obyektlr) praktiki baxmndan dayanql
sayla bilr.
Dayanqlq sistemin mxsusi (daxili) xsusiyyti olduundan
xarici qvvdn (burada idar siqnal u(t)) asl deyil. Bel ki,
idar tsirini mvafiq qaydada semkl dayanqsz olan uu
aparatlarn, nv reaktorlarn v s. dinamik tarazlqda saxlamaq
mmkndr.
Dayanql tdqiq etdikd xarici qvvni u(t) = 0 sfra brabr
gtrb sistemin sfra brabr olmayan balanc y(0) rtlriin
tsiri altnda ba vern y(t) = ys(t) srbst hrktini aradrmaq
lazmdr.
kil 1-d obyektin srbst hrktini xarakteriz edn sxemi
gstrilmidir.
kil 1. Obyektin srbst hrktini xarakteriz edn sxemi
-
12
Fiziki baxmdan dayanql xarici qvvlrin tsiri ksildikdn
sonra obyektin (sistemin) z tarazlq vziyytin (faza srtinin
sfra brabr olduu nqt) qayda bilmk xsusiyyti il
xarakteriz etmk olar:
1. Xarici qvvlrin tsiri ksildikdn sonra obyekt istniln
balanc nqtdn tarazlq vziyytinin kiik trafna qaydrsa,
bel obyektlr btvlkd v ya qlobal dayanql sistemlr adlanr. Bel sistemlrin myyn rtlri dyn qeyri-xtti sinfi
mtlq dayanql sistemlr adlandrlr (V.M. Popov).
gr tarazlq nqtsin atma sonsuz t vaxta ba verirs,
bel sistemlr asimptotik dayanql sistemlr adlanr. Qlobal
dayanqlq yalnz xtti sistemlr aiddir. Qeyri-xtti sistemlrd
myyn balanc vziyytlri n sistem dayanql, digrlri
n dayanqsz ola bilr.
2. Xarici qvvlrin tsiri ksildikdn sonra obyekt t
halnda tarazlq vziyytindn sonsuz uzaqlaarsa bel obyektlr
dayanqsz obyektlr adlanr.
3. Xarici qvvlrin tsiri ksildikdn sonra sistem yeni
tarazlq vziyytin glrs v bel nqtlrin say sonsuz olarsa,
bel sistemlr neytral sistemlr adlanr.
kil 2-d dayanql (a), dayanqsz (b) v neytral (c)
obyektlrin krciyin misalnda mexaniki analogiyas gstril-
midir.
a) b) c)
kil 2. Dayanqln mexaniki analogiya
sasnda izahi
-
13
Neytral sistemlr dayanqlq srhddind olurlar. Xtti
sistemlrd iki nv dayanqlq srhddi mvcuddur:
a) aperiodik dayanqlq srhddi;
b) rqsi dayanqlq srhddi.
nc kil aperiodik dayanqlq srhddin uyundur. Bel
ki, mstvini kiik bucaq altnda ysk krrcik artan srtl
tarazlq nqtsindn uzaqlaacaqdr.
Rqsi sistemd snm (demferlm) msaln sfr ed bilsk
ideal halda konservativ obyekt alacaq. Bu halda srtnm
olmadndan, snmyn rqslr ba verck. Rqslrin amplitudu
balanc vziyytdn asl olur.
Praktikada neytral sistemlr uzun mddt yaaya bilmyrk
dayanql v ya dayanqsz hala keir.
mnasibtin :
.dt|)t(|I
0
(1)
h
obektin ki funksiyas maldr (t) 0. :
1. 1- (kiciklikd dayanqlq); 2. 2- (birbaa sul); 3. ; 4. Cbri , ; 5. , .
2. Lyapunova gr dayanqlq
lk df dayanqlq haqqnda ciddi riyazi anlay 1892-ci ild
rus alimi A.M.Lyapunov znn Hrkt dayanql haqqnda
mumi msl srind tklif etmidir. Lyapunovun irli
srdy dayanqlq anlay o qdr uurlu v mumildiricidir
-
14
ki, o hazrda da elm v texnikann mxtlif sahlrind geni
istifad olunur.
Aleksandr Muxaylovi Lyapunov (1857-1918)
Obyektin hrkti qabariq G oblastnda aadak avtonom olmayan qeyri-xtti adi diferensial tnliklr sistemi klind
verilir:
.)(
,...,2,1),;,...,,(
00
21
Gxtx
nitxxxfdt
dx
ii
nii
(2)
gr f akar kild t-dn asl olarsa,
bel sistem qeyri-
avtonom
sistem adlanr. Zaman t tnliyin msallarna (dyin
msall v ya qeyri-stasionar tnlik) v ya tnliy srbst kild
(qeyri-bircins tnlik) daxil ola bilr. Msln, ).,(/ txfdtdx V
ya konkret .2)sin(/3 txxtdtdx
-
15
gr f akar kild t-dn asl deyils, bel sistem avtonom
sistem adlanr. Avtonom stasionar (sabit msall) v srbst, yni
bircins tnlikdir. Msln, ).(/ xfdtdx V ya konkret olaraq
.02/ 3 xxdtdx
xi vziyyt lyinlri adlanr.
1nEG n+1ll Ekvlid fzasnda qabarq oxluq. 1nE
fzasnln elementlri t v xi koordinatlardr. G oblastnn qabariq
olmas rti, birici- hllin mvcudluq v yeganilik teoreminin
dnilmsi, ikincisi- tdqiq olunan tarazlq vziyytinin czbetm
oblastnn separatrissalarla ( ayrc traektoriyalar) tcrid
olunmas demkdir. Yni btn xi0 balanc nqtlri G il isar
olunan oblastsnda yerlmlidir.
Bu yanamada konkret 00000 )()(, iiii txtxtt
balanc rtini, msln 0)0(ix , dyn hyacanlanmam
);,...,,()( 02010 txxxtx nii
(3)
v balanc 0x rti 0x nqtsinin trafunda yerln istniln
);,...,,()( 02010 txxxxtx nii hllrinin frqinin zaman artdqca
mhdud oblastda qalmasdr. Lyapunov
);,...,,()( 02010 txxxxtx nii hllini hyacanlanm (balanc rt
gr) hrkt adlandrmdr.
Trif. Balanc rtlrin frqi radiusu 2 olan
)()( 00 ttx ii (4)
sferasnn (krrsinin) daxilind olduqda hyacanlanm v
hyacanlanmam hrktlrin (hllrin) frqi zaman artdqca,
radiusu 2 olan
..)()( 0ttttx ii
(5)
-
16
silindirinin daxilind qalrsa, hyacanlanmam
);,...,,()( 02010 txxxtx nii
hrkti Lyapunova gr dayanql saylr. Burada
|||| evkilid normasdr (msaf).Msln, n=2
cn .2221 xx x
Baqa szl, gr istniln 0 ddi n ondan asl olan
0)( ddi mvcud olarsa v bu halda (4) rtindn btn
t > t0 n (5) rti dnilrs hcanlanmam ),( tx
hrkti
dayanql saylr.
Teoremin aqlamas:
1.El balanc rtlr mvcud olmaldr ki, zaman artqca
)(t hlli mhdud crcivd qalsn.
2. Balanc rtin kiik lyimsi hllin byk dyimsin
sbb ola bilmz.
3. Qabarq G oblastndan balayan btn )(ti hllri eyni tarazlq nqtsin v ya attraktoruna (qapal yri) yldndan
zaman artdqca bu hllr arasndak msaf sonsuz azalr, yni
.0
Yaxnlama xta il ba verrs const ola bilr. (5) ifadsindn grndy kimi hyacanlanml v
hyacanlanmam hllr btn i-lr, i=1,2,...,n, cn iki-iki
mqayis olunur.
gr
0)()(lim
txt iit
olarsa, )(ti asimptotik dayanql hrkt adlanr.
Yni obyekt
tarazlq noqtlsin sonsuz vaxta atr.
kil 3-d n=2 hal cn trifin hndsi tsviri
gstrilmidir.
-
17
kil 3.
gr istniln 0)( cn hr- hans bir )(txi hlli (5)
brabrsizliyini dmirs, hyacanlanmam )(ti hrkti
dayanqsz hrkt adlanr.
gr olarsa, (2) dinamik sistemi btvlikd dayanql
sistem (xtti sistemlr) adlanr. Bu tip dayanqlq xtti differensial
tnliklrl yazlan sistemlr (obyektlr) cn dorudur.
Trivial (sfr) hlln dayanql. Avtomatik tnzimlmd
sas nmli msl tarazlq nqtsinin (vziyytinin)
dayanqlnn tyin olunmasdr. Sfr tarazlq nqtsi 0)( tx
trivial hll adlanr. vvld baxdmz istniln hllin
dayanqln trivial hllin, yni tarazlq nqtsinin dayanqlna
gtirmk mmkndr.
(1) tnliyini vektor klind yazaq:
),,( t
dt
dxf
x
Burada .),...,,(,),...,,( 2121T
nT
n fffxxx fx
Qeyri xtti sistemin bir-nec tarazlq nqtsi olabilr. Tarazlq
nqtsinin korrdinatlar
)6(0),( txf
qeyri-xtti tnliklr sisteminin (stasionarlq rti) hllindn taplr.
-
18
Xtti
)7(,)( xx
tAdt
d
sistem is koordinat balancnda yerln yegan 0)( tx
tarazlq nqtsin malikdir.
(6) tnliliklr sisteminin hlli nticsind taplm v bizi
maraqlandran tarazlq nqtsini sx iar edk.Yeni sx-xz
dyini daxil etmkl tarazlq nqtsini koordinat balancna
gtirmk olar. Bellikl alnm yeni tnlik
)8(),( tdt
dz
z
hyacanlanm hrkt tnliyi adlanr. Aydndr ki, tarazlq nqtsi
0)( tsz (trivial hlli)
bu tnliyin hllidir. Buna sbb )(tsz qiymtini (8) tnliyind yerin yazzaq 0),( tsx olduundan
0
dt
dz
olmasdr ki, onun da hllinin 0)( tz
olmas akardr.
Bu halda vvld hyacanlanmam hrkt kimi qbul
etdiyimiz hlli 0)( t qbul edib yalnz balanc rtlri 0x
olan hyacanlanm )(tx (gtirilmi (8) sistemi cn )(tz hlli)
hllrin baxmaq olar.
Gtirilmi (8) sistemi cn yuxardak dayanqlq trifinin
rtlrini aadaki kimi yazmaq olar:
,)( 0 tzi
..)( 0tttzi Xtti (7) sistemi cn is
,)( 0 txi
..)( 0tttxi gr btn )(txi hllri n
nitxi
t,...,2,1,0)(lim
(9)
-
19
rti dnilrs onda system asimptotik dayanql hesab olunur.
Yni dayanql yoxlamaq n (7) v ya (8) tnliklr nsistemini
hll edib (9) asimptotik dayanqliq rtini yoxlamaq lazmdr. n=2 halnda dayanql sistem cn 0 radiuslu cevrdn
balayan btn hllr 0 radiuslu silindirin daxilind
qalacaqdr (kil 4).
kil 4
Dayanqln nvndn asl olaraq v ya ola bilr (kil 5, a,b).
a) b)
kil 5.
-
20
kild a)- mumiyytl dayanqlq (msln, orbital v ya finit tT dayanqlq), b)- asimptotik dayanqlq.
6- n=2 qiymtind trivial hll n faza mstvisind verilmidir.
kil 6. faza mstvisind
, 1 , 2 , 3 () gstrilmidir. Misal 1. Obyekt xtti qeyri-bircins tnlik il yazlr:
.1 xtdt
dx
0)0( x balanc rtini dyn )(tx hllinin dayanqlini
yoxlamaq lazmdr.
Bu tnliyin mumi hlli .)( tCetx t Balanc
0)0( x
rtin yyun gln hyacanlanmam hrkt:
.)( tt
0)0( xx balanc rtin uyun gln hyacanlanm hrkt:
.)( 0 textx
t
(5) frqini formaladraq:
.)0()()( 00tt exttexttx
-
21
Buradan grndy kimi, istniln 0 n el 0
mvcuddur ki, (msln, ) balanc qiymti 00x
rtini dyn istniln )(tx hlli n aadak brbrsizlik
dnilir:
0.0)()( 0 texttx t
Demli tt )( hlli dayanqldr. Bundan baqa,
00lim)()(lim 0
t
ttexttx
rti dnildiyindn tt )( hlli asimptotik dayanql hlldir.
Bu hll t halnda qeyri mhduddur.Gstriln misal tsdiq
edir ki, diferensial tnliyin hllinin dayanql olmasndan bu hllin
mhdud olmasna dllt etmir.
f-funksiyasnn qeyri- xtti olduu halda yuxardak xtti
tnlik (system) n aparilm aradirmalar cox yorucu, htta
mmkn olmaya bilr.
3. Dayanqln obyektin differensial
tnliyinin hlli sasnda tyini
1. Obyektin tnliyi giri x formasnda verilmidir:
fmubya...yaya 00n)1n(
1
)n(
0 . (10)
Xarici tsirlri u = f =0 qbul edib bu tnliyi sfra brabr
olmayan y(0), )0(y),...,0(y )1n( balanc rtlrind hll etmk
lazmdr. Bu halda y(t) hlli obyektin srbst hrktini
xarakteriz edir. Hll n
nkty kt
,...,2,1,0)(lim )1(
(11)
rti dnilirs bel obyekt asimptotik dayanql obyekt hesab
olunur. Yni zaman artdqca obyekt tarazlq vziyyti olan 0
nqtsin yaxnlar.
-
22
Xtti sistemlrin dayanql balanc rtdn asl
olmadndan onun seilmsi srbstdir.
Matlabda (10) tnliyini analitik (simvolik) hll etmk n
dsolve(.) funksiyasndan istifad olunur.
2. Obyektin modeli trm funkiyas klind verilmidir:
mn,a...sasa
b...sbsb)s(W
n
1n
1
n
0
m
1m
1
m
0
. (12)
Bu halda obyektin srbst hrktini xarakteriz edn (t) ki
funksiyasn almaq n impulse(W) funksiyasndan istifad edib
(1)
0
|)(| dttI
rtini yoxlamaq olar. Bu inteqral I= int(abs((t),0,inf)
funksiyasnn kmyi il hesablanr.
3. Obyektin tnliyi vziyyt modeli klind verilmidir:
dx/dt = Ax + Bu,
y = Cx + Du. (13)
Bu halda (t) ki xarakteristikasn B = 0, D = 0 qiymtlrind
impulse() funksiyasnn kmyi il alb I rtini yoxlamaq olar.
3.1. Obyektin srbst hrkti xtti diferensial tnliklr sistemi
klind verilmidir:
dx/dt = Ax, x(0) 0. (14)
Bu halda x(t) = (x1(t), x2(t), , xn(t))T hllini tapmaq n
lsim() v ya dsolve() funksiyasndan istifad etmk olar.
Tnlik (14)-in kmyi il xtti sistemin tarazlq nqtsinin
yegan olub x = 0 koordinat balancnda yerlmsini isbat
etmk olar. Bel ki, tarazlq nqtsind srt dx/dt = 0
olduundan Ax = 0 stansionarlq rti dnilmlidir. A 0
-
23
olduundan bu rt yalnz x = 0 halnda, yni koordinat
balancnda dnilir.
Qeyd edk ki, tarazlq vziyyti dayanql, dayanqsz v
neytral ola bilr. Sistem (14)-in dayanqlql olmas n x(t) =
eAt
x0 hlli aadak vector rtini dmlidir:
0xelim)t(xlim 0Attt
v ya koordinat klind
.0)(lim,...,0)(lim,0)(lim 21
txtxtx nttt
(15)
Tnlik (14) hll etmk n dsolve() v ya lsim()
funksiyalarndan istifad edib (15) rtini limit() funksiyasnn
kmyi il yoxlamaq olar.
Bundan baqa hllin Simulink sxemindn d istifad edib x(t)
hllini mahid etmk olar.
Misal 2. Obyektin tnliyi giri-x modeli klind verilmidir:
u5y40y18y10 . (16)
Xarici tsiri u=0 qbul edib, dayanql (11) rtin sasn
yoxlayaq:
.2,1,0)(lim )1(
kty kt
kil 7-d hllin y(0) = 0.5, 1)0(y balanc rtlrind
Matlab proqram v t=20 s. qiymtind y(t), y'(t) qrafiklri
gstrilmidir.
-
24
kil 7. Dayanqln giri-x modeli sasnda tyini
0)(lim
ty
t v 0)(lim
ty
trtlri dnildiyindn baxlan
obyekt dayanqldr. Obyektin dayanql (rqsi dayanql) olmas
vizual olaraq y(t) qrafikindn aydn grnr.
Misal 3. ndi (16)-ya uyun
-
25
40s18s10
5)s(W
2
trm funksiyasndan istifad edib ki funksiyas (t)-ni
impulse() funksiyasnn kmyi il alaq. Bu funksiya sfr y(0) = 0, 0)0( y balanc rtlrind giri vahid impuls u=(t)
(u=dirac(t)) olduqda alnan reaksiyan, yni y(t)-ni hesablayr.
kil 8-d MATLAB proqram v (t) qrafiki gstrilmidir.
kil 8. Dayanqln cki funksiyas sasnda tyini
Grndy kimi, fundamental (1)
0828.3dt|)t(|I0
rti dnildiyindn obyekt dayanqldr. Dayanqlq (t)-nin
qrafikindn d aydn grnr.
Misal 4. Obyektin srbst hrkti:
.x6x2x4x
,x7x6.0xx
,x2xx
3213
3212
321
Bu halda
-
26
624
76.01
210
A .
x(t) hllini x(0) = (0,0.5,1)T balanc rtlrind lism()
funksiyasnn kmyi il alaq.
kil 9-da Matlab proqram v xi(t) hllinin qrafiklri gst-
rilmidir.
kil 9. Tnliklr sistemi klind verilmi
obyektin dayanqlnn tyini
Qrafikdn grndy kimi btn hllr sfra yaxnladndan
obyekt dayanqldr.
Yuxarda baxlan suldan istifad etmk n obyektin
differensial tnliyini analitik v ya ddi sul il hll etmk tlb
olunur.
-
27
4. Qeyri-xtti sistemlrin dayanqlnn birinci yaxnlama tnliyi sasnda tyini.
Lyapunovun 1-ci sulu (1892) -
. - , . - . Mvafiq teorem A.M. Lyapunovun 1892-ci ild yekunladrd dissertasiyasnn birinci
hisssind rh edilmidir [1] .
(xttildirilmi tnlik). , - avtonom :
),,,(fdt
dn21i
i xxxx
, n,1i (17)
ix . -
0i x 0)0(fi . ,
(17) 0x -
. siiiz xx
six -
.
, ),,,(f n21i xxx H|||| x
. H , (17) .
- ),,,(f n21i xxx 0x -
:
),,,(a),,,(f n21i
n
1j
jijn21i xxxxxxx
, n,1i (18)
-
28
0
),,,(fa
j
n21iij
xx
xxx (19)
.
:
0||||
)(lim i
0||||
x
x
x.
|||| x .
(18)-i (17) , :
)(dt
dxAx
x .
n21 ),,,( xxx x ;
)a( ij , n,1j,i .
Axx
dt
d
(20)
- .
)a( ij (19) .
(19) - ( 0x ) .
Bu halda:
a) (20) xtti 0)det( AI
,
0Re i , (17) - 0)( tx
. , (17) tnliklr 0x
.
-
29
b) gr 0)det( AI kklri
irisind bir v ya bir ne
msbtdirs, 0Re i , (17) -
tarazlq 0)( tx vziyyti szdr.
c) v qalan kklr mnfidirs (17) qeyri-xtti sistemin dayanql haqqnda . - )(x
. .
1. , 0Re i ,
0x . 2. ,
, ( ) . ,
, - .
, 21 xx , 22 xx
0)1( 01 , 12 .
.
30, a-a . 3.
, .
Misal 5. .
.dt
d
,2)1(dt
d
212
2211
1
xxx
xxxx
(21)
- :
02 2131 xxx , 021 xx .
-
30
:
011 x , 012 x ; 1
21 x , 1
22 x ; 1
31 x , 1
32 x .
)0;0(
:
22111 2)1(f xxx , 212f xx
(19) :
10
21f
a1
11
111
xx
x; 2
fa
1
212
x.
1f
a1
221
x, 1
fa
2
222
x.
1
2
1
1A
01)1)(1(1
1det)det( 2
1
2AI .
j2,1 . 0Re 2,1
1- . )0;0( - -
. )1;1(B
.
1z 12111 xxx 1z 2
2222 xxx .
1z11 x , 1z22 x (21) , -
:
.zzdt
dz
,z2)4z3(zzdt
dz
212
21211
1
)0;0(
-
31
:
.zzdt
dz,z2z4
dt
dz21
221
1
0232 . : 56.01 ,
56.32 . 0Re 1 )1;1(
. )1;1(
.
1z 13111 xxx , 1z 2
3222 xxx . -
, - . , .
10-a . , B, C ,
.
Misal 6. , 0x .
211 cos1
dt
dxx
x , 2
21
2
dt
dxx
x .
kil 10
, 01 x , 02 x 0)0(f)0(f 21
-
32
. .
10
sin1f
a2
21
111
xx
x, 0
0sin
fa
22
1
212
xx
x,
00
2f
a1
11
221
xx
x, 1
fa
2
222
x.
1
0
01A
11
dt
dx
x , 2
2
dt
dx
x .
0)1(0
01 2
1 . 121 .
,
0Re 2,1 0x
.
5. Lyapunovun 2-ci sulu. mumi hal
Lyapunovun ikinci sulu (byklkd dayanqlq). Bu sulun ideyas beldir. gr sistemin x(t) trayektoriyas zr dyin
msbt myyn V(x1, x2, , xn) funksiyas mvcuddursa v bu
funksiyann zamana gr trmsi (srt) mnfidirs dV/dt < 0,
onda sistemin eneryisi azalr v o t halnda tarazlq nqtsin dr. Bu lamt sistemin dayanql olmasn xarakteriz edir.
V(x) funksiyas energetik funksiya olub Lyapunov funksiyas adlanr. Dayanqlq is V(x)-nin tyin oblast byk olduundan
byklkd dayanqlq adlanr. Frz edk ki, avtonom (stasiotar) obyektin srbst hrkti
aadak qeyri-xtti differensial tnlikl yazlr:
-
33
.)0(),( 0xxxfx
dt
d (22)
Burada T
nT
n fffxxx ),...,,(,),...,,( 2121 fx mumi halda
qeyri-xtti vektor funksiyasdr.
V(x) Lyapunov funksiyasnn zamana gr trmsini
mrkkb funksiya kimi (V - x - dan, x is t -dn asldr) alaq.
Onda
)(1
xfx
Tn
i
i
i
V
dt
dx
x
V
dt
dV
. (23 )
Mslnin qoyuluu. El msbt myyn Lyapunov
funksiyas semk tlb olunur ki (gr bel funksiya
mvcuddursa) onun trmsi mnfi myyn funksiya olsun.
Yni dV/dt < 0 rti dnilsin. Bu halda (22) obyekti byklkd
asimptotik dayanql olacaqdr.
Trif 1. Qeyri-xtti (22) sisteminin qlobal asimptotik dayanql olmasnn kafi rti aadak xasslr malik olan
Lyapunov funksiyasnn mvcud olmasndan ibartdir:
1. V(x) funksiyas mrkzi koordinat balancnda olan
qapal B = }||:||{ bRn xx oblastnda ksilmz birinci trtib
trmy malik olmaldr.
2. V(x) funksiyas msbt myyn funksiya olmaldr, yni B
oblastnn btn nqtlrind V(x) > 0 koordinat balancnda is
V(0) = 0 olmaldr. Msln, V = 2221 xx .
3. V(x) funksiyasnn zamana gr trmsi (23) mnfi
myyn funksiya olmaldr. Yni B oblastnda dV/dt < 0
koordinat balancnda is 0)0(V rti dnmlidir.
Bellikl, dayanqlq V(x) funksiyasnn trmsinin iarsin
gr myyn olunduundan Lyapunovun 2-ci sulu sad olub
sasn qeyri-xtti obyektlrin dayanqlnn tyin olunmas n
-
34
geni istifad olunur. Burada yegan tinlik mxtlif tipli
sistemlr n V(x) Lyapunov funksiyasnn seilmsidir.
kil 11-d n = 2 hal n V(x) funkiyasnn kli (a) v onun
dayanql sistemin x(t) traektoriyas zr dyimsi (b)
gstrilmidir.
kil 11. Lyapunov funksiyasnn hndsi tsviri v onun sistemin trayektoriyas zr dyimsi
6. Xtti sistemlrin dayanqlnn
Lyapunovun 2-ci sulunun kmyi il tyini Bu halda avtonom obyektin srbst hrkti aadak xtti
differensial tnlikl yazlr:
.)0(, 0xxxx
Adt
d (24)
Xtti v bzi qeyrixtti sistemlr n Lyapunov funksiyas
msbt myyn kvadratik formada qbul olunur:
-
35
n
i
n
jijij
T xqQV1 1
xx . (25)
Burada Q = (qij) - msbt myyn simmetrik matrisadr, qij =
qji v ya QT = Q.
Lyapunov funksiyasnn zamana gr trmsi:
.
)(
xxxxxx
xxxxxxxxx
QAQAQAQA
QAQAAx
Q
dt
Qd
dt
dV
TTTTT
TT
TTT
(26)
Grndy kimi yeni kvadratik forma alnmdr.
Mslnin qoyuluu. El msbt myyn simmetrik Q
matrisi tapmaq tlb olunur ki, (gr bel matris mvcuddursa)
dV/dt < 0 fundamental rti dnilsin. Bu (10) obyektinin qlobal
asimptotik dayanql obyekt olmasna dlalt edir.
fad (26)-d mtriznin daxlindki ifadni (-P) il iar edk:
ATQ + QA = -P. (27)
P msbt myyn matris olarsa (26)- sasn
dV/dt = - xTPx < 0
trmsi mnfi iarnin hesabna mnfi myyn funksiya
olacaqdr.
Tnlik (27) Lyapunovun cbri matrisi tnliyi adlanr.
Mslnin hlli. vvlc msbt myyn simmetrik P matrisi
seilir. Msln, sadlik n vahid matris klind, P = I. Sonra
(27) Lyapunov matris tnliyi obyektin mlum A qiymtind hll
edilib Q matrisi tyin edilir. gr msbt myyn hll
mvcuddursa, onda (19) sistemi dayanqldr. P = I olduundan Q
hlli simmetrik matris klind alnr. Matlabda (27) Lyapunov
tnliyini hll etmk n lyap() funksiyasndan istifad olunur.
-
36
Matrisin msbt myynliyini aadak sullar il tyin etmk
olar:
a) mxsus i qiymtlrinin tyin edilmsi. Msbt myyn
matris n bunlarn hqiqi hisslri msbt olmaldr, Re(i) > 0.
Mlum olduu kimi i
det(I Q) = 0 (28)
xarakteristik tnliyinin kklridir.
b) Silvester rtin sasn diaqonal minorlor (tyinedicilri)
n,...,2,1k,
q...q
...
q...q
kk1k
k111
k (29)
sfrdan byk olmaldr, yni k > 0 rti dnilmlidir.
Frz edk ki, kvadratik forma
32
2221
21 22)( xxxxxV x
klind verilmidir.
Uyun matris yazl:
3
2
1
321
100
021
011
),,()(
x
x
x
xxxV x .
Bu halda simmetrik Q matrisi:
100
021
011
Q .
-
37
Bu matris n (28) xarakteristik tnliyi:
.0)13)(1(
100
021
011
det
100
021
011
00
00
00
det
2
Buradan, 1 = 1, 2 = (3 + 5 )/2, 3 = (3 - 5 )/2.
Hr kk I > 0 olduundan Q matrisi v ona uyun
kvadratik forma msbt myyndir: V(x) > 0.
Msbt myynliyi ikinci sul il yoxlayaq. Bu halda
01
100
021
011
,0121
11,01 321 .
Btn minorlar n k > 0, k = 1,2,3 rtinin dnilmsi
baxlan kvadratik formann msbt myyn funksiya olmasn
gstrir.
Matlabda matrisin determinant det([1 1 0; 1 2 0; 0 0 1])
mxsusi qiymtlri is eig([1 1 0; 1 2 0; 0 0 1]) funksiyalarnn
kmyi il hesablanr.
Misal 7. Hamar qeyri-xttiliy malik olan bir trtibli sistem baxaq:
dx/dt=-x + ax3, a > 0.
Bu tnlik n stasionarlq rti: -x + ax3 = 0. Bu tnliyi hll
etsk tarazlq nqtlrinin koordinatlarn taparq:
x1s = 0, x2s = a-1/2
, x3s = -a-1/2
.
-
38
Lyapunov funksiyas kimi aadak msbt myyn
funksiyan qbul edk:
V(x) = 2
1x
2.
Bu funksiyann (23) ifadsin sasn trmsi:
dV/dt = x(dx/dt) = -x2 + ax
4.
dV/dt < 0 dayanqlq rti x-in yalnz ax2 < 1 brabrsizliyini
dyn qiymtlri n dnilir. Bu qiymtlr kiik olduundan
koordinat balanc x = x1s = 0 lokal asimptotik dayanql
nqtdir. Demli baxlan sistem |x0| < 1/ a balanc rtlrind
dayanqldr.
ndi sistemin dayanqln x2s = a-1/2
tarazlq nqtsinin kiik
trafnda tdqiq edk.
Bu halda
22/12
S2 )ax(2
1)xx(
2
1)x(V .
Mvafiq trm:
dV/dt = ax(x + a-1/2
) (x - a-1/2
)2.
Sonuncu vuruq msbt myyn funksiya olduundan iarni
tyin etdikd onu nzrdn atmaq olar. Bundan sonra, aydn
grnr ki, x = x2S = a-1/2
nqtsinin kiik trafnda dV/dt >
0 olduundan sistem bu trafda dayanqszdr.
Misal 8. kil 12-d gstrilmi xtti ATS-in dayanqln tdqiq edk.
kil 12. ATS-in struktur sxemi
-
39
Uyun tnlik:
.xxdt/dx
,xxdt/dx
212
211
Burada
11
11A . P = I =
10
01 vahid matris qbul
edib (27) Lyapunov tnliyini trtib edk:
10
01
11
11
qq
qq
qq
qq
11
11
2221
1211
2221
1211. (30)
q12 = q21 olduundan q11, q12, q22 dyini tapmaq kifaytdir.
Matris (30) tnliyini aaq. Onda
2q11 + 2q12 =1,
q11 - 2q12 q22 =0,
- q12 + 2q22 = 1.
Alnm xtti cbri tnliklr sisteminin hlli: q11 = 0.5, q12 = 0,
q22 = 0.5 Bellikl axtarlan matris
5.00
05.0Q
msbt myyn matris olduundan baxlan ATS asimptotik
dayanqldr.
7. Lyapunov tnliyinin Matlabda hlli
Matris cbri tnliklri hll etmk n Matlabda xsusi
funksiyalar mvcuddur.
Q = lyap(A,P) funksiyas
ATQ + QA + P = 0
-
40
klind olan Lyapunov tnliyini hll etmy imkan verir. Burada
A, P eyni ll verilmi kvadratik matrislrdir. gr P simmetrik
matris klind verilrs, msln, P = I vahid matris klind,
onda axtarlan Q matrisi d simmetrik matris klind alnacaqdr.
P-nin vahid matris klind verilmsi sistemin dayanqlna v ya
dayanqszlna xll gtirmir.
Misal 9. Aadak tnlik il verilmi obyektin dayanqln lyap(A,P) funksiyasnn kmyi il yoxlayaq:
x11
14.5dt/dx
.
10
01IP - qbul edk.
Aada mvafiq Matlab proqram v hll (Q matrisi) gst-
rilmidir.
Hll
4463.00537.0
0537.01025.0Q
simmetrik matris klind alnmdr.
-
41
Bu matrisin mxsusi ddlri =eig(Q) funksiyasnn kmyi
il tyin olunmudur. 1 = 0.0943 > 0, 2 = 0,4545 > 0 olduundan
Q msbt myyn matrisdir v demli mvafiq sistem
dayanqldr. Qeyd edk ki, Q matrisinin mxsusi ddlrini
yoxlamamaq da olard. Cnki P=I olduundan hll mvcuddursa,
o hkmn simmetrik klind alnacaqdr. Yuxarda deyildiyi
kimi bel matris msbt myyn matrisdir!
Sistem dayanqlq srhddind v ya dayanqsz olarsa,
msln
.2,11
11;2,0,
11
112,121
AA
qiymtlrind, Lyapunov tnliyinin hlli mvcud deyil. Bel
hallarda proqramm hllin olmamas haqqnda ??? solution does
not exist or not unique mlumatn verir. Bu ntic baxlan
obyektin dayanqsz (v ya dayanqlq srhddind) olmasn
gstrir.
Problem. 2- . , . . , - . - . - - - .
-
42
8. Xtti sistemlr n Lyapunov funksiyasnn trtib olunmas
() :
.
............................................
,
,
nnn22n11nn
nn22221212
nn12121111
aaadt
d
aaadt
d
aaadt
d
xxxx
xxxx
xxxx
:
xx
Adt
d . (31)
)a(A ij nn - .
0),,,( n21 xxx x , -
. :
n
1i
n
1j
jiijq)(V xxx , j iij qq (32)
xxx Q)(V . (33)
)q(Q ij nn - .
(33) , )(V x -
, ,
, , 0i -
-
43
. , -
. , i
0|Q|)Qdet( II (34)
. ( ) i ()
() . . :
0q111 , 022
12
21
112
q
q
q
q,, .0|| Qn (35)
.)( xxx
xQAQA
d
dV
dt
dV
(36)
, .
)QAQA( P (37)
( )QAQA( -
) , )(V x
2- (31) . (37) . - , ( ), , . . ( IP
-
44
) (37) . , , .
2/)1n(n .
.
3 . (32) , Axx (, 0x
) .
10. , (27) :
.354)( 222121 xxxxV x
:
.3
2
3
4)()(
2
121
x
xx,xV x
3
2
3
4Q . 1 , 2
04 , 063
2
3
4
.
11. , :
211 2
dt
dxx
x , 21
2
dt
dxx
x .
1
1
1
2A .
1
0
0
1P -
, (37) :
-
45
1
1
1
2
22
12
21
11
q
q
q
q
22
12
21
11
q
q
q
q
1
1
1
2=
1
0
0
1
2112 qq :
1q2q2 1211 ,
0qq3q 221211 ,
1q2q2 2212 .
: 5.0q11 , 0q12 , 5.0q22 .
,
5.0
0
0
5.0Q
. , .
9. Qeyri-xtti sistemlr n Lyapunov funksiyasnn trtib olunmas
- . -. - . .
.dt
d
,dt
d
31
2
2212
1
xx
xxxx
13- .
-
46
13.
:
2222
4111 qq)(V xx x .
)(q2)(q4)(V 31222212
3111 xxxxx x
.
4/1q11 , 2/1q22 : 22
41)(V xxx
.
0)(V x ,
. . . :
nnn22n11n
nn2222121
nn1212111
n
2
1
V
V
V
)(V
xxx
xxx
xxx
x
x
x
.................................. ...
x (38)
- (23) :
-
47
)(VV)(V xfxx . (39)
)(V x
:
.
n
0
n1n21n2
0
212
1
0
11
0
n2
1
d),,,,(Vd)0,,0,,(V
d)0,,0,(VdV)(V
xx
x
xxxx
xxx
(40)
. 12. :
.
,
3122
21
xxx
xx
2n (38)-
222121
212111)(V
xx
xxx
(39)- 21f x , 3122f xx
.)()(
))(()()(V
22122221
21222111
4121
3122221212212111
xxxxx
xxxxxxx
x
ij , V
, 0)(V x , 0),( 21 xxx 0)0(V -
. 021 , 1222 21xx 21222111 x ,
. 22112 , 222
. 2111 22 x .
412V x .
-
48
21
2311
22
222)(V
xx
xxx
x
(40)-
2221
21
412
0
211
0
311 22
1d)22(d)2(V
21
xxxxxx
xx
.
, . :
41 5.0Q)(V x xxx .
1
1
1
1Q 11 , 02
, 0Q xx .
, 05.0 41 x ,
. , 2-
0x .
, 1222 4
2241 22V xx .
41Q)(V x xxx .
2
1
1
1Q , 011 , 012 -
.
13. ( ) . - - - :
-
49
3
dt
dxx
x .
0x , 1x . 0x .
2V x . 42 22V xx . V 0x
, V 1|| x . -
, 11 x .
, 1|)0(| x
0x .
V V - . V - .
42 5.0V xx .
2)(2V xx x
. V - , -
. 42 5.00 xx : 5.0 ,
1|| x . ,
11 x .
)(0, -. ..
1950- ),0( ),0( ,
I,III - .
14- )( - -
.
-
50
kil 14
- :
0)( 0 , (41)
0)0( 0 . (42)
, -- (42) -.
15- .
15
.
1 () - . : )s(W ,
)s(H , )s(G - 21 cc
)s(W
16- .
-
51
kil 16
:
BuA xx , (43) )(u ,
xc ,
1y x .
n21 ),,,( xxx x - ; u
; ; n21 ),,,( -
; )( -
; y .
0)( , 0 ,
0)0( , 0 xx -
0x . , 0x
, (43) - , . (38) . , :
buyayay 21 .
y1 , y2 , -
:
.buaa
,
21122
21
(44)
, - : )(u , yg . 0g
1y x )(u 1x . 1x . (44)-
-
52
:
.y
,)(baa
,
1
121122
21
(45)
17- .
17.
(43) )( -
:
0
d)(Q),(V xxx
(46)
, 0 . (41), (42)
0d)(0
.
.
(46) , 0),(V x , 0x , 0)0(V .
x constc),(V x
.
(43)- ),(V x
, 0),(V x , 0x , 0)0(V .
-
53
(46)- ),(V x :
; )()(
)d)(()Q(),(V
x
0
xx
xxx
(47)
.
,
,
)](BA[cc
QBQBP
QAQAP
x
xx
xx
(48)
V c
.
0),(V x .
, ),(V x
- )( -
. (41), (42) - .
14. 18-
)1Ts(s
b)s(Wx
(- ) )( -
- .
18
-
54
() :
buyyT .
y1 , y2 ,
:
.y
,uT
b
T
1
,
1
22
21
, - , )( .
yg 0g 1y . - -
, )(u 1 . -
, 1 , , )0,1( .
:
.)(T
b
T
1
,
122
21
T/1
1
0
0 ,
T/b
0B , )0,1( .
2/1
0
0
0Q , (46)-ya
:
1
0
22 d)(2
1V
x
x .
(47)
. ,P xP (48)- :
-
55
T/1
1
0
0P , 2x T
bP x , 2x .
, (48)
. 1x
: 21 xx .
,
)()(T
b
T
1V 1212
22 xxxxx
.
T
k , 0
T
1V 22 x . V
, -
0),( 21 xxx -
.
10. V.M. Popovun mtlq dayanqlq kriterisi (1960 c il)
- , , , -. . - - . - . , -
( ) . )( - (-
) .
-
56
. , 11u
22u )(u - -
.
21 )(
21)(
, 210 .
)( - ; 21,
.
19- ],[M 21
- .
, 1 , 2 - -. - )( -
],0[ -
, 12 .
10 )()( (49)
.
)(0 0 , 0 , 0 .
20, - , - .
kil 19
-
57
20
)( - () -
, , -, . , . , - -
)(0
- ()
)s(Wx
() . - 21- -. , - ,
)s(Wx
. .. 1959- - ( ) -
kil 21
-
58
. - - . : ],0[
)(0 0 )(0 -
( ) 0 q ,
01
)(Pq)(Q
(60)
. . - q , 0 . )(Q
)(P )j(Wx
.
)(jP)(Q)j(Wx (61)
(60) .
(60)- :
)(Q)(Q , )(P)(P (62)
:
01
)(qP)(Q
(63)
, :
)(jP)(Q)j(W x (64)
:
-
59
q
1)(Q
q
1)(P
(65)
(65), )jP,Q( Q
)0j;/1( q/1 (
)q/1(arctg ) .
.
. (63) . ,
(60) . q -
)(Q )(P
0 - ( ) .
)0j;/1( ,
. q/1 .
, -.
22-, , -
. .
22
-
60
, , - - . , q
, - -
min
.
15. -
- )s(Wx -
- .
- ( 23,) )( 01
(49) . )(
.
23
- /k2 , )- 2/k .
)(0 23, - -
12M
(, 24).
-
61
24
, 25- .
25
gxW .
, . )0j;/1(
k 2 . k
- .
-
62
11. Xtti sistemlriin dayanqlnn xarakteristik tnliyin kklri sasnda
tyini. Kklr sulu Differensial tnliyn hlli myyn tinliklrl laqdar olarsa
dayanql tyin etmk n obyektin (sistemin) xarakteristik
tnliyindn istifad etmk olar.
Xatrladaq ki, xarakteristik tnlik obyektin
01
10
01
10
...
...
)(
)()(
asasa
bsbsb
sD
sMsW
nn
mm
(66)
trm funksiyasnn mxrcindki polinomu sfra brabr
etmkl alnr:
D(s) = a0sn
+ a1sn-1
+ + a0 = 0. (67)
Dayanqlq u = 0 U(s) = 0 halnda srbst hrkt il tyin
edildiyindn srtdki polinom M(s) = 0 olur v dayanqla tsir
etmir.
Obyektin tnliyi vziyyt modeli
dx/dt = Ax + Bu,
y = Cx + Du
klind verilrs xarakteristik tnlik:
D(s) = det(sI A) = 0. (68)
Xarakteristik tnliyi MATLAB-da poly(A) funksiyasnn
kmyi il almaq olar.
Dayanqln zruri rti. Obyektin (ATS-in) dayanqlnn
zruri rti onun xarakteristik tnliyinin btn ai msallarnn
sfrdan byk olmasdr: ai > 0.
Trif. Xtti sistemin dayanql olmasnn zruri v kafi rti onun xarakteristik (67) (v ya (68)) tnliyinin btn si
kklrinin hqiqi hisslrinin sfrdan kiik olmasdr. Yni
-
63
Re(si) < 0 (69)
rti dnilmlidir.
Vziyyt modelind (68) xarakteristik tnliyinin kklri A
matrisinin mxsusi qiymtlri v ya xarakteristik ddlridir. Bu
halda obyektin dayanql olmas n A matrisi Hurvis matrisi
olmaldr. Bel matrisin mxsusi qiymtlri Re(si) < 0 rtini
dyir.
Hndsi baxmdan dayanql sistemin btn si kklri kklr
mstvisinin (S-mstvi) sol trfind yerlmlidir. Bel kklr
sol kklr adlanr.
kil 26-da kklrin S-mstvisind paylanma sxemi
gstrilmidir. s1 v s4 kklri hqiqi kklrdir.
kil 26. Xarakteristik tnliyin kklrinin paylanma sxemi
Trifi sad kklr n isbat edk. Xatrladaq ki, sad kklr
tkrarlanmayan (sfr, hqiqi, kompleks-qoma) kklrdir. Bu
halda obyektin srbst hrkti (tnliyin u = 0 halnda hlli)
aadak kild yazlr:
tS
n
tS
2
tS
1sn21 eC...eCeC)t(y . (70)
C1, C2, , Cn - balanc rtlrdn asl olan msallardr.
Msln, 0y2y3y tnliyin uyun xarakteristik tnliyin
-
64
kklri s1 = - 1, s2 = - 2; y(0) = 1, 1)0(y balanc rtlrind
hll: ys = 3exp(-t) 2exp(-2t). Burada C1 = 3, C2 = - 2.
fad (70)-dn grndy kimi 0)t(ylim st
asimptotik
dayanqlq rtinin dnilmsi n btn Citsie toplananlar
(harmonikalar) sfra yaxnlamaldrlar, yni zaman t
yaxnlaanda snmlidirlr.
1. Hqiqi kklr. si = i hqiqi kklr t
iiieCy
toplananlar
uyun glir. Bu toplananlar yalnz i < 0 olduqda sfra
yaxnlarlar. i > 0 olduqda sonsuz artr, i = 0 halnda is
constCeC it0
i sabit qiymt alr (aperiodik dayanqlq
srhddi).
kil 27, a-c yuxardak hallar gstrilmidir.
a) b) c)
kil 27. Hqiqi kklr uyun gln toplananlar
2. Qoma kompleks kklr. s1 = + j, s2 = - j
kklrin uyun gln ts11eC v ts2
2eC toplananlar qoa-qoa
toplanaraq harmonik hll yaradr:
))tsin(C)tcos(C(e)t(y 21t
1 .
21 C,C balangc rtlrdn asl olan sabitlrdir. Hll n
hqiqi ifad almaq n jbaC 2,1 vuruqlar qoma-kompleks
olmaldr.y1(t)-d ikinci vuruq tezlikli snmyn rqslr yaradr.
Bu rqslrin snmsi, artmas v ya amplitudunun sabit qalmas
et
vuruundan, daha dorusu kkn hqiqi hisssi -dan asldr.
-
65
Harmonik toplananlar yalnz < 0 olduqda snr, yni bu
toplanan n asimptotik dayanqlq rti dnilir, > 0 olduqda
artr, = 0 olduqda is sabit qalr (rqsi dayanqlq srhddi).
kil 28, a-c-d yuxardak hallar gstrilmidir.
a) b) c)
kil 28. Qoma-kompleks kklr uyun gln toplananlar
Bellikl, hqiqi v qoma-kompleks kklri birldirn (70)
hllinin asimptotik dayanqlq rtini dmsi n (68)
xarakterstik tnliyin btn si kklrinin hqiqi hisslri sfrdan
kiik olmaldr, yni (69) Re(si) < 0 v ya i
-
66
b) Rqsi dayanqlq srhddi. Bzi kklr srf xyali kk si=ji olub ordinat oxunda yerlir. Digr kklr is dayanql
kklrdir (hqiqi v qoma-kmpleks ola bilr). Msln:
.)1s4.0s)(2s(
5W;
)1s2)(1s4)(1s(
2W
222
Xarakteristik tnliyin kklri: s1,2=j1, s3=-, s4=-;
s1,2=j 2 , s3,4=-0.2j0.98. kil 29,a v b-d dayanqlq srhddind olan neytral
obyektlr n kklrin paylanma sxemi gstrilmidir.
a) b)
kil 29. Neytral sistemlrd kklrin paylanma sxemi
a) aperiodik dayanqlq srhddi b) rqsi dayanqlq srhddi
kil 30,a v b-d aperiodik (a) v rqsi (b) dayanqlq
srhddind olan obyektlrin aadak
.1s
1W;
)1s(s
1W
2
trm funksiyalar n faza portretlri gstrilmidir.
-
67
a) b)
kil 30. Neytral obyektlrin faza portretlri
Faza traektoriyalar mxtlif balanc rtlrd v srbst
hrkt almaq n giriin sfr u=0 qiymtind alnr.
Birinci halda balanc vziyytdn asl olaraq
trayektoriyalar aperiodik olaraq (trmsinin iarsi dyimdn)
absis oxunda yerln tarazlq nqtlrin yaxnlar (kil 30,a),
ikinci halda is snmyn rqslr edir (kil 30,b).
11.1. MATLABda realizasiya
Obyektin v ya ATS-in dayanqln kklr sulu il tyin
etmk n onun xarakteristik D(s)=0 tnliyinin kklrini tapb
hqiqi hisslrin sfrdan kiik olmas, yni Re(si)
-
68
yerlmsi maraqlandrr. Obyektin tnliyi vziyyt modeli dx/dt
= Ax +Bu kild verilrs, A matrisinin mxsusi ddlrini
(D(s)=0 xarakteristik tnliyinin kklri) tyin etmk kifaytdir. Bu
mqsdl eig(A) funksiyasndan istifad olunur.
Misal 16. Obyektin trm funksiyas verilmidir:
50s176s3.6s05.7
50s300)s(W
23
.
Kklr sulu il dayanql tyin edk.
kil 31-d D(s) = 7.05s3+6.3s
2 + 176s + 50 = 0 xarakteristik
tnliyinin kklrinin taplmas pole(W), kklrin paylanma sxemi
is pzmap(W) funksiyasnn kmyi il qurulma proqram
gstrilmidir.
kil 31. Dayanqln xarakteristik tnliyin kklrin sasn tyini
-
69
Grndy kimi, D(s) = 0 xarakteristik tnliyinin hr
kknn hqiqi hisssi Re(si) < 0 rtini ddiyindn obyekt
dayanqldr. Sxemd qtblr x, sfrlar is iarsi il qeyd
olunmudur. Sfrn sol v ya sa kk olmasnn dayanqla tsiri
yoxdur.
Misal 17. Aadak vziyyt modeli il verilmi obyektin dayanqln kklr sulu il yoxlayaq:
dx1/dt = x1 x2,
.u3xx4dt/dx 212
Burada
14
11A , .
3
0
B
Xarakteristik tnliyin kklrini tapaq. (28) ifadsin sasn bu
tnlik:
.032
14
11det
14
11
0
0det)det(
2
ss
s
s
s
sAsI
Bu halda kklr s1 = 3, s2 = -1. Re(s1) = 3 > 0 olduundan s1
kk sa kkdr. Bu sbbdn baxlan obyekt dayanqszdr.
Aada A matrisinin mxsusi ddlrinin tyin olunmasnn
Matlab proqram gstrilmidir.
Grndy kimi, alnm qiymtlr xarakteristik tnliyin
kklri il eynidir.
-
70
kil 32-d x0 = (1,1)T balanc rtind hllin Simulink
sxemi (a) v x1(t), x2(t) qrafiklri (b) gstrilmidir.
a)
b)
kil 32. Hllin Simulink sxemi
Zaman artdqca hr iki hllin sonsuzlua yaxnlamas
obyektin dorudan da dayanqsz olmasn gstrir.
Neytral obyektlr. kil 33-d mxtlif balanc
vziyytlrd v srbst hrkt almaq n sfr u=0 giriind
neytral obyektlrd y(t) keid proseslrini almaq n Simulink
sxemi (a) v uyun keid proseslri gstrilmidir: b) aperiodik
dayanqlq srhddind olan, c) rqsi dayanqlq srhddind olan
obyektlr n.
Modelldirm zaman aperiodik dayanq srhddind olan
obyekt kimi
xxo
u=0B
A
Scope
1
sxo
Integrator
[0;3]* uvec
Gain1
[1 -1;-4 1]* uvec
(1 1)
0
Constant
-
71
.T/1s,0s,)1T(s
K)s(W 21
rqsi dayanqlq srhddind olan obyekt kimi is
,T/1s,)1sT(
K)s(W 12.12
1
trm funksiyalar qbul olunmudur, .1,1,1 1 sTsTk
a)
b) c)
kil 33. Neytral obyektlrd keid proselri
Balanc rtlri daxil ed bilmk n uyun vziyyt
modelindn isitifad olunmudur.
Sad Matlab funksiyas. Matlabda dayanqln tyin
olunmasnn n sad sulu isstable (sys) funksiyasdan istifad
etmkdir.Burada sys (sistem) trm funksiyas sys= W (s) v ya
vziyyt modeli sys=ss(A,B,C,D) klind verul bilr: 1
(dayanql); 0 (dayanqsz v ya dayanqlq srhddi (neytral
obyektlr)).
-
72
Misal 18. trm funksiyas
1s4s3s2s
3s2s)s(W
234
2
olan obyektin dayanqln yoxlayaq.
Aada mvafiq Matlab praqram v ntic gstrilmidir.
Nticdn grndy kimi baxlan obyekt dayanqldr.
ndi d vziyyt modeli il verilmi obyekt baxaq:
.5.0
,
212
21
xxx
xx
Burada .0,0,0,5.01
10
DCBA
Aada mvafiq Matlab praqram v ntic gstrilmidir.
-
73
Baxlan obyekt dayanqszdr. Buna sbb 1s5.0s)s(D 2
xarakterteristik tnliyind mnfi msaln lmasdr. Mlum olduu
kimi, bu dayanqln zruri rtinin pozulmas demkdir.
Rqsi dayanqlq srhddind olan )1s/(1)s(W 2 obyekt
baxaq.
Aada mvafiq Matlab praqram v ntic gstrilmidir.
01s0s)s(D2 xarakteristik tnliyind msaln biri sfr
olduundan neytral obyekt d dayanqsz obyekt kimi tqdim
olunur.
-
74
Blm 2
DAYANIQLIQ KRTERLR
2.1. Cbri dayanqlq kriterilri
Avtomatik idaretmd dayanql tyin etmk n
dayanqlq kriterilrindn (meyar) d geni istifad olunur.
Aadak kriterilrl tan olacaq:
1. Cbri dayanqlq kriterilri; 2. Tezlik dayanqlq kriterilri.
Birinci halda dayanql tyin etmk n obyektin xarakteristik
tnliyin msallarndan, ikinci halda is tezlik
xarakteristikalarndan istifad olunur.
1. Hurvis dayanqlq kriterisi
Bu kriteri 1895-ci ild alman riyaziyats A.Hurvis trfindn tklif olunmudur.
Adolf Hurvis (1859-1919)
-
75
Burada kklr sulundan frqli olaraq xarakteristik tnliyi hll
edib onun kklrini tapmaq lazm glmir. Dayanqlq yalnz
xarakteristik tnliyin ai, i = 0, 1, , n msallar arasndak
myyn mnasibtlrin yoxlanlmasna saslanr.
Kriteridn istifad etmk n obyektin (v ya ATS-in) xarak-
teristik polinomu mlum olmaldr:
D(s) = a0sn + a1s
n-1 + + an. (1)
Frz olunur ki, dayanqln zruri ai > 0 rti dnilir.
Dayanql tyin etmk n bu polinomun msallarndan xsusi
matris trtib olunur:
na
aaa
aaaa
aaaa
H
....0000
00
0
0
531
6420
7531
. (2)
Matrisin trtib olunma qaydas. Matrisin ba diaqonal zr
soldan saa doru a1-dn an- qdr btn msallar yazlr. Hr bir
diaqonal elementdn yuxar qalxdqca msallarn indekslri artr,
aa ddkc is azalr. n-dn byk v sfrdan kiik indeksli
msallarn yerin sfrlar yazlr.
Trif. Obyektin dayanql olmas n ai>0 halnda H matrisi msbt myyn matris olmaldr: H > 0.
H matrisinin msbt myyn olmas (1) xarakteristik tnliyi
n vvld gstrilmi Re(si) < 0 dayanqlq rtini tmin edir.
Matrisin msbt myynliyini tyin etmk n n lverili
sul kimi aadak sullardan istifad etmk olar:
1. Silvestr kriterisi- ba minorlarn i>0 rtinin dmsi;
2. Matrisin i xarakteristik ddlrinin tyini - Re(i) > 0 rtinin dnmsi.
-
76
3. Matris msbt myyn olarsa onun det(s-H)=0 xarakteristik tnlitinin msallar sfrdan frqli v nvbln
iaryli olmaldr.
Silvestr kriterisin sasn matrisin msbt myyn matris
olmas n onun btn diaqonal (ba) minorlar ((2)-d qrq-
qrq xtl ayrlmdr) sfrdan byk olmaldr:
1 = a1 > 0, 2 = .0aaaaaa
aa3021
20
31
.0||...,,0
0
1
31
420
531
3 nnn aH
aa
aaa
aaa
(3)
Hurvis kriterisin sasn dayanql tyin etmk n (3)- sasn btn i, i = 1, 2, , n, minorlarn (determinantlarn)
hesablayb onlarn k > 0 rtini dmsini yoxlamaq kifayytdir.
vvld qeyd edildiyi kimi, Matlabda determinant
hesablamaq n det() funksiyasndan istifad olunur.
Proqrama H matrisi daxil edilib i matrislri formaladrlaraq
onlarn determinantlar hesablanr.
Xsusi hallar. n-in kiik qiymtlrind determinantlar aaraq
sad hesablama dsturlar almaq olar:
1) n = 1, D = a0s + a1, a0 > 0, 1 = a1 > 0.
2) n = 2, D = a0s2 + a1s
1 + a2, a0 > 0, 1 = a1 > 0,
2 = 0aaaa
0a21
20
1 a2 > 0.
3) .3,2,1i,asasasaD,3n 322
13
0 n = 3, ai > 0, a1a2
a0a3 > 0.
4) n = 4, ai > 0, a3(a1a2 a0a3) - 42
1 aa > 0. .4,...,1i
-
77
5) n = 5, ai > 0, a1a2 a0a3 > 0, (a1a2 a0a3)(a3a4 a2a5) -
(a1a4 a0a5)2
> 0. .5,...,1i
Grndy kimi n = 1, n = 2 trtibli obyektlr n msallarn,
n = 3 nc trtib obyektlrin is dayanql olmas n lav
olaraq orta a1, a2 msallarn hasilindn knar a0, a3 msallarn
hasilinin frqinin msbt kmiyyt olmas kifayytdir.
Hesablama baxmndan H matrisinin msbt myynliyini yoxla-
maq n onun si mxsusi qiymtlrini tyin etmy imkan vern
eig([H]) funksiyasndan istifad etmk daha lverilidir.
gr Re(si) > 0 rti dnilrs matris msbt myyn v uyun
obyekt dayanql olacaqdr.
Dayanqlq srhddi (Neytral sistemlr). Hurvis kriterisinin
kmyi il dayanqlq srhddinin xarakterini tyin etmk
mmkndr. H matrisinin sonuncu stunu tkc an elementindn
ibart olduundan n = ann-1 yazmaq olar. gr 1 > 0, 2 > 0,
, n-1 > 0 minorlar sfrdan byk v n = ann-1 = 0 olarsa
obyekt dayanqlq srhddinddir. Bu brabrlik iki halda
mmkndr:
a) Aperiodik dayanqlq srhddi, an = 0. Bu halda (1)
xarakteristik tnliyinin bir sj = 0 sfra brabr kk olur. Digr
kklrin hqiqi hisslri Re(si) < 0, i j dayanqlq rtini dyir.
n=2 n bu halda uyun gln xarakteristik tnlik
aadak kild ola bilr:
D(s)= s(Ts + 1)=0, s1 = 0, s2 = -1/T.
b) Rqsi dayanqlq srhddi, n-1 = 0. Bu halda D(s)=0
xarakteristik tnliyinin kklrindn bir ct sfr xyali s = j,
digr kklr is
a) halnda olduu kimi dayanql kklr (sol kklr) olmaldr.
Msln, n = 3 n:
D(s) = (s2 + 1)(Ts + 1) = Ts
3 + s
2 + Ts + 1 = 0,
-
78
./1,1 32.1 Tsjs
Obyektin tnliyi vziyyt modeli
dx/dt = Ax + Bu
klind verilrs xarakteristik polinom D(s) = det(sI A) kimi
tyin olunur.
1.1. MATLABda realizasiya
ki hala baxaq:
1. k determinantlarnn hesablanmas.
a) verilmi (1) xarakteristik D(s) polinomuna sasn H matrisi
trtib olunur v daxil edilir;
b) Hi = H(1:i, 1:j), i,j = n,1 - diaqonal minorlara uyun gln
matrislr formaladrlr;
c) Di = det(Hi) - diaqonal minorlar hesablanr;
d) Di > 0 rti yoxlanlb dayanqlq haqqnda ntic xarlr.
Misal 1. Obyektin xarakteristik polinomu:
D(s) = s4 + 3s
3 + 5.5s + 6s + 2.5, n = 4.
Hurvis matrisini trtib edirik:
5.25.510
0630
05.25.51
0063
H .
Mvafiq Matlab proqramm aada gstrilmidir.
-
79
Btn diaqonal determinantlar Di k > 0 olduundan H
msbt myyn matrisdir. Demli, baxlan obyekt dayanqldr.
2. H matrisinin mxsusi i xarakteristik ddlrinin
hesablanmas. Yuxarda deyiln kimi, bu mliyyat eig(H)
funksiyasnn kmyi il yerin yetirilir.
Aada mvafiq Matlab proqram gstrilmidir.
-
80
H matrisinin i mxsusi ddlri 0)Re( i rtini
ddiyindn bu matris msbt myyn matrisdir. Bu sbbdn
baxlan obyekt dayanqldr.
Grndy kimi bu sul determinantlarn
hesablanmasndan daha saddir.
2. Raus dayanqlq kriterisi
Bu cbri dayanqlq kriterisi 1877-ci ild ingilis riyaziyyats
E.Raus trfindn myyn qayda (alqoritm) klind tklif
edilmidir.
Edvard Don Paus (1831-1870)
Bu kriteridn istifad etmk n Hurvis kriterisind olduu
kimi sistemin v ya obyektin xarakteristik polinomu mlum
olmaldr:
-
81
.a...sasa)s(D n1n
1n
0 (4)
Bu tnliyin msallarndan xsusi cdvl (Raus cdvli) trtib
olunur.
Cdvlin trtib olunma qaydas. Cdvlin (matrisin)
elementlrini (cij) il iar edk, i - strin, j is stunun
nmrsidir.
1. Cdvlin birinci strin (i = 1) c11 = a0 msalndan
balayaraq ct indeksli c12 = a2, c13 = a4, msallar yazlr.
2. Cdvlin ikinci strin (i = 2) c21 = a1, c22 = a3, c23 = a5,
tk msall indekslr yazlr.
3. Sonrak strlrin elementlri aadak rekurent ifadnin
sasnda hesablanr:
,crcc 1j,1ii1j,2iij .,...2,1j,1n,...,4,3i (5)
Burada 1,1i
1,2i
ic
cr
.
Msln, i = 3, j = 1 olarsa c31 = (a1a2 a0a3)/a1.
Cdvli doldurduqdan sonra obyektin dayanql haqqnda
mhakim yrtmk olar.
Trif. D(s) xarakteristik polinomunun sa kklrinin say Raus cdvlinin birinci stunundak elementlrin iarsinin
dyimlrinin sayna brabrdir.
Demli obyektin dayanql olmas n Raus cdvlinin birinci
stunundak elementlrin iarsi eyni olmaldr: a0 > 0 olarsa, c11
> 0, c21 > 0, c31 > 0, , cn+1,1 > 0 olmaldr.
Raus cdvli aada gstrilmidir.
-
82
Raus cdvli
Aadak hallar da mmkndr.
1. gr birinci stunun sfra brabr elementi meydana xarsa
hesablamalar davam etdirmk mmkn olmur. Bu halda sfr
elementini kiik kmiyyti il vz edib hesablamalar
yekunladqdan sonra onu sfra yaxnladrb limit kemk
lazmdr. Bu vaxt bzi elementlr ola bilr.
2. Birinci stunda sfr elementinin meydana xmas obyektin
dayanqsz v ya dayanqlq srhddind olmasn gstrir.
3. Yalnz sfrlardan ibart stir meydana xarsa obyekt rqsi
dayanqlq srhddin uyun olub ordinat oxunda yerln srf
xyali kklr malik olur: s = j.
2.1. MATLABda realizasiya
Matlab proqramn trtib edrkn Raus cdvlinnin
doldurulma qaydasndan a (4.27) ifadsindn istifad
olunmudur. Xarakterstik tnliyin t v tk msallarn daxil
etdikd msallar sfra qdr tamamlamaq lazmdr. n ct
olduqda stunlarn say n tk olduqda is n 1 olur. ndeks i =
3:n+1, j = n v ya j = n - 1.
Misal 2. Obyektin xarakteristik polinomu, n = 4:
D(s) = s4 + 3s
3 + 5.5s
2 + 6s + 2.5
ri Stir,
i
Stun, j
1 2 3 4
- 1 c11 = a0 c12 = a2 c13 = a4
- 2 c21 = a1 c22 = a3 c23 = a5
r3 =
c11/c21
3 c31=c12 r3c22 c32=c13 r3c23 c33=c14
r3c24
r4 =
c21/c31
4 c41=c22 r4c32 c42=c23 r4c33 c43=c24
r4c34
-
83
Bu halda ct msallar: a0 = 1, a2 = 5.5, a4 = 2.5, a6 = 0.
Tk msallar: a1 = 3, a3 = 6, a5 = 0, a7 = 0.
Raus cdvlinin hesablanmasnn Matlab proqram aada
gstrilmidir.
Grndy kimi, cdvlin 1-ci stununun btn elementlri cij
> 0 olduundan baxlan obyekt dayanqldr.
Misal 3. Obyektin xarakteristik polinomu, n = 5:
D(s) = s5 + s
4 + 4s
3 + 24s
2 + 3s + 63.
Ct msallar: a0 = 1, a2 = 4, a4 = 3, a6 = 0.
Tk msallar: a1 = 1, a3 = 24, a5 = 63, a7 = 0.
Matlab proqramnn skripti aada gstrilmidir.
-
84
Cdvlin 1-ci stunun elementlri iarsini iki df
dyidiyindn (+1, -20, +21 - iki df) iki kk sa
yarmmstvid yerlir. Demli, obyekt dayanqszdr. Altnc
strd NaN = 0/0 qeyri myynlik alnmdr. Bu stri nzrdn
atmaq lazmdr. NaN - dd olmayan kmiyyt demkdir.
Stirlrin sayn azaldb i = 3:n qbul etsidik NaN
kmiyytindn yaxa qurtara bilrdik (yoxlayn).
Alnm nticy min olmaq n kklr sulundan istifad
edk. Kklri tyin etmk n roots([1 1 4 24 3 63]) funksiyasndan istifad edk. Aada uyun Matlab proqram
gstrilmidir.
-
85
Grndy kimi bir sol kk: s1 = -3, iki sa kk: s2,3 = 61
v ordinat oxunda yerln iki sfr xyali kk s4,5 = 3j
mvcuddur.
2.2. Tezlik dayanqlq kriterilri
Tezlik dayanqlq kriterilri avtomatik tnzimlm
sistemlrinin v obyektlrinin dayanqln onlarn tezlik
xarakteristikalar sasnda tyin etmy imkan verir.
Tezlik xarakteristikalar qrofoanalitik olub tezlik xarakteristikala-
rnn qurulmasna saslanr. Bu sbbdn sad hndsi tsvir v
yaniliy malik olduundan geni ttbiq tapmlar.
Tezlik kriterilri kompleks dyinlr nzriyysindn mlum
olan arqument prinsipin saslanr.
1. Arqument prinsipi
Frz edk ki, obyekti xarakterstik polinomu aadak kild
verilmidir:
.a...sasa)s(D n1n
1n
0 (6)
gr kklr mlum olarsa Bezu teoremin sasn bu ifadni
xtti buruqlarn hasili klind yazmaq olar:
D(s) = a0(s s1)(s s2) (s sn).
-
86
si = i ji D(s) = 0 tnliyinin kklridir. Hqiqi kklr n
i=0, srf xyali kklr n i = 0.
Tezlik oblastna kemk n s = j vzlmsini edk, , rad/s -
tezlikdir. Onda
D(j) = a0(j - s1) (j - s2) (j - sn).
zi = j - si iar etsk yazmaq olar:
D(j) = a0z1z2 zn. (7)
kil 1-d zi frq vektoru (a) v kk uyun olan z1, z2, z3
frq vektorlar (b) gstrilmidir.
a) b)
kil 1. Kklr mstvisind zi frq vektorlarnn vziyyti
Frz edk ki, (6) xarakteristik tnliyinin sa yarmmstvid
(sa kbklr) m sayda v demli sol yarmmstvid (sol kklr) n
m sayda kklri mvcuddur.D(j) kompleks kmiyytinin k
nqtsind arqumentini (bucaq ) tapaq. Kompleks kmiyytlrin
(7) hasilin arqumenti vuruqlarn arqumentlrinin (1, 2,
) cmin brabr olduundan yazmaq olar:
argD(jk) = ....)(zarg n21
n
1i
ki
(8)
-
87
ndi frz edk ki, k tezliyi - < < + intervalnda dyiir.
Bu halda n m sayda zj sol vektorlarn ucu ordinat oxu zr - -
dan +-a qdr hrkt edrk saat qrbinin ksin, m sayda z
sa vektorlar is saat qrbi istiqamtind frlanaraq rad bucaq
czacaqlar (kil 2).
kil 2. Arqument prinsipinin hndsi izahi
Saat qrbinin istiqamtind frlanman rti olaraq +, ksin
frlanman is (-) qbul etsk, yekunda yazmaq olar:
)m2n()(m)mn()j(Darg . (9)
Dstur (9) arqument prinsipinin riyazi ifadsidir.
Fiziki intervalda tezliyi 0 < + intervalnda dyidiyini
v D(j) xarakteristikasnn simmetrik olduunu nzr alsaq
nahayt yazmaq olar:
2)m2n()j(Darg
0
. (10)
-
88
2. Mixaylov dayanqlq kriterisi
Bu kriterii 1938-ci ild rus alimi A.V.Mixaylov trfindn
tklif edilmi v mahiyyt etibar il arqument prinsipinin
hndsi interpretasiyasndan ibartdir.
Bu kriteridn istifad etmk n obyektin v ya ATS-in
xarakteristik polinomu mlum olmaldr:
.a...sasa)s(D n1n
1n
0 (11)
Kklr sulundan (4.4) mlum olduu kimi, obyektin
dayanql olmas n D(s) = 0 xarakteristik tnliyinin btn
kklri sol kklr olmaldr. Yni sa kklrin say m = 0
olmaldr. Bu rti arqument prinsipinin (10) ifadsind nzr
alsaq yazmaq olar:
2n)j(Darg
0
. (12)
Bu ifad Mixaylov kriterisinin riyazi yazldr. Bu ifadnin
hndsi yozumu Mixaylov kriterisini formaladrmaa imkan
verir:
Trif. Obyektin dayanql olmas n tezlik 0 < +
intervalnda dyidikd D(j) vektoru koordinat balancnn
trafnda saat qrbinin ksin frlanaraq ardcl olaraq n
sayda kvandrant (rb) kemli v sonuncu kvandrantda
sonsuzlua getmlidir.
Bir kvadrant /2 v ya 90, n - obyektin trtibdir. Kriteridn
istifad etmk n D(j) vektorunun ucunun czd yrini qurub
onun yuxardak trfi dyib-dmmsini yoxlamaq lazmdr. Bu
yri Mixaylov qodoqraf adlanr.
Qodoqrafn tnliyini almaq n D(s)-in (11) ifadsind s = j
vzlmsi edib onu hqiqi v xyal hisslr paralamaq
lazmdr. Onda:
D(j) = a0(j)n + a1(j)
n-1 + + an = X() + jY(). (13)
-
89
Burada hqiqi hiss:
X() = an an-22 + an-4
4 - (14)
Xyali hiss:
Y() = an-1 an-33 + an-5
5 - (15)
D(j) qodoqrafn qurmaq n (14) v (15) ifadlrind
tezliyin 0-dan balayaraq qiymtlr verrk X() v Y()
kmiyytlrini hesablamaq lazmdr.
kil 3,a-da n-in mxtlif qiymtlri n dayanql obyektin
Mixaylov qodoqraflar gstrilmidir.
a) b)
kil 3. Dayanql (a), dayanqsz (b) 1 v dayanqlq
srhddind (b) 2 olan obyektlrin Mixaylov qodoqraflar
kil 3, b-d rblrin ama ardcll pozulduundan 1 yrisin
uyun gln obyekt dayanqsz, 2 yrisi is koordinat
balancndan kediyindn mvafiq obyekt dayanqlq
srhddinddir.
kil 4,a-d-d mmkn olan Mixaylov qodoqraflar
gstrilmidir.
-
90
a) b) c)
) d)
kil 4. Mmkn olan Mixaylov qodoqraflar
gr ardcllq dnilrs, onda X() v Y() funksiyalarnn
qrafiki kil 5-d gstriln qaydada nvblmlidirlr.
kil 5. Dayanql obyektin X() v Y() funksiyalar
Dayanql kild gstriln nvblmni yoxlamaq yolu il
d tyin etmk olar.
-
91
Misal 3. Qapal ATS-in trm funksiyas aadak kild verilmidir:
.10k,s2T,k)1Ts(s
k)s(W
Xarakteristik polinom:
D(s) = Ts2 + s +k.
Bu ifadd s = j vzlmsi edib qrupladrma aparsaq alarq:
X() = - T2 = k, Y() = .
Hesablamalarn nticlri cdvl 4.1-d gstrilmidir.
Cdvl 1 Hesablamalarn nticlri
0 1 2 3 6 10 20 50
X 10 8 2 -8 -62 -
190 -790 -4900
Y 0 1 2 3 6 10 20 50
kil 6-da cdvl sasn qurulmu Mixaylov qodoqraf
gstrilmiidr.
kil 6. Mixaylov qodoqraf
-
92
n = 2 olduundan (12) ifadsin sasn argD(j) =rad=180.
Qodoqraf ardcl olaraq iki kvadrant kediyindn v sonuncu
kvadrantda sonsuzlua getdiyindn baxlan ATS dayanqldr.
2.1. MATLABDA realizasiya
Bu mliyyat hesablamalarn v Mixaylov qodoqrafnn
qurulmasnn avtomatladrlmasndan ibartdir. sul
qrafoanalitik olduundan obyektin dayanql olub-olmamas
haqqnda ntic tdqiqat trfindn xarlr.
kil 7-d
1s4s2s
1)s(W
23
trm funksiyas il veriln ATS-in dayanqlnn tdqiqinin
Matlab proqram v Mixaylov qodoqraf gstrilmidir.
-
93
kil 7. Mixaylov qodoqrafnn qurulma proqram
Vacib msllrdn biri tezlik intervalnn v addmnn
dzgn seilmsidir. Mixaylov qodoqraf n = 3 halnda trifin
rtlrini ddiyindn baxlan ATS dayanqldr.
Mixaylov kriterisi dayanqlq srhdlrini d tyin etmy
imkan verir.
-
94
a) Aperiodik dayanqlq srhddi. Aperiodik dayaniqlq
srhddind olan ikinci trtib obyekt baxaq:
.)1s2(s
1)s(W
Bu halda xarakteristik polinom .ss2)s(D 2 vzlm
js etsk alarq jjD 22)(
.)(,2)( 2 IR Tezliyin 0 qiymtind
0)0(I)0(R olduundan Mixaylov qodoqraf kil 8,a-da
gstrildiyi kimi koordinat balancndan balayr.
a) b)
kil 8. Dayanqlq srhddlrin uyun gln Mixaylov qodoqraflar
b) Rqsi dayanqlq srhddi. Rqsi dayanqlq
srhddind olan ikinci trtib obyekt:
.1s2
1)s(W
2
Bu halda .0)(I,12)(R12)j(D 22
Tezliyin 0 qiymtind .0)0(I,1)0(R Demli Mixaylov
qodoqraf absis oxunun zrindn 1)0(R nqtsindn balayr
v 2/1 qiymtind is kil 8,b-d gstrildiyi kimi
koordinat balancndan keir.
-
95
3. Naykvist dayanqlq kriterisi
ks laqli elektron gclndiricilrinin dayanqln tyin
etmk mqsdi il 1932-ci ild Amerika alimi H.Naykvist aq
ATS-in amplitud-faza tezlik xarakteristikasnn (AFTX)
qurulmasna saslanan yeni tezlik kriterisi tklif etdi.
Harry Nyquist (1889-1976)
Aq sistemin trm funksiyas ksr hallarda ayr-ayr
bndlrin trm funksiyalarnn hasilindn ibart olunduundan
hesablamalar asanlar.
Rus alimi A.V.Mixaylov bu kriterini yenidn saslandrm,
mumildirmi v avtomatik tnzimlmd istifad oluna biln
kl gtirmidir.
Naykvist dayanqlq kriterisinin digr kriterilrdn frqi ondan
ibartdir ki, burada qapal ATS-in dayanql uyun aq ATS-
in AFTX-nin qurulmas sasnda tyin edilir. Bu kriteri d digr
tezlik kriterilri kimi qrafoanalitikdir. Yni myyn qrafiklrinin
qurulmasna saslanr. Naykvist kriterisi sistemin dayanqlq
-
96
ehtiyatlarn v gecikmy malik sistemlrin dayanqln da
asanlqla tyin etmy imkan verir.
kil 9-da dayanql yoxlanlan birll qapal ATS-in
sxemi gstrilmidir.
kil 9. Qapal ATS-in sxemi
Qapal ATS-in dayanqln tdqiq etmk n lazm olan aq
ATS-in trm funksiyas WA(s) = W0(s) H(s). Vahid ks laq
halnda H(s) = 1 olduundan WA(s) = W0(s).
Naykvist kriterisi hal hat edir:
1. Aq sistem dayanqldr, yni xarakteristik tnliyin btn
kklri sol kklrdir;
2. Aq sistem dayanqlqszdr, yni xarakteristik tnliyn
kklri irisind sa kklr d mvcuddur;
3. Aq ATS dayanqlq srhddinddir (neytraldr). Bu
halda xarakteristik tnliyin kklri arasnda sfr (aperiodik
dayanqlq srhddi) v ya srf xyali kklr (rqsi dayanqlq
srhddi) olur. Digr kklr is sol (dayanql) kklr olmaldr.
Birinci halda sistem (obyekt) astatik, ikinci halda is konservativ
sistem adlanr.
kil 10-da dayanql (a), aperiodik (b) v rqsi (c) dayanqlq
srhddind olan neytral obyektlrd keid proseslri
gstrilmidir. Simulinkd modelldirm aadak trm
funksiyalar sasnda aparlmdr:
-
97
.s1T,s1T,1K
.)1Ts)(1sT(
K)s(W,
)1Ts(s
K)s(W,
1Ts
K)s(W
1
2
1
RAD
a) b) c)
kil 10. Dayanql v neytral sistemlrd keid proseslri
Grndy kimi, dayanql obyektdn frqli olaraq neytral
obyektlrd mxtlif tkanlarda (balanc rtlrd) tarazlq
vziyytlri d mxtlif olur.
Frz edk ki, aq (ks laqsiz) ATS-in trm funksiyas
mlumdur:
)s(D
)s(M)s(W
A
AA .
Burada DA(s) v MA(s) n v m trtibli polinomlardr, n m.
DA(s)=0 aq sistemin xarakteristik tnliyidir.
Birll qapal ATS-in trm funksiyas:
)s(D
)s(M
)s(M)s(D
)s(M
W1
)s(W)s(W
Q
A
AA
A
A
AQ
. (16)
Burada DQ(s) qapal sistemin trtibi n- brabr olan
xarakteristik polinomudur.
Aq sistmei qapal sistem il laqlndirmk n aadak
kmki funksiyadan istifad edk:
-
98
)s(D
)s(D
)s(D
)s(M)s(D)s(W1)s(
A
Q
A
AAA
. (17)
Tezlik oblastna kemk n (17) ifadsind s = j
vzlmsini
edk:
)j(D
)j(D)j(
A
Q
. (18)
Aq v qapal sistemlri laqlndirn kmki )j(
funksiyasnn 0 < + dyidikd arqumentinin dyimsini
tapaq. ki kompleks kmiyytin nisbtinin arqumenti srt v
mxrcdki kompleks kmiyytlrin arqumentlrinin frqin
brabr olduundan y