sistemas lineales

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Sistemas Lineales Sistemas Lineales http://www.fiec.espol.edu .ec

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aqui encontraras lo que es un sistema lineal

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Page 1: Sistemas Lineales

Sistemas LinealesSistemas Lineales

http://www.fiec.espol.edu.ec

Page 2: Sistemas Lineales

IntroducciónIntroducción

En la naturaleza existen muchos En la naturaleza existen muchos tipos de sistemas que desearíamos tipos de sistemas que desearíamos analizaranalizar

Afortunadamente la mayoría de esos Afortunadamente la mayoría de esos sistemas caen dentro de una sistemas caen dentro de una clasificaciónclasificación

Esa clasificación es la de sistemas Esa clasificación es la de sistemas lineales lineales

Page 3: Sistemas Lineales

IntroducciónIntroducción

Los sistemas lineales se rigen por un Los sistemas lineales se rigen por un conjunto de propiedades que facilitan conjunto de propiedades que facilitan su estudio y análisissu estudio y análisis

Los sistemas no lineales son mucho Los sistemas no lineales son mucho más difíciles de analizarmás difíciles de analizar

Es importante saber cuando un Es importante saber cuando un sistema se clasifica como sistema sistema se clasifica como sistema lineallineal

Page 4: Sistemas Lineales

Requerimientos de LinealidadRequerimientos de Linealidad

Los requerimientos para que una Los requerimientos para que una sistema sea lineal son:sistema sea lineal son:• HomogeneidadHomogeneidad• AditividadAditividad• Invariabilidad en el tiempoInvariabilidad en el tiempo

Page 5: Sistemas Lineales

Requerimientos de LinealidadRequerimientos de Linealidad

HomogeneidadHomogeneidad• Decimos que un sistema es homogéneo Decimos que un sistema es homogéneo

cuando un cambio en la amplitud de la cuando un cambio en la amplitud de la señal de entrada produce una variación señal de entrada produce una variación proporcional en la señal de salidaproporcional en la señal de salida

• Si una señal de entrada x[n] produce Si una señal de entrada x[n] produce una señal de salida y[n], una señal de una señal de salida y[n], una señal de entrada kx[n] dara lugar a una señal entrada kx[n] dara lugar a una señal ky[n]ky[n]

Page 6: Sistemas Lineales

Requerimientos de LinealidadRequerimientos de Linealidad

Si

Entonces

Page 7: Sistemas Lineales

Requerimientos de LinealidadRequerimientos de Linealidad

Ejemplo: una resistencia es un Ejemplo: una resistencia es un sistema homogéneo con respecto a sistema homogéneo con respecto a la corrientela corriente• Señal de entrada: voltaje aplicadoSeñal de entrada: voltaje aplicado• Señal de salida: intensidad de corrienteSeñal de salida: intensidad de corriente

Si duplicamos el voltaje entonces Si duplicamos el voltaje entonces duplicamos también la corrienteduplicamos también la corriente

No es homogéneo con respecto a la No es homogéneo con respecto a la potenciapotencia

Page 8: Sistemas Lineales

Requerimientos de LinealidadRequerimientos de Linealidad

AditividadAditividad• Un sistema es aditivo cuando la señal a Un sistema es aditivo cuando la señal a

la salida es igual a la suma de las la salida es igual a la suma de las salidas generadas por las diferentes salidas generadas por las diferentes señales de entradaseñales de entrada

• Si xSi x11[n] produce y[n] produce y11[n] y x[n] y x22[n] produce [n] produce yy22[n] entonces x[n] entonces x11[n]+x[n]+x22[n] produce y[n] produce y11[n][n]+y+y22[n][n]

Page 9: Sistemas Lineales

Requerimientos de LinealidadRequerimientos de LinealidadSi

y

Entonces

Page 10: Sistemas Lineales

Requerimientos de LinealidadRequerimientos de Linealidad

Ejemplo:Ejemplo:• El teléfono es aditivo, porque si dos El teléfono es aditivo, porque si dos

personas hablan, del otro extremo se personas hablan, del otro extremo se puede distinguir las dos voces por puede distinguir las dos voces por separadoseparado

• No es aditiva la radio, porque al mezclar No es aditiva la radio, porque al mezclar la portadora con la señal que queremos la portadora con la señal que queremos transmitir, se funden de tal manera que transmitir, se funden de tal manera que queda solamente una señalqueda solamente una señal

Page 11: Sistemas Lineales

Requerimientos de LinealidadRequerimientos de Linealidad

Invariabilidad en el tiempoInvariabilidad en el tiempo• Significa que mover la señal de entrada Significa que mover la señal de entrada

en el tiempo produce un movimiento en el tiempo produce un movimiento idéntico en la señal de salidaidéntico en la señal de salida

• Si x[n] produce y[n] entonces Si x[n] produce y[n] entonces x[n + t] produce y[n + t]x[n + t] produce y[n + t]

Page 12: Sistemas Lineales

Requerimientos de LinealidadRequerimientos de Linealidad

Si

Entonces

Page 13: Sistemas Lineales

Requerimientos de LinealidadRequerimientos de Linealidad

Ejemplo:Ejemplo:• Si decimos “hola” en el telefono, la otra Si decimos “hola” en el telefono, la otra

persona siempre escuchara “hola”, sin persona siempre escuchara “hola”, sin importar a que hora del día lo digaimportar a que hora del día lo diga

Page 14: Sistemas Lineales

Pruebas de LinealidadPruebas de Linealidad

Matemáticamente para probar que Matemáticamente para probar que un sistema es lineal debemos un sistema es lineal debemos asegurarnos de que:asegurarnos de que:• Es homogéneoEs homogéneo• Es aditivoEs aditivo• Es invariable en el tiempoEs invariable en el tiempo

Page 15: Sistemas Lineales

Pruebas de LinealidadPruebas de Linealidad

Pero en la práctica, es muy difícil Pero en la práctica, es muy difícil probar en un sistema del cual no probar en un sistema del cual no conocemos el funcionamientoconocemos el funcionamiento

Por eso usamos otras pruebasPor eso usamos otras pruebas• Linealidad estáticaLinealidad estática• Fidelidad sinusoidalFidelidad sinusoidal

Page 16: Sistemas Lineales

Pruebas de LinealidadPruebas de Linealidad

Linealidad EstáticaLinealidad Estática• La linealidad estática solo significa que La linealidad estática solo significa que

la señal de salida no es más que la señal la señal de salida no es más que la señal de entrada multiplicada por una de entrada multiplicada por una constanteconstante

• Graficamos para varios valores de Graficamos para varios valores de entrada los valores que obtenemos a la entrada los valores que obtenemos a la salidasalida

• Ese gráfico debe ser una líneaEse gráfico debe ser una línea

Page 17: Sistemas Lineales

Pruebas de LinealidadPruebas de Linealidad

Linealidad EstáticaLinealidad Estática

Page 18: Sistemas Lineales

Pruebas de LinealidadPruebas de Linealidad

Linealidad EstáticaLinealidad Estática

Page 19: Sistemas Lineales

Pruebas de LinealidadPruebas de Linealidad

Fidelidad sinusoidalFidelidad sinusoidal• Si la entrada de un sistema lineal es una Si la entrada de un sistema lineal es una

onda sinusoidal, la salida será también onda sinusoidal, la salida será también una onda sinusoidal con la misma una onda sinusoidal con la misma frecuenciafrecuencia

• Pueden diferir en amplitud y fasePueden diferir en amplitud y fase• Solo es válido para señales sinusoidalesSolo es válido para señales sinusoidales

Page 20: Sistemas Lineales

Pruebas de LinealidadPruebas de Linealidad

Fidelidad sinusoidalFidelidad sinusoidal

SistemaLineal

Page 21: Sistemas Lineales

Propiedades EspecialesPropiedades Especiales

La Linealidad es ConmutativaLa Linealidad es Conmutativa• Si colocamos dos sistemas en cascada, Si colocamos dos sistemas en cascada,

si los dos sistemas son lineales, el si los dos sistemas son lineales, el sistema total será también linealsistema total será también lineal

• Podemos intercambiar el orden de los Podemos intercambiar el orden de los sistemas sin que esto afecte al sistema sistemas sin que esto afecte al sistema totaltotal

Page 22: Sistemas Lineales

Propiedades EspecialesPropiedades Especiales

Si

Entonces

Page 23: Sistemas Lineales

Propiedades EspecialesPropiedades Especiales

De tal manera un sistema continuará De tal manera un sistema continuará siendo lineal si todos sus siendo lineal si todos sus componentes son lineales y las componentes son lineales y las operaciones realizadas entre ellos operaciones realizadas entre ellos son solamente de adiciónson solamente de adición

No importa que tan complejo sea el No importa que tan complejo sea el sistema ni cuantas entradas o salidas sistema ni cuantas entradas o salidas tengatenga

Page 24: Sistemas Lineales

Propiedades EspecialesPropiedades Especiales

Page 25: Sistemas Lineales

Propiedades EspecialesPropiedades Especiales

La multiplicación puede ser lineal o La multiplicación puede ser lineal o no, dependiendo que multipliquemosno, dependiendo que multipliquemos

Señal * constante = linealSeñal * constante = lineal Señal * Señal = no linealSeñal * Señal = no lineal

Lineal No Lineal

Page 26: Sistemas Lineales

¿Qué veremos hoy?¿Qué veremos hoy?

IntroducciónIntroducción Requerimientos para la LinealidadRequerimientos para la Linealidad Pruebas Prácticas de LinealidadPruebas Prácticas de Linealidad Propiedades EspecialesPropiedades Especiales SuperposiciónSuperposición DecomposiciónDecomposición

Page 27: Sistemas Lineales

SuperposiciónSuperposición

En un sistema lineal la única manera En un sistema lineal la única manera de combinar señales es escalandolas de combinar señales es escalandolas (multiplicar las señales por (multiplicar las señales por constantes) y después sumándolasconstantes) y después sumándolas

El proceso de combinar señales a El proceso de combinar señales a través del escalado y la suma se través del escalado y la suma se conoce como conoce como SíntesisSíntesis

Page 28: Sistemas Lineales

SuperposiciónSuperposición

La La DescomposiciónDescomposición es la operación es la operación inversainversa

Una señal se puede dividir en dos o Una señal se puede dividir en dos o mas componentes que la formanmas componentes que la forman

Es más complejo que la síntesis Es más complejo que la síntesis porque hay muchas maneras de porque hay muchas maneras de descomponer señalesdescomponer señales

Page 29: Sistemas Lineales

SuperposiciónSuperposición

+

+

Síntesis

Decomp.

Page 30: Sistemas Lineales

SuperposiciónSuperposición Superposición es la estrategia con que Superposición es la estrategia con que

podemos analizar sistemas y señalespodemos analizar sistemas y señales Si una señal de entrada x[n], que produce Si una señal de entrada x[n], que produce

una señal de salida y[n] la una señal de salida y[n] la descomponemos en señales más simples descomponemos en señales más simples xx00[n], x[n], x11[n], x[n], x22[n],...[n],...

Y hacemos pasar cada una de estas Y hacemos pasar cada una de estas componentes por el sistema obteniendo componentes por el sistema obteniendo yy00[n], y[n], y11[n], y[n], y22[n],...[n],...

Sintetizando estas señales obtenemos y[n]Sintetizando estas señales obtenemos y[n]

Page 31: Sistemas Lineales

SuperposiciónSuperposición

SistemaLineal

Page 32: Sistemas Lineales

SuperposiciónSuperposición

Page 33: Sistemas Lineales

SuperposiciónSuperposición

La señal de salida obtenida La señal de salida obtenida sintetizando las componentes es sintetizando las componentes es igual a la obtenida pasando la señal igual a la obtenida pasando la señal de entrada original por el sistemade entrada original por el sistema

En vez de tratar de comprender En vez de tratar de comprender como se comporta el sistema para como se comporta el sistema para señales complicadas, las dividimos señales complicadas, las dividimos en señales sencillas y sumamos sus en señales sencillas y sumamos sus respuestasrespuestas

Page 34: Sistemas Lineales

¿Qué veremos hoy?¿Qué veremos hoy?

IntroducciónIntroducción Requerimientos para la LinealidadRequerimientos para la Linealidad Pruebas Prácticas de LinealidadPruebas Prácticas de Linealidad Propiedades EspecialesPropiedades Especiales SuperposiciónSuperposición DecomposiciónDecomposición

Page 35: Sistemas Lineales

DecomposiciónDecomposición

Ha varios métodos para realizar la Ha varios métodos para realizar la descomposicióndescomposición• En impulsosEn impulsos• En pasosEn pasos• Par/ImparPar/Impar• EntrelazadaEntrelazada• FourierFourier

Page 36: Sistemas Lineales

DecomposiciónDecomposición

En impulsos:En impulsos:• Divide la señal de N muestras en igual Divide la señal de N muestras en igual

número de señales, cada una con una número de señales, cada una con una muestra diferentemuestra diferente

• Es examinar la señal una muestra por Es examinar la señal una muestra por vezvez

• Si sabemos como el sistema responde a Si sabemos como el sistema responde a un impulso, podemos calcular como un impulso, podemos calcular como responde para cualquier señalresponde para cualquier señal

Page 37: Sistemas Lineales

DecomposiciónDecomposición

Page 38: Sistemas Lineales

DecomposiciónDecomposición

En pasos:En pasos:• Muy parecida a la por impulsos, pero Muy parecida a la por impulsos, pero

descomponemos la señal en funciones descomponemos la señal en funciones escaleraescalera

• Estas funciones escaleras tiene un valor Estas funciones escaleras tiene un valor de cambio de x[k] - x[k-1]de cambio de x[k] - x[k-1]

• Sirve para describir como cambia una Sirve para describir como cambia una señalseñal

Page 39: Sistemas Lineales

DecomposiciónDecomposición

Page 40: Sistemas Lineales

DescomposiciónDescomposición

Par/ImparPar/Impar• Dividimos una señal en sus muestras en Dividimos una señal en sus muestras en

dos componentes, una con simetría dos componentes, una con simetría impar y otra con simetría parimpar y otra con simetría par

2

][][][

nNxnxnxP

2

][][][

nNxnxnxI

Page 41: Sistemas Lineales

DescomposiciónDescomposición

Page 42: Sistemas Lineales

DescomposiciónDescomposición

EntrelazadaEntrelazada• Aquí simplemente dividimos la señal en Aquí simplemente dividimos la señal en

dos componentes, uno con las muestras dos componentes, uno con las muestras pares y otro con las imparespares y otro con las impares

• Puede parecer sencillo pero es el Puede parecer sencillo pero es el fundamente del cálculo de la FFTfundamente del cálculo de la FFT

• Cada componente tendra N/2 muestrasCada componente tendra N/2 muestras

Page 43: Sistemas Lineales

DescomposiciónDescomposición

Page 44: Sistemas Lineales

DescomposiciónDescomposición

FourierFourier• Una señal de N muestras puede ser Una señal de N muestras puede ser

descompuesta en N+2 señales, la mitad descompuesta en N+2 señales, la mitad cosenos y la mitad senos.cosenos y la mitad senos.

• La componente n completa n ciclos en N La componente n completa n ciclos en N muestrasmuestras

• Es la base para la transformada de Es la base para la transformada de FourierFourier

• Muy importante por la fidelidad sinusoidalMuy importante por la fidelidad sinusoidal

Page 45: Sistemas Lineales

DescomposiciónDescomposición