Sistemas de referencia con interés en Dinámica deFluidos Geofísicos. Ecuación del movimiento

Los fluidos geofísicos participan, en parte, del movimiento de la Tierra; deellos los que en un principio se consideran son la rotación alrededor de su eje y latraslación relativa al Sol.

Un sistema de referencia a derechas, S, geocéntrico, con eje z en la dirección deleje del mundo y ejes x e y en el plano del ecuador, apuntando hacia dos estrellaslejanas fijas, se considera como una referencia inercial. Quiere esto decir que sepuede prescindir del movimiento de traslación y, consecuentemente, a partir deahora solo se tendrá en cuenta que el movimiento de los fluidos de la Tierra quedaafectado por la rotación.

Si una partícula fluida situada en P se mueve (figura 1), la observación des-de el sistema S y desde otro cualquiera S , por lo general serán distintas. Lasaceleraciones medidas en las dos referencias están relacionadas por

a = aO + a +ac

2 ω × u + ω × (ω × r ) + Dtω × r

= aa + a + ac

(1)

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Figura 1: Una partícula fluida P en movimiento, observado desde un sistema dereferencia, S, geocéntrico, y desde otro, S , en movimiento respecto a S.

con

a = Dt (Dtr) aO = Dt (DtrO) a = Dt(Dtr)

u

(2)

1

La ecuación (1) expresa que la aceleración a observada en el sistema de refe-rencia S, absoluta, se expresa como la suma de tres aceleraciones: aceleración dearrastre

aa = aO + ω × (ω × r ) + Dtω × r

identificada en (1) por los términos que se mantienen aunque no se observe movi-miento en S , o sea u y a nulas; aceleración de Coriolis

ac = 2 ω × u

que requiere, necesariamente, movimiento relativo (en la referencia S ) y acelera-ción relativa a , la tercera de (2), tal como determinaría un observador en S alseguir el movimiento de P .

El vector ω que figura en (1) es la velocidad angular de rotación con respectoa S de una referencia con origen en O y paralela en cada instante a S .

En (2) se identifican algunas de la aceleraciones que aparecen en (1). Se ha usa-do la notación Dt para el operador derivada substancial, siguiendo el movimientode una partícula fluida. En realidad, en la segunda de las igualdades, para la ace-leración de O no se requiere que haya ninguna partícula fluida cuyo movimientose siga, sino que se obtendría a partir de la velocidad de dicho punto.

Es corriente trabajar con un sistema S , denominado local, con origen en unpunto de la Tierra, O, con los dos primeros ejes situados en el plano horizontaly orientados, respectivamente, a lo largo del paralelo del lugar hacia el E, a lolargo del meridiano hacia el N con el tercero vertical hacia arriba; sentidos que sonadecuados para el hemisferio norte (figura 2).

En estas condiciones, designando con Ω la velocidad angular de rotación de laTierra, considerada constante, se tiene

aO = Ω ×

Ω × rO

y como consecuenciaaa = Ω ×

Ω × r

que no es otra cosa que la aceleración normal, o centrípeta, del punto P .En efecto, si para el vector de posición r de dicho punto se considera r = h+ R,

con h paralelo a Ω y R en el plano del paralelo de P , se tiene

aa = Ω ×

Ω × R

= −Ω2 R

Despejando la aceleración relativa a de (1), un observador en S debe inter-pretar la aceleración

a = a −2 Ω × u

f. Coriolis

−Ω × (Ω × r)

f. centrífuga

(3)

2

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r

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Figura 2: Sistemas de referencia geocéntrico y local.

como tres contribuciones: la aceleración absoluta, a, y las dos fuerzas de inercia(por unidad de masa), de Coriolis y centrífuga.

La aceleración absoluta se podrá expresar como la fuerza, por unidad de masa,que actúa sobre la partícula fluida en P que, para un sistema inercial, viene dadapor la ley de Navier-Stokes, generalización de la Segunda Ley de Newton para elmovimiento de los fluidos. La ecuación (3) se puede escribir entonces

a = −1ρ

∇p − 2 Ω × u + f − Ω ×

Ω × r

+ 1

ρ∇ ·

⇒τ (4)

donde los términos que no habían aparecido son: la fuerza bárica, −1ρ

∇p, la fuerza

externa, f , y la fuerza debida a los esfuerzos cortantes, 1ρ

∇ ·⇒τ . Para esta última

se admite que el tensor de esfuerzo ⇒τ está relacionado con la velocidad relativa de

la misma forma que lo está con la velocidad absoluta.En relación con la fuerza externa, f , se acostumbre a tener en cuenta única-

mente la gravitación newtoniana terrestre gT . La gravedad se define medianteg = gT − Ω ×

Ω × r

= gT + Ω2 R (5)

Suponiendo que la Tierra fuera esférica con distribución uniforme de masa, lagravitación newtoniana sería, para puntos exteriores al planeta

gT = −GM

r3r

3

aunque en realidad el geoide (aP = 6357 km y aE = 6378 km) es casi un elipsoidecon superficie y volumen aproximados al de una esfera de radio a = 6371 km.

La gravitación newtoniana gT deriva de un potencial

φT = GM 1

aP−

1r

cuyas superficies equipotenciales son esferas.Por su parte, para la fuerza centrífuga Ω2 R el potencial es

φcf = −12Ω2R2

con cilindros como superficies equipotenciales.La gravedad terrestre (5) deriva por tanto de un potencial

φ = GM 1

aP−

1r

−

12Ω2R2 (6)

denominado geopotencial, cuya expresión (6) sería válida solo para puntos exterio-res al geoide. Aunque las superficies equipotenciales de φ no son esferas, es pocoimportante el error que se comete al considerar la dirección radial coincidente, enlas proximidades de la superficie terrestre, con la vertical del lugar.

A partir de (5), e introducido el geopotencial (6), la aceleración relativa (4) sepuede escribir

a = −1ρ

∇p − 2 Ω × u + g + 1ρ

∇ ·⇒τ =

= −1ρ

∇p − 2 Ω × u − ∇φ + 1ρ

∇ ·⇒τ

(7)

La fuerza de Coriolis, fuerza de inercia debida el movimiento relativo en unareferencia en rotación, admite varias interpretaciones en los sistemas de referencialigados a la Tierra. De su expresión

C = −2 Ω × u = 2 u × Ω (8)

se deduce directamente

Por ser perpendicular a Ω yace en el plano del paralelo de la partícula

Por ser perpendicular a u solo modifica su dirección, pero no su módulo, alser nula la potencia desarrollada sobre la partícula

4

Si se hace la descomposiciónu = u

Ω+ u

E

con el primer vector paralelo y el segundo perpendicular a Ω, (8) queda

C = 2 u E × Ω (9)

cuyo módulo es C = 2uEΩ.

La expresión (9) indica que, para un observador en el hemisferio norte, la fuerzaC desvía la partícula hacia la derecha del vector u

E, proyección de u sobre el planoecuatorial.

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Figura 3: Descomposición de la velocidadangular Ω en un sistema local de coorde-nadas.

En la referencia local (figura 2), que semodifica ahora (figura 3) para que quedeclaro cómo se puede obtener el valor de lafuerza de Coriolis (8), se considerarán parala velocidad relativa u las componentes(u, v, w) en los tres ejes de coordenadas y,para la velocidad angular

Ωx = 0Ωy = Ω cos ϕ

Ωz = Ω sin ϕ

Las componentes según cada eje estánexpresadas en función de la latitud, ϕ, dellugar donde se sitúe el origen del sistemalocal de coordenadas.

Se debe hacer notar que se ha modi-ficado la notación referida al sistema re-ferencia no inercial S . Como se considera

que siempre se observará el movimiento del fluido desde un sistema no inercialse han suprimidos las primas, tanto en los ejes coordenados, como en las compo-nentes de la velocidad relativa y de la velocidad angular de rotación de la Tierra;estos cambios se aplicarán también a partir de ahora, a todas las variables queaparezcan, a fin de simplificar la notación.

El resultado que se obtiene para la fuerza de Coriolis en estos ejes es

C = 2 u × Ω =

2 Ω (v sin ϕ − w cos ϕ) i

−2 Ωu sin ϕ j

2 Ωu cos ϕ k

(10)

lo que lleva a las siguientes conclusiones:

5

1. Cuando se tiene flujo hacia el E, v = w = 0 ; u > 0, se produce una desviaciónde la corriente hacia el S y hacia arriba. Para flujo hacia el W se inviertenlos sentidos

2. Cuando se tiene flujo hacia el N, u = w = 0 ; v > 0, se produce una desviaciónde la corriente hacia el E. Para flujo hacia el S la desviación es hacia el W

3. Cuando se tiene flujo hacia arriba, u = v = 0 ; w > 0, se produce unadesviación de la corriente hacia el W. Para flujo hacia abajo la desviación eshacia el E

4. Cuando se tiene flujo horizontal, experimenta los efectos superpuestos indi-cados en 1 y 2.

En el caso de considerar el movimiento relativo de la atmósfera se acostumbraa indicar la dirección de donde viene el viento. Así, por ejemplo, viento del Wsignifica que sopla hacia el E.

Para el sistema local de coordenadas, las ecuaciones del movimiento (7) pres-cindiendo de los esfuerzos cortantes quedan, en componentes,

u ≡ ∂tu + u∂xu + v∂yu + w∂zu == −

1ρ

∂xp + 2Ω (v sin ϕ − w cos ϕ)v ≡ ∂tv + u∂xv + v∂yv + w∂zv =

= −1ρ

∂yp − 2Ωu sin ϕ

w ≡ ∂tw + u∂xw + v∂yw + w∂zw == −

1ρ

∂zp + 2Ωu cos ϕ − g

(11)

A modo de resumen, y de forma vectorial, la ecuación de Navier-Stokes que in-cluye las diferentes posibilidades para un sistema no inercial, conduce a la ecuacióndel movimiento

u ≡ Dtu

∂tu + u · ∇u

= −1ρ

∇p−2 Ω×u+

g−∇φ

+

1ρ

∇ ·⇒τ

ν∇2u + 13ν∇ (∇ · u)

43ν∇2u + 1

3ν∇ × (∇ × u)

(12)donde ν es la viscosidad cinemática, definida a partir del coeficiente de viscosidadµ como ν = µ/ρ. En el desarrollo del último término se ha considerado que losfluidos geofísicos se pueden considerar fluidos de Stokes.

6

Los diferentes términos de (12), o incluso de (11), son de muy diversos órdenesde magnitud y es lícito prescindir de algunos de ellos según el tipo de movimientoque se estudia.

En los movimientos de las fluidos geofísicos a escala planetaria no es correctoutilizar un sistema local de coordenadas. Basta fijarse en que un movimiento hori-zontal, siguiendo la figura de la Tierra, a medida que se aleja una partícula fluidadel origen del sistema de referencia, y debido a la geometría del problema, adquierecomponente vertical, w < 0, de la velocidad. A nivel intuitivo es posible pensar enun “sistema local en cada punto” que la partícula fluida en movimiento ocupe. Deesta forma se tendría en cuenta la figura de la Tierra. Como es aproximadamenteesférica, lo lógico es usar coordenadas esféricas en versión geográfica, o sea (λ, ϕ, r)con: λ, longitud geográfica; ϕ, latitud y r, distancia al centro de la Tierra.

Si se efectúa un cambio de coordenadas a un sistema curvilíneo, las componen-tes de la aceleración relativa de la partícula fluida, referidas finalmente al sistemalocal en cada punto son

a :

u + uw

r−

uv

rtan ϕ

v + vw

r+ u2

rtan ϕ

w −u2 + v2

r

(13)

lo que pone de manifiesto el papel de la curvatura y permite llegar a un siste-ma equivalente al (11), no considerando tampoco la contribución de los esfuerzoscortantes, que resulta

u + uw

r−

uv

rtan ϕ = −

1ρ

∂xp + 2Ω (v sin ϕ − w cos ϕ)

v + vw

r+ u2

rtan ϕ = −

1ρ

∂yp − 2Ωu sin ϕ

w −u2 + v2

r= −

1ρ

∂zp + 2Ωu cos ϕ − g

(14)

Los sistemas (11) y (14), pese a ser semejantes, son conceptualmente muydiferentes. En el primero de los sistemas, las coordenadas (x, y, z) que se usan sonrectilíneas y las coordenadas geográficas que pudieran emplearse estarían referidasal origen del sistema local de referencia utilizado como, en concreto, la latitudϕ que explícitamente aparece. Por el contrario, en (14), las coordenadas (x, y, z)son curvilíneas y las coordenadas geográficas (λ, ϕ, r) están referidas a la partículafluida en movimiento.

7

Ecuaciones de gobiernoReciben este nombre las ecuaciones básicas que rigen la evolución de un fluido.

En el caso de los fluidos de la Tierra, reciben radiación procedente del Sol, lo queconstituye, casi en su totalidad, la fuente de energía que cambia sus propieda-des termodinámicas y los pone en movimiento. Como se verá, las ecuaciones degobierno constituyen un sistema de ecuaciones termohidrodinámicas, con lo quese quiere indicar que combinan la termodinámica con la dinámica de fluidos. Lasecuaciones deben ser aplicables al movimiento en un sistema de referencia no iner-cial, dependiente de la rotación de la Tierra. Hay que tener en cuenta, además,que los Fluidos Geofísicos están estratificados como consecuencia de la influenciade la gravedad. Aunque la atmósfera y el océano tienen propiedades físicas muydiferentes, lo anterior es válido para ambos, lo que da pié al tratamiento termohi-drodinámico común.

La primera ecuación que se debe considerar es la del movimiento. Es decir, laecuación de Navier-Stokes expresada en un referencia ligada a la Tierra. La formamás general, que ya hemos tratado, viene dada por la ecuación (12), independientedel sistema concreto de coordenadas. La forma que adopta, con la restricción deno considerar la actuación de esfuerzos cortantes, es decir, de tratar los fluidoscomo ideales, sin viscosidad, se expresa en un sistema local por medio de (11)o, empleando coordenadas esféricas, geográficas, mediante (14). Estas ecuaciones,son en realidad tres ecuaciones independientes. Como entre sus términos aparecenderivadas respecto del tiempo, tienen capacidad predictiva para tres variables,supuesto que son conocidas todas las demás junto con condiciones iniciales y decontorno. Sin embargo, hay que indicar que las ecuaciones diferenciales implicadascontienen todos los ingredientes para que únicamente se puedan integrar de formanumérica. Muchas veces se dice que estas ecuaciones expresan la conservación del“momentum” ya que son realmente una generalización de la 2ª Ley de Newton.

La siguiente ecuación expresa la conservación de la masa siguiendo el movi-miento de una partícula fluida. Es decir, en representación lagrangiana. Tambiénla ecuación del movimiento está expresada lagrangianamente pero, si se desarrollael operador derivada substancial, se pasa fácilmente a la representación euleriana,que resulta más práctica. La forma lagrangiana de la ecuación de continuidad, quees el nombre que recibe, es

Dtρ + ρ∇ · u = 0 (15)Esta forma de la ecuación de continuidad pone de manifiesto que flujo incom-

presible y movimiento solenoidal (no divergente) son físicamente equivalentes. Laforma euleriana de (15) es

∂tρ + ∇ · (ρu) = 0 (16)Las dos formas (15) y (16) de la ecuación de continuidad incluyen variables que

8

ya aparecían en las ecuaciones del movimiento. En consecuencia, se tienen ahoracuatro ecuaciones independientes con capacidad predictiva.

Si se consideran como variables del problema u, v, w, p, ρ faltaría una quintaecuación independiente.

Conviene indicar aquí que, en realidad, estamos simplificando de forma muyimportante el problema. Si se piensa, por ejemplo, en el océano, el fluido implicadoes agua salada. En consecuencia, en el mejor de los casos, habría que considerarun sistema binario de agua y sal, lo que implica que, al menos, se necesita otravariable para expresar la concentración de sal, o salinidad. Por su parte la atmós-fera complica más el problema. En principio diríamos que se trata de un sistemaconstituido por “aire seco” (a su vez una mezcla de gases) y agua. Pero el agua, encondiciones naturales en la atmósfera, se puede encontrar en fase gaseosa, líquiday sólida, con la particularidad de que se pueden producir de forma espontánea to-dos los cambios de fase. Es evidente que, entonces, no bastan cinco variables comose ha dicho. Son necesarias muchas más, incluyendo concentraciones del agua, oíndices de humedad en el caso del vapor de agua. No obstante esto, consideraremosque solo es necesaria una ecuación más, independiente de las cuatro mencionadascon anterioridad.

La ecuación que buscamos expresa la conservación de la energía. El punto departida para llegar a ella es una de las formas incluidas en (12) y la ecuación decontinuidad, (15). Multiplicando escalarmente la ecuación del movimiento por u,se puede obtener

Dt

12 |u|

2

= u · u = −

1ρ

u · ∇p −u · ∇φ u·g

+ 1ρ

∇ ·

⇒τ

· u (17)

que expresa el cambio substancial de la energía cinética por unidad de masa. Sehace notar que no hay en esta ecuación un término para la fuerza de Coriolis.

Los distintos términos de (17) se pueden desarrollar en la forma:

u · ∇p = ∇ · (pu) − p∇ · u (18)∇ ·

⇒τ

· u = (∂iτij) uj =

= ∂i (τijuj) −τij∂iuj == ∇ ·

⇒τ · u

−

⇒τ : ∇u

(19)

A (18) se llega de forma directa. No así a (19).La expresión de partida debedar un resultado independiente del sistema de coordenadas. Para la deducción mássencilla se ha usado un sistema cartesiano y se ha hecho uso del criterio de sumaciónde Einstein. Si el sistema fuera curvilíneo no ortogonal se debería usar derivadascovariantes y, según el caso, las componentes covariantes o contravariantes. Elresultado final sería el mismo que en (19).

9

En el último término de (19) se ha introducido el doble producto escalar detensores, en este caso del tensor de esfuerzos por el gradiente de velocidad, cuyaexpresión general es

⇒A :

⇒B = AijBij, escalar con interpretación inmediata a partir

de la representación matricial.La expresión (17) se puede transformar en una ecuación que explique el cambio

local de energía cinética por unidad de volumen. Para ello se multiplica (17) por ρy se emplea la ecuación de continuidad. Si se tiene en cuenta lo deducido en (18)y (19), se llega a

∂t

12ρ |u|

2

A

= −∇ ·

12ρ |u|

2 u

B

−∇ · (pu)

C

−p (−∇ · u)

D

−

−∇ ·

⇒τ · u

E

−⇒τ : ∇u

F

+ρu · g G

(20)

donde los diferentes términos representan

A. El ritmo de aumento local de energía cinética por unidad de volumen

B. Potencia incorporada por convergencia del flujo advectivo de energía cinética

C. Potencia desarrollada debido a la presión en los alrededores

D. Ritmo reversible de conversión de energía mecánica en energía interna porunidad de volumen

E. Potencia aportada por la fuerzas viscosas

F. Ritmo irreversible de conversión de energía mecánica a energía interna porunidad de volumen

G. Potencia debida a la aceleración de la gravedad

En el término F, ⇒τ : ∇u siempre es positivo. Para verlo hay que tener en cuenta

que el gradiente de velocidad, como todo tensor, se puede escribir como sumade un tensor simétrico, tensor de deformación

⇒D, y otro antisimétrico, tensor de

vorticidad⇒Ω, como se denominan en este caso. O sea

∇u =⇒D +

⇒Ω

Además, para un fluido de Stokes

⇒τ = 2 µ

⇒D −

23µ∇ · u

⇒U

10

con⇒U tensor unidad. Es fácil ver entonces que

⇒τ : ∇u = 2 µ

tra

⇒D ·

⇒D

−

13 tra2

⇒D

Si los valores propios de⇒D son λ1 > λ2 > λ3 , resulta

⇒τ : ∇u = 4

3 µ(λ1 − λ2) (λ1 − λ3) + (λ2 − λ3)2

≥ 0

Como consecuencia, el término F siempre produce una disipación de energía,debida al rozamiento viscoso.

La ecuación (20) se puede transformar en una expresión integral para un volu-men substancial, V , resultando

D

Dt

˚V

12ρV 2 + ρφ

dV = −

˚V

∇ · pu dV +˚

V

ρpDυ

DtdV

+˚

V

∇ ·

⇒τ · u

dV −

˚V

⇒τ : ∇u dV

(21)

donde V = |u| es el módulo del vector velocidad, φ el geopotencial y υ = 1/ρ elvolumen específico. La ecuación (21) se puede simplificar aplicando el teorema dela divergencia e introduciendo las energías cinética, Ek, y potencial, Ep. Quedaentonces para su suma, energía mecánica,

D

Dt(Ek + Ep) =

˚V

ρpDυ

DtdV

Gp

−

˚V

⇒τ : ∇u dV

Dτ

+¨

S

− n · pu dS

Sp

+¨

S

n ·⇒τ · u dS

Sτ

(22)

con S, superficie cerrada que limita a V , n vector unitario normal a la superficie,apuntando hacia fuera, y

Ek =˚

V

12ρV 2 dV Ep =

˚V

ρφ dV

11

En (22) los diferentes términos se interpretan de la siguiente forma:

Gp: Generación de energía mecánica dentro del volumen V , asociada a lapresión, como consecuencia de la compresibilidad

Dτ : Disipación de energía mecánica dentro de V como consecuencia del ro-zamiento viscoso

Sp: Generación de energía mecánica, por trabajo debido a la presión en loslímites S del volumen de integración, asociada al movimiento

Sτ : Generación de energía mecánica, por trabajo de las fuerzas viscosas enla superficie S

Excepto Dτ , los demás términos pueden ser positivos o negativos. En un casosencillo, con una distribución uniforme de presión, se puede demostrar que esGp +Sp = 0. En ese caso la energía mecánica solo sufre cambio por la acción de lasfuerzas de rozamiento. En caso contrario, distribuciones no uniformes de presiónpueden hacer cambiar la energía mecánica.

No hay que perder de vista que el objetivo era encontrar una ecuación parala energía que fuera independiente de las anteriores ecuaciones de gobierno. Hastaaquí no ha sido así, pues (22) se ha obtenido a partir de las ecuaciones del movi-miento y continuidad. Se puede escribir una ecuación más general, para la energíatotal, que incluya la energía interna. Por unidad de masa la designaremos por .

Siguiendo el movimiento substancial de una porción de fluido, se puede escribir

D

Dt

˚V

ρ1

2V 2 + φ +

dV =

= −

¨S

n · q dS

A

+¨

S

T · u dS

B

−

¨S

n ·

n

i=1

µi ϕi dS

C

(23)En el primer miembro de (23) aparecen tres formas de energía. Las dos pri-

meras, ya comentadas con anterioridad, se deben interpretar macroscópicamente;esto es, referidas al centro de masa del elemento fluido considerado, o sea, haciendoabstracción de aspectos microscópicos. Por el contrario, el término de la energíainterna se refiere a la estructura microscópica, molecular, del fluido. Además, en(23), los términos del segundo miembro representan:

A. Flujo no advectivo de energía (por conducción y radiación) a través de S

12

B. Potencia debida al esfuerzo, T , actuando en cada punto de la superficie S.Recordando su relación con el tensor de esfuerzos y la consideración de es-fuerzos normales y tangentes, se tiene

T = n ·⇒σ = −pn + n ·

⇒τ

C. Flujo no advectivo de energía debido a la difusión de masa. En este términoµi es el potencial químico de la substancia i del sistema y ϕi el flujo demateria por difusión de esa substancia

Si a continuación se realiza el proceso inverso al seguido con la energía mecánica,es posible llegar a una ecuación local, equivalente a (20), resultando

∂tρ

1

2V 2 +

= −∇ ·

ρ

1

2V 2 +

u

−∇ · q −∇ · Q

+ρg · u +∇ ·

⇒τ · u

−∇ · pu

(24)

donde el vector Q expresa la contribución de los flujos difusivos correspondientesal término C de (23).

A partir de (24) y (20) se puede obtener la ecuación, independiente, de laenergía que se buscaba. La forma lagrangiana de la ecuación termodinámica de laenergía es

ρD

Dt= −∇ · q − ∇ · Q − p∇ · u + ⇒

τ : ∇u (25)

La ecuación (25) es una versión generalizada del Primer Principio de la Ter-modinámica que incluye el flujo de calor por conducción y radiación, por difusiónde masa, el trabajo debido a las fuerzas de presión por expansión reversible y elaumento irreversible de energía interna debido al rozamiento.

Si ahora se introdujera la entropía y se interpretaran los potenciales químicos,el último término, siempre positivo, de (25) conduciría al Segundo Principio de laTermodinámica.

La ecuación (25) se puede escribir de una forma más útil para los fluidos geo-físicos. Es fácil llegar a

ρD

Dt= −pρ

Dυ

Dt+ k∇

2T + ρQ + χ (26)

donde

υ es el volumen específico

k∇2T es el flujo de calor por conducción con k la conductividad térmica

χ es la potencia calorífica suministrada por disipación irreversible debida ala viscosidad

13

Q es la potencia suministrada por unidad de masa por todos los demásprocesos (fuentes internas, calor latente, radiación, etc.)

En el caso del aire, su comportamiento como gas ideal permite escribir la ecuaciónde estado p = ρRT donde R = 287.05 J kg−1K−1 es la constante específica delaire, considerado seco, como gas ideal. En función de los cambios de temperaturay presión, (26) se puede escribir

cpDT

Dt− υ

Dp

Dt= k

ρ∇

2T + Q + 1ρ

χ (27)

o, si se introduce la temperatura potencial

θ = T

p00

p

R/cp

con p00 = 1000 hPa y cp = 1005 J kg−1K−1, también resulta

Dθ

Dt= θ

cpT

k

ρ∇

2T + Q + 1ρ

χ

(28)

De (28) se deduce que, si se prescinde de los intercambios (reversibles e irre-versibles) de calor, la temperatura potencial θ es una magnitud conservativa puessu derivada siguiendo el movimiento es nula.

En el caso de un líquido puro, la ecuación de estado se puede escribir

ρ = ρ0 [1 − α (T − T0)]

y el Primer Principio se puede escribir, prescindiendo del efecto viscoso

Dρ

Dt= κ∇

2ρ −αρ0

cpQ (29)

siendo κ = k

ρcpla difusividad térmica.

En el caso del mar, la ecuación de estado se complica por la presencia de salen disolución. Como ecuación de estado se acostumbra a utilizar

ρ = ρ0 [1 − αT (T − T0) + αS (S − S0)]

y se necesita adicionalmente una ecuación que exprese el balance de sal, de laforma

DS

Dt= F (S)

donde con F (S) se representan todas las fuentes y sumideros de sal.

14

Vorticidad y circulaciónComo se sabe, la vorticidad es el rotacional del vector velocidad o mejor, del

campo de velocidad. En consecuencia es, a su vez, un campo vectorial que seobtiene a partir de la descripción euleriana del movimiento del fluido. Si se usaun sistema de referencia no inercial, como en Dinámica de Fluidos Geofísicos, setendría para la velocidad relativa

ζ = ∇ × u (30)

cuya interpretación en el caso de una rotación como sólido rígido es, como se sabe,el doble de la velocidad angular de rotación. Por medio del teorema de Stokes sepuede generalizar esta interpretación ya que, para cualquier superficie S de áreaA cuyo contorno C tenga de longitud L, se cumple

¨S

ζ · n dS =˛C

u · d

circulación, Γ

de donde, aplicando el teorema del valor medio, se llega a

ζn = L

Aut

Si se considera para C una circunferencia de radio a, el valor medio de lacomponente normal a S cumple

ζn = 2 ut

a

donde ut es el valor medio de la componente tangente a C y entonces, evidente-mente, ut/a representaría la velocidad angular media vista desde el centro de C. Sedebe poner de manifiesto que en realidad no se requiere rotación para que existavorticidad.

Considerando los sistema de referencia geocéntrico (inercial) y local, la veloci-dad absoluta uabs conduce a una vorticidad absoluta

ζabs = ξ = ∇ × uabs

cuyo valor es

ξvorticidad absoluta

= ∇ × (u + Ω × r) = ζvorticidad relativa

+ 2Ωvorticidad planetaria

(31)

15

La componente vertical de la vorticidad planetaria, que se denomina parámetrode Coriolis, es

f = 2Ω · k = 2Ω sin ϕ (32)Las dos vorticidades (30) y (31) son vectores solenoidales, lo cual, como se verá,

tiene gran importancia.Una línea de torbellino (vortex line o vortex filament) cumple la condición de

ser en cada punto tangente al vector vorticidad en ese punto. Las asociadas ala vorticidad planetaria son rectas paralelas al eje del mundo. Las asociadas almovimiento absoluto son una distorsión de estas debida al movimiento relativo.

Un tubo de torbellino (vortex tube) está formado por la superficie obtenida apartir de todas las líneas de torbellino que pasan por una curva cerrada C.

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Figura 4: Tubo de torbellino.

Como para cualquier volumen se cum-ple ˚

V

∇ · ξ dV = 0

tomando para V el volumen encerrado porel tubo de torbellino entre A y A (figura4) se debe cumplir

0 =˚

V

∇ · ξ dV =¨

S

nS · ξ dS =

=¨Slat

nSlat · ξ dSlat

NULO

+¨

A

nAn

· ξ dA +

+¨A

nA−n

· ξ dA

o sea ¨A

n · ξ dA =¨A

n· ξ dA

(33)

La expresión (33) se usa para definir la intensidad o flujo en un tubo de torbe-llino como

Γabs =¨

A

n · ξ dA (34)

que es constante a lo largo del tubo y coincidente con la circulación a lo largocualquier curva cerrada que abrace el tubo. Una consecuencia de la constancia dela intensidad a lo largo del tubo es que ni los tubos ni las líneas de torbellinopueden “nacer” o “morir” en puntos del fluido; deben cerrarse sobre sí mismos,

16

o nacer o morir en los límites del fluido. Lo mismo se aplica para el campo devorticidad relativa con

Γ =¨

A

n · ζ dA (35)

Los flujos (34) y (35) están relacionados por (31), resultando

Γabs =¨

A

n ·

ζ + 2Ω

dA =

= Γ +¨

A

2n · Ω dA =

= Γ + 2ΩAn

(36)

donde An es la proyección del área A sobre sobre una superficie perpendiculara la velocidad angular de rotación de la Tierra, Ω; por ejemplo, sobre el ecuador(figura 5).

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!n

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Figura 5: Proyección,An, sobre el plano ecua-torial de un área A.

Si se adopta el criterio, muy utilizado en campos vecto-riales, de representar las líneas de torbellino con una densi-dad tal que una unidad de área, perpendicular a las líneas,sea atravesada por un número de líneas proporcional alvalor del campo, la interpretación de (36) es muy intuiti-va. Admitiendo que el campo de vorticidad planetaria esun campo uniforme, de (36) se deduce que la diferenciaΓabs − Γ es proporcional al número de líneas de torbellinoabrazadas por las curva C, contorno de A, o Cn, contornode An.

Supongamos ahora que C es una curva substancial, estoes, formada siempre por las mismas partículas fluidas. Eneste caso se puede calcular la derivada de la circulación, Γ,siguiendo el movimiento, o sea, la derivada substancial

DtΓ = Dt

˛C

u · d =˛C

u · d +˛C

u · Dtd (37)

Para obtener el valor del último sumando de (37) se considera un elemento dela curva substancial C (figura 6). El resultado es

Dtd = Dt [r(s + ds) − r(s)] = u(s + ds) − u(s) = du (38)

El resultado (38) expresa que el ritmo al que se deforma d coincide con elcambio de la velocidad u de origen a extremo de d. Llevando ahora (38) a (37)

17

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%!r (s) !

r (s +ds)

!u(s)!u(s +ds)

d!"

Figura 6: Deformación de un elemento de curva substancial.

resultaDtΓ =

˛C

u · d +˛C

u · du =˛C

u · d +˛C

12 dV 2

NULO

=˛C

u · d (39)

La expresión (39) que conceptualmente se lee la aceleración de la circulacióncoincide con la circulación de la aceleración constituye el teorema cinemático dela circulación de Kelvin.

Se puede obtener el teorema dinámico de la circulación, debido a Bjerknes, pormedio de la ecuación del movimiento. De (39) y (12) se deduce

Γ = −

˛C

2 Ω × u

· d

(I)

−

˛C

1ρ

∇p · d

(II)

+˛C

1ρ

F · d

(III)

(40)

donde se ha simplificado la notación introduciendo la fuerza por unidad de volumendebida a los esfuerzos cortantes, F = ∇ ·

⇒τ . Hay que hacer notar que el término

de gravedad no aparece en (40) ya que, al tratarse de un campo conservativo,su circulación es nula. A continuación se discuten cada uno de los tres términosobtenidos de forma independiente, como si los otros dos fueran nulos.

(I)

Se considera una curva C en la que existe un flujo saliente. En el hemisferio nortese tiene (figura 7)

−

˛C

2 Ω × u

· d < 0

18

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!u

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Figura 7: Interpretación del término de Coriolis de (40) para un flujo saliente enel hemisferio norte.

en consecuencia sería para el primer miembro de (40), Γ < 0. Por ejemplo, habríageneración por este efecto, si inicialmente fuera nula, de circulación en el sentidode las agujas del reloj (“cum sole” o anticiclónica).

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u!

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Figura 8: Interpretación del tér-mino de Coriolis de (40) a partirdel área barrida por el vector ve-locidad.

También se puede interpretar dicho término deesta otra forma. De la figura 8 se deduce

−

2 Ω × u

· d = −2Ω·

u × d

= −2Ω·nAu⊥

d

(41)En un tiempo dt se producirá un barrido, ex-

presado en función de la componente de u perpen-dicular a la curva, u⊥, como δA = u⊥dt

d con

un vector unitario normal nA. El ritmo al que seproduce el barrido es DtδA = u⊥

d lo que lleva

a poder escribir para (41)

−

2 Ω × u

· d = −2Ω DtδAn (42)

con δAn proyección de δA sobre un plano perpendicular a Ω, por ejemplo, sobreel plano del ecuador. Si ahora se integra (42) a lo largo de C queda finalmente

−

˛C

2 Ω × u

· d = −2Ω DtAn (43)

19

donde An es la proyección sobre el ecuador del área A, encerrada por la curvaC. O sea, en presencia de vorticidad planetaria, un aumento del área An tiendea hacer disminuir Γ. En términos de la intensidad del tubo de torbellino que C

define, un aumento de la intensidad asociada a la vorticidad planetaria induce unadisminución de Γ, de forma semejante a la inducción de corriente eléctrica. Ladiscusión se puede hacer también en términos de la variación del número de líneasde torbellino de la vorticidad planetaria abrazadas por C.

(II)

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Figura 9: Interpretación del término (II) de (40). Se representan las superficiesisobaras e isopicnas indicando el sentido de crecimiento de ambas variables.

El segundo término de (40), a veces denominado solenoidal, se puede entendermejor si se escribe, por medio del teorema de Stokes, de forma

−

˛C

1ρ

∇p · d = −

¨S

∇ ×

1ρ

∇p

·n dS =¨

S

∇ρ × ∇p

ρ2·n dS (44)

En la figura 9 se representan superficies isopicnas e isobaras, con sus gradientes,y la curva a lo largo de la que se calcula la circulación expresada por (44). Silas superficies isobaras e isopicnas no coinciden, el estado del fluido se denominabaroclino. El vector solenoidal, ∇ρ × ∇p, será no nulo y la circulación Γ cambiarácon el tiempo si el valor medio de la componente normal a S del vector anterioren diferente de cero.

Debido a este efecto, el fluido más ligero tenderá a ascender con mayor acele-ración que el más denso, apareciendo circulación antihoraria alrededor de C quetiende a alinear las superficies isopicnas e isobaras.

20

Si las superficies de p=cte y ρ= cte coinciden, es posible definir una relaciónρ = ρ(p) y se dice que el fluido es barotropo. En estas condiciones se cumple

˛C

1ρ

∇p · d = −

˛C

dp

ρ(p) = 0

(III)

El término final de (40) es, en general, de interpretación difícil. En el caso de fluidode Stokes con viscosidad cinemática ν constante˛

C

1ρ

F · d = ν

˛C

∇

2u

· d (45)

!"

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%

d!"

!z

!! < 0

Figura 10: Interpretación del tér-mino (III) de (40) para anali-zar el papel de la viscosidad enpresencia de una distribución nouniforme de vorticidad.

A partir de la identidad vectorial

∇ × (∇ × u)

ζ

= ∇ (∇ · u) − ∇2u

(45) se puede escribir˛C

1ρ

F · d = −ν

˛C

∇ × ζ

· d (46)

Se hace notar que, tanto en (45) como en (46),no aparece la circulación del gradiente de la diver-gencia ya que es nula.

En el caso simplificado representado en la fi-gura 10 se tiene una distribución de vorticidad talque

∇ × ζ

· d = ∂yζz dx > 0

Si esta condición se cumple en promedio para toda la curva C, la tendencia esa que sea Γ < 0, o sea, que el efecto de la viscosidad es reducir la intensidad o flujodel tubo de vórtice (circulación) debido a la no uniformidad de la vorticidad. Esteproceso es semejante al de difusión en el flujo de calor consecuencia del gradiente detemperatura. Se dice, a veces, que la acción de la viscosidad es difundir vorticidadtendiendo a establecer una distribución uniforme.

21

A partir de lo visto hasta aquí, que puede deducir un teorema de gran impor-tancia histórica. Se trata del teorema de conservación de la circulación absolutade Kelvin. De (31) y de la interpretación (43) del papel del término de Coriolis, sepuede escribir

Γabs = −

˛C

1ρ

∇p · d +˛C

1ρ

F · d

Si el fluido es barotropo (o se puede considerar así sobre la curva C) y se puededespreciar la fuerza viscosa, resulta

DtΓabs = 0 (47)

o sea que, siguiendo el movimiento, la circulación absoluta se conserva. En tér-minos de la intensidad del tubo de torbellino, un aumento (disminución) de laintensidad planetaria o relativa produce una disminución (aumento) de la otra. Elmecanismo responsable de este intercambio es la “inducción” de vorticidad. SiendoC una curva substancial se moverá y deformará pero siempre definirá un tubo detorbellino de intensidad absoluta constante. Por tanto, si la sección del tubo au-menta (disminuye) el módulo de ξ deberá disminuir (aumentar) para que el flujosea constante.

Este razonamiento se puede aplicar a cualquier curva substancial, inversamente,si se cumple el teorema de Kelvin, cualquier tubo de vorticidad absoluta es unasuperficie substancial y, en el límite, las líneas de torbellino (o filamentos de vórtice)son líneas substanciales: se mueven con el fluido.

Se debe recordar que el teorema de Kelvin se cumple bajo condiciones de baro-tropía y sin rozamiento. En general la viscosidad difunde vorticidad mientras quela baroclinidad puede producir nuevos filamentos.

Teorema de la vorticidadAunque la circulación es una medida de la vorticidad puede perderse infor-

mación debido al carácter escalar de aquella frente al vectorial de esta. En lo quesigue, para evitar la posible debilidad de la circulación, se va a obtener directamen-te una ecuación para la evolución temporal de la vorticidad que, por otra parte,es a la dinámica de fluidos lo que la ecuación del momento cinético a los sistemasde masas puntuales.

La identidad vectorial

u × (∇ × u)

ζ

= ∇

12V 2

− u · ∇u

22

permite escribir la ecuación del movimiento (12) en la forma

∂tu +ζ + 2Ω

× u = −

1ρ

∇p − ∇

12V 2 + φ

+ 1

ρF (48)

Aplicando el operador ∇× a la ecuación anterior, (48), y teniendo en cuentala identidad

∇ ×

A × B

= A ∇ · B + B · ∇ A − B ∇ · A − A · ∇ B

se llega tras algunos pasos a

ζ = ξ = ξ · ∇u − ξ∇ · u + ∇ρ × ∇p

ρ2+ ∇ ×

F

ρ(49)

Los dos últimos términos de (49) son ya conocidos al estar presentes en losteoremas de la circulación. Los dos primeros del último miembro merecen atenciónespecial.

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Figura 11: Línea de torbellinotangente al eje z en el origen decoordenadas.

Se considera una línea de torbellino que, en elorigen del sistema de coordenadas, solo tiene com-ponente z (figura 11). Los dos términos aludidosde (49) son

ξ · ∇u − ξ∇ · u == ξ∂z

ui + vj + wk

− ξk (∂xu + ∂yv + ∂zw) =

= ξ∂zui + ξ∂zvj − ξk (∂xu + ∂yv)(50)

Considerando solo la componente z, se deducede (49) y (50) para la vorticidad relativa

Dtζz = −ξz (∂xu + ∂yv) (51)

Los dos primeros sumando de la divergencia∇ · u, que aparecen en (51) se acostumbran a de-nominar “divergencia bidimensional”. 1

Se deduce entonces que la convergencia (por elsigno − en (51)) bidimensional intensifica la vor-ticidad o, intuitivamente, el movimiento conver-gente hacia z hace que se junten los filamentos de vórtice. Este efecto está enconcordancia con el teorema de Kelvin.

1Si el plano xy es horizontal, se denomina divergencia horizontal. En realidad se trata enambos casos de una licencia, dado el carácter escalar de la divergencia.

23

Como en un flujo incompresible una reducción en la sección (del tubo de tor-bellino obligada por la convergencia) implica extensión longitudinal, este efecto sedenomina alargamiento (stretching).

También se puede interpretar la contribución a las otras componentes, la x,por ejemplo. Para la vorticidad absoluta sería, de (49) y (50), Dtξx = ξ∂zu. Con-siderando lo que ocurre en un pequeño intervalo de tiempo δt, con la ayuda de lafigura 12, se tiene

δξx

ξz= ∂zu δt = δx

δz= tan γ

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!"x

!! (t ) !

! (t +"t )

Figura 12: Inclinación de una línea de torbellino como consecuencia de la cizalla-dura.

La nueva vorticidad ξ (t + δt) tendrá componente perpendicular a la vorticidadinicial ξ (t), por lo que se habrá inclinado con respecto a esta ultima. Por estarazón este efecto se denomina inclinación (tilting). También en este caso existeconcordancia con el teorema de Kelvin ya que las líneas de torbellino son materialesy se desplazan con el movimiento.

Combinando los cuatro efectos presentes en el teorema de la vorticidad (49),el cambio de vorticidad depende de

1. Baroclinidad

2. Difusión de vorticidad

3. Stretching del tubo de vórtice por convergencia de filamentos

4. Tilting por variación a lo largo del filamento de la componente de la velocidadperpendicular a la vorticidad.

24

Vorticidad potencialEl teorema de la vorticidad potencial de Ertel, más general que el teorema de

Kelvin, proporciona una restricción muy importante al movimiento de los fluidosgeofísicos. Se obtiene, en principio, de combinar el teorema de la vorticidad y laecuación de continuidad, eliminando la divergencia de (49) por medio de (15). Elresultado se puede escribir, para la vorticidad absoluta

Dt

1ρ

ξ

= 1ρ

ξ · ∇u + ∇ρ × ∇p

ρ3+ 1

ρ∇ ×

F

ρ(52)

Consideremos a continuación un escalar cualquiera λ que represente algunapropiedad del fluido en movimiento. En general λ cambiará siguiendo el movi-miento generándose, mediante algún proceso o fuente, a un ritmo qλ. Se podráescribir entonces

Dtλ = ∂tλ + u · ∇λ = qλ

de donde se deduce, tomando el gradiente y operando

Dt∇λ + ∇u · ∇λ = ∇qλ (53)

Las ecuaciones (52) y (53) se pueden combinar sin más que multiplicar laprimera escalarmente por ∇λ (por la derecha del tensor ∇u) y la segunda por ξ/ρ(por la izquierda de ∇u). El resultado es

Dt

1ρ

ξ · ∇λ

= 1ρ

ξ · ∇qλ + ∇λ ·∇ρ × ∇p

ρ3+ 1

ρ∇λ ·

∇ ×

F

ρ

(54)

La importancia de esta ecuación se pone de manifiesto cuando se consideranalgunas condiciones que afectan a las variables del segundo miembro, como son

1. El escalar λ es conservativo: qλ = 0

2. El rozamiento se puede considerar despreciable: F = 0

3. Alternativamente, una de las siguientes:

a) Barotropía: ∇ρ × ∇p = 0b) El escalar λ cumple λ (ρ, p), con lo cual su gradiente es ∇λ = (∂pλ) ∇p+

(∂ρλ) ∇ρ

25

En esas condiciones, el segundo miembro de (54) es nulo y, en consecuencia, seobtiene el teorema de conservación

Dt

1ρ

ξ · ∇λ

Π

= 0 (55)

para la función del paréntesis Π, denominada vorticidad potencial, cuya expresiónes

Π =ξ · ∇λ

ρ=

ζ + 2Ω

· ∇λ

ρ(56)

La vorticidad potencial, Π, incluye, entre otras, información sobre la compo-nente de la vorticidad absoluta ξ a lo largo de ∇λ.

Se puede llegar al mismo teorema (55) mediante otra deducción con mayorcontenido físico (figura 13).

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∇/& ∇4&

∇1&

15!)-&∇46∇/&&

37&38&

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Figura 13: Tubo de torbellino y vector solenoidal para deducir teorema de conser-vación de la vorticidad potencial (ver texto).

Si λ es una propiedad conservativa, la superficie λ = cte es una superficiesubstancial y si es λ (ρ, p), su gradiente, ∇λ, está en el plano de ∇ρ y ∇p, con loque

n · (∇ρ × ∇p) = 0 (57)con

n = ∇λ

|∇λ|

26

La ecuación (57) significa que el flujo del vector solenoidal a través de la superfi-cie λ = cte es nulo. Si además se prescinde del rozamiento, se cumple el teorema deKelvin. Aplicado al área elemental δA delimitada por la curva substancial indicadaen la figura 13, permite escribir

Dt

n · ξ δA

= Dt

∇λ

|∇λ|· ξ δA

= 0 (58)

Por otra parte, el tubo de torbellino elemental es también substancial, luego seconserva su masa δm = ρ δA δh. Además δλ = n · ∇λ δh = |∇λ| δh, con lo que sepuede escribir

δA = δm

δλ

|∇λ|

ρ

Sustituyendo el elemento de área δA en (58) se llega a misma expresión parala conservación de la vorticidad potencial (55), ya que δm/δλ es invariante.

Esta forma de deducción de la conservación de la vorticidad potencial se debe aRossby, que la llevó a cabo para el caso particular de la atmósfera, empleando comopropiedad conservativa la temperatura potencial. Ha sido imposible reconstruir lahistoria del origen de esta importante variable por lo que se admite que Ertel yRossby la plantearon de forma independiente y simultánea en las años 40 del sigloXX. Sí parece estar claro, sin embargo, que el término “potencial” se debe a Rossbyy se interpreta por el hecho de que todo ocurre como si, en un empaquetamiento delas superficies λ = cte, se tuviera almacenada componente ξn de ξ normal a dichassuperficies. De esta forma, si se alejan las superficies entre sí, disminuye |∇λ| ydebe entonces aumentar ξn/ρ que, con la densidad aproximadamente constante,conduce a un aumento de ξn.

El teorema de conservación de la vorticidad potencial representa una ligaduramuy importante al movimiento de los fluidos geofísicos. Las variables que inter-vienen ξ, ρ y λ (en el caso de la atmósfera, temperatura potencial, θ; la propiadensidad ρ,para el océano) tienen su propia dinámica pero la vorticidad poten-cial(56), supuestas las condiciones indicadas previamente a (55), debe mantenerseinvariante siguiendo el movimiento del fluido.

Además, desde la década de los 80 pasados se ha visto que la vorticidad po-tencial goza de unas propiedades muy interesantes, que hacen que el uso de mapasde vorticidad potencial en meteorología se haya convertido en algo rutinario. Dehecho, una gran parte de la dinámica de fluidos geofísicos se puede basar en la dis-cusión y evolución de esta variable. Se ha introducida para esta forma de discusiónel término PV thinking que estaría fundamentado en:

I. La existencia, bajo ciertas condiciones, de un teorema de invertibilidad. Osea, que a partir de Π se pueden deducir los demás campos de variables físicas

27

y, en consecuencia, si se conoce la vorticidad potencial se conocen todas lasvariables.

II. El estudio detallado de las consecuencias de que λ no sea estrictamente con-servativa y el rozamiento no despreciable, manteniendo la condición λ(ρ, p).

El teorema de Ertel, teniendo en cuenta esto último, es

DtΠ = 1ρ

ξ · ∇qλ + 1ρ

∇λ ·

∇ × F

(59)

donde se ha empleado F para la fuerza viscosa por unidad de masa F = F/ρ, conla vorticidad potencial, Π, dada por (56).

La ecuación (59) se puede transformar fácilmente teniendo en cuenta

ξ · ∇qλ = ∇ ·

qλ

ξ

− qλ ∇ · ξ NULO

= ∇ ·

qλ

ξ

(60)

y∇λ ·

∇ × F

= ∇ ·

F × ∇λ

+ F · (∇ × ∇λ)

NULO

= ∇ ·

F × ∇λ

(61)

Llevando (60) y (61) a (59) se tiene

DtΠ = −1ρ

∇ · NΠ (62)

conNΠ = −qλ

ξ − F × ∇λ (63)El vector (63) recibe el nombre de “flujo” o “transporte” no advectivo de

vorticidad potencial, Π.El hecho de que el teorema de Ertel adopte la forma (62) ha obligado a precisar

la nomenclatura. Se dice muchas veces que la vorticidad potencial se puede consi-derar como un trazador. Esta denominación se ha tomado de la química, en que sellama así a una substancia, a veces radioactiva, que se emplea para estudiar trayec-torias en un fluido (en el aire, por ejemplo) al ser transportada. La concentración,χ, de la substancia cambia siguiendo el movimiento según

Dtχ = −1ρ

∇ · Nχ (64)

donde el flujo no advectivo Nχ incluye los efectos de la difusión molecular, de lasedimentación o deposición y de “lavado”.

28

En realidad la substancia es conservativa con lo que el segundo miembro de(64) no es, en sentido estricto, un término fuente. Solo lo hay cuando se producenreacciones que originan una substancia haciendo desaparecer otra u otras.

Tanto (62) como (64) son ecuaciones de conservación, en un sentido amplio,que admiten expresiones en la forma de flujo. Por ejemplo, (62), se puede escribir,operando y usando la ecuación de continuidad, en la forma

∂t (ρΠ) + ∇ · (ρΠu) = −∇ · NΠ

Introduciendo el flujo neto (advectivo y no advectivo)

JΠ = ρΠu + NΠ = ρΠu − qλξ − F × ∇λ (65)

se puede escribir el teorema de Ertel en su forma de flujo

∂t (ρΠ) + ∇ · JΠ = 0 (66)

La ecuación (64) se escribiría para la concentración, χ, similarmente a (66),con un flujo neto Jχ = ρχu + Nχ.

Se debe añadir, finalmente, que son conceptualmente de gran importancia losllamados teoremas de conservación e impermeabilidad de la vorticidad potencial yel denominado símil eléctrico para la vorticidad potencial basado en la semejanzade (66) con la ecuación de continuidad en electricidad.

Análisis de escala en las ecuaciones del movimien-to de los fluidos geofísicos. Aproximaciones geos-trófica e hidrostática

Las ecuaciones de gobierno deducidas son aplicables a cualquier movimientoque se produzca en los fluidos geofísicos. Sin embargo, la atmósfera y los océanosson sede de movimientos de muy diferentes escalas, que van desde la turbulenciaal “clima”.

Analizando las órdenes de magnitud de las diferentes términos de las ecua-ciones es posible, dependiendo de la escala baja estudio, prescindir de los máspequeños y obtener así ecuaciones simplificadas válidas para la escala concretaque se considere.

El método ha sido especialmente fructífero para estudiar, en latitudes medias,el movimiento en la llamada escala sinóptica, lo que ha dado lugar a la DinámicaCuasigeostrófica.

Se considera, para empezar, la ley de conservación del “momentum”, (12),representada en componentes y usando coordenadas esféricas

29

u +uw

r−

uv

rtan ϕ = −

1ρ

∂xp + 2Ω(v sin ϕ − w cos ϕ) +1ρFx

v +vw

r+u2

rtan ϕ = −

1ρ

∂yp − 2Ωu sin ϕ +1ρFy

w −u2 + v2

r= −

1ρ

∂zp + 2Ωu cos ϕ − g +1ρFz

(67)

Se debe recordar que las derivadas son curvilíneas y que las coordenadas(λ, ϕ, r) corresponden a la partícula móvil.

A continuación se procede a ponderar los diferentes términos, proceso que recibeel nombre de análisis de escala o “escalado”. Empezamos por los primerosmiembros de las dos primeras ecuaciones de (67).

Se definen para las variables unos valores característicos, o escalas

u, v U w Wx, y L r R ∼ 107m

t T = L

Utan ϕ ∼ sin ϕ ∼ cos ϕ ∼ 1para latitudes medias

La escala de tiempo que se ha introducido T = L/U se denomina advectivapara indicar que depende de las escalas cinemáticas del movimiento. De no seasí, habría que introducir una escala característica propia para las dependenciastemporales.

En la llamada escala sinóptica las escalas características para los dos fluidosson

U 10 ms−1 1ms−1

L 103km = 106m 102km = 105mT 105s ∼ 1 diaW 10−2 − 10−1ms−1 10−3 − 10−2ms−1

Atmósfera Océano

Los órdenes de magnitud de los términos indicados, expresados en unidades SI,resultan

30

U2

L

UW

R

U2

R

10−4 10−8 − 10−7 10−5

10−5 10−10 − 10−9 10−6

↑ ↑

Comparando las columnas tercera y primera, se obtiene la relación

U2/R

U2/L= L

R

lo que indica que los términos de curvatura analizados son despreciables frente ala aceleración si L

R 1. En este caso las ecuaciones son formalmente iguales a los

locales, aunque se debe recordar que son conceptualmente diferentes.Sólo cuando O

L

R

= 1 no se pueden tomar las ecuaciones en su forma local.

Esta condición se cumple en la denominada escala global.En escala sinóptica, que es inferior, se puede escribir

∂tu + u∂xu + v∂yu + w∂zu = −1ρ

∂xp + 2Ω(v sin ϕ − w cos ϕ) + 1ρFx

∂tv + u∂xv + v∂yv + w∂zv = −1ρ

∂yp − 2Ωu sin ϕ + 1ρFy

(68)

Para realizar ahora la ponderación de los términos necesitamos otras escalas:

ρ ρa ∼ 1 kg m−3(para el agua103kg m−3)z D ∼ 10 km = 104m2Ω ∼ 10−4s−1

además, recordando que para fluidos de Stokes

F = µ∇2u + 1

3µ∇(∇ · u)

se tiene una fuerza por unidad de masa

1ρ

F = ν∇2u + 1

3ν∇(∇ · u)

La viscosidad cinemática, ν, vale para los dos fluidos:

31

Aire:

ν = 1,71 × 10−5kg m−1s−1

1 kg m−3= 1,71 × 10−5m2s−1 (a 0 ºC)

Agua:

ν = 1,01 × 10−3kg m−1s−1

103kg m−3= 1,01 × 10−6m2s−1 (a 20 ºC)

Los órdenes de magnitud para los diferentes términos de (68), en unidades SI,son

1 2 3 4 5 6 7U2

L

U2

L

U2

L

UW

D

P

ρaL2ΩU(2ΩW ) ν

U

D2

10−4 10−4 10−4 10−5 10−3(10−6 − 10−5) 10−12

↑ ↑

P = 2ΩρaUL

Se observa que los distintos términos ponderados son de diversos órdenes demagnitud, incluso algunos son muy diferentes. Es importante recordar que, enuna ecuación física, la propiedad de homogeneidad se debe cumplir también paraórdenes de magnitud. En concreto, los dos miembros de la ecuación deben cumpliresa condición, lo que obliga a que no pueda haber un único término que tengaorden de magnitud superior a los demás; al menos debe haber dos términos conórdenes coincidentes.

El mayor orden de magnitud es el que corresponde a la columna 6, de la fuerzade Coriolis. El de la columna 5 no se ha incluido el valor numérico. Se trataría deponderar la fuerza bárica, que incluye al gradiente de presión. Eso quiere decir quelo que importa es el cambio espacial de la presión. En consecuencia, la escala P dela columna 5 representa lo que cambia la presión a lo largo de la escala espacial(horizontal), L. Teniendo en cuenta los demás órdenes de magnitud, no que damás remedio que los los correspondientes a las columnas 5 y 6, señaladas, seancoincidentes. De ahí, como se indica, P = 2ΩρaUL con un orden de magnitud,para la atmósfera

O(P ) = 10−4s−1 × 1 kg m−3 × 10 m s × 106m == 103Pa = 10 hPa

Es importante destacar que el valor obtenido no es el de la presión atmosféricaen superficie (del orden de 1000 hPa) sino lo que típicamente cambia la presión at-mosférica en unos 1000 km. De forma semejante se puede proceder para el océano.

32

El término de la columna 7, el menor de todos, corresponde a considerar laviscosidad molecular. En el caso de régimen turbulento se trabaja, en lugar deν, con los denominados coeficientes de intercambio turbulento varias órdenes demagnitud superiores a ν, que hacen el término mayor.

Se podrá despreciar dependiendo de la relación, en orden de magnitud

O

νU/D2

2ΩU

= ν

2ΩD2= Ek

que permite introducir un número adimensional, denominado de Ekman, Ek (parala viscosidad).

Manteniendo en (68) los términos de mayor orden de magnitud, pero conser-vando la capacidad predictiva de las ecuaciones queda

u = −1ρ

∂xp + fv

v = −1ρ

∂yp − fu(69)

con f = 2Ω sin ϕ, parámetro de Coriolis.Se podría prescindir de las aceleraciones dependiendo del orden de magnitud

O

u

fv

= O

v

fu

= U2/L

fU= U

fL= Ro (70)

que sirve para introducir el número de Rossby, Ro. Más adelante, por comodidad,se representará por .

Si Ro 1, se puede prescindir en (69) de las aceleraciones, perdiendo el ca-rácter predictivo y convirtiéndose en ecuaciones de diagnóstico. Se habla en estascondiciones de la aproximación geostrófica. El vector velocidad que resulta,denominado viento geostrófico (o corriente geostrófica, para el casodel mar), es

ug = −1

ρf∂yp

vg = 1ρf

∂xp

(71)

y se trata de una primera aproximación al viento real.Las ecuaciones (68), manteniendo los términos de mayor orden de magnitud,

se suelen denominar ecuaciones del movimiento horizontal que, en forma vectorial,se pueden escribir

uH = v = −1ρ

∇zp − fk × v (72)

33

donde se ha considerado un vector velocidad bidimensional (horizontal) uH = vde componentes (u, v), el vector unitario vertical k y el operador nabla horizontal∇z de componentes (∂x, ∂y). De (72) se puede deducir la velocidad geostrófica enforma vectorial

vg = 1ρf

k × ∇zp (73)

De cumplir el viento real (73), seguiría las isobaras y las fuerzas básicas y deCoriolis (horizontales) estarían equilibradas. En el caso real, el “desequilibrio” seexpresa mediante el viento ageostrófico

v = vg + v

que cumple O(v ) = Ro U .A continuación se procede al escalado de la tercera ecuación de (67), prescin-

diendo de la fuerza viscosa, con valores numéricos en SIUW

L

U2

R

1ρa

O(∂zp) 2ΩU g

10−6 − 10−7 10−5 10−3 10

↑ ↑

Al igual que ocurría en el movimiento horizontal, los órdenes de magnitud paraesta ecuación, del movimiento vertical, son muy diversos. Igualando las columnasmarcadas debe ser

O(∂zp) = ρag

lo que implica O(∂zp) = 10 Pa/m ≡ 1000 hPa/10 km.

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)*"

Figura 14: Esquema vertical delfluido, por ejemplo la atmósfera,que permite relacionar el espesorD con la presión en el fondo PB.

Este valor es consistente (figura 14) con unapresión en el fondo (superficie, en el caso de la at-mósfera) PB = ρagD, obviamente diferente de laescala la presión, P , para el movimiento horizon-tal. O sea, que para el movimiento vertical

O(∂zp) = PB

D

Si en la ecuación del movimiento vertical se man-tiene el término de Coriolis, siguiente en orden demagnitud, queda la ecuación

34

−1ρ

∂zp + 2Ωu cos ϕ − g = 0 (74)

que representa una pequeña corrección a la ecuación que resulta de conservar losdos términos mayores y que no es otra que la ecuación hidrostática

−1ρ

∂zp − g = 0 (75)

Se puede interpretar el término adicional de (74) con respecto a (75) como unaconsecuencia de la dinámica.

Para investigar este efecto dinámico se puede admitir para p y ρ la descompo-sición

p(x, y, z, t) = ps(z) + p(x, y, z, t)ρ(x, y, z, t) = ρs(z) + ρ(x, y, z, t) (76)

con ps y ρs valores que se establecerían por estratificación en el caso estático.Cumplirían por lo tanto (75)

∂zps = −ρsg (77)Por otra parte, si se tiene en cuenta (76), se cumple

∇zp = ∇zp

lo cual tiene consecuencias en el escalado horizontal y permite ponderar p:

ρafU = O(∂yp) = O(∂xp)O(p) = ρafUL = P

Si llevamos (76) a (74) queda

−∂zp + 2ρΩucosϕ − gρ = 0Se podrá prescindir del término de Coriolis dependiendo del cumplimiento para

los órdenes de magnitud

O

2ρΩu cos ϕ

∂zp

= ρafU

P/D= D

L= δ 1

35

o sea, cuando la relación de aspecto δ = D/L sea muy pequeña. También se puedeponderar ρ. De O(∂zp) = g O(ρ) se deduce

O(ρ) = P

gD= ρafUL

gD

con lo que se cumple

O

ρ

ρ

= O

ρ

ρs

= fUL

gD= Ro

fL

√gD

2

F

=

= P

PB= O

p

ps

= O

p

p

(78)

En (78) se ha introducido un número de Froude

F =

fL√

gD

2

=

L√

gD/f

2

=

L

LR

2

(79)

donde LR es el denominado radio de deformación (externo) de Rossby

LR =√

gD

f(80)

En las condiciones en que se está trabajando se deduce (p, ρ) ∼ 10−2(p, ρ), osea p ps y ρ ρs.

Como consecuencia del análisis de escala se cumple para las ecuaciones delmovimiento en escala sinóptica y latitudes medias lo siguiente

1. La ecuación vertical no proporciona información sobre w, sino que se convier-te en la ecuación hidrostática. El límite de aplicabilidad estaría en wsuficientemente pequeña para no recorrer el espesor D en la escala de tiempoT :

O

w

u

= W

U≤

D/T

L/T= D

L= δ 1

2. El movimiento horizontal está en primera aproximación equilibrado entreestas proyecciones de la fuerza bárica y de Coriolis (geostrofía) semejantea lo que ocurre en la vertical entre la fuerza bárica y la gravedad.

36

Adimensionalización de las ecuaciones de gobierno.Aproximación cuasigeostrófica

A continuación se llevará a cabo un proceso mediante el cual se obtienen unasecuaciones utilizables para variables adimensionales - es decir, a escala - de las va-riables reales. Si este proceso, de adimensionalización, se iniciara con las ecuacionesdel movimiento expresadas en coordenadas esféricas, se obtendrían ecuaciones de-pendientes de un conjunto de números adimensionales (Rossby, Froude, Ekman,...). Estas ecuaciones serían aplicables a cualquier movimiento (de cualquier escala)de los fluidos geofísicos sin más que seleccionar adecuadamente, de acuerdo conlos números adimensionales, los términos importantes.

El método tiene su origen en la ingeniería hidráulica, en la que, para llevar a ca-bo simulaciones con modelo físicos a escala, se deben deducir ecuaciones aplicablestanto a la realidad como a los modelos físicos.

Aquí no se comenzará con las ecuaciones generales sino que ya se parte dealgunas de las aproximadas, ya vistas, para aplicarlas a la escala sinóptica enlatitudes medias.

Cada variable se expresará como producto de una “escala” por la equivalentevariable adimensional. La escala llevará el orden de magnitud y las unidades dela variable, de tal forma que la variable adimensional expresa el número de vecesque la dimensional contiene a la escala. Si el escalado está bien hecho la variableadimensionalizada deberá ser O(1), a lo sumo. Lo dicho es equivalente a aplicarlas siguientes transformaciones

(u, v) → U(u, v)(x, y, z) → (Lx, Ly, Dz)

(∂x, ∂y) →1L

(∂x, ∂y)

∂z →1D

∂z

∂t →1T

∂t = U

L∂t

Este proceso se llevará a cabo sobre un plano tangente en una latitud centralde la zona bajo estudio, ϕ0 (figura 15). Dicho plano está orientado con el eje xsegún el paralelo y el eje y según el meridiano.

El parámetro de Coriolis se podrá expresar (todavía con variables dimensiona-les)

37

f = f0 +

∂f

∂ϕ

ϕ0

∆ϕ = f0 + β0y (81)

!"

!#"

$!"

%"&"!"$!"

Figura 15: Arco de meridiano a una lati-tud ϕ0 a fin de introducir las aproxima-ciones plano-f y plano-β.

donde

β0 = 2Ω cos ϕ0

R(82)

se denomina parámetro de Rossby. Suvalor para la superficie de la Tierra a unalatitud ϕ0 = 45º es

β0 = 1,61 × 10−11m−1s−1

o sea O(β0) = 10−11m−1s−1.Atendiendo a la aproximación introdu-

cida en (81) para el parámetro de Coriolisf , se acostumbra a considerar dos casos:

Aproximación plano-f , cuando se puede considerar f constante, con valor f0

a la latitud ϕ0

Aproximación plano-β, con f0 y β0 contantes, con valores definidos a la lati-tud ϕ0

Para iniciar el proceso de adimensionalización se considera en primer lugar la ecua-ción (72) que, después de tener en cuenta (76), se puede escribir en la denominadaaproximación de Boussinesq, en la forma

v = −1ρs

∇zp− fk × v (83)

Como la ecuación (83) es bidimensional, se advierte que se usará explícitamentela velocidad vertical w, la cual, como ya se vio, se podrá escalar mediante la relaciónde aspecto δ a un valor máximo

W = D

T= D

L/U= U

D

L= δU (84)

A partir de ahora se procederá a un cambio de notación. Las variables seránadimensionales salvo que se indique lo contrario. En este caso se usarán con un

38

subíndice * para distinguirlas de las adimensionales, que se representarán gene-ralmente por medio de las mismas variables que hasta ahora se usaban para lasdimensionales.

Por otra parte, p de (83), según lo visto se escala a alguna de las siguientesalternativas

O(p) = P = O (ρs) O (f) UL = ρaf0UL (85)con lo que, aplicando además (81) y (84)

U2

L∂tv + U2

Lv · ∇v + UD/L

DU

U2/L

w∂zv =

= −f0U∇p − f0Uk × v − β0LUy k × v (86)

donde se ha suprimido el subíndice z que indicaba el carácter bidimensional (ho-rizontal) del operador ∇. Además se debe hacer hincapié en la notación para lapresión adimensional, p, de (86), que proviene de la dimensional p de (83) y no, co-mo podría parecer, de la anterior presión dimensional, p, por ejemplo de la primeraecuación de (76).

Decidiendo los dos miembros de (86) por f0U queda

Dtv = −∇p − k × v −β0L

f0

y k × v (87)

donde se ha introducido, como se había indicado, con el fin de simplificar la nota-ción

= U

f0L≡ Ro

para el número de Rossby y, además, el operador derivada substancial adimensional

Dt = ∂t + v · ∇ + w∂z

donde todo son variables y operadores adimensionales.Los órdenes de magnitud de cada término de (87) quedan determinados por

los respectivos coeficientes ya que, con un escalado correcto, los demás valores sona lo sumo de O(1).

El coeficiente del último término de (87) tiene orden de magnitud, en latitudesmedias,

39

O

β0L

f0

= O

2Ω cos ϕ0

RL

2Ω sin ϕ0

= O

L

R

cot ϕ0

O

L

R

y para nuestro caso

O

L

R

= 10−1 = O()

Por conveniencia se puede escribir entonces

β0L

f0

= β (88)

siendo

β = β0L

f0

= β0L2

U

y, por lo tanto, O(β) = 1.Llevando (88) a (87) se tiene

Dtv = −∇p − k × v − βy k × v (89)ecuación en la que se mezclan términos de O(1) y O(), como se deduce de loscoeficientes respectivos.

Para escalar la ecuación del movimiento vertical hay que volver un poco atrása fin de mantener en ella la capacidad predictiva y escribirla en una versión equi-valente a la del movimiento horizontal (83), mediante la aproximación de Bous-sinesq. Se parte para ello de la tercera ecuación de (67) de la que, atendiendo alas aproximaciones que se están considerando, se prescinde tanto de los términosde curvatura como de las fuerzas de rozamiento y de Coriolis. Además se tiene encuenta la descomposición (76).

Respecto a la parte estática se debe cumplir la ecuación hidrostática estricta,(77), resultando entonces para la parte dinámica

w = −1ρs

∂zp−

ρ

ρsg (90)

Teniendo en cuenta (78) y (84), y siguiendo el mismo procedimiento de adi-mensionalización que anteriormente, (90) se puede escribir

40

U

LδU Dtw = −

1ρs

f0UL

D∂z(ρsp) − Fgρ

de donde se deduce la ecuación adimensional

δ2Dtw = −1ρs

∂z(ρsp) − ρ (91)

siendo δ, como anteriormente, la relación de aspecto y ρ la adimensionalización dela parte de la densidad, ρ, que proviene de la segunda ecuación de (76). Además,hay que tener en cuenta que para llegar a (91), a diferencia de lo que se deduciríade (85), se ha tenido en cuenta la dependencia que ρs tiene con z en el escaladode p. Obviamente, si se prescinde de ella, el primer término del segundo miembrode (91) se simplifica.

La siguiente ecuación que interesa escalar es la de continuidad. Para que elproceso fuera más preciso se debería partir de la ecuación de continuidad expre-sada en coordenadas esféricas. Sin embargo, con las aproximaciones que se estánrealizando, se puede tomar la correspondiente a coordenadas locales

Dtρ + ρ(∂xu + ∂yv

∇·v

+∂zw) = 0

con variables dimensionales. Se ha señalado la denominada divergencia horizontal∇ · v.

Para la adimensionalización se debe tener en cuenta que, para la densidaddimensional, de (76) y (78) se deduce

ρ∗ = ρs (1 + Fρ) (92)

donde ahora, en (92), la densidad ρ es adimensional.La ecuación de continuidad se puede escribir al introducir las escalas

U

LρsFDtρ + (1 + Fρ) δU

Dw∂zρs +

+ ρs (1 + Fρ)

U

L∇ · v + δU

D∂zw

= 0

o, simplificando

FDtρ + (1 + Fρ)

∇ · v + 1ρs

∂z(ρsw)

= 0 (93)

Para completar el sistema de ecuaciones de gobierno, ahora en versión adimen-sional, necesitamos una ecuación termodinámica de la energía. En primer lugar

41

se trata el caso atmosférico. Se consideran, mientras no se indique lo contrario,variables dimensionales.

Cuando existe un flujo de calor hacia la atmósfera se produce un cambio en elestado termodinámico que puede afectar, por ejemplo, a la densidad y a los movi-mientos verticales. Dicho de otra forma, modifica la flotabilidad (“buoyancy”) delaire. Se sabe que la variable relevante para analizar este hecho es la temperaturapotencial, θ; o mejor, su variación vertical ∂zθ. Se puede discutir el concepto de es-tabilidad estática a partir de dicha variación vertical o de la denominada frecuenciade Brunt-Väisälä

N =

g

θ∂zθ (94)

La temperatura potencial se obtiene a partir de la temperatura T y la presiónp del aire según

θ = T

p00

p

R/cp

(95)

con p00 = 1000 hPa, R = 287.05 J kg−1K−1 y cp = 1005 J kg−1K−1.Además, el cambio substancial de la temperatura potencial permite obtener el

intercambio de calorDθ

Dt= θ

cpT

k

ρ∇

2T + Q + 1ρ

χ

= θ

cpTH (96)

donde H, potencia calorífica por unidad de masa, incluye todas las fuentes de calor.Para adimensionalizar (96) es necesario escribir la temperatura potencial (95)

de forma similar a la densidad (92). Aplicando la ecuación de estado p = ρRT a(95) se puede escribir, marcando ahora el carácter dimensional de las variables con*

θ∗ = p∗

Rρ∗

p00

p∗

R/cp

= Kp∗

1/X

ρ∗=

= K(ps + ρsf0ULp)1/X

ρs (1 + Fρ) = Kps

1/X

ρs θs(z)

1 + ρsf0ULp

ps

1/X

1 + Fρ

que, en primera aproximación, se puede escribir

θ∗ = θs (1 + Fθ) (97)

conθ = 1

X

ρsgD

psp − ρ (98)

42

Conviene, antes de continuar, precisar algo de lo realizado para llegar a (97)y (98). En la deducción, K agrupa las constantes que han aparecido al operar yX = cp/cv es la relación de los calores específicos del aire, de valor X = 1,4. Acontinuación, hay que tener en cuenta que las variables sin marcar θ, p y ρ sonadimensionales, correspondiendo a desviaciones, dinámicas, respecto a los valoresestáticos.

La ecuación (98) indica que, para p = 0 (la presión es la estática), θ y ρ soniguales y opuestas. Quiere esto decir que si una porción de atmósfera es anómala-mente cálida, θ > 0, también es anómalamente ligera, ρ < 0, entendido esto conrespecto a los valores estáticos. Si no fuera p = 0, lo anterior no tiene porqué sercierto.

Ahora estamos ya en condiciones de adimensionalizar la ecuación termodiná-mica de la energía, (96). Conviene insistir que en esa expresión las variables sondimensionales, lo que conduce a

U

LθsF Dtθ + (1 + Fθ)U

Lw∂zθs = θ∗

cpT∗H∗

o sea, tras simplificar

Dtθ + (1 + Fθ)∂zθs

Fθs S

w = θ∗

θs

H∗

cpT∗

L

FU

H

(99)

Para escalar la potencia calorífica, en el segundo miembro, se ha introducidoH por razones que se verán posteriormente, con

H = θ∗

θs

H∗

cpθ∗

gD

f0U2(100)

El término adimensional identificado por S, que multiplica a w en (99), es unnúmero de Burguer, característico de la estratificación

S = ∂zθs

Fθs= N2

s D2

f 20 L2

=

RD

L

2

(101)

Para llegar a (101) se ha introducido la frecuencia de Brunt-Väisälä, Ns, según(94) pero para las variables estáticas yRD, con dimensiones de distancia, que sedenomina radio de deformación (interno) de Rossby, de expresión

RD = NsD

f0

=√

gD

f0

(102)

43

que permite comparar RD de (102) con el radio de deformación externo LR =√

gD/f0, definido en (80). En la última igualdad de (102) se ha introducido unagravedad “reducida”

g = N2

s D = gD

θs

∂θs

∂z∗(103)

consecuencia del efecto de flotabilidad.Finalmente queda como ecuación termodinámica adimensional

Dtθ + (1 + Fθ)Sw = H (104)con O(S) = 1 para movimientos atmosféricos de escala sinóptica.

La ecuación (104) merece algún comentario. El segundo miembro está adimen-sionalizado, como se ve a continuación para la escala sinóptica. Quiere esto decir,de acuerdo con lo anterior, que la potencia calorífica adimensional, introducida en(100), debe cumplir O(H) = 1 o, lo que es lo mismo, que el segundo miembro de(104)es de orden . De acuerdo con (100), y teniendo en cuenta que en la atmósferase cumple

O(θs) = O(θ∗)

O(gD) = O(cpT∗)debe ser O(H∗) = f0U2 . Quiere esto decir que el calentamiento compatible con elescalado empleado para llegar al segundo miembro de (104) es

O(H∗) = 10−2 W kg−1

Calentamientos mayores no podrían ser escalados como se ha hecho, con loque el segundo miembro no sería de orden sino de orden 1. Esto tendría graninfluencia en las velocidades verticales contempladas en (104).

El segundo comentario es referente al producto Sw y su dependencia con elsegundo miembro. Es evidente que el efecto de la estratificación está incluido enS, que son función creciente uno del otro, a igualdad de todo lo demás. Si, como enescala sinóptica, O(S) = 1, de (104) se deduce que debe ser O(w) = , y disminu-yendo si S aumenta. En estas condiciones, lo que ocurre es que la escala empleadapara w, W = D

L/U= δU , es demasiado grande o, alternativamente, que con esa

escala la velocidad vertical es nula en primera aproximación. Posteriormente severá esto de otra forma.

A modo de resumen, las ecuaciones (89), (91), (93) y (104) constituyen el puntode partida de la dinámica cuasigeostrófica. Con las simplificaciones ya utilizadas,

44

dependen de los parámetros , β, F, δ y S, cuyos valores típicos para escala sinópticaya se han indicado.

A continuación se aplicará a dichas ecuaciones un método general de análi-sis de las órdenes de magnitud que conduce, en primer lugar, a la aproximacióngeostrófica del movimiento y, posteriormente, a las ecuaciones de la aproximacióncuasigeostrófica.

Para ello se desarrollan todas las variables adimensionales en serie de potenciasde (con < 1). Si se designa, de forma genérica, con h a una de esas variables

h = h(0) + h(1) + O

2

(105)

Tanto h(0) como h(1) son de O(1) y dependen de las coordenadas espaciales ydel tiempo, pero no de . Además pueden ser funciones implícitas de relacionesentre los otros parámetros y , que no pueden modificar el orden de magnitud deh(0) y h(1).

La ventaja de trabajar con h(1) en lugar de con h(1) es que se ve la perturbaciónque el término representa frente a h(0) como con una lupa de aumento −1.

Entre los términos adimensionales a desarrollar según (105) aparecen las de-rivadas de la forma DtG, donde G es una variable geofísica cualquiera. Se debepoder desarrollar entonces en la forma

DtG = [DtG] (0) + [DtG](1) + ... (106)Como la derivada substancial es

DtG = ∂t

G(0) + G(1) + ...

+

+v(0) + v(1) + ...

· ∇

G(0) + G(1) + ...

+

+w(0) + w(1) + ...

∂z

G(0) + G(1) + ...

(107)

agrupando términos en (107) y comparando con (106) se tiene

[DtG](0) = ∂tG(0) + v(0)

· ∇G(0) (108)En (108) se ha tenido en cuenta

La igualdad de términos que van multiplicados por la misma potencia de .

Que en primera aproximación (geostrófica) es w(0) = 0. Esta posibilidad yase ha comentado tras (104) y posteriormente se justificará.

45

De (108) resulta evidente que

[DtG](0) = [dtG](0) = d(0)

t G(0) (109)donde se ha introducido la derivada siguiendo el movimiento horizontal

dtG = ∂tG + v · ∇G

y en orden 0

d(0)

t = ∂t + v(0)· ∇ (110)

En (109) hay tres “físicas” distintas. La primera igualdad representa que, enO(1), la derivada substancial y la derivada siguiendo el movimiento horizontalcoinciden. Se verá que la velocidad v(0) es geostrófica, luego el último términode (109) es la derivada de G en O(1) siguiendo el movimiento geostrófico, comose tiene en (110). La ecuación (109) expresa entonces la igualdad de esas tresderivadas temporales en O(1) .

De (107) y (106) se deduce para O()

[DtG](1) = ∂tG(1) + v(0) · ∇G(1) +v(1)· ∇G(0) +

+w(1)∂zG(0) (111)

o bien

[DtG](1) = [dtG](1) + w(1)∂zG(0)

En este caso no se puede hacer algo como en (110) y tampoco como en el últimomiembro de (109).

También se pueden deducir expresiones para derivadas de productos.Interesan, asimismo, derivadas espaciales y, en concreto, de las derivadas subs-

tanciales. Se dan directamente los siguientes resultados, fáciles de deducir

∇ [DtG](0) = [Dt∇G](0) + ∇v(0)· ∇G(0) (112)

∂z [DtG](0) = [Dt∂zG](0) + ∂zv(0)

· ∇G(0) (113)∇ [DtG](1) = [Dt∇G](1) + ∇v(0)

· ∇G(1) ++ ∇v(1)

· ∇G(0) +∇w(1)

∂zG(0)

(114)

∂z [DtG](1) = [Dt∂zG](1) + ∂zv(0)

· ∇G(1) ++ ∂zv

(1)· ∇G(0) +

∂zw(1)

∂zG(0)

(115)

46

Se podrían obtener de forma semejante desarrollo en O (2) y superior, perono se hace por carecer de interés práctico. Para las aproximaciones que se ven acontinuación es suficiente con O(1) y O().

Además, de forma similar a lo hecho para llegar a (108) y (111), supondremosque los términos de las ecuaciones de gobierno son idénticamente iguales para cadaorden de aproximación. Por ejemplo, de (89) se deduce

[Dtv](0) + [Dtv](1) + ...

= −∇

p(0) + p(1) + ...

−k ×

v(0) + v(1) + ...

+ βyk ×

v(0) + v(1) + ...

de donde, al igualar los términos que multiplican a 0, o sea de O(1), resulta

0 = −∇p(0)− k × v(0)

que expresa el equilibrio geostrófico. Se puede ver que es así, transformando laecuación anterior en su versión dimensional

0 = −L∇∗p(0)

∗

ρsf0UL− k ×

v(0)

∗

U=

= −1

ρsf0

∇∗p(0)

− k × v(0)

∗

de donde

v(0)

∗ = 1ρsf0

k × ∇∗p(0)

∗

En O(1), para las ecuaciones (89), (91), (93) y (104) se tiene

v(0) = k × ∇p(0) (116)

ρ(0) = −1ρs

∂z

ρsp

(0)

(117)

∇ · v(0) + 1ρs

∂z

ρsw

(0)

= 0 (118)

w(0) = 0 (119)

La ecuación (119) aparece como consecuencia de la estratificación y del escaladoefectuado el término de calentamiento de la ecuación termodinámica (104). Desdeun punto de vista más general se podía haber mantenido un término adimensionalH , y en lugar de (119) se hubiera obtenido

47

Sw(0) = H(0)

Sin embargo, tiene que ser necesariamente w(0) = 0, pues de (116), al ser∇ · v(0) = 0, y de (118), que quedaría

∂z

ρsw

(0)

= 0

se deduce que, si en algún nivel es w(0) = 0 (por ejemplo, junto al suelo), debe serw(0) = 0 a todos los niveles.

La consecuencia es que en O(1) es imposible determinar velocidades verticales(degeneración geostrófica, ya vista). Esto quiere decir que

w(0) = 0w = w(1) + O(2) (120)

Como consecuencia, entonces debe ser H (0) = 0, lo que justifica el escaladoque sin justificación inicial se adoptó para ese término. Esto implica, además, queen O(1) los procesos se pueden considerar adiabáticos.

La ecuación (117), que no es otra cosa que la ecuación hidrostática, puede sertambién analizada en profundidad. El procedimiento es combinarla con la varia-ble termodinámica θ, temperatura potencial adimensional, dada por (98) y quedesarrollada en serie del número de Rossby, , queda para O(1)

θ(0) = 1X

ρsgD

psp(0)

− ρ(0) (121)

Eliminando ρ(0) de (121) y de (117) se tiene, después de operar

θ(0) = ∂zp(0)−

1X

∂zps

ps−

1ρs

∂zρs

p(0) (122)

donde se ha tenido en cuenta la ecuación hidrostática para la estratificación está-tica, que para la coordenada z adimensional se escribe

∂zps = −ρsgD

Además, en la estratificación estática se deduce de (95), para la temperaturapotencial θs en función de la presión ps y la densidad ρs

θs = p00

Rρs

ps

p00

1/X

y por derivación logarítmica

48

1θs

∂zθs = −1ρs

∂zρs + 1X

∂zps

ps

Si ahora se lleva esto último a (122) se tiene

θ(0) = ∂zp(0)−

1θs

∂zθs

Por otra parte, se sabe que en la atmósfera O(N) = 10−2s−1, luego en unidadesSI

O

1θs

∂zθs

= O

D

θs

∂θs

∂z∗

= O

DN2

g

= 104 × 10−4

10 = 10−1∼

con lo que, en O(1), debe ser

θ(0) = ∂zp(0) (123)que reemplaza a (117) como ecuación hidrostática en O(1).

La interpretación física de (123) es importante pues indica que cuando se tieneanomalía positiva de temperatura (a un nivel dado, temperatura potencial θ∗ > θs)las anomalías de presión, consecuencia de la dilatación, crecen con la altura, de talforma que, para un estrato de espesor geométrico dado δz, la anomalía debe sermayor arriba que abajo (figura 16).

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Figura 16: Anomalías positivas de temperatura potencial hacen que las anomalíasde presión crezcan con la altura.

Se observa también que para una misma diferencia de presión, como conse-cuencia de la dilatación, aumenta el espesor del estrato.

La ecuación (123) tiene además consecuencias dinámicas. Derivando vertical-mente la ecuación geostrófica (116) y aplicando (123) se deduce

49

∂zv(0) = k × ∇θ(0) (124)

Esta ecuación, que se denomina del viento térmico es, formalmente, comola del viento geostrófico, pero consecuencia de la no uniformidad horizontal de θ(0).

Como (124) da la variación del viento geostrófico con la altura, como casoparticular, crece hacia arriba si tiene aire más frío a la izquierda que a la derecha.Es el caso de las corrientes en latitudes medias.

!"

#"

!k

!! (0)!k !"! (0) = #

z

!v (0)

!v1(0)

!v2(0)

z1

z2

Figura 17: La ecuación del viento térmico expresa el crecimiento con la altura delviento geostrófico cuando el aire es más frío a la izquierda que a la derecha. En lafigura, por ejemplo, viento del W con temperaturas mayores al S.

La ecuación (124) se puede interpretar en términos de la vorticidad ya queesa cizalladura implica existencia de vorticidad horizontal, siendo la baroclinidad(∇θ(0) = 0) la causa que la produce.

De la misma forma que se han obtenido las ecuaciones de la aproximación geos-trófica, o en O(1), se pueden deducir ecuaciones en O() a partir de las ecuacionesde gobierno adimensionales, sin mas que igualar los términos que multiplican a en el desarrollo de las ecuaciones (87), (91), (93), y (104). Se trata entonces de laaproximación cuasigeostrófica, siendo las ecuaciones

50

[Dtv](0) = −∇p(1)− k × v(1)

− βyk × v(0) (125)

ρ(1) = −1ρs

∂z(ρsp(1)) (126)

∇ · v(1) + 1ρs

∂z(ρsw(1)) = 0 (127)

[Dtθ](0) + Sw(1) = H (128)

Para llegar a dichas ecuaciones se han considerado las condiciones O(δ) < ,O(F ) = y O(β) = O(S) = 1.

Hay que destacar

1. Aparece el efecto β, que en O(1) no estaba. En O(1) son equivalentes lasaproximaciones plano-f y plano-β pero no en O().

2. Como consecuencia de [Dtv](0) = d(0)

t v(0), el viento geostrófico es “geostrófi-camente” acelerado debido a la existencia de viento ageostrófico.

3. Los órdenes de aproximación en las variables aparecen mezclados (hay (0) y(1) simultáneamente); o sea, hay interacción.

4. Las velocidades verticales, que son O(), se pueden determinar en aproxima-ción cuasigeostrófica.

Este último punto es de trascendental importancia para los Fluidos Geofísicos yaque hay fenómenos meteorológicos y oceanográficos que están condicionados porla presencia de ascendencias (mal tiempo atmosférico y afloramiento -upwelling-en el océano). La determinación en O(1) es imposible como se ha visto, lo cual esrazonable pensando en que se trata de determinar ascendencias para una capa defluido escalado a δ = D

L 1.

De la ecuación termodinámica (128) se puede deducir la velocidad vertical

w(1) = 1S

H − d(0)

t θ(0)

=

= 1S

H − ∂tθ

(0)− v(0)

· ∇θ(0)

con lo cual, conocida la fuente de calor en O() y con las demás variables en O(1) sepuede determinar la velocidad vertical en O(). Si se considera, como es corriente,que los procesos son adiabáticos, H = 0, queda para la velocidad vertical

w(1) = −1S

∂tθ

(0) + v(0)· ∇θ(0)

51

Tanto si se considera el caso adiabático como si no, la deducción de la velocidadvertical w(1) por esta vía, presenta la dificultad del término de la derivada local∂tθ(0) que no es de fácil determinación. Más adelante se verá un procedimiento paraevitar estimar dicho término cuando se necesite determinar velocidades verticales.

La advección de la temperatura potencial θ(0) por el viento geostrófico v(0)

admite una representación matemática aplicable a otros términos homólogos. Apartir de (116) se tiene

v(0)· ∇θ(0) =

k × ∇p(0)

· ∇θ(0) =

= k ·

∇p(0) × ∇θ(0)

=

= Jp(0), θ(0)

(129)

donde se ha introducido el jacobiano bidimensional de p(0) y θ(0) que, en general,para dos variables X, Y es

J (X, Y ) =

∂xX ∂xY∂yX ∂yY

Se puede combinar (figura 18) la interpretación física de la advección con la mate-mática dada (129) por medio del jacobiano. En el caso de la izquierda, la velocidadv(0), que sigue las isobaras de p(0) = cte, da lugar a una advección grande de tem-peratura potencial θ(0) al formar las dos familias de curvas intersecciones clarascon ángulos cercanos a π/2. No es así en la parte derecha, donde los ángulos sonpequeños.

Hay que hacer notar que (129) se puede generalizar para cualquier término querepresente una advección geostrófica

v(0)· ∇(•) = J

p(0), (•)

(130)

Es evidente que (130) se puede evaluar numéricamente de forma sencilla cono-ciendo la distribución espacial de p(0) y de la variable genérica (•).

Volviendo a las ecuaciones de la aproximación cuasigeostrófica (125)-(128), elhecho de estar mezcladas variables de O(1) y O() implica que existen restriccionesal movimiento en una y otra aproximación. Esto se puede poner de manifiesto, co-mo se verá mas adelante, al eliminar todas las variables en O() de esas ecuaciones,con lo que se obtiene una ecuación que condiciona el movimiento en O(1).

Además, conviene remarcar que esas ecuaciones adimensionales son igualmenteválidas para la atmósfera y para el océano (con tal de saber obtener todas lasvariables equivalentes con el orden de aproximación necesario) ya que los números

52

p (0) = cte

p (0) = cte! (0) = cte

! (0) = cte

Figura 18: Representación de dos familias de funciones p(0) (en azul) y θ(0) (enrojo) para dos casos diferentes. A la izquierda el cambio de una de ellas a lo largode una curva de la otra constante en grande. A la derecha, el cambio es pequeño.

adimensionales que aparecen son del mismo orden para los dos fluidos de la Tierra.En particular se cumple para latitudes medias para los dos que O(β) = O(S) = 1.

Muchas veces se dice que la escala sinóptica queda determinada en realidadpor O() < 1 y O(S) = 1, condiciones que cumplen los dos fluidos geofísicos.

Ecuaciones cuasigeostróficas de diagnóstico: ecua-ción de la tendencia y ecuación omega. Vector Q

Se puede obtener una ecuación para la vorticidad a partir de (125) aplicandoel operador k · [∇ × (•)]. Del primer miembro se deduce

∇ × [Dtv](0) = ∇ ×

∂tv(0) + v(0) · ∇v(0)

=

= ∂t

∇ × v(0)

A

+ ∇ × (v(0)· ∇v(0))

B

(131)

La expresión señalada con A en (131) es la vorticidad geostrófica relativa (adi-mensional), cuyo valor, a partir de la velocidad geostrófica (116), es

ζ(0) = ∇ × v(0) = ∇ ×

k × ∇p(0)

= k ∇2p(0) (132)

53

cuya componente vertical es

ζ(0) = k · ζ(0) = ∇2p(0) (133)

con lo cual, conocida la distribución de la presión se puede calcular su laplacianay queda entonces determinada la vorticidad geostrófica relativa.

Como se sabe, numéricamente, a partir del método de diferencias finitas, lalaplaciana de una función tiene una interpretación sencilla2, que se puede aplicara (133). Así, en las proximidades del centro de una baja, la laplaciana de p(0) espositiva y, por lo tanto, la vorticidad ζ(0) también, lo que concuerda con el resul-tado de realizar el cálculo directo del rotacional de la velocidad en aproximacióngeostrófica y con el de la circulación. De forma semejante se puede proceder parael caso de un alta.

Para deducir el término indicado con B en (131) se debe tener en cuenta

v(0)× ζ(0) = v(0)

×

∇ × v(0)

= ∇

12v(0)

· v(0)

− v(0)

· ∇v(0)

y entonces

∇ ×

v(0)

· ∇v(0)

= ∇ ×

ζ(0)

× v(0)

=

= ζ(0)∇ · v(0)

nulo, (116)

+ v(0)· ∇ζ(0)

− v(0)∇ · ζ(0)

nulo

− ζ(0)· ∇

nulo, (132)

v(0)

con lo cual (131) queda para la componente vertical

k ·

∇ × [Dtv](0)

= d(0)

t ζ(0) = [dtζ](0) = [Dtζ](0) (134)

Aplicando ahora el operador k · [∇ × (•)] a los términos del segundo miembrode (125) resulta

k ·

∇ ×

−∇p(1)

= 0 (135)

k ·

∇ ×

−k × v(1)

= −∇ · v(1) (136)

k ·

∇ ×

−βyk × v(0)

= −βv(0)

· ∇y = −d(0)

t (βy) (137)

Reagrupando (134), (135), (136) y (137) se tiene2La laplaciana en un punto es positiva (negativa) si en los alrededores de ese punto la función

toma valores mayores (menores).

54

d(0)

t

ζ(0) + βy

= −∇ · v(1) (138)

En el segundo miembro de (138) se puede usar la ecuación de continuidad,(127), lo que lleva a

d(0)

t

ζ(0) + βy

= 1

ρs∂z

ρsw

(1)

(139)

Tanto (138) como (139) son expresiones de la ecuación cuasigeostrófica de lavorticidad.

El primer miembro representa la derivada de siguiendo el movimiento geostrófi-co de la vorticidad geostrófica absoluta que, en realidad y dimensionalmente, seríaζ(0)

∗ + f0 + β∗y∗; pero como d(0)

t f0 = 0 , solo tiene derivada no nula, adimensional-mente, ζ(0) + βy.

Los segundos miembros de ambas ecuaciones representan, respectivamente, laconvergencia de líneas de torbellino y el alargamiento. No aparecen, sin embargo,términos de verticalización ni baroclinos.

Teniendo en cuenta (133), (139) se puede escribir

∇2∂tp

(0) + v(0)· ∇

∇

2p(0) + βy

−1ρs

∂z

ρsw

(1)

= 0 (140)

El término ∂tp(0) representa, en O(1), y adimensionalmente, la tendencia depresión, que se designará χ(0). Vamos a ver que en la ecuación cuasigeostrófica dela energía (128), también aparece dicha tendencia χ(0).

En primer lugar, el término de la izquierda se puede escribir

[Dtθ](0) = d(0)

t θ(0) = ∂tθ(0) + v(0)

· ∇θ(0)

que, con la ecuación hidrostática en la forma (123), permiten expresar (128) en laforma

∂z∂tp(0) + v(0)

· ∇∂zp(0) + Sw(1) = H (141)

Si (140) y (141) se escriben para la tendencia χ(0), desaparece explícitamentela dependencia temporal y queda

55

∇2χ(0) + v(0) · ∇(∇2p(0) + βy) −

1ρs

∂z

ρsw(1)

= 0

∂zχ(0) + v(0) · ∇∂zp(0) + Sw(1) − H = 0(142)

Se observa en el sistema (142)

1. Conocido p(0), los términos advectivos se pueden determinar

2. La velocidad vertical w(1) se puede eliminar entre las dos ecuaciones

Si se supone además

a) Movimiento adiabático, H = 0

b) Variabilidad espacial de ρs y S con poca influencia en (142)

se puede eliminar w(1) aplicando a la segunda de (142) el operador 1S

∂z y sumandoa la primera, lo que conduce a

∇

2 + 1S

∂2

zz

χ(0) = −v(0)

· ∇

∇

2p(0) + βy

A

+ 1S

∂z

−v(0)

· ∇∂zp(0)

B

(143)

La expresión (143) se denomina ecuación de la tendencia y se trata deuna ecuación de diagnóstico para esa variable. Conocido en un cierto instantela distribución de presión p(0), se determina el segundo miembro y, entonces, in-virtiendo el operador elíptico ∇2 + 1

S∂2

zz por un método de relajación, dadas unascondiciones de contorno para χ(0), se puede determinar su distribución en todo elespacio.

Los términos A y B de (143) tienen un claro significado físico:A es la advección por el viento geostrófico de la vorticidad (geostrófica relativa

más planetaria).B es algo más complicado. Se le denomina término de advección diferen-

cial. El paréntesis representa la advección geostrófica de “temperatura hidros-tática”, en el sentido discutido a partir de (123). Por tanto, B da cuenta de lavariación vertical de dicha advección.

Con las mismas hipótesis que para llegar a (143) se puede eliminar χ(0) en elsistema (142). Tomando ∂z de la primera, ∇2 de la segunda y restando queda

56

∇

2 + 1S

∂2

zz

w(1) =

= −1S

∂z

−v(0)

· ∇

∇

2p(0) + βy

A

− ∇2

−v(0)

· ∇∂zp(0)

B

(144)

expresión que se denomina ecuación omega. La razón hay que buscarla en lameteorología. Es corriente utilizar la presión como coordenada vertical generalizaday usar la terna (x, y, p). La velocidad vertical generalizada p se designa ω = p. Deahí el nombre, pues originalmente (144) se dedujo para ω y no para w.

La ecuación (144) tiene ciertas semejanzas con la (143). Estas son:

a) Es una ecuación de diagnóstico para w(1)

b) Conocida la presión, p(0), se puede calcular el segundo miembro

c) El operador del primer miembro es el mismo. En consecuencia, como allí,por inversión se puede determinar w(1) en todo el espacio

d) El término A es una advección diferencial de vorticidad absoluta (geostrófi-ca).

El término B es nuevo. Se denomina de focalización de la advección de tempera-tura. Es diferente de cero cuando existe heterogeneidad horizontal en la advecciónde temperatura hidrostática.

La ecuación omega, (144), es una de las más estudiadas en meteorología y, porsemejanza, también en oceanografía. Permite determinar velocidades verticales apartir únicamente del campo de presión. Sin embargo, los términos A y B suelenestar bastante compensados pues acostumbran a ser de signo diferente y de pare-cido valor. Esto hace que cualquier pequeño error en la determinación individualde cada uno de los dos términos, pueda afectar de forma importante al valor delsegundo miembro; incluso, cambiar de signo.

En aproximación plano-f , el segundo miembro se puede escribir de forma mássencilla por medio del llamado vector Q, de Hoskins. La ecuación (144) se trans-forma en

∇

2 + 1S

∂2

zz

w(1) = 2

S∇ · Q(0) (145)

siendo

57

Q(0) = −∇v(0)· ∇θ(0) (146)

versión adimensional y en O(1) del vector Q.El proceso para llegar a (145) es largo. Por otra parte, aunque Q(0) es difícil

de interpretar, se puede calcular con relativa facilidad. La gran ventaja es que sudivergencia permite determinar el movimiento vertical con mayor seguridad con laversión de la ecuación omega (145) que a partir de (144).

Pronóstico cuasigeostrófico. Vorticidad potencialcuasigeostrófica

En el apartado anterior se ha visto como a partir de las ecuaciones cuasigeostró-ficas se pueden diagnosticar los campos de tendencia de presión χ(0) y de velocidadvertical w(1).

Ambos se determinan “simplemente” invirtiendo un operador, conocidas con-diciones de contorno y forzamientos (segundos miembros), dependientes solo dep(0).

Como es χ(0) = ∂tp(0), además, conocidas condiciones iniciales para p(0), in-tegrando en el tiempo se puede determinar el campo futuro de p(0), con lo quediagnosticando χ(0) y w(1) a partir de la presión futura, nuevamente se tienen pro-nósticos de estas variables. En principio el proceso se puede repetir sucesivamentey determinar campos futuros de las variables implicadas.

Para ver formalmente que esto es así, se puede volver a las ecuaciones cuasi-geostrófica de la vorticidad (139)y de la energía (128). Se trata ahora de eliminarw(1) de esas dos ecuaciones sin introducir tantas simplificaciones como las conside-radas para deducir la ecuación de la tendencia (143). Basta despejar w(1) de (128)y substituir en la ecuación (139).

Se tiene entonces para el segundo miembro de (139)

1ρs

∂z

ρsw

(1)

= 1ρs

∂z

ρs

S

H − d(0)

t θ(0)

=

= 1ρs

∂z

ρsH

S

−

1ρs

∂z

d(0)

t

ρsθ(0)

S

(147)

Los operadores ∂z y d(0)

t del término final se pueden invertir haciendo uso de(113) y (124). Operando en (147) y sustituyendo en (139), resulta

58

d(0)

t

ζ(0) + βy

= 1

ρs∂z

ρsH

S

−

1ρs

d(0)

t ∂z

ρsθ(0)

S

−1S

k × ∇θ(0)

· ∇θ(0)

nulo

que, tras reagrupar términos, se transforma en

d(0)

t

ζ(0) + βy + 1ρs

∂z

ρsθ(0)

S

= 1ρs

∂z

ρsH

S

(148)

La expresión (148) es la ecuación cuasigeostrófica de la vorticidadpotencial, variable que, en O(1) y adimensional, resulta ser

Π(0) = ζ(0) + βy + 1ρs

∂z

ρsθ(0)

S

(149)

De (148) se deduce que la vorticidad potencial (149) se conserva en ausenciade calentamiento, o sea

d(0)

t

ζ(0) + βy + 1ρs

∂z

ρsθ(0)

S

= 0 (150)

En esta ecuación, (150), está expresada la restricción al movimiento en O(1)que impone la aproximación cuasigeostrófica. Además, con (116), (123) y (133), yhaciendo para simplificar

ψ = p(0)

se puede escribir explícitamente (150) en la forma

[∂t + (∂xψ)∂y − (∂yψ)∂x]

∂2

xxψ + ∂2

yyψ + βy + 1ρs

∂z

ρs

S∂zψ

= 0 (151)

A partir de (151), conocidas para la variable ψ condiciones de contorno ycondiciones iniciales, se puede determinar en todo el espacio y para todo instantefuturo el valor de ψ. En general, (151) sólo se puede resolver numéricamente yaque se trata de una ecuación diferencial en derivadas parciales, no lineal y de ordensuperior.

Una vez determinada ψ = p(0) por integración de (151), se deducen todos losdemás campos de variables a partir de las ecuaciones en O(1) dadas por (116),(117) y (123).

59