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Sistemas de Numeração

Célia Borlido

07/09/2007

Encontro Nacional dos Novos Talentos em Matemática

Alguma notação para começar…

� Є representa a palavra vazia.

� Se ∑ é um alfabeto, isto é, um conjunto não vazio de símbolos (finito ou infinito), então, ∑* representa o conjunto de todas as palavras finitas cujas letras estão em ∑e ∑n representa o conjunto de todas as palavras com n letras em ∑.� Por exemplo, se ∑ = {1, 0}, então:

∑* = {Є, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, … } e∑2 = {00, 01, 10, 11 }.

Definição:

� Semi-anel:

� Um semi-anel é um conjunto S que contém os

elementos 0 e 1, juntamente com as operações

binárias + e , tal que (S, + , 0) e ( S , ,1) são

estruturas comutativas e associativas e:

�

�

�

0 0 0a a⋅ = = ⋅

( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅

( )a b c a c b c+ ⋅ = ⋅ + ⋅

O que é um Sistema de Numeração?

� Um Sistema de Numeração é um modo de expressar um elemento de um dado semi-anel como combinação linear

n = a0 u0 + a1 u1 + … + arurde elementos de U = {u0, u1, u2, … } sendo os elementos ai chamados os dígitos de n. A palavra finita arar-1…a2a1a0 diz-se a representação de n.


� Mais formalmente, define-se um Sistema de Numeração N como sendo um triploN = (U, D, R) ,onde:

� U = {u0, u1, u2, … } é uma sequência de elementos de S, chamada a base de N;

� D é um subconjunto de S, normalmente finito, chamado o conjunto de dígitos;

� R Œ D* é o conjunto das representações válidas.


� Define-se a função[w]u : D* → S

arar-1…a2a1a0 = w , a0 u0 + a1 u1 + … + ar ur

� Exemplo:

� Se considerarmos o semi anel ;, um exemplode um Sistema de Numeração é o sistemadecimal. Neste caso temos:

� U = {1, 10, 100, … };

� D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

� R = { e } » (D \ {0}) D*.

Sistemas de Numeração Perfeitos:

� Exemplo:� N = ({1!, 2!, …}, ;, {e} » {arar-1…a1: ar≠ 0 , 0 ≤ ai ≤ i, ∀i })

Todo o inteiro pode ser representado de forma única da seguinte maneira:

n = a1 1! + a2 2! + … ar r!

� Prova:

� Dado n, seja k tal que k! ≤ n < (k+1)!

� Pode-se provar por indução que:k! – 1 = 1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + … + (k – 1) (k – 1)!

Concluindo-se portanto que n tem k dígitos ( r = k).

� Possibilidades para um número com k dígitos:

.1! + .2! + .k!.3! + .(k-1)! +… +

2 x 3 x 4 x … x k x k == k x k!

Sistemas de Numeração Perfeitos:

� Sejam� A = a1 1! + a2 2! + a3 3! + … + an n!

� B = b1 1! + b2 2! + b3 3! + … + bn n!

dois números iguais.

� Se an > bn temos:

(an – bn) n! ≥ n!

e

(a1 1! + a2 2! + a3 3! + … + an-1 (n – 1)!) – (b1 1! + b2 2! + b3 3! + … + bn-1 (n – 1)!) ≥ 1 – n!

� E somando…A – B ≥ 1, contradição!!!

≥ 0 ≤ n! – 1

Algoritmo Guloso

� Sejam 1 = u0 < u1 < u2 < … elementos de ; que formam uma base U.

� Greedy (n) :t := 0while ut+1 ≤ n do

t := t + 1for i = t down to 0 do:

ai := [ n / ui]n := n – ai uioutput (ai)

Algoritmo Guloso:

� Conjunto das representações válidas:

� R = {Greedy (n) : n ≥ 1} » {e}

� Conjunto de dígitos:

� Como ai < ui+1 / ui , D é finito se c = sup i ≥0 (ui+1 / ui) for finito e, neste caso, temos D = {0, 1, 2, …, [c]} .

Teorema 1:

� Seja U = {u0, u1, u2, … } uma base de elementos de ; tal que 1 = u0 < u1 < u2 < … . Então, todo o inteiro não negativo tem exactamente uma representação como combinação linear a0 u0 + a1 u1 + … + ar ur se os dígitos satisfizerem a seguinte desigualdade:

� a0 u0 + a1 u1 + … + ai ui < ui+1

Conjuntos de Dígitos Alternativos I

� Seja Ek = {1, 2, …, k}, o conjunto de dígitos.Então:N = ( {1, k, k2, … }, Ek, Ek* ) é perfeito.

� Para provar isto podemos usar o Teorema 1:

� a0 + a1 k + a2 k2 + … + an-1 kn-1 §

§ k ( 1 + k + k2 + … + kn-1 ) =

= k (1 – kn+1) / (1 – k) <

< kn , k ¥ 2

Conjuntos de Dígitos Alternativos III:

� Sistema de Numeração Ternário Equilibrado:N = ( {1, 3, 32, 33, …}, F, {e} » ( F \ {0}) F* ),onde F = {-1, 0, 1}.� Exemplo:

-11-1-71-117

10-1-8-1018

01-1-60-116

11-1-5-1-115

-1-1-4114

0-1-3013

1-1-2-112

-1-111

303132…n303132…n


� Generalização do Sistema de Numeração Ternário Equilibrado:N = ({1, k + l + 1, (k + l + 1)2, … }, F, {e} » (F\{0}) F* ),

sendo F = { – k, 1 – k, 2 – k, …, – 1, 0, 1, 2, …, l – 1, l }

� Sistema de Numeração Ternário Equilibrado:Caso particular em que k = l = 1.

Definições:

� Dado um conjunto finito de dígitos inteiros, D, este diz-se básico para uma base k ¥ 2 se:� 0 œ D;

� ( {1, k, k 2, k 3, …}, D, {e} » ( D \ {0}) D* ) é um Sistema de Numeração Perfeito.

� Um conjunto S diz-se um sistema de restos completo (mod k) se, |S| = k e,"nœ Z, ∃mœS : m ª n mod k.

Teorema 2:

� Seja k ∈;≥ 2 .

O conjunto de dígitos D, que contém o zero, é básico para k se e só se:

� D é um sistema de restos completo (mod k);

� ∀n ≥1, ∀w ∈Dn, [w]k não é múltiplo não nulo dekn–1.


� F = {-1, 0, 1} é um sistema de restos completo.

� 3n – 1 não divide [w]k " wœDn, pois[w]k § 1 + 3 + 32 + … + 3n-1 = (3n – 1)/2 < 3n – 1.

Conjuntos de Dígitos Alternativos IV:

� Todo o inteiro n se pode escrever de forma única como combinação linear

n = a0 – a1 k + a2 k2 – a3 k

3 + … + at (–k) t

�RepBaseNeg (n, k):i := 0while n ≠ 0 do

(1) ai := n (mod k)(2) n := (n – ai) / (– k)(3) i := i + 1


� Sejam:n0 = nni = (ni-1 – ai-1) / (– k)

Pelo algoritmo da divisão inteira temos:

ni = qi+1 k + ai

flni+1 = (ni – ai)/(– k) = (qi+1 k + ai – ai)/(– k) = – qi+1

fl ai = ni – qi+1 k = – qi – qi+1 k


Ou seja,

a0 = n – q1 ka1 = – q1 – q2 k

a2 = – q2 – q3 k

a3 = – q3 – q4 k

....

....

....

E portanto,

a0 – a1 k + a2 k2 – a3 k3 + … =

(n – q1 k) - k (– q1 – q2 k) +

k2 (– q2 – q3 k) – k3 (– q3 – q4 k) + …=

= n


� RepBaseNeg (n, k):

i := 0

while n ≠ 0 do

(1) ai := n (mod k)

(2) n := (n – ai)/(– k)

(3) i := i + 1

| n | § 1

n’ = (n – ai)/(– k)

| n’| < | n|


� RepBaseNeg (n, k):

i := 0

while n ≠ 0 do

(1) ai := n (mod k)

(2) n := (n – ai) / (– k)

(3) i := i + 1

� Exemplo:

� k = 3; n = 5:

� a0 := 5 (mod 3) = 2

� n := (5 – 2)/(-3) = -1a1 := -1 (mod 3) = 2

� n := (-1 – 2)/(-3) = 1a2 := 1 (mod 3) = 1

� n := (1 – 1) / (-3 ) = 0

∴ 5 = 1 . 32 – 2 . 3 + 2

Conjuntos de Dígitos Alternativos V:

� F0 = 0F1 = 1Fn = Fn-1 + Fn-2

� Cada inteiro pode ser representado de forma única como combinação linear

n = a2 F2 + a3 F3 + … + ar Fr,

ai œ {0, 1},ai ai+1 = 0, " 2 § i < r

Conjuntos de Dígitos Alternativos V:

� a2 F2 + a3 F3 + … + at Ft < Ft+1 ∀ t se e só seai ai+1 = 0, ∀ 2 ≤ i < t, ai ∈{0, 1}.

� Suponhamos que existe i tal que ai ai+1 = 1. Então,

a2 F2 + a3 F3 + … + ai Fi + ai+1 Fi+1 ≥ Fi + Fi+1 = Fi+2

� Reciprocamente, suponhamos que ai ai+1 = 0, ∀ 2 ≤ i < t.

(1) a2 F2 + a3 F3 + … + at Ft ≤ F2 + F4 + … + Ft se t par ;

(2) a2 F2 + a3 F3 + … + at Ft ≤ F3 + F5 + … + Ft se t ímpar.

Conjunto de Dígitos Alternativos V:

� Exemplo:

0010111

0100110

100019

000018

01017

10016

00015

1014

0013

012

11

F2 = 1F3 = 2F4 = 3F5 = 5F6 = 8F7 = 13…n

Conjuntos de Dígitos Alternativos VI:

� Seja αœR \ Q.α = [a0, a1, a2, … ] = a0 + 1

a1 + 1a2 + 1

Define –se :

p-2 = 0 p-1 = 1 pn = an pn-1 + pn-2

q-2 = 0 q-1 = 1 qn = an qn-1 + qn-2

pn/qn = [a0, a1, a2, … , an]


� Seja α um número irracional e (qn)n¥0 a sequência dos denominadores da sucessão de fracções que convergem para α. Então, todo o inteiro n não negativo pode ser representado de forma única como a seguinte soma:

b0 q0 + b1 q1 + … + bj qj,

onde bi são inteiros que satisfazem:

(1) 0 § b0 < a1;

(2) 0 § bi§ ai+1, para i ¥ 1

(3) Para i ¥ 1, se bi = ai+1, então, bi-1 = 0.


� Exemplo:� α = ( 1 + √5 ) / 2 = [1, 1, 1, 1, …].

qk = qk-1 + qk-2 q-2 = 1 q-1 = 0

� (1) 0 § b0 < a1 ñ 0 § b0 < 1 ñ b0 = 0fl b0 q0 + b1 q1 + … + bj qj = b1 q1 + … + bj qj

(2) 0 § bi§ ai+1 ñ 0 § bi§ 1 ñ bi œ {0, 1}.

(3) i ¥ 1: (bi = ai+1 fl bi-1 = 0 ) ñ (bi = 1 fl bi-1 = 0 ) ñ bi bi+1 = 0

Conjuntos de Dígitos Alternativos VII:

� Z[i] = { a + b i : a, b ∈ Z }, i = √-1.

� θ = d + e i�θ � = d2 + e2 → Norma de θ

N = (U, D, {e} » (D\{0}) D* ),U = {1, θ, θ2, θ3, … } e D = {0, 1, 2, …, �θ � – 1}

N é perfeito se e só se θ = – A ± 1, A ∈ Z≥1.


� Exemplo:θ = - 1 + i = - A + i; �θ � = 2.

α = - 1 + 4 i = e + f i.

� Seja c = e + A f = -1 + 4 = 3.

Tem–se c + f θ = e + A f + f (- A + i) = e + f i = α

Como θ2 + 2 A θ + A2 = (θ + A)2 = -1, se c < 0 ou f < 0, então:

c → (- c) (θ2 + 2 A θ + A2 )

f → (- f) (θ2 + 2 A θ + A2 )

No nosso caso:

�α = 3 + 4 θ.


� Divide–se o primeiro dígito por A2 + 1 = 2:

3 = (A2 + 1 ) 1 + 1 = 2 + 1

� A2 + 1 = (A – 1)2 θ+ (2 A – 1) θ2 + θ3

3 = ((A – 1)2 θ+ (2 A – 1) θ2 + θ3) + 1 =

1 + θ2 + θ3

∴ α = 1 + θ2 + θ3 + 4 θ = 1 + 4 θ + θ2 + θ3 = 1 + θ (4 + θ + θ2 )


� E repete-se o processo para α1=4 + θ + θ2…� 4 = 2 . 2 + 0

� 4 = 2 ((A – 1)2 θ+ (2 A – 1) θ2 + θ3) = 2 θ2 + 2 θ3

∴ α1= 2 θ2 + 2 θ3 + θ + θ2 = θ + 3 θ2 + 2 θ3 = θ (1 + 3 θ + 2 θ2 )

α2 = 1 + 3 θ + 2 θ 2 = 1 + θ ( 3 + 2 θ)

α3 = 3 + 2 θ = 1 + θ ( 2 + θ + θ 2 )

α4 = 2 + θ + θ 2 = θ ( 1 + 2 θ + θ 2 )

α5 = 1 + 2 θ + θ 2 = 1 + θ ( 2 + θ)

α6 = 2 + θ = θ + θ 2 + θ 3

α = 1 + θ 2 + θ 3 + θ 5 + θ 7 + θ 8 + θ 9

Bibliografia:

� Jean-Paul Allouche & Jeffrey Shallit.

“Automatic Sequences – Theory, Applications,

Generalizations”. Cambridge University

Press, 2003.

Problemas em aberto…

� Encontrar uma fórmula simples ou uma forma eficiente de calcular

� Podem todos os inteiros não múltiplos de 3

ser escritos na forma a/b, onde a e b têm representações na base 3 que usam

unicamente os dígitos 1 e –1?

12

0

( )N

k

n

s n−

=

∑

Um último desafio…

� Será que existem inteiros a, b, c ≥ 0 tais

que:

�

�

�

�

10 ( ) 5s a b+ <

10 ( ) 5s a c+ <

10 ( ) 5s b c+ <

10 ( ) 50s a b c+ + >

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