sistemas de control avanzado

SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO

Ing. José A. Machuca Mines

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENEIRIA EELCTRICA Y ELECTRONICA


ING. JOSE MACHUCA MINES



1 SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL

1.1 INTRODUCION

La aplicación del computador digital se ha incrementado en estas décadas últimas, en el

procesamiento de algoritmos complejos de sistemas de control usando cualquier técnica

ométodo como es control convencional, control PID digital, control óptimo, control no

lineal, control robusto, control adaptativo, control predictivo, control deslizante, control

fraccional control multivariable, así como el desarrollo de sistemas basados en redes

neuronales, lógica difusa, algoritmos genéticos, desarrollo de sistemas expertos,

identificación de parámetros. También abarca las aplicaciones de control remoto,

control mediante de inteligencia artificial, robots industriales, en domótica,

automovilismo, sistemas fabriles, aviación, navegación, minería, pesquería, etc.

Los sistemas de control digital tienen la capacidad de toma de decisiones y flexibilidad

en los programas de control, productividad máxima, el máximo beneficio, el costo

mínimo o el mínimo gasto de energía y optimización del tiempo y costo debido que se

elaboran a base de logaritmos ejecutables en cualquier procesador digital.

Las ventajas del control digital frente al control continuo son:

Los controles por computador (digitales) son mucho más versátiles que los

analógicos. El programa que se realiza en un determinado control puede

modificarse con mucha facilidad para dar lugar a cambios en el diseño sin

necesidad de efectuar cambios en el hardware y se pueden implementar

cualquier tipo de ley de control, permitiendo realizar controles adaptativos, no

lineales robustos, predictivos, de cualquier proceso por muy complejo que

parezca, etc.

Los controladores digitales permiten realizar cálculos complejos con exactitud

constante a alta velocidad y se puede aumentar el grado de exactitud deseado con

un incremento relativamente del costo, permitiendo obtener respuestas rápidas y

exactas.

Los componentes digitales (procesadores, circuitos integrados, transductores,

codificadores, dispositivos electrónicos digitales, etc.) son más confiables y

robustos que los componentes analógicos. Además son menos susceptibles al

envejecimiento y a la variación de las condiciones ambientales.

Los componentes digitales son menos sensibles al ruido y a las perturbaciones y

proporcionan una mejor sensibilidad ante la variación de los parámetros.

Las desventajas de los sistemas digitales frente a los sistemas analógicos son:

Los controles digitales tienen limitaciones en la velocidad de cálculo lo cual

provoca retrasos en el lazo de control, que pueden llegar a provocar

inestabilidades en el sistema en lazo cerrado, debido que depende de la

velocidad de cálculo del procesador. Los sistemas analógicos trabajan en tiempo

real.

Los controles digitales tienen limitaciones en la resolución a ala longitud de la

palabra finita del procesador, lo cual puede dar origen inestabilidades en el

sistema. Los controladores analógicos tienen una resolución infinita

teóricamente.



1.1.1 TIPOS DE SEÑALES

Las señales utilizadas en el análisis de los sistemas de control en tiempo discreto se

detallan a continuación:

Señal analógica o señal en tiempo continuo. Es una señal que está definida en un

intervalo de tiempo continuo y puede tomar un intervalo continuo de valores.

Figura 1.1 . Señal analógica en tiempo continuo

Señal cuantificada en tiempo continuo. Es una señal que está definida en tiempo

continuo con un número finito de valores cuantificados en tiempo discreto.

Figura 1.2. Señal cuantificada en tiempo continuo

Señal de datos muestreados. Es una señal definida en tiempo discreto que puede tomar

un número finito de valores distintos. Esta señal se puede generar muestreando una

señal analógica en valores discretos de tiempo.



Figura 1.3 Señal de datos muestreados en tiempo discreto

Señal digital. Es una señal en tiempo discreto que solo puede tomar un conjunto de

discreto de valores, es decir su valor está cuantificado, tanto en el tiempo como en la

amplitud y se puede representar mediante una secuencia de números normalmente en el

sistema binario.

Figura 1.4. Señal digital

El uso de control por computador requiere la utilización de señales digitales que son

señales cuantificadas tanto en amplitud como en el tiempo.

1.1.2 ESQUEMA BASICO DE UN CONTROL DIGITAL

La configuración básica de un sistema de control digital se presenta en el esquema de la

figura 1.5, donde el sistema de control digital se aprecia con mayor detalle en la figura

1.6



Sistema de

Controlador

Digital Actuador

Planta o

proceso

Transductor

e(t) u(t) v(t) y(t)

Figura 1.5 Sistema de control digital

Conversor

D/A e(kT) e*(t)

Procesador

Digital Conversor

A/D Retenedor

Reloj

u*(t) u(kT) u(t) Retenedor

e(t) eh(t)

0101

1101

1101

0101

Figura 1.6 Esquema de un controlador digital

En un sistema con control digital intervienen todos los tipos de señales tanto en tiempo

continuo y discreto como señales codificadas en forma numérica. El procesador digital

procesa la secuencia de datos binarios de la señal del error e(kT) por medio de un

algoritmo de control y produce una señal digital de control u(kT).

Para el proceso de digitalización se utilizan un conversor A/D y para realizar el proceso

inverso se utiliza un conversor D/A. El muestreador convierte la señal analógica en

señal discreta y el retenedor transforma la señal discreta en una señal cuantificada de

datos discretos.



2 REPRESENTACION DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE

TIEMPO DISCRETO EN EL ESPACIO DE ESTADOS

2.1 INTRODUCION

La representación en el espacio de estados de los sistemas de control se basa en la

descripción del sistema en términos de n ecuaciones en diferencias o diferenciales de

primer orden, que se pueden combinar en una ecuación matricial en diferencias o

diferencial de primer orden.

El diseño del sistema mediante el uso del concepto de espacio de estado permite al

ingeniero de control diseñar sistemas de control con respecto a índice de desempeño

dados. Además, el diseño en el espacio de estado se puede realizar con toda clase de

entradas. Asimismo, los métodos en el espacio de estado permiten al ingeniero incluir

condiciones iniciales dentro del diseño.

Definiciones

Estado. El estado de un sistema dinámico es el conjunto mas pequeño de variables

llamadas (variables de estado) tales que el conocimiento de dichas variables en t = t0 ,

junto con el conocimiento de la entrada para t ≥ t0 determinan por completo el

comportamiento del sistema para cualquier tiempo t ≥ t0 .

Variables de estado. Las variables de estado de un sistema dinámico son las que

conforman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema

dinámico. Para describir en su totalidad el comportamiento de un sistema dinámico se

requiere de por lo menos n variables x1 , x2 , x3 , ... , xn , dichas variables de estado se

consideran un conjunto de variables de estado. Las variables de estado no necesitan ser

físicamente cantidades medibles u observables. Sin embargo, en la práctica, lo

conveniente es seleccionar cantidades fácilmente medibles como variables de estado.

Vector de estado. Si n variables de estado son necesarias para describir

completamente el comportamiento de un sistema dado, entonces estas n variables de

estado se pueden considerar como las n componentes de un vector de estado x. Un

vector de estado determina en forma única el estado x(t) del sistema para cualquier

tiempo t≥t0 , una vez dado el estado en t = t0 y especificado la entrada u(t) para t ≥ t0 .

Espacio de estado. El espacio de n dimensiones cuyos ejes coordenados están

formados por el eje x1 , eje x2 , ... , eje xn se conoce como espacio de estado. Cualquier

estado se puede representar por un punto dentro del espacio de estado.

Ecuaciones en el espacio de estado. En el análisis en el espacio de estado se trata

con tres tipos de variables que están involucradas en el modelamiento de sistemas

dinámicos; las variables de entrada, las de salida y las de estado. La representación en el

espacio de estado para un sistema dado no es única, pero el número de variables de



estado es el mismo para cualquiera de las distintas representaciones en el espacio de

estado del mismo sistema.

Para sistemas (lineales o no lineales) de tiempo discreto variantes en el tiempo

perturbados, la ecuación de estado se puede escribir como

kkkkk ),(),(),()1( vuxfx (2.1)

y la ecuación de salida como

kkkkky ),(),(),()( wuxg (2.2)

Para sistemas (lineales o no lineales) de tiempo discreto invariantes en el tiempo, la

ecuación de estado se puede escribir como

)(),()1( kkk uxfx (2.3)

y la ecuación de salida como

)(),()( kkk uxgy (2.4)

Para los sistemas lineales de tiempo discreto variantes ene el tiempo perturbados, la

ecuación de estado y la ecuación de salida se pueden escribir como

)()()()()()()1( kkkkkkk vEuHxGx (2.5)

)()()()()()()( kkkkkkk wFuDxCy (2.6)

donde

x(k) : vector de estado de n×1

y(k) : vector de salida de m×1

u(k) : vector de entrada o de control de r×1

v(k) : vector de perturbación de estado de s×1

w(k) : vector de perturbación de salida de t×1

G(k) : matriz de estado de n×n

H(k) : matriz de entrada de n×r

C(k) : matriz de salida de m×n

D(k) : matriz de transmisión directa de m×r

E(k) : matriz de perturbación de estado de n×s



F(k) : matriz de perturbación de salida de m×t

Si el sistema es invariante en el tiempo, entonces las ecuaciones de estado y de salida

se escriben como

)()()1( kkk HuGxx (2.7)

)()()( kkk DuCxy (2.8)

Las ecuaciones (2.7) y (2.8) que describe la dinámica de un sistema de control lineal

invariante en el tiempo (discreto) se pueden representar mediante un diagrama de

bloques representado en al figura 2.1

D

z-1

I

G

C H x(k+1) x(k) y(k) u(k)

Figura 2.1 Diagrama de bloques de un sistema de control lineal en tiempo discreto

invariante en el tiempo representado en el espacio de estado

Al igual que en el caso de tiempo discreto, los sistemas de tiempo continuo

perturbados (lineales o no lineales) variantes en el tiempo se pueden representar

mediante las siguientes ecuaciones de estado y de salida como

ttttt ),(),(),()( vuxfx (2.9)

ttttt ),(),(),()( wuxgy (2.10)

Los sistemas de tiempo continuo (lineales o no lineales) invariantes en el tiempo se

pueden representar mediante las siguientes ecuaciones de estado y de salida

)(),()( ttt uxfx (2.11)

)(),()( ttt uxgy (2.12)

Para sistemas lineales de tiempo continuo variantes en el tiempo perturbados, las

ecuaciones de estado y de salida están dadas por

)()()()()()( tttttt EvuBxx A (2.13)



)()()()()()( tttttt FwuDxCy (2.14)

Si el sistema es lineal e invariante en el tiempo, entonces las dos últimas ecuaciones

se simplifican a

)()()( ttt Buxx A (2.15)

)()()( ttt DuCxy (2.16)

Las ecuaciones (2.15) y (2.16) que describe la dinámica de un sistema de control

lineal invariante en el tiempo (continuo) se pueden representar mediante un diagrama de

bloques representado en al figura 2.2

D

dt

A

C B y(t) x(t) u(t) )(tx

Figura 2.2 Diagrama de bloques de un sistema de control lineal en tiempo continuo

invariante en el tiempo representado en el espacio de estado

2.2 LINEALIZACION DE SISTEMAS DE CONTROL

Si el sistema de control está representado por las ecuaciones (2.11) y (2.12) y en su

forma no lineal se puede expandir mediante series de Taylor respecto de un punto ),( ux

como sigue

))()(,())()(,(),()( uuuxf

uxxuxf

xuxfx ttt (2.17)

))()(,())()(,(),()( uuuxg

uxxuxg

xuxgy ttt (2.18)

Definiendo las siguientes expresiones

),( uxfx , ),( uxgy , xxx )()( tt , uuu )()( tt

),( uxfx

A

, ),( uxf

uB

, ),( uxg

xC

, ),( uxg

uD

Las ecuaciones (2.17) y (2.18) se pueden aproximar y escribir como



)()()( ttt uBxAx (2.19)

)()()( ttt uDxCy (2.20)

Las matrices A, B, C, y D expresan las matrices jacobianas como sigue

n

nn

n

x

f

x

f

x

f

x

f

1

1

1

1

),( uxfx

A ,

r

nn

r

u

f

u

f

u

f

u

f

1

1

1

1

),( uxfu

B

n

mm

n

x

g

x

g

x

g

x

g

1

1

1

1

),( uxgx

C ,

r

mm

r

u

g

u

g

u

g

u

g

1

1

1

1

),( uxgu

D

Las ecuaciones (2.19), (2.20) son de la misma forma que las ecuaciones (2.15) y

(2.16) y por lo tanto representan a un sistema lineal invariante en el tiempo.

2.3 REPRESENTACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO DE SISTEMAS

EN TIEMPO DISCRETO

Formas canónicas para ecuaciones en el espacio de estado en tiempo discreto.

Existen muchas técnicas para obtener representaciones en el espacio de estado

correspondientes a sistemas de simple entrada y simple salida en tiempo discreto.

Considerando el sistema en tiempo discreto descrito por

)()1()()()1()( 101 nkubkubkubnkyakyaky nn

(2.22)

donde u(k) es la entrada e y(k) es la salida del sistema en el instante de muestreo k.

Algunos de los coeficientes ai (i=0,1,2,...,n) y bi (i=0,1,2,...,n) pueden ser cero. La

ecuación (2.22) se puede escribir en forma de la función de transferencia pulso como

nn

nn

zazaza

zbzbzbb

zU

zY

2

21

1

22

110

1)(

)( (2.23)

o bien



nnnn

nnnn

azazaz

bzbzbzb

zU

zY

2

21

1

22

110

)(

)( (2.24)

Existen muchas forma de llevar a cabo representaciones en el espacio de estado para

el sistema en tiempo discreto descrito por las ecuaciones (2.22), (2.23) o (2.24). Aquí se

presentan las siguientes:

1. Forma canónica controlable (FCC)

2. Forma canónica observable (FCO)

3. Forma canónica diagonal (FCD)

4. Forma canónica de Jordan (FCJ)

5. Otras

Forma canónica controlable. La representación en el espacio de estado del sistema

en tiempo discreto obtenida de las ecuaciones (2.22), (2.23) o (2.24) se puede expresar

en la forma canónica controlable mediante las ecuaciones siguientes:

)(

1

0

0

0

)(

)(

)(

)(

1000

0100

0010

)1(

)1(

)1(

)1(

1

2

1

121

1

2

1

ku

kx

kx

kx

kx

aaaakx

kx

kx

kx

n

n

nnnn

n

(2.25)

)(

)(

)(

)(

)( 02

1

0110110 kub

kx

kx

kx

babbabbabky

n

nnnn

(2.26)

Las ecuaciones (2.25) y (2.26) representan a las ecuaciones de estado y de salida,

respectivamente.

Si se invierte el orden de las variables de estado, es decir, si se define nuevas

variables de estado, de acuerdo con la forma

)(

)(

)(

)(

0001

0010

0100

1000

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

1

2

1

1

2

1

kx

kx

kx

kx

kx

kx

kx

kx

n

n

n

n



entonces las ecuaciones de estado y de salida también están en su forma canónica

controlable y se pueden escribir respectivamente como sigue:

)(

0

0

0

1

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

0100

0010

0001

)1(ˆ

)1(ˆ

)1(ˆ

)1(ˆ

1

2

1121

1

2

1

ku

kx

kx

kx

kxaaaa

kx

kx

kx

kx

n

n

nn

n

n

(2.27)

)(

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

)( 02

1

0022011 kub

kx

kx

kx

babbabbabky

n

nn

(2.28)

Forma canónica observable. La representación en el espacio de estado del sistema

en tiempo discreto dada de las ecuaciones (2.22), (2.23) o (2.24) se puede expresar en la

forma canónica observable mediante las siguientes ecuaciones:

)(

)(

)(

)(

)(

100

000

001

000

)1(

)1(

)1(

)1(

011

022

011

0

1

2

1

1

2

1

1

2

1

ku

bab

bab

bab

bab

kx

kx

kx

kx

a

a

a

a

kx

kx

kx

kx

nn

nn

n

n

n

n

n

n

(2.29)

)(

)(

)(

)(

100)( 02

1

kub

kx

kx

kx

ky

n

(2.30)

Si se invierte el orden de las variables de estado, es decir, si se define nuevas

variables de estado, de acuerdo con la forma

)(

)(

)(

)(

0001

0010

0100

1000

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

1

2

1

1

2

1

kx

kx

kx

kx

kx

kx

kx

kx

n

n

n

n

entonces las ecuaciones de estado y de salida también están en su forma canónica

controlable y se pueden escribir respectivamente como sigue:



)(

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

010

100

000

001

)1(ˆ

)1(ˆ

)1(ˆ

)1(ˆ

0

011

022

011

1

2

1

1

2

1

1

2

1

ku

bab

bab

bab

bab

kx

kx

kx

kx

a

a

a

a

kx

kx

kx

kx

nn

nn

n

n

n

n

n

n

(2.31)

)(

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

001)( 02

1

kub

kx

kx

kx

ky

n

(2.32)

Forma canónica diagonal. Si los polos de la función de transferencia pulso dados de

las ecuaciones (2.22), (2.23) o (2.24) son todos distintos, entonces la representación en

el espacio de estado se puede expresar en la forma canónica diagonal como sigue:

)(

1

1

1

)(

)(

)(

00

00

00

)1(

)1(

)1(

2

1

2

1

2

1

ku

kx

kx

kx

p

p

p

kx

kx

kx

nnn

(2.33)

)(

)(

)(

)(

)( 02

1

21 kub

kx

kx

kx

cccky

n

n

(2.34)

Forma canónica de Jordan. Si la función de transferencia pulso dados de las

ecuaciones (2.22), (2.23) o (2.24) incluye un polo múltiple del orden m en z=p1 y todos

los demás polos son distintos, entonces la representación en el espacio de estado se

puede expresar en la forma canónica de Jordan como sigue:

)(

1

1

1

0

0

)(

)(

)(

)(

)(

00000

00000

00000

00010

00001

)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

ku

kx

kx

kx

kx

kx

p

p

p

p

p

kx

kx

kx

kx

kx

n

m

m

n

m

n

m

m

(2.35)



)(

)(

)(

)(

)( 02

1

21 kub

kx

kx

kx

cccky

n

n

(2.36)

No unicidad de las representaciones en el espacio de estado. Para un sistema con

función de transferencia pulso dada, la representación en el espacio de estado no es

única, sino que existen distintas representaciones en el espacio de estado para un

sistema con función de transferencia pulso. Las ecuaciones de estado, sin embargo,

están unas con otra mediante una transformación de similitud.

Considerando el sistema definido por las ecuaciones (2.7) y (2.8). Se define un nuevo

vector de estado )(ˆ kx mediante

)(ˆ)( kk xPx (2.38)

Los vectores de estado )(kx y )(ˆ kx están relacionados entre sí mediante la ecuación

(2.38) donde P es una matriz no singular de n×n. Entonces, al sustituir la ecuación

(2.38) en la ecuación (2.7) se obtiene

)()(ˆ)1(ˆ kkk HuxGPxP (2.39)

Premultiplicando ambos lados de la ecuación (2.39) por P-1

, da

)()(ˆ)1(ˆ 11 kkk HuPxGPPx (2.40)

Definiendo

HHPGGPP ˆ , ˆ 11

La ecuación (2.40) se puede escribir como

)(ˆ)(ˆˆ)1(ˆ kkk uHxGx (2.41)

En forma similar, si se sustituye la ecuación (2.38) en la ecuación (2.8), se obtiene

)()(ˆ)( kkk DuxCPy (2.42)

Definiendo

DDCCP ˆ , ˆ

la ecuación (2.42) se puede escribir como

)(ˆ)(ˆˆ)( kkk uDxCy (2.43)



Demostrando así que la representación en el espacio de estado, dadas por las

ecuaciones (2.7) y (2.8) es equivalente a la representación en el espacio de estado dada

por las ecuaciones (2.41) y (2.43).

2.4 TRANSFORMACIONES UTILES EN EL ESPACIO DE ESTADOS

Mediante la propiedad de invariancia de las condiciones de rango para la matriz de

controlabilidad y la de observabilidad.

Cómo transformar en formas canónicas las ecuaciones en el espacio de estado.

Considerando nuevamente un sistema lineal e invariante en el tiempo, expresado

mediante las ecuaciones de estado y de salida como

)()()1( kkk HuGxx

)()()( kkk DuCxy

Además la matriz de la función de transferencia pulso se representa por

nnnn

nnnn

azazaz

bzbzbzbzF

zU

zY

2

21

1

22

110)(

)(

)( (2.44)

Si el sistema de control descrito mediante las ecuaciones (2.7) y (2.8) es

completamente controlable y completamente observables, se aplicarán técnicas para

transformar las ecuaciones en el espacio de estados en las tres formas canónicas: forma

canónica controlable, forma canónica observable y forma canónica diagonal o de

Jordan.

Forma canónica controlable. El sistema definido por las ecuaciones (2.7) y (2.8) se

puede transformar en su forma canónica controlable, mediante la matriz de

transformación

MWT (2.45)

donde

HGHGGHHM12 n

y



0001

001

01

1

1

32

121

a

aa

aaa

nn

nn

W

Los elementos ai mostrados en la matriz W son coeficientes de la ecuación

característica

012

21

1

nnnnn azazazazz GI (2.46)

Definiendo el siguiente vector de estado

)(ˆ)( kk xTx (2.47)

donde la matriz de transformación T está dada por la ecuación (2.45). Entonces las

ecuaciones (2.7) y (2.8) se convierten en

)(ˆ)(ˆˆ)()(ˆ)1(ˆ 11 kkkkk uHxGHuTxGTTx (2.48)

)(ˆ)(ˆˆ)()(ˆ)( kkkkk uDxCDuxCTy (2.49)

donde

0

11 ˆ , ˆ , ˆ , ˆ b DDCTCHTHGTTG

es decir

)(

1

0

0

0

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

1000

0100

0010

)1(ˆ

)1(ˆ

)1(ˆ

)1(ˆ

1

2

1

121

1

2

1

ku

kx

kx

kx

kx

aaaakx

kx

kx

kx

n

n

nnnn

n

(2.50)

)(

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

)( 02

1

0110110 kub

kx

kx

kx

babbabbabky

n

nnnn

(2.51)

Los bi son los coeficientes que aparecen en el denominador de la funciona de

transferencia pulso.



Forma canónica observable. El sistema definido por las ecuaciones (2.7) y (2.8) se

puede transformar en su forma canónica observable, mediante la matriz de

transformación

WNQ (2.52)

donde

1nCG

CG

C

N

y

0001

001

01

1

1

32

121

a

aa

aaa

nn

nn

W


)(ˆ)( kk xQx (2.53)

donde la matriz de transformación Q está dada por la ecuación (2.52). Entonces las

ecuaciones (2.7) y (2.8) se convierten en

)(ˆ)(ˆˆ)()(ˆ)1(ˆ 11 kkkkk uHxGHuQxGQQx (2.54)

)(ˆ)(ˆˆ)()(ˆ)( kkkkk uDxCDuxCQy (2.55)

donde

0

11 ˆ , ˆ , ˆ , ˆ b DDCQCHQHGQQG

es decir



)(

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

100

000

000

000

)1(ˆ

)1(ˆ

)1(ˆ

)1(ˆ

011

022

011

0

1

2

1

1

2

1

1

2

1

ku

bab

bab

bab

bab

kx

kx

kx

kx

a

a

a

a

kx

kx

kx

kx

nn

nn

n

n

n

n

n

n

(2.56)

)(

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

100)( 02

1

kub

kx

kx

kx

ky

n

(2.57)

Forma canónica diagonal. Si los valores característicos pi de la matriz G del sistema

definido por las ecuaciones (2.7) y (2.8) son distintos, entonces los vectores

característicos correspondientes ξ1, ξ2, ..., ξn también son distintos.

Definiendo la matriz de transformación P como sigue

n 21P (2.58)


)(ˆ)( kk xPx (2.59)

Entonces las ecuaciones (2.7) y (2.8) se convierten en

)(ˆ)(ˆˆ)()(ˆ)1(ˆ 11 kkkkk uHxGHuPxGPPx (2.60)

Definiendo la matriz de transformación P como sigue

)(ˆ)(ˆˆ)()(ˆ)( kkkkk uDxCDuxCPy (2.61)

donde

0

11 ˆ , ˆ , ˆ , ˆ b DDCPCHPHGPPG

es decir

)(

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

00

00

00

)1(ˆ

)1(ˆ

)1(ˆ

2

1

2

1

2

1

2

1

ku

kx

kx

kx

p

p

p

kx

kx

kx

nnnn

(1.62)



)(

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

)( 02

1

21 kub

kx

kx

kx

ky

n

n

(1.63)

donde las αi y las βi son constantes, tales que αiβi es el residuo en el polo z=pi ,

cuando se expande la función de transferencia pulso en fracciones parciales como sigue:

Dpzpzpz

zn

nn

2

22

1

11)(F (2.64)

2.5 SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE ESTADO EN TIEMPO

DISCRETO

Solución de la ecuación de estado lineal en tiempo discreto e invariante en el

tiempo. Las ecuaciones de tiempo discreto (2.7) y (2.8) se pueden resolver mediante un

procedimiento de recursión. Considerando las siguientes ecuación de estado y de salida:

)()()1( kkk HuGxx

)()()( kkk DuCxy

La solución de la ecuación (2.7) para cualquier entero positivo k se puede obtener

directamente por recursión como sigue:

)0()0()1( HuGxx

)1()0()0()1()1()2( 2HuGHuxGHuGxx

)2()1()0()0()2()2()3( 23HuGHuHuGxGHuGxx

...

,3,2,1 ; )()0()(

1

0

1

kjk

k

j

jkkHuGxGx (2.65)

El vector x(k) se forma por la contribución del estado inicial x(0) y por la

contribución de la entrada u(j) (j = 0, 1, 2, ..., k-1). La salida y(k) esta dada por

,3,2,1 ; )()()0()(

1

0

1

kkjk

k

j

jkkDuHuGCxCGy (2.63)



Matriz de transición de estado o matriz fundamental. La solución de la ecuación de

estado homogénea

)()1( kk Gxx

es de la forma )0()()( xψx kk donde ψ(k) es una matriz única de n×n que satisface

la condición

kkkk GψIψGψψ )( , )0( , )()1(

La matriz de transición de estado ψ(k) es única y contiene toda la información sobre

los movimientos libres del sistema. En términos de la matriz de transición de estado la

ecuación (2.65) se puede escribir en la forma

,3 ,2 ,1 ; )()1()0()()(1

0

kjjkkkk

j

Huψxψx (2.64)

La ecuación de la salida y(k) esta dada por

,3,2,1 ; )()()1()0()()(

1

0

kkjjkkk

k

j

DuHuψCxCψy (2.65)

Método de la transformada z a la solución de la ecuación de estado en tiempo

discreto. Considerando el sistema en tiempo discreto descrito por la ecuación (2.7):

)()()1( kkk HuGxx

Si se toma la transformada z de ambos lados de la ecuación (2.7) se obtiene

)()()0()( zzzzz HUGXxX (2.66)

entonces

)()0()()( zzzz HUxXGI (2.67)

Premultiplicando ambos miembros de la última ecuación por (zI-G)-1

se obtiene

)()()0()()( 11 zzzzz HUGIxGIX (2.68)

Al tomar la transformada inversa z en ambos lados de la ecuación (2.68), da

)()( )0( )()( 11 zzzzk HUGIxGIx -1-1 ZZ (2.69)

Al comparar la ecuación (2.65) con la ecuación (2.69), se obtiene

zzk 1)( GIG-1Z (2.70)



)()( )( 11

0

1 zzjk

j

jkHUGIHuG

1-Z (2.71)

donde k = 1, 2, 3, ...

Solución de la ecuación de estado lineal en tiempo discreto y variante en el tiempo.

La siguiente ecuación de estado lineal en tiempo discreto y variante en el tiempo junto

con la correspondiente ecuación de salida:

)()()()()1( kkkkk uHxGx (2.72)

)()()()()( kkkkk uDxCy (2.73)

La solución de la ecuación (2.72) se puede encontrar fácilmente mediante

reexcursión, como sigue:

)()()()()1( hhhhh uHxGx

)1()1()()()1()()()1(

)1()1()1()1()2(

hhhhhhhh

hhhhh

uHuHGxGG

uHxGx

...

La matriz de transición de estado (matriz fundamental) para el sistema definido por la

ecuación (2.72) se define como ψ(k, h). Se trata de una matriz única, que satisface las

condiciones

),( , ),()(),1( IψψGψ hhhkkhk

donde k=h, h+1, h+2, ...Se puede ver que la matriz de transición de estado ψ(k, h)

está dada por la ecuación

, )()2()1(),( hkhkkhk GGGψ (2.74)

Utilizando ψ(k, h), la solución de la ecuación se convierte en

hkjjjkhhkk

k

hj

; )()()1,()(),()(

1

uHψxψx (2.75)

El primer término del segundo miembro de la ecuación es la contribución del estado

inicial x(h) al estado actual x(k), y el segundo término es la contribución de la entrada

u(h), u(h+1),..., u(k-1).

Es fácil verificar la ecuación (2.74) que se puede expresar como

),()()()2()1()(),1( hkkhkkkhk ψGGGGGψ (2.76)



La ecuación de salida (2.73) se convierte en:

hkkkjjjkkhhkkkk

hj

; )()( )()()1,()()(),()()(1

uDuHψCxψCy (2.77)

Si G(k) es no singular para todos los valores de k considerados, de forma que la

inversa de ψ(k, h) exista, denotada por ψ(h, k) está dada como sigue:

)1()1()( ),(

)()2()1(),(),(

111

11

khhkh

hkkkhhk

GGGψ

GGGψψ

2.6 MATRIZ DE FUNCION DE TRANSFERENCIA PULSO

Matriz de función de transferencia pulso. La representación en el espacio estado de

un sistema lineal en tiempo discreto e invariante en el tiempo de orden n, con r entradas

y m salidas, se puede dar mediante las ecuaciones (2.7) y (2.8). Al tomar la transformada

z a las ecuaciones (2.7) y (2.8), se obtiene

)()()0()( zzzzz HUGXxX (2.78)

)()()( zzz DUCXY (2.79)

Considerando las condiciones iniciales nulas x(0)=0, entonces se obtiene

)()()( 1 zzz HUGIX (2.80)

y

)()()( )()( 1 zzzzz UFUDHGICY (2.81)

donde

DHGICF 1)()( zz (2.82)

F(z) se conoce como matriz de función de transferencia pulso. Se trata de una matriz

de m×r y caracteriza la dinámica de entrada/salida del sistema de tiempo discreto dado.

La matriz de función de transferencia pulso F(z) se puede dar mediante la ecuación

DGI

HGICF

z

zz

)(adj )( (2.83)



Los polos de F(z) son los ceros de 0GIz . Esto significa que la ecuación

característica del sistema en tiempo discreto está dado por

0GIz (2.84)

o bien

012

21

1

nnnnn azazazaz (2.85)

donde los coeficientes ai dependen de los elementos de la matriz G.

Transformación de similitud. Se ha demostrado que para el sistema definido por las

ecuaciones (2.7) y (2.8) la matriz de función de transferencia pulso está representada por

la ecuación (2.83). También se ha demostrado que para varias representaciones en el

espacio de estado distintas para un sistema dado están interrelacionadas por una

transformación de similitud expresado por la ecuación (2.38). La matriz de función de

transferencia pulso para el sistema definido por las ecuaciones (2.41) y (2.42) es

DHGICF ˆˆ)ˆ(ˆ)(ˆ 1 zz (2.86)

Se puede demostrar fácilmente que

)()(ˆˆ)ˆ(ˆ)(ˆ 11 zzzz FDHGICDHGICF (2.87)

2.7 DISCRETIZACION DE LAS ECUACIONES EN EL ESPACIO DE

ESTADO EN TIEMPO CONTINUO

En el control digital de plantas en tiempo continuo es necesario convertir ecuaciones

de tiempo continuo en el espacio de estado, en ecuaciones de tiempo discreto en espacio

de estado.

Considerando las ecuaciones de estado y de salida en tiempo continuo

respectivamente dadas las ecuaciones (2.15) y (2.16)

)()()( ttt Buxx A

)()()( ttt DuCxy

La solución de la ecuación (2.15) con estado inicial x(0) está dada por

t tt dteet0

)( )()0()( Buxx

AA (2.88)

Si el estado inicial es x(t0) la solución de la ecuación (2.15) esta dada por



t

t

tttdtetet

0

0 )()()( )(0

)( Buxx

AA (2.89)

Suponiendo que el vector de control u(t) se muestrea y se incluye un retenedor de

orden cero, de forma que todos los componentes de u(t) sean constantes en el intervalo

entre los instantes de muestreo consecutivos cualesquiera, es decir u(t)=u(kT) para kT ≤

t < (k+1)T , entonces haciendo t = kT en la ecuación (2.88) se llega a obtener

kTkTkT deeekT0

)()0()( Buxx

AAA (2.90)

En el instante t = (k+1)T la ecuación (2.90) se convierte en

TkTkTk deeeTk)1(

0

)1()1( )()0())1(( Buxx

AAA (2.91)

Si se premultiplica la ecuación (2.90) por TeA se obtiene la ecuación siguiente

kTTkTkT deeekTxe0

)1()1( )()0()( Bux

AAAA (2.92)

Sustraendo la ecuación (2.92) de la ecuación (2.91), pasando el factor kTeA dentro de

la integral se obtiene

Tk

kT

kTTT deekTeTkx)1( )( )()())1((

BuxAAA (2.93)

Haciendo t= τ-kT en la ecuación (2.93) y tomando en cuenta los limites de

integración se obtiene

T tTT dtkTteekTeTkx0

)()())1(( BuxAAA (2.94)

Como la integración es desde 0 hasta T entonces k = 0, también u(t )= u(kT) =

constante en el intervalo kT ≤ t < (k+1)T, entonces la ecuación (2.94) se convierte en

T tTT dtkTeekTek0

)()())1(( BuxxAAA (2.95)

TT dkTekTek0

)()())1(( Buxx

AA (2.96)

donde λ=T-t

)()()())1((0

kTdekTekTT

BuxxAA

(2.97)

Entonces la ecuación (2.97) se convierte en



)()()()())1(( kTTkTTk uHxGx (2.98)

La ecuación (2.98) se puede comparar con la ecuación (2.7) de lo cual se deduce que

las siguientes ecuaciones que representan la transformación de espacio continuo a

espacio discreto

ATeT )(G (2.99)

BHA

T

deT0

)( (2.100)

La ecuación de salida resulta ser la misma que la ecuación (2.8)

Si la matriz A es no singular, entonces H(T) de la ecuación (2.100) se puede

simplificar a

BABABHAAA 11

0)()()(

IeIedeT TT

T

2.101)

La matriz G(T) de la ecuación (2.99) se puede calcular de la siguiente forma

Tt

AT AsIek

1)()( -1LG (2.101)



3 DISEÑO DE CONTROLADORES Y OBSERVADORES DE

SISTEMAS DE SIMPLE ENTRADA Y SIMPLE SALIDA EN EL

ESPACIO DE ESTADO MEDIANTE EL METODO DE UBICACIÓN

DE POLOS

INTRODUCION

El método de diseño de ubicar los polos en lazo cerrado en localizaciones deseadas

en el plano z, se conoce como la técnica de diseño de ubicación de polos; en esta técnica

se realimentan todas las variables de estado, de tal forma que todos los polos del sistema

en lazo cerrado quedan ubicados en las localizaciones deseadas. Sin embargo en algunos

sistemas reales de control, no se pueden medir todas las variables de estado para su

realimentación. Para poner en práctica un diseño basado en este método, es necesario

estimar las variables de estado no medibles mediante el uso de observadores de estados.

Considerando un sistema de control lineal invariante en el tiempo descrito mediante

las ecuaciones de estado y de salida como

)()()1( kukk HGxx (3.1)

)()()( kukky DCx (3.2)


y(k) : vector de salida de 1×1

u(k) : vector de entrada o de control de 1×1

G : matriz de estado de n×n

H : matriz de entrada de n×1

C : matriz de salida de 1×n

D : matriz de transmisión directa de 1×1

3.1 CONTROLABILIDAD

Se dice que un sistema de control es de estado completamente controlable en el

tiempo, si es posible transferir el sistema de un estado inicial arbitrario x(0) a cualquier

otro estado deseado arbitrario x(kT), mediante un vector de control u(kT) sin

restricciones, en un intervalo de tiempo finito

La matriz de controlabilidad M de dimensión n×n es



HGHGGHHM12 n (3.3)

El sistema es controlable en estado completo si la matriz M tiene rango = n

3.2 OBSERVABILIDAD

Se dice que un sistema de control es de estado completamente observable, si

cualquier estado inicial x(0) se puede determinar a partir de la observación de y(kT)

sobre un número finito de periodos de muestreo. El sistema, por lo tanto, es

completamente observable, si cualquier transición del estado de manera eventual afecta

a todos los elementos del vector de salida.

La matriz de observabilidad N de dimensión n×n es

1

2

nCG

CG

CG

C

N

(3.4)

El sistema es observable en estado completo si la matriz N tiene rango = n

3.3 DISEÑO DE UN CONTROLADOR (REGULADOR) CON ENTRADA DE

REFERENCIA NULA

La técnica de diseño se emplea para sistemas de control en los cuales la entrada de

referencia es cero. Este método empieza con una determinación de los polos deseados

en lazo cerrado, basados en los requisitos de respuesta transitoria y/o respuesta en

frecuencia. Los polos deseados en lazo cerrado deben estar en z=μ1 , z=μ2 ,..., z=μn. Al

seleccionar una matriz de ganancia apropiada para la realimentación de estado, es

posible conducir el sistema para tener los polos en lazo cerrado en las posiciones

deseadas, siempre y cuando el sistema original sea de estado completamente

controlable.

La condición necesaria y suficiente para la ubicación arbitraria de polos, es que el

sistema sea de estado completamente controlable.

Sea el sistema de control completamente controlable de simple entrada descrito por

las ecuaciones (3.1) y (3.2 como)

)()()1( kukk HGxx



)()()( kukky DCx

La representación gráfica de las ecuaciones (3.1) y (3.2) se muestra en la figura 3.1

z-1

I

G

H x(k+1) x(k) u(k)

C

D

y(k)

Figura 3.1 Sistema de control en lazo abierto.

El diagrama de bloques del sistema de control de la figura 3.1 se puede simplificar

mediante la representación gráfica de la figura 3.2

)()()1( kukk HGxx )()()( kukky DCx

u(k) y(k)

x(k)

Figura 3.2 Sistema de control simplificado en lazo abierto.

-K

)()()1( kukk HGxx

)()()( kukky DCx

u(k) y(k)

x(k)

Figura 3.3 Sistema de control en lazo cerrado.

La señal de control u(k) no acotada se puede expresar como

)()( kku Kx (3.5)



La matriz K es la matriz de ganancia de realimentación de estado de dimensión 1×n,

entonces el sistema se convierte en un sistema de control en lazo cerrado, como el que

se muestra en la figura 3.3 y al reemplazar la ecuación (3.5) en la ecuación (3.1) se

obtiene

)()()()()1( kkkk xHKGHKxGxx (3.6)

La matriz K se escoge, de tal manera que los valores característicos de la matriz G-

HK sean los polos en lazo cerrado deseados: μ1, μ2, ..., μn. los que resultan de la

ecuación característica

0 HKGIz (3.7)

La solución de la ecuación de estado es

)0()()( xHKGxkk (3.8)

Reemplazando la ecuación (3.5) en la ecuación (3.2) resulta

)()()()()( kkkky xDKCDKxCx (3.9)

Método directo. Este método consiste en igualar la ecuación característica del

sistema en lazo cerrado a la ecuación característica deseada; es decir:

0)())(( 21 nzzzz HKGI (3.10)

Obteniendo el polinomio característico de lazo cerrado como

012

21

1

nnnnn zzzz

Para calcular los valores de nkkk 21K se desarrolla la ecuación (3.10) y

se igualan los valores de ambos lados de la ecuación (3.10) que tienen las mismas

potencias en z y se resuelven las ecuaciones planteadas para obtener los valores de la

matriz K.

Método algorítmico. Con este método la matriz de ganancias de realimentación K se

calcula empleando los siguientes pasos:

1. Verificar que el sistema es de estado completamente controlable, ya que en otro

caso no se puede calcular la matriz K.

HGHGGHHM12 n . rango(M)=n

2. Identificar los coeficientes, ai, del polinomio característico original.

nnnnn azazazazz

12

21

1 GI (3.11)



3. determinar la matriz de cambio de base T, que transforma las ecuaciones de estado

del sistema a la forma canónica controlable.

MWT (3.12)

donde M es la matriz de controlabilidad y W es una matriz simétrica que se expresan

respectivamente como

HGHGGHHM12 n (3.13)

0001

001

01

1

1

32

121

a

aa

aaa

nn

nn

W (3.14)

siendo ai los coeficientes del polinomio característico del sistema original.

Si el sistema de control está expresado en su forma canónica controlable, entonces la

matriz T es igual a la matriz identidad (T=I)

4. Determinar los coeficientes, αi , del polinomio característico deseado.

)())(( 21 nzzzz HKGI (3.15)

nnnnn zzzzz

12

21

1 HKGI (3.16)

5. Determinar la matriz de ganancias de realimentación de los estados K como

1112211

TK aaaa nnnn (3.18)

Fórmula de Ackermann. Con este método la matriz de ganancias de realimentación

de los estados K se calcula siguiendo los siguientes pasos:

1. Verificar que el sistema es de estado completamente controlable, ya que en otro

caso no se puede calcular la matriz K.

HGHGGHHM12 n . rango(M)=n

2. Determinar el polinomio característico deseado

nnnnn

n zzzzzzzz

12

21

121 )())(()(

(3.19)

3. Determinar la matriz )(G , donde es el polinomio característico deseado y G

es la matriz de estados del sistema.



IGGGGG nnnnn

12

21

1)( (3.20)

4. Determinar la matriz de ganancias de realimentación de los estados K como

)( 1000 1GMK (3.21)

Método vectorial. Si los valores característicos que se desean μ1, μ2, μ3 ..., μn de la

matriz (G-HK) son distintos entonces la matriz de ganancia de realimentación de

estados requerida se puede expresar como

1

21 111

nζζζK

donde los vectores iζ son los vectores característicos de (G-HK) que satisfacen la

siguiente ecuación

niii , ,2 ,1 , 1

HIGζ

3.4 DISEÑO DE UN CONTROLADOR CON ENTRADA DE REFERENCIA

Y COMPENSACIÓN EN PREALIMENTACIÓN DIRECTA

Esta técnica de diseño se utiliza para sistemas de control con entrada de referencia

diferente de cero. En este método se considera la colocación de polos para un sistema de

seguimiento en el cual se desea que el sistema compensado sea capaz de seguir a una

entrada de referencia de escalón.

Al realizar el método de ubicación de polos se modifica la ganancia del sistema en

lazo cerrado, y este cambio depende de la posición elegida para los polos del sistema en

lazo cerrado.

Este diseño no es robusto ante imprecisiones en el modelo, perturbaciones y señales

de ruido debido que se utiliza un control en lazo abierto para eliminar el error en estado

estacionario ante una entrada de un escalón.

Entonces es necesario colocar una ganancia ajustable k0 a la entrada del sistema

compensado para conseguir la ganancia deseada.

Sea el sistema de control de simple entrada descrito por las ecuaciones (3.1) y (3.2)

definas como

)()()1( kukk HGxx

)()()( kukky DCx

La variable de control u(k) no acotada se puede expresar como



)()()( 0 krkkku Kx (3.22)

donde K es la matriz de ganancia de realimentación de estado de dimensión 1×n, y el

escalar k0 es un compensador ajustable proporcional.

En la figura 3.4 se muestra el diagrama de bloques correspondiente a las ecuaciones

(3.1), (3.2), y (3.22) que representa un sistema de control en lazo cerrado.

K

r(k) k0

)()()1( kukk HGxx

)()()( kukky DCx

u(k) y(k)

x(k)

Figura 3.4 Sistema de control con realimentación de estados y precompensador

Para usar el método de ubicación de polos del sistema representado en la figura 3.4 se

debe de transformar a un sistema de regulación alrededor de x(k∞). Evaluando al sistema

de control cuando k→∞ se obtiene

)()()1( kukk HGxx (3.23)

)()()( 0 kkrkku Kx (3.24)

Si se define la variación del estado actual con el estado en el infinito del sistema

como

)()()( kkk xxx , )()()( kukuku (3.25)

La entrada r(k) de referencia se considera un escalón por lo tanto se obtiene

rkrkrkr )()1()( (3.26)

Restando las ecuaciones (3.1) y (3.23) se obtiene

))()(())()(()1()1( kukukkkk HxxGxx (3.27)

Evaluando las variables residuales en la ecuación (3.27) se obtiene

)()()1( kukk HxGx (3.28)


))()(())()(()()( 0 kkkrkrkkuku xxK (3.29)




)()( kku xK (3.30)

Las ecuaciones (3.28) y (3.30) representan un sistema de regulación del sistema

alrededor de x(k∞) entonces al reemplazar la ecuación (3.30) en la ecuación (3.28) se

obtiene la ecuación con realimentación de estados como

)()()()()1( kkkk xHKGxHKxGx (3.31)

La matriz K de realimentación de estados del sistema obtenido en lazo cerrado de la

ecuación (3.31) se elige para que el sistema satisfaga las especificaciones para el

régimen transitorio y se determina de tal forma que los valores característicos de la

matriz (G-HK) sean los polos en lazo cerrado deseados: μ1, μ2, ..., μn. los que resultan

de la ecuación característica siguiente

0 HKGIz (3.32)

El diseño de la matriz K se realiza utilizando cualquiera de los métodos de diseño de

un sistema regulador visto en la sección 3.3 mediante el método de ubicación de polos

de tal manera que el sistema debe ser asintóticamente estable.

Al reemplazar la ecuación (3.22) en la ecuación (3.1) se obtiene

)()()()1( 0 krkkkk HHKxGxx (3.33)

)()()()1( 0 krkkk HxHKGx (3.34)

Reemplazando la ecuación (3.22) en la ecuación (3.2) se obtiene la ecuación de

respuesta del sistema

)()()()( 0 krkkkky DDKxCx (3.35)

)()()()( 0 krkkky DxDKC (3.36)

La ganancia k0 se selecciona para que el sistema en lazo cerrado tenga una ganancia

unitaria en estado permanente, eliminado el error en estado estacionario ante una entrada

escalón, r(k)=r.

Como el sistema debe permanecer en el punto de equilibrio, en el cual se tiene que

x(k∞+1)= x(k∞). Entonces la ecuación de estados del sistema escribe como:

)()()()1( 0 krkkk xHxHKGx (3.37)

es decir

rkk 01

)( HHKGIx

(3.38)



La ecuación de salida del sistema en estado permanente se obtiene como

rkrkrkkky 001

0 )()()()( DHHKGIDKCDxDKC

(3.39)

La salida en estado permanente debe ser igual a la entrada r, por tanto de la ecuación

(3.39) se obtiene

rrkky

01

)()( DHHKGIDKC (3.40)

De la ecuación (3.40) se obtiene el precompensador de ganancia k0 expresado como

110 )(

DHHKGIDKCk (3.41)


,3 ,2 ,1 ; )()()0()()(1

0

01

kjrkkk

j

jkkHHKGxHKGx (3.42)

3.5 DISEÑO DE UN CONTROLADOR CON ENTRADA DE REFERENCIA

INCLUYENDO UN INTEGRADOR DE ERROR

Para obtener un sistema de control que sea robusto ante imprecisiones en el modelo,

perturbaciones y señales de ruido, es necesario que la función de transferencia pulso del

sistema en lazo abierto, incluya uno o más integradores para eliminar el error en estado

permanente ante una entrada de un escalón, de una rampa según sea el caso.

Sea el sistema de control de simple entrada descrito por las ecuaciones (3.1) y (3.2)

definidas como

)()()1( kukk HGxx

)()()( kukky DCx

La variable de control u(k) no acotada se expresa como

)()()( kvkkku I Kx (3.43)

donde K es la matriz de ganancia de realimentación de estado de dimensión 1×n, y el

escalar kI es la ganancia del integrador.

Integrador en atraso. La ecuación de un integrador en atraso es la siguiente:

)1()1()( kekvkv (3.44)



La ecuación (3.44) se puede modificar como

)()()()()()1( kykrkvkekvkv (3.45)


(3.1), (3.2), (3.43) y (3.44) que representa un sistema de control en lazo cerrado.

K

r(k) kI

1

1

1

z

z

)()()1( kukk HGxx

)()()( kukky DCx

u(k) y(k)

x(k)

v(k) e(k)

Figura 3.5 Sistema de control con realimentación de estados e integrador

Combinando las ecuaciones (3.1), (3.2) y (3.45) y manipulando se obtiene

)()()()()1( kukkrkvkv DCx

)()()()()1( krkukvkkv DCx (3.46)

De las ecuaciones (3.1), (3.2) y (3.46) se obtiene un sistema de control ampliado

como sigue:

Ecuación de estado

)(1

)()(

)(

1)1(

)1(krku

kv

k

kv

k

0

D

Hx

C

0Gx (3.47)

Ecuación de salida

)()(

)( 0)( ku

kv

kky D

xC

(3.48)

Ecuación de control

)(

)( )(

kv

kkku I

xK (3.49)


)(

)()(ˆ

kv

kk

xx de dimensión (n+1)×1



1ˆ

C

0GG de dimensión (n+1)×(n+1)

D

HH de dimensión (n+1)×1

1

0H

de dimensión (n+1)×1

0ˆ CC de dimensión 1×(n+1)

DD ˆ de dimensión 1×1

Ik KK de dimensión 1×(n+1)

Integrador en adelanto. La ecuación de un integrador en atraso es la siguiente:

La ecuación del integrador se escribe como

))()(()1()()1()( kykrkvkekvkv (3.50)

La ecuación (3.44) se puede modificar como

)1()1()()1( kykrkvkv (3.51)


(3.1), (3.2), (3.43) y (3.50) que representa un sistema de control en lazo cerrado.

K

r(k) kI

11

1

z

)()()1( kukk HGxx

)()()( kukky DCx

u(k) y(k)

x(k)

v(k) e(k)

Figura 3.6 Sistema de control con realimentación de estados e integrador

Para el caso del integrador en adelanto se debe considerar la matriz D=0.

Combinando las ecuaciones (3.1), (3.2) y (3.51) y manipulando se obtiene

)1()1()()1( krkkvkv Cx

)1())()(()()1( krkukkvkv HGxC



Si la entrada de referencia es una entrada tipo escalón entonces se cumplen las

siguientes equivalencias:

)()0()()1( rrkrkr

Por lo tanto se obtiene:

)()()()()1( krkukvkkv CHCGx (3.52)

De las ecuaciones (3.1), (3.2) y (3.46) se obtiene un sistema de control ampliado

como sigue:

Ecuación de estado

)(1

)()(

)(

1)1(

)1(krku

kv

k

kv

k

0

CH

Hx

CG

0Gx (3.53)

Ecuación de salida

)()(

)( 0)( ku

kv

kky D

xC

(3.54)


)(

)( )(

kv

kkku I

xK (3.55)


)(

)()(ˆ

kv

kk

xx de dimensión (n+1)×1

1ˆ

CG

0GG de dimensión (n+1)×(n+1)

CH

HH de dimensión (n+1)×1

1

0H

de dimensión (n+1)×1

0ˆ CC de dimensión 1×(n+1)

0ˆ DD de dimensión 1×1

Ik KK de dimensión 1×(n+1)



Las ecuaciones (3.47), (3.48) y (3.49) o las ecuaciones (3.53), (3.54) y (3.55) se

pueden escribir respectivamente como

)()(ˆ)(ˆˆ)1(ˆ krkukk HHxGx

(3.56)

)(ˆ)(ˆˆ)( kukky DxC (3.57)

)(ˆˆ)( kku xK (3.58)

Para usar el método de ubicación de polos del sistema representado en la figura 3.5 se

debe de transformar el sistema a uno de regulación alrededor de )(ˆ kx . Evaluando al

sistema de control cuando k→∞ como sigue

)()(ˆ)(ˆˆ)1(ˆ

krkukk HHxGx

(3.59)

)(ˆˆ)( kku xK (3.60)


como

)(ˆ)(ˆ)(ˆ kkk xxx , )()()( kukuku (3.61)


rkrkrkr )()1()( (3.62)


))()(())()((ˆ))(ˆ)(ˆ(ˆ)1(ˆ)1(ˆ

krkrkukukkkk HHxxGxx

(3.63)


)(ˆ)(ˆˆ)1(ˆ kukk HxGx (3.64)


))(ˆ)(ˆ(ˆ)()( kkkuku xxK (3.65)


)(ˆˆ)( kku xK (3.66)

Las ecuaciones (3.64) y (3.66) representan un sistema de regulación del sistema

alrededor de x(k∞) entonces al reemplazar la ecuación (3.66) en la ecuación (3.64) se

obtiene la ecuación con realimentación de estados como



)(ˆ)ˆˆˆ()(ˆˆˆ)(ˆˆ)1(ˆ kkkk xKHGxKHxGx (3.67)

La matriz K de realimentación de estados del sistema obtenido en lazo cerrado de la

ecuación (3.67) se elige para que el sistema satisfaga las especificaciones para el

régimen transitorio y se determina, de tal forma que los valores característicos de la

matriz KHG ˆˆˆ sean los polos en lazo cerrado deseados: μ1 , μ2 , ... , μn+1 , los que

resultan de la ecuación característica siguiente

0ˆˆˆˆ KHGIz (3.68)

El diseño de la matriz K se realiza utilizando cualquiera de los métodos de diseño de

un sistema regulador visto en la sección 3.3 mediante el método de ubicación de polos

de tal manera que el sistema debe ser asintóticamente estable.


)()(ˆˆˆ)(ˆˆ)1(ˆ krkkk HxKHxGx

)()(ˆ)ˆˆˆ()1(ˆ krkk HxKHGx

(3.69)

Reemplazando la ecuación (3.58) en la ecuación (3.57) se obtiene la ecuación de

respuesta del sistema

)()(ˆˆˆ)(ˆˆ)( krkkky DxKDxC

)()(ˆ)ˆˆˆ()( krkky DxKDC

(3.70)

En un sistema lineal invariante en el tiempo si se aplica una entrada constante, los

estados del sistema llegan a un punto de equilibrio en estado permanente, es decir

)()1()(ˆ)1(ˆ kvkvkk xx (3.71)

Teniendo en cuenta las ecuaciones (3.45) o (3.51) y (3.71) se demuestra que el error

en estado estacionario es cero ante una entrada tipo escalón del siguiente modo:

rkyrkykekekvkvkv )(0)()()()()()1(

3.6 DISEÑO DE ESTIMADORES DE ESTADO (OBSERVADORES)

MEDIANTE EL METODO DUAL VIA UBICACION DE POLOS



En la práctica no todas las variables de estado estarán accesibles, de forma que

algunas de ellas no se podrán medir. Para aplicar el método de localización de polos, es

necesario estimar aquellas variables que no se puedan medir directamente.

Un observador o estimador de predicción de estados, es un subsistema del sistema de

control que lleva a cabo una estimación de las variables de estado del sistema a partir de

las medidas de las variables de salida y las variables de control del sistema.

Un observador de orden completo es cuando estima todas las variables de estado del

sistema, es de orden reducido cuando no estima todas las variables de estado y es de

orden mínimo cuando estima únicamente las variables no medibles.

Observador de orden completo para sistemas de simple salida. Cuando el vector

real x(k) no está disponible o no es medible en forma directa se diseña un estimador de

estados )(~ kx para que este vector sea lo mas próximo al vector de estados real x(k).

Considerando el sistema de control completamente observable descrito por las

ecuaciones (3.1) y (3.2) definidas por

)()()1( kukk HGxx

)()()( kukky DCx

Teniendo en cuenta que las señales y(k) e )(~ ky se pueden medir por lo tanto la

ecuación dinámica del observador de estados, se escribe como

))(~)(()()(~)1(~ kykykukk e KHxGx (3.72)

)()(~)(~ kukky DxC (3.73)

donde Ke es una matriz de ponderación de estados de dimensión n×1.

Las ecuaciones (3.1), (3.2), (3.72) y (3.73) se representan en un diagrama de bloques

en la figura 3.7



z-1

I

G

H x(k+1) x(k) u(k)

C

D

y(k)

z-1

I

G

H )1(~ kx

C )(~ kx

Ke

D

)(~ ky

Figura 3.7 Sistema de control con estimador predicción de estados

Reemplazando las ecuaciones (3.2) y (3.73) en la ecuación (3.72) y operando se

obtiene

))()(~)()(()()(~)1(~ kukkukkukk e DxCDCxKHxGx

))(~)(()()(~)1(~ kkkukk e xCCxKHxGx

))(~)(()()(~)1(~ kkkukk e xxCKHxGx (3.74)

El sistema de control representado mediante la figura 3.7 y expresado mediante las

ecuaciones (3.1), (3.2) y (3.74) se puede representar mediante un esquema simplificado

en la figura 3.8.

)()()1( kukk HGxx

)()()( kukky DCx

u(k) y(k)

Cx(k)

))(~)(()()(~)1(~ kkkukk e xxCKHxGx

)(~ kx



Figura 3.8 Sistema de control reducido con estimador de estados

Para determinar los valores de la matriz Ke se obtiene la ecuación de error del

observador restando la ecuación (3.74) de la ecuación (3.1) como sigue

))(~)(())(~)(()1(~)1( kkkkkk e xxCKxxGxx (3.75)

Definiendo un vector e(k) que representa la diferencia entre x(k) y )(~ kx

)(~)()( kkk xxe

Empleando el vector e(k) en la ecuación (3.75) se determina la ecuación siguiente

)()()1( kkk eCeKGee

)()()1( kk e eCKGe (3.76)

La ecuación (3.76) describe la dinámica del observador por lo que se debe diseñar la

ganancia Ke de forma muy apropiada para que el vector del error e(k) tienda

asintóticamente a cero a una velocidad lo suficientemente rápido. Para determinar el

valor de Ke se puede utilizar el método de la ubicación de polos de tala manera que los

valores propios de la matriz (G-KeC) sean estables.

)())(( 21 ne zzzz CKGI (3.77)

Sistema dual. Mediante el principio de “no unicidad de la representación en el

espacio de estado” de la sección 2.3 se puede representar un sistema de control dual al

sistema original descrito por las ecuaciones (3.1) y (3.2) como

)(ˆ)(ˆ)1(ˆ kukk TTCxGx (3.78)

)(ˆ)(ˆ)(ˆ kukky TDxH (3.79)

Las matrices G, H, C, D son las mismas que las matrices de las ecuaciones (3.1) y

(3.2). Considerando al sistema descrito por las ecuaciones (3.78) y (3.79) como sistema

de regulación definido entonces la señal de control se expresa como

)(ˆ)(ˆ kku xK (3.80)

Reemplazando la ecuación (3.80) en la ecuación (3.78) se obtiene

)(ˆ)()1(ˆ kk TTxKCGx (3.81)

El polinomio característico del sistema dado por la ecuación (3.81) se escribe como



)())(( 21 nTT zzzz KCGI (3.82)

Aplicando la propiedad del determinante |A| = |AT| entonces la ecuación (3.82)

también se expresa por

)())(( 21 nT zzzz CKGI (3.83)

Al comparar las ecuaciones (3.77) y (3.83) y si los polos de lazo cerrado son iguales

es decir ii entonces igualando las ecuaciones (3.77) y (3.83) se obtiene

CKGICKGIT

e zz (3.84)

De la ecuación (3.84) se deduce que

Te KK (3.85)

Si se calcula la matriz K usando cualquiera de los métodos utilizados anteriormente

de diseño de un regulador mediante la ubicación de polos, entonces se determina la

matriz de ganancia de estimación Ke .

Método algorítmico. Para usar este método se aplica la fórmula de la ecuación (3.18)

y se obtiene la matriz K de realimentación de estados del sistema dual descrito por las

ecuaciones (3.78) y (3.79) del siguiente modo

1

112211

Tnnnn aaaa QK (3.86)

La matriz QT de la ecuación (3.86) es la matriz de transformación similar a la matriz

T de la ecuación (3.12) es decir

WNQTT (3.87)

La matriz W es la misma matriz que la de la ecuación (3.14) es decir

0001

001

01

1

1

32

121

a

aa

aaa

nn

nn

W

La matriz NT es la matriz de controlabilidad del sistema dual del sistema descrito por

las ecuaciones (3.78) y (3.79) similar a al matriz de la ecuación (3.3) es decir

TnTTTTTTTCGCGCGCN

12 )()( (3.88)



Los coeficientes ai y αi son los mismos que de las ecuaciones (3.11) y (3.16).

Aplicando la transpuesta a ambos miembros de la ecuación (3.86) y sabiendo que (A-1

)T

= (AT)-1

y (AT)T = A

-1 se obtiene

T

1122111 aaaa nnnn

T QK (3.89)

De las ecuaciones (3.85) y (3.89) se obtiene la ganancia Ke del estimador como

11

22

111

a

a

a

a

nn

nn

e

QK (3.90)

La matriz Q de la ecuación (3.90) aplicando la transpuesta a ambos miembros de la

ecuación (3.81) se determina como

WNQ (3.91)

Aplicando la transpuesta a ambos miembros de la ecuación (3.88) se obtiene

1

2

nCG

CG

CG

C

N

(3.92)

La matriz N de la ecuación (3.92) es la misma matriz de observabilidad de la

ecuación (3.4) por lo tanto si el sistema presenta observabilidad de estado completo se

podrá determinar la inversa de la matriz Q y por consiguiente la matriz de ganancia del

observador Ke.

Fórmula de Ackermann. Para usar este método se aplica la fórmula de la ecuación

(3.18) y se obtiene la matriz K de realimentación de estados del sistema dual descrito

por las ecuaciones (3.72) y (3.73) aplicando la fórmula de la ecuación (3.21) del

siguiente modo

)()( 1000 1 TTGNK (3.93)

Utilizando directamente la ecuación (3.85) se obtiene la ecuación

TT

TTTTe 1000)(

1

NGKK

Aplicando propiedades de matrices se obtiene finalmente la expresión de la ganancia

del estimador de predicción Ke mediante la fórmula de Ackermann



1

0

0

0

)( 1 NGK e (3.94)

La matriz N de la ecuación (3.94) es la misma matriz de la ecuación (3.92)

La matriz )(G de la ecuación (3.94) es la misma matriz de la ecuación (3.20)

IGGGGG nnnnn

12

21

1)(

Donde los coeficientes )(G son los coeficientes del polinomio característico como

resultado de ubicar los polos arbitrarios en el plano Z para el observador.

Método vectorial. Si los valores característicos que se desean μ1, μ2, μ3 ..., μn de la

matriz (G-KeC) son distintos entonces la matriz de ganancia de realimentación de

estados requerida se puede expresar como

1

1

11

2

1

n

e

η

η

η

K

Los vectores iηT son los vectores característicos de (G-KeC)

T que satisfacen la

siguiente ecuación

niii , ,2 ,1 , 1

IGCη

3.7 EFECTO DEL ESTIMADOR DE ESTADOS EN UN SISTEMA DE

CONTROL EN LAZO CERRADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS

En el proceso del diseño de ubicación de polos, se había supuesto que el vector de

estado verdadero x(t) estaba disponible para la realimentación, pero en la práctica en

vector de estado real x(t) puede ser no medible, por lo que es necesario utilizar un vector

de estado estimado )(~ tx u observado, en lugar del vector de estado verdadero x(t), sobre

la ecuación característica de un sistema de control en lazo cerrado.

Considerando el sistema de control completamente controlable y completamente

observable descrito por las ecuaciones (3.1) y (3.2) definidas por

)()()1( kukk HGxx



)()()( kukky DCx

Para el control con realimentación del vector de estado basado en el vector de estado

estimado )(~ tx de tiene

)(~)( kku xK (3.95)

Este vector de control se origina de las ecuaciones del estimador denotadas en las

ecuaciones (3.72) y (3.73) como

))(~)(()()(~)1(~ kykykukk e KHxGx

)()(~)(~ kukky DxC

De las dos últimas ecuaciones se obtiene la ecuación (3.68) denotada como

))(~)(()()(~)1(~ kkkukk e xxCKHxGx

De las ecuaciones (3.1), (3.2), (3.74) y (3.95) se obtiene el diagrama de bloques de

estado de un sistema de control (regulador de estado observado) tal como se muestra en

la figura 3.9

z-1

I

G

H x(k+1) x(k) u(k)

C

D

y(k)

z-1

I

G

H )1(~ kx

C )(~ kx

Ke

-K

Figura 3.9 Sistema de control con realimentación del vector de estado estimado

Reemplazando la ecuación (3.95) en la ecuación (3.1) se obtiene la siguiente

expresión



)(~)()()(~)()1( kkkkkk xxHKxHKGxHKGxx (3.96)

La ecuación (3.90) en función del vector de error de estimación )(~)()( kkk xxe se

convierte en

)()()1( kkk HKexHKGx (3.97)

Volviendo a restar la ecuación (3.68) de la ecuación (3.1) se obtiene la diferencia del

estado real x(t) y del estado estimado )(~ tx mediante la ecuación (3.76) que expresa el

error de estimación e(k) denotada por

)()()1( kk e eCKGe

Combinado las ecuaciones (3.97) y (3.82) se obtiene un sistema de control ampliado

como

)(

)(

)1(

)1(

k

k

k

k

e e

x

CKG0

HKHKG

e

x (3.98)

La ecuación (3.98) describe la dinámica del sistema de control con realimentación de

estado estimado. La ecuación característica para este sistema es

0

CKGI0

HKHKGI

ez

z (3.99)

La expresión (3.99) aplicando propiedades del determinante se vuelve a escribir

como

0 CKGIHKGI ezz (3.100)

La expresión (3.100) significa que el diseño del controlador y el diseño del estimador

u observador son independientes uno del otro y se pueden aplicar métodos de diseño por

separado y combinarse en forma independiente para formar el sistema de control con

realimentación de estado observado.

Este mismo principio de diseño se aplica a sistemas de control con entrada de

referencia distintas a cero, inclusive a sistemas de seguimiento que incluyen un

integrador en lazo cerrado, conduciéndolo a un sistema de regulación.

Por lo general el observador se diseña de tal modo que su velocidad de respuesta sea

más rápida que la respuesta del controlador. Los polos en lazo cerrado que se desea que

se genere mediante realimentación de estados se seleccionan para que el sistema

satisfaga los requisitos de desempeño. Los polos del observador se seleccionan para que

el error de estimación tienda asintóticamente a cero a una velocidad suficientemente

alta. Como el observador generalmente no es una estructura de hardware, sino un

algoritmo, es posible aumentar la velocidad para que el vector de estado estimado

converja con rapidez al vector de estado real.



Reemplazando la ecuación (3.95) en la ecuación (3.1) se obtiene la expresión

)(~)()1( kkk xHKGxx (3.101)

Reemplazando la ecuación (3.89) en la ecuación (3.68) se obtiene la expresión

))(~)(()(~)(~)1(~ kkkkk e xxCKxHKxGx

)(~ )()1(~ kkk ee xCKHKGCxKx (3.102)

Para efectos de simulación una vez diseñado el sistema de control con vector de

estado observado se puede obtener una nueva representación de estado para sistema de

regulación haciendo uso de las ecuaciones (3.101) y (3.102) como

)(~)(

)1(~)1(

k

k

k

k

ee x

x

CKHKGCK

HKG

x

x (3.103)

Reemplazando la ecuación (3.95) en la ecuación (3.2) se obtiene la expresión de la

salida como

)(~)()( kkky xDKCx

)(~)(

)(k

kky

x

xDKC (3.104)

La ecuación (3.95) de la expresión de la ley de control se puede modificar como

)(~)(

)(k

kku

x

xK0 (3.105)



4 DISEÑO DE CONTROLADORES Y OBSERVADORES DE

SISTEMAS DE MULTIPLE ENTRADA Y MULTIPLE (MIMO) EN

EL ESPACIO DE ESTADOS

4.1 INTRODUCION

Al diseñar sistemas de control de múltiple entrada y múltiple (multivariable) salida

usando el método de ubicación de polos en el plazo Z se presenta el inconveniente de

obtener soluciones múltiples, cada solución presenta diversidad de formas en el

transitorio y generalmente no cumplen con las especificaciones de tiempo elegidas, por

lo tanto el escoger la solución más próxima o sea la mejor es un gran inconveniente.

Otro método a usar es el Control Optimo que consiste en optimar u optimizar el valor

de una función seleccionada como el índice de desempeño y por lo tanto es de gran

interés para los ingenieros de control.

Al diseñar un controlador multivariable mediante sistemas de control óptimo, se

necesita encontrar una regla que determine la decisión de control presente, sujeta a

ciertas restricciones, para minimizar la desviación del comportamiento ideal, esta

medida es prevista, generalmente, por el índice de desempeño seleccionado que es una

función cuyo valor se considera una indicación de qué tanto se parece el desempeño del

sistema real al desempeñado deseado.

Formulación de un sistema de control multivariable

Considerando un sistema de control lineal invariante en el tiempo de múltiple entrada

y múltiple salida descrito mediante las ecuaciones de estado y de salida como

)()()1( kkk HuGxx (4.1)

)()()( kkk DuCxy (4.2)


y(k) : vector de salida de m×1

u(k) : vector de entrada o de control de r×1

G : matriz de estado de n×n

H : matriz de entrada de n×r

C : matriz de salida de m×n

D : matriz de transmisión directa de m×r

La representación gráfica de las ecuaciones (4.1) y (4.2) se muestra en la figura 4.1



z-1

I

G

H x(k+1) x(k) u(k)

C

D

y(k)

Figura 4.1 Sistema de control multivariable en lazo abierto.

El diagrama de bloques del sistema de control de la figura 4.1 se puede simplificar

mediante la representación de gráfica de la figura 4.2

)()()1( kkk HuGxx )()()( kkk DuCxy

u(k) y(k)

x(k)

Figura 4.2 Sistema de control simplificado en lazo abierto.

Controlabilidad de un sistema de control multivariable

Un sistema de control es de estado completamente controlable, si es posible transferir

el sistema de un estado inicial arbitrario a cualquier otro estado deseado arbitrario en un

tiempo finito.

La matriz de controlabilidad M de dimensión n×rn es

HGHGGHHM12 n (4.3)

El sistema es controlable en estado completo si la matriz M tiene rango = n

Observabilidad de un sistema de control multivariable

Un sistema de control es de estado completamente observable, si cualquier estado

inicial x(0) se puede determinar a partir de la observación de y(kT) sobre un número

finito de periodos de muestreo. El sistema, por lo tanto, es completamente observable, si

cualquier transición del estado de manera eventual afecta a todos los elementos del

vector de salida.

La matriz de observabilidad N de dimensión nm×n es



1

2

nCG

CG

CG

C

N

(4.4)

El sistema es observable en estado completo si la matriz N tiene rango = n

4.2 DISEÑO DE UN CONTROLADOR (REGULADOR) CON ENTRADA DE

REFERENCIA NULA

En el diseño de controladores en realimentación del vector de estado x(k) de

dimensión n×1 cuando el vector de control u(k) de dimensión r×1 para un sistema

controlable en estado completo y descrito por las ecuaciones (4.1) y (4.2), se elige el

vector de control expresado como

)()( kk Kxu (4.5)

Para determinar la matriz de ganancias de estados K de dimensión r×n se siguen los

siguientes pasos:

1. Determinar si el par (G, H) es controlable en estado completo, es decir si la

matriz de controlabilidad M de dimensión n×rn tiene rango n.

2. Obtener aleatoriamente una matriz KS de dimensión r×n y definir G0=G-HKS de

tal modo que G0 presente valores propios distintos, sino elegir otra matriz Ks .

3. Realizar una combinación lineal aleatoria de las columnas de H para generar

H0=Hv de tal manera que el par (G0, H0) representa un sistema equivalente de

entrada simple. Es decir G0, tiene dimensión n×n, H0 dimensión n×1 y el vector

v debe tener dimensión r×1

4. Asignar el espectro o conjunto deseado de polos ubicados en lazo cerrado μ1, μ2,

..., μn y determinar la matriz de realimentación de estados K0 usando cualquier

método de diseño mediante ubicación de polos de sistemas de regulación con

entrada simple vistos en capítulo 3 tal que los valores propios de (G0-H0K0) sean

iguales a los polos deseados en lazo cerrado.

5. Determinar la matriz deseada de realimentación K haciendo K=Ks+vK0

6. Comprobar que la matriz (G-HK) presente el mismo espectro deseado.

La representación gráfica del sistema de control simplificado expresado mediante las

ecuaciones (4.1), (4.2) y (4.5) se muestra en la figura 4.3



-K

)()()1( kkk HuGxx

)()()( kkk DuCxy

u(k) y(k)

x(k)



)()1( kk xHKGx (4.6)


)0()()( xHKGxkk (4.7)

Reemplazando la ecuación (4.5) en la ecuación (4.2) resulta

)()()()()( kkkky xDKCDKxCx (4.8)

4.3 DISEÑO DE OBSERVADORES DE ESTADO DE MÚLTIPLE SALIDA

MEDIANTE EL METODO DE UBICACION DE POLOS

Cuando el vector real x(k) no está disponible o no es medible en forma directa de

diseña un estimador de estados para que un vector estimado )(~ kx sea lo más cercano al

vector de estados real x(k).

Considerando el sistema de control completamente observable descrito por las

ecuaciones (4.1) y (4.2) definidas por

)()()1( kkk HuGxx

)()()( kkk DuCxy

Teniendo en cuenta que las señales y(k) e )(~ ky se pueden medir por lo tanto la

ecuación dinámica del observador de estados, se escribe como

))(~)(()()(~)1(~ kkkkk e yyKHuxGx (4.9)

)()(~)(~ kkk DuxCy (4.10)



donde Ke es una matriz de ponderación de estados de dimensión n×m.

Las ecuaciones (4.1), (4.2), (4.9) y (4.10) se representan en un diagrama de bloques

en la figura 4.4

z-1

I

G

H x(k+1) x(k) u(k)

C

D

y(k)

z-1

I

G

H )1(~ kx

C )(~ kx

Ke

D

)(~ ky

Figura 4.4 Sistema de control con estimador predicción de estados

Reemplazando las ecuaciones (4.2) y (4.10) en la ecuación (4.9) y operando se

obtiene

))()(~)()(()()(~)1(~ kkkkkkk e DuxCDuCxKHuxGx

))(~)(()()(~)1(~ kkkkk e xxCKHuxGx (4.11)

El sistema de control representado mediante la figura 4.4 y expresado mediante las

ecuaciones (4.1), (4.2) y (4.11) se puede representar mediante un esquema simplificado

en la figura 4.5



)()()1( kkk HuGxx

)()()( kkk DuCxy

u(k) y(k)

Cx(k)

))(~)(()()(~)1(~ kkkkk e xxCKHuxGx

)(~ kx

Figura 4.5 Sistema de control reducido con estimador de estados

Para determinar los valores de la matriz Ke se obtiene la ecuación de error del

observador restando la ecuación (4.1) de la ecuación (4.11) y se obtiene

))(~)(())(~)(()1(~)1( kkkkkk e xxCKxxGxx (4.12)

Definiendo un vector e(k) que representa la diferencia entre x(k) y )(~ kx

)(~)()( kkk xxe

Empleando el vector e(k) en la ecuación (4.12) se determina la ecuación siguiente

)()()1( kkk eCeKGee

)()()1( kk e eCKGe (4.13)

La ecuación (4.13) describe la dinámica del observador por lo que se debe diseñar la

ganancia Ke de forma muy apropiada para que el vector del error e(k) tienda

asintóticamente a cero a una velocidad lo suficientemente rápido. Para determinar el

valor de Ke se puede utilizar el método de la ubicación de polos de tal manera que los

valores propios de la matriz G-KeC sean estables.

)())(( 21 ne zzzz CKGI (4.14)

Sistema dual. Mediante el principio de “no unicidad de la representación en el

espacio de estado” de la sección 2.3 se puede representar un sistema de control dual al

sistema original descrito por las ecuaciones (4.1) y (4.2) como

)(ˆ)(ˆ)1(ˆ kkk TTuCxGx (4.15)

)(ˆ)(ˆ)(ˆ kkk TuDxHy (4.16)



Las matrices G, H, C, D son las mismas que las matrices de las ecuaciones (4.1) y

(4.2). Considerando al sistema descrito por las ecuaciones (4.15) y (4.16) como sistema

de regulación definido, entonces la señal de control se expresa como

)(ˆ)(ˆ kk xKu (4.17)

Reemplazando la ecuación (4.17) en la ecuación (4.15) se obtiene

)(ˆ)()1(ˆ kk TTxKCGx (4.18)

El polinomio característico del sistema dado por la ecuación (4.18) se da por

)())(( 21 nTT zzzz KCGI (4.19)

Aplicando la propiedad del determinante |A| = |AT| entonces la ecuación (4.19)

también se expresa como

)())(( 21 nT zzzz CKGI (4.20)

Al comparar las ecuaciones (4.14) y (4.20) y si los polos de lazo cerrado son iguales

es decir ii entonces igualando las ecuaciones (4.14) y (4.20) se obtiene

CKGICKGIT

e zz (4.21)

De la ecuación (4.21) se deduce que

Te KK (4.22)

Si se calcula la matriz K usando el algoritmo de solución de un sistema de control

multivariable, entonces se determina la matriz de ganancia de estimación Ke

4.4 SISTEMAS DE CONTROLADOR OPTIMO

Un sistema de control óptimo minimiza (o maximiza) el índice de desempeño

seleccionado, este índice, en realidad determina la configuración del sistema. Un

sistema de control que es óptimo bajo un índice de desempeño por lo general no es

óptimo bajo otro índice de desempeño.

Los problemas de control óptimo que se pueden resolver en forma analítica, dan una

buena visión de las estructuras y algoritmos óptimos que se pueden aplicar a casos

prácticos.



Formulación de un sistema de optimización

El problema de un sistema de optimización de un sistema de control se puede

formular si se tiene la siguiente información: Ecuaciones del sistema, clase de vectores

de control permitidos, índice de desempeño y parámetros del sistema.

La solución de un problema de control óptimo consiste en determinar el vector de

control óptimo dentro de la clase de vectores de control permitidos. El vector de control

depende de la naturaleza del índice de desempeño, de la naturaleza de restricciones, del

estado inicial o salida inicial y del estado deseado o salida deseada.

Considerando un sistema de control multivariable lineal invariante en el tiempo

descrito mediante las ecuaciones de estado (4.1) y de salida (4.2) como

)()()1( kkk HuGxx

)()()( kkk DuCxy

Donde (k = 0, 1, 2, ..., N-1) y el estado inicial arbitrario es cx )0( y la secuencia

u(0), u(1), u(2), ..., u(N-1) son los vectores de control óptimos que minimiza un índice

de desempeño cuadrático.

4.4.1 CONTROL OPTIMO CUADRÁTICO NO ESTACIONARIO

Ley de control óptimo

La ley de control óptimo para un sistema de regulación se determina mediante la

ecuación

)()( k(k)k xKu (4.23)

Donde K(k) es una matriz de r×n variante en el tiempo. Si N = ∞, entonces K(k) es

una matriz constante de r×n.

Indice de desempeño cuadrático.

En el problema de control óptimo cuadrático se desea determinar una ley para el

vector de control u(k) tal que un índice de desempeño cuadrático se minimice. Un

ejemplo de índice de desempeño cuadrático es

1

0

)()()()(2

1)()(

2

1N

k

TTT kkkkNNJ RuuQxxSxx (4.24)

Donde las matrices S y Q son matrices de ponderación simétricas definidas positivas

o semidefinidas positivas y la matriz R es una matriz de ponderación, simétrica



definida positiva. Estas matrices se seleccionan para valorar la importancia relativa de la

contribución en el desempeño debido al vector de estado x(k) (k = 0, 1, 2, ... , N-1). Al

vector de control u(k) (k = 0, 1, 2, ... , N-1) y al estado final x(N), respectivamente.

El primer término dentro de los corchetes de la sumatoria toma en cuenta la

importancia relativa del error durante el proceso de control y el segundo término toma

en cuenta el gasto de energía de la señal de control.

Al emplear un conjunto de multiplicadores de Lagrange λ(1), λ(2), ..., λ(N), se define

un nuevo índice de desempeño L como:

1

0

)1()1()()()1()()()1(2

1N

k

TT kkkkkkkkJL λxHuGxxHuGx

(4.25)

Donde J está expresado mediante la ecuación (4.24)

1

0

)()()()(2

1)()(

2

1N

k

TTT kkkkNNJ RuuQxxSxx

Para minimizar la función L, se necesita diferenciar L respecto a cada uno de los

componentes de los vectores x(k), u(k) y λ(k) e igualar los resultados a cero. Por lo tanto

se tiene

1 , ,2 ,1 , )()1()( )(

Nkkkk

k

T 0GQx0x

Lλλ (4.26)

0Sx0x

Lλ

)()(

)(NN

N (4.27)

1 , ,2 ,1 ,0 , )1()( )(

Nkkk

k

T 0HRu0u

Lλ (4.28)

Nkkkkk

, ,2 ,1 , )()1()1( )(

0xHuGx0

L

λ (4.29)

Modificando adecuadamente la ecuación (4.26) se tiene

1 , ,2 ,1 , )1()()( Nkkkk T λGQx (4.30)

Con la condición final )()( NN Sxλ

Al resolver la ecuación (4.28) para u(k) y sabiendo que R-1

existe, se obtiene

1 , ,2 ,1 ,0 , )1()( 1 Nkkk T λHRu (4.31)



La ecuación (4.29) resulta ser la ecuación de estado y se puede escribir como

1 , ,2 ,1 ,0 , )()()1( Nkkkk HuGxx (4.32)

Al sustituir la ecuación (4.31) en la ecuación (4.32) se obtiene

)1()()1( 1 kkk TλHHRGxx (4.33)

Con la condición inicial cx )0( .

Para obtener la solución al problema de minimización, se necesitan resolver las

ecuaciones (4.30) y (4.33) en forma simultánea con dos puntos de frontera

)()( NN Sxλ y cx )0( respectivamente determinando el valor óptimo para el vector

x(k) y para el vector λ(k) y el vector de control óptimo u(k) se puede obtener en la forma

de lazo abierto. Sin embargo, si se emplea la ecuación de Riccati, el vector u(k) se puede

obtener en la forma de lazo cerrado como en la ecuación (4.23) es decir

)()( k(k)k xKu

Si se supone que el vector de multiplicadores de Lagrange λ(k) se puede aplicar la

transformación de Riccati al definir λ(k) como

)()( k(k)k xPλ (4.34)

Donde P(k) es una matriz simétrica definida positiva o semidefinida positiva de

dimensión n×n.

Al sustituir la ecuación (4.34) en la ecuación (4.30) resulta

)1(1)()( k)(kkk(k) TxPGQxxP (4.35)

Al sustituir la ecuación (4.34) en la ecuación (4.33) se obtiene

)1(1)()1( 1 k)(kkk TxPHHRGxx (4.36)

La ecuación (4.36) se puede escribir como

)()1(11 kk)(kTGxxPHHRI (4.37)

La ecuación (4.37) se convierte en

)(1)1(11 k)(kk TGxPHHRIx

(4.38)

Al sustituir la ecuación (4.38) en la ecuación (4.35), se obtiene

)(]1[1)()( 11 k)(k)(kkk(k) TTGxPHHRIPGQxxP

(4.39)



La ecuación (4.39) también se puede escribir como

0xGPHHRIPGQP )(]1[1 11 k)(k)(k(k) TT (4.40)

En la última ecuación se debe cumplir para todo vector x(k). Por lo tanto se obtiene

GPHHRIPGQP11 ]1[1 )(k)(k(k) TT (4.41)

La ecuación (4.41) se puede modificar al utilizar el lema de inversión de matrices

111111 DABDAIBAABDA

Al hacer las sustituciones

)(kT 1 , , 1 PHDHRBIA

Se obtiene

)(k)(k)(k TTT 1]1[]1[ 11111 PHHRPHIHRIPHHRI

)(k)(k)(k TTT 1]1[]1[ 111 PHHPHRHIPHHRI

En consecuencia la ecuación (4.41) se puede modificar a

GPHHPHRHPGGPGQP )(k)(k)(k)(k(k) TTTT 1]1[11 1 (4.42)

La ecuación (4.42) se denomina ecuación de Riccati.

En referencia a las ecuaciones (4.27) y (4.34), para el valor de k = N se obtiene

)()()()( NNNN Sxx λP . Entonces SP )(N

Mediante la ecuación (4.34) se puede obtener

)1(1)1( k)(kk xPλ (4.43)

Reemplazando la ecuación de estado (4.32) en la ecuación (4.43)

)()( 1)1( kk)(kk HuGxPλ (4.44)

Sustituyendo la ecuación (4.44) en la ecuación de control (4.31) se obtiene

)( 1)(1)( 11 k)(kk)(kk TTHuPHRGxPHRu (4.45)

Despejando el vector de control óptimo u(k) obteniéndose como

)(1] 1[)( 111 k)(k)(kk TTGxPHRHPHRIu (4.46)



Modificando la ecuación (4.46) se obtiene la siguiente ley de control óptima como

)(1] 1[)( 1 k)(k)(kk TTGxPHHPHRu (4.47)

Relacionado la ecuación (4.23) con la ecuación (4.47) se obtiene la expresión para la

matriz de realimentación K(k) como sigue

GPHHPHRK )(k)(kk TT 1] 1[)( 1 (4.48)

La ecuación (4.48) indica que la matriz de realimentación K(k) variante en el tiempo

se puede calcular antes de que el proceso comience, conociendo las matrices G, H, Q, R

y S y el valor de k=N.

Existen otras formas equivalentes para representar la matriz de realimentación K(k).

En la figura 4.6 se muestra el esquema de control óptimo del sistema regulador no

estacionario basado en el índice de desempeño cuadrático.

-K(k)

)()()1( kukk HGxx

)()()( kukky DCx

u(k) y(k)

x(k)

Precálculo

de K(k)

Figura 4.6 Sistema regulador óptimo basado en el índice de desempeño cuadrático

Al realizar manipulaciones se puede evaluar el valor mínimo del índice de

desempeño. Es decir

1

0

)()()()(2

1)()(

2

1min)min(

N

k

TTT kkkkNNJ RuuQxxSxx (4.49)

Obteniéndose el valor mínimo del índice de desempeño J como

)0()0()0(2

1min xPx

TJ (4.50)

4.4.2 CONTROL OPTIMO CUADRÁTICO EN ESTADO ESTACIONARIO

SE UN SISTEMA REGULADOR



Cuando se considera el sistema de control óptimo cuadrático con el proceso sin

limitaciones, o cuando N→∞ (proceso de etapas infinitas). Como N→∞, la solución de

control óptimo se convierte en una solución de estado estacionario, y la matriz de

ganancia variante en el tiempo K(k) se convierte en una matriz de ganancia constante K

y se llama matriz de ganancia en estado estacionario.

Considerando el sistema descrito por las ecuaciones (4.1) y (4.2) como

)()()1( kkk HuGxx

)()()( kkk DuCxy

Teniendo en cuenta el control óptimo cuadrático en estado estacionario de un sistema

regulador, el índice de desempeño J se modifica a

0

)()()()(2

1

k

TT kkkkJ RuuQxx (4.51)

El índice de desempeño J, cuando N = ∞, converge a una constante, x(∞) = 0 por lo

tanto 0)()( )2/1( SxxT

La matriz de estado estacionario P(k) se define como P (matriz real simétrica

definida positiva). Entonces la ecuación de Ricatti (4.42) se convierte en

PGHPHHRPHGPGGQPTTTT 1][ (4.52)

La matriz de ganancia en estado estacionario K se obtiene modificando la ecuación

(4.48) como

PGHHPHRKTT 1] [ (4.53)

La ley de control óptimo para la operación en estado estacionario está dada por

)()( kk Kxu (4.54)

El índice de desempeño J asociando la ley de control óptimo en estado estacionario

se obtiene de la ecuación (4.50) como

)0()0(2

1min Pxx

TJ (4.55)

Al implantar el controlador óptimo en estado estacionario (invariante en el tiempo) se

requiere solucionar en estado estacionario la ecuación de Ricatti. Una forma es

resolviendo la ecuación de Ricatti de la expresión (4.52) o también invirtiendo la

dirección del tiempo de la ecuación de Ricatti (4.42) modificándose a la forma siguiente

GPHHPHRHPGGPGQP (k)(k)(k)(k))(k TTTT 1][1 (4.56)



La solución de la ecuación (4.56) comienza con P(0) = 0, e iterar la ecuación hasta

obtener una solución en estado estacionario, es decir obtener una matriz P constante.

La representación gráfica del sistema de control óptimo en estado estacionario se

muestra en la figura 4.7

-K

)()()1( kkk HuGxx

)()()( kkk DuCxy

u(k) y(k)

x(k)


4.5 DISEÑO DE UN CONTROL OPTIMO CUADRÁTICO EN ESTADO

ESTACIONARIO DE SEGUIMIENTO (PROPROCIONAL)

Sea el sistema de control de múltiple entrada descrito por las ecuaciones (4.1) y (4.2)

definas como

)()()1( kkk HuGxx

)()()( kkk DuCxy


)()()( 0 kkk rKKxu (4.57)

donde r(k) es el vector de referencia m×1 del mismo tamaño que el vector de salida

y(k), la matriz K es la matriz de ganancia de realimentación de estado de dimensión

r×n, y la matriz K0 es una matriz de compensación ajustable proporcional r×m.


(4.1), (4.2), y (4.57), que representa a un sistema de control óptimo en lazo cerrado.

r(k)

K0 )()()1( kkk HuGxx

)()()( kkk DuCxy

u(k) y(k)

x(k)

K

Figura 4.8 Sistema de control óptimo proporcional y precompensador



Para determinar la ganancia óptima K en estado estacionario del sistema

representado en la figura 4.8 se debe de llevar a un sistema de regulación óptimo

cuadrático alrededor de x(k∞) evaluando al sistema de control cuando k→∞ como se ha

procedido en el capítulo 3 para un sistema de control seguimiento a un escalón con

precompensador de simple entrada obteniéndose la matriz óptima de ganancia K en

estado estacionario dada en la expresión (4.53) y escrita como

PGHHPHRKTT 1] [

Donde la matriz P se obtiene de la matriz de Ricatti dada en la ecuación (4.52) y

volviéndola a escribir como

PGHPHHRPHGPGGQPTTTT 1][

La solución de la ecuación de Ricatti en estado estacionario se obtiene mediante la

ecuación (4.56) como

GPHHPHRHPGGPGQP (k)(k)(k)(k))(k TTTT 1][1

La ganancia de prealimentación K0 se selecciona para que el sistema en lazo cerrado

tenga una ganancia unitaria en estado permanente, eliminado el error en estado

estacionario ante una entrada escalón, r(k)=r. Obteniéndose como en la ecuación (3.41)

pero en forma matricial como

110 )(

DHHKGIDKCK (4.58)

4.6 DISEÑO DE UN CONTROL OPTIMO CUADRÁTICO EN ESTADO

ESTACIONARIO DE SEGUIMIENTO (PROPORCIONAL-INTEGRAL)

Sea el sistema de control de múltiple entrada descrito por las ecuaciones (4.1) y (4.2)

definas como

)()()1( kkk HuGxx

)()()( kkk DuCxy , 0D


)()()( kkk I vKKxu (4.59)



Donde el vector v(k) es un vector de m×1 del mismo tamaño que el vector de salida

y(k), la matriz K es la matriz de ganancia de realimentación de estado de dimensión

r×n, y la matriz KI es una matriz de ganancia integral de r×m.

La ecuación del integrador se escribe como

))()(()1()( kkkk yrvv (4.60)


(4.1), (4.2), (4.59) y (4.60) que representa un sistema de control óptimo en lazo cerrado.

K

r(k) KI 11

1 z

)()()1( kkk HuGxx

)()( kk Cxy

u(k) y(k)

x(k)

v(k) e(k)

Figura 4.9 Sistema de control óptimo de seguimiento proporcional - integral

La ecuación (4.60) en base a las ecuaciones (4.1) y (4.2) se puede modificar como

)1()()()()1( kkkkk rCHuvCGxv (4.61)

De las ecuaciones (4.1), (4.2) y (4.61) se obtiene un sistema de control óptimo

ampliado como sigue:

Ecuación de estado

)1()()(

)(

)1(

)1(

kk

k

k

k

kr

I

0u

CH

H

v

x

ICG

0G

v

x (4.62)

Ecuación de salida

)(

)( )(

k

kk

v

x0Cy (4.63)


)(

)( )(

k

kk I

v

xKKu (4.64)




)(

)()(ˆ

k

kk

v

xx de dimensión (n+m)×1

ICG

0GG de dimensión (n+m)×(n+m)

CH

HH de dimensión (n+m)×r

I

0H

de dimensión (n+m)×r

0CC ˆ de dimensión m×(n+m)

0D ˆ de dimensión m×r

IKKK ˆ de dimensión r×(n+m)

Las ecuaciones (4.62), (4.63) y (4.64) se pueden escribir como

)1()(ˆ)(ˆˆ)1(ˆ kkkk rHuHxGx

(4.65)

)(ˆ)(ˆˆ)( kkk rDxCy (4.66)

)(ˆˆ)( kk xKu (4.67)

Para diseñar la ganancia óptima en estado estacionario K del sistema de control

descrito por las ecuaciones (4.65), (4.66) y (4.67) se transforma a un sistema de

regulación alrededor de )(ˆ kx evaluando al sistema de control cuando k→∞ como

sigue

)1()(ˆ)(ˆˆ)1(ˆ kkkk rHuHxGx

(4.68)

)(ˆˆ)( kk xKu (4.69)


como

)(ˆ)(ˆ)(ˆ kkke xxx , )()()( kkke uuu


rrrr )()1()( kkk (4.70)




))1()1(())()((ˆ))(ˆ)(ˆ(ˆ)1(ˆ)1(ˆ krkrkukukkkk HHxxGxx

(4.71)

Evaluando con las variaciones de estados y entrada se obtiene

)(ˆ)(ˆˆ)1(ˆ kkk eee uHxGx (4.72)


))(ˆ)(ˆ(ˆ)()( kkkk xxKuu (4.73)

Evaluando con las variaciones de estados y entrada se obtiene

)(ˆˆ)( kk ee xKu (4.74)

Las ecuaciones (4.72) y (4.74) representan un sistema de regulación de un sistema de

control óptimo alrededor de x(k∞). Por lo tanto, el diseño se convierte en determinar la

matriz K tal que minimice al siguiente índice de desempeño cuadrático discreto en

estado estacionario J como sigue

0

)(ˆ)()(ˆˆ)(ˆ2

1

k

e

T

ee

T

e kkkkJ uRuxQx (4.75)

La matriz de ponderación Q , es simétrica definida positiva o semidefinida positiva

de (n+m)×(n+m) y la matriz de ponderación R , es simétrica y siempre definida positiva

de r×r .

Por lo tanto la matriz de ganancia óptima en estado estacionario K de la ecuación

(4.74) de control óptimo del sistema de control descrito por la ecuación que minimiza el

índice de desempeño J descrito por la ecuación (4.76) se determina mediante la

siguiente expresión

GPHHPHRK ˆˆˆ]ˆ ˆˆˆ[ˆ 1 TT (4.76)

Donde la matriz P sigue siendo una matriz simétrica definida positiva de dimensión

(n+m)×(n+m) se obtiene de la matriz de Ricatti descrita como

GPHHPHRHPGGPGQP ˆˆˆ]ˆˆˆˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆ 1 TTTT (4.77)

La solución de la ecuación de Ricatti se obtiene mediante la ecuación siguiente

GPHHPHRHPGGPGQP ˆˆˆ]ˆˆˆˆ[ˆˆˆˆˆˆˆ1ˆ 1 (k)(k)(k)(k))(k TTTT (4.78)



Al reemplazar la ecuación (4.67) en la ecuación (4.65) se obtiene ecuación de estado

el lazo cerrado como

)1()(ˆˆˆ)(ˆˆ)1(ˆ kkkk rHxKHxGx

)()(ˆ)ˆˆˆ()1(ˆ kkk rHxKHGx

(4.79)

En un sistema lineal invariante en el tiempo si se aplica una entrada constante, los

estados del sistema llegan a un punto de equilibrio en estado permanente, es decir

)()1()(ˆ)1(ˆ kkkk vvxx (4.80)

Teniendo en cuenta las ecuaciones (4.60) y (4.80) se demuestra que el error en estado

estacionario es cero ante una entrada tipo escalón del siguiente modo:

ry0ryeevvv )()()()()()()1( kkkkkkk



SISTEMAS DE CONTROL NO LINEAL EN TIEMPO DISCRETO

Y LINEALIZACION POR REALIMENTACION

1.1 INTRODUCION

Una vez formulado el modelo matemático o dinámico de un proceso, éste por lo

general resulta ser no lineal. Lo siguiente es analizar la formulación dinámica del

proceso para elegir la técnica de control que a veces resulta más conveniente aplicar

directamente con el modelo no lineal y así se pueden diseñar sistemas o estructuras de

control no lineal empleando diversas técnicas como el método directo de Liapunov,

control deslizante, control adaptivo, control predictivo, compensación no lineal por

realimentación, etc.

La idea fundamental del control de procesos no lineales empleando la técnica de

linealización por realimentación o realimentación no lineal, es linealizar el proceso

(parcial o total) mediante un cambio adecuado de coordenadas vectoriales y una

realimentación del vector de estado, de modo tal que el proceso resultante (representado

en su forma normal) permita aplicar técnicas de control lineal o resolver el problema de

control con un grado de dificultad menor (en caso de linealización parcial).

1.2 HERRAMIENTAS MATEMATICAS

Las herramientas matemáticas necesarias para desarrollar el método de control

tratado en este capítulo corresponden a la definición, análisis y uso de conceptos de la

geometría diferencial y a la topología. En esta sección sólo se tratarán los aspectos

involucrados con la técnica de linealización por realimentación para un proceso de

naturaleza no lineal.

Si f(x) es un campo vectorial suave en el espacio n-dimensional, es decir que posee

infinitas derivadas parciales continuas, donde x es el vector de estado. El jacobiano de

f(x) es

n

nn

n

x

f

x

f

x

f

x

f

1

1

1

1

x

ff (1.1)

Si h(x) es una función escalar suave de variable vectorial, donde x es el vector de

estado. El gradiente de h(x) es



nx

h

x

h

x

hhh

21x (1.2)

1.2.1 Derivadas y corchetes de Lie

Definición 1.1 Dada una función escalar suave RRx nh :)( y un campo

vectorial suave nnRRxf :)( , entonces se puede definir una nueva función escalar

RRff nhhL : denominado la derivada de Lie, que viene ha ser la derivada

direccional de h a lo largo de la dirección del vector f

Sucesivas derivadas de se pueden definir recursivamente como

hhhL 00 ff

fff 11 hhhL

fffff )()( 112 hLhLLhL

,2 ,1 , )()( 11 ihLhLLhL iiif

ffff (1.3)

Del mismo modo, si g(x) es otro campo vectorial, la función escalar )(xfg hLL es

gx ffg )()( hLhLL (1.4)

Definición 1.2 Sean nnRRxgxf :)( ),( . El corchete de Lie de f y g se define

como un tercer campo vectorial de la forma

ggffggf fadj , (1.5)

El corchete de Lie también significa la adjunta del vector g(x) a lo largo de la

dirección del vector f(x). Sucesivos corchetes de Lie se pueden definir recursivamente

como

ggf

0adj

gfgfgff

, , 01 adjadj



, , 12 gfgfg fffadjadjadj

,2 ,1 , , 1 iadjadj ii gfgff

(1.6)

Lema 1.1 Los corchetes de Lie satisfacen las propiedades siguientes:

1. Bilinealidad:

gfgfgff , , , 22112211

22112211 , , , gfgfggf

2. Anticonmutatividad:

fggf , ,

3. Identidad de Jacobi:

ggffggf fadjL ,

Donde f, f1, f2, g, g1 y g2 son campos vectoriales, α1 , α2 son constantes escalares y

h(x) es una función diferenciable.

1.2.2 Difeomorfismo global y difeomorfismo local

El concepto de difeomorfismo, que puede ser visto como una generalización del

concepto familiar de transformación de coordenadas en campos vectoriales, es el

siguiente:

Definición 1.3 Una función nnRRx :)( definida en una región , se denomina

un difeomorfismo si y su inversa son suaves. Si nR , entonces )(x es un

difeomorfismo global. Si xx de , entonces )(x define un difeomorfismo local en

una región de .

1.3 TRANSFORMACION NO LINEAL DE ESTADOS

Un difeomorfismo puede ser usado para transformar una representación no lineal en

otra, en términos de un nuevo vector de estado. Considerando que un proceso no lineal

está descrito por

)())(())(( ttt uxGxfx (1.7.a)

))(()( tt xhy (1.7.b)



Donde u(t) es el vector de control de dimensión r×1, x(t) es el vector de estado de

dimensión n×1, y(t) es el vector de salida del proceso de dimensión m×1, la matriz

G(x(t)) de dimensión m×r está formada por r campos vectoriales infinitamente

diferenciables de dimensión n×1 y h(t) corresponde a un campo vectorial infinitamente

diferenciable.

Si se asume la siguiente transformación no lineal de estados:

) , ,(

) , ,(

) , ,(

)(

1

12

11

nn

n

n

xx

xx

xx

xz (1.8)

La transformación de la ecuación (1.8) es un difeomorfismo, donde la función de

transformación )(x es infinitamente diferenciable e invertible, la función inversa

)(1z

también debe ser infinitamente diferenciable, permite un retorno a los estados

originales.

Aplicando la ecuación (1.8), )(xz en la ecuación (1.7) y derivando se obtiene

)())(())(()()()()(

ttttttt

uxGx

xfx

xx

zxxx

(1.9)

Donde x es un punto de equilibrio para el cual la matriz jacobiana es no singular, lo

que significa que su inversa existe. Por lo tanto el proceso no lineal se puede expresar en

términos del vector de estado z como

)())((~

))((~

ttt uzGzfz (1.10.a)

))((~

)( tt zhy (1.10.b)

Donde

))(()(~ 1

zfx

zf

))(()(~ 1

zGx

zG

))(()(~ 1

zhzh

1.3.1 El Teorema de Frobenius

El teorema de Frobenius es una herramienta importante para el tratamiento formal de

la linealización por realimentación de procesos de orden n. Este teorema proporciona las



condiciones necesarias y suficientes para resolver una clase especial de ecuaciones con

derivadas parciales.

Definición 1.4 Se dice que un conjunto linealmente independiente de campos

vctoriales pfff 21 en nR es completamente integrable sí y solo sí existen (n-p)

funciones escalares )( , ),( ),( 21 xxx pnmmm que satisfacen el siguiente sistema de

ecuaciones diferenciales parciales:

0 jim f , donde mni 1 , mj 1 . En suma, los gradientes im son

también linealmente independientes.

La definición anterior implica la existencia de n(n-m) ecuaciones diferenciales

parciales de la forma 0 jim f .

Definición 1.5 Se dice que un conjunto linealmente independiente de campos

vectoriales pfff 21 en nR es involutivo, integrable sí y solo sí existen funciones

escalares nnijk RRx :)( tales que

jik

p

k

ijk , , )( )()( )( ,

1

xfxxgffgxgf (1.11)

Partiendo de la definición anterior se puede deducir que:

1. Los campos vectoriales constantes, es decir, si fk y gk son constantes para

cualquier k = 1, ...,p, son siempre involutivos puesto que

jik

p

k

ijk , , )( )(0)( ,

1

xfxxgf

2. Un conjunto compuesto por un solo campo vectorial f es involutivo porque

0)( , xff

3. Si un conjunto de campos vectoriales pfff 21 es involutivo, implica

que para todo i, j

jipp rangorango ffxfxfxfxfxfxf ,)()()()()()( 2121

Teorema 8.1 (Teorema de Frobenius) Sea pfff 21 es un conjunto de

campos vectoriales linealmente independientes es integrable sí y sí es involutivo.

1.3.2 Grado relativo

Dado el siguiente proceso no lineal de una entrada y una salida



)())(())(( tutt xgxfx (1.12.a)

))(()( thty x (1.12.b)

Se desea obtener una relación directa entre la entrada u y la salida y. Para ello se

deriva la salida como sigue

)()()(

)()()()(

tuhhh

dt

tdyxg

x

xxf

x

xx

x

x

O que es lo mismo

uhLhLy )()( xx gf (1.13.1)

Si 0)( xghL , entonces se tiene la relación deseada entre y y u; en caso contrario, se

sigue derivando la salida remanente )(xf hLy como sigue

uhLhLhLy )()()()()( xgxx

xfxx

xxx

fff

O que es lo mismo

uhLLhLy )()(2xx fgf (1.13.2)

Nuevamente, si 0)( xfg hLL , entonces se tiene la relación deseada. En caso

contrario, se debe seguir derivando la salida hasta que la r-ésima deriva la entrada u

aparezca en forma explícita, como sigue

0)( ; )()( 11)( xxx fgfgf hLLuhLLhLy rrrr (1.13.r)

Definición 1.6 El grado relativo de un proceso univariable no lineal descrito

mediante las ecuaciones (1.12), es el número de veces r que hay que derivar la salida

hasta obtener

2 , ,2 ,1 ; 0)( rihLL r xfg

xxfg ; 0)(1hLL r

1.4 FORMA NORMAL DE PROCESOS NO LINEALES

La técnica de linealización exacta requiere de una representación no lineal en su

forma normal bastante útil del proceso a controlar. La transformación no lineal de



coordenadas que permite llevar un proceso no lineal de una entrada y una salida

representado por las ecuaciones (1.12) a su forma normal, se consigue utilizando la

ecuación (1.9) y obtener un sistema descrito mediante las ecuaciones (1.11). La

transformación de estados depende del grado relativo r del proceso. El caso más simple

se da cuando el grado relativo es igual al orden del proceso (r=n). Esto es

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

1

2

1

x

x

x

x

x

x

xz

f

f

hL

hL

h

rn

(1.14)

El vector de estado x de dimensión n×1 cumple con las condiciones de una

transformación no lineal; es decir, es un difeomorfismo basado en la hipótesis de que el

orden del sistema es r=n. Por consiguiente, dicha transformación puede llevar al

proceso descrito mediante las ecuaciones (1.12) como sigue:

Derivando )(11 xz de la ecuación (1.14)

uz )()()()( 11

1 xgxfx

xx

x

x

)()()()( 21 xxxx fgf hLuhLhLz

21 zz (1.11.1)

Derivando )(22 xz de la ecuación (1.14)

uhL

z )()()()(2

2 xgxfx

xx

x

x f

)()()()( 322

2 xxxx ffgf hLuhLLhLz

32 zz (1.11.2)

Derivando )(11 x nnz de la ecuación (1.14)

uhL

zn

nn )()(

)()( 21

1 xgxfx

xx

x

x f

)()()()( 1211 xxxx ffgf n

nnnn hLuhLLhLz

nn zz 1 (1.11.n-1)



Derivando )(xnnz de la ecuación (1.14)

uhL

zn

nn )()(

)()( 1

xgxfx

xx

x

x f

uhLLhLz nnn )()( 1

xx fgf

uabuhLLhLz nnn )()())(())(( 111

zzzz fgf (1.11.n)

1zy (1.16)

En la ecuación (1.18.n) 0)( za por definición, debido a que r = n

Cuando el proceso no lineal tiene grado relativo r<n, entonces el cambio de

coordenadas desarrollado anteriormente conduce a una transformación parcial, en vista

de que sólo se puede definir r funciones de la forma )(,),(1 xx r linealmente

independientes. Sin embargo, es posible agregar n-r funciones de la forma

)(,),(),( 21 xxx nrr , de tal modo que )(x sea un difeomorfismo. Con ello, la

forma normal del proceso descrito por (1.12) resulta en la representación en el espacio

de estado como sigue

)(

)(

)()())(())((

11

111

1

32

21

z

z

zzzz fgf

rnn

r

rrr

rr

wz

wz

uabuhLLhLz

zz

zz

zz

(1.17.a)

1zy (1.17.b)

donde rnwww ,,, 21 son funciones suaves que dependen del nuevo estado z y no

de la entrada u.

1.5 LINEALIZACION EXACTA Y LEY DE CONTROL NO LINEAL

La linealización exacta se refiere a linealizar mediante realimentación, procesos no

lineales de grado r = n. En tales procesos es posible determinar una adecuada

realimentación no lineal que conduzca a una linealización exacta del proceso original.



El proceso puede ser univariable (una entrada y una salida) o multivariable (múltiples

entradas y múltiples salidas). En este caso sólo se tratará del caso univariable y de grado

relativo igual a n.

Si el proceso de control no lineal descrito por las ecuaciones (1.12), no está en su

forma normal, entonces se debe transformar mediante el cambio de coordenadas en la

ecuación (1.14) y obtener una nueva representación como el proceso descrito por las

ecuaciones (1.15) y (1.16) que se vuelven a escribir como

uabuhLLhLz

zz

zz

zz

nnn

nn

)()())(())(( 111

1

32

21

zzzz fgf

(1.18.a)

1zy (1.18.b)

1.1.1 Ley de control no lineal para u(t)

Si se define una señal de realimentación u(t) (ley de control no lineal) de la forma

))(()()(

1)( tbtv

atu z

z (1.19)

Donde v es la nueva señal de control, el conjunto de ecuaciones viene a ser:

vz

zz

zz

zz

n

nn

1

32

21

(1.20.a)

1zy (1.20.b)

Las ecuaciones (1.20) se pueden representar en el espacios de estados lineal como

vBzAz (1.21.a)

zCy (1.21.b)

Donde



00000

1000

0100

0010

A ;

1

0

0

0

B ; 0001 C

La figura 1.1 muestra el proceso de linealización descrito.

)(

1

za

u(t) u)()( xgxfx

x(t) )(xz

v(t) z(t) C

y(t)

)(zb

Figura 1.1 Linealización por realimentación

El proceso lineal descrito por las ecuaciones (1.21) es completamente controlable y

completamente observable, ya que las matrices de controlabilidad y observabilidad M y

N respectivamente poseen rango completo igual a n. Por otra parte, el proceso lineal

resultante es un integrador de orden n debido a que su función de transferencia es

nss

sv

sy 1)(

)(

)( 1 BAIC (1.22)

La figura 1.2 muestra el diagrama de bloques que representa la ecuación (1.22)

ns

1

v(t) y(t)

Figura 1.2 Diagrama de bloques equivalente de la linealización exacta

Respecto al proceso de linealización desarrollado, se remarca lo siguiente:

El sistema de lazo cerrado resultante representado en la figura 1.1 es lineal,

completamente controlable y completamente observable. Por consiguiente el

problema de control a resolver, ya sea de regulación o de seguimiento de

trayectorias, queda resuelto diseñando v con cualquier técnica de control lineal

conocida.



En general la realimentación no lineal requiere de todo el vector de estado z, por

lo que es necesario que todos sus elementos sean medibles. De lo contrario es

necesario estimarlos empleando un observador no lineal.

1.1.2 Condiciones para la linealización exacta

La linealización desarrollada ha sido posible debido a la existencia de una función de

salida h(x) respecto a al cual el proceso no lineal original tiene grado relativo r=n. Se

resalta que un proceso no lineal univariable como el de la ecuación (1.12) posee grado r

= n cuando la función h(x), para un entorno alrededor del punto de operación x ,

satisface

0)(

0)()()(

1

2

x

xxx

fg

fgfgg

hLL

hLLhLLhL

n

n

Entonces las condiciones para la linealización exacta pueden ahora ser rigurosamente

formalizadas.

Teorema 8.1 El proceso univariable no lineal expresado por la ecuación (1.12):

u)()( xgxfx , donde f(x) y g(x) son campos vectoriales suaves, es linealizable si y

sólo si existe una región en donde se cumplan las condiciones siguientes:

1. Los campos vectoriales ][ 1ggg ff

nadjadj son linealmente

independientes en , lo que equivale decir, que el rango de la matriz resultante [.]

debe ser igual al orden n del proceso.

2. El conjunto ][ 2ggg ff

nadjadj es involutivo en .

La primera condición se puede interpretar como una condición de controlabilidad

dado que los campos vectoriales ][ 1ggg ff

nadjadj aplicados a procesos lineales

se convierten en la matriz de controlabilidad ][ 1BAABB

n . El rango de esta

matriz debe ser n para que el proceso lineal sea completamente controlable. Sin

embargo, puede ocurrir que un sistema no lineal sea controlable, mientras que su

modelo linealizado no lo sea. Por ello, la primera condición puede considerarse como

una generalización de la condición de la de controlabilidad.

La condición involutiva es menos intuitiva. Para sistemas lineales, tal condición se

satisface trivialmente ya que los campos vectoriales son constantes. Pero, en general, no

se puede decir lo mismo cuando se trata con procesos no lineales.

1.1.3 Ley de control lineal para v(t)

El sistema obtenido mediante la ecuación (1.22) es un sistema lineal de simple entada

v(t) y simple salida y(t) por lo tanto se puede diseñar cualquier tipo de control para un

proceso lineal, el cual debe cumplir condiciones de estabilidad, especificaciones de



tiempo en régimen transitorio y permanente. El sistema de control no lineal completo se

muestra en la figura 1.3.

u(t) Proceso no lineal

u)()( xgxfx

)(xhy

v(t)

z(t)

y(t)

Transformación

de estados

)(xz

Realimentación

no lineal

),( vuu z

Realimentación

lineal

),( vvv z

r(t)

x(t) z(t)

Sistema lineal equivalente

Figura 1.3 Sistema de control no lineal

Una de las formas de control es elegir la siguiente ley de control para v(t) como

)()()()( 121

1

1

1

yrkdt

dy

dt

drk

dt

yd

dt

rdk

dt

rdtv

n

n

n

n

nn

n

(1.23)

De la ecuación (1.22) también se deduce que la relación en el tiempo de la entada v(t)

y la salida y(t) es

n

n

dt

ydtv )( (1.24)

Definiendo como señal e(t) del error entre la entrada y la salida como

)()()( tytrte (1.25)

Reemplazando la ecuación (1.24) en la ecuación (1.23) y utilizando la ecuación

(1.25) se obtiene una ecuación diferencial lineal de orden n como

0122

2

31

1

ekdt

dek

dt

edk

dt

edk

dt

ed

n

n

nn

n

(1.26)

Le ecuación (1.26) se puede representar mediante un polinomio expresado en la

notación de la transformada de Laplace como

0)()( 122

32

11

sEksksksksks n

nn

nn (1.27)

El polinomio de orden n de la ecuación (1.27), debe ser un polinomio Routh-

Hurwitz, es decir todas sus raíces deben tener parte real negativa.



1.6 OBSERVADORES NO LINEALES

El estudio de la observabilidad en sistema lineales tiene su base en la matriz de

observabilidad, que para sistemas univariables no forzados de la forma

)()(;)( ttyt CxAxx (1.28)

se define como

1nCA

CA

C

N

(1.29)

El caso no lineal y no forzado posee la descripción:

)()(;)( xxfx hty (1.30)

Cuya matriz correspondiente de observabilidad generalizada es:

)(

)(

)(

)(

1x

x

x

xxO

f

f

hL

hL

h

n

(1.31)

Es fácil demostrar que si el sistema es )()(;)( ttyt CxAxx

Las matrices de observabilidad de las ecuaciones (1.29) y (1.30) son iguales.

Suponiendo que la matriz de observabilidad O(x) posea inversa para todo x; en tal caso

la transformación definida por

)(

)(

)(

)(

1x

x

x

xz

f

f

hL

hL

h

r

(1.32)

La ecuación (1.32) representa un cambio de coordenadas. Empleando los resultados

anteriores y en analogía con la ecuación (1.18); la descripción en el espacio de estado

para las nuevas coordenadas (con g = 0) es



))(( 1

3

2

1

2

1

zf hL

z

z

z

z

z

z

z

nn

n

n

(1.32.a)

1zy (1.32.b)

Las ecuaciones (1.32) presentan la forma matricial siguiente

Cz

zBAzz f

y

hLn )]([ 1 (1.33)

Donde

0000

1000

0100

0010

A ;

1

0

0

0

B ; 0001 C

Se puede demostrar que la matriz de observabilidad del proceso descrito en la

ecuación (1.33) es la matriz identidad. Por consiguiente, el proceso es completamente

controlable. De las relaciones (1.30), (1.31) y (1.32) se tiene que:

Cz

zBAzxfxOxx

z f

y

hLn )]([)()( 1

(1.34)

El observador a diseñar debe estimar el vector de estado z; es decir, debe determinar

su estimado z~ empleando las mediciones a la entrada y a al salida del proceso. Para el

proceso no lineal se puede considerar la dinámica siguiente

]~[))((~~ 1zCKzBzAz f yhL e

n (1.31.a)

zCzx ~)()~(~ 1 hhy (1.31.b)

De la ecuación (1.35), el término ]~[ zCK ye es proporcional al error entre la salida

del proceso y y la salida del observador y~ . Para obtener la expresión del observador

para los estados x(t) del proceso no lineal, se emplea la versión estimada de la ecuación

(1.34) que permite despejar el vector estimado como sigue

zxOx ~)~(~ 1 (1.36)



Usando la relación (1.31.a) en la ecuación (1.36) se obtiene

]}~[))((~{)~(~ 11zCKzBzAxOx f yhL e

n (1.37)

Sustituyendo ecuación (1.35) en la ecuación (1.37) se consigue

)]~()([)~()~(]}~[)~()~({)~(~ 11xKxOxfzCKxfxOxOx hyyy ee (1.38)

La notación (1.38) representa la ecuación del observador no lineal para el sistema no

forzado )(xfx , )(xhy , con la condición inicial )0(~x , siempre que )(1xO

exista.

Para el caso de procesos no lineales forzados con grado relativo r = n, y mediante la

transformación )(xz , entonces el sistema con las nuevas coordenadas resulta

))](())(([ 111zzBAzz fgf

hLLhL nn (1.39)

La dinámica del observador para el sistema forzado: u)()( xgxfx , )(xhy , por

extensión de la ecuación (1.31.a) tiene la forma

]~[))(())((~~ 111zCKzzBzAz fgf yhLLhL e

nn (1.40)

La ecuación (1.40) debe cumplir con los requerimientos siguientes: El proceso debe

tener grado relativo r = n, que la matriz de observabilidad sea invertible y que la entrada

u(t) sea uniformemente acotada.

La ecuación del observador para el sistema original tiene la forma siguiente

)]~()([)~()~()~(~ 1xKxOxgxfx htyu e (1.41)

Para una condición inicial )0(~x

1.6.1 Cálculo de la matriz de ganancia eK del observador

Dado que el par [A, C] obtenido es completamente observable, una forma de obtener

eK es aplicar la fórmula del observador lineal del capítulo 3.

11

22

111

a

a

a

a

nn

nn

e

QK (1.41)

Los parámetros ,,,2,1, niai se obtienen de la ecuación



nnnnn asasasasAz

12

21

1 I (1.42)

Los parámetros ,,,2,1, nii se determinan a partir d e las raíces deseadas del

observador ,,,2,1, nii : las cuales deben tener parte real negativa para garantizar

la estabilidad del observador no lineal, mediante estas raíces se elabora el polinomio

característico del observador.

nnnnn

n sssssss

12

21

121 )()()( (1.43)

La matriz Q de la ecuación (1.41) está descrita como

WNQ

La matriz N es la matriz de observabilidad expresada como

1

2

nCG

CG

CG

C

N

Si el sistema presenta observabilidad de estado completo se podrá determinar la

inversa de la matriz Q y por consiguiente la matriz de ganancia del observador Ke.

La matriz W está definida como

0001

001

01

1

1

32

121

a

aa

aaa

nn

nn

W



1 SISTEMAS DE CONTROL DIFUSO

1.1 INTRODUCCION A LA LOGICA DIFUSA

En las fuentes Literarias, se encuentran diferentes tipos de justificación para la

aplicación de la literatura de Sistemas Difusos. El conocimiento humano hoy en día se

va incrementando considerablemente, se mejora mediante la experimentación del

mundo dentro del cual vivimos y usamos nuestras habilidades para razonar, crear orden

en la masa de información, esto es formular el conocimiento humano de forma

sistemática, desde que estamos limitados en nuestras habilidades para percibir el mundo

y razonar profundamente, nosotros mismos encontramos por todas partes mediante

incertidumbres confrontadas, que es el resultado por la falta de información, en

particular, la inexactitud de mediciones. El otro factor de limitación en nuestro deseo

para mejorar la precisión es un lenguaje natural usado para la representación,

distribución del conocimiento, comunicación, etc. Entendemos los significados

esenciales de la palabra del lenguaje humano y somos capaces de comunicarnos

exactamente en un grado aceptable, pero generalmente no podemos precisamente

entendernos entre nosotros mismos en palabra simple en términos de significado de

sentido común.

Nuestra percepción del mundo real es difundido mediante conceptos los cuales no

tienen frontera definidos bien marcados, por ejemplo: muchos, alto, más grande, muy

joven, etc. son verdaderas sólo para algún grado y son falsas también para algún otro

grado. Estos conceptos (hechos) se pueden llamar conceptos difusos, imprecisos

(vagos). Esta teoría se puede utilizar para emular la manera en el que el cerebro razona o

piensa. Un cerebro trabaja con ellos, mientras los computadores no pueden hacerlo

(éstos procesan información con cadenas de 0s o 1s). Los lenguajes naturales, de más

alto nivel que los lenguajes de programación, son difusos mientras que los lenguajes de

programación no lo son. La puerta de desarrollo de los computadores difusos fueron

iniciaron en 1985, mediante el diseño del primer chip lógico por Masaka Tagai y

Hiroyuki Watanabe en los laboratorios de Belltelefone. En los años que vienen los

computadores difusos emplearan software y hardware difusos y serán muchos más

cercanos en estructura al cerebro humano que los computadores actuales.

El mundo real completo es complejo, la complejidad surge de la incertidumbre en

forma de ambigüedad. De acuerdo al doctor Sotfi Zadeh, el principio de compatibilidad,

la complejidad y la imprecisión son correlaciones agregadas.

Las herramientas de Lógica Difusa fueron introducidas en 1965 también por Sotfi

Zadeh y es una herramienta matemática para el comportamiento de los sistemas con

incertidumbres. Se ofrece a una sociedad computacional los conceptos importantes de

computación lógica con palabras. Esto proporciona una técnica para los sistemas frente

a imprecisiones. La teoría difusa proporciona un mecanismo para representar funciones

lingüísticas tales como: “mucho”, “bajo”, “medio”, “poco”, “frecuente”, etc. En general

la Lógica Difusa proporciona una estructura inferencial que permite describir



habilidades de razonamiento apropiadas. En lo contrario, la teoría de conjuntos binarios

tradicionales, describe eventos definidos (rígidos), eventos que ocurren o no ocurren.

Usa la teoría de la probabilidad para explicar si un evento ocurrirá, midiendo la

posibilidad mediante la cual un evento se espera que ocurra. La teoría de la Lógica

Difusa se basa sobre la noción de la pertenencia relativa graduada y así son funciones de

procesos cognoscitivos. La utilidad de conjuntos difusos radica en la capacidad de

modelar información incierta o ambigua que se encuentra en la vida real. Ver la figura

1.1

Expresiones

Vagas

Decisión y(t)

Sistema de

Lógica difusa

Imprecisión

Imprecisa

Figura 1.1

Existe una conexión íntima entre difusividad y complejidad, como la complejidad

para la realización de alguna tarea excede un umbral seguro, el sistema necesariamente

debe ser tratado como difuso por naturaleza. Los problemas o sistemas del mundo real

son también complejos y la complejidad involucra el grado de incertidumbre, cuánto

más se incrementa la incertidumbre, por consiguiente aumenta la complejidad del

problema. Tradicionalmente la formulación del sistema y las técnicas de análisis

también deben ser precisos para tales sistemas y en orden para formular la complejidad

menos desvanecimiento se introduce en las simplificaciones y asunciones apropiadas

para conseguir un compromiso satisfactorio entre la información que se tiene y la

cantidad de incertidumbre a aceptar. La teoría se Sistemas Difusos es similar a otras

teorías de ingeniería, porque casi todas de éstas les caracteriza interpretar el mundo real

de una manera lo más aproximada posible. Los conjuntos difusos permiten modelar las

incertidumbres asociadas con la vaguedad, imprecisión y la carencia de información

respecto a un sistema.

1.2 CONJUNTOS CLASICOS Y CONJUNTOS DIFUSOS

1.2.1 CONJUNTOS CLÁSICOS

Se considera un conjunto clásico de un universo de discurso o conjunto universal X.

Los elementos individuales en el universo X se pueden denotar con x y pueden ser

discretos, enteros contables o cantidades continuas sobre una línea real. Eligiendo un

diverso que es discreto y finito o uno que es continuo o infinito es una elección

modelada, la elección hace no alterar la caracterización de los conjuntos definidos sobre

el universo, si el universo posee elementos continuos, entonces el conjunto



correspondiente definido sobre el universo también será continuo. El número total d

elementos en un universo X se denomina su número cardinal y se denota por ηx. El

universo discreto se compone de un colección finita contable de elementos y tiene un

número cardinal finito y el universo continuo consiste de una colección incontable o

infinita de elementos y tiene un número cardinal infinito.

La colección de elementos en un universo se denominan conjuntos y la colección de

elementos con estos conjuntos se denominan subconjuntos. El conjunto nulo Ø el cual

no tiene elementos es análogo a un evento imposible y el conjunto completo es análogo

a un evento cierto. El conjunto potencia constituye todos los conjuntos posibles de X y

se denota por P(x).

1.2.2 OPERACIONES SOBRE CONJUNTOS CLASICOS

Si se consideran dos conjuntos clásicos A, B y C definidos sobre el universo X se

pueden definir las siguientes operaciones sobre este universo:

Unión. Esta operación se denota por BA . En la forma teórica de conjuntos se

representa por:

BxoAxxBA /

En forma de Diagrama de Ven se representa en la figura 1.2.

y(t)

A B

Figura 1.2

Intersección. Esta operación se denota por BA . En la forma teórica de conjuntos

se representa por:

BxyAxxBA /




y(t)

A B

Figura 1.3

Complemento. Esta operación se denota por A . En la forma teórica de conjuntos se

representa por:

XxyAxxA /


y(t)

X

A

Figura 1.4

Diferencia. Esta operación se denota por BA/ . En la forma teórica de conjuntos se

representa por:

BxyAxxBA //




y(t)

A B

Figura 1.5

1.2.3 PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS CLASICOS

En algunas operaciones matemáticas las propiedades juegan un importante rol.

Basándose en las propiedades la solución de los problemas se puede obtener de una

forma más sencilla. Las siguientes son las propiedades importantes de los conjuntos

clásicos:

Conmutatividad

ABBA

ABBA

Asociatividad

)()( CBACBACBA

)()( CBACBACBA

Distributividad

)()()( CABACBA

)()()( CABACBA

Idempotencia

AAA

AAA

Identidad

AA

AXA



A

XXA

Transitividad

CACBASi

Involución

AA

Ley del centro excluido (tautología)

XAA

Ley de la contradicción

AA

Leyes de Morgan

BABA

BABA

Representación gráfica de conjuntos clásicos mediante funciones

Un conjunto clásico analógico A definido en un determinado rango de una variable x

mediante una función característica xA definida como:

Ax

Axxx

A ,0

,1)(

De forma gráfica se representa en la figura 1.6.

XA(x)

y(t)

x

1 A

Figura 1.6.

1.3 CONJUNTOS DIFUSOS



La Teoría de de Conjuntos Difusos es parte de la teoría clásica de conjuntos,

añadiendo una función de pertenencia al conjunto, definida como una cantidad real entre

0 y 1, asociado a un determinado valor lingüístico, definido por una palabra, adjetivo o

etiqueta lingüística A. para cada conjunto o subconjunto difuso se define como una

función de pertenencia o de inclusión ]10[)( xA

, que indica el grado en que la

variable de discurso x está incluida en el concepto representado por la etiqueta A. Los

conjuntos difusos permiten agrupar objetos o sucesos por el valor de una cierta

magnitud. En la figura 1.7 se representa una función de inclusión de un conjunto difuso.

μA(x)

y(t)

x

1

Figura 1.7

1.3.1 PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS DIFUSOS

Considerando los conjuntos difusos )(xA

, )(xB

, )(xC

, las propiedades de los

más importantes son las siguientes:

Conmutatividad

)()()()( xxxxABBA

)()()()( xxxxABBA

Asociatividad

))()(()()())()(()()()( xxxxxxxxxCBACBACBA

))()(()()())()(()()()( xxxxxxxxxCBACBACBA

Distributividad

)()(())()(())()(()( xxxxxxxCABACBA

)()(())()(())()(()( xxxxxxxCABACBA

Idempotencia

)()()( xxxAAA



)()()( xxxAAA

Identidad

)()( xxAA

AXxA

)(

)(xA

XXxA

)(

Transitividad

)()()()()( xxxxxSiCACBA

Involución

)()( xxCA

Ley del centro excluido

XxxAA

)()(

Ley de la contradicción

)()( xxAA

Leyes de Morgan

)()()()( xxxxBABA

)()()()( xxxxBABA

1.3.2 FUNCIONES DE INCLUSION DE LOS CONJUNTOS DIFUSOS

Las funciones de inclusión o de pertenencia de un conjunto difuso en un universo X

se puede expresar como }/))(,{( XxxxFF

, si la variable es discreta o una función

continua si no lo es, el valor de )(xF

indica el grado en el que el valor x del universo

X está incluida en el concepto representado por la etiqueta F. Las funciones más

frecuentes son de tipo singleton, forma triangular, forma trapezoidal, forma de S, forma

de Z, tipo π, forma de campana, formas gausianas, sigmoidales, etc.



Función tipo singleton. Es la función de inclusión más simple, tiene valor 1 para un

punto a y 0 para el resto. Se define como:

ax

axaxF

,0

,1);(

La función de inclusión tipo singleton se representa en la figura 1.8

μ(x)

x

1

a

Figura 1.8

Función forma triangular. La función de inclusión de forma triangular se define

como:

cx

cxbbc

xc

bxaab

ax

ax

cbaxF

,0

,

,

,0

),,;(

La función de inclusión forma triangular se representa en la figura 1.9

μ(x)

x

1

a b c

Figura 1.9

Función forma trapezoidal. La función de inclusión de forma trapezoidal se define

como:



dx

dxccd

xd

cxb

bxaab

ax

ax

cbaxF

,0

,

,1

,

,0

),,;(

La función de inclusión forma trapezoidal se representa en la figura 1.10

μ(x)

x

1

a b c d

Figura 1.10

Funciones de inclusión forma de S. Las funciones de inclusión de forma de S se

pueden representar de diversa manera:

Función de forma de S simple. Esta función formada por líneas rectas se define

como:

bx

bxaab

ax

ax

baxF

,1

,

,0

),;(

La función de inclusión forma de S básica se representan en la figura 1.11

μ(x)

x

1

a b

Figura 1.11

Función de forma de S cuadrática. Esta función formada por funciones

polinomiales de segundo orden y se define como:



2

,1

,21

,2

,0

),;(2

2

cab

cx

cxbac

xc

bxaac

ax

ax

caxF

La función de inclusión forma de S cuadrática se representa en la figura 1.12

μ(x)

x

1

a b c

0.5

Figura 1.12

Función de forma de S sigmoidal. La función de inclusión sigmoidal se define

como:

)(1

1),;(

cxaecaxF

La función de inclusión forma de S sigmoidal se representa en la figura 1.13

μ(x)

x

1

c

0.5

Figura 1.13

Funciones de inclusión forma de Z. Las funciones de inclusión de forma de Z se

pueden representar de diversa manera:

Función de forma de Z simple. Esta función formada por líneas rectas se define

como:



bx

bxaab

xb

ax

baxF

,0

,

,1

),;(

La función de inclusión forma de Z básica se representan en la figura 1.14

μ(x)

x

1

a b

Figura 1.14

Función de forma de Z cuadrática. Esta función formada por funciones

polinomiales de segundo orden y se define como:

2

,0

,2

,21

,1

),;(2

2

cab

cx

cxbac

xc

bxaac

ax

ax

caxF

La función de inclusión forma de Z cuadrática se representa en la figura 1.15

μ(x)

x

1

a b c

0.5

Figura 1.15

Función de forma de Z sigmoidal. La función de inclusión sigmoidal se define

como:



)(1

11),;(

cxaecaxF

La función de inclusión forma de Z sigmoidal se representa en la figura 1.16

μ(x)

x

1

c

0.5

Figura 1.16

Función forma de π cuadrática. La función de inclusión de forma de π se forma

con las funciones polinomiales de forma de S y de Z y se define mediante funciones

polinomiales de segundo orden como:

2

2

,0

,2

,21

,1

,21

,2

,0

),,,;(

222

111

2

22

2

22

2

2

2

22

2

22

11

2

11

1

11

2

11

1

1

2211

cab

cab

cx

cxbac

ax

dxaac

xc

cxa

cxbac

xc

bxaac

ax

ax

cacaxF

La función de inclusión forma de π cuadrática se representa en la figura 1.17

y(t)

μ(x)

x

1

a1 c1

0.5

a2

c2

Figura 1.17



Función forma de π sigmoidal. La función de inclusión de forma de π sigmoidal se

forma de la diferencia de dos funciones sigmoidales y se define como:

)()(22112211 1

1

1

1),,,;(

cxacxaee

cacaxF

La función de inclusión forma de π sigmoidal se representa en la figura 1.18

y(t)

μ(x)

x

1

c1

0.5

c2

Figura 1.18

Función forma de Campana. La función de inclusión de forma de campana se

define como:

b

a

cxcbaxF

2

1

1),,;(

La función de inclusión forma de campana se representa en la figura 1.19

y(t)

μ(x)

x

1

c

Figura 1.19

Función Gausiana. La función de inclusión simétrica gausiana se define como:

2

2

2

)(

),;(

cx

ecxF

La función de inclusión gausiana se representa en la figura 1.20



y(t)

μ(x)

x

1

c

Figura 1.20

Función Gausiana asimétrica. La función de inclusión gausiana asimétrica se

define como:

cxe

cxecxF

cx

cx

;

;),,;(

2

2

2

2

1

2

2

)(

2

)(

21

La función de inclusión gausiana asimétrica se representa en la figura 1.21

y(t)

μ(x)

x

1

c

Figura 1.21

1.3.3 OPERACIONES SOBRE CONJUNTOS DIFUSOS

Si se consideran dos conjuntos difusos expresados mediante funciones de inclusión

)(xA

, )(xB

y )(xC

definidos sobre el universo X se pueden definir las siguientes

operaciones difusas sobre este universo:

Unión. Esta operación se denota por )(xBA

. En la forma teórica de conjuntos

difusos se representa por:

))(,)(max()()()()(/)( xxxxxxoxxxxBABABABA

En forma de funciones de inclusión se representa en la figura 1.22.



μA(x)

y(t)

x

1 μB(x)

Figura 1.22

Intersección. Esta operación se denota por )(xBA

. En la forma teórica de

conjuntos difusos se representa por:

))(,)(min()()(/)( xxxxxyxxxBABABABA


μA(x)

y(t)

x

1 μB(x)

Figura 1.23

Complemento. Esta operación se denota por )(xA

. En la forma teórica de

conjuntos difusos se representa por:

)(1/)( xxxxAAA


μA(x)

y(t)

x

1 )(x

A

Figura 1.24



1.3.4 INFERENCIA DIFUSA

También como en el caso de la lógica clásica, la lógica difusa se ocupa del

razonamiento formal con proposiciones, pero a diferencia de ésta, los valores de las

proposiciones pueden tomar valores intermedios entre verdadero y falso.

De la misma forma que se define un isomorfismo entre la lógica y la teoría clásica de

conjuntos, es posible también definir un isomorfismo entre la lógica y la teoría de

conjuntos difusos, y éstas a su vez con un algebra de Boole. De esta forma, los

conjuntos difusos también representan predicados en la lógica proposicional. El objeto

de la lógica difusa es proporcionar un soporte formal al razonamiento basado en el

lenguaje natural, que se caracteriza por tratarse de un razonamiento de un tipo

aproximado, que hace uso de unas proposiciones que a su vez expresan información de

carácter impreciso.

Principio de extensión. El principio de extensión permite convertir conceptos no

difusos en difusos, siendo además la base de la inferencia de los sistemas difusos. Sean

X y Y dos universos de discurso, y f una función de X en Y. en general, para un conjunto

difuso A en X el principio de extensión define un conjunto difuso B en Y dado por:

)(max)()(1 xy

AyfxB

Es decir )(yB

es el máximo de )(xA

para todos los Xx que cumplan que

)(xfy , donde Yy suponiendo que )(1 yf no es vació. Si )(1 yf es vacío para

algún Yy , se define 0)( yB

.

Relación difusa. Para dos universos de discurso X y Y, una relación difusa se define

como un conjunto difuso R en el espacio X×Y , cuya función de inclusión se denota

como ),( yxR

con Xx y Yy . Una relación difusa se puede expresar como:

YXyxyxyxRR

),/()),(),,((

Las propiedades de las relaciones difusas son las mismas que de los conjuntos

difusos ya que toda relación difusa es un conjunto o subconjunto difuso. También se

pueden realizar operaciones con relaciones difusas y éstas pueden ser unión,

intersección, complemento e inclusión.

La operación unión se define como:

)),(,),(max(),( yxyxyxSRSR

La operación unión se define como:

)),(,),(min(),( yxyxyxSRSR



La operación complemento se define como:

),(1),( yxyxRR

La operación inclusión se define como:

),(),( yxyxSRSR

Se pueden definir también composiciones de relaciones difusas para dos relaciones

difusas. Sea una relación difusa R definida en el espacio X×Y , y una relación difusa S

definida en el espacio Y×Z entonces se puede obtener una relación difusa SRT

definida el espacio X×Z como una función de inclusión definidas como:

Composición máximo-mínimo, es una relación difusa que se define como:

Notación teórica de conjuntos difusos

XzYyXxzyyxzxTSR

y,,/),(),,(minmax),,((

Notación teórica de función difusa

),(),(),( zyyxyxSR

YyT

Composición máximo-producto, es una relación difusa que se define como:


XzYyXxzyyxzxTSR

y,,/),(*),(max),,((


),(),(),( zyyxyxSR

YyT

Composición máximo-promedio, es una relación difusa que se define como:


XzYyXxzyyxzxTSR

y,,/),(),(

2

1max),,((


),(),(2

1),( zyyxyx

SRYy

T



Implicación difusa. Si se definen dos conjuntos difusos A y B en X y Y,

respectivamente, una implicación difusa de A en B, que se indica con A→B, es una

relación difusa en X×Y, que se puede definir por alguna de las siguientes funciones

empleadas en la literatura de lógica difusa:

Conjunción difusa )(*)(),( yxyxBABA

Disyunción difusa ))()(,1min(),( yxyxBABA

Implicación material ))()(,1min(),( yxyxBABA

Implicación proposicional ))(*),()(,1min(),( yyxxyxBAABA

Razonamiento directo ))(*)(/]1,0[max),( ycxcyxBABA

Razonamiento inverso ))())(,1min(/]1,0[min),( ycxcxyxAABA

1.3.5 REGLAS DIFUSAS

Las reglas difusas combinan uno o más conjuntos difusos de entrada, llamados

antecedentes o premisas, y les asocian un conjunto difuso de salida, llamado

consecuente o consecuencia. Los conjuntos difusos de la premisa se asocian mediante

conjuntivas lógicas como Y (AND), O (OR), etc. Una regla típica de tipo SI-ENTONCES

(IF-THEN).

Las reglas difusas permiten expresar e3l conocimiento que se dispone sobre la

relación entre antecedentes y consecuentes. Para expresar este conocimiento de forma

completa normalmente se precisa de varias reglas, que se agrupan formando que se

conoce como una base de reglas, es decir, el conjunto de reglas que expresan las

relaciones conocidas entre antecedentes y consecuentes.

La base de regla se puede presentar bien como una tabla de las reglas que la forman,

o bien como una Memoria Asociativa Difusa o FAM (Fuzzy Associative Memory). Las

FAM son matrices que representan la consecuencia de cada regla definida para cada

combinación de dos entradas. Las FAM permiten realizar una representación gráfica

clara de las relaciones entre dos variables lingüística de entrada y la variable lingüística

de salida, pero requiere que se indique explícitamente todas las reglas que se pueden

formar con estas dos variables de entrada. Cuando el número de conjuntos de cada una

de las particiones de entrada crece las FAM se hacen difícilmente manejables. Es

posible también definir FAM de más de dos dimensiones, pero el tamaño se hace

rápidamente excesivo y son más difíciles aún de manejar. En su lugar se suele operar

con varias FAM de dimensiones dos, para así definir subconjuntos de reglas que asocien

las entradas de dos en dos en la base de reglas general.



Formalmente, una base de reglas difusas es una colección de reglas R(l)

con el

formato:

llnn

lll GesyentoncesFesxyyFesxyFesxSiR 2211

)( :

Donde lF1

, lG son conjuntos difuso en i

X y y , respectivamente, y

n

Tn

XXXxx 211

x e Yy son variables lingüísticas. Este

formato de reglas se conoce como difuso puro o de tipo Mamdani. Otro formato

frecuente para las reglas es el formato de tipo Sugeno. En este caso, la función de salida

es una combinación lineal de las variables de entrada, o en un caso más general, una

función genérica de las variables entrada:

)(:2211

)(x

lllnn

lll fyentoncesFesxyyFesxyFesxSiR

1.3.6 DISPOSITIVOS DE INFERENCIA DIFUSA

Se denomina Dispositivos de Inferencia Difusa a los sistemas que interpretan las

reglas de tipo SI-ENTONCES (IF-THEN) de una base de reglas, con el fin de obtener los

valores de salida a partir de los actuales valores de las variables lingüísticas de entrada

al sistema. En un sistema difuso las reglas de tipo Mamdani se interpretan como una

implicación difusa de lln

l GFF 1

en X×Y, con nn

UUU 1

, y .

Sea A la entrada en X del dispositivo de inferencia difusa, cada regla l define un

conjunto difuso Bl en Y utilizando alguna composición de relaciones difusas. Si por

ejemplo se utiliza la composición Máximo-producto se expresa coomo:

)(*),(max)(

'xx

AGFFXxByy ll

n

l

i

La ecuación anterior se puede proponer seis interpretaciones para la ejecución de la

implicación difusa definida por una regla del tipo de la ecuación de la base de reglas

difusas. Para simplificar las ecuaciones siguientes se denominará AFF ln

l 1

y

BGl , con lo cual se puede expresar simplemente como BA .

Implicación difusa por la regla del mínimo:

)(),(min),( yyBABA

xx

Implicación difusa por la regla del producto:

)(*)(),( yyBABA

xx

Implicación difusa por la regla aritmética:



)()(1,1min),( yyBABA

xx

Implicación difusa por la regla Máximo-mínimo:

)(1,)(),(minmax),( xxxABABA

yy

Implicación difusa por la regla Booleana:

)(,)(1max),( yyBABA

xx

Implicación difusa por la regla de Goguen:

)()()()(

)()(1),(

yxy

yy

BAAB

BABA

x

xx

En las ecuaciones anteriores el término )()(1

xx l

n

l FFA , que a su ves se puede

definir por la regla del mínimo

)(,,)(min)(

11

xxx l

n

ll

n

l FFFF

O por la regla del producto

)()()(11

xxx l

n

ll

n

l FFFF

1.3.7 FUSIFICACION

La fusificación establece una relación entre puntos de entrada no difusa al sistema

Tn

xx ,,1x y sus correspondientes difusos A en X (las variables precedentes del

exterior son en general, valores no difusos que se deben fusificar previamente). Se

pueden utilizar diversas estrategias de fusificación utilizando funciones de inclusión

difusa que pueden ser deforma triangular, trapezoidal, forma de S, forma de Z, forma de

π, funciones gausianas, etc.

1.3.8 DEFUSIFICACION

La defusificación consiste en realizar la transformación de variables difusas de un

conjunto difuso en Z, normalmente salida de un dispositivo de inferencia difusa, en

variables no difusas Zz y obtener una función difusa de inclusión singleton situada

en z* como se muestra en la figura 1.25



μC(z)

z

1

z*

Figura 1.25

Para realizar la transformación de variables difusas expresada mediante una función

singleton en se utilizan diversos métodos:

1. Centro de área (Centroide)

2. Media ponderada de Funciones de inclusión

3. Máxima media de funciones de pertenencia

4. Principio de máximo valor

5. Centro de sumas de áreas

6. Centro de área más grande

7. Primero de máximas o último de máximas

Método del centro de área (Centroide) Este método de defusificación es empleado

para obtener el valor de salida no difusa de un dispositivo de inferencia difusa que

utiliza reglas de tipo Mamdani. Consiste en determinar la distancia al centro del área

resultante. Es el método más utilizado y se define en general como:

dzz

dzzzz

C

C

)(

)(*

Si la función de inclusión de salida )(zC

está formada líneas rectas se puede

utilizar las áreas Ai respectivas mediante la siguiente notación

i

ii

A

zAz*

En la figura 1.26 se muestra la defusificación mediante el método de centroide.



μC(z)

z

1

z*

Centroide

Figura 1.26

Método de media ponderada (Weighted Average Method). Consiste en

determinar la distancia al centro del promedio ponderado resultante de de los valores

máximos de las funciones de pertenencia con sus centros de área i

z del conjunto difuso

y se define en general como:

)(

)(*

zu

zzuz

Ci

iCi

En la figura 1.27 se muestra la defusificación mediante el método de media

ponderada para dos funciones de pertenencia.

μC2(z)

z

1

z* z1 z2

μ1 μ2

μC1(z)

Figura 1.27

Por ejemplo de la figura 1. se obtiene la siguiente la siguie

21

2211*

zzz

Método de media máxima de funciones de pertenencia. Consiste en determinar el

valor del promedio del valor máximo de las funciones de inclusión.

2

21* zzz



En la figura 1.28 se muestra la defusificación mediante el método de media máxima

de funciones de inclusión para dos funciones de pertenencia.

μC2(z)

z

1

z* z1 z2

μ

μC1(z)

Figura 1.28

Principio de máximo valor. Consiste en determinar la función singleton en donde la

función de inclusión presenta su máximo valor ZzzzCC

)()( * y expresa

como:

))((max* zzC

Zz

En la figura 1.29 se muestra la defusificación mediante el método de máximo valor.

μC2(z)

z

1

z*

μ

μC1(z)

Figura 1.29

2 SISTEMAS DE CONTROL DIFUSO

Los sistemas expertos de control difuso basado en reglas, conocidos como

Controladores Difusos o FLC (Fuzzy Logic Controllers), o también, sistemas de

inferencia difusa o FIS (Fuzzy Inference Systems, FIS), son la aplicación más extendida

de la lógica difusa.

En la figura 2.1 se muestra el control de un proceso o sistema físico, que hace uso de

un módulo controlador, que recibe como entradas una o varias variables de control

denominadas generalmente variables de referencia, r(t), y una o varias variables de



salida del propio proceso, y(t), produciendo como salida una o varias variables, que se

conocen como variables de control, u(t). Normalmente el objetivo del control es hacer

que y(t) siga a r(t).

Controlador

General

Planta o

proceso

r(t) u(t) y(t)

Figura 2.1 Sistema de Control

La arquitectura del controlador a utilizar depende de la aplicación concreta a llevar a

cabo. Existen diversas arquitecturas posibles de controladores basados en lógica difusa.

La estructura típica e interna de un controlador basado en un sistema difuso o FLC de

forma básica se puede ver en la figura 2.2. El módulo de Fusificación permite

particionar las variables de discurso en funciones de inclusión lasque se utilizar por el

Dispositivo de Inferencia Difusa mediante la una base de conocimientos expresado en

base de reglas. El módulo Defusificador permite la conversión de funciones de inclusión

difusa en valores de un universo analógico.

Base del conocimiento

Base de datos Base de reglas

Fusificación Defusificación

Sistema físico u objeto bajo control

Controlador Difuso

Funciones de

inclusión de salida Funciones de

inclusión de entrada Tabla de reglas

Entradas

analógicas

Salidas

analógicas

Entrada

difusa

Salida

difusa Dispositivo de

Inferencia Difusa

Figura 2.2 Estructura básica de un Controlador Difuso

En un controlador difuso o FLC el fusificador realiza la conversión de valores

discretos en términos difusos, la salida del fusificador es utilizada por el dispositivo de

Inferencia Difusa (Motor inferencial) para aplicarla a cada una de las reglas de la base

de reglas, siguiendo el método de inferencia seleccionado. La salida del motor

inferencial que viene a ser uno o la unión de varios conjuntos difusos según Mamdani o



bien un grupo de valores escalares según Sugeno. Finalmente, el defusificador

transforma los conjuntos difusos en un valor discreto no difuso.

En un Sistema de Control difuso de puede incluir módulos de Normalización que

permite realizar un preprocesado de las variables de entrada, que proporciona el vector

de entrada al controlador difuso o FLC. El Controlador Difuso aplica la entrada que

recibe a la base de reglas, para obtener la salida. La salida puede requerir un procesado

final (postprocesado) o una Denormalización, con el fin de adecuarla al proceso que se

ha de controlar. En la figura 2.3 muestra un Sistema de Control Difuso con

Normalización y Denormalización.



Fusificación Defusificación

Controlador Difuso

Funciones de



Entrada

difusa

Salida

difusa

Normalización

(preprocesado)

Denormalización

(postprocesado)

Dispositivo de

Inferencia Difusa

Sistema físico u

objeto bajo control

Entradas

analógicas

Salidas

analógicas

Entradas de

referencia

Figura 2.3 Estructura Controlador Difuso con módulos de Normalización y

Denormalización

El tipo de preprocesado y postprocesado determina la clase de controlador, e influye

de forma considerable en sus propiedades. El preprocesador de las variables de entrada

para proporciona las entradas al Controlador Difuso, es el caso más simple puede

consistir en un simple escalado de magnitudes que se miden. Si el controlador se realiza

digitalmente, normalmente un microprocesador, y alguna de las entradas es analógica, es

necesario amplificarla y convertirla a valores digitales con un circuito apropiado. Para el

caso de un escalado a valores digitales discretos es importante considerar la resolución

empleada en la representación de la variable, con el fin de asegurar la precisión de la

información.

En el caso de elegir un controlador el módulo de Normalización o el tipo de

preprocesado de las entradas define la clase del controlador, que puede ser:



a) Controlador Proporcional )(efX

b) Controlador Integral )( efX

c) Controlador Proporcional-Diferencial ),( eefX

d) Controlador Proporcional -Integral ),( eefX

e) Controlador Proporcional -Integral Diferencial ),,( eeefX

f) Controlador con realimentación nolineal ),( yrfX

Los controladores (a) al (f) se han utilizado por su similitud con los controladores

clásicos; permiten formular reglas independientes de la señal de referencia r(t)

utilizando solo el error e, la derivada del error e o la integral del error e , por su

parte los controladores del tipo (f) permiten definir comportamientos diferentes según la

señal de referencia. Esto resulta de especial importancia en el control de sistemas

nolineales, en lo que su comportamiento cambia según el punto de operación, lo cual

permite también definir reglas para controlar el sistema en caso de averías o de

funcionamiento anormal, que permiten llevarlo a un estado seguro sin grandes daños. En

la figuras 2.4.a, 2.4.b, y 2.4.c se muestran las configuraciones típicas de controladores

clásicos PD, PI y PID respectivamente.

Controlador

Difuso

Sistema

Físico

(Planta)

PK

DK

u(t) y(t)

t

e

e(t) r(t)

Figura 2.4.a Controlador Difuso tipo PD.

Controlador

Difuso

Sistema

Físico

(Planta)

PK

IK

u(t) y(t)

e

e(t) r(t)

Figura 2.4.b Controlador Difuso tipo PI.



Controlador

Difuso PD

Sistema

Físico

(Planta)

PK21

DK

u(t) y(t)

t

e

e(t)

r(t)

Controlador

Difuso PI

PK21

IK )(te

e(t)

Figura 2.4.c Controlador Difuso tipo PID.

Los controladores directos permiten realice control de sistema utilizando una

descripción lingüística de las reglas de control.- Estas reglas se deben obtener del

conocimiento que dispones los expertos sobre el control del sistema, o bien por

procedimientos heurísticos, siendo esta solución en ambos casos suficiente para obtener

un buen control del sistema. Cuando se precisa una solución más eficiente, o no se

dispone de este conocimiento previo, se han de utilizar Controladores Difusos

Directos con Optimización. Este tipo de controladores incorporan módulos que

permiten ajustar los parámetros internos para mejorar la eficiencia de respuesta. En la

figura 2.5 se muestra un Sistema de Control Difuso con Optimización.

Un primer módulo realiza la evaluación del funcionamiento del controlador para

permitir al módulo siguiente decidir sobre las modificaciones a realizar. El módulo de

evaluación puede calcular la sobreoscilación del sistema en torno del punto de

operación, o al tiempo que tarda en estabilizarse el sistema tras una variación del

mismo. Estos parámetros se utilizan en el módulo de ajuste para realizar las

modificaciones necesarias en el FLC.

En algunos sistemas de Control Difuso Optimizados pueden ser Auto-organizador

debido a que los ajuste se realizan en la base de reglas del FLC. En otros Sistemas

Difusos con Auto-aprendizaje se modifican parámetros escalares del controlador o los

módulos de preprocesado y postprocesado. Otros controladores actúan como

modeladores de la dinámica inversa del proceso.





Dispositivo de

Inferencia Difusa Fusificación Defusificación

Sistema físico u

objeto bajo control

Controlador Difuso

Funciones de



Entradas

analógicas

Salidas

analógicas

Entrada

difusa

Salida

difusa

Normalización

(preprocesado)

Denormalización

(postprocesado)

Entradas de

referencia

Evaluación

Ajuste

Figura 2.5 Estructura Controlador Difuso con Optimización

Un Sistema de Control Difuso típicamente básico de simple entrada y simple salida

como el que se muestra en la figura 2.6 se pueden incluir los módulos Fusificador,

Dispositivo de Inferencia Difusa, Base de regla y Defusificador. Las variables de entrada

al Fusificador son el error e(t) y en cambio de error Δe(t), La salida del Defusificador es

la variable de control u(t).

Base de reglas

Fusificador Defusificador

Controlador Difuso

Entrada

difusa

Salida

difusa Dispositivo de

Inferencia Difusa

Sistema físico r(t) y(t) u(t)

dted

Transductor Actuador

e(t)

Figura 2.6 Controlador Difuso Básico.



La Fusificación de la variable de entrada e(t) al Fusificador mediante funciones

difusas de inclusión se muestra en la figura 2.7

e

NG NM NP Z PP PM PG

Figura 2.7 Fusificación de la variable de entrada de e(t)

La Fusificación de la variable de entrada Δe(t) al Fusificador mediante funciones


Δe

NG NM NP Z PP PM PG

Figura 2.8 Fusificación de la variable de entrada de Δe(t)

La Fusificación de la variable de salida u(t) al Defusificador mediante funciones


u

NG NM NP Z PP PM PG

Figura 2.9 Fusificación de la variable de salida de u(t)

La Fusificación de las variables de entrada y de salida se realizan dependiendo los

rangos de estas variables así como la cantidad de funciones de inclusión o conjuntos

difusos en forma de variables lingüísticas definiendo las particiones difusas.



El Dispositivo de Inferencia Difusa se puede elaborar en forma matricial

dependiendo del comportamiento físico del sistema y de la disposición del conocimiento

intuitivo de las acciones recontrol a realizar sobre el sistema y del empleo de reglas

según Mamdani. Definiendo la base de reglas se hace uso de la Memoria Asociativa

Difusa (FAM). Se pueden definir diversas reglas con lo cual se pueden elaborar una

diversidad de Memorias Asociativas Difusas como por ejemplo se pueden representar

algunas de ellas de 27 reglas cada una en las siguientes figuras 2.10.a – 2.10.d.

Δe

e

u NG NM NP Z PP PM PG

NG PG PG PG PG PM Z Z

NM PG PG PG PG PM Z Z

NP PM PM PM PP Z NM NM

Z PM PM PP Z NP NM NM

PP PM PP Z NP NM NM NM

PM Z Z NM NG NG NG NG

PG Z Z NM NG NG NG NG

Figura 2.10.a Memoria Asociativa Difusa (Inferencia Difusa)




NG PG PG PG PG PM PP Z

NM PG PG PG PM PP Z NP

NP PG PG PM PP Z NP NM

Z PG PM PM Z NM NM NG

PP PM PP Z NP NM NG NG

PM PP Z NP NM NG NG NG

PG Z NP NM NG NG NG NG

Δe

e

Figura 2.10.b Memoria Asociativa Difusa (Inferencia Difusa)


NG PG PG PG PG PM PP Z



Z PG PM PP Z NP NM NG



PG Z NP NM NG NG NG NG

Δe

e

Figura 2.10.c Memoria Asociativa Difusa (Inferencia Difusa)




NG PG PG PG PM PP Z Z



Z PG PM PP Z NP NM NG



PG Z Z NP NM NG NG NG

Δe

e

Figura 2.10.c Memoria Asociativa Difusa (Inferencia Difusa)

Finalmente se selecciona los métodos de Defusificación de la variable de control u(t)

dependiendo de la eficiencia computacional, del comportamiento del sistema de control.

En la figura 2.11 se muestra un esquema de la Defusificación de la variable de control

u(t) mediante la función singleton y así determinar del valor de mando o de control.

u

NP Z PP

u*

NG PG PM NM

Figura 2.11 Defusificación de la variable de control u(t)



1 CONTROL ADAPTATIVO

1.1 INTRODUCCION

El termino adaptativo significa cambiar el comportamiento conforme a nuevas

circunstancias. Un regulador o controlador adaptativo es un regulador que puede

modificar su comportamiento en respuesta a los cambios en la dinámica del sistema

físico y a las perturbaciones. Este mismo objetivo es el de la inclusión de la

realimentación en el lazo de control, por lo que surge la pregunta de cuál es la diferencia

entre control realimentado y control adaptativo.

Existen muchas definiciones de control adaptativo, siendo una de las más aceptadas,

que control adaptativo es un tipo especial de control no lineal en el que el estado del

proceso puede ser separado en dos escalas de tiempo que evolucionan a diferente

velocidad. La escala lenta corresponde a los cambios de los parámetros y por

consiguiente a la velocidad. La escala lenta corresponde a los cambios de los parámetros

y por consiguiente a la velocidad con la cual los parámetros del regulador son

modificados, y la escala rápida que corresponde a la dinámica del bucle ordinario de

realimentación.

El esquema básico del control adaptativo, (Landau 1974) según puede verse en la

figura 1.1, está compuesto por un bucle principal de realimentación negativa, en el que

actúa al igual que en los sistemas convencionales un regulador y de otro lazo en el que

se mide un cierto índice de funcionamiento, el cual se compara con el índice deseado y

se procesa el error en un mecanismo de adaptación que ajusta los parámetros del

regulador y en algunos casos actúa directamente sobre la señal de control. También

puede existir un tercer lazo dedicado a supervisar la marcha de los dos lazos anteriores

(Isermann 1982), con el fin de asegurar la estabilidad del sistema y a mejorar la

actuación del conjunto.

Sistema

físico

Controlador

ajustable

Salida del

índice de

actuación

y(t) u(t) eu(t

)

ru(t)

Mecanismo de

adaptación

d(t)

Comparación

decisión Actuación

deseada

Figura 1.1: Configuración básica de control adaptativo



El mecanismo de adaptación presenta una solución en tiempo real al problema de

diseño para sistema con parámetros conocidos, aunque como se verá más adelante,

puede ir a un tiempo de muestreo superior al correspondiente al regulador e

identificador.

La característica fundamental que distingue a los sistemas adaptativos es la presencia

de un bucle de control en el que se compara un índice de funcionamiento (Landau

1981).

Dado que un controlador adaptativo es un sistema no lineal en el que es necesario

ajustar una serie de parámetros, es importante explorar bajo qué circunstancias es

insuficiente utilizar un controlador fijo y será necesario un controlador adaptativo.

Un controlador convencional está pensado para controlar sistemas (la mayor parte de

las veces lineales), cuyos parámetros permanecen constantes. Esto es una buena

aproximación en la mayor parte de los casos, cuando se pretende regular un sistema en

un punto fijo de operación. Cuando existen perturbaciones, si éstas son pequeñas, dicha

aproximación continúa siendo suficiente para obtener un buen control. Sin embargo, la

aproximación en tormo a un punto de funcionamiento no suele seguir siendo buena, si el

punto de funcionamiento cambia.

Existen muchos tipos de controladores que proporcionan buenas características de

regulación en presencia de cambios de los parámetros del sistema y que según la

definición anterior no son realmente adaptativos, puesto que la adaptación se realiza en

lazo abierto.

Un ejemplo muy utilizado de control adaptivo en bucle abierto es el denominado

Cambio por tabla. Consiste en la modificación de los parámetros del controlador a partir

de una tabla que ha sido calculada previamente para distintos puntos de funcionamiento,

en función de una variable auxiliar. Un caso típico es el control de vuelo de un avión,

cuyo regulador puede ser cambiado en función de la altura de éste.

Sistema

físico

Controlador

ajustable

y(t) e(t) ru(t)

Mecanismo de

adaptación

d(t)

Medida de la

variable auxiliar Media

ambiente

u(t)

K

Figura 1.2: Sistema adaptativo en bucle abierto



En la figura 1.2, se presenta esquemáticamente este tipo de controlador. Se supone

que existe una fuerte relación entre la variable auxiliar y la dinámica de los parámetros

del sistema. Este tipo de adaptación tiene la ventaja de que el controlador puede ser

cambiado muy rápidamente dependiendo de la rapidez con que la variable auxiliar

refleje el cambio de la dinámica del proceso, siendo muy importante la elección de dicha

variable. Sin embargo estos reguladores consumen mucho tiempo en la realización de la

tabla de parámetros, presentando así mismo algunos problemas en la conmutación de

unos parámetros a otros.

1.2 EL PROBLEMA DEL CONTROL ADAPTATIVO

Hay ejemplos que muestran por qué es necesario utilizar control adaptativo. Ellos

ponen de manifiesto que los procesos industriales son bastante complejos y la variación

de parámetros no puede determinarse desde un primer momento. Por lo tanto, puede ser

ventajoso emplear esfuerzo en desarrollar controladores más inteligentes. Un

controlador más complejo puede utilizarse para diferentes procesos y por tanto el mayor

costo en el desarrollo puede compartirse entre diversas aplicaciones. Sin embargo, es

muy importante recordar que la utilización de un controlador adaptativo no sustituye el

buen conocimiento del proceso que es necesario para elegir las especificaciones, la

estructura del controlador y el método de diseño.

Como se ha visto en las secciones precedentes, un controlador adaptativo debe

contener:

Una ley de control con parámetros ajustables.

Caracterización de la respuesta del sistema en bucle cerrado (Modelo de

referencia o las especificaciones para el diseño).

Procedimiento de diseño.

Actualización de parámetros basado en las medidas.

Realización de la ley de control.

Estas partes son un poco diferentes para los distintos esquemas de control adaptativo,

pero tienen muchos factores comunes.

Existe hoy en día una separación entre la teoría y la práctica en control adaptativo. En

teoría es posible manejar situaciones idealizadas. En la práctica se utilizan algoritmos

bastante complejos, que introducen reglas concretas para manejar las posibles

dificultades encontradas durante el análisis o con la experiencia de la aplicación.

El hecho de que haya variaciones significativas en la respuesta en el bucle abierto, no

significa necesariamente que sea necesario un controlador adaptativo.

Según sean diseñados los bloques descritos anteriormente, podemos tener uno u otro

tipo de controlador adaptativo, pudiéndose dividir principalmente en dos grupos:



Controladores adaptativos con modelado de referencia (MRAC) y Controladores

Autoajustables (STC).

Los Sistemas de Control MRAC y STC pueden ser considerados como una

aproximación a la solución del problema de control adaptativo. La hipótesis que

justifica la aproximación es que para cualquier juego de valores posibles de los

parámetros de la planta y las perturbaciones, existe un controlador lineal con una

complejidad fijada, tal que el conjunto de controlador y planta tienen características

preespecificadas.

1. Los controladores Adaptativos con Modelo de Referencia, intentan alcanzar para

una señal de entrada definida, un comportamiento en bucle cerrado dado por un

modelo de referencia.

2. Los Controladores Adaptativos Autoajustables, tratan de alcanzar un control

óptimo, sujeto a un tipo de controlador y a obtener información del proceso y sus

señales.

Estas dos técnicas han sido desarrolladas separadamente durante varios años,

pudiéndose demostrar su equivalencia en muchos casos. Las ventajas de MRAC están

en su rápida adaptación para una entrada definida y en la simplicidad de tratamiento de

la estabilidad utilizando la teoría de estabilidad de sistemas no lineal. Sin embargo, no

se adapta convencionalmente si la señal de entrada al sistema tiene poca riqueza. El

STC tiene la ventaja de que se adapta para cualquier caso y en particular para

perturbaciones no medibles, teniendo al mismo tiempo una estructura modular, lo que

hace posible la programación por bloques, siendo fácil de realizar distintos

Controladores.

Hasta la actualidad han sido propuestas varias formas de diseño del algoritmo de

control de un sistema lineal, pudiéndose clasificar éstas de diferentes maneras, siendo

una posible, en función de que el criterio de diseño sea óptimo o no óptimo, pudiéndose

destacar entre ellos los siguientes:

1. Criterio óptimo

Controlador de mínima varianza de Astrom y Wittenmark 1973.

Controlador de mínima varianza generalizado de Clarke y Gawthrop 1975, 1979.

Controladores predictivos generalizados Clarke y Gawthrop 1988.

2. Criterio no óptimo:

Asignación de polos y ceros (Wellstead et al. 1979).

Asignación de polos y ceros (Astrom y Witternmark 1980).

Controlador en tiempo mínimo (Isermann 1981).

Controlador PID (Ortega 1982).



1.3 CONTROLADOR ADAPTIVO CON MODELO DE

REFERENCIA (MRAC)

Los sistemas adaptativos con modelo de referencia fueron diseñados principalmente

para sistemas continuos por minimización de un índice de actuación, siendo dicho

índice la integral del error al cuadrado (Hang 1973). Esta regla de diseño fue propuesta

por Whitaker del MIT (1958), instrumentation laboratory, denominándose por ello como

la regla del MIT.

En cuanto a las configuraciones posibles con modelo de referencia, la más usual es

utilizar un modelo paralelo (figura 1.3), aunque son posibles otras configuraciones

(Landau 1974, 1981), como modelo serie, serie-paralelo, etc.

ru(t) Sistema

físico

Controlador

ajustable

y(t) u(t) e(t)

Mecanismo de

adaptación

d(t)

Modelo de

referencia

ym(t)

K

Figura 1.3: Estructura con modelo de referencia (MRAC)

Existe una dualidad entre los sistemas de control adaptativo a un modelo de

referencia y el problema de identificación con un modelo ajustable, siendo en este caso

el modelo de referencia la planta a identificar.

Dado que un modelo de referencia Gm(s,p) y un sistema ajustable Ga(s,^p), el cual se

desea que siga al modelo para que el error sea nulo (o mínimo en el caso de la presencia

de perturbaciones), se define el índice de funcionamiento:

ajustar. a parámetro-p

ajustable, modelo del saliday

,referenciademodelodelsalida

;2

1 2

m

m

y

yyedteJ



Usando la técnica de optimización del gradiente (Landau 1981) se tiene que la regla

de adaptación es:

p

JKJKgradtep

)(),(

Siendo p

la variación p

con relación al último valor calculado y K es la ganancia

de adaptación.

La variación del parámetro ajustable con relación al tiempo será:

p

J

tK

dt

pdp

Si se asume variación lenta de la ley de adaptación, se puede intercambiar el orden de

las derivadas:

p

eKep

ep

Kp

J

tK

dt

pdp

2

1 2

La ley de adaptación (1) representa la regla del M.I.T.

p

y

p

yy

p

e aam

Luego,

p

yKep a

La pya

es la función de sensibilidad del modelo ajustable con respecto al

parámetro. En este caso la función de sensibilidad es proporcional a m

y , quedando la

ley de adaptación de la forma:

myeKp

1

Esta regla ha sido muy popular debido a su simplicidad. Sin embargo para el caso de

ajuste de varios parámetros requiere un número elevado de funciones de sensibilidad

(tantas como parámetros). Por otro lado la ganancia de adaptación gobierna la velocidad

de respuesta, si ésta es muy grande el sistema puede ser inestable y si es muy pequeña la

velocidad será muy lenta. Para obtener un buen compromiso entre velocidad de

respuesta y estabilidad es necesario un laborioso estudio por simulación.



Otra técnica de diseño se fundamenta en la utilización del segundo método de

Lyapunov, el cual tiene la ventaja de que asegura la estabilidad global para cualquier

valor de la ganancia de adaptación y cualquier tipo de entrada, la principal desventaja de

este método es que se requiere el conocimiento del vector de estado, que no siempre es

accesible. Otra desventaja es que no es aplicable a los casos donde los parámetros del

conjunto planta más controlador no pueden ser modificados directamente.

Parte lineal e

invariante en

el tiempo

v(t) Parte nolineal

y/o variable

en el tiempo

w(t)

Figura 1.4: Separación del sistema (Hiperestabilidad)

Landau (1981) propone una técnica de diseño basada en el concepto de

hiperestabilidad y en la teoría de estabilidad de Popov. El concepto de hiperestabilidad

está relacionado con la estabilidad de una clase de sistemas, tales que pueden ser

separado en dos bloques, figura 1.4. Este sistema está formado por una parte lineal

invariante en el tiempo y otra no lineal y/o variable en el tiempo.

Si la entrada y salida de la parte no lineal están relacionadas por la desigualdad de

Popov:

.0,,00

2 t

otYdtuvtn

Donde υ es la entrada y ω la salida e 2o

Y es una constante finita positiva

independiente de t el problema de encontrar la estabilidad absoluta de este sistema se

concreta en averiguar las condiciones que debe de cumplir la parte lineal para que el

conjunto sea estable.

Para diseñar la ley de adaptación mediante esta técnica se tienen que seguir los pasos

que se detallan a continuación de forma resumida:

1. Transformar el sistema con modelo de referencia en uno equivalente que tenga la

estructura de la figura 1.4.

2. Encontrar la ley de adaptación para que se cumpla la desigualdad de Popov.

3. Encontrar la parte de la ley de adaptación que aparezca en la parte lineal para que el

conjunto del sistema sea globalmente estable.



4. Volver al sistema original y formular la ley de adaptación explícitamente.

Una discusión extensa de esta técnica puede encontrarse en el libro de Landau

(1981), resultando en casos particulares que la ley de adaptación es de la forma

proporcional + integral ó proporcional + integral + derivada. Con esta técnica se

garantiza la estabilidad del conjunto, siendo su principal desventaja que a menudo son

necesarios una serie de diferenciadores.

1.4 CONTROLADOR ADAPTIVO AUTOSINTONIZADO (STC)

El diagrama de bloques de estos controladores se puede ver en la figura 1.5; en él se

distinguen tres partes claramente diferenciadas:

Un algoritmo recursivo de estimación de parámetros

Un mecanismo de adaptación que desarrolla la tarea de diseño del regulador y

Un Controlador con parámetros ajustables.

Estos Controladores conforman una estructura subóptima basada en el principio de

separación de las tareas de control e identificación. El diseño se hace de forma que se

suponen parámetros conocidos y después estos son sustituidos por sus estimados.

Desde el punto de vista del control estocástico de sistemas no lineales, es claramente

un controlador que aplica el principio de equivalencia cierta (supone que los parámetros

identificados coinciden con los reales).

Sistema

físico

Controlador

ajustable

Estimación de

parámetros del

sistema físico

y(t) u(t) e(t) ru(t)

Diseño y

adaptación del

controlador

d(t)

Actuación

deseada

K

Figura 1.5: Esquema del Controlador Adoptivo Autosintonizado (STC)



La idea de los Controladores Adaptivos Autoajustables puede ser aplicada a

muchos problemas de control que no sen formulados como un problema de control

estocástico. Dada la moduladuridad y la separación del control e identificación, pueden

formarse muchas clases de reguladores Autoajustables por combinación de diferentes

métodos de diseño e identificadores.

1.4.1 ESTIMACION DE EPARAMETROS DEL SISTEMA FISICO

Existen una gran variedad de métodos para la Identificación del Sistema o

Estimación de Parámetros de un determinado sistema físico. Entre estos métodos se

encuentran los métodos de Mínimos Cuadrados Recursivo, Mínimos Cuadrados

Recursivo Mejorado, Mínimos Cuadrados Recursivo Ampliado, Máxima verosimilidad,

Método mediante Algorítmicos Genéticos, Método mediante Redes Neuronales, etc.

Método de los Mínimos Cuadrados Recursivo

Para estimar los parámetros del Modelo del Proceso se pueden utilizar los valores

de las variables de la respuesta y(kT) y de la variable de Control u(kT). La dinámica de

cualquier sistema físico en general nolineal, variante en el tiempo y perturbado pero en

un determinado instante se puede considerar lineal invariante en el tiempo por lo que se

puede describir la dinámica del sistema físico como sistema lineal mediante una

ecuación de diferencias de la siguiente manera:

)()1()()1()(11

nkubkubnkyakyakynn

La ecuación anterior se puede escribir como:

)()1()()1()(11

nkubkubnkyakyakynn

O también

Tnn

bbaankukunkykyky 11

)()1()()1()(

Si se definen las siguientes expresiones:

)()1()()1()( nkukunkykykT

Tnn

bbaak 11

)(

)(kT , representa el vector de valores que corr4esponden a las variables de salida y de

control, )(k representa el vector de parámetros instantáneos reales del proceso,

entonces la ecuación de diferencias instantánea linealizada se puede escribir como:

)()()( kkky T

La última ecuación se puede escribir como:



)()(ˆ)()( kekkky T

)(ˆ k representa el vector de parámetros estimados y )(ke representa el error de

estimación por lo que la última ecuación se puede escribir como

)(ˆ)()()( kkkyke T

De la ecuación última la expresión )(ke debe ser mímica para que el vector de

parámetros estimador )(ˆ k sea lo más próximo al vector de parámetros real )(k .

El algoritmo del método Mínimos Cuadrados Recursivo se expresa como:

)()()(ˆ)1(ˆ kekkk

)()()(

)()()(

kkPk

kkPk

T

1)()()(

kkkP T

/)()()()1( kPkkIkP T

La matriz de covarianza inicial P(0) se puede escribir IP )0( , 1 . λ es el

factor de olvido que puede estar entre 19.0 .

Con el vector estimado )(ˆ k ya se puede elegir algún controlador apropiado con

parámetros variante en el tiempo. Los controladores diseñados pueden ser

convencionales o mediante variables de estados incluyendo control óptimo.

sistemas de control avanzado

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