1. COORDENADAS RECTANGULARES POLARES CILINDRICAS ESFERICAS

2. CONCEPTOSEn geometra, un sistema de coordenadas es un sistemaque utiliza uno o ms nmeros (coordenadas) paradeterminar unvocamente la posicin de un punto o deotro objeto geomtrico.El orden en que se escriben las coordenadas essignificativo y a veces se las identifica por su posicin enuna dupla ordenada; tambin se las puede representarcon letras, como por ejemplo la coordenada-x. Elestudio de los sistemas de coordenadas es objeto de lageometra analtica, permite formular los problemasgeomtricos de forma "numrica".Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud ylatitud para localizar coordenadas geogrficas. En fsica, unsistema de coordenadas para describir puntos en elespacio recibe el nombre de sistema de referencia. 3. COORDENADA RECTANGULARLas coordenadascartesianas o coordenadasrectangulares son un ejemplo de coordenadasortogonales usadas en espacios eucldeos caracterizadaspor la existencia de dos ejes perpendiculares entre s quese cortan en un punto origen. Las coordenadascartesianas se definen como la distancia al origen de lasproyecciones ortogonales de un punto dado sobre cadauno de los ejes.Las coordenadas cartesianas se usaron como un ejemplopara definir un sistema cartesiano o sistema dereferencia respecto ya sea a un solo eje (lnea recta),respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (enel espacio), perpendiculares entre s (plano y espacio),que se cortan en un punto llamado origen decoordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (orectangulares) X e Y se denominan abscisa y ordenada,respectivamente. 4. COORDENADA POLAREs un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cadapunto del plano se determina por un ngulo y una distancia.Se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo,y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O,llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano),como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y unaunidad de medida mtrica (para poder asignar distancias entrecada par de puntos del plano), todo punto P del planocorresponde a un par ordenado (r, ) donde r es la distancia de Pal origen y es el ngulo formado entre el eje polar y la rectadirigida OP que va de O a P. El valor crece en sentidoantihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r 0) seconoce como la coordenada radial o radio vector, mientrasque el ngulo es la coordenada angular o ngulo polar. En elcaso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de esindefinido. En ocasiones se adopta la convencin de representarel origen por (0,0). 5. Para convertir de un sistema a otro, se resuelve el tringulo:De cartesianas a polaresSi tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieresen coordenadas polares (r,), necesitas resolver un tringulo delque conoces dos lados.Ejemplo: qu es (12,5) en coordenadas polares?Usamos el teorema de Pitgoras para calcular el lado largo (lahipotenusa):r2 = 122 + 52 r = (122 + 52) r = (144 + 25) = (169) = 13Usa la funcin tangente para calcular el ngulo:tan( ) = 5 / 12 = atan( 5 / 12 ) = 22.6 6. As que las frmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y)a polares (r,) son:r = (x2 + y2) = atan( y / x )para calcular el lado largo (la hipotenusa):r2 = 122 + 52r = (122 + 52)r = (144 + 25) = (169) = 13Usa la funcin tangente para calcular el ngulo:tan( ) = 5 / 12 = atan( 5 / 12 ) = 22.6As que las frmulas para convertir coordenadas cartesianas(x,y) a polares (r,) son:r = (x2 + y2) = atan( y / x ) 7. COORDENADA CILINDRICAEl sistema de coordenadas cilndricas es un sistema decoordenadas que extiende al sistema de coordenadaspolares aadiendo una tercera coordenada que mide laaltura de un punto sobre el plano, de la misma forma que elsistema de coordenadas cartesianas se extiende a tresdimensiones. La tercera coordenada se suele representarpor h, haciendo que la notacin de dichas coordenadas sea(r, , h) = (r, , z)Las coordenadas cilndricas pueden convertirse encoordenadas cartesianas de la siguiente manera:X= r cos Y= r sen Z= zConversin de Cartesianas a PolaresAplicando el Teorema de Pitgoras se obtienen las siguientesexpresiones:Z= Z 8. Para determinar la coordenada angular , se debendistinguir dos casos: Para r = 0, el ngulo puede tomar cualquier valor real. Para r 0, para obtener un nico valor de , debelimitarse a un intervalo de tamao 2. Por convencin,los intervalos utilizados son [0, 2) y (, ].Para obtener en el intervalo [0, 2), se deben usar lassiguientes frmulas (arctan denota la inversa de la funcintangente):Para obtener en el intervalo (, ], se deben usar lassiguientes frmulas: 9. o equivalentemente: 10. Punto representado en coordenadas cilndricas 11. r = sen 2 r = sen 3 12. ECUACIONES POLARESSe le llama ecuacin polar a la ecuacin que define unacurva expresada en coordenadas polares. En muchos casosse puede especificar tal ecuacin definiendo r como unafuncin de . La curva resultante consiste en una serie depuntos en la forma (r(), ) y se puede representar comola grfica de una funcin r.Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadaspolar, muchas curvas se pueden describir con una simpleecuacin polar, mientras que en su forma cartesiana seramucho ms complicado. Algunas de las curvas msconocidas son la rosa polar, la espiral de Arqumedes, lalemniscata, el caracol de Pascal y la cardiode. 13. La ecuacin general para una circunferencia con centro en(r0, ) y radio a espara una circunferencia con centro en el polo y radio a, seobtiene:Lneas radiales:Las lneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) serepresentan mediante la ecuacindonde es el ngulo de elevacin de la lnea, esto es, = arctan donde es la pendiente de la lnea en el sistemade coordenadas cartesianas. La lnea no radial que cruza lalnea radial = perpendicularmente al punto (0, ) tienela ecuacin: 14. Rosa polar es el nombre que recibe cualquier miembro deuna familia de curvas de ecuacin por asemejarse a unaflor de ptalos.La espiral de Arqumedes es una famosa espiraldescubierta por Arqumedes, la cual puede expresarsetambin como una ecuacin polar simple. Se representacon la ecuacin: 15. COORDENADAS ESFERICASAl igual que las coordenadas cilndricas, el sistema decoordenadas esfricas se usan en espacios eucldeostridimensionales. Este sistema de coordenadas esfricasest formado por tres ejes mutuamente ortogonales que secortan en el origen. La primera coordenada es la distanciaentre el origen y el punto, siendo las otras dos los ngulosque es necesario girar para alcanzar la posicin del punto.Las coordenadas polares tambin pueden extenderse a tresdimensiones usando las coordenadas (, , ), donde es ladistancia al origen, es el ngulo con respecto al eje z(medido de 0 a 180), y es el ngulo con respecto al eje x(igual que en las coordenadas polares, entre 0 y 360) Estesistema de coordenadas es similar al sistema utilizado paradenotar la altitud y la latitud de un punto en la superficie dela Tierra, donde se sita el origen en el centro de la Tierra,la latitud es el ngulo complementario de (es decir, =90 ), y la longitud l viene dada por 180. 16. Las coordenadas esfricas pueden convertirse encoordenadas cartesianas de la siguiente manera:Las coordenadas polares en el espacio tienen especialinters cuando los ngulos determinan la funcin, comoen el caso de la hlice 17. Ecuaciones para transformar de Cilndricas a Esfricas:Ecuaciones para transformar de Esfricas a RectangularesEcuaciones para transformar de Rectangulares a Esfricas:Ecuaciones para transformar de Esfricas a Cilndricas: 18. COORDENADAS DE nDIMENSIONESEs posible generalizar estas ampliaciones de forma que seobtenga un sistema de representacin para 4 o msdimensiones. Por ejemplo, para 4 dimensiones se obtiene: 19. BIBLIOGRAFIAhttp://www.slideshare.net/kaizzerz/geometria- analitica-charles-h-lehmannhttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Coordenadas_Cil%C3%ADndricas_y_Esf%C3 %A9ricas#Coordenadas_Cil.C3.ADndricas