sistem persamaan non linier

of 27 /27
7/4/2012 SUGENG2010 1 METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA Copyright 1996-98 © Dale Carnegie & Associates, Inc.

Author: aldi-eka-saputra-y

Post on 05-Jul-2018

220 views

Category:

Documents


0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 1/27
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 2/27
Kesalahan (ERROR):
Selisih antara
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 3/27
a adalah nilai eksak
ε= ã - a atau
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 4/27
eksak 
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 5/27
Contoh soal :
 jembatan dan sebuah paku masing-masing 9999cm dan 9cm,jika nilai
eksak masing-masing adalah 10000cm
dan 10cm,hitunglah kesalahan relatif
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 6/27
ε paku = 10
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 7/27
Soal 2
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 8/27
menggunakan dua suku pertama maka:
ex=1+x e0,5=1+0,5 = 1,5
9,02% 11,64872127
1,511,64872127 εr 
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 9/27
Pada matematika Rekayasa sering kali kita harus
menentukan akar-akar persamaan sebuah fungsi yangberbentuk f(x)=0,jika dilakukan pendekatan nilai x=s maka f(s)=0 dengan f adalah fungsi yang diberikan dan s adalah nilai pendekatan.
Formula yang memberikan nilai-nilai eksak untuk menjawab masalah numerik akan terjadi jika
permasalahan yang ada adalah masalah sederhana.
Pada beberapa kondisi maka diperlukan metode iterasi agar didapatkan hasil pendekatan yang mendekati nilai eksak.
Jadi untuk menentukan nilai x tersebut diatas dilakukan tahap demi tahap mulai dari x0,x1,x2,x3,x4……..
Yang perlu dicatat adalah persamaan harus disusun ulang menjadi bentuk f(x) = 0
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 10/27
akar persamaan Non Linier adalah dengan
menggunakan metode :
Bisection
Secant
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 11/27
n+1  dengan syarat
•   Hitung:
f(xr ) x f(xn) < 0 maka xn+1 = xr 
•   Hitung kesalahan
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 12/27
dengan metode bisection
Sehingga f(x) = x tan x  – 1
Dicoba nilai awal : xn = 0,5  f(xn) = -0.72685
xn+1 = 1  
f(xn+1) = 0,55741
Karena f(x n ) x f(x
r  ) > 0 maka x
25,0 1
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 13/27
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 14/27
Newton-Raphson Method
Algoritma penyelesaian:
•   Hitung:
sampai dengan kesalahan dalam batas toleransi
)('
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 15/27
Contoh Soal :
X3 + √3(x2) - 2x =2√3
JAWABAN :
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 16/27
f’(x)= 3x2 + 2√3(x) - 2
coba x(0) = 1,7
coba x(1) = 1,46
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 17/27
 jika disubtitusikan ke dalam persamaan semula :
f(x) = x3 + √3(x2) – 2x - 2√3 = 0 f(1,4) = (1,4)3 + √3(1,4)2 – 2(1,4) - 2√3
f(1,4) = - 0,125 ~ 0
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 18/27
Demikian juga jika akan menyelesaikan dua buah persamaan dengan dua
variabel yang tidak diketahui :
f 1 (x1,x2) = 0 f 2 (x1,x2) = 0
Maka dengan cara yang sama Metode Newton dapat ditulis sebagai berikut
1
nn
nn
nn
2
nn
nn
nn
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 19/27
2
32
2
32
2 ),(
2 ),(
)( 2
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 20/27
x1 (1) = -(3/2),x2
(n) = -1
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 21/27
Untuk sistem persamaan yang panjang, penghitungan nilai turuan yang terus menerus
akan menyebabkan proses hitungan dalamiterasi cukup lama.
Modifikasi metode Newton-Raphson dilakukan dengan mengambil nilai turunan pada iterasi
pertama untuk digunakan pada setiap iterasiberikutnya
Misal diambil nilai awal x = x0 mak proses iterasi
menjadi:
nn
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 22/27
dengan metode modified newton-raphson
Susun ulang persamaan menjadi x tan x  – 1 = 0
Sehingga f(x) = x tan x  – 1 dan f’(x) = tan x + x sec 2 x
Dicoba nilai awal : x0 = 1  f(x0) = 0,55741
f’(x0) = 4,98293
98293,4
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 23/27
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 24/27
dan x n
)()(
))((
1
1
n
nn
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 25/27
dengan metode secant
Sehingga f(x) = x tan x  – 1
Dicoba nilai awal : xn = 1 dan xn -1 =1,1
Proses iterasi selanjutnya menggunakan persamaan
1tan1tan 1tan 11
 x x x x  x x x x x x
8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 26/27
http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 27/27